19032

Момент импульса: матричная теория

Лекция

Физика

Лекция 14 Момент импульса: матричная теория Получим собственные значения операторов проекции и квадрата момента другим способом. Этот способ основан только на коммутационных соотношениях между операторами момента и не использует явные выражения для самих оператор

Русский

2013-07-11

280 KB

13 чел.

Лекция 14

Момент импульса: матричная теория

Получим собственные значения операторов проекции и квадрата момента другим способом. Этот способ основан только на коммутационных соотношениях между операторами момента и не использует явные выражения для самих операторов. По этой причине этот способ носит общий характер и может быть использован, в частности, для спинового момента, когда коммутационные соотношения имеют место, а явные выражения для операторов - нет.

Введём следующие операторы:

  (1)

С помощью коммутационных соотношений для операторов проекций момента установим коммутационные соотношения для операторов . Имеем:

     (2)

  (3)

   (4)

Здесь использованы коммутационные соотношения для операторов проекций момента импульса и его квадрата. Отметим, что поскольку операторы  неэрмитовы, они не отвечают никаким наблюдаемым величинам.

Явные выражения для операторов  можно получить из определения оператора момента  и формулы (1). В декартовых координатах выражения для проекций момента  и  приведены в предыдущей лекции. Непосредственно переходя от дифференцирования по декартовым координатам к дифференцированию по сферическим, получим следующие выражения для операторов :

  (5)

Пусть, далее,  - общая собственная функция операторов  и , отвечающая собственным значениям  и  (сейчас предполагается, что собственные значения операторов квадрата и проекции нам сейчас неизвестны; существование полной системы общих собственных функций операторов  и  следует из факта их коммутации). Докажем, что функции  удовлетворяют уравнениям:

     (6)

то есть являются общими собственными функциями операторов  и , отвечающими собственным значениям  и  (либо тождественно равны нулю; в последнем случае уравнения (6) также удовлетворяются).

Для доказательства подействуем операторами  на уравнения на собственные значения  операторов  и :

     (7)

     (8)

Пользуясь тем, что операторы  коммутируют с оператором , поменяем порядок следования операторов в левой части уравнения (1). В результате получим

    (9)

В уравнении (8) поменять порядок следования операторов  и  нельзя, поскольку эти операторы не коммутируют. Выразим входящее в него произведение операторов из коммутационного соотношения (3) и подставим в уравнение (8):

    (10)

Раскрывая в (10) скобки и перенося одно из слагаемых в правую часть, получим второе уравнение

    (11)

Из уравнений (10), (11) следует, что функции  являются собственными функциями операторов  и , отвечающими собственным значениям  и  соответственно, или тождественно обращаются в нуль  (в этом случае уравнения (10), (11) также удовлетворяются, а функция, тождественно равная нулю, собственной по определению не является).

По этой причине операторы  и  называются операторами, повышающим и понижающим проекцию момента импульса частицы на ось .

Далее. Пусть  максимальное собственное значение проекции момента на ось  при фиксированной величине момента (ясно, что таковое существует). Тогда

  (12)

Подействуем на это равенство оператором :

  (13)

С другой стороны из определения имеем

 (14)

Поэтому равенство (13) сводится к

 (15)

Так волновая функция  есть собственная функция всех операторов, входящих в это равенство, а также с учётом того, что это состояние с максимальной проекцией момента на ось , равной , получим:

  (16)

Отсюда

  (17)

где  - максимальное значение проекции момента. Действуя далее на функцию  оператором , будем получать новые собственные функции

 (18)

пока не дойдем до функции с минимальной проекцией. Обозначим эту проекцию . С одной стороны, для числа   справедливо равенство

(19)

где  - целое число. С другой, для функции  выполнено условие

  (20)

Действуя на это равенство оператором , получаем:

  (21)

Так как функция  является собственной функцией операторов  и , то из формулы (21) получаем

 (22)

или

 (23)

Подставляя в формулу (23)  из (19) и приравнивая полученное выражение выражению (17), получим для максимально возможного значения проекции момента в состоянии с определенным квадратом момента

 (24)

где  - целое число. Таким образом из формул (24), (17) и (19) следует, что собственные значение операторов квадрата момента и его проекции на ось  определяются соотношениями

(25)

 (26)

где  - целое или полуцелое число. Никаких других собственных значений эти операторы иметь не могут.

Для построения собственных функций операторов квадрата и проекции момента используем явное выражение оператора  (5). Учитывая, что зависимость от азимутального угла  волновой функции состояния с максимальной проекцией  определяется соотношением , где  - некоторая функция полярного угла , из формул (5), (12) получаем для функции

  (27)

откуда

  (28)

Выражение для сферической функции  получаем, действуя на (28), понижающим оператором:

 (29)

Аналогично получается и общее выражение для сферической функции

  (30)

Рассмотрим теперь свойства четности сферических функций. Поскольку в оператор момента сами декартовы координаты и производные по ним входят в виде билинейных комбинаций, операторы инверсии и момента коммутируют:

  (31)

Используя теорему о связи коммутации операторов и одновременной измеримости физических величин, можно сделать вывод, что состояние с определённым моментом и проекцией обладает также определённой чётностью. А поскольку при преобразованиях инверсии сферические координаты преобразуются как

  (32)

то

  (33)

Найдем четность всех сферических функций. Во-первых, очевидно, что четность сферической функции определяется только моментом и не зависит от проекции момента на ось. Действительно, состояния с различными проекциями связаны друг с другом действием операторов , которые коммутируют с оператором четности. Поэтому достаточно найти четность функции . А это легко сделать, используя явное выражение для сферической функций с максимальной проекцией:

 (34)

Из (34) имеем

 (35)

Поэтому для любых сферических функций

  (34)

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

42124. Задача с городской олимпиады по математике для начальных классов 134.5 KB
  Сколько учащихся в классе РЕШЕНИЕ Решение задачи можно начать оттого что находим количество тех кто изучает английские и французские языки. Сколько лет каждой если 1 2 лет одной равен 1 4 лет другой РЕШЕНИЕ Общий возраст 36 лет. За какое время они вместе могли бы съесть 6 пирожных РЕШЕНИЕ Люба съедает 6 пирожных за 12 минут узнаём сколько потребуется времени Любе чтобы съесть одно пирожное. Отсюда можно узнать сколько потребуется времени Лене чтобы съесть одно пирожное.
42127. Коефіцієнт впевненості. Ймовірність в експертних системах 39.5 KB
  Методичні вказівки до виконання лабораторної роботи Коефіцієнт впевненості це число яке означає ймовірність або ступінь впевненості з якою можна вважати даний факт або правило достовірним. Коефіцієнт впевненості може бути розрахований наприклад так: КВ[H E]=MD[H E] MND[H E] 1 КВ[H E] коефіцієнт впевненості в гіпотезі H з врахуванням факту E MD[H E] міра довіри H при заданому E MND[H E] міра недовіри H при заданому E. Обчислити коефіцієнт впевненості для логічного висновку E який виводиться у двох наступних правилах.
42128. Ймовірність та нечітка логіка в експертних системах 50 KB
  Методичні рекомендації до завдань частини 1 Дотепер використовувалися такі поняття як âростеâ або âпадаєâ. Наприклад поняття âростеâ відносилося до змінних STOCK і DOLLR. У такому контексті слово âростеâ називається лінгвістичною змінною. Для оцінки підвищення рівня цін на біржі користуватимемося двома правилами: 40 ЯКЩО ВАЛЮТНИЙ КУРС ДОЛАРА = РОСТЕ ТО ПРОЦЕНТНІ СТАВКИ = ПАДАЮТЬ 10 ЯКЩО ПРОЦЕНТНІ СТАВКИ INT = ПАДАЮТЬ ТО РІВЕНЬ ЦІН STOCK = РОСТЕ і відповідними їм рівняннями ймовірністі: Ця таблиця міститиме уточнюючі...
42130. Експертна система в області кооперації 43.5 KB
  Володіє гнучкістю 5 Рівень продажів для різних типів покупців та продавців можна оцінити за таблицею: ПР 1 и ПК 1 Результат продажів середній; висока взаємоповага та суперництво ПР 1 и ПК 2 Результат продажів нижче середнього; продавець з презирством ставиться до покупця и той відмовляється від покупки ПР 1 и ПК 3 Результат продажів вище середнього продавець домінує над покупцем покупець приймає пропозиції продавця ПР 1 и ПК 4 Результат продажів середній; продавець ставиться до покупця з повагою але той йому не довіряє ПР 2 и ПК 1...
42131. Типы паралеллилизма 80.5 KB
  Особенности построения вычислительных систем Конвейерные вычислительные системы Основной принцип построения заключается в том что ускорение вычислений в них достигается за счет разделения всей работы на последовательность более мелких узкоспециализированных операций. Необходимо наличие достаточно сложной операционной системы. Мультипроцессорные вычислительные системы В отличии от матричной системы в мультипроцессорной системы каждый из процессоров имеет свое устройство управления. Память может быть как общей так и не общей...
42132. Программа ввода-вывода для КР 580 ВВ 55 макет М1 71 KB
  Формирование управляющего слова Оно формируется в виде восьмиразрядного управляющего слова. Управляющее слово 92 Разряды порта С индицируются Программа 1 0800 3Е92 MVI92 запись в регистр А цифра 92 управляющее слово 0802 D383 OUT 83 Запись управляющего слова в регистр управляющего слова параллельного адаптера К580 ВВ55 0804 DB80 IN 80 Принять в А байт из порта А 0806 32000B ST0B00 Записать из А в ячейку памяти 0B00 0809 3E55 MVI55 Записать в А число 55 080B D382 OUT 82 Вывести число 55 в порт С 080D C30000 JMP0000 Возврат в монитор В...