19032

Момент импульса: матричная теория

Лекция

Физика

Лекция 14 Момент импульса: матричная теория Получим собственные значения операторов проекции и квадрата момента другим способом. Этот способ основан только на коммутационных соотношениях между операторами момента и не использует явные выражения для самих оператор

Русский

2013-07-11

280 KB

9 чел.

Лекция 14

Момент импульса: матричная теория

Получим собственные значения операторов проекции и квадрата момента другим способом. Этот способ основан только на коммутационных соотношениях между операторами момента и не использует явные выражения для самих операторов. По этой причине этот способ носит общий характер и может быть использован, в частности, для спинового момента, когда коммутационные соотношения имеют место, а явные выражения для операторов - нет.

Введём следующие операторы:

  (1)

С помощью коммутационных соотношений для операторов проекций момента установим коммутационные соотношения для операторов . Имеем:

     (2)

  (3)

   (4)

Здесь использованы коммутационные соотношения для операторов проекций момента импульса и его квадрата. Отметим, что поскольку операторы  неэрмитовы, они не отвечают никаким наблюдаемым величинам.

Явные выражения для операторов  можно получить из определения оператора момента  и формулы (1). В декартовых координатах выражения для проекций момента  и  приведены в предыдущей лекции. Непосредственно переходя от дифференцирования по декартовым координатам к дифференцированию по сферическим, получим следующие выражения для операторов :

  (5)

Пусть, далее,  - общая собственная функция операторов  и , отвечающая собственным значениям  и  (сейчас предполагается, что собственные значения операторов квадрата и проекции нам сейчас неизвестны; существование полной системы общих собственных функций операторов  и  следует из факта их коммутации). Докажем, что функции  удовлетворяют уравнениям:

     (6)

то есть являются общими собственными функциями операторов  и , отвечающими собственным значениям  и  (либо тождественно равны нулю; в последнем случае уравнения (6) также удовлетворяются).

Для доказательства подействуем операторами  на уравнения на собственные значения  операторов  и :

     (7)

     (8)

Пользуясь тем, что операторы  коммутируют с оператором , поменяем порядок следования операторов в левой части уравнения (1). В результате получим

    (9)

В уравнении (8) поменять порядок следования операторов  и  нельзя, поскольку эти операторы не коммутируют. Выразим входящее в него произведение операторов из коммутационного соотношения (3) и подставим в уравнение (8):

    (10)

Раскрывая в (10) скобки и перенося одно из слагаемых в правую часть, получим второе уравнение

    (11)

Из уравнений (10), (11) следует, что функции  являются собственными функциями операторов  и , отвечающими собственным значениям  и  соответственно, или тождественно обращаются в нуль  (в этом случае уравнения (10), (11) также удовлетворяются, а функция, тождественно равная нулю, собственной по определению не является).

По этой причине операторы  и  называются операторами, повышающим и понижающим проекцию момента импульса частицы на ось .

Далее. Пусть  максимальное собственное значение проекции момента на ось  при фиксированной величине момента (ясно, что таковое существует). Тогда

  (12)

Подействуем на это равенство оператором :

  (13)

С другой стороны из определения имеем

 (14)

Поэтому равенство (13) сводится к

 (15)

Так волновая функция  есть собственная функция всех операторов, входящих в это равенство, а также с учётом того, что это состояние с максимальной проекцией момента на ось , равной , получим:

  (16)

Отсюда

  (17)

где  - максимальное значение проекции момента. Действуя далее на функцию  оператором , будем получать новые собственные функции

 (18)

пока не дойдем до функции с минимальной проекцией. Обозначим эту проекцию . С одной стороны, для числа   справедливо равенство

(19)

где  - целое число. С другой, для функции  выполнено условие

  (20)

Действуя на это равенство оператором , получаем:

  (21)

Так как функция  является собственной функцией операторов  и , то из формулы (21) получаем

 (22)

или

 (23)

Подставляя в формулу (23)  из (19) и приравнивая полученное выражение выражению (17), получим для максимально возможного значения проекции момента в состоянии с определенным квадратом момента

 (24)

где  - целое число. Таким образом из формул (24), (17) и (19) следует, что собственные значение операторов квадрата момента и его проекции на ось  определяются соотношениями

(25)

 (26)

где  - целое или полуцелое число. Никаких других собственных значений эти операторы иметь не могут.

Для построения собственных функций операторов квадрата и проекции момента используем явное выражение оператора  (5). Учитывая, что зависимость от азимутального угла  волновой функции состояния с максимальной проекцией  определяется соотношением , где  - некоторая функция полярного угла , из формул (5), (12) получаем для функции

  (27)

откуда

  (28)

Выражение для сферической функции  получаем, действуя на (28), понижающим оператором:

 (29)

Аналогично получается и общее выражение для сферической функции

  (30)

Рассмотрим теперь свойства четности сферических функций. Поскольку в оператор момента сами декартовы координаты и производные по ним входят в виде билинейных комбинаций, операторы инверсии и момента коммутируют:

  (31)

Используя теорему о связи коммутации операторов и одновременной измеримости физических величин, можно сделать вывод, что состояние с определённым моментом и проекцией обладает также определённой чётностью. А поскольку при преобразованиях инверсии сферические координаты преобразуются как

  (32)

то

  (33)

Найдем четность всех сферических функций. Во-первых, очевидно, что четность сферической функции определяется только моментом и не зависит от проекции момента на ось. Действительно, состояния с различными проекциями связаны друг с другом действием операторов , которые коммутируют с оператором четности. Поэтому достаточно найти четность функции . А это легко сделать, используя явное выражение для сферической функций с максимальной проекцией:

 (34)

Из (34) имеем

 (35)

Поэтому для любых сферических функций

  (34)

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

25418. Волновые процессы. Волновая и квантовая оптика. Квантовая механика. Многоэлектронные атомы 3.8 MB
  Конспекты лекций включает теоретический материал, позволяющий студентам в компактной форме получить достаточную информацию о физических явлениях и закономерностях, необходимых для развития физического мышления и подготовки научной базы, без которой невозможно успешное решение профессиональных задач.
25419. Сущность и технология проектирования и моделирования в социальной работе 22.54 KB
  Сущность и технология проектирования и моделирования в социальной работе Социальное проектирование это проектирование социальных объектов социальных качеств социальных процессов и отношений. В отличие от проектирования таких объектов при изменении которых не учитывается субъективный фактор при проектировании социальных объектов этот фактор должен учитываться. Его учет во многом предопределяет специфику социального проектирования. При этом в основания социального проектирования должны быть заложены следующие параметры: противоречивость...
25420. Сила в социальном конфликте 68.5 KB
  Её предметом стало объяснение процессов жизни функционирование и развитие общественных систем и подсистем по средством категории конфликта.Фрейда причина конфликта в расчленении человека на ОНО Я СВЕРХЯ Центральным понятием теоретической системы К. В отечественной психологии наиболее полное и последовательное описание явлений психологического конфликта принадлежит В. Им разработана проблема психологического конфликта проанализирована мотивация личности в конфликтной ситуации описаны социально – типичные отношения личности в...
25421. Модели разрешения конфликтов в процессе с/р 17.72 KB
  Предпосылки решения ков: 1 достаточная зрелость кта к ая выражается в видимых формах проявления объявлении своих или противоположных интересов и позиций в организации конфликтных групп; 2 потребность субъектов разрешать кты и способность это осуществить; 3 наличие необходимых средств и ресурсов для разрешения ктов: матерх политич культурных человечх. Выделяют 5 оснх стратегий поведения в конфх ситуациях: а приспособление – субъект не проявляет ни активности ни заинтересованности в достижении х результатов. Она направлена...
25422. Методы исследования в области СР 15.92 KB
  Всю совокупность методов используемых в СР можно классифицировать на 2 большие группы: теоретические и практические. К теоретическим методам СР следует отнести общенаучные методы: индукция заключение осуществляется от фактов к гипотезе и к общему утверждению; дедукция заключение от общих утверждений к частным фактам; синтез соединение элементов в единое целое; аналогия умозаключение при котором 3 об изученном объекте переносятся на сходный менее изученный; сравнение метод позволяющий установить сходство...
25423. Методы исследования в социальной статистике 14.9 KB
  Задачами для СоцС явся: систематический анализ ситуации в соц сфере; анализ важнейших тенденций и закономерностей развития отраслей соц инфрастрры; изучение уровня и условий жизни нася; оценка степени дифференциации этих характеристик; анализ динамики; прогнозирование наиболее вероятного хода развития на ближайшую и более отдаленную перспективу; исследование факторов под влиянием к х сложилась данная ситуация; выяснение соотношений объективных и субъективных факторов. Разработка подходов к построению обобщающих показателей позволяющих...
25424. Семья и ее основные функции. Социально-экономические, духовно-культурные, психолого-педагогические основания современной семьи 47.5 KB
  Социальноэкономические духовнокультурные психологопедагогические основания современной семьи. Структура ответа: Вступление Понятие семьи Основные функции семьи Вывод Общеизвестно что семья является уникальным социальным созданием человечества.1 Интегральными характеристиками семьи которые во многом определяют ее потенциалы считаются: психологическое здоровье функциональноролевая согласованность социальноролевая адекватность эмоциональная удовлетворенность адаптивность в микросоциальных отношениях устремленность на семейное...
25425. Основные направления и технологии социальной работы с семьей 50.5 KB
  Сегодня многие семьи нуждаются в помощи и поддержке для того чтобы полноценно реализовывать предписываемые обществом функции. В такой помощи нуждаются неполные и многодетные семьи семьи одиноких матерей военнослужащих семьи воспитывающие детей с ограниченными возможностями усыновленных и опекаемых детей имеющие родителейинвалидов студенческие семьи семьи беженцев мигрантов безработных асоциальные семьи и др. Исходя их этого социальный работник призван выполнять следующие функции: диагностическую изучение особенностей семьи...
25426. Проблемы социальной защиты семьи, материнства и детства в России 18.19 KB
  В Конституции РФ сказано что в Российской Федерацииобеспечивается государственная поддержка семьи материнства отцовства и детстваразвивается система социальных служб устанавливаются государственные пенсии пособия и иные гарантии социальной защиты. Основными принципами социальной работы с семьей являются: Приоритет прав и интересов ребенка всесторонней развитие и уважение его человеческого достоинства; Уважение прав родителей объективная и компетентная оценка ситуации в семье со стороны социальных служб; Соблюдение конфиденциальности...