19032

Момент импульса: матричная теория

Лекция

Физика

Лекция 14 Момент импульса: матричная теория Получим собственные значения операторов проекции и квадрата момента другим способом. Этот способ основан только на коммутационных соотношениях между операторами момента и не использует явные выражения для самих оператор

Русский

2013-07-11

280 KB

9 чел.

Лекция 14

Момент импульса: матричная теория

Получим собственные значения операторов проекции и квадрата момента другим способом. Этот способ основан только на коммутационных соотношениях между операторами момента и не использует явные выражения для самих операторов. По этой причине этот способ носит общий характер и может быть использован, в частности, для спинового момента, когда коммутационные соотношения имеют место, а явные выражения для операторов - нет.

Введём следующие операторы:

  (1)

С помощью коммутационных соотношений для операторов проекций момента установим коммутационные соотношения для операторов . Имеем:

     (2)

  (3)

   (4)

Здесь использованы коммутационные соотношения для операторов проекций момента импульса и его квадрата. Отметим, что поскольку операторы  неэрмитовы, они не отвечают никаким наблюдаемым величинам.

Явные выражения для операторов  можно получить из определения оператора момента  и формулы (1). В декартовых координатах выражения для проекций момента  и  приведены в предыдущей лекции. Непосредственно переходя от дифференцирования по декартовым координатам к дифференцированию по сферическим, получим следующие выражения для операторов :

  (5)

Пусть, далее,  - общая собственная функция операторов  и , отвечающая собственным значениям  и  (сейчас предполагается, что собственные значения операторов квадрата и проекции нам сейчас неизвестны; существование полной системы общих собственных функций операторов  и  следует из факта их коммутации). Докажем, что функции  удовлетворяют уравнениям:

     (6)

то есть являются общими собственными функциями операторов  и , отвечающими собственным значениям  и  (либо тождественно равны нулю; в последнем случае уравнения (6) также удовлетворяются).

Для доказательства подействуем операторами  на уравнения на собственные значения  операторов  и :

     (7)

     (8)

Пользуясь тем, что операторы  коммутируют с оператором , поменяем порядок следования операторов в левой части уравнения (1). В результате получим

    (9)

В уравнении (8) поменять порядок следования операторов  и  нельзя, поскольку эти операторы не коммутируют. Выразим входящее в него произведение операторов из коммутационного соотношения (3) и подставим в уравнение (8):

    (10)

Раскрывая в (10) скобки и перенося одно из слагаемых в правую часть, получим второе уравнение

    (11)

Из уравнений (10), (11) следует, что функции  являются собственными функциями операторов  и , отвечающими собственным значениям  и  соответственно, или тождественно обращаются в нуль  (в этом случае уравнения (10), (11) также удовлетворяются, а функция, тождественно равная нулю, собственной по определению не является).

По этой причине операторы  и  называются операторами, повышающим и понижающим проекцию момента импульса частицы на ось .

Далее. Пусть  максимальное собственное значение проекции момента на ось  при фиксированной величине момента (ясно, что таковое существует). Тогда

  (12)

Подействуем на это равенство оператором :

  (13)

С другой стороны из определения имеем

 (14)

Поэтому равенство (13) сводится к

 (15)

Так волновая функция  есть собственная функция всех операторов, входящих в это равенство, а также с учётом того, что это состояние с максимальной проекцией момента на ось , равной , получим:

  (16)

Отсюда

  (17)

где  - максимальное значение проекции момента. Действуя далее на функцию  оператором , будем получать новые собственные функции

 (18)

пока не дойдем до функции с минимальной проекцией. Обозначим эту проекцию . С одной стороны, для числа   справедливо равенство

(19)

где  - целое число. С другой, для функции  выполнено условие

  (20)

Действуя на это равенство оператором , получаем:

  (21)

Так как функция  является собственной функцией операторов  и , то из формулы (21) получаем

 (22)

или

 (23)

Подставляя в формулу (23)  из (19) и приравнивая полученное выражение выражению (17), получим для максимально возможного значения проекции момента в состоянии с определенным квадратом момента

 (24)

где  - целое число. Таким образом из формул (24), (17) и (19) следует, что собственные значение операторов квадрата момента и его проекции на ось  определяются соотношениями

(25)

 (26)

где  - целое или полуцелое число. Никаких других собственных значений эти операторы иметь не могут.

Для построения собственных функций операторов квадрата и проекции момента используем явное выражение оператора  (5). Учитывая, что зависимость от азимутального угла  волновой функции состояния с максимальной проекцией  определяется соотношением , где  - некоторая функция полярного угла , из формул (5), (12) получаем для функции

  (27)

откуда

  (28)

Выражение для сферической функции  получаем, действуя на (28), понижающим оператором:

 (29)

Аналогично получается и общее выражение для сферической функции

  (30)

Рассмотрим теперь свойства четности сферических функций. Поскольку в оператор момента сами декартовы координаты и производные по ним входят в виде билинейных комбинаций, операторы инверсии и момента коммутируют:

  (31)

Используя теорему о связи коммутации операторов и одновременной измеримости физических величин, можно сделать вывод, что состояние с определённым моментом и проекцией обладает также определённой чётностью. А поскольку при преобразованиях инверсии сферические координаты преобразуются как

  (32)

то

  (33)

Найдем четность всех сферических функций. Во-первых, очевидно, что четность сферической функции определяется только моментом и не зависит от проекции момента на ось. Действительно, состояния с различными проекциями связаны друг с другом действием операторов , которые коммутируют с оператором четности. Поэтому достаточно найти четность функции . А это легко сделать, используя явное выражение для сферической функций с максимальной проекцией:

 (34)

Из (34) имеем

 (35)

Поэтому для любых сферических функций

  (34)

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

75315. Источники по истории средних веков (V-XV вв) 41.5 KB
  Источники по истории средних веков VXV вв. Законодательные и документальные источники по истории средних веков. Они являлись ценными источниками по истории VI в. Источники по истории XI XV вв.
75317. Понятие “феодализма” в западноевропейской историографии 39.5 KB
  Понятие феодализма в западноевропейской историографии. Понимание феодализма в историографии XVIII в. Главными чертами феодализма некоторые из них считали политическую раздробленность и как следствие ее господство в средние века папской теократии. в определении сущности феодализма недалеко ушли от историков эпохи Просвещения хотя в отличие от них оценивали феодализм как положительное историческое явление: реакционные романтики потому что видели в нем свой политический идеал...
75318. Проблема генезиса феодализма в отечественной и зарубежной историографии 46.5 KB
  Проблема генезиса феодализма в отечественной и зарубежной историографии. Проблема генезиса феодализма и связанный с нею вопрос о путях складывания феодально зависимого крестьянства представляет трудность и с источниковедческой и с теоретической точек зрения. В советской историографии становление феодализма рассматривалось в первую очередь в аспекте вскрытия сдвигов в производительных силах в отношениях собственности...
75319. Образование государства и возникновение писаного права у франков 38.5 KB
  Образование государства и возникновение писаного права у франков. В исторических памятниках имя франков появилось начиная с III в. Франки распадались на две большие ветви приморских или салических франков от латинского слова slum что значит море живших у устья Рейна и прибрежных или рипуарских франков от латинского слова rip что значит берег живших южнее по берегам Рейна и Мааса. Из вождей франков известен Меровей при котором франки сражались против Аттилы на Каталаунских полях 451 г.
75320. Рост крупного землевладения и ослабление центральной власти у франков при преемниках Хлодвига. Объединение страны майордомами Австразии 33.5 KB
  После смерти Хлодвига началось дробление королевства. намечается обособление самостоятельных политических единиц в составе Франкского королевства: Нейстрии СевероЗападной Галлии с центром в Париже; Австразии северовосточной части Франкского королевства включавшей исконные франкские области по обоим берегам Рейна и Мааса; Бургундии территории бывшего королевства бургундов. В Нейстрии которая к моменту франкского завоевания была сильно романизована галлоримляне составлявшие и после завоевания большинство населения раньше чем в...
75321. Франция в IX-XI веках 39.5 KB
  В начале этого периода в стране имелось еще много крестьян не находившихся в какойлибо зависимости от частных лиц и подчинявшихся непосредственно короне. Вместе с тем возрастало число крестьян находившихся в личнонаследственной зависимости сервов и колонов а также жителей иммунитетных территорий. В результате все жители округи будь они в личной либо поземельной зависимости от данного или какогонибудь другого феодала или нет становились его людьми в судебноадминистративном отношении. Для по земельно и лично зависимых крестьян...
75322. Англия в XI-XII вв. Завершение феодализации английского общества 47 KB
  в Англии в основном уже господствовали феодальные порядки но процесс феодализации еще не завершился. Вильгельм со своим войском на больших ладьях переплыл ЛаМанш и высадился на юге Англии в бухте Павенси. Во главе последнего выступил избранный советом мудрых новый король Англии Гарольд. Герцог Нормандский же двинулся к Лондону захватил его и стал королем Англии под именем Вильгельма I Завоевателя.
75323. Особенности социально-экономического развития Италии в конце V- сер. XI веков 51 KB
  Особенности социальноэкономического развития Италии в конце V сер. Подвластное лангобардам коренное население Италии оставалось в сфере действия римского права. империи но не принесло Италии политического единства. Карл Великий изменил территориальноадминистративное деление своих владений в Италии: вместо герцогств были образованы 20 графств отданных в управление представителям франкской знати.