19032

Момент импульса: матричная теория

Лекция

Физика

Лекция 14 Момент импульса: матричная теория Получим собственные значения операторов проекции и квадрата момента другим способом. Этот способ основан только на коммутационных соотношениях между операторами момента и не использует явные выражения для самих оператор

Русский

2013-07-11

280 KB

8 чел.

Лекция 14

Момент импульса: матричная теория

Получим собственные значения операторов проекции и квадрата момента другим способом. Этот способ основан только на коммутационных соотношениях между операторами момента и не использует явные выражения для самих операторов. По этой причине этот способ носит общий характер и может быть использован, в частности, для спинового момента, когда коммутационные соотношения имеют место, а явные выражения для операторов - нет.

Введём следующие операторы:

  (1)

С помощью коммутационных соотношений для операторов проекций момента установим коммутационные соотношения для операторов . Имеем:

     (2)

  (3)

   (4)

Здесь использованы коммутационные соотношения для операторов проекций момента импульса и его квадрата. Отметим, что поскольку операторы  неэрмитовы, они не отвечают никаким наблюдаемым величинам.

Явные выражения для операторов  можно получить из определения оператора момента  и формулы (1). В декартовых координатах выражения для проекций момента  и  приведены в предыдущей лекции. Непосредственно переходя от дифференцирования по декартовым координатам к дифференцированию по сферическим, получим следующие выражения для операторов :

  (5)

Пусть, далее,  - общая собственная функция операторов  и , отвечающая собственным значениям  и  (сейчас предполагается, что собственные значения операторов квадрата и проекции нам сейчас неизвестны; существование полной системы общих собственных функций операторов  и  следует из факта их коммутации). Докажем, что функции  удовлетворяют уравнениям:

     (6)

то есть являются общими собственными функциями операторов  и , отвечающими собственным значениям  и  (либо тождественно равны нулю; в последнем случае уравнения (6) также удовлетворяются).

Для доказательства подействуем операторами  на уравнения на собственные значения  операторов  и :

     (7)

     (8)

Пользуясь тем, что операторы  коммутируют с оператором , поменяем порядок следования операторов в левой части уравнения (1). В результате получим

    (9)

В уравнении (8) поменять порядок следования операторов  и  нельзя, поскольку эти операторы не коммутируют. Выразим входящее в него произведение операторов из коммутационного соотношения (3) и подставим в уравнение (8):

    (10)

Раскрывая в (10) скобки и перенося одно из слагаемых в правую часть, получим второе уравнение

    (11)

Из уравнений (10), (11) следует, что функции  являются собственными функциями операторов  и , отвечающими собственным значениям  и  соответственно, или тождественно обращаются в нуль  (в этом случае уравнения (10), (11) также удовлетворяются, а функция, тождественно равная нулю, собственной по определению не является).

По этой причине операторы  и  называются операторами, повышающим и понижающим проекцию момента импульса частицы на ось .

Далее. Пусть  максимальное собственное значение проекции момента на ось  при фиксированной величине момента (ясно, что таковое существует). Тогда

  (12)

Подействуем на это равенство оператором :

  (13)

С другой стороны из определения имеем

 (14)

Поэтому равенство (13) сводится к

 (15)

Так волновая функция  есть собственная функция всех операторов, входящих в это равенство, а также с учётом того, что это состояние с максимальной проекцией момента на ось , равной , получим:

  (16)

Отсюда

  (17)

где  - максимальное значение проекции момента. Действуя далее на функцию  оператором , будем получать новые собственные функции

 (18)

пока не дойдем до функции с минимальной проекцией. Обозначим эту проекцию . С одной стороны, для числа   справедливо равенство

(19)

где  - целое число. С другой, для функции  выполнено условие

  (20)

Действуя на это равенство оператором , получаем:

  (21)

Так как функция  является собственной функцией операторов  и , то из формулы (21) получаем

 (22)

или

 (23)

Подставляя в формулу (23)  из (19) и приравнивая полученное выражение выражению (17), получим для максимально возможного значения проекции момента в состоянии с определенным квадратом момента

 (24)

где  - целое число. Таким образом из формул (24), (17) и (19) следует, что собственные значение операторов квадрата момента и его проекции на ось  определяются соотношениями

(25)

 (26)

где  - целое или полуцелое число. Никаких других собственных значений эти операторы иметь не могут.

Для построения собственных функций операторов квадрата и проекции момента используем явное выражение оператора  (5). Учитывая, что зависимость от азимутального угла  волновой функции состояния с максимальной проекцией  определяется соотношением , где  - некоторая функция полярного угла , из формул (5), (12) получаем для функции

  (27)

откуда

  (28)

Выражение для сферической функции  получаем, действуя на (28), понижающим оператором:

 (29)

Аналогично получается и общее выражение для сферической функции

  (30)

Рассмотрим теперь свойства четности сферических функций. Поскольку в оператор момента сами декартовы координаты и производные по ним входят в виде билинейных комбинаций, операторы инверсии и момента коммутируют:

  (31)

Используя теорему о связи коммутации операторов и одновременной измеримости физических величин, можно сделать вывод, что состояние с определённым моментом и проекцией обладает также определённой чётностью. А поскольку при преобразованиях инверсии сферические координаты преобразуются как

  (32)

то

  (33)

Найдем четность всех сферических функций. Во-первых, очевидно, что четность сферической функции определяется только моментом и не зависит от проекции момента на ось. Действительно, состояния с различными проекциями связаны друг с другом действием операторов , которые коммутируют с оператором четности. Поэтому достаточно найти четность функции . А это легко сделать, используя явное выражение для сферической функций с максимальной проекцией:

 (34)

Из (34) имеем

 (35)

Поэтому для любых сферических функций

  (34)

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

48708. Стратегическое планирование на ОАО «МТС» 1.13 MB
  О предприятии ОАО МТС. В курсовой работе в качестве исследуемого предприятия была выбрана компания ОАО МТС в качестве продукта – мобильный телефон. ОАО Мобильные ТелеСистемы МТС российская телекоммуникационная компания оператор сотовой связи в форматах GSM и UMTS оказывающая услуги в России странах СНГ и Индии под торговой маркой МТС. Компания МТС образована как закрытое акционерное общество в октябре 1993 года такими компаниями как ОАО Московская городская телефонная сеть МГТС Deutsсhe Telecom DeTeMobil...
48711. Разработка информационной системы по учету заявлений 1.66 MB
  Типовые бизнеспроцессы требующие автоматизации. Содержание бизнеспроцесса Подготовка докладов выступлений обращений состоит из последовательного выполнения шести действий: Подбор данных и материалов для обобщений докладов выступлений Создание отчета о количестве принятых заявлений определенной судьей Создание отчета в котором отображаются заявления по их типу Создание отчета о количестве сформированных дел Создание отчета о делах по которым уже было вынесено решение Составление плана обобщения доклада...
48712. Электрический расчет основных режимов работы сети 2.08 MB
  Схема выбирается по экономическому расчету, который содержит: расчет наиболее экономичного строительства, расчет передачи энергии как от РЭС, так и от подстанций к друг другу. Из четырех вариантов схем, будет выбрана одна – наиболее экономичная. Для которой будет выполнен, электрический расчет основных режимов работы сети.
48713. Проект железобетонного моста под железную дорогу 713 KB
  Предполагая применение устоев обсыпного типа и учитывая, что отверстие моста составляет 68 м, намечена пятипролетная схема моста с разрезными типовыми балками 516,5 м. Необходимая длина моста между крайними точками устоев
48715. Анализ активного АRC-звена 758 KB
  Расчет LCфильтра. В результате решения задачи II требуется: привести схему рассчитанного фильтра и таблицу значений параметров его элементов; привести качественную характеристику ослабления рассчитанного фильтра; определить ОПФ фильтра; полином знаменателя полученной функции представить в виде произведения линейных и квадратичных сомножителей с вещественными коэффициентами; рассчитать ослабление фильтра на границе границах полосы пропускания; составить пояснительную записку. Расчет RC фильтра. В результате решения задачи...