19032

Момент импульса: матричная теория

Лекция

Физика

Лекция 14 Момент импульса: матричная теория Получим собственные значения операторов проекции и квадрата момента другим способом. Этот способ основан только на коммутационных соотношениях между операторами момента и не использует явные выражения для самих оператор

Русский

2013-07-11

280 KB

7 чел.

Лекция 14

Момент импульса: матричная теория

Получим собственные значения операторов проекции и квадрата момента другим способом. Этот способ основан только на коммутационных соотношениях между операторами момента и не использует явные выражения для самих операторов. По этой причине этот способ носит общий характер и может быть использован, в частности, для спинового момента, когда коммутационные соотношения имеют место, а явные выражения для операторов - нет.

Введём следующие операторы:

  (1)

С помощью коммутационных соотношений для операторов проекций момента установим коммутационные соотношения для операторов . Имеем:

     (2)

  (3)

   (4)

Здесь использованы коммутационные соотношения для операторов проекций момента импульса и его квадрата. Отметим, что поскольку операторы  неэрмитовы, они не отвечают никаким наблюдаемым величинам.

Явные выражения для операторов  можно получить из определения оператора момента  и формулы (1). В декартовых координатах выражения для проекций момента  и  приведены в предыдущей лекции. Непосредственно переходя от дифференцирования по декартовым координатам к дифференцированию по сферическим, получим следующие выражения для операторов :

  (5)

Пусть, далее,  - общая собственная функция операторов  и , отвечающая собственным значениям  и  (сейчас предполагается, что собственные значения операторов квадрата и проекции нам сейчас неизвестны; существование полной системы общих собственных функций операторов  и  следует из факта их коммутации). Докажем, что функции  удовлетворяют уравнениям:

     (6)

то есть являются общими собственными функциями операторов  и , отвечающими собственным значениям  и  (либо тождественно равны нулю; в последнем случае уравнения (6) также удовлетворяются).

Для доказательства подействуем операторами  на уравнения на собственные значения  операторов  и :

     (7)

     (8)

Пользуясь тем, что операторы  коммутируют с оператором , поменяем порядок следования операторов в левой части уравнения (1). В результате получим

    (9)

В уравнении (8) поменять порядок следования операторов  и  нельзя, поскольку эти операторы не коммутируют. Выразим входящее в него произведение операторов из коммутационного соотношения (3) и подставим в уравнение (8):

    (10)

Раскрывая в (10) скобки и перенося одно из слагаемых в правую часть, получим второе уравнение

    (11)

Из уравнений (10), (11) следует, что функции  являются собственными функциями операторов  и , отвечающими собственным значениям  и  соответственно, или тождественно обращаются в нуль  (в этом случае уравнения (10), (11) также удовлетворяются, а функция, тождественно равная нулю, собственной по определению не является).

По этой причине операторы  и  называются операторами, повышающим и понижающим проекцию момента импульса частицы на ось .

Далее. Пусть  максимальное собственное значение проекции момента на ось  при фиксированной величине момента (ясно, что таковое существует). Тогда

  (12)

Подействуем на это равенство оператором :

  (13)

С другой стороны из определения имеем

 (14)

Поэтому равенство (13) сводится к

 (15)

Так волновая функция  есть собственная функция всех операторов, входящих в это равенство, а также с учётом того, что это состояние с максимальной проекцией момента на ось , равной , получим:

  (16)

Отсюда

  (17)

где  - максимальное значение проекции момента. Действуя далее на функцию  оператором , будем получать новые собственные функции

 (18)

пока не дойдем до функции с минимальной проекцией. Обозначим эту проекцию . С одной стороны, для числа   справедливо равенство

(19)

где  - целое число. С другой, для функции  выполнено условие

  (20)

Действуя на это равенство оператором , получаем:

  (21)

Так как функция  является собственной функцией операторов  и , то из формулы (21) получаем

 (22)

или

 (23)

Подставляя в формулу (23)  из (19) и приравнивая полученное выражение выражению (17), получим для максимально возможного значения проекции момента в состоянии с определенным квадратом момента

 (24)

где  - целое число. Таким образом из формул (24), (17) и (19) следует, что собственные значение операторов квадрата момента и его проекции на ось  определяются соотношениями

(25)

 (26)

где  - целое или полуцелое число. Никаких других собственных значений эти операторы иметь не могут.

Для построения собственных функций операторов квадрата и проекции момента используем явное выражение оператора  (5). Учитывая, что зависимость от азимутального угла  волновой функции состояния с максимальной проекцией  определяется соотношением , где  - некоторая функция полярного угла , из формул (5), (12) получаем для функции

  (27)

откуда

  (28)

Выражение для сферической функции  получаем, действуя на (28), понижающим оператором:

 (29)

Аналогично получается и общее выражение для сферической функции

  (30)

Рассмотрим теперь свойства четности сферических функций. Поскольку в оператор момента сами декартовы координаты и производные по ним входят в виде билинейных комбинаций, операторы инверсии и момента коммутируют:

  (31)

Используя теорему о связи коммутации операторов и одновременной измеримости физических величин, можно сделать вывод, что состояние с определённым моментом и проекцией обладает также определённой чётностью. А поскольку при преобразованиях инверсии сферические координаты преобразуются как

  (32)

то

  (33)

Найдем четность всех сферических функций. Во-первых, очевидно, что четность сферической функции определяется только моментом и не зависит от проекции момента на ось. Действительно, состояния с различными проекциями связаны друг с другом действием операторов , которые коммутируют с оператором четности. Поэтому достаточно найти четность функции . А это легко сделать, используя явное выражение для сферической функций с максимальной проекцией:

 (34)

Из (34) имеем

 (35)

Поэтому для любых сферических функций

  (34)

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

49427. Проектирование линейной автоматической системы управления 1.05 MB
  Цель работы: для заданного объекта регулирования требуется спроектировать АСР с заданным типом регулятора (ПИ-регулятор). Процесс проектирования состоит из следующих этапов: Анализ объекта регулирования. Определение оптимальных настроек ПИ-регулятора. Анализ функционирования АСР с оптимальными настройками. Анализ устойчивости спроектированной АСР.
49428. Разработка рациональной системы применения удобрений в СПК «Кировский» Московской области Лотошинского района 252.5 KB
  Тимирязева Кафедра агрономической и биологической химии и радиологии Курсовой проект на тему: Разработка рациональной системы применения удобрений в СПК Кировский Московской области Лотошинского района Выполнила:. Поэтому научно обоснованная и практически обкатанная система применения удобрений играет ключевую роль в создании высококачественного урожая в количествах достаточных для прибыльного ведения сельского хозяйства. Система удобрения в севообороте это план применения органических и минеральных удобрений в котором...
49429. МОДЕЛИРОВАНИЕ БИПОЛЯРНОГО ТРАНЗИСТОРА ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ ЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ 68.83 KB
  Исходные данные технические требования: усилитель низкой частоты класса А Коэффициент усиления в схеме ОС по току: Напряжение питания В: Ток коллектора в рабочей точке мА: Диапазон частот исследования усилителя: 50Гц 100кГц 7. Содержание работы: измерение основных параметров биполярного транзистора БТ иформирование его моделей малого и большого сигнала; расчет схемы усилителя низкойчастоты на биполярном транзисторе методом малого сигнала графоаналитическим методом методом компьютерного моделирования; экспериментальное...
49430. Динамический синтез машинного агрегата по коэффициенту неравномерности 1.28 MB
  Структурный анализ рычажного механизма. Определение кинематических характеристик рычажного механизма. Построение планов положений механизма. Определение приведенного момента инерции IпII звеньев рычажного механизма с переменным моментом инерции.
49432. Расчет трехсекционного микрополоскового p-i-n диодного модулятора 133 KB
  Построим частотные характеристики модулятора при закрытых и открытых диодах для варианта двух и трех диодов взяв расстояние между диодами из пункта 1 и 2 соответственно. Для закрытых диодов проводимость равна Частотная характеристика потерь будет равна: где Гвх коэффициент отражения на входе: для двух диодов будет равен для трех диодов будет равен Графики частотных характеристик для варианта двух и трех закрытых диодов Для открытых диодов проводимость равна Найдем характеристику потерь для двух диодов Найдем характеристику потерь для трех...
49433. Выбор и обоснование технологической схемы очистных работ 38.67 KB
  Сравним технические характеристики комбайна с условиями данной лавы комбайны удовлетворяющие условиям данной лавы: МК67М типоразмер 1 2 3 4 работающий со става конвейера СП48М СП202; 1К101У типоразмер 1 и 2 работающий со става конвейера СП87ПМ СП202; Выбираем комбайн 1К101У типоразмер 1 работающий со става конвейера СП87ПМ имеющие технические характеристики: Наименование показателя 1К101У 1 типоразмер Применение в лаве со стоечной крепью Применяется Вынимаемая мощность пласта м минимальная максимальная 071 118 Угол...
49434. Устройство монитора с ЭЛТ 954 KB
  От качества и безопасности монитора напрямую зависит здоровье прежде всего зрение. Правильная регулировка монитора поможет не только сохранить здоровье но и продлить срок службы монитора. Периодическое тестирование монитора позволит найти дефекты а также позволит при покупки монитора выявить брак. Первое свое применение жидкие кристаллы нашли в дисплеях для калькуляторов и в кварцевых часах а затем их стали использовать в мониторах для портативных компьютеров.
49435. Одноэтажное промышленное здание из сборных железобетонных конструкций 3.47 MB
  При компоновки пространственного каркаса здания с учетом рекомендаций главы XIII "Конструкции одноэтажных промышленных зданий" принимаем: -деформационных и температурных швов не требуется, так как размеры здания, согласно таблице X.1 , меньше температурно-деформационных блоков для нашего типа здания ( м); -колонны торцов здания смещены с поперечной оси здания на 500 мм