19034

Водородоподобный атом. Уровни энергии и волновые функции. Кратность вырождения. Сферический осциллятор. Решение уравнения Шредингера в декартовых и сферических координатах

Лекция

Физика

Лекция 16 Водородоподобный атом. Уровни энергии и волновые функции. Кратность вырождения. Сферический осциллятор. Решение уравнения Шредингера в декартовых и сферических координатах Найдем уровни энергии и общие собственные функции операторов и . для частицы масс...

Русский

2013-07-11

800.5 KB

57 чел.

Лекция 16

Водородоподобный атом. Уровни энергии и волновые функции. Кратность вырождения. Сферический осциллятор. Решение уравнения Шредингера в декартовых и сферических координатах

Найдем уровни энергии и общие собственные функции операторов ,  и . для частицы массой  и зарядом , движущейся в кулоновском поле притяжения

     (1)

Собственные функции перечисленных операторов имеют вид , причем радиальные функции  удовлетворяют уравнению

   (2)

и граничному условию . Введем безразмерную координату , где  - величина, имеющая размерность длины и называемая боровским радиусом атома (в дальнейшем для упрощения записи формул штрих у безразмерной координаты опущен). В новых переменных уравнение (1) имеет вид

    (3)

где  - безразмерное собственное значение (которое для состояний дискретного спектра является положительным). Перейдем в уравнении (3) к новой неизвестной функции : . Подставляя эту функцию в уравнение (3), получим уравнение для новой неизвестной функции :

    (4)

Ищем решение уравнения (4) в виде степенного ряда

     (5)

где  - неизвестные коэффициенты. Подставляя выражение (5) в уравнение (4), получим

 (6)

Меняя в первой и второй суммах индекс суммирования и собирая слагаемые с одинаковыми степенями , получим рекуррентное соотношение для коэффициентов ряда (5)

    (7)

Для больших номеров  соотношение (7) сводится к

     (8)

и, следовательно, для больших номеров ряд (5) имеет вид

   (9)

Таким образом, решение уравнения (2)  расходится при . Следовательно, чтобы существовали ограниченные решения уравнения (1), ряд (5), (8) должен точно оборваться на каком-то шаге. В этом случае все слагаемые ряда, начиная с некоторого, равны нулю, а функция  является многочленом. Ряд (5), (8) точно обрывается, если

     (10)

где  - целое неотрицательное число, имеющее смысл радиального квантового числа (в этой задаче минимальное значение квантового числа  выбрано равным нулю). Следовательно, собственные значения оператора Гамильтона  (которые можно отметить двумя индексами  и ) имеют вид

    (11)

При этом функции  являются многочленами степени  (коэффициенты этих многочленов зависят от числа , которое входит в рекуррентное соотношение (7)). В математике эти многочлены (с определенной нормировкой) называются обобщенными полиномами Лагерра. Найдем несколько первых полиномов.

Сначала для уравнения с .

, . Ряд обрывается на первом слагаемом, если . В этом случае , где нулевой коэффициент ряда  может быть выбран любым.

, . Ряд обрывается на втором слагаемом, если . В этом случае , и, следовательно, .

, . Ряд обрывается на третьем слагаемом, если . В этом случае , , и, следовательно, .

Уравнение с .

, . Ряд обрывается на первом слагаемом, если . В этом случае .

, . Ряд обрывается на втором слагаемом, если . В этом случае , и, следовательно, .

, . Ряд обрывается на третьем слагаемом, если . В этом случае , , и, следовательно, .

Аналогично можно найти решения, отвечающие любым квантовым числам  и .

Как следует из формулы (11), уровни энергии частицы в кулоновском поле можно перечислить с помощью одного целого положительного числа : , при этом, как следует из этого утверждения, имеет место вырождение состояний по моменту. Состояния с разными  и  вырождены, если сумма квантовых чисел  и  для этих состояний одинакова. Кратность вырождения находится из следующих очевидных рассуждений. Поскольку , для уровня с данным  момент импульса  может принимать  значений от  до . При этом для каждого значения  существуют  состояний, отличающихся проекций момента импульса на ось . Поэтому данному уровню отвечают

  (12)

различных вырожденных собственных состояний.

Построим волновые функции нескольких первых собственных состояний.

(основное состояние). . Значению  отвечает единственная пара квантовых чисел  и , поэтому основное состояние не вырождено. Волновая функция основного состояния не зависит от углов и имеет вид (напомним, что во всех нижеследующих формулах (13)-(18)  - безразмерный радиус-вектор).

  (13)

(первый возбужденный уровень). . Значению  отвечает две пары квантовых чисел ,  и , .  Поэтому первый возбужденный уровень вырожден. Волновые функции состояний, отвечающих первому возбужденному уровню имеют вид

 (14)

  (15)

(второй возбужденный уровень). . Значению  отвечает три пары квантовых чисел  и ,  и ,  и . Волновые функции состояний, отвечающих второму возбужденному уровню имеют вид

 (16)

  (17)

   (18)

Обратим внимание на то, что все волновые функции каждого уровня содержат одинаковую экспоненту:  - для первого,  - для второго,  - для третьего и т.д. Это значит, что можно говорить об определенной локализации уровней энергии в кулоновском поле в пространстве:  - для первого уровня (напомним, что  здесь – безразмерная координата, в размерных единицах - , где  - боровский радиус),  - для второго уровня,  - для третьего уровня и т.д.

Рассмотрим теперь частицу, движущуюся в потенциале

  (19)

которую принято называть сферическим (или трехмерным изотропным) осциллятором. Уравнение Шредингера

 (20)

для такой частицы допускает разделение переменных. Ищем решение уравнения (20) в виде . Подставляя эту функцию в уравнение, получим

 (21)

Так как первое слагаемое уравнения (21) зависит только от , второе - только от , а третье - только от , то равенство (2) может удовлетворяться только в том случае, когда первое, второе и третье слагаемые формулы (2) равны некоторым постоянным , , . Поэтому функции ,  и  удовлетворяют независимым уравнениям

    (22)

    (23)

    (24)

Собственное значение  равно сумме собственных значений .

Уравнения (22), (23) и (24) совпадают с уравнением Шредингера для одномерного осциллятора. Решения этого уравнения найдены в лекции, посвященной одномерному осциллятору:

 

     (25)

откуда находим, что энергии и волновые функции стационарных состояний сферического осциллятора определяются тремя квантовыми числами :

  (26)

     (27)

причем квантовые числа  независимо друг от друга могут принимать значения 0,1,2,3,...

(эти квантовые числа, которые возникают при решении уравнения Шредингера в декартовых координатах, часто называют «декартовыми»). Из (27) следует, что все уровни энергии сферического осциллятора можно описать формулой , где  - целое неотрицательное число, причем основному состоянию отвечает .

Очевидно, собственные значения  совпадают для таких наборов квантовых чисел , сумма которых одинакова. В этом случае различным собственным состояниям отвечает одинаковая энергия, то есть эти состояния вырождены. Поэтому кратность вырождения -го уровня энергии осциллятора равна количеству способов, которыми можно представить число  как сумму трех неотрицательных целых чисел. Вычислим кратность вырождения. При фиксированном квантовом числе  числа  и  могут принимать столько разных вариантов значений, сколькими способами можно целое неотрицательное число  представить как сумму неотрицательных целых чисел  и , то есть  способов. А поскольку квантовое число  может принимать любые значения от  до , то кратность вырождения -го уровня сферического осциллятора  равна

    (28)

Таким образом, основное состояние сферического осциллятора () не вырождено (), ему отвечает единственная собственная функция

   (29)

Первое возбужденное состояние имеет кратность вырождения , ему отвечают три различных собственных функции

   (30)

Кратность вырождения второго возбужденного состояния равна , третьего -  и т.д.

Формула (26) дает собственные функции осциллятора в декартовых координатах. С другой стороны, все состояния такого осциллятора можно классифицировать по квантовым числам ,  и , поскольку поле – центрально. При этом волновые функции  не обязаны совпадать с  из-за вырождения уровней энергии сферического осциллятора.

Для нахождения этих функций необходимо решить уравнение Шредингера в сферических координатах. Однако для уровней с маленькими квантовыми числами состояния можно классифицировать по квантовым числам ,  и , исходя только из кратностей вырождения уровней.

Основное состояние. Поскольку в любом сферически-симметричном потенциале все состояния за исключением состояний с  вырождены по проекции момента, а кратность вырождения основного состояния равна единице, то основному состоянию отвечают квантовые числа , . А поскольку это состояние с самой маленькой энергией, то  (в задаче о сферическом осцилляторе нумерацию радиальных квантовых чисел удобно начинать от нуля).

Первый возбужденный уровень энергии. Кратность вырождения первого возбужденного уровня осциллятора равна . Поэтому первому возбужденному уровню осциллятора отвечают квантовые числа , . При этом три собственные функции можно выбрать так, чтобы в каждом из собственных состояний имела определенное значение проекция момента на ось : .

Второй возбужденный уровень энергии. Кратность вырождения второго возбужденного уровня равна . Отвечающие ему состояния не могут иметь никакие моменты, кроме . Учитывая, что кратность вырождения состояний с определенным моментом  по проекции момента равна , получаем квантовые числа состояний, отвечающих второму энергетическому уровню: , ,  и , , . Как видно из этих рассуждений имеет место вырождение по моменту: энергии собственных состояний с  () и с  () одинаковы.

5


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

83529. Голова дипломатичного представництва. Початок місії голови дипломатичного представництва. Закінчення місії голови дипломатичного представництва 35.69 KB
  Початок місії голови дипломатичного представництва. Закінчення місії голови дипломатичного представництва Віденська конвенція про дипломатичні зносини 1961 р. Голови постійних дипломатичних представництв перших двох класів акредитуються при голові держави а голова дипломатичною представництва третього класу при міністрі закордонних справ.
83530. Структура та персонал дипломатичних представництв. Дипломатичний корпус 36.28 KB
  Персонал дипломатичних представництв поділяється на три категорії: дипломатичний адміністративно-технічний і обслуговуючий. Членами дипломатичного персоналу є члени персоналу представництва які мають дипломатичний ранг. Дипломатичні ранги це службові звання які на відміну від встановлених міжнародним правом класів які призначені лише для голів представництв надаються дипломатичним працівникам на основі законодавства держави що їх акредитує.
83531. Дипломатичні привілеї та імунітети 34.74 KB
  Дипломатичні привілеї деякі особливі права пільги та переваги які надаються дипломатичним представництвам та їх персоналу. дипломатичні імунітети і привілеї поділені на імунітети і привілеї дипломатичного представництва та особисті імунітети і привілеї членів дипломатичного персоналу та їхніх родин. До другої категорії відносяться: особиста недоторканість недоторканість особистої резиденцій повний імунітет від кримінальної юрисдикції держави перебування а також від цивільної і адміністративної юрисдикції у відношенні виконавчих дій...
83532. Поняття та джерела консульського права. Встановлення консульських відносин 33.53 KB
  Встановлення консульських відносин. Консульське право сукупність міжнародноправових норм що регламентують правове положення та порядок діяльності консульських установ. Важливу роль у консульських відносинах відіграють двосторонні консульські конвенції у яких крім врегулювання загальних питань закріплюються особливості здійснення консульських відносин між конкретними державами. Загальні засада діяльності консульських установ також визначаються актами національного законодавства зокрема Консульським статутом України затвердженим Указом...
83533. Класи консульських установ. Функції консульських установ 36.75 KB
  Функції консульських установ. передбачає наступні класи консульських установ: генеральні консульства консульства; віцеконсульства; консульські агентства. Голови цих консульських установ йменуються відповідно генеральний консул консул віцеконсул і консульський агент.
83534. Початок і закінчення консульських місій 35.4 KB
  Голові консульської установи надається консульський патент державою що представляється. До виконання своїх обов\'язків голова консульської установи може приступити лише після отримання дозволу держави перебування який має назву екзекватура. Початком консульської місії голови консульської установи вважається момент видачі йому екзекватури інших консульських посадових осіб повідомлення країни перебування про їх прибуття з зазначенням імені прізвища посади рангу тощо. Консульська місія припиняється на наступних підставах: відкликання...
83535. Персонал консульської установи. Консульський корпус 33.02 KB
  На відміну від дипломатичних представництву склад консульських установ входять не три а дві категорії членів персоналу консульські посадові особи та співробітники консульської установи. До категорії консульських посадових осіб входять всі особи на яких покладено виконання консульських функції. Сукупність іноземних консульських представників у межах консульського округу в якому вони виконують свої функції називається консульським корпусом. У вузькому сенсі консульський корпус складається з глав консульських установ.
83536. Консульські імунітети та привілеї 34.97 KB
  В консульському праві як і в дипломатичному розрізняють дві категорії привілеїв та імунітетів: а привілеї та імунітети консульських установ; 6 привілеї та імунітети штатних консульських посадових осіб та інших працівників консульських установ. Найсуттєвішими в першій категорії є: недоторканність консульських приміщень; звільнення консульських приміщень від податків; недоторканність консульського архіву та документів; свобода зносин; безперешкодні зносини і контакти з громадянами держави що представляється. Другу категорію консульських...
83537. Право спеціальних місій 37.02 KB
  Функції спеціальної місії визначаються за взаємною згодою між державою що посилає і приймаючою державою. Для направлення або прийняття спеціальної місії не є необхідною наявність дипломатичних або консульських відносин між державами. За деякими виключеннями держава що посилає може на свій розсуд призначити членів спеціальної місії повідомивши попередньо приймаючій державі всю необхідну інформацію про чисельність і шал спеціальної місії і зокрема повідомивши про прізвища і посади осіб яких вона має намір призначити.