19034

Водородоподобный атом. Уровни энергии и волновые функции. Кратность вырождения. Сферический осциллятор. Решение уравнения Шредингера в декартовых и сферических координатах

Лекция

Физика

Лекция 16 Водородоподобный атом. Уровни энергии и волновые функции. Кратность вырождения. Сферический осциллятор. Решение уравнения Шредингера в декартовых и сферических координатах Найдем уровни энергии и общие собственные функции операторов и . для частицы масс...

Русский

2013-07-11

800.5 KB

55 чел.

Лекция 16

Водородоподобный атом. Уровни энергии и волновые функции. Кратность вырождения. Сферический осциллятор. Решение уравнения Шредингера в декартовых и сферических координатах

Найдем уровни энергии и общие собственные функции операторов ,  и . для частицы массой  и зарядом , движущейся в кулоновском поле притяжения

     (1)

Собственные функции перечисленных операторов имеют вид , причем радиальные функции  удовлетворяют уравнению

   (2)

и граничному условию . Введем безразмерную координату , где  - величина, имеющая размерность длины и называемая боровским радиусом атома (в дальнейшем для упрощения записи формул штрих у безразмерной координаты опущен). В новых переменных уравнение (1) имеет вид

    (3)

где  - безразмерное собственное значение (которое для состояний дискретного спектра является положительным). Перейдем в уравнении (3) к новой неизвестной функции : . Подставляя эту функцию в уравнение (3), получим уравнение для новой неизвестной функции :

    (4)

Ищем решение уравнения (4) в виде степенного ряда

     (5)

где  - неизвестные коэффициенты. Подставляя выражение (5) в уравнение (4), получим

 (6)

Меняя в первой и второй суммах индекс суммирования и собирая слагаемые с одинаковыми степенями , получим рекуррентное соотношение для коэффициентов ряда (5)

    (7)

Для больших номеров  соотношение (7) сводится к

     (8)

и, следовательно, для больших номеров ряд (5) имеет вид

   (9)

Таким образом, решение уравнения (2)  расходится при . Следовательно, чтобы существовали ограниченные решения уравнения (1), ряд (5), (8) должен точно оборваться на каком-то шаге. В этом случае все слагаемые ряда, начиная с некоторого, равны нулю, а функция  является многочленом. Ряд (5), (8) точно обрывается, если

     (10)

где  - целое неотрицательное число, имеющее смысл радиального квантового числа (в этой задаче минимальное значение квантового числа  выбрано равным нулю). Следовательно, собственные значения оператора Гамильтона  (которые можно отметить двумя индексами  и ) имеют вид

    (11)

При этом функции  являются многочленами степени  (коэффициенты этих многочленов зависят от числа , которое входит в рекуррентное соотношение (7)). В математике эти многочлены (с определенной нормировкой) называются обобщенными полиномами Лагерра. Найдем несколько первых полиномов.

Сначала для уравнения с .

, . Ряд обрывается на первом слагаемом, если . В этом случае , где нулевой коэффициент ряда  может быть выбран любым.

, . Ряд обрывается на втором слагаемом, если . В этом случае , и, следовательно, .

, . Ряд обрывается на третьем слагаемом, если . В этом случае , , и, следовательно, .

Уравнение с .

, . Ряд обрывается на первом слагаемом, если . В этом случае .

, . Ряд обрывается на втором слагаемом, если . В этом случае , и, следовательно, .

, . Ряд обрывается на третьем слагаемом, если . В этом случае , , и, следовательно, .

Аналогично можно найти решения, отвечающие любым квантовым числам  и .

Как следует из формулы (11), уровни энергии частицы в кулоновском поле можно перечислить с помощью одного целого положительного числа : , при этом, как следует из этого утверждения, имеет место вырождение состояний по моменту. Состояния с разными  и  вырождены, если сумма квантовых чисел  и  для этих состояний одинакова. Кратность вырождения находится из следующих очевидных рассуждений. Поскольку , для уровня с данным  момент импульса  может принимать  значений от  до . При этом для каждого значения  существуют  состояний, отличающихся проекций момента импульса на ось . Поэтому данному уровню отвечают

  (12)

различных вырожденных собственных состояний.

Построим волновые функции нескольких первых собственных состояний.

(основное состояние). . Значению  отвечает единственная пара квантовых чисел  и , поэтому основное состояние не вырождено. Волновая функция основного состояния не зависит от углов и имеет вид (напомним, что во всех нижеследующих формулах (13)-(18)  - безразмерный радиус-вектор).

  (13)

(первый возбужденный уровень). . Значению  отвечает две пары квантовых чисел ,  и , .  Поэтому первый возбужденный уровень вырожден. Волновые функции состояний, отвечающих первому возбужденному уровню имеют вид

 (14)

  (15)

(второй возбужденный уровень). . Значению  отвечает три пары квантовых чисел  и ,  и ,  и . Волновые функции состояний, отвечающих второму возбужденному уровню имеют вид

 (16)

  (17)

   (18)

Обратим внимание на то, что все волновые функции каждого уровня содержат одинаковую экспоненту:  - для первого,  - для второго,  - для третьего и т.д. Это значит, что можно говорить об определенной локализации уровней энергии в кулоновском поле в пространстве:  - для первого уровня (напомним, что  здесь – безразмерная координата, в размерных единицах - , где  - боровский радиус),  - для второго уровня,  - для третьего уровня и т.д.

Рассмотрим теперь частицу, движущуюся в потенциале

  (19)

которую принято называть сферическим (или трехмерным изотропным) осциллятором. Уравнение Шредингера

 (20)

для такой частицы допускает разделение переменных. Ищем решение уравнения (20) в виде . Подставляя эту функцию в уравнение, получим

 (21)

Так как первое слагаемое уравнения (21) зависит только от , второе - только от , а третье - только от , то равенство (2) может удовлетворяться только в том случае, когда первое, второе и третье слагаемые формулы (2) равны некоторым постоянным , , . Поэтому функции ,  и  удовлетворяют независимым уравнениям

    (22)

    (23)

    (24)

Собственное значение  равно сумме собственных значений .

Уравнения (22), (23) и (24) совпадают с уравнением Шредингера для одномерного осциллятора. Решения этого уравнения найдены в лекции, посвященной одномерному осциллятору:

 

     (25)

откуда находим, что энергии и волновые функции стационарных состояний сферического осциллятора определяются тремя квантовыми числами :

  (26)

     (27)

причем квантовые числа  независимо друг от друга могут принимать значения 0,1,2,3,...

(эти квантовые числа, которые возникают при решении уравнения Шредингера в декартовых координатах, часто называют «декартовыми»). Из (27) следует, что все уровни энергии сферического осциллятора можно описать формулой , где  - целое неотрицательное число, причем основному состоянию отвечает .

Очевидно, собственные значения  совпадают для таких наборов квантовых чисел , сумма которых одинакова. В этом случае различным собственным состояниям отвечает одинаковая энергия, то есть эти состояния вырождены. Поэтому кратность вырождения -го уровня энергии осциллятора равна количеству способов, которыми можно представить число  как сумму трех неотрицательных целых чисел. Вычислим кратность вырождения. При фиксированном квантовом числе  числа  и  могут принимать столько разных вариантов значений, сколькими способами можно целое неотрицательное число  представить как сумму неотрицательных целых чисел  и , то есть  способов. А поскольку квантовое число  может принимать любые значения от  до , то кратность вырождения -го уровня сферического осциллятора  равна

    (28)

Таким образом, основное состояние сферического осциллятора () не вырождено (), ему отвечает единственная собственная функция

   (29)

Первое возбужденное состояние имеет кратность вырождения , ему отвечают три различных собственных функции

   (30)

Кратность вырождения второго возбужденного состояния равна , третьего -  и т.д.

Формула (26) дает собственные функции осциллятора в декартовых координатах. С другой стороны, все состояния такого осциллятора можно классифицировать по квантовым числам ,  и , поскольку поле – центрально. При этом волновые функции  не обязаны совпадать с  из-за вырождения уровней энергии сферического осциллятора.

Для нахождения этих функций необходимо решить уравнение Шредингера в сферических координатах. Однако для уровней с маленькими квантовыми числами состояния можно классифицировать по квантовым числам ,  и , исходя только из кратностей вырождения уровней.

Основное состояние. Поскольку в любом сферически-симметричном потенциале все состояния за исключением состояний с  вырождены по проекции момента, а кратность вырождения основного состояния равна единице, то основному состоянию отвечают квантовые числа , . А поскольку это состояние с самой маленькой энергией, то  (в задаче о сферическом осцилляторе нумерацию радиальных квантовых чисел удобно начинать от нуля).

Первый возбужденный уровень энергии. Кратность вырождения первого возбужденного уровня осциллятора равна . Поэтому первому возбужденному уровню осциллятора отвечают квантовые числа , . При этом три собственные функции можно выбрать так, чтобы в каждом из собственных состояний имела определенное значение проекция момента на ось : .

Второй возбужденный уровень энергии. Кратность вырождения второго возбужденного уровня равна . Отвечающие ему состояния не могут иметь никакие моменты, кроме . Учитывая, что кратность вырождения состояний с определенным моментом  по проекции момента равна , получаем квантовые числа состояний, отвечающих второму энергетическому уровню: , ,  и , , . Как видно из этих рассуждений имеет место вырождение по моменту: энергии собственных состояний с  () и с  () одинаковы.

5


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

31613. СПАДКОВІСТЬ І ПАТОЛОГІЯ 85.5 KB
  Першу групу складають власне спадкові хвороби у яких етіологічну роль відіграє зміна спадкових структур роль середовища полягає лише в модифікації проявів захворювання. У цю групу входять: генні і хромосомні хвороби. □ Друга група екогенетична спадкові хвороби обумовлені патологічною мутацією однак для їх прояву необхідний специфічний вплив середовища. Основним етіологічним фактором у їх виникненні є несприятливий вплив середовища але реалізація дії фактора залежить від індивідуальної генетично детермінованої схильності організму у...
31614. УШКОДЖЕННЯ КЛІТИНИ 80 KB
  2 У залежності від ступеня порушень внутрішньоклітинного гомеостазу розрізняють: а зворотні зникають після припинення дії ушкоджуючого фактора б незворотні ведуть до загибелі клітини. 3 В залежності від періоду життєвого циклу клітини: а мітотичне і б інтерфазне. Насильницьке виникає у разі дії на здорову клітину фізичних хімічних і біологічних факторів інтенсивність яких перевищує порогові подразнення до яких клітина адаптувалася Цитопатичне виникає внаслідок первинного порушення захиснопристосувальних...
31615. АНЕМІЇ 83.5 KB
  Механічний гемоліз виникає внаслідок механічного руйнування еритроцитів при роздавлюванні еритроцитів у судинах стопи маршовий гемоліз. Окисний гемоліз розвивається унаслідок вільнорадикального окислювання ліпідів і білків плазматичної мембрани еритроцитів коли збільшується проникність еритроцитарної мембрани що надалі веде до реалізації осмотичного механізму гемолізу. Детергентний гемоліз зв’язаний з розчиненням ліпідних компонентів мембрани еритроцитів речовинамидетергентами.
31616. АРИТМІЇ СЕРЦЯ а головною причиною раптової смерті при серцевій патології у 93 є. 68 KB
  1 Номотопні аритмії при яких генерація імпульсів як і в нормі відбувається пейсмейкерними клітинами pce nd mker Рклітинами в синуснопередсердному вузлі. За цих умов генерація імпульсів відбувається не в синуснопередсердному вузлі а в інших структурах провідної системи що є водіями ритму II і III порядку. При цьому можуть розвиватися наступні види патологічних ритмів серця: а передсердний повільний ритм водій ритму знаходиться в структурах лівого передсердя частота серцевих скорочень менше 70 у 1 хв; б атріовентрикулярний...
31617. ГАРЯЧКА 74.5 KB
  Температура тіла безумовно не може служити в цьому розумінні універсальним критерієм однак не залежне від зовнішньої температури “саморозігрівання†організму супроводжує багато різноманітних за походженням хвороб маючи при цьому у своїй основі єдиний патофізіологічний механізм. Гарячка проявляється тимчасовим підвищенням температури тіла не залежно від температури зовнішнього середовища і звичайно супроводжується рядом характерних змін обміну речовин і фізіологічних функцій. 2 Нейрони “заданого рівня температури†група...
31618. ГІПОКСІЯ 82 KB
  І Екзогенний тип гіпоксії гіпоксична гіпоксія виникає внаслідок зменшення парціального тиску кисню у повітрі. При підйомі в гори з врахуванням ознак гіпоксії що розвивається виділяють наступні зони: I. Висотна хвороба гостра чи блискавична форма гіпоксичної гіпоксії яка виникає під час висотних польотів у літальних апаратах з кабінами відкритого типу чи при порушенні герметичності кабін закритого типу. Патогенетичною основою екзогенного типу гіпоксії у всіх випадках є артеріальна гіпоксемія тобто зменшення тиску кисню в...
31619. ЕКСТРЕМАЛЬНІ СТАНИ 132.5 KB
  Велика кількість крові скопичується в розширених венозних і артеріальних судинах черевної порожнини легень підшкірної клітковини що значно зменшує ОЦК і АТ і отже приплив крові до серця. Обумовлене цим зниження серцевого викиду крові приводить до ще більшого зменшення ОЦК і АТ що ускладнює стан пацієнта. У результаті зазначених змін розвивається комплекс закономірних стереотипних взаємозалежних змін в організмі до яких відносять тріаду характерних порушень: 1 Розлади і недостатність функцій органів і фізіологічних систем:...
31620. ЗАПАЛЕННЯ. Фагоцитоз 78 KB
  Потім в ділянку запалення виходять мононуклеарні фагоцити моноцити які фагоцитують не тільки мікроорганізми а і зруйновані клітини. Головне завдання лейкоцитів в зоні запалення – фагоцитоз мікроорганізмів і продуктів розпаду пошкоджених клітин. □ Рецептороопосередковані механізми обумовлюються існуванням на поверхні фагоцитів спеціальних рецепторів для молекул які входять до складу мікробної стінки наприклад для вуглеводню зімозану або для молекул які з‘являються на поверхні власних нежиттєздатних клітин зони запалення.
31621. Запалення. Етіологія запалення 99.5 KB
  Крім того запалення є важливою захиснопристосувальною реакцією яка сформувалася в процесі еволюції як засіб збереження цілого організму за рахунок втрати його якоїсь певної частини. Запалення ушкоджує цілу структурнофункціональну одиницю тканини або органа яка носить назву гістіон і включає в себе: 1 специфічні для даної тканини чи органа клітини паренхіматозні клітини; 2 елементи сполучної тканини: а клітини фіброцити фібробласти моноцити гранулоцити тканині базофіли б сполучнотканинні волокна колагенові еластичні...