19034

Водородоподобный атом. Уровни энергии и волновые функции. Кратность вырождения. Сферический осциллятор. Решение уравнения Шредингера в декартовых и сферических координатах

Лекция

Физика

Лекция 16 Водородоподобный атом. Уровни энергии и волновые функции. Кратность вырождения. Сферический осциллятор. Решение уравнения Шредингера в декартовых и сферических координатах Найдем уровни энергии и общие собственные функции операторов и . для частицы масс...

Русский

2013-07-11

800.5 KB

59 чел.

Лекция 16

Водородоподобный атом. Уровни энергии и волновые функции. Кратность вырождения. Сферический осциллятор. Решение уравнения Шредингера в декартовых и сферических координатах

Найдем уровни энергии и общие собственные функции операторов ,  и . для частицы массой  и зарядом , движущейся в кулоновском поле притяжения

     (1)

Собственные функции перечисленных операторов имеют вид , причем радиальные функции  удовлетворяют уравнению

   (2)

и граничному условию . Введем безразмерную координату , где  - величина, имеющая размерность длины и называемая боровским радиусом атома (в дальнейшем для упрощения записи формул штрих у безразмерной координаты опущен). В новых переменных уравнение (1) имеет вид

    (3)

где  - безразмерное собственное значение (которое для состояний дискретного спектра является положительным). Перейдем в уравнении (3) к новой неизвестной функции : . Подставляя эту функцию в уравнение (3), получим уравнение для новой неизвестной функции :

    (4)

Ищем решение уравнения (4) в виде степенного ряда

     (5)

где  - неизвестные коэффициенты. Подставляя выражение (5) в уравнение (4), получим

 (6)

Меняя в первой и второй суммах индекс суммирования и собирая слагаемые с одинаковыми степенями , получим рекуррентное соотношение для коэффициентов ряда (5)

    (7)

Для больших номеров  соотношение (7) сводится к

     (8)

и, следовательно, для больших номеров ряд (5) имеет вид

   (9)

Таким образом, решение уравнения (2)  расходится при . Следовательно, чтобы существовали ограниченные решения уравнения (1), ряд (5), (8) должен точно оборваться на каком-то шаге. В этом случае все слагаемые ряда, начиная с некоторого, равны нулю, а функция  является многочленом. Ряд (5), (8) точно обрывается, если

     (10)

где  - целое неотрицательное число, имеющее смысл радиального квантового числа (в этой задаче минимальное значение квантового числа  выбрано равным нулю). Следовательно, собственные значения оператора Гамильтона  (которые можно отметить двумя индексами  и ) имеют вид

    (11)

При этом функции  являются многочленами степени  (коэффициенты этих многочленов зависят от числа , которое входит в рекуррентное соотношение (7)). В математике эти многочлены (с определенной нормировкой) называются обобщенными полиномами Лагерра. Найдем несколько первых полиномов.

Сначала для уравнения с .

, . Ряд обрывается на первом слагаемом, если . В этом случае , где нулевой коэффициент ряда  может быть выбран любым.

, . Ряд обрывается на втором слагаемом, если . В этом случае , и, следовательно, .

, . Ряд обрывается на третьем слагаемом, если . В этом случае , , и, следовательно, .

Уравнение с .

, . Ряд обрывается на первом слагаемом, если . В этом случае .

, . Ряд обрывается на втором слагаемом, если . В этом случае , и, следовательно, .

, . Ряд обрывается на третьем слагаемом, если . В этом случае , , и, следовательно, .

Аналогично можно найти решения, отвечающие любым квантовым числам  и .

Как следует из формулы (11), уровни энергии частицы в кулоновском поле можно перечислить с помощью одного целого положительного числа : , при этом, как следует из этого утверждения, имеет место вырождение состояний по моменту. Состояния с разными  и  вырождены, если сумма квантовых чисел  и  для этих состояний одинакова. Кратность вырождения находится из следующих очевидных рассуждений. Поскольку , для уровня с данным  момент импульса  может принимать  значений от  до . При этом для каждого значения  существуют  состояний, отличающихся проекций момента импульса на ось . Поэтому данному уровню отвечают

  (12)

различных вырожденных собственных состояний.

Построим волновые функции нескольких первых собственных состояний.

(основное состояние). . Значению  отвечает единственная пара квантовых чисел  и , поэтому основное состояние не вырождено. Волновая функция основного состояния не зависит от углов и имеет вид (напомним, что во всех нижеследующих формулах (13)-(18)  - безразмерный радиус-вектор).

  (13)

(первый возбужденный уровень). . Значению  отвечает две пары квантовых чисел ,  и , .  Поэтому первый возбужденный уровень вырожден. Волновые функции состояний, отвечающих первому возбужденному уровню имеют вид

 (14)

  (15)

(второй возбужденный уровень). . Значению  отвечает три пары квантовых чисел  и ,  и ,  и . Волновые функции состояний, отвечающих второму возбужденному уровню имеют вид

 (16)

  (17)

   (18)

Обратим внимание на то, что все волновые функции каждого уровня содержат одинаковую экспоненту:  - для первого,  - для второго,  - для третьего и т.д. Это значит, что можно говорить об определенной локализации уровней энергии в кулоновском поле в пространстве:  - для первого уровня (напомним, что  здесь – безразмерная координата, в размерных единицах - , где  - боровский радиус),  - для второго уровня,  - для третьего уровня и т.д.

Рассмотрим теперь частицу, движущуюся в потенциале

  (19)

которую принято называть сферическим (или трехмерным изотропным) осциллятором. Уравнение Шредингера

 (20)

для такой частицы допускает разделение переменных. Ищем решение уравнения (20) в виде . Подставляя эту функцию в уравнение, получим

 (21)

Так как первое слагаемое уравнения (21) зависит только от , второе - только от , а третье - только от , то равенство (2) может удовлетворяться только в том случае, когда первое, второе и третье слагаемые формулы (2) равны некоторым постоянным , , . Поэтому функции ,  и  удовлетворяют независимым уравнениям

    (22)

    (23)

    (24)

Собственное значение  равно сумме собственных значений .

Уравнения (22), (23) и (24) совпадают с уравнением Шредингера для одномерного осциллятора. Решения этого уравнения найдены в лекции, посвященной одномерному осциллятору:

 

     (25)

откуда находим, что энергии и волновые функции стационарных состояний сферического осциллятора определяются тремя квантовыми числами :

  (26)

     (27)

причем квантовые числа  независимо друг от друга могут принимать значения 0,1,2,3,...

(эти квантовые числа, которые возникают при решении уравнения Шредингера в декартовых координатах, часто называют «декартовыми»). Из (27) следует, что все уровни энергии сферического осциллятора можно описать формулой , где  - целое неотрицательное число, причем основному состоянию отвечает .

Очевидно, собственные значения  совпадают для таких наборов квантовых чисел , сумма которых одинакова. В этом случае различным собственным состояниям отвечает одинаковая энергия, то есть эти состояния вырождены. Поэтому кратность вырождения -го уровня энергии осциллятора равна количеству способов, которыми можно представить число  как сумму трех неотрицательных целых чисел. Вычислим кратность вырождения. При фиксированном квантовом числе  числа  и  могут принимать столько разных вариантов значений, сколькими способами можно целое неотрицательное число  представить как сумму неотрицательных целых чисел  и , то есть  способов. А поскольку квантовое число  может принимать любые значения от  до , то кратность вырождения -го уровня сферического осциллятора  равна

    (28)

Таким образом, основное состояние сферического осциллятора () не вырождено (), ему отвечает единственная собственная функция

   (29)

Первое возбужденное состояние имеет кратность вырождения , ему отвечают три различных собственных функции

   (30)

Кратность вырождения второго возбужденного состояния равна , третьего -  и т.д.

Формула (26) дает собственные функции осциллятора в декартовых координатах. С другой стороны, все состояния такого осциллятора можно классифицировать по квантовым числам ,  и , поскольку поле – центрально. При этом волновые функции  не обязаны совпадать с  из-за вырождения уровней энергии сферического осциллятора.

Для нахождения этих функций необходимо решить уравнение Шредингера в сферических координатах. Однако для уровней с маленькими квантовыми числами состояния можно классифицировать по квантовым числам ,  и , исходя только из кратностей вырождения уровней.

Основное состояние. Поскольку в любом сферически-симметричном потенциале все состояния за исключением состояний с  вырождены по проекции момента, а кратность вырождения основного состояния равна единице, то основному состоянию отвечают квантовые числа , . А поскольку это состояние с самой маленькой энергией, то  (в задаче о сферическом осцилляторе нумерацию радиальных квантовых чисел удобно начинать от нуля).

Первый возбужденный уровень энергии. Кратность вырождения первого возбужденного уровня осциллятора равна . Поэтому первому возбужденному уровню осциллятора отвечают квантовые числа , . При этом три собственные функции можно выбрать так, чтобы в каждом из собственных состояний имела определенное значение проекция момента на ось : .

Второй возбужденный уровень энергии. Кратность вырождения второго возбужденного уровня равна . Отвечающие ему состояния не могут иметь никакие моменты, кроме . Учитывая, что кратность вырождения состояний с определенным моментом  по проекции момента равна , получаем квантовые числа состояний, отвечающих второму энергетическому уровню: , ,  и , , . Как видно из этих рассуждений имеет место вырождение по моменту: энергии собственных состояний с  () и с  () одинаковы.

5


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

82238. Конвергенция естественнонаучного и социально – гуманитарного знания в неклассической науке, эволюция и механизмы взаимодействия 42.89 KB
  Представители философия жизни Дильтей Ницше Зиммель Бергсон утверждают что жизнь первичная реальность органический прцесс для познания которого нужны интуиция понимание вживание вчувствование. Предмет социального познания культурно значимая индивидуальная действительность. Признается возможность объективного познания культурноисторических и соц явлений. Соцгум познание признается частным видом научного познания подчиняющимся общим научным закономерностям.
82239. Применение общенаучных достижений в социально-гуманитарном познании. Междисциплинарные связи и научная картина мира в социально-гуманитарных науках 34.93 KB
  Социальногуманитарные науки как и наука в целом всегда создают целостные картины общества. Научная картина общества это целостная система знаний которая объясняет основные законы возникновения и существования окружающей социальной действительности и систематизирует конкретные знания полученные в различных областях социальногуманитарных наук. Она представляет собой своеобразную модель общества включающую в себя общие понятия принципы гипотезы прежде всего обществознания которые сформулированы в терминах обыденного языка и...
82240. Индивидуальный и коллективный субъекты, формы их существования. Включённость сознания субъекта, его системы ценностей и интересов в объект исследования СГН 40.74 KB
  Означает ли сказанное что мы должны признать футбольную команду самостоятельным субъектом деятельности И не означает ли такое признание что мы приписываем собственную деятельность ее сознательно или стихийно сложившиеся надындивидуальные условия регулятивные механизмы и результаты некоему мифологическому субъекту вполне подобному Абсолютной Идее Гегеля действующей посредством живых людей Такова например позиция Э.Если мы не хотим впасть в какуюто туманную мистику или мифологию в понимании общества то можно ли вообще видеть в нем...
82241. Коммуникативная рациональность. Роль традиций, ценностей, образцов интерпритации и предрассудков (Г.Гадамер) в межсубъектном понимании и смыслополагании 38.92 KB
  Что такое понимание Можно ли рассматривать понимание только как знание наравне с эмпирическим и теоретическим знанием Несомненно понимание является знанием но знанием особенным имеющим специфические черты которые существенно отличают его от других видов знания. Так прежде всего необходимо рассматривать понимание как осмысление как выявление и реконструкцию смысла. Таким образом главной задачей герменевтики становится истолкование и понимание текстов. Дильтей полагает что главным методом данных наук является понимание.
82242. Методологические функции «предпосылочного знания» и регулятивных принципов в науке 34.35 KB
  Одновременно произошло уточнение понимания природы социальности и исследования в сфере философии науки должны раскрывать как и в каких формах социальный и культурно-исторический моменты входят в содержание знания и влияют на способы и результаты познавательной деятельности. Сегодня найдены реальные вполне адекватные формы и опосредующие механизмы такого воздействия в частности выявлена роль идеалов и норм философско-мировоззренческих предпосылок и оснований научного знания. Через них принимая форму ценностного сознания социальная и...
82243. Ценностные предпосылки как следствия коммуникативности СГН. Оценочные суждения в науке и необходимость «ценностной нейтральности» в социальном исследовании 34.11 KB
  Наиболее важной классификацией ценностей является их деление на абсолютные ценности, т.е., разделяемые всеми людьми (жизнь, здоровье, любовь, красота, истина, справедливость, свобода, счастье и т.д.) и относительные ценности, т.е., разделяемые только определенной группой людей (деньги, слава, наслаждение, власть, статус и т.д.).
82244. Принципы «логики социальных наук» К. Поппера 30.45 KB
  Признание того что ценности в науке выражают ее социокультурную обусловленность становится определяющим в философии и методологии науки особенно социально гуманитарного знания. В этом отличие науки от социального знания кот субъективно. Поппер утверждает что и естественный и соц науки имеют общий научный метод познания основаны на доказательствах. Согласно Адорно нельзя уравнивать соц и естеств науки.
82245. Роль научной картины мира, стиля научного познания, философских категорий и принципов, представлений здравого смысла в исследовательском процессе социально-гуманитарных наук 33.42 KB
  Все больше возрастает значимость понятия картина мира для методологии соцгум наук а развитие соцгум наук в свою очередь все активнее вводит гум составляющую в НКМ. Понимание КМ в соцгум науках не возможно без ориентации на человека понимания его места в культуре в мире способов видения им мира. В КМ соцгум наук нет противопоставления субъектачеловека и объектамира описываются лишь типы понимания мира включающего самого человека.
82246. Внебиологическое понимание жизни. Социокультурное и гуманитарное содержание понятия жизни (А.Бергсон. В. Дильтей. Философская антропология) 46.85 KB
  Социокультурное и гуманитарное содержание понятия жизни А. Философская антропология Проблема жизни относится к тем научным проблемам которые имеют несомненный философский смысл и значение. вопрос о сущности жизни; вопрос о происхождении или вечности жизни.