19034

Водородоподобный атом. Уровни энергии и волновые функции. Кратность вырождения. Сферический осциллятор. Решение уравнения Шредингера в декартовых и сферических координатах

Лекция

Физика

Лекция 16 Водородоподобный атом. Уровни энергии и волновые функции. Кратность вырождения. Сферический осциллятор. Решение уравнения Шредингера в декартовых и сферических координатах Найдем уровни энергии и общие собственные функции операторов и . для частицы масс...

Русский

2013-07-11

800.5 KB

57 чел.

Лекция 16

Водородоподобный атом. Уровни энергии и волновые функции. Кратность вырождения. Сферический осциллятор. Решение уравнения Шредингера в декартовых и сферических координатах

Найдем уровни энергии и общие собственные функции операторов ,  и . для частицы массой  и зарядом , движущейся в кулоновском поле притяжения

     (1)

Собственные функции перечисленных операторов имеют вид , причем радиальные функции  удовлетворяют уравнению

   (2)

и граничному условию . Введем безразмерную координату , где  - величина, имеющая размерность длины и называемая боровским радиусом атома (в дальнейшем для упрощения записи формул штрих у безразмерной координаты опущен). В новых переменных уравнение (1) имеет вид

    (3)

где  - безразмерное собственное значение (которое для состояний дискретного спектра является положительным). Перейдем в уравнении (3) к новой неизвестной функции : . Подставляя эту функцию в уравнение (3), получим уравнение для новой неизвестной функции :

    (4)

Ищем решение уравнения (4) в виде степенного ряда

     (5)

где  - неизвестные коэффициенты. Подставляя выражение (5) в уравнение (4), получим

 (6)

Меняя в первой и второй суммах индекс суммирования и собирая слагаемые с одинаковыми степенями , получим рекуррентное соотношение для коэффициентов ряда (5)

    (7)

Для больших номеров  соотношение (7) сводится к

     (8)

и, следовательно, для больших номеров ряд (5) имеет вид

   (9)

Таким образом, решение уравнения (2)  расходится при . Следовательно, чтобы существовали ограниченные решения уравнения (1), ряд (5), (8) должен точно оборваться на каком-то шаге. В этом случае все слагаемые ряда, начиная с некоторого, равны нулю, а функция  является многочленом. Ряд (5), (8) точно обрывается, если

     (10)

где  - целое неотрицательное число, имеющее смысл радиального квантового числа (в этой задаче минимальное значение квантового числа  выбрано равным нулю). Следовательно, собственные значения оператора Гамильтона  (которые можно отметить двумя индексами  и ) имеют вид

    (11)

При этом функции  являются многочленами степени  (коэффициенты этих многочленов зависят от числа , которое входит в рекуррентное соотношение (7)). В математике эти многочлены (с определенной нормировкой) называются обобщенными полиномами Лагерра. Найдем несколько первых полиномов.

Сначала для уравнения с .

, . Ряд обрывается на первом слагаемом, если . В этом случае , где нулевой коэффициент ряда  может быть выбран любым.

, . Ряд обрывается на втором слагаемом, если . В этом случае , и, следовательно, .

, . Ряд обрывается на третьем слагаемом, если . В этом случае , , и, следовательно, .

Уравнение с .

, . Ряд обрывается на первом слагаемом, если . В этом случае .

, . Ряд обрывается на втором слагаемом, если . В этом случае , и, следовательно, .

, . Ряд обрывается на третьем слагаемом, если . В этом случае , , и, следовательно, .

Аналогично можно найти решения, отвечающие любым квантовым числам  и .

Как следует из формулы (11), уровни энергии частицы в кулоновском поле можно перечислить с помощью одного целого положительного числа : , при этом, как следует из этого утверждения, имеет место вырождение состояний по моменту. Состояния с разными  и  вырождены, если сумма квантовых чисел  и  для этих состояний одинакова. Кратность вырождения находится из следующих очевидных рассуждений. Поскольку , для уровня с данным  момент импульса  может принимать  значений от  до . При этом для каждого значения  существуют  состояний, отличающихся проекций момента импульса на ось . Поэтому данному уровню отвечают

  (12)

различных вырожденных собственных состояний.

Построим волновые функции нескольких первых собственных состояний.

(основное состояние). . Значению  отвечает единственная пара квантовых чисел  и , поэтому основное состояние не вырождено. Волновая функция основного состояния не зависит от углов и имеет вид (напомним, что во всех нижеследующих формулах (13)-(18)  - безразмерный радиус-вектор).

  (13)

(первый возбужденный уровень). . Значению  отвечает две пары квантовых чисел ,  и , .  Поэтому первый возбужденный уровень вырожден. Волновые функции состояний, отвечающих первому возбужденному уровню имеют вид

 (14)

  (15)

(второй возбужденный уровень). . Значению  отвечает три пары квантовых чисел  и ,  и ,  и . Волновые функции состояний, отвечающих второму возбужденному уровню имеют вид

 (16)

  (17)

   (18)

Обратим внимание на то, что все волновые функции каждого уровня содержат одинаковую экспоненту:  - для первого,  - для второго,  - для третьего и т.д. Это значит, что можно говорить об определенной локализации уровней энергии в кулоновском поле в пространстве:  - для первого уровня (напомним, что  здесь – безразмерная координата, в размерных единицах - , где  - боровский радиус),  - для второго уровня,  - для третьего уровня и т.д.

Рассмотрим теперь частицу, движущуюся в потенциале

  (19)

которую принято называть сферическим (или трехмерным изотропным) осциллятором. Уравнение Шредингера

 (20)

для такой частицы допускает разделение переменных. Ищем решение уравнения (20) в виде . Подставляя эту функцию в уравнение, получим

 (21)

Так как первое слагаемое уравнения (21) зависит только от , второе - только от , а третье - только от , то равенство (2) может удовлетворяться только в том случае, когда первое, второе и третье слагаемые формулы (2) равны некоторым постоянным , , . Поэтому функции ,  и  удовлетворяют независимым уравнениям

    (22)

    (23)

    (24)

Собственное значение  равно сумме собственных значений .

Уравнения (22), (23) и (24) совпадают с уравнением Шредингера для одномерного осциллятора. Решения этого уравнения найдены в лекции, посвященной одномерному осциллятору:

 

     (25)

откуда находим, что энергии и волновые функции стационарных состояний сферического осциллятора определяются тремя квантовыми числами :

  (26)

     (27)

причем квантовые числа  независимо друг от друга могут принимать значения 0,1,2,3,...

(эти квантовые числа, которые возникают при решении уравнения Шредингера в декартовых координатах, часто называют «декартовыми»). Из (27) следует, что все уровни энергии сферического осциллятора можно описать формулой , где  - целое неотрицательное число, причем основному состоянию отвечает .

Очевидно, собственные значения  совпадают для таких наборов квантовых чисел , сумма которых одинакова. В этом случае различным собственным состояниям отвечает одинаковая энергия, то есть эти состояния вырождены. Поэтому кратность вырождения -го уровня энергии осциллятора равна количеству способов, которыми можно представить число  как сумму трех неотрицательных целых чисел. Вычислим кратность вырождения. При фиксированном квантовом числе  числа  и  могут принимать столько разных вариантов значений, сколькими способами можно целое неотрицательное число  представить как сумму неотрицательных целых чисел  и , то есть  способов. А поскольку квантовое число  может принимать любые значения от  до , то кратность вырождения -го уровня сферического осциллятора  равна

    (28)

Таким образом, основное состояние сферического осциллятора () не вырождено (), ему отвечает единственная собственная функция

   (29)

Первое возбужденное состояние имеет кратность вырождения , ему отвечают три различных собственных функции

   (30)

Кратность вырождения второго возбужденного состояния равна , третьего -  и т.д.

Формула (26) дает собственные функции осциллятора в декартовых координатах. С другой стороны, все состояния такого осциллятора можно классифицировать по квантовым числам ,  и , поскольку поле – центрально. При этом волновые функции  не обязаны совпадать с  из-за вырождения уровней энергии сферического осциллятора.

Для нахождения этих функций необходимо решить уравнение Шредингера в сферических координатах. Однако для уровней с маленькими квантовыми числами состояния можно классифицировать по квантовым числам ,  и , исходя только из кратностей вырождения уровней.

Основное состояние. Поскольку в любом сферически-симметричном потенциале все состояния за исключением состояний с  вырождены по проекции момента, а кратность вырождения основного состояния равна единице, то основному состоянию отвечают квантовые числа , . А поскольку это состояние с самой маленькой энергией, то  (в задаче о сферическом осцилляторе нумерацию радиальных квантовых чисел удобно начинать от нуля).

Первый возбужденный уровень энергии. Кратность вырождения первого возбужденного уровня осциллятора равна . Поэтому первому возбужденному уровню осциллятора отвечают квантовые числа , . При этом три собственные функции можно выбрать так, чтобы в каждом из собственных состояний имела определенное значение проекция момента на ось : .

Второй возбужденный уровень энергии. Кратность вырождения второго возбужденного уровня равна . Отвечающие ему состояния не могут иметь никакие моменты, кроме . Учитывая, что кратность вырождения состояний с определенным моментом  по проекции момента равна , получаем квантовые числа состояний, отвечающих второму энергетическому уровню: , ,  и , , . Как видно из этих рассуждений имеет место вырождение по моменту: энергии собственных состояний с  () и с  () одинаковы.

5


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36218. Имитация Марковских процессов с непрерывным временем и дискретными состояниями. Планирование машинных экспериментов при имитационном моделировании 91.5 KB
  Например пусть 1 время через которое должен произойти переход в состояние Sj1 а 2 время через которое должен произойти переход в состояние Sj2. Обозначим Т время в течении которого будем наблюдать имитируемый процесс время прогона. Для тех дуг что i = k0 сформировать с помощью датчика случайных чисел k0 j время ожидания перехода Sk0 Sj. Определить время пребывания в состоянии Sk0 через какое время будет реальный переход в новое состояние.
36219. Классификация моделей оптимального синтеза. Методы релаксации в непрерывной оптимизации, условия сходимости. Алгоритмы градиентного метода и методов сопряжённых градиентов 119 KB
  Задача линейного программирования ЛП функции критериев qkx и ограничений fix линейны; если хотя бы одна из этих функций нелинейна то имеем задачу нелинейного программирования НЛП. Задача выпуклого программирования функции критериев qkx и ограничений fix выпуклые. Задача линейного целочисленного программирования функции критериев qkx и ограничений fix линейны контролируемые входные переменные хj целые числа. Оценка приращения функции Лемма 6.
36220. Теоретические основы линейного программирования. Симплекс-метод. Метод искусственного базиса 93.5 KB
  Канонической формой задачи ЛП называется такая ее запись при которой 1 целевая функция должна быть минимизирована; 2 все искомые переменные должны быть неотрицательны; 3 все ограничения кроме неотрицательности переменных имеют вид равенства. Оптимальные значения переменных от такой замены не изменятся. 2 Если в исходной задаче на какойто параметр хj не наложено условие неотрицательности то можно сделать замену переменных положив где новые переменные удовлетворяющие условию неотрицательности. 3 Преобразование неравенств в...
36221. Очередь. Работа с динамической очередью 246 KB
  Например: Работа с очередью Для создания очереди и работы с ней необходимо иметь как минимум два указателя: на начало очереди возьмем идентификатор BegQ; на конец очереди возьмем идентификатор EndQ. Установка указателей BegQ и EndQ на созданный первый элемент: Удаление элемента очереди 1. Перестановка указателя начала очереди BegQ на следующий элемент используя значение поля Link которое хранится в первом элементе. После этого освобождается память начального...
36222. Парадигмы программирования. Правила структурного программирования 37.5 KB
  Создавались вполне работоспособные программы. Это можно объяснить только тем что программы в те времена были в основном простые работала над каждой группа не больше чем 10 человек а чаще всего вообще только программист. Он же потом осуществлял сопровождение программы и перенос в случае необходимости на другие аппаратные платформы...
36223. Понятия класса, объекта 25 KB
  Одним из самых главных понятий языка С является понятие класса с1аss. Понятие класса напоминает понятие записи в языке PSCL. По умолчанию все элементы класса приватные поэтому ключевое слово рrivаte можно опустить.
36224. Инкапсуляция. Вызов функций – членов класса 24.5 KB
  Вызов функций членов класса. В объектноориентированном программировании данные и функции их обрабатывающие могут быть объединены вместе в рамках одного класса как бы помещены в 1 капсулу что и является инкапсуляцией. Обычно данные класса объявляются рrivte и работа с ними возможна только методами данного класса. можно вызывать их за пределами класса.
36225. Конструкторы и деструкторы. Функции в языке С++ 29 KB
  Функции в языке С В С самостоятельные программные модули называются функциями. При описании функции должен быть указан тип возвращаемого значения он указывается перед именем функции. Но функции должны быть описаны до того когда они будут вызваны другими функциями. Вызов функции fx y передаётся адрес fxy передаются сами переменные Если return есть в теле функции то заканчивается выполнение функции а потом возврат.
36226. Программно-логическая модель микропроцессора 35.5 KB
  Программнологическая модель микропроцессора. Программная модель микропроцессораидет речь про регистрывопрос 14 На современном компьютерном рынке наблюдается большое разнообразие различных типов компьютеров. Логическая структура микропроцессора Логическая структура микропроцессора т. Именно структура задает состав логических блоков микропроцессора и то как эти блоки должны быть связаны между собой чтобы полностью отвечать архитектурным требованиям.