19034

Водородоподобный атом. Уровни энергии и волновые функции. Кратность вырождения. Сферический осциллятор. Решение уравнения Шредингера в декартовых и сферических координатах

Лекция

Физика

Лекция 16 Водородоподобный атом. Уровни энергии и волновые функции. Кратность вырождения. Сферический осциллятор. Решение уравнения Шредингера в декартовых и сферических координатах Найдем уровни энергии и общие собственные функции операторов и . для частицы масс...

Русский

2013-07-11

800.5 KB

53 чел.

Лекция 16

Водородоподобный атом. Уровни энергии и волновые функции. Кратность вырождения. Сферический осциллятор. Решение уравнения Шредингера в декартовых и сферических координатах

Найдем уровни энергии и общие собственные функции операторов ,  и . для частицы массой  и зарядом , движущейся в кулоновском поле притяжения

     (1)

Собственные функции перечисленных операторов имеют вид , причем радиальные функции  удовлетворяют уравнению

   (2)

и граничному условию . Введем безразмерную координату , где  - величина, имеющая размерность длины и называемая боровским радиусом атома (в дальнейшем для упрощения записи формул штрих у безразмерной координаты опущен). В новых переменных уравнение (1) имеет вид

    (3)

где  - безразмерное собственное значение (которое для состояний дискретного спектра является положительным). Перейдем в уравнении (3) к новой неизвестной функции : . Подставляя эту функцию в уравнение (3), получим уравнение для новой неизвестной функции :

    (4)

Ищем решение уравнения (4) в виде степенного ряда

     (5)

где  - неизвестные коэффициенты. Подставляя выражение (5) в уравнение (4), получим

 (6)

Меняя в первой и второй суммах индекс суммирования и собирая слагаемые с одинаковыми степенями , получим рекуррентное соотношение для коэффициентов ряда (5)

    (7)

Для больших номеров  соотношение (7) сводится к

     (8)

и, следовательно, для больших номеров ряд (5) имеет вид

   (9)

Таким образом, решение уравнения (2)  расходится при . Следовательно, чтобы существовали ограниченные решения уравнения (1), ряд (5), (8) должен точно оборваться на каком-то шаге. В этом случае все слагаемые ряда, начиная с некоторого, равны нулю, а функция  является многочленом. Ряд (5), (8) точно обрывается, если

     (10)

где  - целое неотрицательное число, имеющее смысл радиального квантового числа (в этой задаче минимальное значение квантового числа  выбрано равным нулю). Следовательно, собственные значения оператора Гамильтона  (которые можно отметить двумя индексами  и ) имеют вид

    (11)

При этом функции  являются многочленами степени  (коэффициенты этих многочленов зависят от числа , которое входит в рекуррентное соотношение (7)). В математике эти многочлены (с определенной нормировкой) называются обобщенными полиномами Лагерра. Найдем несколько первых полиномов.

Сначала для уравнения с .

, . Ряд обрывается на первом слагаемом, если . В этом случае , где нулевой коэффициент ряда  может быть выбран любым.

, . Ряд обрывается на втором слагаемом, если . В этом случае , и, следовательно, .

, . Ряд обрывается на третьем слагаемом, если . В этом случае , , и, следовательно, .

Уравнение с .

, . Ряд обрывается на первом слагаемом, если . В этом случае .

, . Ряд обрывается на втором слагаемом, если . В этом случае , и, следовательно, .

, . Ряд обрывается на третьем слагаемом, если . В этом случае , , и, следовательно, .

Аналогично можно найти решения, отвечающие любым квантовым числам  и .

Как следует из формулы (11), уровни энергии частицы в кулоновском поле можно перечислить с помощью одного целого положительного числа : , при этом, как следует из этого утверждения, имеет место вырождение состояний по моменту. Состояния с разными  и  вырождены, если сумма квантовых чисел  и  для этих состояний одинакова. Кратность вырождения находится из следующих очевидных рассуждений. Поскольку , для уровня с данным  момент импульса  может принимать  значений от  до . При этом для каждого значения  существуют  состояний, отличающихся проекций момента импульса на ось . Поэтому данному уровню отвечают

  (12)

различных вырожденных собственных состояний.

Построим волновые функции нескольких первых собственных состояний.

(основное состояние). . Значению  отвечает единственная пара квантовых чисел  и , поэтому основное состояние не вырождено. Волновая функция основного состояния не зависит от углов и имеет вид (напомним, что во всех нижеследующих формулах (13)-(18)  - безразмерный радиус-вектор).

  (13)

(первый возбужденный уровень). . Значению  отвечает две пары квантовых чисел ,  и , .  Поэтому первый возбужденный уровень вырожден. Волновые функции состояний, отвечающих первому возбужденному уровню имеют вид

 (14)

  (15)

(второй возбужденный уровень). . Значению  отвечает три пары квантовых чисел  и ,  и ,  и . Волновые функции состояний, отвечающих второму возбужденному уровню имеют вид

 (16)

  (17)

   (18)

Обратим внимание на то, что все волновые функции каждого уровня содержат одинаковую экспоненту:  - для первого,  - для второго,  - для третьего и т.д. Это значит, что можно говорить об определенной локализации уровней энергии в кулоновском поле в пространстве:  - для первого уровня (напомним, что  здесь – безразмерная координата, в размерных единицах - , где  - боровский радиус),  - для второго уровня,  - для третьего уровня и т.д.

Рассмотрим теперь частицу, движущуюся в потенциале

  (19)

которую принято называть сферическим (или трехмерным изотропным) осциллятором. Уравнение Шредингера

 (20)

для такой частицы допускает разделение переменных. Ищем решение уравнения (20) в виде . Подставляя эту функцию в уравнение, получим

 (21)

Так как первое слагаемое уравнения (21) зависит только от , второе - только от , а третье - только от , то равенство (2) может удовлетворяться только в том случае, когда первое, второе и третье слагаемые формулы (2) равны некоторым постоянным , , . Поэтому функции ,  и  удовлетворяют независимым уравнениям

    (22)

    (23)

    (24)

Собственное значение  равно сумме собственных значений .

Уравнения (22), (23) и (24) совпадают с уравнением Шредингера для одномерного осциллятора. Решения этого уравнения найдены в лекции, посвященной одномерному осциллятору:

 

     (25)

откуда находим, что энергии и волновые функции стационарных состояний сферического осциллятора определяются тремя квантовыми числами :

  (26)

     (27)

причем квантовые числа  независимо друг от друга могут принимать значения 0,1,2,3,...

(эти квантовые числа, которые возникают при решении уравнения Шредингера в декартовых координатах, часто называют «декартовыми»). Из (27) следует, что все уровни энергии сферического осциллятора можно описать формулой , где  - целое неотрицательное число, причем основному состоянию отвечает .

Очевидно, собственные значения  совпадают для таких наборов квантовых чисел , сумма которых одинакова. В этом случае различным собственным состояниям отвечает одинаковая энергия, то есть эти состояния вырождены. Поэтому кратность вырождения -го уровня энергии осциллятора равна количеству способов, которыми можно представить число  как сумму трех неотрицательных целых чисел. Вычислим кратность вырождения. При фиксированном квантовом числе  числа  и  могут принимать столько разных вариантов значений, сколькими способами можно целое неотрицательное число  представить как сумму неотрицательных целых чисел  и , то есть  способов. А поскольку квантовое число  может принимать любые значения от  до , то кратность вырождения -го уровня сферического осциллятора  равна

    (28)

Таким образом, основное состояние сферического осциллятора () не вырождено (), ему отвечает единственная собственная функция

   (29)

Первое возбужденное состояние имеет кратность вырождения , ему отвечают три различных собственных функции

   (30)

Кратность вырождения второго возбужденного состояния равна , третьего -  и т.д.

Формула (26) дает собственные функции осциллятора в декартовых координатах. С другой стороны, все состояния такого осциллятора можно классифицировать по квантовым числам ,  и , поскольку поле – центрально. При этом волновые функции  не обязаны совпадать с  из-за вырождения уровней энергии сферического осциллятора.

Для нахождения этих функций необходимо решить уравнение Шредингера в сферических координатах. Однако для уровней с маленькими квантовыми числами состояния можно классифицировать по квантовым числам ,  и , исходя только из кратностей вырождения уровней.

Основное состояние. Поскольку в любом сферически-симметричном потенциале все состояния за исключением состояний с  вырождены по проекции момента, а кратность вырождения основного состояния равна единице, то основному состоянию отвечают квантовые числа , . А поскольку это состояние с самой маленькой энергией, то  (в задаче о сферическом осцилляторе нумерацию радиальных квантовых чисел удобно начинать от нуля).

Первый возбужденный уровень энергии. Кратность вырождения первого возбужденного уровня осциллятора равна . Поэтому первому возбужденному уровню осциллятора отвечают квантовые числа , . При этом три собственные функции можно выбрать так, чтобы в каждом из собственных состояний имела определенное значение проекция момента на ось : .

Второй возбужденный уровень энергии. Кратность вырождения второго возбужденного уровня равна . Отвечающие ему состояния не могут иметь никакие моменты, кроме . Учитывая, что кратность вырождения состояний с определенным моментом  по проекции момента равна , получаем квантовые числа состояний, отвечающих второму энергетическому уровню: , ,  и , , . Как видно из этих рассуждений имеет место вырождение по моменту: энергии собственных состояний с  () и с  () одинаковы.

5


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

56569. TWELVE MONTHS 71.5 KB
  I live in the North but on the New Years Eve I come to your places. I like to make all children happy, that is why I help Father Frost to bring presents, joy and happiness to every house. Music. (a girl with a basket appears. She is dancing)
56570. Анализ состояния и эффективности использования трудовых ресурсов организации 74.25 KB
  Правильная оценка хозяйственной деятельности позволяет установить наиболее действенное, соответствующее затраченному труду, материальное поощрение, выявить имеющиеся резервы...
56571. Число 4. Цифра 4 79.5 KB
  Планируемый результат Личностные УУД: формировать учебно-познавательный интерес к новому учебному материалу и способам решения новой частной задачи способность к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности учить формулировать тему и цели урока...
56572. Сказка «У страха глаза велики» 42.5 KB
  Цель: познакомить учащихся со сказкой «У страха глаза велики»; формировать навыки выразительного чтения; совершенствовать умение делить текст на части; развивать внимание, память, речь, мышление, воображение.
56573. Сценарий “Нам – 35” 88.5 KB
  Ведущий: Да, всем, кто учился и рос, Кто жил и трудился под сенью Стоящих у входа берёз. Кто в школу ходил, как на праздник! И кто приходил просто так. Десятилетия жизни – это не пустяк!
56574. Проектирование организационной структуры управления и разработка управленческих регламентов 559.5 KB
  Целью данной работы является изучение и анализ организационной структуры управления и разработка управленческих регламентов предприятия ЗАО «Цементный рай».
56575. Побудова графіків функцій, що містять знак модуля 5.46 MB
  При поглибленому вивченні математики в 10 кл. у темі „Комплексні числа” вирішуються простіші вправи на рівність та нерівність модулів комплексних чисел, зображення геометричного місця крапок на комплексній площі, які відповідають певним умовам.
56576. Смежные и вертикальные углы 322.5 KB
  Обучающие: систематизация и обобщение знаний учащихся по данной теме; использование знаний основных свойств вертикальных и смежных углов, параллельных и перпендикулярных прямых; формирование умения решать задачи на вычисление и доказательства...