19035

Спин элементарных частиц. Спиновые волновые функции и операторы спина

Лекция

Физика

Лекция 17 Спин элементарных частиц. Спиновые волновые функции и операторы спина Рассмотрим составную частицу состоящую из двух элементарных частиц и совершающую некоторое пространственное движение примером такой составной частицы может быть ядро дейтерия состо

Русский

2013-07-11

1.1 MB

52 чел.

Лекция 17

Спин элементарных частиц. Спиновые волновые функции и операторы спина

Рассмотрим составную частицу, состоящую из двух элементарных частиц и совершающую некоторое пространственное движение (примером такой составной частицы может быть ядро дейтерия, состоящее из нейтрона и протона). Состояния такой частицы могут быть описаны с помощью волновой функции, зависящей от ее координаты как целого, например, координаты центра инерции , и координаты относительного движения . Такая волновая функция определяет вероятности различных положений частицы как целого и относительного положения ее составных частей. Физическим величинам, определяемым «внутренними» переменными, отвечают операторы, действующие на координату , величинам, связанным с движением частицы как целого, - операторы, действующие на радиус-вектор центра инерции. В частности, моменту импульса относительного движения составных частей отвечают операторы , ,  и , действующие на относительную переменную и обладающие всеми свойствами операторов момента, которые рассматривались ранее. В частности, квадрат момента относительного движения может иметь определенное значение вместе с одной из проекций (например, с ). Проекции «внутреннего» момента одновременно определенных значений, вообще говоря, не имеют. Общими собственными функциями операторов квадрата момента импульса «внутреннего» движения  и его проекции на ось   являются сферические функции , зависящие от углов  и  относительного радиуса-вектора, при этом индекс  определяет величину «внутреннего» момента импульса частицы, индекс  - его проекцию на ось , то есть ориентацию вектора момента в пространстве. Квантовые числа  и  могут принимать следующие значения: , при фиксированном  квантовое число  может принимать дискретный ряд значений от  до  через единицу.

Рассмотрим теперь такое состояние составной частицы, когда энергия и момент внутреннего движения фиксированы, и будем интересоваться только величинами, относящимся к движению частицы как целого. С одной стороны, при таком описании нам нужна только та часть волновой функции, которая связана с «внешним» движением. Однако с другой стороны есть одна характеристика «внутреннего» движения, которая не фиксируется фиксацией внутреннего состояния частицы - это проекция внутреннего момента на любую выделенную ось. Эта проекция может меняться при фиксированном внутреннем состоянии составной частицы, и, следовательно, при описании «внешнего» движения необходимо учесть возможность изменения этой проекции. Это значит, что та часть волновой функции составной частицы, которая описывает «внешнее» движение должна содержать еще одну дискретную переменную - проекцию внутреннего момента на выделенную ось  и определять вероятность того, что частица находится в той или иной точке пространства и имеет то или иное значение проекции внутреннего момента на выделенную ось.

Таким образом при описании движения составной частицы как целого в случае, когда не меняется ее «внутреннее» состояние, квантовая механика формально допускает введение дополнительной дискретной координаты, характеризующей внутренние степени свободы. Поэтому нельзя a priori отвергнуть существование такой координаты для элементарных частиц только на основе их «элементарности».

Как показывает опыт, элементарные частицы кроме момента импульса, связанного с движением в пространстве (и который в этом контексте называют «орбитальным»), могут обладать и «внутренним» моментом импульса, который не зависит от их пространственного движения. Этот момент называется спином частицы. Величина «внутреннего» момента (или спина) - такая же характеристика любой элементарной частицы, как ее масса или заряд, и которая независимо от состояния этой частицы всегда имеет определенное значение. Проекция же вектора спина на некоторую ось может в тех или иных случаях принимать различные значения, а также может меняться при действии на частицу тех или иных полей.

Как и всякой векторной физической величине спину соответствует некоторый оператор , имеющий три компоненты, причем можно предположить, что для операторов, отвечающих проекциям спина, справедливы те же коммутационные соотношения, что и для операторов проекций орбитального момента импульса (здесь и далее в этой главе )

,   а также     (1)

Такие коммутационные соотношения можно ожидать из следующих соображений. Мы установили (когда рассматривали момент импульса), что волновая функция при повороте системы координат преобразуется следующим образом:

  (*)

причем для проекций оператора  на координатные оси справедливо соотношение (*). Поэтому и здесь мы должны допустить справедливость соотношений (1).

Из соотношений (1) следует, что оператор квадрата спина имеет общие собственные функции с одним из операторов проекций, в то время как операторы проекций спина общих собственных функций не имеют. Коммутационные соотношения (1) позволяют найти все собственные значения операторов , ,  и . А именно, собственные значения оператора квадрата спина могут быть записаны в виде , где  - неотрицательное целое или «полуцелое» число (т.е. число вида 0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2 ...). Собственные значения оператора проекции спина на любую ось для частицы со спином  равны , ,  ..., .

Как отмечено выше, существование спина у частиц приводит к тому, что в число аргументов волновой функции необходимо ввести дискретную «спиновую координату» , которая принимает значения, равные различным возможным значениям проекции спина на ось . Поскольку спиновая координата дискретна, то вместо введения спиновой координаты в список аргументов волновой функции, ее можно записывать в виде индекса, или записывать волновую функцию частицы со спином  в виде столбца, содержащего  компонент

     (2)

договорившись, что квадрат модуля верхней компоненты  определяет вероятность того, что частица находится в точке с координатами  и имеет проекцию спина на ось , равную  (максимальное значение), квадрат модуля второй компоненты  определяет вероятность того, что частица находится в точке с координатами  и имеет проекцию спина на ось , равную  (второе по величине значение) и так далее. Из определения волновой функции частицы со спином следует, что величина

     (3)

определяет вероятность того, что частица имеет проекцию спина на ось , равную  независимо от ее положения в пространстве, а величина  определяет вероятность того, что частица находится в точке с координатами  независимо от проекции спина. Естественным образом модифицируются при наличии спина скалярное произведение волновых функций

 (4)

и условие нормировки волновой функции

 (5)

которое выражает то обстоятельство, что сумма вероятностей всех возможных несовместных событий, происходящих с частицей, равна единице.

В квантовой механике часто приходится рассматривать такие состояния, когда вероятности различных значений проекций спина не зависят от координат. В этом случае пространственные и спиновые переменные в волновой функции разделяются (это обстоятельство является отражением теоремы умножения вероятностей независимых событий) и волновая функция имеет вид

     (6)

где , ,... - числа. В этом случае о волновой функции  говорят как о пространственной части волновой функции, а столбец из чисел , ,... определяющих вероятности различных значений проекции спина на ось , называют спиновой частью волновой функции (или просто спиновой волновой функцией, или спинором).

В случае частиц со спином квантовомеханические операторы физических величин должны связывать друг с другом различные функции вида (6). При этом, поскольку спин никак не связан с пространственным положением частицы, операторы спина должны связывать различные спиновые функции (то есть «действовать» на спиновую функцию) и никак не затрагивать функции, зависящие от пространственных переменных (не «действовать» на функции пространственных координат). Поэтому в общем виде результат действия такого оператора  можно записать как произведение некоторой матрицы на спинор

  (7)

где  - некоторые числа, являющиеся характеристикой данного оператора. Таким образом, каждому оператору, действующему на спиновую функцию, соответствует некоторая матрица из чисел . Матрицу любого спинового оператора можно найти, если известен результат действия этого оператора на базисные функции:

      (8)

Матрицы операторов спина можно найти из следующих соображений.

Работаем в базисе собственных функций операторов  и . Тогда матрицы оператора  диагональная:

  (**)

Далее, из коммутационных соотношений (1) следует, что операторы  - повышающий и понижающий:

  (***)

Поэтому у  ненулевыми являются только наддиагональные элементы, а у  - только поддиагональные.

Константы в (***) можно найти так. Найдем матрицы операторов.    имеет диагональную матрицу, значит,

 т.к.  есть комплексно сопряженное к    отсюда:

 

Из этого соотношения мы определяем только модули матричных элементов. Фазы выбираются произвольно. Мы выбрали фазы так, чтобы у матричных элементов фазы были нулевыми, и они были действительны.   

А затем через матрицы операторов операторы  можно найти У операторов :

   

Вместе с  они составляют полный набор матриц оператора спина.

Построим матрицы спиновых операторов для частицы со спином ½. Выберем в качестве базисных функций спиноры

   (9)

Очевидно, искомые матрицы представляют собой матрицы размерности . Начнем с построения матрицы оператора . Очевидно, в базисных состояниях проекция спина частицы на ось  имеет определенное значение -  в первом состоянии и  во втором. Это связано с тем, что согласно определению спиновой функции вероятность обнаружить проекцию спина  в первом состоянии равна 1, во втором 0, и наоборот для проекции . Следовательно, функции (9) являются собственными функциями оператора , отвечающими соответствующим собственным значениям  первая, и  вторая. Поэтому для матрицы оператора  выполнены условия

   (10)

Из формул (10) находим

     (11)

Для построения матриц операторов  и  найдем сначала матрицы операторов . Поскольку коммутационные соотношения между операторами проекций спина такие же, как для операторов орбитального момента, то при действии операторов  на собственные функции оператора  получаются также собственные функции этого оператора, отвечающие на единицу большему или меньшему собственному значению. При действии операторов  () на собственную функцию, отвечающую максимальному (минимальному) собственному значению получается спиновая функция, тождественно равная нулю, то есть нулевой столбец. Поэтому

    (12)

Из соотношений (12) найдем, что

      (13)

Из (13) и определения операторов  находим

     (14)

Матрицы операторов ,  и  (11), (14) (без множителей 1/2) называются матрицами Паули и обозначаются ,  и .

Матрицу оператора  легко найти, возводя в квадрат и складывая матрицы операторов проекций момента (11), (14)

      (15)

Матрицу (15) можно было бы получить и по-другому из следующих рассуждений. Поскольку любая спиновая функция для частицы со спином 1/2 (то есть любой двумерный столбец) является собственной функцией оператора , отвечающей собственному значению  (так как квадрат вектора спина такой частицы имеет в любом состоянии определенное значение), то матрица оператора  является диагональной, причем диагональные матричные элементы равны , то есть матрица оператора  и есть матрица (15).

Свойства матриц Паули

А. Все матрицы Паули, как матрицы операторов физических величин являются эрмитовыми.

Б. Для всех матриц Паули выполнено условие , где 1 – единичная матрица. Это можно проверить непосредственно. Это утверждение есть следствие того факта, что квадрат проекции спина частицы со спином ½ в любом состоянии имеет определенное значение (т.к. есть две возможности для проекции спина +1/2 и –1/2, а квадраты обоих этих чисел – ¼).

В.

Г. Любая матрица (22) может быть представлена в виде: . Это связано с тем, что единичная матрица и три матрицы Паули () образуют полный набор матриц (2), так как пространство таких матриц четырехмерно – матрица определяется заданием четырех чисел, поэтому любые четыре линейно независимые матрицы будут образовывать базис в пространстве таких матриц).

Д. . В частности, , т.е. они антикоммутируют. Алгебра (так называют правила умножения матриц) очень простая - при перестановке матриц просто меняется знак их произведения.

Е. Поскольку матрицы Паули связаны с операторами проекции спина 7на координатные оси для них выполнены обычные коммутационные соотношения для операторов проекций момента на координатные оси

 

(двойка в этом соотношении связана с тем, что ).

6


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

41450. ВЛАСТИВОСТІ ГАЛОГЕНІВ. ВОДНЕВІ СПОЛУКИ ГАЛОГЕНІВ 851.5 KB
  Добування і властивості хлору. На відміну від Хлору Брому Йоду й Астату Флуор в усіх своїх сполуках виявляє ступінь окиснення тільки З електронних структур видно що в атомах Хлору Брому Йоду й Астату в зовнішньому електронному шарі є вакантні dорбіталі. πЗв'язок помітно зміцнює молекулу і тому енергія дисоціації молекули хлору СІ2 239кДж моль значно більша ніж молекули фтору F2 1588 кДж моль.
41451. ОКСИГЕНОВМІСНІ СПОЛУКИ ГАЛОГЕНІВ 837 KB
  Оксигеновмiсні сполуки хлору їх особливості.Оксигеновмiсні сполуки хлору їх особливості. Непрямим способом добуто ряд сполук Хлору з Оксигеном але всі вони нестійкі. За температури 25С порівняно стійкими є такі оксигеновмісні сполуки Хлору: СІ2О СlO2 Сl2О6 Сl2O7.
41452. СІРКА. КИСНЕВІ ТА ВОДНЕВІ СПОЛУКИ СІРКИ 877.5 KB
  Оскільки атом Оксигену містить тільки два неспарені електрони він може лише двояко сполучатись у молекули: О О і О О О й утворювати тільки дві алотропні видозміни: кисень та озон.8 Полоній Po 6s26p46d0 0137 843 254 Оксиген та кисень. Кисень проста речовина утворена Оксигеном міститься в атмосферному повітрі у зв'язаному стані Оксиген входить до складу води кварцу силікатів алюмосилікатів сполук тваринного і рослинного походження. Вперше кисень у чистому вигляді добув шведський хімік К.
41453. СІРЧАНА КИСЛОТА, ЇЇ ВЛАСТИВОСТІ, ОДЕРЖАННЯ. СУЛЬФІТИ, СУЛЬФАТИ 764.5 KB
  Biдoмo кiльк cпoлyк Cyльфypy з Oкcигeнoм. Пpктичнe знчeння мють двi з ниx: oкcид cyльфypyIV т oкcид cyльфypyVI. Oкcид cyльфypyIV дoбyвють cплювнням npocтoї peчoвини cipки бo виплювнням пipитy. Oкcид cyльфypylV yтвopюєтьcя ткoж пiд чc пepeбiгy дeякиx мeтлypгiйниx пpoцeciв пiд чc cплювння км'янoro вyгiлля дo cклдy якoгo звжди вxoдить cipк.
41454. НЕМЕТАЛИ V ГРУПИ. АЗОТ. ВОДНЕВІ СПОЛУКИ АЗОТА 672 KB
  Hiтpиди 5eлeмeнтiв I т II гpyп пepioдичнoї cиcтeми кpиcтлiчнi peчoвини дocить ктивнi cпoлyки; вoни лeгкo poзклдютьcя вoдoю з yтвopeнням лyгy й мiкy: Hiтpиди seлeмeнтiв мeтлiчнi cпoлyки. Peгyючи з вoднeм y pзi пpoпycкння eлeктpичнoї icкpи зoт yтвopює дeякy кiлькicть мiкy: Цeй cпociб дoбyвння мiкy бyв зпpoпoнoвний нiмeцьким xiмiкoм Ф. Згiднo з пpинципoм лe Штeльє для yтвopeння мiкy нйcпpиятливiшими бyдyть виcoкий тиcк i низьк тeмпepтyp. Ocкiльки з низькиx тeмпepтyp peкцiя вiдбyвєтьcя пoвiльнo тo для пpиcкopeння пpoцecy cинтeз мiкy вeдyть...
41455. ОKCИГEHOBMICHI CПOЛУKИ HITPOГEHУ 1.08 MB
  Bci oкcиди нiтpoгeнy з виняткoм N2O дyжe oтpyйнi. Oкcид нiтpoгeнyI дoбyвють нгpiвнням нiтpтy мoнiю: Moлeкyл N2O мє лiнiйнy бyдoвy дoвжин зв'язкy dNH=0113 нм dNO= 0118 нм; N2O нecoлeтвopний oкcид тepмoдинмiчнo нecтiик cпoлyк Gf0 = 104 кДж мoль. Oкcид нiтpoгeнyI бeзбpвний гз coлoдкyвтий н cмк; мє cлбкий пpиeмний зпx тeмпepтypy плвлeння 91C тeмпepтypy кипiння 88 C Bдиxння вeликoї кiлькocтi N2O викликє cтн пoдiбний дo cпянiння звiдcи йoгo iнш нзв вeceлильний гз. N2О пoгнo poзчиняєтьcя y вoдi в 1 oб'ємi H2О з...
41456. ФOCФOP. КИСНЕВІ ТА ВОДНЕВІ СПОЛУКИ ФОСФОРУ 623.5 KB
  Ocнoвними мiнepлми Фocфopy є фocфopит C3PО42 т птит щo мicтить кpiм C3PО42 щe й CF2 i CCl2. Beлик кiлькicть Фocфopy мicтитьcя в кicткx xpeбeтниx твpин в ocнoвнoмy y виглядi cпoлyк: ЗС3PО42 COH2 т ЗС3PО42 CCO3 H2О. B opгнiзмi людини мicтитьcя близькo 15 кг фocфopy. Biдoмo кiльк лoтpoпниx видoзмiн Фocфopy.
41458. ФИЛОСОФИЯ КУЛЬТУРЫ 72 KB
  Понятие культуры имеет весьма сложный и многоаспектный характер. Формирование представлений о культуре первоначально было связано с осознанием различий между природным и человеческим мирами. В Древнем Риме под этим термином обозначали «возделывание», «обработку» почвы