19035

Спин элементарных частиц. Спиновые волновые функции и операторы спина

Лекция

Физика

Лекция 17 Спин элементарных частиц. Спиновые волновые функции и операторы спина Рассмотрим составную частицу состоящую из двух элементарных частиц и совершающую некоторое пространственное движение примером такой составной частицы может быть ядро дейтерия состо

Русский

2013-07-11

1.1 MB

51 чел.

Лекция 17

Спин элементарных частиц. Спиновые волновые функции и операторы спина

Рассмотрим составную частицу, состоящую из двух элементарных частиц и совершающую некоторое пространственное движение (примером такой составной частицы может быть ядро дейтерия, состоящее из нейтрона и протона). Состояния такой частицы могут быть описаны с помощью волновой функции, зависящей от ее координаты как целого, например, координаты центра инерции , и координаты относительного движения . Такая волновая функция определяет вероятности различных положений частицы как целого и относительного положения ее составных частей. Физическим величинам, определяемым «внутренними» переменными, отвечают операторы, действующие на координату , величинам, связанным с движением частицы как целого, - операторы, действующие на радиус-вектор центра инерции. В частности, моменту импульса относительного движения составных частей отвечают операторы , ,  и , действующие на относительную переменную и обладающие всеми свойствами операторов момента, которые рассматривались ранее. В частности, квадрат момента относительного движения может иметь определенное значение вместе с одной из проекций (например, с ). Проекции «внутреннего» момента одновременно определенных значений, вообще говоря, не имеют. Общими собственными функциями операторов квадрата момента импульса «внутреннего» движения  и его проекции на ось   являются сферические функции , зависящие от углов  и  относительного радиуса-вектора, при этом индекс  определяет величину «внутреннего» момента импульса частицы, индекс  - его проекцию на ось , то есть ориентацию вектора момента в пространстве. Квантовые числа  и  могут принимать следующие значения: , при фиксированном  квантовое число  может принимать дискретный ряд значений от  до  через единицу.

Рассмотрим теперь такое состояние составной частицы, когда энергия и момент внутреннего движения фиксированы, и будем интересоваться только величинами, относящимся к движению частицы как целого. С одной стороны, при таком описании нам нужна только та часть волновой функции, которая связана с «внешним» движением. Однако с другой стороны есть одна характеристика «внутреннего» движения, которая не фиксируется фиксацией внутреннего состояния частицы - это проекция внутреннего момента на любую выделенную ось. Эта проекция может меняться при фиксированном внутреннем состоянии составной частицы, и, следовательно, при описании «внешнего» движения необходимо учесть возможность изменения этой проекции. Это значит, что та часть волновой функции составной частицы, которая описывает «внешнее» движение должна содержать еще одну дискретную переменную - проекцию внутреннего момента на выделенную ось  и определять вероятность того, что частица находится в той или иной точке пространства и имеет то или иное значение проекции внутреннего момента на выделенную ось.

Таким образом при описании движения составной частицы как целого в случае, когда не меняется ее «внутреннее» состояние, квантовая механика формально допускает введение дополнительной дискретной координаты, характеризующей внутренние степени свободы. Поэтому нельзя a priori отвергнуть существование такой координаты для элементарных частиц только на основе их «элементарности».

Как показывает опыт, элементарные частицы кроме момента импульса, связанного с движением в пространстве (и который в этом контексте называют «орбитальным»), могут обладать и «внутренним» моментом импульса, который не зависит от их пространственного движения. Этот момент называется спином частицы. Величина «внутреннего» момента (или спина) - такая же характеристика любой элементарной частицы, как ее масса или заряд, и которая независимо от состояния этой частицы всегда имеет определенное значение. Проекция же вектора спина на некоторую ось может в тех или иных случаях принимать различные значения, а также может меняться при действии на частицу тех или иных полей.

Как и всякой векторной физической величине спину соответствует некоторый оператор , имеющий три компоненты, причем можно предположить, что для операторов, отвечающих проекциям спина, справедливы те же коммутационные соотношения, что и для операторов проекций орбитального момента импульса (здесь и далее в этой главе )

,   а также     (1)

Такие коммутационные соотношения можно ожидать из следующих соображений. Мы установили (когда рассматривали момент импульса), что волновая функция при повороте системы координат преобразуется следующим образом:

  (*)

причем для проекций оператора  на координатные оси справедливо соотношение (*). Поэтому и здесь мы должны допустить справедливость соотношений (1).

Из соотношений (1) следует, что оператор квадрата спина имеет общие собственные функции с одним из операторов проекций, в то время как операторы проекций спина общих собственных функций не имеют. Коммутационные соотношения (1) позволяют найти все собственные значения операторов , ,  и . А именно, собственные значения оператора квадрата спина могут быть записаны в виде , где  - неотрицательное целое или «полуцелое» число (т.е. число вида 0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2 ...). Собственные значения оператора проекции спина на любую ось для частицы со спином  равны , ,  ..., .

Как отмечено выше, существование спина у частиц приводит к тому, что в число аргументов волновой функции необходимо ввести дискретную «спиновую координату» , которая принимает значения, равные различным возможным значениям проекции спина на ось . Поскольку спиновая координата дискретна, то вместо введения спиновой координаты в список аргументов волновой функции, ее можно записывать в виде индекса, или записывать волновую функцию частицы со спином  в виде столбца, содержащего  компонент

     (2)

договорившись, что квадрат модуля верхней компоненты  определяет вероятность того, что частица находится в точке с координатами  и имеет проекцию спина на ось , равную  (максимальное значение), квадрат модуля второй компоненты  определяет вероятность того, что частица находится в точке с координатами  и имеет проекцию спина на ось , равную  (второе по величине значение) и так далее. Из определения волновой функции частицы со спином следует, что величина

     (3)

определяет вероятность того, что частица имеет проекцию спина на ось , равную  независимо от ее положения в пространстве, а величина  определяет вероятность того, что частица находится в точке с координатами  независимо от проекции спина. Естественным образом модифицируются при наличии спина скалярное произведение волновых функций

 (4)

и условие нормировки волновой функции

 (5)

которое выражает то обстоятельство, что сумма вероятностей всех возможных несовместных событий, происходящих с частицей, равна единице.

В квантовой механике часто приходится рассматривать такие состояния, когда вероятности различных значений проекций спина не зависят от координат. В этом случае пространственные и спиновые переменные в волновой функции разделяются (это обстоятельство является отражением теоремы умножения вероятностей независимых событий) и волновая функция имеет вид

     (6)

где , ,... - числа. В этом случае о волновой функции  говорят как о пространственной части волновой функции, а столбец из чисел , ,... определяющих вероятности различных значений проекции спина на ось , называют спиновой частью волновой функции (или просто спиновой волновой функцией, или спинором).

В случае частиц со спином квантовомеханические операторы физических величин должны связывать друг с другом различные функции вида (6). При этом, поскольку спин никак не связан с пространственным положением частицы, операторы спина должны связывать различные спиновые функции (то есть «действовать» на спиновую функцию) и никак не затрагивать функции, зависящие от пространственных переменных (не «действовать» на функции пространственных координат). Поэтому в общем виде результат действия такого оператора  можно записать как произведение некоторой матрицы на спинор

  (7)

где  - некоторые числа, являющиеся характеристикой данного оператора. Таким образом, каждому оператору, действующему на спиновую функцию, соответствует некоторая матрица из чисел . Матрицу любого спинового оператора можно найти, если известен результат действия этого оператора на базисные функции:

      (8)

Матрицы операторов спина можно найти из следующих соображений.

Работаем в базисе собственных функций операторов  и . Тогда матрицы оператора  диагональная:

  (**)

Далее, из коммутационных соотношений (1) следует, что операторы  - повышающий и понижающий:

  (***)

Поэтому у  ненулевыми являются только наддиагональные элементы, а у  - только поддиагональные.

Константы в (***) можно найти так. Найдем матрицы операторов.    имеет диагональную матрицу, значит,

 т.к.  есть комплексно сопряженное к    отсюда:

 

Из этого соотношения мы определяем только модули матричных элементов. Фазы выбираются произвольно. Мы выбрали фазы так, чтобы у матричных элементов фазы были нулевыми, и они были действительны.   

А затем через матрицы операторов операторы  можно найти У операторов :

   

Вместе с  они составляют полный набор матриц оператора спина.

Построим матрицы спиновых операторов для частицы со спином ½. Выберем в качестве базисных функций спиноры

   (9)

Очевидно, искомые матрицы представляют собой матрицы размерности . Начнем с построения матрицы оператора . Очевидно, в базисных состояниях проекция спина частицы на ось  имеет определенное значение -  в первом состоянии и  во втором. Это связано с тем, что согласно определению спиновой функции вероятность обнаружить проекцию спина  в первом состоянии равна 1, во втором 0, и наоборот для проекции . Следовательно, функции (9) являются собственными функциями оператора , отвечающими соответствующим собственным значениям  первая, и  вторая. Поэтому для матрицы оператора  выполнены условия

   (10)

Из формул (10) находим

     (11)

Для построения матриц операторов  и  найдем сначала матрицы операторов . Поскольку коммутационные соотношения между операторами проекций спина такие же, как для операторов орбитального момента, то при действии операторов  на собственные функции оператора  получаются также собственные функции этого оператора, отвечающие на единицу большему или меньшему собственному значению. При действии операторов  () на собственную функцию, отвечающую максимальному (минимальному) собственному значению получается спиновая функция, тождественно равная нулю, то есть нулевой столбец. Поэтому

    (12)

Из соотношений (12) найдем, что

      (13)

Из (13) и определения операторов  находим

     (14)

Матрицы операторов ,  и  (11), (14) (без множителей 1/2) называются матрицами Паули и обозначаются ,  и .

Матрицу оператора  легко найти, возводя в квадрат и складывая матрицы операторов проекций момента (11), (14)

      (15)

Матрицу (15) можно было бы получить и по-другому из следующих рассуждений. Поскольку любая спиновая функция для частицы со спином 1/2 (то есть любой двумерный столбец) является собственной функцией оператора , отвечающей собственному значению  (так как квадрат вектора спина такой частицы имеет в любом состоянии определенное значение), то матрица оператора  является диагональной, причем диагональные матричные элементы равны , то есть матрица оператора  и есть матрица (15).

Свойства матриц Паули

А. Все матрицы Паули, как матрицы операторов физических величин являются эрмитовыми.

Б. Для всех матриц Паули выполнено условие , где 1 – единичная матрица. Это можно проверить непосредственно. Это утверждение есть следствие того факта, что квадрат проекции спина частицы со спином ½ в любом состоянии имеет определенное значение (т.к. есть две возможности для проекции спина +1/2 и –1/2, а квадраты обоих этих чисел – ¼).

В.

Г. Любая матрица (22) может быть представлена в виде: . Это связано с тем, что единичная матрица и три матрицы Паули () образуют полный набор матриц (2), так как пространство таких матриц четырехмерно – матрица определяется заданием четырех чисел, поэтому любые четыре линейно независимые матрицы будут образовывать базис в пространстве таких матриц).

Д. . В частности, , т.е. они антикоммутируют. Алгебра (так называют правила умножения матриц) очень простая - при перестановке матриц просто меняется знак их произведения.

Е. Поскольку матрицы Паули связаны с операторами проекции спина 7на координатные оси для них выполнены обычные коммутационные соотношения для операторов проекций момента на координатные оси

 

(двойка в этом соотношении связана с тем, что ).

6


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

75947. Практика осуществления принципа свободы слова в РФ. Политика в сфере СМИ и коммуникаций 16.51 KB
  К сожалению на современном этапе развития российского общества проблема ответственности средств массовой информации приобрела особое значение. В существующих условиях обострения политической борьбы сложных межнациональных отношений деградации нравственных ценностей дестабилизация социально-политической обстановки в стране инициирование недовольства населения действиями государственных органов и органов местного самоуправления негативное воздействие...
75949. Президентская избирательная компания 1996 года: ход, особенности, последствия 29.75 KB
  Выборы президента России были назначены на 16 июня 1996 года в соответствии с переходными положениями Конституции России и в связи с истечением срока полномочий Президента России-Бориса. Ельцина избранного в 1991 году президентом России РСФСР. Единственные на 2013 год президентские выборы в России где для определения победителя потребовалось два тура. Основными конкурентами считались действующий Президент России Б.
75950. Причины и стадии экономического роста в РФ в начале ХХI века 15.21 KB
  В это время начался рост производства вызванный последствиями дефолта в результате которого возросли цены в рублях на импортные изделия и появился стимул к замещению импорта наращиванием товаров отечественного производства. Росту производства в России помог также рост мировых цен на нефть и газ достигших в конце 2007 г. Вместе с тем этот этап экономического развития России всё ещё характеризовался недостаточной стабильностью роста производства особенно в промышленности чрезмерной зависимостью от мировых цен на сырьё недостаточной...
75951. Проблемы развития правоохранительной и судебной системы в РФ 17.71 KB
  Это вызвано объективными причинами стремлением подчеркнуть независимость и самостоятельность судебной власти уйти от порочной практики сращивания судебной системы и органов осуществляющих следствие дознание и оперативно-разыскную деятельность. Причины неудовлетворительного состояния судебной и правоохранительной системы РФ имеют многоплановый характер. Отмечают что есть все основания для вывода о полномасштабном кризисе судебной и правоохранительной системы.
75952. Развитие гражданского общества в РФ. Неправительственные организации и их значение 20.29 KB
  Это означает что важнейшим условием существования свободного общества в России является не только раскрепощение частной инициативы но и развитая система социальной поддержки. И в-третьих чувство гражданской ответственности а также цивилизованное поведение и активная гражданская позиция – все это необходимые элементы подлинно гражданского общества. Становление гражданского общества есть в сущности бесконечный процесс совершенствования всех без исключения сторон жизнедеятельности людей.
75953. Россия – федеративное государство. Особенности проявления российского федерализма на современном этапе 17.78 KB
  Образование же Российской Федерации шло совсем иным путем. Эти государства а также национально-государственные образования и были признаны субъектами Российской Федерации. Порядок образования Российской Федерации свидетельствует о том что с момента своего возникновения эта федерация носила конституционно-правовой характер поскольку была создана не в результате заключения договора между ее субъектами а на основе провозглашения ее федерацией в Конституции Республики. В настоящее время субъектами Российской Федерации являются не только бывшие...
75954. Россия к началу 21 века: основные задачи и ресурсы для достижения целей 19.4 KB
  Рост производства означает возможность повышения уровня жизни и благосостояния граждан решения важных социальных проблем. Но для достижения этой цели стало ясно что темпы роста необходимо увеличить с 7 процентов в год за 2002–-2004 гг. Главный источник беспокойства за наше ближайшее будущее заключается в том что экономический рост во многом опирается на высокие цены на нефть. Так за последние годы в стране буквально произошла революция в сотовой связи очень широко распространился кредит бытовой техники мебели автомобилей и пр.
75955. РФ и постсоветское пространство – состояние отношений и основные задачи 22.28 KB
  Интеграция в рамках СНГ стала приоритетным проектом в условиях глобального кризиса 2008–2009 гг. В новой версии Концепции внешней политики РФ прописано что Приоритетными направлениями развитие двустороннего и многостороннего сотрудничества с государствами участниками СНГ дальнейшее укрепление СНГ основы углубления регионального взаимодействия его участников имеющих не только общее историческое наследие но и обширный потенциал интеграции в различных сферах. Россия выстраивает дружественные отношения с каждым из государств ...