19036

Спин 1/2. Спиновые функции, операторы спина. Матрицы Паули и их свойства. Разложение по спиновым функциям

Лекция

Физика

Лекция 18 Спин 1/2. Спиновые функции операторы спина. Матрицы Паули и их свойства. Разложение по спиновым функциям Целый ряд элементарных частиц электроны нейтроны протоны и другие обладают спином . По этой причине рассмотрим подробно свойства спиновых функций и

Русский

2013-07-11

1.1 MB

94 чел.

Лекция 18

Спин 1/2. Спиновые функции, операторы спина. Матрицы Паули и их свойства. Разложение по спиновым функциям

Целый ряд элементарных частиц – электроны, нейтроны, протоны и другие – обладают спином . По этой причине рассмотрим подробно свойства спиновых функций и операторов именно в этом случае.

В этом случае проекция спина на ось  может принимать два значения  и , а потому спиновые волновые функции представляют собой двухкомпонентные спиноры

    (1)

причем вероятности различных значений проекции спина на ось  равны

  (2)

Построим матрицы спиновых операторов в -представлении. В этом представлении базисными функциями являются собственные функции оператора . Очевидно такими функциями являются следующие спиноры

   (3)

Действительно, в состоянии  проекция спина на ось  принимает единственное значение , и, следовательно, эта функция – собственная для оператора , отвечающая собственному значению +1/2. Аналогично, функция  - собственная функция оператора , отвечающая собственному значению -1/2.

Очевидно, искомые матрицы спиновых операторов представляют собой матрицы размерности . Начнем с построения матрицы оператора . Так как функции (3) – собственные функции оператора , то для искомой матрицы оператора  выполнены следующие условия

   (4)

Из формул (4) находим

     (5)

Для построения матриц операторов  и  найдем сначала матрицы операторов . Поскольку коммутационные соотношения между операторами проекций спина такие же, как для операторов орбитального момента, то при действии операторов  на собственные функции оператора  получаются также собственные функции этого оператора, отвечающие на единицу большему или меньшему собственному значению. При действии операторов  () на собственную функцию, отвечающую максимальному (минимальному) собственному значению получается спиновая функция, тождественно равная нулю, то есть нулевой столбец. Поэтому

    (6)

Из соотношений (6) найдем, что

      (7)

Из (7) и определения операторов  находим

     (8)

Матрицы операторов ,  и  (5), (8) (без множителей 1/2) называются матрицами Паули и обозначаются ,  и .

Матрицу оператора  легко найти, возводя в квадрат и складывая матрицы операторов проекций момента (5), (8)

      (9)

Матрицу (9) можно было бы получить и по-другому из следующих рассуждений. Поскольку любая спиновая функция для частицы со спином 1/2 (то есть любой двумерный столбец) является собственной функцией оператора , отвечающей собственному значению  (так как квадрат вектора спина такой частицы имеет в любом состоянии определенное значение), то матрица оператора  является диагональной, причем диагональные матричные элементы равны , то есть матрица оператора  и есть матрица (9).

Свойства матриц Паули

А. Все матрицы Паули, как матрицы операторов физических величин являются эрмитовыми.

Б. Для всех матриц Паули выполнено условие , где 1 – единичная матрица. Это можно проверить непосредственно. Это утверждение есть следствие того факта, что квадрат проекции спина частицы со спином ½ в любом состоянии имеет определенное значение (т.к. есть две возможности для проекции спина +1/2 и –1/2, а квадраты обоих этих чисел – ¼).

В.

Г. Любая матрица (22) может быть представлена в виде: . Это связано с тем, что единичная матрица и три матрицы Паули () образуют полный набор матриц (2), так как пространство таких матриц четырехмерно – матрица определяется заданием четырех чисел, поэтому любые четыре линейно независимые матрицы будут образовывать базис в пространстве таких матриц).

Д. . В частности, , т.е. они антикоммутируют. Алгебра (так называют правила умножения матриц) очень простая - при перестановке матриц просто меняется знак их произведения.

Е. Поскольку матрицы Паули связаны с операторами проекции спина 7на координатные оси для них выполнены обычные коммутационные соотношения для операторов проекций момента на координатные оси

 

(двойка в этом соотношении связана с тем, что ).

Рассмотрим теперь такой вопрос. Пусть частица находится в состоянии

    (10)

Какие значения может принимать в этом состоянии проекция спина на ось  и с какими вероятностями? Для ответа на этот вопрос необходимо найти собственные функции оператора  и разложить по ним функцию (10).

Решаем уравнение

    (11)

или

     (12)

Система однородных алгебраических уравнений (12) имеет ненулевые решения в том случае, когда определитель этой системы равен нулю

     (13)

Отсюда находим возможные значения проекций спина на ось  (которые, как это и должно быть, равны возможным значениям проекции спина на ось ):

    (14)

Подставляя теперь собственные значения (14) в систему уравнений (12), находим собственные функции

  

  (15)

(множители возникли из условия нормировки).

Разложим теперь функцию (10) по собственным функциям (15). Это разложение имеет следующий вид

   (16)

Отсюда согласно постулатам квантовой механики находим вероятности различных значений проекции спина на ось  в состоянии (10):

 

 (17)

Из формул (17), в частности, следует, что если частица находится в состоянии с определенной проекцией спина на ось  ( или ), то вероятности различных значений проекции спина на ось  одинаковы, что находится в соответствии с общим результатом, полученным ранее для собственных состояний операторов момента импульса в квантовой механике. В заключение отметим, что из формул (17) для вероятностей следует, что среднее значений проекции спина на ось  равно

    (18)

Этот же результат можно получить, с использованеим квантовомеханической формулы для средних

    (19)

где  - спиновая функция (10), а матрица оператора  определяется формулой (8).

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34589. ОСНОВНЫЕ ФАКТОРЫ РОССИЙСКОГО ИСТОРИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА 19.56 KB
  Самобытность России во многом определяется ее географическим положением между Европой и Азией миром модернизации и миром традиционности. Этот фактор накладывает отпечаток на историческое развитие России. В самой России начиная с XVIII в. Главным среди природных факторов был континентальный характер расположения территории России.
34590. МЕСТО РОССИИ СРЕДИ МИРОВЫХ ЦИВИЛИЗАЦИЙ 24 KB
  МЕСТО РОССИИ СРЕДИ МИРОВЫХ ЦИВИЛИЗАЦИЙ Составитель: С. Соответственно и место России во всемирной истории определялось с точки зрения принадлежности ее к одной из общественноэкономических формаций.К какому же типу отнести Россию В какой мере самобытна цивилизация России Ответы на эти вопросы давались историками публицистами общественными деятелями с высоты своего времени с учетом всего предшествующего развития России а также в соответствии со своими идейнополитическими установками. Абсолютное большинство населения России исповедует...
34591. ВОСТОЧНЫЕ СЛАВЯНЕ В ДОФЕОДАЛЬНЫЙ ПЕРИОД 22.91 KB
  ВОСТОЧНЫЕ СЛАВЯНЕ В ДОФЕОДАЛЬНЫЙ ПЕРИОД Составитель: Л. Степанова Появление славян как самостоятельного этноса согласно археологическим материалам произошло еще в первое тысячелетие до н. славяне известны под именем антов и венедов. в источниках появляется имя славяне.
34592. ДРЕВНЕРУССКОЕ ГОСУДАРСТВО: ЗАКОНОМЕРНОСТИ И ОСОБЕННОСТИ ОБРАЗОВАНИЯ, СОЦИАЛЬНЫЙ И ПОЛИТИЧЕСКИЙ СТРОЙ (IX – начало XII вв.) 21.55 KB
  Но произошло это объединение в результате похода князя Олега датируемого летописью 882 годом при активном участии его Руси варяжской дружины вместе с другими племенами Поильменья. Рассматривая особенности политического устройства Киевской Руси следует выделить такой родоплеменной пережиток как наследование великого княжения по старшинству. Это заставляло всю многочисленную родню Рюриковичей время от времени менять свое пребывание в одном из княжеств и перебираться в другое что не способствовало ни укреплению центральной власти в Киеве...
34593. США во Второй мировой войне 14.25 KB
  Когда УВП не удалось взять под свой контроль добычу и поставки сырья Рузвельт создал сначала управление экономической стабилизации а затем управление военной мобилизации наделенное чуть ли не диктаторскими полномочиями. Комиссия по справедливому найму которую Рузвельт был вынужден создать под угрозой негритянского марша на Вашингтон во главе с Филипом Рэндолфом председателем профсоюза железнодорожных проводников помогла афроамериканцам бороться с дискриминацией в военной промышленности особенно после того как в 1943 Рузвельт наделил...
34594. США в конце XX – начале XXI вв 15.84 KB
  Укрепление политического экономического военного лидерства в мире стало ведущей идеей политики США во второй половине XX начале XXI в. Этому способствовало с одной стороны ключевое положение США в ООН в составе 5 государств членов Совета Безопасности а с другой активное участие в создании НАТО сети других военнополитических блоков. Была развернута сеть военных баз и объектов США в Европе в государствах участниках НАТО на Дальнем Востоке и в бассейне Тихого океана в Латинской Америке и зоне Карибского бассейна на Ближнем...
34595. Соединенное Королевство: географическое положение, рельеф, природные условия, флора и фауна. Символы 40.5 KB
  Официально же она именуется Соединенное Королевство Великобритании и Северной Ирландии. В целом на их долю приходится приблизительно 1 3 площади Великобритании и бoльшая часть Северной Ирландии. В Северной Ирландии змей нет. Символы: Флаг Соединенного Королевства Великобритании и Северной Ирландии или как его принято называть Юнион Джек Union Jck является сочетанием трех крестов святых покровителей Англии прямой красный крест на белом поле крест Св.
34596. Столетняя война 17.15 KB
  Столетняя война наименование длительного военного конфликта между Англией и Францией 13371453 вызванного стремлением Англии вернуть принадлежавшие ей на континенте Нормандию Мен Анжу и др. а также династическими притязаниями английских королей на французский престол. война между Англией и Францией. причины войны: стремление Франции вытеснить Англию с югозапада страны провинция Гиень и ликвидировать этот последний оплот английской власти на франц.
34597. Династия Тюдоров. Генрих VII 19.17 KB
  Генрих VII Генрих VII Тюдор 28 января 1457 21 апреля 1509 король Англии и государь Ирландии 1485 1509. Родители: Эдмунд Тюдор 1й граф Ричмонд; единоутробный брак короля Генриха VI Маргарита Бофорт. 1471 гибель Генриха VI и принца Уэльского Генрих почти единственный родственник Ланкастеров. Генрих поклялся в Ренне в случае захвата власти жениться на дочери Эдуарда IV Елизавете Йоркской.