19036

Спин 1/2. Спиновые функции, операторы спина. Матрицы Паули и их свойства. Разложение по спиновым функциям

Лекция

Физика

Лекция 18 Спин 1/2. Спиновые функции операторы спина. Матрицы Паули и их свойства. Разложение по спиновым функциям Целый ряд элементарных частиц электроны нейтроны протоны и другие обладают спином . По этой причине рассмотрим подробно свойства спиновых функций и

Русский

2013-07-11

1.1 MB

101 чел.

Лекция 18

Спин 1/2. Спиновые функции, операторы спина. Матрицы Паули и их свойства. Разложение по спиновым функциям

Целый ряд элементарных частиц – электроны, нейтроны, протоны и другие – обладают спином . По этой причине рассмотрим подробно свойства спиновых функций и операторов именно в этом случае.

В этом случае проекция спина на ось  может принимать два значения  и , а потому спиновые волновые функции представляют собой двухкомпонентные спиноры

    (1)

причем вероятности различных значений проекции спина на ось  равны

  (2)

Построим матрицы спиновых операторов в -представлении. В этом представлении базисными функциями являются собственные функции оператора . Очевидно такими функциями являются следующие спиноры

   (3)

Действительно, в состоянии  проекция спина на ось  принимает единственное значение , и, следовательно, эта функция – собственная для оператора , отвечающая собственному значению +1/2. Аналогично, функция  - собственная функция оператора , отвечающая собственному значению -1/2.

Очевидно, искомые матрицы спиновых операторов представляют собой матрицы размерности . Начнем с построения матрицы оператора . Так как функции (3) – собственные функции оператора , то для искомой матрицы оператора  выполнены следующие условия

   (4)

Из формул (4) находим

     (5)

Для построения матриц операторов  и  найдем сначала матрицы операторов . Поскольку коммутационные соотношения между операторами проекций спина такие же, как для операторов орбитального момента, то при действии операторов  на собственные функции оператора  получаются также собственные функции этого оператора, отвечающие на единицу большему или меньшему собственному значению. При действии операторов  () на собственную функцию, отвечающую максимальному (минимальному) собственному значению получается спиновая функция, тождественно равная нулю, то есть нулевой столбец. Поэтому

    (6)

Из соотношений (6) найдем, что

      (7)

Из (7) и определения операторов  находим

     (8)

Матрицы операторов ,  и  (5), (8) (без множителей 1/2) называются матрицами Паули и обозначаются ,  и .

Матрицу оператора  легко найти, возводя в квадрат и складывая матрицы операторов проекций момента (5), (8)

      (9)

Матрицу (9) можно было бы получить и по-другому из следующих рассуждений. Поскольку любая спиновая функция для частицы со спином 1/2 (то есть любой двумерный столбец) является собственной функцией оператора , отвечающей собственному значению  (так как квадрат вектора спина такой частицы имеет в любом состоянии определенное значение), то матрица оператора  является диагональной, причем диагональные матричные элементы равны , то есть матрица оператора  и есть матрица (9).

Свойства матриц Паули

А. Все матрицы Паули, как матрицы операторов физических величин являются эрмитовыми.

Б. Для всех матриц Паули выполнено условие , где 1 – единичная матрица. Это можно проверить непосредственно. Это утверждение есть следствие того факта, что квадрат проекции спина частицы со спином ½ в любом состоянии имеет определенное значение (т.к. есть две возможности для проекции спина +1/2 и –1/2, а квадраты обоих этих чисел – ¼).

В.

Г. Любая матрица (22) может быть представлена в виде: . Это связано с тем, что единичная матрица и три матрицы Паули () образуют полный набор матриц (2), так как пространство таких матриц четырехмерно – матрица определяется заданием четырех чисел, поэтому любые четыре линейно независимые матрицы будут образовывать базис в пространстве таких матриц).

Д. . В частности, , т.е. они антикоммутируют. Алгебра (так называют правила умножения матриц) очень простая - при перестановке матриц просто меняется знак их произведения.

Е. Поскольку матрицы Паули связаны с операторами проекции спина 7на координатные оси для них выполнены обычные коммутационные соотношения для операторов проекций момента на координатные оси

 

(двойка в этом соотношении связана с тем, что ).

Рассмотрим теперь такой вопрос. Пусть частица находится в состоянии

    (10)

Какие значения может принимать в этом состоянии проекция спина на ось  и с какими вероятностями? Для ответа на этот вопрос необходимо найти собственные функции оператора  и разложить по ним функцию (10).

Решаем уравнение

    (11)

или

     (12)

Система однородных алгебраических уравнений (12) имеет ненулевые решения в том случае, когда определитель этой системы равен нулю

     (13)

Отсюда находим возможные значения проекций спина на ось  (которые, как это и должно быть, равны возможным значениям проекции спина на ось ):

    (14)

Подставляя теперь собственные значения (14) в систему уравнений (12), находим собственные функции

  

  (15)

(множители возникли из условия нормировки).

Разложим теперь функцию (10) по собственным функциям (15). Это разложение имеет следующий вид

   (16)

Отсюда согласно постулатам квантовой механики находим вероятности различных значений проекции спина на ось  в состоянии (10):

 

 (17)

Из формул (17), в частности, следует, что если частица находится в состоянии с определенной проекцией спина на ось  ( или ), то вероятности различных значений проекции спина на ось  одинаковы, что находится в соответствии с общим результатом, полученным ранее для собственных состояний операторов момента импульса в квантовой механике. В заключение отметим, что из формул (17) для вероятностей следует, что среднее значений проекции спина на ось  равно

    (18)

Этот же результат можно получить, с использованеим квантовомеханической формулы для средних

    (19)

где  - спиновая функция (10), а матрица оператора  определяется формулой (8).

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

64417. Садові листовійки – філофаги в насадженнях яблуні та регулювання їх чисельності в Передгірному Криму 578 KB
  Останнім часом йде реконструкція старих насаджень поява садів нового типу за сучасними схемами посадки типами крони сортовим складом що відбивається на формуванні фауни листовійок у садових агроценозах.
64418. ЕФЕКТИВНІСТЬ СИСТЕМ ІНЖЕНЕРНОГО ЗАХИСТУ ВІД ПІДТОПЛЕННЯ САМОПЛИВНОГО ТА ПРИМУСОВОГО ТИПУ ТА НАПРЯМИ ЇХ УДОСКОНАЛЕННЯ 7.36 MB
  В Україні істотно поширені процеси підтоплення сільськогосподарських угідь і сільських населених пунктів, які супроводжуються підйомом рівня ґрунтових вод (РҐВ) та зумовлюють низку негативних процесів.
64419. КОМПЛЕКС ФІТОНЕМАТОД АГРОЦЕНОЗІВ ХМЕЛЮ ТА ЗАХОДИ РЕГУЛЯЦІЇ ЇХ ЧИСЕЛЬНОСТІ В ЗОНІ ПОЛІССЯ ТА ЛІСОСТЕПУ УКРАЇНИ 394.5 KB
  Тому одним із основних заходів збільшення валового збору хмелю і поліпшення його якості є надійний захист насаджень від патогенних організмів серед яких одними з найменш вивчених є паразитичні нематоди.
64420. РОЗВИТОК МЕТОДІВ МОДЕЛЮВАННЯ ТЕХНІЧНИХ ЗАСОБІВ ЕНЕРГОЗБЕРЕЖЕННЯ СИСТЕМ УПРАВЛІННЯ ДЛЯ ТЕПЛОВОЗНИХ ДИЗЕЛЬ-ГЕНЕРАТОРІВ 649 KB
  Питання підвищення енергозбереження тепловозних силових установок в умовах стрімкого зростання цін на дизельне паливо в Україні і інших країнах розглядається як одне з першорядних.
64421. ФОРМУВАННЯ ІНСТИТУТУ КОНСОЛІДАЦІЇ ПОЛІТИЧНОЇ ЕЛІТИ В СУЧАСНІЙ УКРАЇНІ 210.5 KB
  В аспекті вивчення шляхів формування демократичної політичної еліти яка ефективно здійснює державне управління з метою реалізації національних інтересів важливе місце займає дослідження інституційних...
64422. МОДЕЛЮВАННЯ ТА ВДОСКОНАЛЕННЯ ПРОЦЕСУ ПЛАСТИФІКАЦІЇ КОНДИТЕРСЬКИХ МАС 354 KB
  Одним з найбільш перспективних напрямів вирішення цієї проблеми є математичне моделювання технологічних процесів для визначення фізико-хімічних і реологічних показників напівфабрикатів на всіх стадіях виробництва.
64423. Особливості успадкування кількісних ознак донорів короткостебловості жита озимого та їх використання в селекції 276.5 KB
  Згідно з поставленою метою вирішували такі завдання: встановити особливості фенотипової і генотипової мінливості успадковуваності фенотипових і генотипових кореляцій та селекційну цінність ознак донорів короткостебловості...
64424. Ефективність мультипробіотику «Симбітер-2» при дисбактеріозі ротової порожнини у хворих на вторинну адентію 666 KB
  Мета оцінка стану мікробіоценозів екологічної ніші ротової порожнини при вторинній адентії та розробка підступів щодо їх корекції з використанням мультипробіотику...
64425. ОЦІНКА ЗАЛИШКОВОГО РЕСУРСУ КУЗОВА ЛЕГКОВОГО АВТОМОБІЛЯ У ЕКСПЛУАТАЦІЙНИХ УМОВАХ 475.73 KB
  Після проведення такого кваліфікованого ремонту автомобіля з малим пробігом за допомогою сучасних технологій досвідчений автоексперт не може визначити чи проводився ремонт кузова досліджуваного автомобіля.