19037

Собственный магнитный момент. Уравнение Паули. Движение заряженной частицы в магнитном поле. Уровни Ландау

Лекция

Физика

Лекция 19 Собственный магнитный момент. Уравнение Паули. Движение заряженной частицы в магнитном поле. Уровни Ландау Многие элементарные частицы в том числе и незаряженные имеют магнитный момент не связанный с ее движением в пространстве а связанный с внутренними ...

Русский

2013-07-11

416.5 KB

16 чел.

Лекция 19

Собственный магнитный момент. Уравнение Паули. Движение заряженной частицы в магнитном поле. Уровни Ландау

Многие элементарные частицы (в том числе и незаряженные) имеют магнитный момент, не связанный с ее движением в пространстве, а связанный с внутренними степенями свободы.. Ясно, что природа этой величины такая же, как и природа спинового момента, поэтому оператор магнитного момента пропорционален оператору спина:

  (1)

где  - максимальное собственное значение оператора проекции спина (или, другими словами, спин частицы). Из формулы (1) следует, что максимальное собственное значение оператора проекции магнитного момента равно:

 

Эта величина и есть магнитный момент частицы. Как следует из (1) вектор магнитного момента направлен по или против собственного механического момента (спина). Например, для электрона, , где  - масса электрона,  - элементарный заряд. Это значение момента следует из релятивистского уравнения движения (уравнения Дирака).

Величину  называют магнетоном Бора.

Для нейтрона: , где  - ядерный магнетон ( - масса протона). Он приблизительно в 2000 раз меньше магнетона Бора  за счет разницы масс электрона и протона. Знак минуса у магнитного момента нейтрона показывает, что спин нейтрона направлен против его спина. Для протона: .

Рассмотрим заряженную частицу во внешнем электромагнитном поле.

Пусть частицы со спином находится в электромагнитном поле,  и - напряженности электрического и магнитного поля.

- векторный и скалярный потенциалы этого поля.

  (2)

Чтобы написать оператор Гамильтона этой частицы необходимо написать классическую функцию Гамильтона частицы в поле, а затем заменить координаты и импульсы в этом выражении на квантовомеханические операторы. Имеем:

  (3)

Поскольку бесспиновые частицы не обладают магнитным моментом, для таких частиц последнее слагаемое формулы (3) равно нулю.

Уравнение Шредингера

 (4)

с таким гамильтонианом (3) называется уравнением Паули. В силу того, что потенциалы электромагниного поля  и  определены неоднозначно, то и волновая функция частицы со спином в электромагнитном поле, которая является решением уравнения (3) имеет разный вид в различных калибровках.

Градиентное преобразование

Напомним, что градиентным преобразованием в электродинамике называется преобразование потенциалов

  (5)

которое не меняет напряженности электрического и магнитного полей (в этом можно убедиться непосредственно, вычисляя поля для двух наборов потенциалов , связанных преобразованием (5)). Посмотрим, как изменяется решение уравнение Паули при градиентном преобразовании потенциалов.

Непосредственной проверкой можно убедиться, что решением нового уравнение Шредингера (после градиентного преобразования)

(6)

будет следующая функция:

  (7)

где  - функция, определяющая градиентное преобразование. А поскольку функция  действительна, из формулы (7) следует, что никакие вероятности и средние в результате градиентного преобразования не изменяются (так как определяются квадратом модуля волновой функции). Такое свойство уравнения Шредингера называется градиентной или калибровочной инвариантностью (отметим, что этим же свойством обладают и классические уравнения Гамильтона)

Движение частицы в постоянном однородном магнитном поле. Уровни Ландау

Рассмотрим задачу об электроне в постоянном магнитном поле. Направим ось  системы координат по полю . Тогда векторный потенциал можно выбрать в виде

 (8)

Скалярный потенциал возьмем равным нулю (легко проверить, что при таком выборе потенциалов получаются нужные поля).

Уравнение Шредингера для бесспиновой заряженной частицы в таком магнитном поле имеет вид:

  (9)

где  и  - волновые функции и энергии стационарных состояний частицы. В этом уравнении можно сразу разделить переменные, причем зависимость волновой функции от  и  будет плоской волной

 (10)

где  и  - некоторые постоянные. Подставляя функцию (10) в уравнение (9), получим следующее уравнение для функции :

 (11)

Уравнение (11) легко сводится к уравнению Шредингера для одномерного гармонического осциллятора. Для этого введем следующие обозначения

 (12)

В результате после элементарных преобразований вместо уравнения (11) получим новое уравнение

 (13)

а это и есть уравнение Шредингера для одномерного гармонического осциллятора с массой  и частотой  (обратим внимание на то, что частота  совпадает с классической частотой вращения частицы в магнитном поле). Поэтому можно сразу написать решения

  (14)

здесь

 (15)

безразмерная координата частицы. Отсюда находим энергии и волновые функции стационарных стсояний частицы в магнитном поле, направленном вдоль оси :

  (16)

 (17)

Из формул (16), (17) следует, что движение частицы разделилось на равномерное движение вдоль оси  (энергии такого движения отвечает первое слагаемое формулы (16)) и колебательное (вращение) в плоскости  (второе слагаемое в (16)). При этом то обстоятельство, что гармоническое движение происходит как будто бы только по оси , в то время как классическое круговое движение в плоскости  представляет собой колебания и по оси  и по оси , связано с тем, что волновая функция  описывает состояние с неопределенным положением равновесия для колебания вдоль оси . А поскольку энергия не зависит от , имеет место вырождение уровней энергии (с бесконечно высокой кратностью вырождения), которое соответствует различным положениям положения равновесия для колебания по оси . Поэтому той же энергии отвечают любые состояния вида

 (18)

где  - произвольная функция  (в подынтегральном выражении в (18) от  не только показатель комплексной экспоненты, но и безразмерный аргумент полиномов Эрмита и действительной экспоненты; см. формулу (15)). Функцию  можно подобрать так, что решение (18) будет отвечать определенному положению равновесия для колебания вдоль оси , и неопределенному вдоль оси .

Рассмотренные решения задачи о движении заряженной частицы в магнитном поле принято называть «уровнями Ландау».

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

38290. Історія України. Витоки українського народу 211.73 KB
  Запропонований опорний конспект лекцій з курсу âІсторія України укладений з урахуванням програми курсу історії України для вищих навчальних закладів економічного профілю. Основна мета опорного конспекту лекцій розглянути витоки українського народу його формування та розвиток особливості державотворчих процесів на українських землях соціальноекономічний та культурний розвиток України в контексті історії світової цивілізації. Опорний конспект лекцій з курсу âІсторія України містить зміст тем курсу âІсторія України окремі...
38292. Конкурентоспособность: сущность, измерение, показатели 105 KB
  И выпуск качественной недорогой конкурентоспособной продукции и услуг по сравнению с аналогами главная задача любой фирмы в любой стране. Выпуск конкурентоспособной продукции и ее реализация завершают кругооборот хозяйственных средств предприятия что позволяет ему выполнять обязательства перед государственным бюджетом банком по ссудам рабочими и служащими поставщиками и возмещать производственные затраты. Достижение конкурентоспособности своей продукции и увеличение объема ее...
38293. Конституційне право 282 KB
  Декларація про державний суверенітет України від 16 липня 1990 р.Декларація стала основою для прийняття нової Конституції законів України проголосивши три види суверенітету: державний національний і народний. Народ України є єдиним джерелом державної влади в Україні. Від імені всього народу може виступати виключно Верховна Рада України.
38294. Кримінальне право 407 KB
  Часом вчинення злочину визнається час вчинення особою передбаченої законом про кримінальну відповідальність дії або бездіяльності. Питання про КВ дипломатичних представників іноземних держав та інших громадян які за законами України і міжнародними договорами згода на обов'язковість яких надана ВРУ не є підсудні у кримінальних справах судам України в разі вчинення ними злочину на території України вирішується дипломатичним шляхом.8 âЧинність закону про кримінальну відповідальність щодо злочинів вчинених іноземцями або особами без...
38295. Теорія аграрних відносин та аграрна політика 1.08 MB
  Однією із найбільш важливих сфер господарювання людей є відносини які виникають в сфері де головним засобом виробництва є земля. Першою особливістю є специфічний засіб виробництва земля яка характеризується як невіттворюваний елемент виробництва збільшити який практично не можливо. Вплив природних умов викликає в цій галузі особливий технологічний спосіб виробництва. Це вимагає від виробника врахування постійних непередбачуваний змін в технологічному процесі більшу ніж в інших галузях виробництва.
38296. Теорія та метод К.Маркса, А.Маршалла, Дж.М.Кейнса 647 KB
  Навчальний курс «Теорія та метод К. Маркса, А. Маршалла, Дж.М.Кейнса» є своєрідним поглибленням та продовженням політичної економії, мікро- макроекономіки, історії економічних учень та інших наук, які були вивчені студентами раніше, і мали за мету дати майбутнім фахівцям економістам-теоретикам більш чітке й детальне уявлення про історичні умови формування учень, предмет та методологію дослідження наведених вище видатних економістів
38297. Международное право 490.5 KB
  ПОНЯТИЕ МЕЖДУНАРОДНОГО ПРАВА Возникновение и основные этапы развития международного права Международное право: понятие и сущность особенности и функции Соотношение международного и внутригосударственного права: доктрины механизмы воздействия Система международного права. Институты и отрасли международного права Тема 2. ИСТОЧНИКИ МЕЖДУНАРОДНОГО ПРАВА Нормы международного права их особенности и виды.
38298. Види і форми міжнародної відповідальності 198 KB
  Проблема відповідальності в міжнародному праві безпосередньо пов’язана з функціонуванням міжнародного права та забезпеченням миру і правопорядку у світі. Таке розуміння цього міжнародно-правового інституту характерне, як для міжнародної наукової доктрини, так і для вітчизняної.