19037

Собственный магнитный момент. Уравнение Паули. Движение заряженной частицы в магнитном поле. Уровни Ландау

Лекция

Физика

Лекция 19 Собственный магнитный момент. Уравнение Паули. Движение заряженной частицы в магнитном поле. Уровни Ландау Многие элементарные частицы в том числе и незаряженные имеют магнитный момент не связанный с ее движением в пространстве а связанный с внутренними ...

Русский

2013-07-11

416.5 KB

15 чел.

Лекция 19

Собственный магнитный момент. Уравнение Паули. Движение заряженной частицы в магнитном поле. Уровни Ландау

Многие элементарные частицы (в том числе и незаряженные) имеют магнитный момент, не связанный с ее движением в пространстве, а связанный с внутренними степенями свободы.. Ясно, что природа этой величины такая же, как и природа спинового момента, поэтому оператор магнитного момента пропорционален оператору спина:

  (1)

где  - максимальное собственное значение оператора проекции спина (или, другими словами, спин частицы). Из формулы (1) следует, что максимальное собственное значение оператора проекции магнитного момента равно:

 

Эта величина и есть магнитный момент частицы. Как следует из (1) вектор магнитного момента направлен по или против собственного механического момента (спина). Например, для электрона, , где  - масса электрона,  - элементарный заряд. Это значение момента следует из релятивистского уравнения движения (уравнения Дирака).

Величину  называют магнетоном Бора.

Для нейтрона: , где  - ядерный магнетон ( - масса протона). Он приблизительно в 2000 раз меньше магнетона Бора  за счет разницы масс электрона и протона. Знак минуса у магнитного момента нейтрона показывает, что спин нейтрона направлен против его спина. Для протона: .

Рассмотрим заряженную частицу во внешнем электромагнитном поле.

Пусть частицы со спином находится в электромагнитном поле,  и - напряженности электрического и магнитного поля.

- векторный и скалярный потенциалы этого поля.

  (2)

Чтобы написать оператор Гамильтона этой частицы необходимо написать классическую функцию Гамильтона частицы в поле, а затем заменить координаты и импульсы в этом выражении на квантовомеханические операторы. Имеем:

  (3)

Поскольку бесспиновые частицы не обладают магнитным моментом, для таких частиц последнее слагаемое формулы (3) равно нулю.

Уравнение Шредингера

 (4)

с таким гамильтонианом (3) называется уравнением Паули. В силу того, что потенциалы электромагниного поля  и  определены неоднозначно, то и волновая функция частицы со спином в электромагнитном поле, которая является решением уравнения (3) имеет разный вид в различных калибровках.

Градиентное преобразование

Напомним, что градиентным преобразованием в электродинамике называется преобразование потенциалов

  (5)

которое не меняет напряженности электрического и магнитного полей (в этом можно убедиться непосредственно, вычисляя поля для двух наборов потенциалов , связанных преобразованием (5)). Посмотрим, как изменяется решение уравнение Паули при градиентном преобразовании потенциалов.

Непосредственной проверкой можно убедиться, что решением нового уравнение Шредингера (после градиентного преобразования)

(6)

будет следующая функция:

  (7)

где  - функция, определяющая градиентное преобразование. А поскольку функция  действительна, из формулы (7) следует, что никакие вероятности и средние в результате градиентного преобразования не изменяются (так как определяются квадратом модуля волновой функции). Такое свойство уравнения Шредингера называется градиентной или калибровочной инвариантностью (отметим, что этим же свойством обладают и классические уравнения Гамильтона)

Движение частицы в постоянном однородном магнитном поле. Уровни Ландау

Рассмотрим задачу об электроне в постоянном магнитном поле. Направим ось  системы координат по полю . Тогда векторный потенциал можно выбрать в виде

 (8)

Скалярный потенциал возьмем равным нулю (легко проверить, что при таком выборе потенциалов получаются нужные поля).

Уравнение Шредингера для бесспиновой заряженной частицы в таком магнитном поле имеет вид:

  (9)

где  и  - волновые функции и энергии стационарных состояний частицы. В этом уравнении можно сразу разделить переменные, причем зависимость волновой функции от  и  будет плоской волной

 (10)

где  и  - некоторые постоянные. Подставляя функцию (10) в уравнение (9), получим следующее уравнение для функции :

 (11)

Уравнение (11) легко сводится к уравнению Шредингера для одномерного гармонического осциллятора. Для этого введем следующие обозначения

 (12)

В результате после элементарных преобразований вместо уравнения (11) получим новое уравнение

 (13)

а это и есть уравнение Шредингера для одномерного гармонического осциллятора с массой  и частотой  (обратим внимание на то, что частота  совпадает с классической частотой вращения частицы в магнитном поле). Поэтому можно сразу написать решения

  (14)

здесь

 (15)

безразмерная координата частицы. Отсюда находим энергии и волновые функции стационарных стсояний частицы в магнитном поле, направленном вдоль оси :

  (16)

 (17)

Из формул (16), (17) следует, что движение частицы разделилось на равномерное движение вдоль оси  (энергии такого движения отвечает первое слагаемое формулы (16)) и колебательное (вращение) в плоскости  (второе слагаемое в (16)). При этом то обстоятельство, что гармоническое движение происходит как будто бы только по оси , в то время как классическое круговое движение в плоскости  представляет собой колебания и по оси  и по оси , связано с тем, что волновая функция  описывает состояние с неопределенным положением равновесия для колебания вдоль оси . А поскольку энергия не зависит от , имеет место вырождение уровней энергии (с бесконечно высокой кратностью вырождения), которое соответствует различным положениям положения равновесия для колебания по оси . Поэтому той же энергии отвечают любые состояния вида

 (18)

где  - произвольная функция  (в подынтегральном выражении в (18) от  не только показатель комплексной экспоненты, но и безразмерный аргумент полиномов Эрмита и действительной экспоненты; см. формулу (15)). Функцию  можно подобрать так, что решение (18) будет отвечать определенному положению равновесия для колебания вдоль оси , и неопределенному вдоль оси .

Рассмотренные решения задачи о движении заряженной частицы в магнитном поле принято называть «уровнями Ландау».

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

68838. Контекстно-вільні граматики 85 KB
  Традиційною основою для синтаксичного аналізу є контекстновільні граматики. Коли якунебудь мову програмування не можна генерувати за допомогою контекстновільної граматики завжди можна знайти таку контекстновільну граматику що генерує супермову у якій міститься подана. З наведених раніше означень...
68839. Автомати з магазинною пам’яттю 132 KB
  Але на відміну від МНПмашини пам’ять МПавтомата побудована за принципом організації стека. Елементи інформації зберігаються та використовуються як патрони у автоматичній зброї тобто у кожний момент доступний тільки верхній елемент магазину.
68840. Детермінований синтаксичний аналіз (s- та q-граматики) 154 KB
  КВграматика називається sграматикою тоді і тільки тоді коли 1 права частина кожного правила починається терміналом; 2 якщо два правила мають співпадаючі ліві частини такі правила називаються альтернативними то праві частини цих правил починаються різними символами. Тепер означимо множину вибору для кожного правила.
68841. Визначення множин вибору продукцій (продовження) 242 KB
  Розглядається права частина кожного правила, починаючи з лівого символу. Якщо поточний символ - термінал, то він включається у множину ПЕРШ для поданого правила, і процес зупиняється. В іншому разі у множину, що формується, включається множина ПЕРШ для поточного нетермінала, і якщо цей нетермінал анулює...
68842. Критерії вибору та вибір архітектури комп’ютера та периферії 1.96 MB
  Задачі вибору архітектури комп’ютера та периферії. Критерії вибору: вартість, продуктивність, надійність, пропускна здібність, модульний принцип побудови, масштабованість, сумісність програмного забезпечення. Орієнтування на клас задач. Модернізованість. Вибір основних складових комп’ютера