19038

Сложение моментов. Коэффициенты Клебша-Гордана

Лекция

Физика

Лекция 20 Сложение моментов. Коэффициенты КлебшаГордана Поскольку в классической механике суммарный момент импульса системы из двух частиц равен векторной сумме моментов частиц квантовомеханический оператор суммарного момента двух частиц определяется как

Русский

2013-07-11

1.3 MB

23 чел.

Лекция 20

Сложение моментов. Коэффициенты Клебша-Гордана

Поскольку в классической механике суммарный момент импульса системы из двух частиц равен векторной сумме моментов частиц, квантовомеханический оператор суммарного момента двух частиц определяется как

     (1)

где  и  - операторы координаты и импульса первой частицы (эти операторы действуют только на те аргументы волновой функции системы двух частиц, которые относятся к первой частице),  и  - операторы координаты и импульса второй частицы (здесь и далее суммарный момент импульса двух частиц обозначается символом ). При этом так как операторы момента первой и второй частицы действуют на разные аргументы волновой функции, то операторы момента первой и второй частицы коммутируют друг с другом. Кроме того, можно проверить, что для операторов проекций суммарного момента справедливы те же коммутационные соотношения, что и для оператора момента импульса одной частицы:

      (2)

(в этой лекции ). Благодаря соотношению (2) операторы квадрата суммарного момента и его проекции на любую ось коммутируют. Это, в частности, означает, что операторы  и  имеют общие собственные функции, а операторы различных проекций суммарного момента импульса общих собственных функций не имеют (за исключением одного состояния с нулевыми проекциями). Собственными значениями оператора  могут являться только числа , где  - целое или полуцелое неотрицательное число. Собственными значениями оператора  могут являться положительные и отрицательные целые числа, причем в состоянии, в котором квадрат суммарного момента имеет определенное значение , проекция момента может принимать значения .

Найдем собственные значения и собственные функции операторов  и . Стартуем с общих собственных функций операторов , , , . Поскольку эти операторы коммутируют, у них существуют общие собственные функции, которые равны произведениям сферических функций, зависящих от координат первой и второй частиц

  (3)

где моменты и проекции моментов каждой частицы могут принимать любые допустимые для них значения.

Легко сообразить, что функции (3), вообще говоря, не будут собственными функциями оператора , поскольку оператор  не коммутирует с операторами  и  (это доказывается элементарно с использованием определения оператора суммарного момента и коммутационных соотношений для проекций момента импульса частицы). Из этого утверждения следует, что в тех состояниях, в которых проекции моментов частиц имеют определенные значения, суммарный момент определенного значения, вообще говоря, не имеет (и наоборот).

Можно доказать, что оператор квадрата суммарного момента и его проекция коммутируют с операторами квадрата момента каждой частицы

   (4)

Из формулы (4) следует, что четыре оператора  имеют полную систему собственных функций. Обозначим эти функции как

     (5)

где квантовые числа – собственные значения указанных выше операторов.

Поскольку обе системы функций  и  (для всех возможных значений индексов) являются полными (как собственные функции коммутирующих эрмитовых операторов), то любую из этих функций можно разложить в ряд по системе других функций. В частности

 (6)

где суммирование проводится по тем значениям квантовых чисел  - собственным значениям квадрата суммарного момента и его проекции – которые они могут принимать в состоянии с определенными значениями квадрата момента каждой частицы. Коэффициенты разложения  называются коэффициентами Клебша-Гордана. В связи с формулой (6) отметим, что суммирование по индексам, определяющим собственные значения операторов , не должно проводится, так как и функции , и функции  являются собственными функциями этих операторов. Отметим также, что существуют различные варианты как обозначений этих коэффициентов, так и произношения фамилий. Согласно основным принципам квантовой механики квадраты коэффициентов Клебша-Гордана  определяют вероятность того, что в состоянии с определенными значениями квадратов моментов каждой частицы и их проекций  квадрат суммарного момента и его проекция на имеют те или иные значения .

Коэффициенты Клебша-Гордана можно выразить через скалярные произведения функций  и . Действительно, умножая равенство (6) на функцию , интегрируя по координатам первой и второй частиц и пользуясь ортонормированностью функций , получим

    (7)

Поскольку функции  и  определены с точностью до фазового множителя, фаза коэффициентов Клебша-Гордана является, вообще говоря, неопределенной. Оказывается, что фазы волновых функции  и  всегда можно выбрать так, чтобы коэффициенты Клебша-Гордана были действительными. В дальнейшем будем предполагать именно такой выбор фаз. Отсюда сразу следует, что и обратное разложение - функции  по системе функций  - определяется теми же самыми коэффициентами Клебша-Гордана. Действительно, умножая обратное разложение

 (8)

(мы пока обозначили коэффициенты разложения как ) на функцию  и интегрируя, получим

    (9)

А поскольку коэффициенты Клебша-Гордана действительны, и разложение  по , и разложение  по  определяются одними и теми же коэффициентами Клебша-Гордана.

Установим теперь, какие значения могут принимать суммарный момент  и его проекция  в состоянии с определенными значениями квантовых чисел . Для проекций момента благодаря линейной связи  ответ очевиден

           (10)

(Поэтому, на самом деле, в суммах (6), (8) не два суммирования, а одно: в сумме (6) – только по квантовому числу , квантовое число  равно сумме . В сумме (8) суммирование проводится по двум квантовым числам  и , но при выполнении условия (10)).

Возможные значения квантового числа  можно установить из следующих соображений. При фиксированных квантовых числах  и  полное количество состояний  равно . Поэтому квантовые числа  и  могут принимать  пар значений. При этом для каждого возможного фиксированного  число  должно пробегать все значения, входящие в мультиплет .

Используем эти обстоятельства для подсчета числа состояний (при фиксированных  и ). Максимальные значения  и , а, следовательно, и  равны

  (11)

А значит, и максимальное значение  равно

     (12)

Далее, есть два состояния, с  (при  и ). Поэтому должно быть и два состояния  с такой проекцией. Но одно из них входит в мультиплет состояний с . Поэтому второе входит в мультиплет состояний с .

При дальнейшем уменьшении  на единицу будет увеличиваться количество состояний с такой проекцией, и, следовательно, будет «подключаться» новый мультиплет состояний с меньшим значением . Однако, легко сообразить, что при уменьшении  меньше, чем , это перестанет происходить. Поэтому это значение  и есть минимальное значение суммарного момента в состояниях с фиксированными  и .

Итак, мы доказали, что при фиксированных квантовых числах  и , и всех возможных проекциях, суммарный момент принимает значения

    (13)

при этом для каждого  проекция  может принимать все возможные значения.

Этот результат имеет наглядное толкование. В квантовой механике не существует состояний, в которых был бы определен вектор момента. Поэтому при сложении складываются состояния с фиксированной длиной вектора момента, но с неопределенным направлением. Поэтому можно получить значение момента , если векторы моментов частиц параллельны, и любые значения до значения , которое реализуется в случае, если векторы моментов частиц антипараллельны.

Коэффициенты Клебша-Гордана удовлетворяют ряду условий.

Во-первых, это условие нормировки вероятностей различных значений суммарного момента в состоянии с определенными значениями моментов и проекций обеих частиц

     (14)

Во-вторых, - условие нормировки вероятностей различных значений проекций моментов частиц в состоянии с определенными значениями суммарного момента и его проекции

     (15)

(в суммах (14)-(15) выполнено условие )

В-третьих, коэффициенты Клебша-Гордана представляют собой матрицу перехода от одного ортонормированного базиса к другому. Поэтому совокупность этих коэффициентов задает унитарное преобразование и образует унитарную квадратную матрицу.

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

41623. Дослідження структури поля в металевих хвилеводах і резонаторах 179.46 KB
  Київ 2010 Мета роботи – дослідити розподіл електромагнітного поля в призматичних та циліндричних хвилеводах та резонаторах методом електричного зонду. Структура поля досліджується за допомогою електричного зонду з детекторною голівкою.
41624. Робота з операторами INSERT, UPDATE, DELETE 47.12 KB
  VLUES із списком з декількох значень підтримується у версії MySQL 3. Синтаксис виразу col_nme=expression підтримується у версії MySQL 3. У MySQL завжди передбачено значення за умовчанням для кожного поля. Ця вимога нав'язана MySQL щоб забезпечити можливість роботи як з таблицями які підтримують транзакції так і з таблицями що не підтримують їх.
41625. Створення резервної копії та відновлення даних з неї 218.34 KB
  Вибрати базу даних. У вікні Загрузка файла вибрати Сохранить та вказати місце на диску для збереження дампу бази даних. Відновлення бази даних за допомогою програми phpMydmin Щоб виконати відновлення бази даних потрібно: Вилучити існуючу базу даних.
41628. Синтез моделей тіла людини за дії допустимих напруг дотику 616.17 KB
  Львів 2013 Мета роботи: розрахувати параметри моделі тіла людини за дії на неї довготривалих допустимих напруг. Загальні відомості про синтез моделей тіла людини Тіло людини як елемент електричного кола складається з декількох шарів з різними електричними характеристиками. За інших рівних умов напруженість електричного поля в тілі тим менша чим вища його електрична проникність що характеризує здатність тіла до поляризації.
41629. ИССЛЕДОВАНИЕ ЦЕПЕЙ С ИНДУКТИВНЫМИ СВЯЗЯМИ 108.39 KB
  Описание установки: В работе используются пара индуктивно связанных катушек: катушки LS и LT с коэффициентом связи KST . Результаты измерений: Ls=L3 Lt=L1 R3=220 Ом R4=20Ом Ls Lt №катушки LмГн RОм №катушки LмГн RОм L3 292 46 L1 83 25 I1=300 мА UL1=16 В Исследование цепи с последовательным включением индуктивно связанных катушек Согласное Встречное IА Uрег В ULS В ULT В UL В I А Uрег В ULS В ULT В UL В 03 816 16 094 196 03 992 406 226 631 Расчеты производятся с использованием пакета Mthcd....
41630. Однофазный трансформатор 36.1 KB
  Паспортные данные исследуемого трансформатора: Собрали схему.При проведении опыта записали характеристики трансформатора в пределах U1=100÷210 B V1 1 W1 V2 220 В АТр Тр Результаты измерений Результаты вычислений B К 100 2015 00165 08 04848 293847 60606 530059 5 068 130 235 00875 12 01054 15673 14857 14774 55 088 150 279 10375 2 00128 1858 1445 14448 53 102 170 313 12 22 00107 1527 1416 14159 54 115 190 349 1375 3 001148 1586 1381 13809 54 129 210 3865 1625 38 00111...
41631. Сервисное программное обеспечение и технологии MS Windows 1022.47 KB
  Вывод приобретел практические навыков при работе с сервисным программным обеспечением, изучение технологий обмена данными в операционной системе MS Windows