19038

Сложение моментов. Коэффициенты Клебша-Гордана

Лекция

Физика

Лекция 20 Сложение моментов. Коэффициенты КлебшаГордана Поскольку в классической механике суммарный момент импульса системы из двух частиц равен векторной сумме моментов частиц квантовомеханический оператор суммарного момента двух частиц определяется как

Русский

2013-07-11

1.3 MB

23 чел.

Лекция 20

Сложение моментов. Коэффициенты Клебша-Гордана

Поскольку в классической механике суммарный момент импульса системы из двух частиц равен векторной сумме моментов частиц, квантовомеханический оператор суммарного момента двух частиц определяется как

     (1)

где  и  - операторы координаты и импульса первой частицы (эти операторы действуют только на те аргументы волновой функции системы двух частиц, которые относятся к первой частице),  и  - операторы координаты и импульса второй частицы (здесь и далее суммарный момент импульса двух частиц обозначается символом ). При этом так как операторы момента первой и второй частицы действуют на разные аргументы волновой функции, то операторы момента первой и второй частицы коммутируют друг с другом. Кроме того, можно проверить, что для операторов проекций суммарного момента справедливы те же коммутационные соотношения, что и для оператора момента импульса одной частицы:

      (2)

(в этой лекции ). Благодаря соотношению (2) операторы квадрата суммарного момента и его проекции на любую ось коммутируют. Это, в частности, означает, что операторы  и  имеют общие собственные функции, а операторы различных проекций суммарного момента импульса общих собственных функций не имеют (за исключением одного состояния с нулевыми проекциями). Собственными значениями оператора  могут являться только числа , где  - целое или полуцелое неотрицательное число. Собственными значениями оператора  могут являться положительные и отрицательные целые числа, причем в состоянии, в котором квадрат суммарного момента имеет определенное значение , проекция момента может принимать значения .

Найдем собственные значения и собственные функции операторов  и . Стартуем с общих собственных функций операторов , , , . Поскольку эти операторы коммутируют, у них существуют общие собственные функции, которые равны произведениям сферических функций, зависящих от координат первой и второй частиц

  (3)

где моменты и проекции моментов каждой частицы могут принимать любые допустимые для них значения.

Легко сообразить, что функции (3), вообще говоря, не будут собственными функциями оператора , поскольку оператор  не коммутирует с операторами  и  (это доказывается элементарно с использованием определения оператора суммарного момента и коммутационных соотношений для проекций момента импульса частицы). Из этого утверждения следует, что в тех состояниях, в которых проекции моментов частиц имеют определенные значения, суммарный момент определенного значения, вообще говоря, не имеет (и наоборот).

Можно доказать, что оператор квадрата суммарного момента и его проекция коммутируют с операторами квадрата момента каждой частицы

   (4)

Из формулы (4) следует, что четыре оператора  имеют полную систему собственных функций. Обозначим эти функции как

     (5)

где квантовые числа – собственные значения указанных выше операторов.

Поскольку обе системы функций  и  (для всех возможных значений индексов) являются полными (как собственные функции коммутирующих эрмитовых операторов), то любую из этих функций можно разложить в ряд по системе других функций. В частности

 (6)

где суммирование проводится по тем значениям квантовых чисел  - собственным значениям квадрата суммарного момента и его проекции – которые они могут принимать в состоянии с определенными значениями квадрата момента каждой частицы. Коэффициенты разложения  называются коэффициентами Клебша-Гордана. В связи с формулой (6) отметим, что суммирование по индексам, определяющим собственные значения операторов , не должно проводится, так как и функции , и функции  являются собственными функциями этих операторов. Отметим также, что существуют различные варианты как обозначений этих коэффициентов, так и произношения фамилий. Согласно основным принципам квантовой механики квадраты коэффициентов Клебша-Гордана  определяют вероятность того, что в состоянии с определенными значениями квадратов моментов каждой частицы и их проекций  квадрат суммарного момента и его проекция на имеют те или иные значения .

Коэффициенты Клебша-Гордана можно выразить через скалярные произведения функций  и . Действительно, умножая равенство (6) на функцию , интегрируя по координатам первой и второй частиц и пользуясь ортонормированностью функций , получим

    (7)

Поскольку функции  и  определены с точностью до фазового множителя, фаза коэффициентов Клебша-Гордана является, вообще говоря, неопределенной. Оказывается, что фазы волновых функции  и  всегда можно выбрать так, чтобы коэффициенты Клебша-Гордана были действительными. В дальнейшем будем предполагать именно такой выбор фаз. Отсюда сразу следует, что и обратное разложение - функции  по системе функций  - определяется теми же самыми коэффициентами Клебша-Гордана. Действительно, умножая обратное разложение

 (8)

(мы пока обозначили коэффициенты разложения как ) на функцию  и интегрируя, получим

    (9)

А поскольку коэффициенты Клебша-Гордана действительны, и разложение  по , и разложение  по  определяются одними и теми же коэффициентами Клебша-Гордана.

Установим теперь, какие значения могут принимать суммарный момент  и его проекция  в состоянии с определенными значениями квантовых чисел . Для проекций момента благодаря линейной связи  ответ очевиден

           (10)

(Поэтому, на самом деле, в суммах (6), (8) не два суммирования, а одно: в сумме (6) – только по квантовому числу , квантовое число  равно сумме . В сумме (8) суммирование проводится по двум квантовым числам  и , но при выполнении условия (10)).

Возможные значения квантового числа  можно установить из следующих соображений. При фиксированных квантовых числах  и  полное количество состояний  равно . Поэтому квантовые числа  и  могут принимать  пар значений. При этом для каждого возможного фиксированного  число  должно пробегать все значения, входящие в мультиплет .

Используем эти обстоятельства для подсчета числа состояний (при фиксированных  и ). Максимальные значения  и , а, следовательно, и  равны

  (11)

А значит, и максимальное значение  равно

     (12)

Далее, есть два состояния, с  (при  и ). Поэтому должно быть и два состояния  с такой проекцией. Но одно из них входит в мультиплет состояний с . Поэтому второе входит в мультиплет состояний с .

При дальнейшем уменьшении  на единицу будет увеличиваться количество состояний с такой проекцией, и, следовательно, будет «подключаться» новый мультиплет состояний с меньшим значением . Однако, легко сообразить, что при уменьшении  меньше, чем , это перестанет происходить. Поэтому это значение  и есть минимальное значение суммарного момента в состояниях с фиксированными  и .

Итак, мы доказали, что при фиксированных квантовых числах  и , и всех возможных проекциях, суммарный момент принимает значения

    (13)

при этом для каждого  проекция  может принимать все возможные значения.

Этот результат имеет наглядное толкование. В квантовой механике не существует состояний, в которых был бы определен вектор момента. Поэтому при сложении складываются состояния с фиксированной длиной вектора момента, но с неопределенным направлением. Поэтому можно получить значение момента , если векторы моментов частиц параллельны, и любые значения до значения , которое реализуется в случае, если векторы моментов частиц антипараллельны.

Коэффициенты Клебша-Гордана удовлетворяют ряду условий.

Во-первых, это условие нормировки вероятностей различных значений суммарного момента в состоянии с определенными значениями моментов и проекций обеих частиц

     (14)

Во-вторых, - условие нормировки вероятностей различных значений проекций моментов частиц в состоянии с определенными значениями суммарного момента и его проекции

     (15)

(в суммах (14)-(15) выполнено условие )

В-третьих, коэффициенты Клебша-Гордана представляют собой матрицу перехода от одного ортонормированного базиса к другому. Поэтому совокупность этих коэффициентов задает унитарное преобразование и образует унитарную квадратную матрицу.

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

6694. Полиморфизм человеческих популяций. Генетический груз 28.31 KB
  Полиморфизм человеческих популяций. Генетический груз. Классификация полиморфизма. Генетический полиморфизм популяций человека. Генетический груз. Генетические аспекты предрасположенности к заболеваниям. Естественный отбор мо...
6695. Популяционная структура человечества 29.46 KB
  Популяционная структура человечества. Особенности популяционной структуры человечества. Действие факторов эволюции в популяции людей. Популяция человека - группа людей, занимающих одну территорию и свободно вступающих в брак. Демогр...
6696. Эволюция систем органов (пищеварительная, иммунная, эндокринная и дыхательная системы) 28.6 KB
  Эволюция систем органов. Эволюция пищеварительной системы. Эволюция иммунной системы. Эволюция эндокринной системы. Эволюция дыхательной системы. Пищеварительная система. С 1880 по 1950г господствовала теория Мечникова. Она б...
6697. Онтофилогенетическая обусловленность пороков развития 200.23 KB
  Онтофилогенетическая обусловленность пороков развития. Биогенетический закон. Преобразование онтогенезов. Пороки развития. Эволюционные преобразования связаны не только с образованием и вымиранием видов, но и преобразованием онтоге...
6698. Человек как закономерный результат процесса развития органического мира 27.85 KB
  Человек как закономерный результат процесса развития органического мира. Прогрессивный характер эволюции. Проблема происхождения человека. Положение Homosapiens в системе живого мира. Этапы антропогенеза. Происхождение и эвол...
6699. Закономерности антропогенеза. Генетическая программа и программа социальная наследование в развитии современного человека 26.77 KB
  Закономерности антропогенеза Биологические предпосылки. Биосоциальная природа человека и процесс антропогенеза. Генетическая программа и программа социальная наследование в развитии современного человека. Расы современного че...
6700. Биологические основы паразитизма и трансмиссивных заболеваний 25.98 KB
  Биологические основы паразитизма и трансмиссивных заболеваний. Характеристика паразитизма. Взаимодействие паразитов и хозяина. Трансмиссивные и природно-очаговые заболевания. Живые организмы находятся в биотическом окружении, поэто...
6701. Медицинская протозоология. Характерные признаки простейших и их представители 25.22 KB
  Медицинская протозоология. Характерные признаки простейших. Представители. Один из разделов медицинской паразитологии - медицинская протозоология. Она изучает паразитических простейших, вопросы патогенеза, терапии заболеваний, диагн...
6702. Гельминтология. Характерные признаки типа Плоские черви - Plathelmintes 26.13 KB
  Гельминтология. Введение в гельминтологию. Характерные признаки типа Плоские черви - Plathelmintes. Класс Сосальщики - Trematoda. Класс Ленточные черви - Cestoda. Характеристика типа Круглые черви Гельминтология...