19038

Сложение моментов. Коэффициенты Клебша-Гордана

Лекция

Физика

Лекция 20 Сложение моментов. Коэффициенты КлебшаГордана Поскольку в классической механике суммарный момент импульса системы из двух частиц равен векторной сумме моментов частиц квантовомеханический оператор суммарного момента двух частиц определяется как

Русский

2013-07-11

1.3 MB

23 чел.

Лекция 20

Сложение моментов. Коэффициенты Клебша-Гордана

Поскольку в классической механике суммарный момент импульса системы из двух частиц равен векторной сумме моментов частиц, квантовомеханический оператор суммарного момента двух частиц определяется как

     (1)

где  и  - операторы координаты и импульса первой частицы (эти операторы действуют только на те аргументы волновой функции системы двух частиц, которые относятся к первой частице),  и  - операторы координаты и импульса второй частицы (здесь и далее суммарный момент импульса двух частиц обозначается символом ). При этом так как операторы момента первой и второй частицы действуют на разные аргументы волновой функции, то операторы момента первой и второй частицы коммутируют друг с другом. Кроме того, можно проверить, что для операторов проекций суммарного момента справедливы те же коммутационные соотношения, что и для оператора момента импульса одной частицы:

      (2)

(в этой лекции ). Благодаря соотношению (2) операторы квадрата суммарного момента и его проекции на любую ось коммутируют. Это, в частности, означает, что операторы  и  имеют общие собственные функции, а операторы различных проекций суммарного момента импульса общих собственных функций не имеют (за исключением одного состояния с нулевыми проекциями). Собственными значениями оператора  могут являться только числа , где  - целое или полуцелое неотрицательное число. Собственными значениями оператора  могут являться положительные и отрицательные целые числа, причем в состоянии, в котором квадрат суммарного момента имеет определенное значение , проекция момента может принимать значения .

Найдем собственные значения и собственные функции операторов  и . Стартуем с общих собственных функций операторов , , , . Поскольку эти операторы коммутируют, у них существуют общие собственные функции, которые равны произведениям сферических функций, зависящих от координат первой и второй частиц

  (3)

где моменты и проекции моментов каждой частицы могут принимать любые допустимые для них значения.

Легко сообразить, что функции (3), вообще говоря, не будут собственными функциями оператора , поскольку оператор  не коммутирует с операторами  и  (это доказывается элементарно с использованием определения оператора суммарного момента и коммутационных соотношений для проекций момента импульса частицы). Из этого утверждения следует, что в тех состояниях, в которых проекции моментов частиц имеют определенные значения, суммарный момент определенного значения, вообще говоря, не имеет (и наоборот).

Можно доказать, что оператор квадрата суммарного момента и его проекция коммутируют с операторами квадрата момента каждой частицы

   (4)

Из формулы (4) следует, что четыре оператора  имеют полную систему собственных функций. Обозначим эти функции как

     (5)

где квантовые числа – собственные значения указанных выше операторов.

Поскольку обе системы функций  и  (для всех возможных значений индексов) являются полными (как собственные функции коммутирующих эрмитовых операторов), то любую из этих функций можно разложить в ряд по системе других функций. В частности

 (6)

где суммирование проводится по тем значениям квантовых чисел  - собственным значениям квадрата суммарного момента и его проекции – которые они могут принимать в состоянии с определенными значениями квадрата момента каждой частицы. Коэффициенты разложения  называются коэффициентами Клебша-Гордана. В связи с формулой (6) отметим, что суммирование по индексам, определяющим собственные значения операторов , не должно проводится, так как и функции , и функции  являются собственными функциями этих операторов. Отметим также, что существуют различные варианты как обозначений этих коэффициентов, так и произношения фамилий. Согласно основным принципам квантовой механики квадраты коэффициентов Клебша-Гордана  определяют вероятность того, что в состоянии с определенными значениями квадратов моментов каждой частицы и их проекций  квадрат суммарного момента и его проекция на имеют те или иные значения .

Коэффициенты Клебша-Гордана можно выразить через скалярные произведения функций  и . Действительно, умножая равенство (6) на функцию , интегрируя по координатам первой и второй частиц и пользуясь ортонормированностью функций , получим

    (7)

Поскольку функции  и  определены с точностью до фазового множителя, фаза коэффициентов Клебша-Гордана является, вообще говоря, неопределенной. Оказывается, что фазы волновых функции  и  всегда можно выбрать так, чтобы коэффициенты Клебша-Гордана были действительными. В дальнейшем будем предполагать именно такой выбор фаз. Отсюда сразу следует, что и обратное разложение - функции  по системе функций  - определяется теми же самыми коэффициентами Клебша-Гордана. Действительно, умножая обратное разложение

 (8)

(мы пока обозначили коэффициенты разложения как ) на функцию  и интегрируя, получим

    (9)

А поскольку коэффициенты Клебша-Гордана действительны, и разложение  по , и разложение  по  определяются одними и теми же коэффициентами Клебша-Гордана.

Установим теперь, какие значения могут принимать суммарный момент  и его проекция  в состоянии с определенными значениями квантовых чисел . Для проекций момента благодаря линейной связи  ответ очевиден

           (10)

(Поэтому, на самом деле, в суммах (6), (8) не два суммирования, а одно: в сумме (6) – только по квантовому числу , квантовое число  равно сумме . В сумме (8) суммирование проводится по двум квантовым числам  и , но при выполнении условия (10)).

Возможные значения квантового числа  можно установить из следующих соображений. При фиксированных квантовых числах  и  полное количество состояний  равно . Поэтому квантовые числа  и  могут принимать  пар значений. При этом для каждого возможного фиксированного  число  должно пробегать все значения, входящие в мультиплет .

Используем эти обстоятельства для подсчета числа состояний (при фиксированных  и ). Максимальные значения  и , а, следовательно, и  равны

  (11)

А значит, и максимальное значение  равно

     (12)

Далее, есть два состояния, с  (при  и ). Поэтому должно быть и два состояния  с такой проекцией. Но одно из них входит в мультиплет состояний с . Поэтому второе входит в мультиплет состояний с .

При дальнейшем уменьшении  на единицу будет увеличиваться количество состояний с такой проекцией, и, следовательно, будет «подключаться» новый мультиплет состояний с меньшим значением . Однако, легко сообразить, что при уменьшении  меньше, чем , это перестанет происходить. Поэтому это значение  и есть минимальное значение суммарного момента в состояниях с фиксированными  и .

Итак, мы доказали, что при фиксированных квантовых числах  и , и всех возможных проекциях, суммарный момент принимает значения

    (13)

при этом для каждого  проекция  может принимать все возможные значения.

Этот результат имеет наглядное толкование. В квантовой механике не существует состояний, в которых был бы определен вектор момента. Поэтому при сложении складываются состояния с фиксированной длиной вектора момента, но с неопределенным направлением. Поэтому можно получить значение момента , если векторы моментов частиц параллельны, и любые значения до значения , которое реализуется в случае, если векторы моментов частиц антипараллельны.

Коэффициенты Клебша-Гордана удовлетворяют ряду условий.

Во-первых, это условие нормировки вероятностей различных значений суммарного момента в состоянии с определенными значениями моментов и проекций обеих частиц

     (14)

Во-вторых, - условие нормировки вероятностей различных значений проекций моментов частиц в состоянии с определенными значениями суммарного момента и его проекции

     (15)

(в суммах (14)-(15) выполнено условие )

В-третьих, коэффициенты Клебша-Гордана представляют собой матрицу перехода от одного ортонормированного базиса к другому. Поэтому совокупность этих коэффициентов задает унитарное преобразование и образует унитарную квадратную матрицу.

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

79037. Философия познания Р.Декарта и ее значение для превращения преднауки в науку 35 KB
  В основе философии Декарта дуализм души и тела мыслящей и протяженной субстанции. Общая причина движения по Декарту Бог который сотворил материю движение и покой. В учении о познании Декарт родоначальник рационализма и сторонник учения о врожденных идеях.
79038. Становление классической науки (XVII век) 35.5 KB
  Становление классической науки XVII век. также научная революция Этап становления классической науки относится к XVII. Этап становления классической науки связан прежде всего с деятельностью таких мыслителей как Г. При этом предметом науки являются законы общие положения обладающие абсолютностью и безусловной значимостью для всех.
79039. Развитие естествознания в XVII - XIX веках 34.5 KB
  Хорошо известно что идея развития пробила себе дорогу в естествознании уже в конце XVIII в. Однако конкретная форма идеи развития в естествознании того времени форма механистического эволюционизма была еще крайне несовершенна. рассматривали развитие как механический круговорот в котором происходит интеграция систем из некоторых простейших элементов и последующий распад их на эти же элементы причем каждый цикл развития завершается возвращением к исходному пункту. Правда дальнейшее проникновение идеи развития в естественные науки все...
79040. Натурфилософия как предшественник и антипод научного знания о природе. Преодоление натурфилософии (XIX в) 45 KB
  Преодоление натурфилософии XIX в. Натурфилософская и позитивистская и диалектическая концепции взаимосвязи философии и науки. явилась по существу первой исторической формой философии вообще. Сосуществования философии и науки как самостоятельных и во многом различающихся по предметам средствам методам и функциям форм познавательной и ориентировочной деятельности человека был сформулирован ряд концепций об их взаимоотношении.
79041. Достижения социально-гуманитарного знания в XVII - XIX веках 35 KB
  Достижения социальногуманитарного знания в XVII XIX вв. В решении проблемы о соотношении социальногуманитарного и естественнонаучного познания исторически сложились и существуют две альтернативные позиции: натурализм и антинатурализм. Данный подход казался безупречным в качестве метода научного познания и использовался для объяснения всех явлений в контексте имеющегося тогда знания. Но принцип редукционизма продолжал существовать в смысловом поле научного познания.
79042. Философия познания И.Канта и ее значение для развития науки XVIII - XIX веках 36.5 KB
  Философия познания И. В рамках этого течения была переосмыслена и заново сформулирована проблема отношения субъекта и объекта разработан диалектический метод познания и преобразования действительности. Основной период критический ознаменовался созданием трех главных произведений: Критика чистого разума 1781 Кри тика практического разума 1788 и Критика способности суждения 1790 В свете философии науки и техники наибольший интерес представляет первое из этих произведений поскольку именно в нем исследуется процесс...
79043. Система и метод Г.Гегеля и их значение для развития науки XIX века 56.5 KB
  Его диалектический метод ГЕГЕЛЬ Hegel Георг Вильгельм Фридрих 17701831 немецкий философ создавший на объективно-идеалистической основе систематическую теорию диалектики. Что Гегель понимал под свободой Свобода–это осознанная необходимость. Хотя Гегель и утверждает что спекулятивный метод и его правила дедуцируются самим движением мысли а не предпосылаются его системе но на деле подобная дедукция возможна только в сфере спекулятивного мышления приемы которого должны быть известны заранее. Гегель считает что разум должен не...
79045. Неклассическая и постнеклассическая наука в XX веке 37.5 KB
  Если задача классической и неклассической науки состояла в постижении определенного фрагмента действительности и выявлении специфики предмета исследования то содержание пост-неклассической науки определяется комплексными исследовательскими программами. Гуманитарные и естественные науки больше не представляются разделенными непреодолимой пропастью.