19039

Примеры построения собственных функций оператора суммарного момента двух частиц. Сложение двух спинов ½. Классификация спиновых функций в системе из двух частиц

Лекция

Физика

Лекция 21 Примеры построения собственных функций оператора суммарного момента двух частиц. Сложение двух спинов . Классификация спиновых функций в системе из двух частиц Покажем как вычисляются коэффициенты КлебшаГордана на нескольких примера. Пусть система из ду...

Русский

2013-07-11

660.5 KB

17 чел.

Лекция 21

Примеры построения собственных функций оператора суммарного момента двух частиц. Сложение двух спинов ½. Классификация спиновых функций в системе из двух частиц

Покажем как вычисляются коэффициенты Клебша-Гордана на нескольких примера. Пусть система из дух невзаимодействующих частиц находится в состоянии, в котором моменты импульса первой и второй частицы и их проекции на ось  имеют определенные значения , , , . Какие значения может принимать в этом состоянии квадрат суммарного момента и с какими вероятностями?

Как это было показано в предыдущей лекции, идея решения этой задачи заключается в разложении данной в условии волновой функции системы частиц с определенными моментами и проекциями обеих частиц по состояниям с определенным суммарным моментом. Коэффициенты разложения, которые и являются (по определению) коэффициентами Клебша-Гордана, дадут искомые вероятности. Находят это разложение следующим образом.

Согласно теореме Клебша-Гордана возможные значения суммарного момента системы из двух частиц в состоянии с определенными значениями моментов каждой частицы  и  суммарный момент не может принимать никакие другие значения, кроме: , , …,  (то есть от модуля разности чисел  и  до их суммы через единицу). Это означает, что в разложении функции

  (1)

по собственным функциям операторов , , ,  (эти функции были обозначены в предыдущей лекции как

     (2)

не могут присутствовать никакие другие слагаемые, кроме слагаемых с перечисленными значениями . При этом коэффициенты при некоторых из этих слагаемых могут быть нулевыми (то есть, фактически, они также не входят в разложение).

Второе обстоятельство, которое используется при нахождении коэффициентов Клебша-Гордана, это то, что проекция суммарного момента  в состояниях с определенными проекциями моментов обеих частиц  и  имеет определенное значение, равное .

Итак, рассмотрим данное в условии состояние

  (3)

В этом состоянии суммарный момент не может принимать никакие другие значения, кроме 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, а проекция суммарного момента принимает значение 10. А поскольку проекция не может быть меньше момента, то для суммарного момента остается единственная возможность . Отсюда следует, что состояние (3) является собственным и для операторов

  (4)

Следовательно, один из коэффициентов Клебша-Гордана мы нашли

    (5)

Очевидно, аналогичная ситуация будет иметь место при сложении двух моментов, если их проекции принимают минимально возможные значения.

Рассмотрим теперь случай, когда одна из проекций на единицу меньше максимальной. Например, пусть система двух частиц находится в состоянии, в котором моменты импульса первой и второй частицы и их проекции на ось  имеют определенные значения , , , . Какие значения может принимать в этом состоянии квадрат суммарного момента и с какими вероятностями?

Разложим волновую функцию рассматриваемого состояния с определенными значениями квадратов моментов каждой частицы и их проекций на ось

  (3)

по функциям :

 (4)

Очевидно, в сумме (4) присутствуют только два слагаемых с  и с , поскольку, во-первых, в сумме не могут присутствовать слагаемые с другими значениями $J$, кроме 3, 4, 5, и, во-вторых, . То есть

 (5)

Таким образом, при измерении суммарного момента в состоянии (3) можно обнаружить два значения  или , причем вероятности этих значений суммарного момента  определяются квадратами коэффициентов Клебша-Гордана

    (6)

Для вычисления коэффициентов Клебша-Гордана можно воспользоваться следующим приемом. Рассмотрим собственную функцию операторов , , , , отвечающую квантовым числам , , , . Поскольку эта функция отвечает максимальным проекциям моментов отдельных частиц, она является и собственной функцией операторов

   (7)

Подействуем на правую и левую часть равенства (7) оператором

    (8)

. Используя известное равенство

   (9)

где  - собственная функция операторов квадрата момента и его проекции на ось , и то обстоятельство, что функция  есть собственная функция операторов , , , , получим в левой части

 (10)

Аналогично найдем результат действия оператора  на правую часть формулы (7)

    (11)

Из формул (10), (11) находим

  (12)

Поскольку и разложение функций  по функциям , и разложение  по  определяются коэффициентами Клебша-Гордана, из (12) заключаем, что

     (13)

Таким образом, один из коэффициентов Клебша-Гордана, входящих в формулу (5) мы нашли. Чтобы найти другой, заметим, что разложение функции  по функциям  содержит те же слагаемые, что и разложение функции  (12). А поскольку эти функции должны быть ортогональны, то

  (14)

Поэтому

     (15)

Точно также с помощью действия оператора  на функции (12) или (14) и использования условий ортогональности собственных функций, отвечающих различным собственным значениям находятся и остальные коэффициенты Клебша-Гордана.

Такая же техника применяется для построения спиновых функций системы двух частиц. Пусть, например, имеются две частицы со спином ½ каждая. Построим волновые функции состояний системы, в которых суммарный спиновый момент имеет определенное значение.

Очевидно, что состояния

 (16)

отвечают суммарному спину  и проекциям суммарного спина  в первом состоянии и  - во втором. Это связано с тем, что в состояниях (16) проекции спинов каждой частицы имеют обе максимальные или обе минимальные значения (в формулах (16) индекс около столбца указывает, к какой частице – первой или второй – он относится).

Подействуем на первое из состояний (16) оператором . В результате получим с использованием (9)

   (17)

С другой стороны, тот же результат можно получить, действуя операторами  и  на спиновые функции каждой частицы

   (18)

Из формул (18), (19) получаем волновую функцию состояния с суммарным спином, равным 1, а проекцией, равной 0:

   (19)

Теперь из условия ортогональности функции (19) строим волновую функцию состояния с суммарным спином, равным 0:

  (20)

Функции (16) (две функции), (19) и (20) являются базисной системой функций в пространстве спиновых состояний системы из двух частиц со спином ½ каждая, причем все эти функции отвечают определенному суммарному спину, и всем возможным значениями его проекции на ось .

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

26840. Однокамерный желудок домашних животных 5.87 KB
  Однокамерный желудок домашних животных. Желудок ventriculus На левом участке желудка находится кардиальное отверстие ostiumcardiacum а на правом выход пилорическое отверстие ostiumpyloricum Передняя поверхность желудка faciesparietalis прилежит к печени и диафрагме а задняя висцеральная faciesvisceralis к кишеч' ным петлям. hepatog^stricum соединяющей желудок с печенью. У собаки желудок кишечного типа сравнительно большой.
26841. Многокамерный желудок жвачных 7.28 KB
  Рубец — rumen. В рубце различают два мешка [дорсальный — saccusdorsalis (5) и вентральный — saccusventral). Со стороны слизистой оболочки указанным желобам соответствуют складки — pilalongitudinalisdextraetsinistra, pilacranialisetcaudalis, которые обрамляют внутрирубцовое отверстие
26842. Анатомо-физиологические особенности строения и пищеварения молодняка жвачных 2.42 KB
  Во время питья молока и воды или акта сосания сокращаются мышцы губ пищеводного желоба; губы смыкаются и образуют трубку составляющую как бы продолжение пищевода. Смыкание губ пищеводного желоба это рефлекторный акт возникающий при раздражении рецепторов языка и глотки в момент глотания. Емкость пищеводного желоба очень мала поэтому молоко может проходить по нему в сычуг только небольшими порциями. С ростом телят значение пищеводного желоба уменьшается губы его грубеют и смыкаются не полностью.
26843. Тонкий отдел кишечника домашних животных 8.3 KB
  тонкая кишка intestinumtenue простирается от пилоруса желудка до слепой кишки. Двенадцатиперстная кишка duodenum У всех животных она находится в правом подреберье. Тощая кишка jejunum висит на длинной брыжейке и образует множество кишечных петель ansaeintestinales. Тощая кишка без четкой границы переходит в подвздошную кишку.
26844. Печень домашних животных 7.04 KB
  Печень домашних животных. Печень hepar сложнотрубчагого строения через нее протекает вся кровь из желудка кишечника и селезенки по мощной воротной вене v. ПеченЬ по острому краю меяедолевыми вырезками incisurainterlobularis разграничивается на доли. Основная сагиттальная срединная вырезка делит печень на правую и левую доли lobushepatisdexteretsinister.
26845. Поджелудочная железа домашних животных 3.66 KB
  Проток поджелудочной железы ductuspancreaticus открывается в двенадцатиперстную кишку у одних животных вместе с желчным протоком у других самостоятельноИннервация п. Поджелудочный проток открывается вместе с желчным протоком У свиньи железа сероватожелтой окраски. Проток один открывается на 13 20 см дистальнее устья желчного протока У рогатого скота железа располагается вдоль двенадцатиперстной Кишки от 12го грудного до 2 4го поясничного позвонка под правой ножкой диафрагмы частично на лабиринте ободочной кишки. Единственный...
26846. Толстый отдел кишечника лошади 3.42 KB
  Толстая кишка лошади. Толстая кишка состоит из слепой ободочной и прямой. Слепая кишка лошади имеет объем 3237 литров. Ободочная кишка лошадей объемом 80100 литров.
26847. Толстый отдел(intestinum crassum) жвачных, свиньи и собаки 1.86 KB
  пос ледняя заканчив анусом. Она служит продолжением малой ободоч киш висит на брыжейкев тазовой полостипод позвоночником оканчив задним проходом или анусом.перед анусом она расшир в виде веретена в ампулу прям кишкиой.прямая кишс анусом фиксируся мышцами и связками к тазов костям и первым хвост позвам.
26848. Анатомический состав и общие закономерности строения органов дыхания в связи с их функцией 4.59 KB
  Органы дыхания носовая полость глотка гортань трахея бронхи и легкие обеспечивают циркуляцию воздуха и газообмен . По ним воздух поступающий через ноздри проходит в носоглотку. Гортань служит для проведения воздуха из глотки в трахею и совместно с ротовой полостью является органом звукообразования и членораздельной речи. Звук голоса возникает в результате колебания голосовых связок при выдыхании воздуха.