19039

Примеры построения собственных функций оператора суммарного момента двух частиц. Сложение двух спинов ½. Классификация спиновых функций в системе из двух частиц

Лекция

Физика

Лекция 21 Примеры построения собственных функций оператора суммарного момента двух частиц. Сложение двух спинов . Классификация спиновых функций в системе из двух частиц Покажем как вычисляются коэффициенты КлебшаГордана на нескольких примера. Пусть система из ду...

Русский

2013-07-11

660.5 KB

22 чел.

Лекция 21

Примеры построения собственных функций оператора суммарного момента двух частиц. Сложение двух спинов ½. Классификация спиновых функций в системе из двух частиц

Покажем как вычисляются коэффициенты Клебша-Гордана на нескольких примера. Пусть система из дух невзаимодействующих частиц находится в состоянии, в котором моменты импульса первой и второй частицы и их проекции на ось  имеют определенные значения , , , . Какие значения может принимать в этом состоянии квадрат суммарного момента и с какими вероятностями?

Как это было показано в предыдущей лекции, идея решения этой задачи заключается в разложении данной в условии волновой функции системы частиц с определенными моментами и проекциями обеих частиц по состояниям с определенным суммарным моментом. Коэффициенты разложения, которые и являются (по определению) коэффициентами Клебша-Гордана, дадут искомые вероятности. Находят это разложение следующим образом.

Согласно теореме Клебша-Гордана возможные значения суммарного момента системы из двух частиц в состоянии с определенными значениями моментов каждой частицы  и  суммарный момент не может принимать никакие другие значения, кроме: , , …,  (то есть от модуля разности чисел  и  до их суммы через единицу). Это означает, что в разложении функции

  (1)

по собственным функциям операторов , , ,  (эти функции были обозначены в предыдущей лекции как

     (2)

не могут присутствовать никакие другие слагаемые, кроме слагаемых с перечисленными значениями . При этом коэффициенты при некоторых из этих слагаемых могут быть нулевыми (то есть, фактически, они также не входят в разложение).

Второе обстоятельство, которое используется при нахождении коэффициентов Клебша-Гордана, это то, что проекция суммарного момента  в состояниях с определенными проекциями моментов обеих частиц  и  имеет определенное значение, равное .

Итак, рассмотрим данное в условии состояние

  (3)

В этом состоянии суммарный момент не может принимать никакие другие значения, кроме 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, а проекция суммарного момента принимает значение 10. А поскольку проекция не может быть меньше момента, то для суммарного момента остается единственная возможность . Отсюда следует, что состояние (3) является собственным и для операторов

  (4)

Следовательно, один из коэффициентов Клебша-Гордана мы нашли

    (5)

Очевидно, аналогичная ситуация будет иметь место при сложении двух моментов, если их проекции принимают минимально возможные значения.

Рассмотрим теперь случай, когда одна из проекций на единицу меньше максимальной. Например, пусть система двух частиц находится в состоянии, в котором моменты импульса первой и второй частицы и их проекции на ось  имеют определенные значения , , , . Какие значения может принимать в этом состоянии квадрат суммарного момента и с какими вероятностями?

Разложим волновую функцию рассматриваемого состояния с определенными значениями квадратов моментов каждой частицы и их проекций на ось

  (3)

по функциям :

 (4)

Очевидно, в сумме (4) присутствуют только два слагаемых с  и с , поскольку, во-первых, в сумме не могут присутствовать слагаемые с другими значениями $J$, кроме 3, 4, 5, и, во-вторых, . То есть

 (5)

Таким образом, при измерении суммарного момента в состоянии (3) можно обнаружить два значения  или , причем вероятности этих значений суммарного момента  определяются квадратами коэффициентов Клебша-Гордана

    (6)

Для вычисления коэффициентов Клебша-Гордана можно воспользоваться следующим приемом. Рассмотрим собственную функцию операторов , , , , отвечающую квантовым числам , , , . Поскольку эта функция отвечает максимальным проекциям моментов отдельных частиц, она является и собственной функцией операторов

   (7)

Подействуем на правую и левую часть равенства (7) оператором

    (8)

. Используя известное равенство

   (9)

где  - собственная функция операторов квадрата момента и его проекции на ось , и то обстоятельство, что функция  есть собственная функция операторов , , , , получим в левой части

 (10)

Аналогично найдем результат действия оператора  на правую часть формулы (7)

    (11)

Из формул (10), (11) находим

  (12)

Поскольку и разложение функций  по функциям , и разложение  по  определяются коэффициентами Клебша-Гордана, из (12) заключаем, что

     (13)

Таким образом, один из коэффициентов Клебша-Гордана, входящих в формулу (5) мы нашли. Чтобы найти другой, заметим, что разложение функции  по функциям  содержит те же слагаемые, что и разложение функции  (12). А поскольку эти функции должны быть ортогональны, то

  (14)

Поэтому

     (15)

Точно также с помощью действия оператора  на функции (12) или (14) и использования условий ортогональности собственных функций, отвечающих различным собственным значениям находятся и остальные коэффициенты Клебша-Гордана.

Такая же техника применяется для построения спиновых функций системы двух частиц. Пусть, например, имеются две частицы со спином ½ каждая. Построим волновые функции состояний системы, в которых суммарный спиновый момент имеет определенное значение.

Очевидно, что состояния

 (16)

отвечают суммарному спину  и проекциям суммарного спина  в первом состоянии и  - во втором. Это связано с тем, что в состояниях (16) проекции спинов каждой частицы имеют обе максимальные или обе минимальные значения (в формулах (16) индекс около столбца указывает, к какой частице – первой или второй – он относится).

Подействуем на первое из состояний (16) оператором . В результате получим с использованием (9)

   (17)

С другой стороны, тот же результат можно получить, действуя операторами  и  на спиновые функции каждой частицы

   (18)

Из формул (18), (19) получаем волновую функцию состояния с суммарным спином, равным 1, а проекцией, равной 0:

   (19)

Теперь из условия ортогональности функции (19) строим волновую функцию состояния с суммарным спином, равным 0:

  (20)

Функции (16) (две функции), (19) и (20) являются базисной системой функций в пространстве спиновых состояний системы из двух частиц со спином ½ каждая, причем все эти функции отвечают определенному суммарному спину, и всем возможным значениями его проекции на ось .

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

12880. ГОЛОС ЧУЖОЙ ПЛАНЕТЫ 71 KB
  ГОЛОС ЧУЖОЙ ПЛАНЕТЫ Вашему вниманию предлагается иградрама. Мы играли в нее не только со старшеклассниками но и с педагогами представителями администрации психологами. Игра эта сложная как для проводящих ее так и для игроков. Она предполагает создание ситуации в...
12881. ПУТЕШЕСТВИЕ К ВОЛШЕБНИКУ 96.5 KB
  ПУТЕШЕСТВИЕ К ВОЛШЕБНИКУ Предлагаемую ниже игру можно использовать и как самостоятельную процедуру и в рамках психологического тренинга для подростков. В последнем случае игра встраивается в программу тренинга в форме отдельного занятия в котором представлены все...
12882. Психологическая игра Война племен 37.5 KB
  Психологическая игра Война племен Цель: развитие внутригрупповых отношений; навыков коллективного взаимодействия снятие агрессии. Участники игры: учащиеся 68 классов. Время проведения занятия: 1час 30 мин. Предполагаемый психологический результат: улучшение взаи...
12883. Дороги, которые мы выбираем. Сценарий мероприятия по актуальным проблемам подросткового возраста 41 KB
  Сценарий мероприятия по актуальным проблемам подросткового возраста Дороги которые мы выбираем... В конкурсе принимают участие ученики 9 11го класса. Соревнуются 2 команды по 12 человек. Члены команды: капитан; прессцентр 2 чел.; выездная бригада 3чел.; члены команд
12884. Здоровье и моя будущая профессия 41 KB
  Здоровьесберегающие технологии в воспитании и развитии детей. Круглый стол Здоровье и моя будущая профессия Программное содержание. Учить детей снимать эмоциональное и физическое напряжение преодолевать чувство тревоги связанное с межличностным общением. Форм...
12885. Сценарий психологической игры: «Кораблекрушение» 69.5 KB
  Сценарий психологической игры: Кораблекрушение для учеников 11го класса В период ранней юности 1517 лет человек переживает кризис идентичности. Этот возраст сопровождается активным поиском самого себя в социуме сверстников и взрослых. Конфликты как эмоционально...
12886. Игра в работе педагогапсихолога. МЫ ЕДЕМ, ЕДЕМ, ЕДЕМ 105.5 KB
  Игра в работе педагогапсихолога: Мы едем едем едем Человек есть человек играющий homo ludens. Хейзенга. Игра: МЫ ЕДЕМ ЕДЕМ ЕДЕМ Время игры: 1 час 1 час 20 минут Возможности игры: игра разработана для детей в возрасте 10 14 лет. Цель: мотивация учащихся на и
12887. ПРОБУЖДЕНИЕ АКТИВНОСТИ 46.5 KB
  ПРОБУЖДЕНИЕ АКТИВНОСТИ Сценарий классного часа Вам приходилось слышать от взрослых в школе высказывания о том что современные дети ничего не хотят что растет поколение потребителей И действительно мы можем найти этому массу подтверждений. Чем лучше школа тем боль
12888. Развитие творческих способностей учащихся подросткового возраста 51.5 KB
  Классный час Развитие творческих способностей учащихся подросткового возраста Цель: познание и раскрытие учениками своих потенциальных способностей к творчеству. Задачи: развитие познавательных психологических процессов: памяти внимания мышления; разви