19040

Квазиклассическое приближение. Квазиклассические решения уравнения Шредингера, сшивка квазиклассических решений

Лекция

Физика

Лекция 22 Квазиклассическое приближение. Квазиклассические решения уравнения Шредингера сшивка квазиклассических решений Число случаев когда удается точно решить стационарное уравнение Шредингера то есть найти собственные значения и собственные функции операт...

Русский

2013-07-11

664.5 KB

7 чел.

Лекция 22

Квазиклассическое приближение. Квазиклассические решения уравнения Шредингера, сшивка квазиклассических решений

Число случаев, когда удается точно решить стационарное уравнение Шредингера, то есть найти собственные значения и собственные функции оператора Гамильтона, невелико. Поэтому при решении этого уравнения приходится прибегать к приближенным методам. Одним из таких методов является квазиклассическое приближение. Основная идея этого метода заключается в следующем. Пусть есть одна частица, движущаяся в одномерном потенциале. Запишем одномерное уравнение для такой задачи в виде

    (1)

где символом  обозначена величина

    (2)

Величина , имеющая размерность 1/дл2, при определенных значениях координат может быть как положительной, так и отрицательной. Если потенциальная энергия частицы  (и, следовательно, , дифференциальное уравнение (2) легко решается. Его общее решение имеет вид

     (3)

если , или

     (4)

если  (в этом можно убедиться непосредственной проверкой. В формулах (3), (4)  и  - произвольные постоянные. Очевидно, что если величина  зависит от координаты, но является «плавной» функцией координаты, решения уравнения (2) должны быть «похожи» на функции (3), (4) и в предельном случае  переходить в функции (3), (4). Такими функциями будут, например, функции вида

   (5)

если , или

   (6)

если . В формулах (5), (6)  - любое значение координаты,  и  - произвольные постоянные.

Можно проверить, что малым параметром, определяющим точность решений (5), (6) является безразмерная величина

     (7)

которая называется параметром квазиклассичности. Решения (5), (6) работают при выполнении условия

     (8)

Отметим, что условие  или  эквивалентно условию  или , что в классической механике соответствует доступной для движения частицы и запрещенной для движения области. Поэтому про функции (5), (6) часто говорят, что они являются приближенными решениями уравнения Шредингера в классически доступной или в классически запрещенной области.

Можно получить и поправки к решениям (5), (6) по параметру квазиклассичности. В частности, учет первой поправки приводит к следующим приближенным решениям уравнения (1)

  (9)

если , или

 (10)

если .  Решения (9), (10), справедливые с точностью , отличаются от решений (5), (6) тем, что множитель перед экспонентой (или, как говорят в применении к квазиклассическим решениям, предэкспоненциальный множитель) является не постоянной величиной, а «плавной» функцией координаты (поскольку  - плавная функция). Функции

(9)-(10) принято называть квазиклассическими решениями уравнения Шредингера (1).

Из формул (9), (10) следует, что в классически разрешенной области (то есть при тех значения координат, где  решение уравнения Шредингера представляет собой осциллирующую функцию, в классически запрещенной области () - суперпозицию возрастающей и убывающей функций.

Функции (9), (10) являются хорошими приближениями для решений дифференциального уравнения (1) при любой фиксированной энергии , если параметр квазиклассичности мал. Следует, однако, иметь в виду, что параметр квазиклассичности зависит от координаты, и потому возможны ситуации, когда при некоторых значениях координаты квазиклассические функции являются хорошими приближениями для истинных решений уравнения Шредингера, при некоторых - нет. В частности очевидно, что квазиклассика не работает в окрестности таких точек, где , или . Для классического движения эти точки являются точками остановки. Поэтому решения уравнения (1) в классически запрещенной и классически доступной областях (границей между которыми и является точка остановки) нельзя «сшивать» в точке остановки, используя сами функции (9), (10). Другими словами, для согласованного выбора коэффициентов в функциях (9), (10), которые являются хорошими приближениями для истинных решений в разных областях квазиклассичности вдали от точек остановки, нельзя использовать квазиклассические функции (9), (10) в точках остановки. Существует два способа «сшивки» квазиклассических функций.

Первый способ. В окрестности точки поворота линеаризуем функцию .

  (11)

Подставим в уравнение Шредингера:

  (12)

Получили уравнение Эйри. Решение этого уравнения известно. Поэтому используя это решение можно «сшить» квазиклассические функции слева и справа от классической точки поворота.

Второй способ. Предположим, что  - аналитическая функция действительного аргумента . Рассмотрим ее аналитическое продолжение в комплексную плоскость координаты.  - изолированный ноль функции , причем пусть при  («правая» точка поворота). Есть и другие нули, принадлежащие комплексной плоскости, но они тоже изолированные (лежат на конечных расстояниях). В области  (на достаточно больших расстояниях, там где работает квазиклассическое приближение):

  (13)

При :

  (14)

Задача - выразить  и  через . Когда мы перейдем в другую область, знак функции  изменится. Обход совершаем в верхней полуплоскости:

  (15)

Тогда при  

  (16)

  (17)

Получили второе слагаемое из суммы. При этом:

  (18)

Если обход совершать через нижнюю полуплоскость:

  (19)

Отсюда находим вторую константу:

  (20)

Получим в области :

  (21)

Мы получали при обходах через разные полуплоскости разные решения только потому, что наше решение - асимптотически приближенное, а не точное. Проходя через верхнюю полуплоскость, мы получаем то решение, которое в ней является экспоненциально растущим, а второе - экспоненциально малое, - не замечаем на фоне главного. Для нижней полуплоскости - наоборот. Для «левой» точки поворота  аналогичные рассуждения приводят к результатам:

 

Квазиклассические решения и условия их «сшивки» в точках поворота позволяют получить «в квадратурах» (то есть через интегралы, а не решение дифференциального уравнения) условие на уровни энергии. Такие условия называются правилами квантования. Мы рассмотрим их на следующей лекции.

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

56471. ЗРОБИ КРОК НАЗУСТРІЧ 47 KB
  Мета: дати теоретичне уявлення учням про поняття «толерантність», розширити його зміст; закріпити знання учнів про компоненти толерантності; формувати навички ефективного, толерантного спілкування...
56472. Толерантність - ксенофобія 45 KB
  МЕТА: ознайомити десятикласників з поняттям толерантність ксенофобія; вибудувати синонімічний ряд та знайти антоніми до слова толерантність; продемонструвати візуально та аудіально значення слова...
56474. Топливно – энергетический комплекс мира 623 KB
  Цели: сформировать представления о топливном балансе мира; рассмотреть рост производства различных видов топлива; дать характеристику газовой, нефтяной, угольной промышленности мира, сформировать понятия об электроэнергетике мира...
56475. Вигоди в торгівлі 103 KB
  Закріпити поняття формування ціни товару та на конкретному прикладі показати вплив витрат на виготовлення та транспортування готової продукції на його ціну і вигоди та збитки виробника при цьому. Використати знання та вміння учнів працювати з географічною картою.
56476. TOURNAMENT OF THE EXPERTS ON ENGLISH 40.5 KB
  Dear pupils, teachers, guests. We are glad to see you on our tournament of English experts. Today we shall not only speak in English. We shall do a lot of fun activities. They will show not only your knowledge and skills of English, but also your thinking, smartness and general erudition. So, let’s start.
56477. Порівняльна характеристика якості Бородінського хліба від різних виробників м. Докучаєвська 292.5 KB
  У даній роботі ми хочемо порівняти якість бородінського хліба від різних виробників нашого міста. Мета роботи: Дослідити споживачів їх поведінку та визначити фактори які впливають на їхнє рішення про покупку хліба...
56478. Знайомство з традиціями українського і англійського народів 110.5 KB
  Національна програма патріотичного виховання населення формування здорового способу життя розвитку духовності та зміцнення моральних засад суспільства. Концепція виховання дітей і молоді в національній системі освіти.
56479. Щоб і далі жили споконвічні традиції. Позакласний виховний захід, присвячений весняним святам 321.5 KB
  Мета заходу: Розвиток естетичних поглядів та смаків, що ґрунтуються на народній естетиці та найкращих надбаннях цивілізації. Виховання гармонійно розвиненої особистості з високим національно – культурним потенціалом, розвинутим почуттям прекрасного.