19040

Квазиклассическое приближение. Квазиклассические решения уравнения Шредингера, сшивка квазиклассических решений

Лекция

Физика

Лекция 22 Квазиклассическое приближение. Квазиклассические решения уравнения Шредингера сшивка квазиклассических решений Число случаев когда удается точно решить стационарное уравнение Шредингера то есть найти собственные значения и собственные функции операт...

Русский

2013-07-11

664.5 KB

7 чел.

Лекция 22

Квазиклассическое приближение. Квазиклассические решения уравнения Шредингера, сшивка квазиклассических решений

Число случаев, когда удается точно решить стационарное уравнение Шредингера, то есть найти собственные значения и собственные функции оператора Гамильтона, невелико. Поэтому при решении этого уравнения приходится прибегать к приближенным методам. Одним из таких методов является квазиклассическое приближение. Основная идея этого метода заключается в следующем. Пусть есть одна частица, движущаяся в одномерном потенциале. Запишем одномерное уравнение для такой задачи в виде

    (1)

где символом  обозначена величина

    (2)

Величина , имеющая размерность 1/дл2, при определенных значениях координат может быть как положительной, так и отрицательной. Если потенциальная энергия частицы  (и, следовательно, , дифференциальное уравнение (2) легко решается. Его общее решение имеет вид

     (3)

если , или

     (4)

если  (в этом можно убедиться непосредственной проверкой. В формулах (3), (4)  и  - произвольные постоянные. Очевидно, что если величина  зависит от координаты, но является «плавной» функцией координаты, решения уравнения (2) должны быть «похожи» на функции (3), (4) и в предельном случае  переходить в функции (3), (4). Такими функциями будут, например, функции вида

   (5)

если , или

   (6)

если . В формулах (5), (6)  - любое значение координаты,  и  - произвольные постоянные.

Можно проверить, что малым параметром, определяющим точность решений (5), (6) является безразмерная величина

     (7)

которая называется параметром квазиклассичности. Решения (5), (6) работают при выполнении условия

     (8)

Отметим, что условие  или  эквивалентно условию  или , что в классической механике соответствует доступной для движения частицы и запрещенной для движения области. Поэтому про функции (5), (6) часто говорят, что они являются приближенными решениями уравнения Шредингера в классически доступной или в классически запрещенной области.

Можно получить и поправки к решениям (5), (6) по параметру квазиклассичности. В частности, учет первой поправки приводит к следующим приближенным решениям уравнения (1)

  (9)

если , или

 (10)

если .  Решения (9), (10), справедливые с точностью , отличаются от решений (5), (6) тем, что множитель перед экспонентой (или, как говорят в применении к квазиклассическим решениям, предэкспоненциальный множитель) является не постоянной величиной, а «плавной» функцией координаты (поскольку  - плавная функция). Функции

(9)-(10) принято называть квазиклассическими решениями уравнения Шредингера (1).

Из формул (9), (10) следует, что в классически разрешенной области (то есть при тех значения координат, где  решение уравнения Шредингера представляет собой осциллирующую функцию, в классически запрещенной области () - суперпозицию возрастающей и убывающей функций.

Функции (9), (10) являются хорошими приближениями для решений дифференциального уравнения (1) при любой фиксированной энергии , если параметр квазиклассичности мал. Следует, однако, иметь в виду, что параметр квазиклассичности зависит от координаты, и потому возможны ситуации, когда при некоторых значениях координаты квазиклассические функции являются хорошими приближениями для истинных решений уравнения Шредингера, при некоторых - нет. В частности очевидно, что квазиклассика не работает в окрестности таких точек, где , или . Для классического движения эти точки являются точками остановки. Поэтому решения уравнения (1) в классически запрещенной и классически доступной областях (границей между которыми и является точка остановки) нельзя «сшивать» в точке остановки, используя сами функции (9), (10). Другими словами, для согласованного выбора коэффициентов в функциях (9), (10), которые являются хорошими приближениями для истинных решений в разных областях квазиклассичности вдали от точек остановки, нельзя использовать квазиклассические функции (9), (10) в точках остановки. Существует два способа «сшивки» квазиклассических функций.

Первый способ. В окрестности точки поворота линеаризуем функцию .

  (11)

Подставим в уравнение Шредингера:

  (12)

Получили уравнение Эйри. Решение этого уравнения известно. Поэтому используя это решение можно «сшить» квазиклассические функции слева и справа от классической точки поворота.

Второй способ. Предположим, что  - аналитическая функция действительного аргумента . Рассмотрим ее аналитическое продолжение в комплексную плоскость координаты.  - изолированный ноль функции , причем пусть при  («правая» точка поворота). Есть и другие нули, принадлежащие комплексной плоскости, но они тоже изолированные (лежат на конечных расстояниях). В области  (на достаточно больших расстояниях, там где работает квазиклассическое приближение):

  (13)

При :

  (14)

Задача - выразить  и  через . Когда мы перейдем в другую область, знак функции  изменится. Обход совершаем в верхней полуплоскости:

  (15)

Тогда при  

  (16)

  (17)

Получили второе слагаемое из суммы. При этом:

  (18)

Если обход совершать через нижнюю полуплоскость:

  (19)

Отсюда находим вторую константу:

  (20)

Получим в области :

  (21)

Мы получали при обходах через разные полуплоскости разные решения только потому, что наше решение - асимптотически приближенное, а не точное. Проходя через верхнюю полуплоскость, мы получаем то решение, которое в ней является экспоненциально растущим, а второе - экспоненциально малое, - не замечаем на фоне главного. Для нижней полуплоскости - наоборот. Для «левой» точки поворота  аналогичные рассуждения приводят к результатам:

 

Квазиклассические решения и условия их «сшивки» в точках поворота позволяют получить «в квадратурах» (то есть через интегралы, а не решение дифференциального уравнения) условие на уровни энергии. Такие условия называются правилами квантования. Мы рассмотрим их на следующей лекции.

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

83874. Развитие брюшины и органов пищеварительной системы. Дивертикул Меккеля. Подпечёночное расположение купола слепой кишки и червеобразного отростка 51.45 KB
  Подпечёночное расположение купола слепой кишки и червеобразного отростка. Поджелудочная железа закладывается на уровне двенадцатиперстной кишки и врастает между двумя листками дорсальной брыжейки. На 5й неделе внутриутробного развития начинаются ускоренный рост кишки и ее удлинение. В кишечной петле можно выделить два колена: верхнее нисходящее колено из которого в дальнейшем формируется двенадцатиперстная кишка тощая и большая часть подвздошной кишки; и нижнее восходящее колено из которого развивается конечный отдел подвздошной и вся...
83875. Полость живота. Топографо – анатомические образования верхнего и нижнего этажей брюшной полости 51.31 KB
  В хирургической анатомии в малом сальнике выделяют лишь lig.hepatoduodenale и lig.hepatogastricum, поскольку они хорошо визуализируются во время операций. В составе lig. hepatoduodenale, между ее листками, в порядке справа налево располагаются следующие элементы: ductus choledohus (D) — крайнее правое положение, vena portae (V) — посередине
83876. Висцеральные ветви брюшной части аорты. Притоки воротной вены. Порто – кавальные анастомозы 55.17 KB
  Висцеральные ветви брюшной части аорты Непарные висцеральные ветви Чревный ствол короткая 2 см но толстая артерия которая отходит на уровне XII грудного позвонка в самом hitus orticus диафрагмы идет вперед над верхним краем pncres и тотчас делится на три ветви: . gstric sinistr левая желудочная артерия идет к малой кривизне желудка дает ветви как к желудку так и к prs bdominlis esophgi. gstroduodenlis проходит позади duodenum и делится на две ветви: .
83877. Малый сальник, сальниковая сумка, стенки, отверстие, связь с другими отделами. Способы осуществления доступа к поджелудочной железе 69.84 KB
  В зависимости от локализации патологического процесса и характера оперативного вмешательства производят различные разрезы передней брюшной стенки. Для обнажения тела и хвоста поджелудочной железы чаще применяют верхний срединный разрез который в случае необходимости можно расширить путем пересечения прямых мышц живота. Для подхода к головке поджелудочной железы особенно если одновременно предполагают вмешательство на желчных путях целесообразно применять разрезы С. Разрез проводят параллельно XII ребру справа если необходимо подойти к...
83878. Хирургическая анатомия печени. Связки, доли, ворота, кровеносные сосуды. Хирургическая анатомия печёночно – двенадцатипертной связки, элементы 54.27 KB
  Нижний край острый с двумя вырезками вдавление от желчного пузыря и вырезки круглой связки печени. Поперечная борозда соответствует воротам печени. Левая продольная борозда глубокая щель отделяющая левую долю печени от правой.
83879. Холецистэктомия. Лапароскопическая холецистэктомия. Треугольник Кало. Показания, техника выполнения, анатомические сложности 50.01 KB
  Границы треугольника: 1 пузырный проток латерально; 2 общий печеночный проток медиально; 3 правая ветвь собственной печеночной артерии сверху пузырная артерия сама нередко образует верхнюю границу треугольника Холецистэктомия Показания: воспаление желчного пузыря желчнокаменная болезнь опухоль желчного пузыря. Оперативный прием: существуют два способа выделения пузыря: от дна и от шейки. Холецистэктомия от шейки пузыря Выделение пузырного протока и пузырной артерии. Производят выделение и удаление желчного пузыря.
83880. Хирургическая анатомия желчного пузыря и желчных протоков. Варианты желчных протоков. Дренирование желчных протоков 78.03 KB
  Хирургическая анатомия желчного пузыря Желчный пузырь представляет собой грушевидной формы резервуар для желчи располагающийся между правой и квадратной долями печени. Шейка желчного пузыря продолжается в пу зырный проток направлена в сторону ворот печени и залегает вместе с пузырным протоком в печеночнодвенадцатиперстной связке. С\'келетотопия: дно желчного пузыря определяется спереди.
83881. Хирургическая анатомия желудка. Отделы, кровеносные сосуды, нервы и лимфатические пути 54.69 KB
  Отделы желудка Желудок имеет достаточно специфическую форму. В нем можно выделить несколько отделов которые отличаются в функциональном отношении и по своему гистологическому строению: кардиальный отдел дно желудка тело желудка и пилорический отдел. Кардиальный отдел или кардия желудка назван так за то что он располагается в непосредственной близости к сердцу.
83882. Хирургическая анатомия двенадцатиперстной кишки. Отделы, кровеносные сосуды. Большой и малый дуоденальные сосочки 50.97 KB
  Верхняя часть луковица двенадцатиперстной кишки располагается между привратником желудка и верхним изгибом двенадцатиперстной кишки. Нисходящая часть двенадцатиперстной кишки образует более или менее выраженный изгиб вправо и идет от верхнего до нижнего изгибов. В эту часть открываются обший желчный проток и проток поджелудочной железы на большом сосочке двенадцатиперстной кишки.