19041

Правило квантования Бора-Зоммерфельда. Примеры. Квазиклассический коэффициент прохождения через барьер. Вероятность альфа распада в квазиклассическом приближении

Лекция

Физика

Лекция 23 Правило квантования БораЗоммерфельда. Примеры. Квазиклассический коэффициент прохождения через барьер. Вероятность альфа распада в квазиклассическом приближении Квазиклассические решения и условия их сшивки в точках поворота позволяют получить в кв...

Русский

2013-07-11

384.5 KB

13 чел.

Лекция 23

Правило квантования Бора-Зоммерфельда. Примеры. Квазиклассический коэффициент прохождения через барьер. Вероятность альфа распада в квазиклассическом приближении

Квазиклассические решения и условия их «сшивки» в точках поворота позволяют получить «в квадратурах» (то есть через интегралы, а не решение дифференциального уравнения) условие на уровни энергии. Такие условия называются правилами квантования. Рассмотрим решение уравнения Шредингера при некоторой энергии , при которой могут существовать стационарные состояния дискретного спектра ().

    (1)

где

    (2)

Обозначим классические точки остановки для классической частицы с этой энергией как  и  (для определенности ). Тогда при  и  величина  отрицательна, при  - положительна. Поэтому квазиклассические решения уравнения Шредингера в этих областях имеют вид

       (3)

    (4)

       (5)

В качестве нижних пределов интегрирования в этих формулах выбраны левая и правая точки остановки соответственно. В формулах (3), (5) оставлены только затухающие на обеих бесконечностях функции. Функции (3)-(5) являются хорошими приближениями для ограниченных решений уравнения Шредингера вдали от точек остановки  и . Согласно условиям сшивки функция (4) вне ямы и функция

    (6)

внутри ямы вдали от точки поворота  являются приближениями одного и того же решения. Любое другое квазиклассическое решение внутри ямы, будучи продолжено в область , будет неограничено возрастать. Аналогично функция (5) и функция

    (7)

внутри ямы вдали от точки поворота  являются приближениями одного и того же решения. Любое другое квазиклассическое решение внутри ямы, будучи продолжено в область , будет неограничено возрастать. Поэтому ограниченное при всех значениях  решение существует только тогда, когда функции (6) и (7) совпадают или отличаются только знаком, то есть аргументы косинусов в (6) и (7) отличаются на . Отсюда находим

   (8)

Соотношение (8) выполняется только при определенных значениях энергии , входящей в функцию  в подынтегральной функции и в пределы интегрирования – классические точки остановки при данной энергии  и , которые определяется из уравнения

     (9)

Поэтому уравнение (8) является условием для энергий стационарных состояний дискретного спектра и называется правилом квантования Бора-Зоммерфельда.

Из правила квантования Бора-Зоммерфельда можно получить условие на количество состояний дискретного спектра в тех или иных потенциалах. Имеем

  (10)

(мы записали правило квантования через классический импульс  и проинтегрировали в «двух направлениях» – от до  и от  до ). Если интегрирование в (10) производится по доступной для «связанного» движения области (ограниченной «классическими» барьерами), то  в (10) - максимальный номер уровня системы, или количество связанных состояний в системе. Поэтому

 (11)

Поскольку интеграл  определяет доступный системе фазовый объем, из формулы (11) следует, что существует прямая пропорциональная связь объема фазового пространства, занимаемого частицей при некоторой энергии , и количества связанных состояний с энергией, меньшей . Можно сказать, что одно связанное состояние «занимает ячейку фазового пространства» объемом . В трехмерном случае - объемом .

Получим еще одно важное следствие правила квантования. Рассмотрим два уровня - с номером  и соседний, с номером . Тогда

  (12)

Здесь

  (13)

Разложим (12) по малому параметру :

  (14)

где  - «классическая» скорость частицы, а интеграл

 (15)

имеет смысл «классического» периода колебаний при данной энергии, а  - осцилляторной частоты. Таким образом, для каждой энергии есть своя классическая частота колебаний. Расстояние между соседними уровнями (как это следует из (14)) и в малых участках ). Это значит, что квазиклассических спектр эквидистантен.

Рассмотрим теперь в рамках квазиклассического приближения прохождение через потенциальные барьеры. Пусть частицы с энергией  падают на барьер слева и пусть классическими точками поворота при данной энергии являются точки  и  (; см. рисунок). Если бы барьер был абсолютно непроницаем, то под барьером было бы только затухающее решение, поэтому перед барьером (в области  нужно взять квазиклассическую функцию в виде

   (16)

где введена «классическая» скорость . В подбарьерной области имеем

 (17)

Далее, из условия сшивки квазиклассических функций можно доказать, что функция

 (18)

при  и функция

 (19)

при  являются квазиклассическими выражениями одного и того же решения уравнения Шредингера справа и под барьером. Поэтому из формул (17)-(19) заключаем, что решение (17) в области  перейдет в функцию

 (20)

Вычисляя по функции (20) плотность потока находим коэффициент прохождения барьера

 (21)

Формально, при переходе к классике (), получим , как и должно быть, поскольку в классике частицы не могут пересечь такой барьер. По порядку величины, показатель экспоненты есть величина, обратная параметру квазиклассичности

 (22)

Отсюда .

Используя формулу (22) можно оценить вероятность -распада в квазиклассическом приближении. Вероятность распада пропорционально коэффициенту прохождения кулоновского барьера :

  (23)

где

 (24)

- радиус действия ядерных сил. Вычисляя интеграл с помощью замены:

  (25)

  (26)

где введена скорость -частицы. Видно, что показатель экспоненты большой и отрицательный - вероятность распада мала, так как

 (27)

(28)

а скорости -частиц после распада составляют  от скорости света. Поэтому показатель степени есть

  (30)

Подтверждением квазиклассической теории -распада является наблюдаемая в эксперименте очень резкая зависимость скоростей распада от энергии -частиц. В теории эта зависимость

    (31)

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

43712. Разработка программного обеспечения для сжатия изображения 4.51 MB
  Особенность изображений состоит в том, что отдельные элементы изображения находятся в определенной связи с соседними элементами. Поэтому большинство алгоритмов преобразования изображений носит групповой характер (то есть группа пикселей)
43713. Разработка мероприятия по совершенствованию системы управления персоналом на ОАО АКБ «РОСБАНК» 17.41 MB
  Управление людьми имеет практически такую же древнюю историю, как и человечество. По мере экономического развития и появления крупных организаций, управление персоналом превратилось в особую управленческую функцию, требующую специальных знаний и навыков.
43714. Повышение технического уровня подземного горношахтного оборудования 91.49 KB
  Запасы угля Вскрытие шахтного поля. Основной базой каменного угля Украины по-прежнему остаётся Донбасс. Обогащение угля не осуществляется. Основными потребителями угля являются ТЭЦ.
43715. Дослідження методів обробки пластикових матеріалів при виготовленні пакування 12.3 MB
  В результаті розробки проекту необхідно забезпечити високу продуктивність гнучкість оперативність випуску високоякісної продукції. Сучасні тенденції виробництва пластикового пакування в Україні Сучасні тенденції розвитку ринку пакувальної продукції України Використання полімерних матеріалів при виготовленні поліграфічної продукції Види полімерних матеріалів що використовуються у поліграфії Система маркування пластику Переробка пластикових відходів Етапи і методи переробки пластикових відходів
43717. Туристический кластер Псковской области 1.72 MB
  Отечественные туристские кластеры в контексте национальной стратегии отраслевого развития История развития туризма в Псковской области выступает своеобразным катализатором социально экономического развития. Задачи: Дать характеристику понятию туристский кластер; Рассмотреть классификацию туризма; Исследовать состояние и перспективы туризма в Псковской области; Охарактеризовать роль кластеров в современной экономики; Выявить возможные пути развития данной отрасли.
43719. Система навчання гуманітаріїв фізичним дисциплінам 528.79 KB
  Додатковим чинником модернізації вітчизняної педагогіки послужила реформація європейської освіти в руслі Болонського процесу Така реформація по суті є процесом створення єдиного простору європейської вищої освіти як магістрального напрямку розвитку мобільності громадян із можливістю їх післядипломного працевлаштування у будьякій країні Євросоюзу. Ця спрямованість призвела до переходу вищої освіти України на Болонську систему Необхідним стає оновлення змісту навчання в руслі реалізації основних вимог Болонського процесу:...
43720. Дослідження конкурентоспроможності сільськогосподарської продукції ТОВ «Промінь-Приват» 211.61 KB
  Це визначається винятковим значенням аграрного підприємства у забезпеченні сталого розвитку аграрного ринку здійсненні зовнішньоекономічних звязків створення продовольчої безпеки держави. Тільки конкурентоспроможні підприємства можуть виробляти продовольчу продукцію у відповідності до вимог міжнародних стандартів та зможуть використати переваги міжнародного співробітництва у інвестуванні кредитуванні сертифікації страхуванні науковотехнічному забезпеченні сільськогосподарського виробництва та реалізації продовольчих товарів. Тому...