19041

Правило квантования Бора-Зоммерфельда. Примеры. Квазиклассический коэффициент прохождения через барьер. Вероятность альфа распада в квазиклассическом приближении

Лекция

Физика

Лекция 23 Правило квантования БораЗоммерфельда. Примеры. Квазиклассический коэффициент прохождения через барьер. Вероятность альфа распада в квазиклассическом приближении Квазиклассические решения и условия их сшивки в точках поворота позволяют получить в кв...

Русский

2013-07-11

384.5 KB

8 чел.

Лекция 23

Правило квантования Бора-Зоммерфельда. Примеры. Квазиклассический коэффициент прохождения через барьер. Вероятность альфа распада в квазиклассическом приближении

Квазиклассические решения и условия их «сшивки» в точках поворота позволяют получить «в квадратурах» (то есть через интегралы, а не решение дифференциального уравнения) условие на уровни энергии. Такие условия называются правилами квантования. Рассмотрим решение уравнения Шредингера при некоторой энергии , при которой могут существовать стационарные состояния дискретного спектра ().

    (1)

где

    (2)

Обозначим классические точки остановки для классической частицы с этой энергией как  и  (для определенности ). Тогда при  и  величина  отрицательна, при  - положительна. Поэтому квазиклассические решения уравнения Шредингера в этих областях имеют вид

       (3)

    (4)

       (5)

В качестве нижних пределов интегрирования в этих формулах выбраны левая и правая точки остановки соответственно. В формулах (3), (5) оставлены только затухающие на обеих бесконечностях функции. Функции (3)-(5) являются хорошими приближениями для ограниченных решений уравнения Шредингера вдали от точек остановки  и . Согласно условиям сшивки функция (4) вне ямы и функция

    (6)

внутри ямы вдали от точки поворота  являются приближениями одного и того же решения. Любое другое квазиклассическое решение внутри ямы, будучи продолжено в область , будет неограничено возрастать. Аналогично функция (5) и функция

    (7)

внутри ямы вдали от точки поворота  являются приближениями одного и того же решения. Любое другое квазиклассическое решение внутри ямы, будучи продолжено в область , будет неограничено возрастать. Поэтому ограниченное при всех значениях  решение существует только тогда, когда функции (6) и (7) совпадают или отличаются только знаком, то есть аргументы косинусов в (6) и (7) отличаются на . Отсюда находим

   (8)

Соотношение (8) выполняется только при определенных значениях энергии , входящей в функцию  в подынтегральной функции и в пределы интегрирования – классические точки остановки при данной энергии  и , которые определяется из уравнения

     (9)

Поэтому уравнение (8) является условием для энергий стационарных состояний дискретного спектра и называется правилом квантования Бора-Зоммерфельда.

Из правила квантования Бора-Зоммерфельда можно получить условие на количество состояний дискретного спектра в тех или иных потенциалах. Имеем

  (10)

(мы записали правило квантования через классический импульс  и проинтегрировали в «двух направлениях» – от до  и от  до ). Если интегрирование в (10) производится по доступной для «связанного» движения области (ограниченной «классическими» барьерами), то  в (10) - максимальный номер уровня системы, или количество связанных состояний в системе. Поэтому

 (11)

Поскольку интеграл  определяет доступный системе фазовый объем, из формулы (11) следует, что существует прямая пропорциональная связь объема фазового пространства, занимаемого частицей при некоторой энергии , и количества связанных состояний с энергией, меньшей . Можно сказать, что одно связанное состояние «занимает ячейку фазового пространства» объемом . В трехмерном случае - объемом .

Получим еще одно важное следствие правила квантования. Рассмотрим два уровня - с номером  и соседний, с номером . Тогда

  (12)

Здесь

  (13)

Разложим (12) по малому параметру :

  (14)

где  - «классическая» скорость частицы, а интеграл

 (15)

имеет смысл «классического» периода колебаний при данной энергии, а  - осцилляторной частоты. Таким образом, для каждой энергии есть своя классическая частота колебаний. Расстояние между соседними уровнями (как это следует из (14)) и в малых участках ). Это значит, что квазиклассических спектр эквидистантен.

Рассмотрим теперь в рамках квазиклассического приближения прохождение через потенциальные барьеры. Пусть частицы с энергией  падают на барьер слева и пусть классическими точками поворота при данной энергии являются точки  и  (; см. рисунок). Если бы барьер был абсолютно непроницаем, то под барьером было бы только затухающее решение, поэтому перед барьером (в области  нужно взять квазиклассическую функцию в виде

   (16)

где введена «классическая» скорость . В подбарьерной области имеем

 (17)

Далее, из условия сшивки квазиклассических функций можно доказать, что функция

 (18)

при  и функция

 (19)

при  являются квазиклассическими выражениями одного и того же решения уравнения Шредингера справа и под барьером. Поэтому из формул (17)-(19) заключаем, что решение (17) в области  перейдет в функцию

 (20)

Вычисляя по функции (20) плотность потока находим коэффициент прохождения барьера

 (21)

Формально, при переходе к классике (), получим , как и должно быть, поскольку в классике частицы не могут пересечь такой барьер. По порядку величины, показатель экспоненты есть величина, обратная параметру квазиклассичности

 (22)

Отсюда .

Используя формулу (22) можно оценить вероятность -распада в квазиклассическом приближении. Вероятность распада пропорционально коэффициенту прохождения кулоновского барьера :

  (23)

где

 (24)

- радиус действия ядерных сил. Вычисляя интеграл с помощью замены:

  (25)

  (26)

где введена скорость -частицы. Видно, что показатель экспоненты большой и отрицательный - вероятность распада мала, так как

 (27)

(28)

а скорости -частиц после распада составляют  от скорости света. Поэтому показатель степени есть

  (30)

Подтверждением квазиклассической теории -распада является наблюдаемая в эксперименте очень резкая зависимость скоростей распада от энергии -частиц. В теории эта зависимость

    (31)

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

10304. Философия Людвига Фейербаха 12.67 KB
  Философия Людвига Фейербаха Несмотря на то что классическая немецкая философия получила свое наиболее полное выражение в идеалистических философских системах именно в этот момент возникла одна из мощнейших материалистических идей Людвига Фейербаха. Фейербах ст
10305. Современная философия 12.45 KB
  Современная философия чрезвычайно многообразна. Вместе с тем в ней есть свои центры притяжения в виде относительно самостоятельных направлений или течений. Их тоже много но в плане самой общей картины можно ограничиться тремя: аналитическим феноменологическим и постм
10306. Раннегреческая философия (милетская и элейская школы философии) 13.1 KB
  Раннегреческая философия милетская и элейская школы философии Милетская школа существовала в Древней Греции в VI в. до н. э. Представителями данной школы являлись Фалес Анаксимандр Анаксимен. Философы милетской школы: выступали с материалистических позиций; занимал
10307. Философия французского просвещения 11.36 KB
  Во Франции философия являлась мощным общественно – культурным движением. Все идеи французских философов подготовили почву к великой французской революции. Приведем пример двух самых ярких просветителей этого времени. Вольтер французский философпросветитель. Боро
10308. Фихте Иоганн немецкий философ и общественный деятель 14.79 KB
  Фихте Иоганн немецкий философ и общественный деятель представитель нем. классического идеализма. Родился в крестьянской семье. Учился в университете Лейпцига. Под влиянием событий Великой французской революции Ф. написал работу посвященную защите свободы мысли. Вслед
10309. Фридрих Шеллинг 11.72 KB
  Фридрих Шеллинг оказался своеобразным связывающим звеном между философией Канта идеями Фихте. В центре его философских размышлений оказывается задача построить единую систему познания истины в частных областях. Все это реализуется в его “натурфилософииâ€. Основн...
10310. Формування стратегії розвитку туристичної дестинації «Подільські Товтри» 2.55 MB
  Розкити сутність понять «дестинація», «екологічна дестинація», «стратегія»; Визначити теоретичні основи формування стратегії розвитку туристичної дестинації; Сформулювати систему оціночних показників для визначення привабливості дестинації; Здійснити комплексний аналіз туристичного потенціалу дестинації «Подільські Товтри»; Визначити передумови для створення стратегії розвитку дестинації «Подільські Товтри»...
10311. Эпоха эллинизма 12.39 KB
  Эллинизм охватывающий период от завоеваний Александра Македонского до падения западной Римской Империи характеризует собой последующую античную философию. Сохранив многое из античной классики Эллинизм по существу завершил ее. Исходные принципы заложенные великими ...
10312. Давид Юм - философ английского Просвещения 15.5 KB
  Давид Юм философ английского Просвещения критиковал религиозный и философский догматизм который заложился в сознании людей. Он был философомскептиком антирационалистом. Юм известен своей мыслью о том что не существует объективной причинной связи вещей.Когда мы на