19041

Правило квантования Бора-Зоммерфельда. Примеры. Квазиклассический коэффициент прохождения через барьер. Вероятность альфа распада в квазиклассическом приближении

Лекция

Физика

Лекция 23 Правило квантования БораЗоммерфельда. Примеры. Квазиклассический коэффициент прохождения через барьер. Вероятность альфа распада в квазиклассическом приближении Квазиклассические решения и условия их сшивки в точках поворота позволяют получить в кв...

Русский

2013-07-11

384.5 KB

8 чел.

Лекция 23

Правило квантования Бора-Зоммерфельда. Примеры. Квазиклассический коэффициент прохождения через барьер. Вероятность альфа распада в квазиклассическом приближении

Квазиклассические решения и условия их «сшивки» в точках поворота позволяют получить «в квадратурах» (то есть через интегралы, а не решение дифференциального уравнения) условие на уровни энергии. Такие условия называются правилами квантования. Рассмотрим решение уравнения Шредингера при некоторой энергии , при которой могут существовать стационарные состояния дискретного спектра ().

    (1)

где

    (2)

Обозначим классические точки остановки для классической частицы с этой энергией как  и  (для определенности ). Тогда при  и  величина  отрицательна, при  - положительна. Поэтому квазиклассические решения уравнения Шредингера в этих областях имеют вид

       (3)

    (4)

       (5)

В качестве нижних пределов интегрирования в этих формулах выбраны левая и правая точки остановки соответственно. В формулах (3), (5) оставлены только затухающие на обеих бесконечностях функции. Функции (3)-(5) являются хорошими приближениями для ограниченных решений уравнения Шредингера вдали от точек остановки  и . Согласно условиям сшивки функция (4) вне ямы и функция

    (6)

внутри ямы вдали от точки поворота  являются приближениями одного и того же решения. Любое другое квазиклассическое решение внутри ямы, будучи продолжено в область , будет неограничено возрастать. Аналогично функция (5) и функция

    (7)

внутри ямы вдали от точки поворота  являются приближениями одного и того же решения. Любое другое квазиклассическое решение внутри ямы, будучи продолжено в область , будет неограничено возрастать. Поэтому ограниченное при всех значениях  решение существует только тогда, когда функции (6) и (7) совпадают или отличаются только знаком, то есть аргументы косинусов в (6) и (7) отличаются на . Отсюда находим

   (8)

Соотношение (8) выполняется только при определенных значениях энергии , входящей в функцию  в подынтегральной функции и в пределы интегрирования – классические точки остановки при данной энергии  и , которые определяется из уравнения

     (9)

Поэтому уравнение (8) является условием для энергий стационарных состояний дискретного спектра и называется правилом квантования Бора-Зоммерфельда.

Из правила квантования Бора-Зоммерфельда можно получить условие на количество состояний дискретного спектра в тех или иных потенциалах. Имеем

  (10)

(мы записали правило квантования через классический импульс  и проинтегрировали в «двух направлениях» – от до  и от  до ). Если интегрирование в (10) производится по доступной для «связанного» движения области (ограниченной «классическими» барьерами), то  в (10) - максимальный номер уровня системы, или количество связанных состояний в системе. Поэтому

 (11)

Поскольку интеграл  определяет доступный системе фазовый объем, из формулы (11) следует, что существует прямая пропорциональная связь объема фазового пространства, занимаемого частицей при некоторой энергии , и количества связанных состояний с энергией, меньшей . Можно сказать, что одно связанное состояние «занимает ячейку фазового пространства» объемом . В трехмерном случае - объемом .

Получим еще одно важное следствие правила квантования. Рассмотрим два уровня - с номером  и соседний, с номером . Тогда

  (12)

Здесь

  (13)

Разложим (12) по малому параметру :

  (14)

где  - «классическая» скорость частицы, а интеграл

 (15)

имеет смысл «классического» периода колебаний при данной энергии, а  - осцилляторной частоты. Таким образом, для каждой энергии есть своя классическая частота колебаний. Расстояние между соседними уровнями (как это следует из (14)) и в малых участках ). Это значит, что квазиклассических спектр эквидистантен.

Рассмотрим теперь в рамках квазиклассического приближения прохождение через потенциальные барьеры. Пусть частицы с энергией  падают на барьер слева и пусть классическими точками поворота при данной энергии являются точки  и  (; см. рисунок). Если бы барьер был абсолютно непроницаем, то под барьером было бы только затухающее решение, поэтому перед барьером (в области  нужно взять квазиклассическую функцию в виде

   (16)

где введена «классическая» скорость . В подбарьерной области имеем

 (17)

Далее, из условия сшивки квазиклассических функций можно доказать, что функция

 (18)

при  и функция

 (19)

при  являются квазиклассическими выражениями одного и того же решения уравнения Шредингера справа и под барьером. Поэтому из формул (17)-(19) заключаем, что решение (17) в области  перейдет в функцию

 (20)

Вычисляя по функции (20) плотность потока находим коэффициент прохождения барьера

 (21)

Формально, при переходе к классике (), получим , как и должно быть, поскольку в классике частицы не могут пересечь такой барьер. По порядку величины, показатель экспоненты есть величина, обратная параметру квазиклассичности

 (22)

Отсюда .

Используя формулу (22) можно оценить вероятность -распада в квазиклассическом приближении. Вероятность распада пропорционально коэффициенту прохождения кулоновского барьера :

  (23)

где

 (24)

- радиус действия ядерных сил. Вычисляя интеграл с помощью замены:

  (25)

  (26)

где введена скорость -частицы. Видно, что показатель экспоненты большой и отрицательный - вероятность распада мала, так как

 (27)

(28)

а скорости -частиц после распада составляют  от скорости света. Поэтому показатель степени есть

  (30)

Подтверждением квазиклассической теории -распада является наблюдаемая в эксперименте очень резкая зависимость скоростей распада от энергии -частиц. В теории эта зависимость

    (31)

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

27527. Понятие и структура правосознания 25 KB
  Выделяют следующие основные черты правосознания: 1 является одной из форм общественного знания; 2 состоит из идей теорий чувств эмоций настроений и других компонентов; 3 носителями компонентов правосознания являются различные субъекты права; 4 обращено не только к настоящему но и к прошлому и к будущему; 5 является формой права в отдельные периоды развития общества; 6 ориентирует субъектов права в социальноправовых ситуациях позволяет им делать соответствующий не всегда правомерный выбор и принимать юридически значимые решения....
27528. Понятие, признаки и виды правомерного поведения 29 KB
  Понятие признаки и виды правомерного поведения Правомерное поведение личности – это поведение соответствующее предписаниям юридических норм т. законопослушное социальное поведение облеченное в юридическую форму. Правомерное поведение очень широко по своему диапазону и весьма неоднородно по характеру. Активное правомерное поведение.
27529. Понятие, стадии, способы и типы правового регулирования 31.5 KB
  Понятие стадии способы и типы правового регулирования Правовое регулирование – целенаправленное результативное юридическое воздействие права на общественные отношения осуществляющееся при помощи совокупности юридических средств норм права правоотношений и актов реализации составляющих его механизм механизм правового регулирования. Метод правового регулирования представляет собой специфический способ совокупность способов правового воздействия на регулируемые общественные отношения. Он складывается из комбинации следующих способов...
27530. Правовая культура, понятие и структура 26 KB
  Правовая культура понятие и структура. Существует несколько подходов к понятию культуры: 1 антропологические согласно которым культура – это совокупность всех благ созданных человеком в отличие от того что создала природа; 2 социологические согласно которым культура – это совокупность всех духовных ценностей; 3 философские согласно которым культура – это исторически определенный уровень развития общества творческих сил и способностей человека. Таким образом правовая культура – это совокупность всех ценностей созданных человеком в...
27531. Правовое отношение: понятие и признаки, состав 25 KB
  Правоотношения – это охраняемые государством общественные отношения возникающие как правило вследствие воздействия норм права на поведение людей и характеризующиеся наличием субъективных прав и юридических обязанностей у их участников. Признаки: 1 разновидность отношений общественных; 2 возникают на основе норм права; 3 характеризуются наличием у их участников субъективных прав и юридических обязанностей; 4 волевые отношения это означает что помимо нормы права которая сама по себе уже выражает определенную волю для возникновения...
27532. Преемственность в праве: понятие, виды и значение 28.5 KB
  Преемственность в праве – заимствование правом того или иного государства положения прошлых либо современных правовых систем заимствование наилучших моделей элементов конструкций описания механизма правового регулирования с целью совершенствования правовых систем и правовой культуры Правопреемственность – это необходимый элемент закона отрицания отрицания. Главным фактором обусловливающим преемственность является необходимость нормативного регулирования ряда общественных отношений вытекающая из потребностей самого общества и...
27533. Презумпции и фикции в праве 27.5 KB
  Все приёмы законодательной техники делятся на 2 группы: 1 юридические средства – это допустимые правом предметы и явления с помощью которых обеспечивается достижение поставленных целей и получения результатов юридические термины и понятия; юридические конструкции; юридические символы; перечисления; юридические презумпции; юридические фикции; 2 юридические способы – пути достижения намеченных целей с помощью конкретных юридических средств и при наличие условий и предпосылок законодательной практики способы структуризации; способы...
27534. Приведите примеры юридических фактов-действий 30 KB
  Юридический факт конкретные социальные обстоятельства события действия вызывающие в соответствии с нормами права наступление определенных правовых последствий – возникновение изменение или прекращение правовых отношений. Классификация: 1 по характеру наступающих последствий: а правообразующие поступление в вуз; б прамоприменяющие перевод с очной формы на заочную; в правопрекращающие окончание вуза; 2 по связи с волей участников правоотношений: а события обстоятельства независящие от воли субъекта стихийное бедствие...
27535. Принципы права: понятие, классификация и значение 28 KB
  Принципы права исходные нормативноруководящие начала императивные требования определяющие общую направленность правового регулирования общественных отношений. Принципы права обусловлены рядом факторов: уровень экономического развития; особенности политической системы; социальноклассовые природы государства. Принципы российского права: 1 принцип справедливости; 2 принцип равноправия равенство перед законом и судом; 3 единство прав и обязанностей; 4 гуманизм основан на уважении человека его достоинства и прав; 5...