19041

Правило квантования Бора-Зоммерфельда. Примеры. Квазиклассический коэффициент прохождения через барьер. Вероятность альфа распада в квазиклассическом приближении

Лекция

Физика

Лекция 23 Правило квантования БораЗоммерфельда. Примеры. Квазиклассический коэффициент прохождения через барьер. Вероятность альфа распада в квазиклассическом приближении Квазиклассические решения и условия их сшивки в точках поворота позволяют получить в кв...

Русский

2013-07-11

384.5 KB

13 чел.

Лекция 23

Правило квантования Бора-Зоммерфельда. Примеры. Квазиклассический коэффициент прохождения через барьер. Вероятность альфа распада в квазиклассическом приближении

Квазиклассические решения и условия их «сшивки» в точках поворота позволяют получить «в квадратурах» (то есть через интегралы, а не решение дифференциального уравнения) условие на уровни энергии. Такие условия называются правилами квантования. Рассмотрим решение уравнения Шредингера при некоторой энергии , при которой могут существовать стационарные состояния дискретного спектра ().

    (1)

где

    (2)

Обозначим классические точки остановки для классической частицы с этой энергией как  и  (для определенности ). Тогда при  и  величина  отрицательна, при  - положительна. Поэтому квазиклассические решения уравнения Шредингера в этих областях имеют вид

       (3)

    (4)

       (5)

В качестве нижних пределов интегрирования в этих формулах выбраны левая и правая точки остановки соответственно. В формулах (3), (5) оставлены только затухающие на обеих бесконечностях функции. Функции (3)-(5) являются хорошими приближениями для ограниченных решений уравнения Шредингера вдали от точек остановки  и . Согласно условиям сшивки функция (4) вне ямы и функция

    (6)

внутри ямы вдали от точки поворота  являются приближениями одного и того же решения. Любое другое квазиклассическое решение внутри ямы, будучи продолжено в область , будет неограничено возрастать. Аналогично функция (5) и функция

    (7)

внутри ямы вдали от точки поворота  являются приближениями одного и того же решения. Любое другое квазиклассическое решение внутри ямы, будучи продолжено в область , будет неограничено возрастать. Поэтому ограниченное при всех значениях  решение существует только тогда, когда функции (6) и (7) совпадают или отличаются только знаком, то есть аргументы косинусов в (6) и (7) отличаются на . Отсюда находим

   (8)

Соотношение (8) выполняется только при определенных значениях энергии , входящей в функцию  в подынтегральной функции и в пределы интегрирования – классические точки остановки при данной энергии  и , которые определяется из уравнения

     (9)

Поэтому уравнение (8) является условием для энергий стационарных состояний дискретного спектра и называется правилом квантования Бора-Зоммерфельда.

Из правила квантования Бора-Зоммерфельда можно получить условие на количество состояний дискретного спектра в тех или иных потенциалах. Имеем

  (10)

(мы записали правило квантования через классический импульс  и проинтегрировали в «двух направлениях» – от до  и от  до ). Если интегрирование в (10) производится по доступной для «связанного» движения области (ограниченной «классическими» барьерами), то  в (10) - максимальный номер уровня системы, или количество связанных состояний в системе. Поэтому

 (11)

Поскольку интеграл  определяет доступный системе фазовый объем, из формулы (11) следует, что существует прямая пропорциональная связь объема фазового пространства, занимаемого частицей при некоторой энергии , и количества связанных состояний с энергией, меньшей . Можно сказать, что одно связанное состояние «занимает ячейку фазового пространства» объемом . В трехмерном случае - объемом .

Получим еще одно важное следствие правила квантования. Рассмотрим два уровня - с номером  и соседний, с номером . Тогда

  (12)

Здесь

  (13)

Разложим (12) по малому параметру :

  (14)

где  - «классическая» скорость частицы, а интеграл

 (15)

имеет смысл «классического» периода колебаний при данной энергии, а  - осцилляторной частоты. Таким образом, для каждой энергии есть своя классическая частота колебаний. Расстояние между соседними уровнями (как это следует из (14)) и в малых участках ). Это значит, что квазиклассических спектр эквидистантен.

Рассмотрим теперь в рамках квазиклассического приближения прохождение через потенциальные барьеры. Пусть частицы с энергией  падают на барьер слева и пусть классическими точками поворота при данной энергии являются точки  и  (; см. рисунок). Если бы барьер был абсолютно непроницаем, то под барьером было бы только затухающее решение, поэтому перед барьером (в области  нужно взять квазиклассическую функцию в виде

   (16)

где введена «классическая» скорость . В подбарьерной области имеем

 (17)

Далее, из условия сшивки квазиклассических функций можно доказать, что функция

 (18)

при  и функция

 (19)

при  являются квазиклассическими выражениями одного и того же решения уравнения Шредингера справа и под барьером. Поэтому из формул (17)-(19) заключаем, что решение (17) в области  перейдет в функцию

 (20)

Вычисляя по функции (20) плотность потока находим коэффициент прохождения барьера

 (21)

Формально, при переходе к классике (), получим , как и должно быть, поскольку в классике частицы не могут пересечь такой барьер. По порядку величины, показатель экспоненты есть величина, обратная параметру квазиклассичности

 (22)

Отсюда .

Используя формулу (22) можно оценить вероятность -распада в квазиклассическом приближении. Вероятность распада пропорционально коэффициенту прохождения кулоновского барьера :

  (23)

где

 (24)

- радиус действия ядерных сил. Вычисляя интеграл с помощью замены:

  (25)

  (26)

где введена скорость -частицы. Видно, что показатель экспоненты большой и отрицательный - вероятность распада мала, так как

 (27)

(28)

а скорости -частиц после распада составляют  от скорости света. Поэтому показатель степени есть

  (30)

Подтверждением квазиклассической теории -распада является наблюдаемая в эксперименте очень резкая зависимость скоростей распада от энергии -частиц. В теории эта зависимость

    (31)

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

82126. Живе слово поета 72.5 KB
  Звучить музика Ведучий 1 Добрий день шановні друзі гості вчителі Ведучий 2 Ми вітаємо вас на нашому шкільному святі Живе слово поета О слово рідне Шум дерев Музика зір блакитнооких Шовковий спів снопів широких Дніпра між ними левій рев. 1 Художнє слово мов ота живинка Без нього ніби ти і не живеш...
82127. О.Буцень «Чи є зима?» 54.5 KB
  Мета: вчити дітей правильного і виразного читання; розширювати кругозір учнів; розвивати пізнавальні інтереси, усне мовлення, уяву, спостережливість; вдосконалювати техніку читання; виховувати любов до зимової пори, відчуття краси і неповторної зимової природи.
82128. Как зимуют птицы и звери. Забота людей о птицах и зверях зимой 429 KB
  Цель: учить устанавливать взаимосвязь между изменениями в неживой природе жизнью растений и жизнью животных; продолжить формировать умения сравнивать животных по их существенным признакам классифицировать их; обобщать полученную информацию; закреплять навыки работы в в группах...
82129. Конкурсно-розважальна програма для перших класів 45.5 KB
  Їжте діти апельсин Будете здорові як мій син Думаю що вам теж не завадять вітаміни які є у апельсині. То ж пограємо у гру Передай апельсин Апельсин тримаємо підборіддям передаємо наступним гравцям команди руками не допомагаємо. У кого падає апельсин той покидає гру.
82130. КАК ЗИМУЮТ ЗВЕРИ И ПТИЦЫ 56 KB
  Оборудование: видеофильм Как зимуют звери и птицы картина Зимний пейзаж музыка Сказочная волшебная зимняярисунки птиц фотоальбом Животные Украины опорные схемы проектор компьютер маски животных карточки для самостоятельной работы учащихся карта Двуречанского района выставка книг.
82131. Літературна вітальня, присвячена творчості Максима Рильського для учнів 7–8-х класів 74.5 KB
  У глибині сцени вміщено портрет М.Т.Рильського на панно із зображенням грон винограду та троянд, під ним цифри 1895 –1965. По центру сцени підставка, на якій лежить рушник, відкрита книга М.Рильського, підсвічник із запаленими свічками.
82132. Це мова моя, це мова моєї країни! 53.5 KB
  Щоб почистити нашу першу криницю потрібно дібрати якнайбільше 1 спільнокореневих слів з коренем добр доброта доброчинність доброякісний 2 синонімів до слова доброта людяність. Бліцо-питування на швидкість кожній команді Сукупність слів її словниковий склад називається Слова близькі за лексичним значенням...
82133. Екологічна казка на новий лад «Золота рибка» 36 KB
  Ведучий. Пливуть хмаринками роки, В історії ідуть роки. Та казка завжди серед нас Нагадує про себе повсякчас. Ведуча. Коли і хто її складав, А потім нам розповідав – Не скажемо тепер ми вам, Ніхто про це не знає сам. Ведучий. Казка – вигадка, проте, Щось в ній, браття, не пусте.
82134. ПОДОРОЖ ДО ЗООПАРКУ 56 KB
  Будують клітки для звірів та інші споруди зоопарку оздоблюють територію. Працівники радіовузла: Кореспонденти ведуть репортаж з місця подій редактор готує передачі в яких виступають: науковий співробітник медпрацівник бригадир будівельників директор зоопарку; транслюється концерт за заявками...