19042

Уравнение Томаса-Ферми

Лекция

Физика

Лекция 24 Уравнение ТомасаФерми Распределение заряда и электрического поля в атомах с учетом взаимодействия электронов друг с другом проводятся методами самосогласованного поля. Эти расчеты очень сложны и громоздки особенно многоэлектронных атомов. Но как раз дл

Русский

2013-07-11

127 KB

25 чел.

Лекция 24

Уравнение Томаса-Ферми

Распределение заряда и электрического поля в атомах с учетом взаимодействия электронов друг с другом проводятся методами самосогласованного поля. Эти расчеты очень сложны и громоздки (особенно многоэлектронных атомов). Но как раз для сложных атомов существует другой приближенный метод, приводящий к более грубым результатам, но являющийся гораздо более простым. Этот метод называется методом Томаса-Ферми и заключается в том, что в сложных атомах с большим числом электронов большинство электронов обладают большими квантовыми числами, и, следовательно, для них применимо квазиклассическое приближение. Поэтому об электронных состояниях можно говорить как о «ячейках в фазовом пространстве».

Рассмотрим атом с тяжелым ядром . В этом случае большинство электронов сосредоточено на уровнях с большими квантовыми числами. Так как на одном уровне не может быть двух одинаковых электронов, на первых оболочках электронов мало. Для остальных применяем квазиклассику.

Плотность электронов: . Электростатический потенциал: . Число состояний, приходящихся на фазовый объем:

 

С учетом спина:

 

Импульсы электронов в основном состоянии атома меняются от нуля до некоторого значения . Поэтому число электронов в элементе объема  равно

 

С другой стороны, количество электронов в элементе объема можно записать через их плотность как:

 

Тогда плотность в данной точке пространства имеем для плотности электронов:

 

Откуда находим  - радиус Ферми-сферы.

 

Максимальная кинетическая энергия:

 

Чтобы состояние было связанным, величина  должна быть отрицательной:

 

Потенциал  одинаков во всех точках пространства в стационарном состоянии (в противном случае электроны переходили бы из точек с меньшим  в точки с большим ). Поэтому

 

- уравнение границы атома (в этих точках плотность электронов  обращается в нуль). Но вне центрально-симметричного распределения зарядов при условии равенства нулю полного заряда потенциал должен быть равен нулю. Поэтому на границе атома . Поэтому для нейтрального атома постоянная  равна нулю. Для иона постоянная  должна быть отлична от нуля. Поэтому

 

Поскольку потенциал и плотность заряда связаны уравнением Пуассона , то из предыдущей формулы имеем

 (1)

где  - боровский радиус. Уравнение (1), определяющее распределение поля в атоме, и называется уравнением Томаса-Ферми. Распределение поля в основном состоянии атома определяется центрально-симметричным решением этого уравнения, удовлетворяющем следующим граничным условиям

 

Первое условие связано с тем, что на малых расстояниях, когда заряд ядра не экранируется электронами, атомное поле совпадает с полем ядра. На больших расстояниях поле должно убывать быстрее кулоновского из-за равенства нулю полного заряда атома.

Используем далее известное выражение для радиальной части лапласиана

 

и будем искать решение уравнения (1) в виде:

 

Тогда уравнения и граничные условия для функции  можно записать в следующем виде:

 

 

Переходим к безразмерной переменной:

 

где буквой  обозначена следующая комбинация безразмерных множителей (для компактности записи уравнения)

 

Получаем уравнение:

 

Это уравнение называется уравнением Томаса-Ферми. Это уравнение не содержит уже никаких параметров и определяет, таким образом, универсальную (то есть одинаковую для всех атомов) функцию .

Зная функцию , мы можем найти распределение поля в атоме , а затем и распределение плотности электронов :

 

Уравнение Томаса-Ферми не решается аналитически, но может быть проинтегрировано численно.  

Мы описали некоторые общие свойства «усредненных» атомов, отказавшись от описания индивидуальных свойств конкретных атомов. Это уравнение можно использовать не только для атомов, но и для других систем. С помощью модели Томаса-Ферми можно делать различные оценки или легко понять зависимости тех или иных характеристик атомов от размерных параметров и заряда ядра. Например, из уравнения Томаса-Ферми следует, что роль характерного размера атома играет величина

 

(именно этой величиной обезразмерены координаты в уравнении Томаса-Ферми).

Поэтому характерные значения потенциала можно оценить как:

 

Через потенциал можно следующим образом оценить характерную скорость электронов в атоме:

 

Можно оценить и плотность электронов:

 

Обсудим теперь условия применимости метода Томаса-Ферми. Для получения уравнения Томаса-Ферми мы использовали квазиклассическое приближение, которое не работает на слишком маленьких расстояниях. Как известно квазиклассическое приближение работает на расстояниях, больших радиуса первой боровской орбиты. Поэтому  

 

Также размеры ограничены сверху: на больших расстояниях де-бройлевская длина волны электрона становится порядка самого этого расстояния, и потому условие квазиклассичности полностью нарушается.  

Поэтому метод Томаса-Ферми работает при таких значениях расстояния, которое удовлетворяет следующим неравенствам

 

Это и есть область, в которой работает наше приближение. 

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

31431. Мировое хозяйтво 71.5 KB
  Мировым (всемирным) хозяйство – это совокупность национальных хозяйственных комплексов всех стран мира как сложно организованная наднациональная экономическая система.
31432. Дослiдження нелінійного опору лампи розжарення 149.5 KB
  Виміряти і порівняти опори холодної і розжареної лампи. Визначити залежність опору лампи розжарення від споживаємої потужності. Відомо що звичайні лампи розжарення найчастіше перегорають під час під’єднання до джерела живлення.
31433. Дослiдження послiдовного резонансного LCR контуру з нелiнiйною iндуктивнiстю – феррорезонансного стабiлiзатора 72 KB
  Вимiряти напруги на iндуктивностi UL точки 12 конденсаторi UC точки 24 опорi UR точки 69 i на окремих дiлянках кола ULС точки 14 UСR точки 29 для рiзних значеннь напруги E джерела точки 19. Провести вимiри при змiнi E джерела точки 19 вiд мiнiмального до максимального значення E. Звернути увагу на стрибки напруги UL точки 12 i рiзну залежнiсть для прямого i зворотнього напрямку змiни E.
31434. Дослiдження коллекторного двигуна постiйного струму з постiйним магнiтом в якостi статора 103.5 KB
  Мета: Визначити спiввiдношення електричних та механiчних характеристик двигуна. Дослiдити вплив активного опору обмоток ротору на механiчнi залежностi двигуна. На малюнку наведено схему стенду для дослiдження двигуна.
31435. Схоластический период в философии средневековья. Фома Аквинский - основатель томизма 29 KB
  Почти все известные мыслители того времени были либо проповедниками либо преподавателями богословских школ. Он стремится упорядочить множество в единстве; вывести бытие бога из бытия вещей. Форма всех форм – пус бог Субстанция – абсолютная актуальность не допускающая какойлибо потенциальности это необходимость сущность блага. бог как источник всякого оформления Заявив что философия должна быть служанкой богословия он попытался поставить на службу религии и вере разум.
31436. Теория двойственной истины, ее автор и сторонники. Номиналисты и реалисты в средневековой философии. Роль их спора в развитии философского знания 32.5 KB
  Поскольку Бог по сравнению с природой рассматривался как сверхбытие или высшая реальность то основное внимание должно было сосредотачиваться прежде всего на Его познании. Это значит что абсурдно утверждать реальность человечности а не конкретных людей реальность сладкого а не конкретных предметов конфет сахара шоколада и т. В самом познании они выделили различные уровни эмпирический и теоретический пытались исследовать их специфику; впервые стали рассматривать познание как процесс а не как онтологическую реальность.1 1...
31437. Общая характеристика философии эпохи Возрождения (основные направления философской мысли, представители) 43.5 KB
  Время о котором идет речь философы Возрождения называли Новым связывая его с выработкой принципиально иных подходов к развитию искусства и науки. Эпоха Возрождения это эпоха зарождения капиталистических отношений создания национальных государств и абсолютных монархий Западной Европы эпоха глубоких социальных конфликтов. Специфика философской культуры Возрождения Философская мысль эпохи Возрождения охватывает три столетия: от раннего гуманизма XIV в.
31438. Основные черты западноевропейской философии XVII века. Философия Ф. Бэкона, Т. Гоббса, Д. Локка. Философия Р. Декарта 50 KB
  В философии на первый план выдвигаются проблемы теории познания гносеологии в частности: что значит знать что пролагает дорогу к истине ощущения или разум интуиция или логика аналитическим или синтетическим должно быть познание и т. Одна группа работ посвящена проблемам развития науки и анализа научного познания. Основной задачей философии Бэкон считал конструирование нового метода познания а целью науки принесение пользы человечеству. Фундаментом всякого познания по оценке Бэкона является опыт который должен быть...
31439. Основные черты западноевропейской философии XVIII века. Философские взгляды просветителя Ж.-Ж. Руссо. Утопический социализм Сен-Симона и Оуэна. Философия французского материализма XVIII века (Дидро, Гельвеции, Гольбах) 39 KB
  Руссо. Второй этап с середины 40х годов до конца 80х годов до Французской революции: Руссо Кондильяк и четыре великих французских материалиста Ламетри Дидро Гельвеций и Гольбах. К материалистам относятся вышеупомянутые четыре французских материалиста деистическую религию исповедовал Вольтер; новую разновидность подхода к христианству религию чувства развивал Руссо. Большинство просветителей склонялись к идеям реформизма меньшинство например Мелье Руссо были революционерами.