19042

Уравнение Томаса-Ферми

Лекция

Физика

Лекция 24 Уравнение ТомасаФерми Распределение заряда и электрического поля в атомах с учетом взаимодействия электронов друг с другом проводятся методами самосогласованного поля. Эти расчеты очень сложны и громоздки особенно многоэлектронных атомов. Но как раз дл

Русский

2013-07-11

127 KB

22 чел.

Лекция 24

Уравнение Томаса-Ферми

Распределение заряда и электрического поля в атомах с учетом взаимодействия электронов друг с другом проводятся методами самосогласованного поля. Эти расчеты очень сложны и громоздки (особенно многоэлектронных атомов). Но как раз для сложных атомов существует другой приближенный метод, приводящий к более грубым результатам, но являющийся гораздо более простым. Этот метод называется методом Томаса-Ферми и заключается в том, что в сложных атомах с большим числом электронов большинство электронов обладают большими квантовыми числами, и, следовательно, для них применимо квазиклассическое приближение. Поэтому об электронных состояниях можно говорить как о «ячейках в фазовом пространстве».

Рассмотрим атом с тяжелым ядром . В этом случае большинство электронов сосредоточено на уровнях с большими квантовыми числами. Так как на одном уровне не может быть двух одинаковых электронов, на первых оболочках электронов мало. Для остальных применяем квазиклассику.

Плотность электронов: . Электростатический потенциал: . Число состояний, приходящихся на фазовый объем:

 

С учетом спина:

 

Импульсы электронов в основном состоянии атома меняются от нуля до некоторого значения . Поэтому число электронов в элементе объема  равно

 

С другой стороны, количество электронов в элементе объема можно записать через их плотность как:

 

Тогда плотность в данной точке пространства имеем для плотности электронов:

 

Откуда находим  - радиус Ферми-сферы.

 

Максимальная кинетическая энергия:

 

Чтобы состояние было связанным, величина  должна быть отрицательной:

 

Потенциал  одинаков во всех точках пространства в стационарном состоянии (в противном случае электроны переходили бы из точек с меньшим  в точки с большим ). Поэтому

 

- уравнение границы атома (в этих точках плотность электронов  обращается в нуль). Но вне центрально-симметричного распределения зарядов при условии равенства нулю полного заряда потенциал должен быть равен нулю. Поэтому на границе атома . Поэтому для нейтрального атома постоянная  равна нулю. Для иона постоянная  должна быть отлична от нуля. Поэтому

 

Поскольку потенциал и плотность заряда связаны уравнением Пуассона , то из предыдущей формулы имеем

 (1)

где  - боровский радиус. Уравнение (1), определяющее распределение поля в атоме, и называется уравнением Томаса-Ферми. Распределение поля в основном состоянии атома определяется центрально-симметричным решением этого уравнения, удовлетворяющем следующим граничным условиям

 

Первое условие связано с тем, что на малых расстояниях, когда заряд ядра не экранируется электронами, атомное поле совпадает с полем ядра. На больших расстояниях поле должно убывать быстрее кулоновского из-за равенства нулю полного заряда атома.

Используем далее известное выражение для радиальной части лапласиана

 

и будем искать решение уравнения (1) в виде:

 

Тогда уравнения и граничные условия для функции  можно записать в следующем виде:

 

 

Переходим к безразмерной переменной:

 

где буквой  обозначена следующая комбинация безразмерных множителей (для компактности записи уравнения)

 

Получаем уравнение:

 

Это уравнение называется уравнением Томаса-Ферми. Это уравнение не содержит уже никаких параметров и определяет, таким образом, универсальную (то есть одинаковую для всех атомов) функцию .

Зная функцию , мы можем найти распределение поля в атоме , а затем и распределение плотности электронов :

 

Уравнение Томаса-Ферми не решается аналитически, но может быть проинтегрировано численно.  

Мы описали некоторые общие свойства «усредненных» атомов, отказавшись от описания индивидуальных свойств конкретных атомов. Это уравнение можно использовать не только для атомов, но и для других систем. С помощью модели Томаса-Ферми можно делать различные оценки или легко понять зависимости тех или иных характеристик атомов от размерных параметров и заряда ядра. Например, из уравнения Томаса-Ферми следует, что роль характерного размера атома играет величина

 

(именно этой величиной обезразмерены координаты в уравнении Томаса-Ферми).

Поэтому характерные значения потенциала можно оценить как:

 

Через потенциал можно следующим образом оценить характерную скорость электронов в атоме:

 

Можно оценить и плотность электронов:

 

Обсудим теперь условия применимости метода Томаса-Ферми. Для получения уравнения Томаса-Ферми мы использовали квазиклассическое приближение, которое не работает на слишком маленьких расстояниях. Как известно квазиклассическое приближение работает на расстояниях, больших радиуса первой боровской орбиты. Поэтому  

 

Также размеры ограничены сверху: на больших расстояниях де-бройлевская длина волны электрона становится порядка самого этого расстояния, и потому условие квазиклассичности полностью нарушается.  

Поэтому метод Томаса-Ферми работает при таких значениях расстояния, которое удовлетворяет следующим неравенствам

 

Это и есть область, в которой работает наше приближение. 

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

52344. Охорона біосфери 163 KB
  Тема уроку Охорона біосфери Мета: закріпити знання про біосферу як екологічну систему іі складові основні її властивості узагальнити і розширити знання учнів про напрямки діяльності людини по охороні біосфери заповідний фонд України познайомити з концепцією сталого розвитку складовими екоцентричної та антропоцентричної структури свідомості; вдосконалювати навички порівнювати робити висновки; розвивати навички вирішувати екологічні ситуації самостійно готувати матеріал до уроку створювати мультимедійну...
52345. Вплив людини на стан біосфери 162.5 KB
  МЕТА: Освітня: Розвивати вміння знаходити взаємозв’язки між діями й наслідками діяльності людини. Обладнання: Інтерактивна дошка слайди презентації фотографії з позитивним і негативними прикладами впливу людини на стан біосфери вірші про природу. Концепція уроку: Показати що діяльність людини стала провідним екологічним фактором на планеті й що зростання населення Землі призвело до демографичного вибуху перенаселеності й екологічних проблем; описати основні природні ресурси й наголосити на проблемі їхнього раціонального використання.
52346. Природные формы и явления. Выполнение творческой работы по представлению «Жар-птица» 407 KB
  Восприятие форм и цветных соотношений в природе. Воссоздание цветовых соотношений фактуры и текстуры в естественных формах в работе по воображению Жар-птица. Цель: Расширять знания о колорите палитре о теплых и холодных цветах цветовых ассоциациях; ознакомить с элементарными правилами рисования на компьютере. Развивать фантазию образное мышление чувство цвета умение передавать в колористической композиции чувства настроение фантазию образное мышление; уметь применять знания о цвете художественные техники и приемы...
52347. Обобщение темы «Птицы» 38.5 KB
  Цель: обобщить знания по теме Птицы проверить усвоение знаний об особенностях строения птиц раскрыть их значение в жизни природы и человека совершенствовать умения анализировать делать выводы работать с таблицами дополнительной литературой. Оборудование: таблица Птицы разных экологических групп таблица для Поля чудес сообщения детей Девиз: Птицы – наши...
52348. MY LAST BIRTHDAY PARTY 52 KB
  We are having an unusual lesson today. We have a lot of guests today and also a lot of interesting tasks to do. So, today we are going to speak about your favourite holiday, about birthday.
52349. AT A BIRTHDAY PARTY 93 KB
  To consolidate the previously learnt vocabulary and teach creative writing on the bases of greeting sentences and making birthday postcards. To develop skills and habits in listening, reproductive reading and speaking; To educate cultural awareness and rules of social behaviour.
52350. Порядок державної реєстрації суб‘єктів підприємницької діяльності 514 KB
  Виховна ціль: Формувати у особистості: почуття відповідальності за доручену справу; любов до майбутньої роботи в галузі підприємницької або бізнесової діяльності; сучасне економічне мислення; уміння орієнтуватися в умовах ринкових відносин; уміння самостійно приймати рішення. Завдання № 2 Визначити основні документи які необхідні для здійснення державної реєстрації юридичної особи та описати порядок державної реєстрації в залежності від запропонованої організаційноправової форми. ІІ рівень...