19042

Уравнение Томаса-Ферми

Лекция

Физика

Лекция 24 Уравнение ТомасаФерми Распределение заряда и электрического поля в атомах с учетом взаимодействия электронов друг с другом проводятся методами самосогласованного поля. Эти расчеты очень сложны и громоздки особенно многоэлектронных атомов. Но как раз дл

Русский

2013-07-11

127 KB

27 чел.

Лекция 24

Уравнение Томаса-Ферми

Распределение заряда и электрического поля в атомах с учетом взаимодействия электронов друг с другом проводятся методами самосогласованного поля. Эти расчеты очень сложны и громоздки (особенно многоэлектронных атомов). Но как раз для сложных атомов существует другой приближенный метод, приводящий к более грубым результатам, но являющийся гораздо более простым. Этот метод называется методом Томаса-Ферми и заключается в том, что в сложных атомах с большим числом электронов большинство электронов обладают большими квантовыми числами, и, следовательно, для них применимо квазиклассическое приближение. Поэтому об электронных состояниях можно говорить как о «ячейках в фазовом пространстве».

Рассмотрим атом с тяжелым ядром . В этом случае большинство электронов сосредоточено на уровнях с большими квантовыми числами. Так как на одном уровне не может быть двух одинаковых электронов, на первых оболочках электронов мало. Для остальных применяем квазиклассику.

Плотность электронов: . Электростатический потенциал: . Число состояний, приходящихся на фазовый объем:

 

С учетом спина:

 

Импульсы электронов в основном состоянии атома меняются от нуля до некоторого значения . Поэтому число электронов в элементе объема  равно

 

С другой стороны, количество электронов в элементе объема можно записать через их плотность как:

 

Тогда плотность в данной точке пространства имеем для плотности электронов:

 

Откуда находим  - радиус Ферми-сферы.

 

Максимальная кинетическая энергия:

 

Чтобы состояние было связанным, величина  должна быть отрицательной:

 

Потенциал  одинаков во всех точках пространства в стационарном состоянии (в противном случае электроны переходили бы из точек с меньшим  в точки с большим ). Поэтому

 

- уравнение границы атома (в этих точках плотность электронов  обращается в нуль). Но вне центрально-симметричного распределения зарядов при условии равенства нулю полного заряда потенциал должен быть равен нулю. Поэтому на границе атома . Поэтому для нейтрального атома постоянная  равна нулю. Для иона постоянная  должна быть отлична от нуля. Поэтому

 

Поскольку потенциал и плотность заряда связаны уравнением Пуассона , то из предыдущей формулы имеем

 (1)

где  - боровский радиус. Уравнение (1), определяющее распределение поля в атоме, и называется уравнением Томаса-Ферми. Распределение поля в основном состоянии атома определяется центрально-симметричным решением этого уравнения, удовлетворяющем следующим граничным условиям

 

Первое условие связано с тем, что на малых расстояниях, когда заряд ядра не экранируется электронами, атомное поле совпадает с полем ядра. На больших расстояниях поле должно убывать быстрее кулоновского из-за равенства нулю полного заряда атома.

Используем далее известное выражение для радиальной части лапласиана

 

и будем искать решение уравнения (1) в виде:

 

Тогда уравнения и граничные условия для функции  можно записать в следующем виде:

 

 

Переходим к безразмерной переменной:

 

где буквой  обозначена следующая комбинация безразмерных множителей (для компактности записи уравнения)

 

Получаем уравнение:

 

Это уравнение называется уравнением Томаса-Ферми. Это уравнение не содержит уже никаких параметров и определяет, таким образом, универсальную (то есть одинаковую для всех атомов) функцию .

Зная функцию , мы можем найти распределение поля в атоме , а затем и распределение плотности электронов :

 

Уравнение Томаса-Ферми не решается аналитически, но может быть проинтегрировано численно.  

Мы описали некоторые общие свойства «усредненных» атомов, отказавшись от описания индивидуальных свойств конкретных атомов. Это уравнение можно использовать не только для атомов, но и для других систем. С помощью модели Томаса-Ферми можно делать различные оценки или легко понять зависимости тех или иных характеристик атомов от размерных параметров и заряда ядра. Например, из уравнения Томаса-Ферми следует, что роль характерного размера атома играет величина

 

(именно этой величиной обезразмерены координаты в уравнении Томаса-Ферми).

Поэтому характерные значения потенциала можно оценить как:

 

Через потенциал можно следующим образом оценить характерную скорость электронов в атоме:

 

Можно оценить и плотность электронов:

 

Обсудим теперь условия применимости метода Томаса-Ферми. Для получения уравнения Томаса-Ферми мы использовали квазиклассическое приближение, которое не работает на слишком маленьких расстояниях. Как известно квазиклассическое приближение работает на расстояниях, больших радиуса первой боровской орбиты. Поэтому  

 

Также размеры ограничены сверху: на больших расстояниях де-бройлевская длина волны электрона становится порядка самого этого расстояния, и потому условие квазиклассичности полностью нарушается.  

Поэтому метод Томаса-Ферми работает при таких значениях расстояния, которое удовлетворяет следующим неравенствам

 

Это и есть область, в которой работает наше приближение. 

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

78692. ФАКТОР СОЦИАЛЬНОЙ БЕЗОПАСНОСТИ В ИНСТИТУЦИОНАЛЬНОМ КОНТЕКСТЕ СОВРЕМЕННОЙ РОССИИ 246.77 KB
  Конец прошлого столетия в Российской Федерации характеризуется такими понятиями, как: политически нестабильная обстановка, экономический дефолт и демографический кризис. Как правило, за черной полосой наступает белая, поэтому на данный момент времени можно смело утверждать...
78693. ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ ПРОЕКТОВ И ПРОГРАММ РЕНОВАЦИИ ЖИЛИЩНОГО ФОНДА 3.06 MB
  Целью диссертационного исследования является разработка методики оценки эффективности проектов реновации жилых зданий с учетом интересов субъектов инвестиционного процесса, и решение на этой основе вопросов экономического обоснования и формирования программ реновации жилищного фонда.
78694. «Северный край» - печатный орган оппозиции губерний Севера и Верхнего Поволжья конца XIX – начала XX веков 1.23 MB
  Конец XIX – начало XX в. для российской печати стали временем количественного и качественного роста. Данная тенденция в полной мере характерна и для столичной, и для провинциальной журналистики. Причин перехода отечественной прессы на новую ступень эволюции в это время несколько.
78695. Методические основы оценки конкурентной позиции предприятия на примере рынка водки г. Москвы 1.55 MB
  Между тем разработанные механизмы оценки взаимодействия конкCрентной и внутренней среды предприятия не позволяют определять эффе:тивность решений с точки зрения улучшения или укрепления конкурентной позиции предприятия относительно других производителей.
78696. МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ОЦЕНКИ АССОРТИМЕНТНОЙ ПОЛИТИКИ ПРЕДПРИЯТИЙ МЕБЕЛЬНОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ 1.36 MB
  Практика реформирования экономики России наглядно продемонстрировала, что недооценка микроэкономических предпосылок роста реального сектора экономики может привести к негативному влиянию на экономическое развитие, к значительным потерям ресурсов и увеличению продолжительности реформ.
78697. Коррекция девиантного поведения подростков в условиях оздоровительно-образовательных центров 440.33 KB
  Рост девиантного поведения различных возрастных категорий населения несовершеннолетней молодежи обозначил актуальность проблемы организации профилактической работы с детьми и молодежью, но в связи с тем, что реализация профилактических технологий осуществляется с детьми...
78698. ПРАВОВЫЕ ОТНОШЕНИЯ В ИНФОРМАЦИОННОЙ СФЕРЕ 2.51 MB
  Сегодня все больше увеличивается значение информации в самых различных социальных процессах. Активное использование средств обработки и передачи информации развитие новых технологий вызывает существенные изменения в экономической политической и иных сферах общественной жизни.
78699. Ідея розвитку у працях Я. А. Коменського, М. Монтеня, Ж.-Ж. Руссо 69.5 KB
  Мета даного реферату - розкрита одну з головних проблем сучасної педагогіки, а саме проблему розвиваючого навчання. Можна із впевненістю сказати, що запровадження розвиваючого навчання в сучасну школу має величезне педагогічне значення.