19042

Уравнение Томаса-Ферми

Лекция

Физика

Лекция 24 Уравнение ТомасаФерми Распределение заряда и электрического поля в атомах с учетом взаимодействия электронов друг с другом проводятся методами самосогласованного поля. Эти расчеты очень сложны и громоздки особенно многоэлектронных атомов. Но как раз дл

Русский

2013-07-11

127 KB

26 чел.

Лекция 24

Уравнение Томаса-Ферми

Распределение заряда и электрического поля в атомах с учетом взаимодействия электронов друг с другом проводятся методами самосогласованного поля. Эти расчеты очень сложны и громоздки (особенно многоэлектронных атомов). Но как раз для сложных атомов существует другой приближенный метод, приводящий к более грубым результатам, но являющийся гораздо более простым. Этот метод называется методом Томаса-Ферми и заключается в том, что в сложных атомах с большим числом электронов большинство электронов обладают большими квантовыми числами, и, следовательно, для них применимо квазиклассическое приближение. Поэтому об электронных состояниях можно говорить как о «ячейках в фазовом пространстве».

Рассмотрим атом с тяжелым ядром . В этом случае большинство электронов сосредоточено на уровнях с большими квантовыми числами. Так как на одном уровне не может быть двух одинаковых электронов, на первых оболочках электронов мало. Для остальных применяем квазиклассику.

Плотность электронов: . Электростатический потенциал: . Число состояний, приходящихся на фазовый объем:

 

С учетом спина:

 

Импульсы электронов в основном состоянии атома меняются от нуля до некоторого значения . Поэтому число электронов в элементе объема  равно

 

С другой стороны, количество электронов в элементе объема можно записать через их плотность как:

 

Тогда плотность в данной точке пространства имеем для плотности электронов:

 

Откуда находим  - радиус Ферми-сферы.

 

Максимальная кинетическая энергия:

 

Чтобы состояние было связанным, величина  должна быть отрицательной:

 

Потенциал  одинаков во всех точках пространства в стационарном состоянии (в противном случае электроны переходили бы из точек с меньшим  в точки с большим ). Поэтому

 

- уравнение границы атома (в этих точках плотность электронов  обращается в нуль). Но вне центрально-симметричного распределения зарядов при условии равенства нулю полного заряда потенциал должен быть равен нулю. Поэтому на границе атома . Поэтому для нейтрального атома постоянная  равна нулю. Для иона постоянная  должна быть отлична от нуля. Поэтому

 

Поскольку потенциал и плотность заряда связаны уравнением Пуассона , то из предыдущей формулы имеем

 (1)

где  - боровский радиус. Уравнение (1), определяющее распределение поля в атоме, и называется уравнением Томаса-Ферми. Распределение поля в основном состоянии атома определяется центрально-симметричным решением этого уравнения, удовлетворяющем следующим граничным условиям

 

Первое условие связано с тем, что на малых расстояниях, когда заряд ядра не экранируется электронами, атомное поле совпадает с полем ядра. На больших расстояниях поле должно убывать быстрее кулоновского из-за равенства нулю полного заряда атома.

Используем далее известное выражение для радиальной части лапласиана

 

и будем искать решение уравнения (1) в виде:

 

Тогда уравнения и граничные условия для функции  можно записать в следующем виде:

 

 

Переходим к безразмерной переменной:

 

где буквой  обозначена следующая комбинация безразмерных множителей (для компактности записи уравнения)

 

Получаем уравнение:

 

Это уравнение называется уравнением Томаса-Ферми. Это уравнение не содержит уже никаких параметров и определяет, таким образом, универсальную (то есть одинаковую для всех атомов) функцию .

Зная функцию , мы можем найти распределение поля в атоме , а затем и распределение плотности электронов :

 

Уравнение Томаса-Ферми не решается аналитически, но может быть проинтегрировано численно.  

Мы описали некоторые общие свойства «усредненных» атомов, отказавшись от описания индивидуальных свойств конкретных атомов. Это уравнение можно использовать не только для атомов, но и для других систем. С помощью модели Томаса-Ферми можно делать различные оценки или легко понять зависимости тех или иных характеристик атомов от размерных параметров и заряда ядра. Например, из уравнения Томаса-Ферми следует, что роль характерного размера атома играет величина

 

(именно этой величиной обезразмерены координаты в уравнении Томаса-Ферми).

Поэтому характерные значения потенциала можно оценить как:

 

Через потенциал можно следующим образом оценить характерную скорость электронов в атоме:

 

Можно оценить и плотность электронов:

 

Обсудим теперь условия применимости метода Томаса-Ферми. Для получения уравнения Томаса-Ферми мы использовали квазиклассическое приближение, которое не работает на слишком маленьких расстояниях. Как известно квазиклассическое приближение работает на расстояниях, больших радиуса первой боровской орбиты. Поэтому  

 

Также размеры ограничены сверху: на больших расстояниях де-бройлевская длина волны электрона становится порядка самого этого расстояния, и потому условие квазиклассичности полностью нарушается.  

Поэтому метод Томаса-Ферми работает при таких значениях расстояния, которое удовлетворяет следующим неравенствам

 

Это и есть область, в которой работает наше приближение. 

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

46695. Drogensucht 26.5 KB
  Viele Jugendliche sind heutzutage drogen- und alkoholabhängig. Sehr früh beginnen sie zu rauchen und Alkohol zu trinken. Alkohol, Nikotin und Medikamente nennt man weiche Drogen. Grundsätzlich ist diese Unterscheidung irreführend. Alle Drogen sind Stoffe, die unser Bewusstsein verändern. Sie tun dies unterschiedlich stark, aber alle sind schädlich und machen fast immer abhängig
46696. Налогоплательщики и налоги 26.5 KB
  Налоговая база определяется как кадастровая стоимость земельных участков признаваемых объектом налогообложения Налоговым периодом признается календарный год. Налоговые ставки устанавливаются нормативными правовыми актами представительных органов муниципальных образований законами городов федерального значения Москвы и СанктПетербурга и не могут превышать: 1 03 процента в отношении земельных участков: отнесенных к землям сельскохозяйственного назначения или к землям в составе зон сельскохозяйственного использования в поселениях и...
46697. The model of immediate constituents 26.5 KB
  The model of immediate constituents is based on the group-parsing of the sentence which has been developed by traditional grammar together with the sentence-part parsing scheme. It consists in dividing the whole of the sentence into two groups: that of the subject and that of the predicate, which, in their turn, are divided into their sub-group constituents according to the successive subordinative order of the latter
46698. Мовна надмірність і мовна недостатність у різностильових текстах 26.5 KB
  Наприклад у творах художньої літератури або у публіцистиці навіть іноді в розмовному стилі. Але його вживання у науковому чи офіційноділовому стилі є категорично забороненим і зовсім недоречним адже це буде порушувати основні ознаки стилів наприклад лаконічність. Наприклад у реченнях можуть оминатися дієслівні зв'язки Я вже додому а ти ще на роботу . Він може бути механізмом утворення нових лексичних одиниць наприклад пропозиція у значення пропозиція одружитися .
46701. Автоматизированное рабочее место специалиста отдела кадров 266.05 KB
  Охарактеризовать современные требования к организации автоматизированного рабочего места специалиста отдела кадров. Проанализировать организацию автоматизированного рабочего места специалиста отдела кадров на предприятии. Разработать рекомендации по организации автоматизированного рабочего места специалиста отдела кадров предприятия.
46703. Функціональні особливості корпоративного видання (на прикладі газети «Промышленные известия») 347 KB
  Сьогодні до роботи над корпоративними ЗМІ починають залучати професіоналів: журналістів, дизайнерів. Компанії з географічно розосередженими підрозділами потребують ефективної доставки своїх корпоративних видань і змушені звертатися до передових видавничих будинків...