19043

Теория стационарных возмущений для состояний дискретного спектра. Случай невырожденного спектра

Лекция

Физика

Лекция 25 Теория стационарных возмущений для состояний дискретного спектра. Случай невырожденного спектра Точное решение стационарного уравнения Шредингера как правило представляет собой существенную математическую проблему и возможно только для простейших кв...

Русский

2013-07-11

279 KB

29 чел.

Лекция 25

Теория стационарных возмущений для состояний дискретного спектра. Случай невырожденного спектра

Точное решение стационарного уравнения Шредингера, как правило, представляет собой существенную математическую проблему и возможно только для простейших квантовых систем. Поэтому при решении уравнения Шредингера приходится прибегать к приближенным методам. Одним из таких методов является теория возмущений. Основная идея этого метода заключается в том, что часто в условиях задачи фигурируют величины разного порядка – среди них могут оказаться малые величины, после пренебрежения которыми задача упрощается настолько, что становится возможным ее точное решение. В таком случае первый шаг в решении задачи состоит в точном решении упрощенной задачи, второй – в приближенном вычислении поправок, обусловленных малыми членами, отброшенными в упрощенной задаче. Метод нахождения этих поправок и называется теорией возмущений.

Итак, пусть оператор Гамильтона некоторой квантовой системы является стационарным (не зависит от времени) и имеет вид  где  - малая величина, которую в дальнейшем мы будем называть возмущением. Пусть далее, все, что связано с невозмущенным гамильтонианом, нам известно

  (1)

Спектр собственных значений и собственных функций гамильтониана  может быть как дискретным, так и непрерывным.

Рассмотрим теперь уравнение Шредингера для возмущенного гамильтониана квантовой системы

  (2)

Любое собственное состояние гамильтониана  можно разложить по собственным функциям  

  (3)

где - некоторые коэффициенты. Подставим это выражение в уравнение Шредингера (2). В результате получим:

  (4)

Теперь умножаем (4) на функцию  и интегрируем по всем переменным, от которых зависят собственные функции (При этом мы воспользовались ортнормированностью собственных функций невозмущенного гамильтониана

)

В результате этих преобразований возмущенное уравнение Шредингера (4) принимает следующий вид:

  (5)

В правой части получили матричный элемент от оператора возмущения с собственными функциями невозмущенного гамильтониана:

  (6)

Считаем, что все, что связано с , мало. По малым матричным элементам будем делать разложение, которое, фактически, представляет собой ряды Тейлора для функций малого параметра  и :

  (7)

В нулевом приближении () формулы (7) должны привести к решениям невозмущенного уравнения  и . Поэтому в нулевом порядке по возмущению коэффициенты разложения таковы

  (8)

Будем искать поправку к энергии и волновым функциям, относящимся к невырожденной части спектра. В первом порядке по малому возмущению имеем.

Для :

  (9)

Из формулы (9) заключаем, что поправка первого порядка к энергии  уровня равна среднему значению возмущения в состоянии .

Для :

  (10)

Знаменатель здесь не равен нулю, поскольку по условию уровни энергии невозмущенной системы являются невырожденными. Положим .

  (11)

Эта функция должна быть нормирована, так как нормированы невозмущенные волновые функции. Легко проверить, что функция (11) нормирована не точно, а только с точностью до членов первого порядка. Отличие условия нормировки от единицы, как это следует из (11) составляет

 

т.е. величину второго порядка по возмущению. А поскольку функции (11) находились в первом порядке по возмущению, то дополнительно «поднормировать» эти функции нельзя (это было бы превышением точности). Такая ситуация неудивительна, поскольку собственные функции находились приближенно.

Условие применимости полученных формул - малость вычисленных по теории возмущений поправок по сравнению с основными слагаемыми. Как следует из формулы (11), поправка мала, если

  (12)

Рассмотрим поправку второго порядка к энергиям уровней. Для  имеем из формулы (5) для поправки к энергии:

  (13)

Отсюда находим поправку второго порядка к энергии уровней

  (14)

Из-за эрмитовости оператора  формулу (14) для поправки второго порядка к энергии можно переписать в более компактном виде:

  (15)

Обратим внимание на то, что суммирования в (11), (15) проводятся по всем собственным состояниям оператора  за исключением того состояния, к которому ищутся поправки. Поэтому нигде в этих формулах знаменатели не обращаются в нуль. Если же спектр собственных значений невозмущенного гамильтониана  является вырожденным, то условие применимости теории возмущений (12) нарушается для любого, сколь угодно малого возмущения, и полученными формулами пользоваться нельзя. В этом случае следует использовать несколько другой вариант теории возмущений, который принято называть теорией возмущений при наличии вырождения и который будет рассмотрен в следующих лекциях.

Формулы теории возмущений для поправок к энергиям и волновым функциям стационарных состояний можно обобщить и на случай наличия у невозмущенного оператора Гамильтона  непрерывного спектра собственных значений (при этом речь по-прежнему идет о поправках к энергиям состояний дискретного спектра – в случае непрерывного спектра любая энергия – собственное значение). В этом случае в правые части (11), (15) должен быть добавлен интеграл по состояниям непрерывного спектра. Можно также получить формулы и для поправок теории возмущений к энергиям и волновым функциям стационарных состояний более высокого порядка. Нам эти формулы далее не понадобятся.

Обратим внимание на еще одно важное обстоятельства, которое часто используется в тех или иных рассуждениях. Поскольку в числителе каждого слагаемого формулы (15) – неотрицательная величина, и энергия основного состояния невозмущенного гамильтониана меньше энергии любого другого , то поправка второго порядка к энергии основного состояния всегда отрицательна. Поэтому, если поправка первого порядка к энергии основного состояния равна нулю, то энергия основного состояния понижается, независимо от того, какое на систему действует возмущение.

Формулы (9), (11), (15) позволяют находить поправки первого и второго порядка к энергии невозмущенного собственного состояния и поправку первого порядка к собственной функции. Для того, чтобы эти соотношения были справедливы, поправки должны быть малы. Условием применимости теории возмущений является неравенство (12), которое накладывает ограничение на величину возмущения. Из неравенства (12) следует, что соотношения теории возмущений (9), (11), (12) неприменимы в том случае, когда то собственное состояние невозмущенного гамильтониана, к которому ищутся поправки, является вырожденным, то есть когда существует собственное состояние  гамильтониана , отличное от , но отвечающее тому же собственному значению , что и состояние . Поэтому соотношения (9), (11), (15) принято называть теорией возмущений без вырождения.

В следующей лекции мы рассмотрим примеры применения теории возмущений к вычислению энергий и волновых функций стационарных состояний ряда задач.

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

27968. Психофизическая зависимость и психофизическая функция 40.9 KB
  Типы и способы межличностоной и межгрупповой коммуникации. Типы и способы межличностоной и межгрупповой коммуникации. Когда говорят о коммуникации в узком смысле слова то прежде всего имеют в виду тот факт что в ходе совместной деятельности люди обмениваются между собой различными представлениями идеями интересами настроениями чувствами установками и пр. Все это можно рассматривать как информацию и тогда сам процесс коммуникации может быть понят как процесс обмена информацией.
27969. Восприятие пространства и удаленности; монокулярные и бинокулярные признаки глубины 30.95 KB
  Восприятие пространства и удаленности; монокулярные и бинокулярные признаки глубины Чувственное отражение субъективный познавательный процесс и результат этого процесса где объективное познание выступает в виде чувственной формы а именно в виде ощущений восприятий и представлений компоненты чувственного отражения. Восприятие 1 субъективный образ предмета явления или процесса непосредственно воздействующего на анализатор или систему анализаторов перцептивный образ или образ восприятия 2 процесс формирования образа предмета или...
27970. Восприятие как процесс категоризации в трудах Дж. Брунера 36.92 KB
  Личность и психика развитие личности и развитие психики: соотношение понятий. Личность и психика развитие личности и развитие психики: соотношение понятий. Понятие личности обозначает человеческого индивида как члена общества обобщает интегрированные в нем социально значимые черты. Петровский Ярошевский Развитие личности процесс качественных психологических личностных изменений в личности а также результат этих изменений.
27971. Память как высшая психическая функция 23.01 KB
  Психология этнической социализации и этнической идентичности. Психология этнической социализации и этнической идентичности. Этническая социализация выполняет функцию формирования множественной и многоуровневой идентичности личности способствующей конструктивному функционированию этничности в жизни индивида и общества: позитивной этнической идентичности и толерантного этнического взаимодействия. Одним из основных институтов этнической социализации является семья.
27972. Эффект Зейгарник. Этническая идентичность: общее описание, структура, становление и формирование, изменения этнической идентичности 18.62 KB
  Механизмы и эффекты межличностного восприятия Этническая идентичность: общее описание структура становление и формирование изменения этнической идентичности. Эффект Зейгарник. Эффект незавершенного действия эффект Зейгарник явление характеризующее влияние на процессы памяти перерывов в деятельности.
27973. Долговременная, кратковременная, оперативная и иконическая память 27.68 KB
  Социальнопсихологический тренинг как средство повышения точности межличностного восприятия Особенности межкультурной коммуникации развитие культурной сензитивности. Непосредственный отпечаток полезен в тех случаях когда сигнал действует очень недолго как при просмотре к ф; он обеспечивает также непрерывность восприятия при моргании или движении глаз. Социальнопсихологический тренинг как средство повышения точности межличностного восприятия В процессе общения должно присутствовать взаимопонимание между участниками этого процесса....
27974. Активное и пассивное, продуктивное и репродуктивное воображение 35.57 KB
  Феномен аттракции в межличностных отношениях различные уровни аттракции. Феномен аттракции в межличностных отношениях различные уровни аттракции. Область исследований связанных с выявлением механизмов образования различных эмоциональных отношений к воспринимаемому человеку получила название исследования аттракции. Феномен аттракции связан с перцептивной стороной межличностного общения возникает при включении в процесс восприятия эмоциональных регуляторов.
27975. Основные свойства внимания и методы их оценки 43.91 KB
  Основные свойства внимания и методы их оценки. В зависимости от объекта выделяют формы внимания: сенсорное перцептивное: зрительное и слуховое интеллектуальное моторное двигательное исполнительское. Внешнее внимание сенсорноперцептивное обращено на объекты внешнего мира необходимое условие познания и преобразования окружающего мира Внимание внутреннее интеллектуальное обращено на объекты субъективного мира человека необходимое условие самопознания и самовоспитания Виды внимания Джеймс По объекту: а чувственное...
27976. Когнитивные теории внимания и их критика. Этноцентризм и этнические стереотипы 28.85 KB
  Допускается существование группы механизмов селекции в канале ограниченной емкости в результате возникают отсеивание информации еще до момента ее полной идентификации в блоке Р. это процесс в котором два или более индивида или группы активно ищут возможность помешать друг другу достичь определенной цели предотвратить удовлетворение интересов соперника или изменить его взгляды и социальные позиции. когда группы с противоречивыми интересами поляризуются по этническому признаку. Всем известный пример внутригрушювого фаворитизма ...