19043

Теория стационарных возмущений для состояний дискретного спектра. Случай невырожденного спектра

Лекция

Физика

Лекция 25 Теория стационарных возмущений для состояний дискретного спектра. Случай невырожденного спектра Точное решение стационарного уравнения Шредингера как правило представляет собой существенную математическую проблему и возможно только для простейших кв...

Русский

2013-07-11

279 KB

28 чел.

Лекция 25

Теория стационарных возмущений для состояний дискретного спектра. Случай невырожденного спектра

Точное решение стационарного уравнения Шредингера, как правило, представляет собой существенную математическую проблему и возможно только для простейших квантовых систем. Поэтому при решении уравнения Шредингера приходится прибегать к приближенным методам. Одним из таких методов является теория возмущений. Основная идея этого метода заключается в том, что часто в условиях задачи фигурируют величины разного порядка – среди них могут оказаться малые величины, после пренебрежения которыми задача упрощается настолько, что становится возможным ее точное решение. В таком случае первый шаг в решении задачи состоит в точном решении упрощенной задачи, второй – в приближенном вычислении поправок, обусловленных малыми членами, отброшенными в упрощенной задаче. Метод нахождения этих поправок и называется теорией возмущений.

Итак, пусть оператор Гамильтона некоторой квантовой системы является стационарным (не зависит от времени) и имеет вид  где  - малая величина, которую в дальнейшем мы будем называть возмущением. Пусть далее, все, что связано с невозмущенным гамильтонианом, нам известно

  (1)

Спектр собственных значений и собственных функций гамильтониана  может быть как дискретным, так и непрерывным.

Рассмотрим теперь уравнение Шредингера для возмущенного гамильтониана квантовой системы

  (2)

Любое собственное состояние гамильтониана  можно разложить по собственным функциям  

  (3)

где - некоторые коэффициенты. Подставим это выражение в уравнение Шредингера (2). В результате получим:

  (4)

Теперь умножаем (4) на функцию  и интегрируем по всем переменным, от которых зависят собственные функции (При этом мы воспользовались ортнормированностью собственных функций невозмущенного гамильтониана

)

В результате этих преобразований возмущенное уравнение Шредингера (4) принимает следующий вид:

  (5)

В правой части получили матричный элемент от оператора возмущения с собственными функциями невозмущенного гамильтониана:

  (6)

Считаем, что все, что связано с , мало. По малым матричным элементам будем делать разложение, которое, фактически, представляет собой ряды Тейлора для функций малого параметра  и :

  (7)

В нулевом приближении () формулы (7) должны привести к решениям невозмущенного уравнения  и . Поэтому в нулевом порядке по возмущению коэффициенты разложения таковы

  (8)

Будем искать поправку к энергии и волновым функциям, относящимся к невырожденной части спектра. В первом порядке по малому возмущению имеем.

Для :

  (9)

Из формулы (9) заключаем, что поправка первого порядка к энергии  уровня равна среднему значению возмущения в состоянии .

Для :

  (10)

Знаменатель здесь не равен нулю, поскольку по условию уровни энергии невозмущенной системы являются невырожденными. Положим .

  (11)

Эта функция должна быть нормирована, так как нормированы невозмущенные волновые функции. Легко проверить, что функция (11) нормирована не точно, а только с точностью до членов первого порядка. Отличие условия нормировки от единицы, как это следует из (11) составляет

 

т.е. величину второго порядка по возмущению. А поскольку функции (11) находились в первом порядке по возмущению, то дополнительно «поднормировать» эти функции нельзя (это было бы превышением точности). Такая ситуация неудивительна, поскольку собственные функции находились приближенно.

Условие применимости полученных формул - малость вычисленных по теории возмущений поправок по сравнению с основными слагаемыми. Как следует из формулы (11), поправка мала, если

  (12)

Рассмотрим поправку второго порядка к энергиям уровней. Для  имеем из формулы (5) для поправки к энергии:

  (13)

Отсюда находим поправку второго порядка к энергии уровней

  (14)

Из-за эрмитовости оператора  формулу (14) для поправки второго порядка к энергии можно переписать в более компактном виде:

  (15)

Обратим внимание на то, что суммирования в (11), (15) проводятся по всем собственным состояниям оператора  за исключением того состояния, к которому ищутся поправки. Поэтому нигде в этих формулах знаменатели не обращаются в нуль. Если же спектр собственных значений невозмущенного гамильтониана  является вырожденным, то условие применимости теории возмущений (12) нарушается для любого, сколь угодно малого возмущения, и полученными формулами пользоваться нельзя. В этом случае следует использовать несколько другой вариант теории возмущений, который принято называть теорией возмущений при наличии вырождения и который будет рассмотрен в следующих лекциях.

Формулы теории возмущений для поправок к энергиям и волновым функциям стационарных состояний можно обобщить и на случай наличия у невозмущенного оператора Гамильтона  непрерывного спектра собственных значений (при этом речь по-прежнему идет о поправках к энергиям состояний дискретного спектра – в случае непрерывного спектра любая энергия – собственное значение). В этом случае в правые части (11), (15) должен быть добавлен интеграл по состояниям непрерывного спектра. Можно также получить формулы и для поправок теории возмущений к энергиям и волновым функциям стационарных состояний более высокого порядка. Нам эти формулы далее не понадобятся.

Обратим внимание на еще одно важное обстоятельства, которое часто используется в тех или иных рассуждениях. Поскольку в числителе каждого слагаемого формулы (15) – неотрицательная величина, и энергия основного состояния невозмущенного гамильтониана меньше энергии любого другого , то поправка второго порядка к энергии основного состояния всегда отрицательна. Поэтому, если поправка первого порядка к энергии основного состояния равна нулю, то энергия основного состояния понижается, независимо от того, какое на систему действует возмущение.

Формулы (9), (11), (15) позволяют находить поправки первого и второго порядка к энергии невозмущенного собственного состояния и поправку первого порядка к собственной функции. Для того, чтобы эти соотношения были справедливы, поправки должны быть малы. Условием применимости теории возмущений является неравенство (12), которое накладывает ограничение на величину возмущения. Из неравенства (12) следует, что соотношения теории возмущений (9), (11), (12) неприменимы в том случае, когда то собственное состояние невозмущенного гамильтониана, к которому ищутся поправки, является вырожденным, то есть когда существует собственное состояние  гамильтониана , отличное от , но отвечающее тому же собственному значению , что и состояние . Поэтому соотношения (9), (11), (15) принято называть теорией возмущений без вырождения.

В следующей лекции мы рассмотрим примеры применения теории возмущений к вычислению энергий и волновых функций стационарных состояний ряда задач.

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20204. Стандартизация и охрана окружающей природной среды 31 KB
  ПДКрз – это концентрация которая при ежедневной работе в течение всего рабочего стажа не может вызвать заболевания или отклонения в состоянии здоровья в процессе работы или в отдаленные сроки жизни настоящего и последующего поколения. ПДКав – это максимальная концентрация примеси в атмосфере отнесенная к определению времени усреднено значение которой при периодическом воздействии или на протяжении всей жизни человека не оказывая на него вредного влияния включая отдаленные последствия. Это концентрация присутствие которой допустимо не...
20205. Расчёт предельно допустимого выброса вредного вещества в атмосферу 145 KB
  Нарисуем график зависимости концентрации загрязняющего вещества по оси факела выброса от расстояния до источника выброса. Расчёт предельно допустимого выброса состоит из нескольких частей и первая часть – расчёт максимальной приземной концентрации. Все формулы даются для двух вариантов: горячего выброса и холодного выброса.
20206. Контроль загрязнения почв 38 KB
  Кроме ПДК в номенклатуру санитарного состояния почв входят показатели: Общее количество аммонийного азота. Общее количество нитратного азота. Общее количество хлоридов. Общее количество пестицидов.
20207. ИССЛЕДОЛВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ 96 KB
  Для получения равноплечной дифференциальной системы соединяются дужками гнезда 10 16 при этом коэффициенты трансформации равны: Для получения неравноплечной дифференциальной системы соединяются дужками гнезда 10 16 при этом коэффициент трансформации равны Резисторная дифференциальная схема состоит из четырех резистров по 600 Ом образующих равноплечный мост рис. Для этого соединить дужкой гнезда 11 16 а к гнездам ГЕН 23 27 подключить измерительный генератор с частотой...
20208. ИЗУЧЕНИЕ ОКОНЕЧНОЙ АППАРАТУРЫ СИСТЕМЫ ПЕРЕДАЧИ К - 60П 148.5 KB
  Шестидесятиканальная система передачи на транзисторах К 60П предназначена для уплотнения симметричного кабеля диаметром жил 12мм в спектре частот 12 252 кГц. Работой устройств АРУ управляют токи контрольных частот: 16кГц наклонная 112 кГц криволинейная 248 кГц плоская. Индивидуальное преобразование спектра частот 03 34 кГц каждого из 12 каналов тональной частоты осуществляется соответственно с помощью одной из несущих частот: 108; 104; ; 64 кГц. В результате этого преобразования образуется спектр стандартной первичной...
20209. ИЗУЧЕНИЕ КОДИРУЮЩЕГО УСТРОЙСТВА 33 KB
  Сигнал на выходе компаратора зависит от соотношения Iвх и Iэт если Iвх Iэт на выходе компаратора логическая 1 . Если Iвх Iэт на выходе компаратора логический 0 . Сигнал строб 1 формирует импульс кодовой группы а сигнал строб 2 в зависимости от решения компаратора оставляет эталонный ток включенным до конца кодирования отсчета если Iвх Iэт или выключает эталонный ток данного разряда если Iвх Iэт. Наименование импульсов Амплитуда Примечание ТИ Строб 1 Строб 2 РИ 2вых Iэт 23 = 8 Iэт 22 = 4 Iэт 21 = 2 Iэт 20 = 1...
20210. ИССЛЕДОВАНИЕ РЕГЕНЕРАТОРА ЦСП 35 KB
  Подключить шнуры питания макета и измерительные приборы к розеткам сеть 220В . Включить тумблеры питания настроить измерительные приборы. Исследовать работу датчика кодовых групп ДКГ: поставить на макете ключ 1 в положение РУЧ при этом работой ДКГ можно управлять вручную кнопкой при помощи ручного датчика импульсов РДИ для контроля состояния комбинации кодовой группы используются светодиоды; при помощи шнуров подключить 1ый вход осциллографа к выходу ДКГ и настроить осциллограф на неподвижное изображение импульсов на экране для этого...
20211. НЕОБСЛУЖИВАЕМЫЙ РЕГЕНЕРАЦИОННЫЙ ПУНКТ НРП-К12 СИСТЕМЫ ПЕРЕДАЧИ ИКМ-30 57.5 KB
  Ознакомиться с составом оборудования и конструкцией НРПК12 ИКМ30. Изучить структурную схему НРП. Оборудование НРП.
20212. ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ МНОГОКАНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ПЕРЕДАЧИ С ЧАСТОТНЫМ РАЗДЕЛЕНИЕМ КАНАЛОВ 1.32 MB
  Источниками первичных сигналов являются генераторы синусоидальных сигналов Г. Зарисовать осциллограмму следующих сигналов: первичных сигналов первого второго и третьего каналов форму напряжений на выходе генераторов Г; несущих частот этих каналов гнезда 789; на выходе каждого модулятора предварительно соединив дужкой источник первичного сигнала с соответствующим модулятором; на выходе каждого канального фильтра; группового сигнала: а для случая одного канального сигнала; б для случая двух канальных сигналов; в для случая трех...