19044

Теория стационарных возмущений в случае невырожденного спектра: примеры

Лекция

Физика

Лекция 26 Теория стационарных возмущений в случае невырожденного спектра: примеры Рассмотрим несколько примеров. Пусть на одномерный гармонический осциллятор наложено возмущение . Найдем поправки первого и второго порядка к энергетическим уровням осциллятора. ...

Русский

2013-07-11

309 KB

24 чел.

Лекция 26

Теория стационарных возмущений в случае невырожденного спектра: примеры

Рассмотрим несколько примеров.

Пусть на одномерный гармонический осциллятор наложено возмущение . Найдем поправки первого и второго порядка к энергетическим уровням осциллятора.

Согласно формулам теории возмущений поправка первого порядка к уровням энергии квантовой системы определяется диагональным матричным элементом оператора возмущения с невозмущенными собственными функциями

   (1)

где  - собственные функции гамильтониана невозмущенного осциллятора. Очевидно, диагональные матричные элементы оператора координаты с волновыми функциями невозмущенного осциллятора (1) равны нулю для любого . Это связано с тем, что все волновые функции стационарных состояний осциллятора обладают определенной четностью, поэтому  - функция четная,  - функция нечетная, поэтому подынтегральная функция в (1) является нечетной, и интеграл равен нулю

      (2)

Поправки второго порядка определяются соотношением (15) из предыдущей лекции. Поскольку матричные элементы оператора координаты  не равны нулю только для следующих значений индексов -  (эти матричные элементы были вычислены на одной из предыдущих лекций), в сумме (15) представлены только два слагаемых, и поэтому эта сумма легко вычисляется. Имеем

    (3)

Учитывая, что  и используя вычисленные ранее матричные элементы оператора координаты с невозмущенными осцилляторными функциями

      (4)

найдем

    (5)

Поэтому в первых двух порядках теории возмущений уровни энергии возмущенного осциллятора имеют вид

    (6)

С другой стороны, уровни энергии частицы в потенциале  можно найти точно, дополняя потенциал до полного квадрата и сводя таким образом эту задачу к сдвинутому осциллятору. Ответ будет в точности совпадать с (6). Этот результат неслучаен. Действительно, ряд теории возмущений представляет собой разложение точных уровней энергии в степенной ряд по степеням малого возмущения (в данном случае по степеням малого параметра ). Поскольку точные собственные энергии частицы в потенциале  определяются квадратичной функцией , то первые два порядка теории возмущений должны дать точный результат. Кроме того, из этого рассуждения следует, что все поправки более высокого порядка по  строго равны нулю, и, следовательно, теория возмущений справедлива для любых значений .

Найдем теперь по теории возмущений волновую функцию основного состояния возмущенного осциллятора в первом порядке теории возмущений. Используем формулу первого порядка теории возмущений для волновой функции (11) из предыдущей лекции. Поскольку матричные элементы оператора координаты с осцилляторными функциями отличны от нуля только в том случае, когда индексы отличаются на единицу, в сумме (11) для поправки к основному состоянию представлено одно слагаемое (если бы мы искали поправку к волновой функции любого другого состояния в формуле (11) было бы представлено только два слагаемых). Используя (4), получим

 (7)

где   и  - волновые функции основного и первого возбужденного стационарных состояний невозмущенного гамильтониана.

С помощью формулы (7) легко найти вероятности различных значений четности и среднюю четность основного состояния возмущенного осциллятора. Действительно, согласно постулатам квантовой механики вероятности различных значений четности определяются квадратами коэффициентов разложения волновой функции по собственным функциям оператора четности. Поскольку функция  является четной, а функция  - нечетной, то выражение (7) является разложением волновой функции основного состояния возмущенного осциллятора по функциям с определенной четностью. Отсюда находим вероятности различных значений четности для возмущенного осциллятора в основном состоянии

     (8)

Как следует из (8), сумма вероятностей различных значений четности не равна единице (отметим, что в первом порядке по параметру  условие нормировки вероятностей различных значений четности выполнено: , ). Этот «парадокс» связан с приближенной нормировкой волновых функций, вычисленных в первом порядке теории возмущений. Учет поправки второго порядка теории возмущений для волновых функций стационарных состояний приведет к тому, что коэффициент перед функцией  будет отличаться от единицы на величину второго порядка по возмущению: . Возведение этого коэффициента в квадрат даст слагаемое, пропорциональное  (а также слагаемое ), и в результате условие нормировки для вероятностей различных значений четности будет выполнено во втором порядке по возмущению.

В заключение рассмотрения этой задачи отметим, что формулу (7) можно получить и по другому: во-первых, с помощью выделения полного квадрата задача сводится к сдвинутому осциллятору. Поэтому точная волновая функция возмущенного основного состояния совпадает с волновой функцией невозмущенного осциллятора, но «привязанной» не к началу координат, а к сдвинутому положению равновесия. Первые два члена разложения этой функции в ряд Тейлора по величине сдвига и дадут функцию (7). Предлагаем проверить это всем слушателям самостоятельно.

Рассмотрим еще один пример вычисления волновой функции в рамках теории возмущений.

Пусть на атом водорода наложено малое возмущение . В рамках первого порядка теории возмущений для волновой функции найти, какие значения может принимать момент импульса электрона и его проекция на ось  в основном состоянии.

Волновая функция основного состояния электрона в невозмущенном атоме водорода имеет вид:

 (9)

где  - боровский радиус. В первом порядке теории возмущений волновая функция электрона возмущенного атома определяется соотношением (11) из предыдущей лекции, в котором сумма распространяется на все собственные состояния невозмущенного гамильтониана, кроме основного. Чтобы ответить на поставленный в задаче вопрос о значениях момента и проекции, найдем, какие сферические функции будут представлены в сумме (11) из предыдущей лекции. Это определяется матричными элементами оператора возмущения. Если для какого-то состояния  матричный элемент  равен нулю,  момент и проекция, отвечающие состоянию , не  представлены в сумме (11). Тогда согласно постулатам квантовой механики эти значения момента и проекции невозможно обнаружить при измерениях в основном состоянии возмущенного атома.

Оценим матричные элементы. Для этого представим оператор возмущения в следующем  виде

   (10)

где  - полярный и азимутальный углы сферической системы координат,  и  - сферические функции. Поскольку все собственные функции невозмущенного оператора Гамильтона (волновые функции стационарных состояний электрона в атоме водорода) можно выбрать так, чтобы они содержали определенную сферическую функцию, причем волновая функция основного состояния - сферическую функцию  (которая от углов не зависит), то матричные элементы не равны нулю только для таких состояний, которые отвечают моменту  и его проекции на ось  . Таким образом, разложение возмущенной волновой функции основного состояния по собственным функциям операторов квадрата момента и его проекции на ось  содержит только слагаемые с  (функция ),  и  (поправка). Отсюда согласно постулатам квантовой механики заключаем, что при измерении момента импульса электрона возмущенного атома могут быть получены два значения  и , а при измерении проекции момента на ось  три значения ,  и . Причем, поскольку матричные элементы и невозмущенные энергии одинаковы для состояний с  и  (так как радиальные части невозмущенных собственных функций и невозмущенные энергии от магнитного квантового числа не зависят), вероятности значений проекции  и  одинаковы.

В следующих порядках теории возмущений волновая функция основного состояния приобретает слагаемые, содержащие сферические функции, отвечающие другим значениям момента и проекции. Поэтому в возмущенном основном можно обнаружить и эти значения момента и проекции, однако вероятности этих значений будут более высокого порядка малости по возмущению.

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

77645. МЕТЕОРИТНАЯ ОПАСНОСТЬ 1.05 MB
  Задачи работы: на основе дополнительной литературы дать определения понятиям «метеор» и «метеорит»; выяснить, какова причина падений на Землю метеоритов, рассмотреть их различные виды, самые известные случаи падений метеоритов на землю; выяснить...
77646. ОЦЕНКА УБЫТКОВ ПРАВООБЛАДАТЕЛЕЙ ТОВАРНЫХ ЗНАКОВ ОТ КОНТРАФАКЦИИ 194.5 KB
  Современные технологии требуют быстрых и адекватных изменений в законодательстве о защите интеллектуальной собственности разработки эффективных экономико-правовых методик и моделей направленных на улучшение инвестиционного климата в стране и на расследование...
77647. БИОГРАФИЧЕСКИЕ КРИЗИСЫ ЛИЧНОСТИ 182.5 KB
  Задачи исследования: 1 анализ состояния проблемы жизненных кризисов в научной литературе; 2 теоретическая разработка эмпирическая и экспериментальная проверка гипотезы о сущности биографических кризисов; 3 теоретическое и эмпирическое обоснование типов биографического кризиса...
77648. Бразилия в мировой экономике 179.5 KB
  Широкое использование иностранного ссудного капитала в начале 60-х и 80-х годов приводило к кризису валютно-кредитных отношений. Кризис задолженности 80-х годов резко замедлил экономическое развитие страны.
77649. КАРЬЕРА И МОТИВАЦИЯ. УПРАВЛЕНЧЕСКАЯ КАРЬЕРА В РОССИИ 134 KB
  Только в последние несколько лет тема карьеры приобрела широкую популярность в среде российских ученых и практиков, что вызвано реформированием всех основных сфер нашего общества, становлением рыночной экономики, повлекшими за собой изменение отношения ко многим процессам и явлениям...
77650. Інтелігенція України на показових політичних процесах. Справа СВУ 190.2 KB
  Метою мого дослідження є: Визначити заходи радянської влади для впровадження на теренах України русифікаторської політики Визначити перші політичні показові процеси Висвітлити інформацію щодо з’їзду кобзарів та справи СВУ...