19044

Теория стационарных возмущений в случае невырожденного спектра: примеры

Лекция

Физика

Лекция 26 Теория стационарных возмущений в случае невырожденного спектра: примеры Рассмотрим несколько примеров. Пусть на одномерный гармонический осциллятор наложено возмущение . Найдем поправки первого и второго порядка к энергетическим уровням осциллятора. ...

Русский

2013-07-11

309 KB

25 чел.

Лекция 26

Теория стационарных возмущений в случае невырожденного спектра: примеры

Рассмотрим несколько примеров.

Пусть на одномерный гармонический осциллятор наложено возмущение . Найдем поправки первого и второго порядка к энергетическим уровням осциллятора.

Согласно формулам теории возмущений поправка первого порядка к уровням энергии квантовой системы определяется диагональным матричным элементом оператора возмущения с невозмущенными собственными функциями

   (1)

где  - собственные функции гамильтониана невозмущенного осциллятора. Очевидно, диагональные матричные элементы оператора координаты с волновыми функциями невозмущенного осциллятора (1) равны нулю для любого . Это связано с тем, что все волновые функции стационарных состояний осциллятора обладают определенной четностью, поэтому  - функция четная,  - функция нечетная, поэтому подынтегральная функция в (1) является нечетной, и интеграл равен нулю

      (2)

Поправки второго порядка определяются соотношением (15) из предыдущей лекции. Поскольку матричные элементы оператора координаты  не равны нулю только для следующих значений индексов -  (эти матричные элементы были вычислены на одной из предыдущих лекций), в сумме (15) представлены только два слагаемых, и поэтому эта сумма легко вычисляется. Имеем

    (3)

Учитывая, что  и используя вычисленные ранее матричные элементы оператора координаты с невозмущенными осцилляторными функциями

      (4)

найдем

    (5)

Поэтому в первых двух порядках теории возмущений уровни энергии возмущенного осциллятора имеют вид

    (6)

С другой стороны, уровни энергии частицы в потенциале  можно найти точно, дополняя потенциал до полного квадрата и сводя таким образом эту задачу к сдвинутому осциллятору. Ответ будет в точности совпадать с (6). Этот результат неслучаен. Действительно, ряд теории возмущений представляет собой разложение точных уровней энергии в степенной ряд по степеням малого возмущения (в данном случае по степеням малого параметра ). Поскольку точные собственные энергии частицы в потенциале  определяются квадратичной функцией , то первые два порядка теории возмущений должны дать точный результат. Кроме того, из этого рассуждения следует, что все поправки более высокого порядка по  строго равны нулю, и, следовательно, теория возмущений справедлива для любых значений .

Найдем теперь по теории возмущений волновую функцию основного состояния возмущенного осциллятора в первом порядке теории возмущений. Используем формулу первого порядка теории возмущений для волновой функции (11) из предыдущей лекции. Поскольку матричные элементы оператора координаты с осцилляторными функциями отличны от нуля только в том случае, когда индексы отличаются на единицу, в сумме (11) для поправки к основному состоянию представлено одно слагаемое (если бы мы искали поправку к волновой функции любого другого состояния в формуле (11) было бы представлено только два слагаемых). Используя (4), получим

 (7)

где   и  - волновые функции основного и первого возбужденного стационарных состояний невозмущенного гамильтониана.

С помощью формулы (7) легко найти вероятности различных значений четности и среднюю четность основного состояния возмущенного осциллятора. Действительно, согласно постулатам квантовой механики вероятности различных значений четности определяются квадратами коэффициентов разложения волновой функции по собственным функциям оператора четности. Поскольку функция  является четной, а функция  - нечетной, то выражение (7) является разложением волновой функции основного состояния возмущенного осциллятора по функциям с определенной четностью. Отсюда находим вероятности различных значений четности для возмущенного осциллятора в основном состоянии

     (8)

Как следует из (8), сумма вероятностей различных значений четности не равна единице (отметим, что в первом порядке по параметру  условие нормировки вероятностей различных значений четности выполнено: , ). Этот «парадокс» связан с приближенной нормировкой волновых функций, вычисленных в первом порядке теории возмущений. Учет поправки второго порядка теории возмущений для волновых функций стационарных состояний приведет к тому, что коэффициент перед функцией  будет отличаться от единицы на величину второго порядка по возмущению: . Возведение этого коэффициента в квадрат даст слагаемое, пропорциональное  (а также слагаемое ), и в результате условие нормировки для вероятностей различных значений четности будет выполнено во втором порядке по возмущению.

В заключение рассмотрения этой задачи отметим, что формулу (7) можно получить и по другому: во-первых, с помощью выделения полного квадрата задача сводится к сдвинутому осциллятору. Поэтому точная волновая функция возмущенного основного состояния совпадает с волновой функцией невозмущенного осциллятора, но «привязанной» не к началу координат, а к сдвинутому положению равновесия. Первые два члена разложения этой функции в ряд Тейлора по величине сдвига и дадут функцию (7). Предлагаем проверить это всем слушателям самостоятельно.

Рассмотрим еще один пример вычисления волновой функции в рамках теории возмущений.

Пусть на атом водорода наложено малое возмущение . В рамках первого порядка теории возмущений для волновой функции найти, какие значения может принимать момент импульса электрона и его проекция на ось  в основном состоянии.

Волновая функция основного состояния электрона в невозмущенном атоме водорода имеет вид:

 (9)

где  - боровский радиус. В первом порядке теории возмущений волновая функция электрона возмущенного атома определяется соотношением (11) из предыдущей лекции, в котором сумма распространяется на все собственные состояния невозмущенного гамильтониана, кроме основного. Чтобы ответить на поставленный в задаче вопрос о значениях момента и проекции, найдем, какие сферические функции будут представлены в сумме (11) из предыдущей лекции. Это определяется матричными элементами оператора возмущения. Если для какого-то состояния  матричный элемент  равен нулю,  момент и проекция, отвечающие состоянию , не  представлены в сумме (11). Тогда согласно постулатам квантовой механики эти значения момента и проекции невозможно обнаружить при измерениях в основном состоянии возмущенного атома.

Оценим матричные элементы. Для этого представим оператор возмущения в следующем  виде

   (10)

где  - полярный и азимутальный углы сферической системы координат,  и  - сферические функции. Поскольку все собственные функции невозмущенного оператора Гамильтона (волновые функции стационарных состояний электрона в атоме водорода) можно выбрать так, чтобы они содержали определенную сферическую функцию, причем волновая функция основного состояния - сферическую функцию  (которая от углов не зависит), то матричные элементы не равны нулю только для таких состояний, которые отвечают моменту  и его проекции на ось  . Таким образом, разложение возмущенной волновой функции основного состояния по собственным функциям операторов квадрата момента и его проекции на ось  содержит только слагаемые с  (функция ),  и  (поправка). Отсюда согласно постулатам квантовой механики заключаем, что при измерении момента импульса электрона возмущенного атома могут быть получены два значения  и , а при измерении проекции момента на ось  три значения ,  и . Причем, поскольку матричные элементы и невозмущенные энергии одинаковы для состояний с  и  (так как радиальные части невозмущенных собственных функций и невозмущенные энергии от магнитного квантового числа не зависят), вероятности значений проекции  и  одинаковы.

В следующих порядках теории возмущений волновая функция основного состояния приобретает слагаемые, содержащие сферические функции, отвечающие другим значениям момента и проекции. Поэтому в возмущенном основном можно обнаружить и эти значения момента и проекции, однако вероятности этих значений будут более высокого порядка малости по возмущению.

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

54316. Методичні рекомендації класному керівникові, щодо організації профільного навчання і допрофільної підготовки в 9-х класах 73 KB
  Доцільно проводити шкільні міжшкільні олімпіади дні відкритих дверей видавати інформаційні матеріали які знайомлять учнів із специфікою вимог і особливостями профільного навчання в різних освітніх закладах району. По суті інформаційна робота повинна стати змістовною подорожжю для учнів по освітній території для чого необхідно спланувати відповідний маршрут форми дати конкретні домовленості про час і форми заходів з керівниками освітніх установ. Частина часу ймовірно кілька годин в цілому слід буде передбачити на...
54317. Функціональні методи розвязування рівнянь 193.5 KB
  Мета: - повторити функціональні методи розв’язування рівнянь; - розвивати вміння і навички розв’язування рівнянь різними методами; - розвивати вміння систематизувати і узагальнювати, робити умовиводи; - виховувати прагнення до реалізації своїх навчальних можливостей.
54318. Застосування активних методів і форм на заняттях іноземної мови 288 KB
  Робота над проектом здійснюється у кілька етапів і зазвичай виходить за рамки навчальної діяльності на заняттях: вибір теми чи проблеми проекту, формування групи виконавців, розробка плану роботи над проектом, визначення термінів, розподіл завдань серед студентів, обговорення в групі результатів виконання кожного завдання, оформлення спільного результату, звіт по проекту, оцінка виконання проекту.
54319. Чи можливо виховати генія? 75.5 KB
  От чому в процесі навчання необхідно систематично збуджувати розвивати і укріплювати пізнавальний інтерес учнів і як важливий мотив навчання і як стійку рису особистості і як могутній засіб виховуючого навчання підвищення його якості. Основна мета роботи вчителя по активізації пізнавальної діяльності учнів розвиток їх творчих здібностей. Досягнення цієї мети дозволяє вирішити багато завдань навчання: забезпечити міцні і усвідомлені знання навчального матеріалу; підготувати учнів до активної участі у виробничій...
54320. Пути развития европейской культуры в эпоху Нового времени 20.7 KB
  Название «Новое время» в истории культуры Европы обычно употребляется по отношению к трем векам – XVII, XVIII и XIX. Эти века наполнены событиями политическими, экономическими, философскими, художественными. XVII век не имеет общепризнанного названия как Возрождение или век Просвещения.
54321. Створення та редагування таблиць із застосуванням режиму конструктора, використання звязків між таблицями, створення форм із застосуванням майстра форм, створення звітів із застосуванням майстра звітів 2.97 MB
  ЗАДАЧА: створити БД для підприємства (фірми), яке займається реалізацією продовольчих товарів. 1.1 Створити БД в папці Мої документи та надати ім’я «Прізвище_група_учня_фірма» 1 Створити таблиці, які будуть містити основну інформацію про діяльність фірми.
54322. Метод проектов 26.5 KB
  В последние годы в связи с реформами в образовании и изменениями в школьном математическом образовании в частности остро стоит вопрос об организации учебного процесса направленного на развитие творческих способностей личности и навыков исследовательской деятельности. В результате этого возник метод проектов как способ актуализации и стимулирования познавательной деятельности учащихся. Однако за последние несколько лет многое изменилось – общество поднялось на новую ступень экономического развития потребовались кардинальные перемены во...
54323. МЕТОД ПРОЕКТІВ ЯК ТЕХНОЛОГІЯ НАВЧАННЯ 257.5 KB
  Метод проектів це метод в основі якого лежить розвиток пізнавальних творчих навичок студентів умінь самостійно конструювати свої знання орієнтуватися в інформаційному просторі критично мислити. Мета застосування методу полягає у формуванні навичок ефективного використання різних джерел інформації при навчанні студентів за допомогою інноваційних педагогічних технологій якими передбачається самостійна індивідуальна чи групова дослідницькопошукова та творча діяльність студентів підвищення рівня комунікабельності. Завдання методу...
54324. З’єднання болтом і шпилькою 496 KB
  Оформлення завдання Завдання виконується на креслярському папері в олівці у відповідність з правилами ЕСКД. Креслення повинне мати основний напис. Діаметри крізних отворів