19045

Теория стационарных возмущений для состояний дискретного спектра. Случай вырож-денного спектра

Лекция

Физика

Лекция 27 Теория стационарных возмущений для состояний дискретного спектра. Случай вырожденного спектра Рассмотрим теперь случай когда невозмущенный оператор Гамильтона имеет вырожденные собственные значения. Пусть функции ... отвечают одному и тому же собст...

Русский

2013-07-11

269.5 KB

31 чел.

Лекция 27

Теория стационарных возмущений для состояний дискретного спектра. Случай вырожденного спектра

Рассмотрим теперь случай, когда невозмущенный оператор Гамильтона  имеет вырожденные собственные значения. Пусть, функции , , ...,  отвечают одному и тому же собственному значению , кратность вырождения которого, таким образом, равна . Необходимо найти поправки к собственной энергии  и собственным функциям  при «включении» малого возмущения . Очевидно, использование формул предыдущей лекции для одного из состояний  даже для сколь угодно малого возмущения в этом случае невозможно, поскольку знаменатели этих формул обращаются в нуль при ненулевом числителе.

Однако в этом случае существует и еще одна проблема: при наличии вырождения выбор собственных функций невозмущенного гамильтониана является неоднозначным. Действительно, легко доказать, что если функции , , ...,  являются собственными функциями гамильтониана , отвечающими собственному значению , то и любая их линейная комбинация

    (1)

будет также собственной функцией, отвечающей тому же собственному значению . Более того, легко понять, что именно с этой неоднозначностью и связаны расходимости в формулах теории возмущений без вырождения. Действительно, при наложении малого возмущения должно произойти снятие вырождения вырожденного уровня, и вместо  вырожденных состояний в спектре должны появиться  близких по энергии состояний с волновыми функциями, близкими к некоторым линейным комбинациям невозмущенных функций. Это значит, что «при выключении» возмущения эти функции перейдут в некоторые не произвольные, а вполне определенные комбинации функций , , ..., , которые и должны быть использованы в качестве базиса теории возмущений.

Главным свойством этих линейных комбинаций является то, что недиагональные матричные элементы оператора возмущения с этими функциям равны нулю, поэтому и расходящихся слагаемых в формулах теории возмущения не возникает, и ее можно использовать и в вырожденном случае. Таким образом, главным в рассматриваемом методе, который называется теорией возмущений при наличии вырождения, является правильный выбор собственных функций невозмущенного гамильтониана, на которых строится теория возмущений. Эти функции являются базисом теории возмущений и называются «правильными функциями нулевого приближения».

Докажем, что для построения правильных функций нулевого приближения необходимо решить возмущенное уравнение Шредингера

  (2)

причем его решения искать в виде линейной комбинации функций, относящихся к вырожденному уровню. То есть необходимо искать решения уравнения (2) в виде линейных комбинаций невозмущенных функций, относящихся к вырожденному уровню:

  (3)

где суммирование распространяется на состояния рассматриваемого вырожденного уровня энергии. Решение уравнения (2) на базисе функций (3) позволит найти правильные функции нулевого приближения и новые энергии  в первом порядке теории возмущений. А поскольку эти энергии могут оказаться разными, то в возмущенной задаче пропадает вырождение; как говорят в этом случае, возмущение снимает вырождение уровня. Подчеркнем, что хотя мы ищем правильные функции из возмущенного уравнения, они являются точными собственными функциями невозмущенного гамильтониана, отсюда их название – «правильные функции нулевого приближения».

Для доказательства сделаем следующее. Во-первых, так как все  - собственные функции , отвечающие собственному значению , легко подействовать на них невозмущенным гамильтонианом . В результате получим

      (4)

Далее умножим уравнение (4) на одну из невозмущенных собственных функций  () и проинтегрируем по всем координатам, от которых зависят собственные функции. В результате получим, используя ортогональность функций :

       (5)

Таким образом, недиагональные матричные элементы оператора возмущения с правильными функциями нулевого приближения равны нулю, и, следовательно, расходимостей в формулах теории возмущений не возникает, если в качестве базиса использовать правильные функции нулевого приближения.

Если умножить уравнение (4) на функцию  и проинтегрировать, получается условие на поправку к энергии в первом порядке теории возмущений

     (6)

Это значит, что так же, как и в случае отсутствия вырождения, поправка первого порядка к энергии уровня определяется диагональным матричным элементом оператора возмущения, но с правильными функциями нулевого приближения. Используя эти функции можно находить и поправки более высокого порядка.

Отметим, что матричные элементы возмущения между функциями  и невозмущенными функциями, отвечающими другим уровням энергии, вообще говоря, не равны нулю, однако в формулах теории возмущений эти матричные элементы делятся на энергетический интервал между различными уровнями энергий невозмущенной задачи, поэтому эти слагаемые для достаточно малых возмущений малы.

Очевидно, справедливо и обратное утверждение. Если недиагональные матричные элементы оператора возмущения с некоторыми линейно независимыми собственными функциями невозмущенной задачи, число которых равно кратности вырождения уровня, равны нулю, то эти функции и являются правильными функциями нулевого приближения. Предлагаем слушателям доказать это утверждение самостоятельно.

Отметим, что несмотря на то, что по форме уравнение (2) совпадает с истинным возмущенным уравнением Шредингера, нахождение его решений  в виде линейных комбинаций невозмущенных функций, относящихся только к рассматриваемому вырожденному уровню, представляет собой приближение, поскольку истинные решения возмущенного уравнения Шредингера выражаются в виде суммы по всем собственным функциям невозмущенного оператора Гамильтона. Условием применимости изложенного метода является условие малости матричных элементов возмущения по сравнению с энергетическими интервалами между различными энергетическими уровнями невозмущенного гамильтониана.

Подведем итоги. Для использования теории возмущений в задаче с вырождением и анализа возмущения некоторого вырожденного уровня невозмущенного гамильтониана нужно сделать следующее.

(1) Искать решение возмущенного уравнения Шредингера в виде линейных комбинаций невозмущенных функций , , ..., , относящихся к рассматриваемому уровню (с неизвестными пока коэффициентами).

(2) Из возмущенного уравнения Шредингера получить систему алгебраических уравнений для неизвестных коэффициентов. Для этого уравнение нужно последовательно умножать на невозмущенные функции (сначала , потом на , ..., потом на ) и интегрировать. При этом необходимо использовать условие ортонормированности собственных функций , , ..., .

(3) В результате будет получена система однородных (неизвестный коэффициент входит в каждое слагаемое решения) алгебраических уравнений, которая имеет решение, если ее определитель равен нулю. Вычисляя определитель системы и приравнивая его к нулю, получаем алгебраическое уравнение степени  относительно неизвестного собственного значения  (это уравнение принято называть секулярным; название заимствовано из небесной механики). Можно доказать, что все  корней этого уравнения будут действительны и будут определять возмущенные уровни энергии в первом порядке теории возмущений (в некоторых случаях какие-то из корней этого уравнения могут совпадать). Таким образом, возмущения, вообще говоря, снимают вырождение уровней и приводят к возникновению близко расположенных подуровней, число которых, вообще говоря, совпадает с кратностью вырождения рассматриваемого вырожденного уровня энергии. (Попробуйте доказать, что сумма найденных таким образом энергий будет совпадать с суммой диагональных матричных элементов оператора возмущения с невозмущенными функциями).

(4) Подставляя последовательно найденные в первом порядке возмущенные уровни в систему – сначала , потом  и т.д., нужно найти коэффициенты правильных функций нулевого приближения, отвечающих каждому подуровню. При этом поскольку коэффициенты находятся из системы однородных уравнений, однозначно найти их нельзя (однородные линейные уравнения можно решить только с точностью до множителя). Другим словами, после подстановки собственных значений в систему уравнений нужно выразить все коэффициенты через один из них, который остается свободным.

(5) Найти этот свободный коэффициент из условия нормировки правильных функций нулевого приближения.

После нахождения правильных функций нулевого приближения для каждого вырожденного уровня невозмущенной задачи можно находить поправки теории возмущений более высокого порядка, при этом (как отмечалось выше) расходимостей в формулах теории возмущений не возникает. Этого, однако, как правило, не приходится делать, поскольку главный эффект возмущения – снятие вырождения – находится уже в первом порядке, а все отсальное представляет собой поправки к этому эффекту.

На следующей лекции мы попробуем применить этот метод к ряду конкретных квантовомеханических задач.

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

23425. Сообщения SIP 27.68 KB
  Реферат Протокол SIP разрабатывался с расчетом на возможность использования любых транспортов но тем не менее наиболее предпочтительным является использование UDPпакетов это позволяет повысить производительность по сравнению с использованием протокола TCP но требует использования дополнительных механизмов проверки доставки сигнальных сообщений. Так как телефония с использованием протокола SIP позволяет использовать большое количество разнообразных сервисов помимо передачи голоса возможна...
23426. Уровни сетевой архитектуры 72.79 KB
  Компьютерные сети по своей структуре очень сложны. Для начала проведем грань между работой программных и аппаратных средств сети. В сети может работать разнообразное по технологии оборудование от него зависят возможности сети: производительность надежность и т. и разнообразное программное обеспечение: сетевые операционные системы приложения от него зависят те же возможности сети прозрачность безопасность.
23427. Города на территории Беларуси в IX – середине XIII в.: происхождение названий и хозяйственная жизнь горожан 13.54 KB
  Причинами превращения городищ в города были: отделение ремесла от земледелия проживание ремесленников в местах близких к источникам сырья развитие обмена продуктами земледелия на вещи сделанные ремесленниками. Города возникали на перекрестках дорог и рек. Города IX XIII вв. Внутренняя часть города укрепленная валами рвами стенами называлась детинцем.
23428. Развитие культуры на белорусских землях в IX - середине XIII вв. Религиозные деятели 15.29 KB
  Своих высот книжная культура достигла в творчестве Евфросиньи Полоцкой Кирилла Туровского Аврамия Смоленского Клима Смолятича а также неизвестного автора €œСлова о полку Игореве€. О ее жизни рассказывается в €œЖитии Евфросиньи Полоцкой€. Полоцкой Каложская церковь Каменецкая вежа. Полоцкой мастер Лазарь Богша сделал шестиконечный крест.
23429. Причины образования Великого княжества Литовского 17.53 KB
  Причины образования Великого княжества Литовского Причинами образования ВКЛ были следующие: внутриполитические. При княжении великих князей Витеня 12951316 и Гедимина 13161341 в состав ВКЛ вошли почти все белорусские земли. За время его правления территория ВКЛ увеличилась почти в 2 раза и оно стало называться ВКЛ Русское и Жемайтское. Эти факты позволяют говорить о федеративной форме государственного устройства ВКЛ.
23430. Укрепление великокняжеской власти в ВКЛ в первой половине XIV в. Происхождение названия княжества 12.98 KB
  Укрепление великокняжеской власти в ВКЛ в первой половине XIV в. Происхождение названия княжества Укрепление единовластия в ВКЛ произошло при великом князе Гедимине в 13161341 гг. Большая часть белорусских земель вошла в состав ВКЛ. Территория ВКЛ увеличилась в 3 раза.
23431. Государственный строй ВКЛ в середине XIII – XIV в. Борьба за великое княжение 16.03 KB
  стал его старший сын от второй жены Ягайло. В начале своего правления Ягайло стремился продолжать политику своего отца. Однако старшие братья Ягайло от первой жены Ольгерда считали себя обиженными. Ягайло столкнулся с противодействием недовольных князей группировавшихся вокруг полоцкого князя Андрея.
23432. Сближение ВКЛ с Польшей. Кревская уния 1385 г.: причины, условия и последствия 13.26 KB
  Выбор остановился на Ягайло. Вопервых Ягайло также был заинтересован в союзниках которые помогли бы ему сохранить власть. Втретьих если бы Ягайло крестил Литву в католичество это подняло бы авторитет поляков так как им удалось бы сделать то что до сих пор не удавалось немцам. Согласно унии польские послы обещали Ягайло отдать в жены польскую королеву Ядвигу а с нею и польскую корону.
23433. Изменения в государственном строе ВКЛ в XV – первой половине XVI 16.37 KB
  Изменения в государственном строе ВКЛ в XV первой половине XVI В начале XV века власть в ВКЛ стала практически принадлежать Витовту. При нем государственный строй ВКЛ представлял собой неограниченную монархию власть одного правителя в государстве. Витовт продолжая добиваться независимости ВКЛ от Польши стремился разорвать свои зависимые отношения с польским королем Ягайло. Была подписана Городельская уния союз между ВКЛ и Польшей.