19045

Теория стационарных возмущений для состояний дискретного спектра. Случай вырож-денного спектра

Лекция

Физика

Лекция 27 Теория стационарных возмущений для состояний дискретного спектра. Случай вырожденного спектра Рассмотрим теперь случай когда невозмущенный оператор Гамильтона имеет вырожденные собственные значения. Пусть функции ... отвечают одному и тому же собст...

Русский

2013-07-11

269.5 KB

30 чел.

Лекция 27

Теория стационарных возмущений для состояний дискретного спектра. Случай вырожденного спектра

Рассмотрим теперь случай, когда невозмущенный оператор Гамильтона  имеет вырожденные собственные значения. Пусть, функции , , ...,  отвечают одному и тому же собственному значению , кратность вырождения которого, таким образом, равна . Необходимо найти поправки к собственной энергии  и собственным функциям  при «включении» малого возмущения . Очевидно, использование формул предыдущей лекции для одного из состояний  даже для сколь угодно малого возмущения в этом случае невозможно, поскольку знаменатели этих формул обращаются в нуль при ненулевом числителе.

Однако в этом случае существует и еще одна проблема: при наличии вырождения выбор собственных функций невозмущенного гамильтониана является неоднозначным. Действительно, легко доказать, что если функции , , ...,  являются собственными функциями гамильтониана , отвечающими собственному значению , то и любая их линейная комбинация

    (1)

будет также собственной функцией, отвечающей тому же собственному значению . Более того, легко понять, что именно с этой неоднозначностью и связаны расходимости в формулах теории возмущений без вырождения. Действительно, при наложении малого возмущения должно произойти снятие вырождения вырожденного уровня, и вместо  вырожденных состояний в спектре должны появиться  близких по энергии состояний с волновыми функциями, близкими к некоторым линейным комбинациям невозмущенных функций. Это значит, что «при выключении» возмущения эти функции перейдут в некоторые не произвольные, а вполне определенные комбинации функций , , ..., , которые и должны быть использованы в качестве базиса теории возмущений.

Главным свойством этих линейных комбинаций является то, что недиагональные матричные элементы оператора возмущения с этими функциям равны нулю, поэтому и расходящихся слагаемых в формулах теории возмущения не возникает, и ее можно использовать и в вырожденном случае. Таким образом, главным в рассматриваемом методе, который называется теорией возмущений при наличии вырождения, является правильный выбор собственных функций невозмущенного гамильтониана, на которых строится теория возмущений. Эти функции являются базисом теории возмущений и называются «правильными функциями нулевого приближения».

Докажем, что для построения правильных функций нулевого приближения необходимо решить возмущенное уравнение Шредингера

  (2)

причем его решения искать в виде линейной комбинации функций, относящихся к вырожденному уровню. То есть необходимо искать решения уравнения (2) в виде линейных комбинаций невозмущенных функций, относящихся к вырожденному уровню:

  (3)

где суммирование распространяется на состояния рассматриваемого вырожденного уровня энергии. Решение уравнения (2) на базисе функций (3) позволит найти правильные функции нулевого приближения и новые энергии  в первом порядке теории возмущений. А поскольку эти энергии могут оказаться разными, то в возмущенной задаче пропадает вырождение; как говорят в этом случае, возмущение снимает вырождение уровня. Подчеркнем, что хотя мы ищем правильные функции из возмущенного уравнения, они являются точными собственными функциями невозмущенного гамильтониана, отсюда их название – «правильные функции нулевого приближения».

Для доказательства сделаем следующее. Во-первых, так как все  - собственные функции , отвечающие собственному значению , легко подействовать на них невозмущенным гамильтонианом . В результате получим

      (4)

Далее умножим уравнение (4) на одну из невозмущенных собственных функций  () и проинтегрируем по всем координатам, от которых зависят собственные функции. В результате получим, используя ортогональность функций :

       (5)

Таким образом, недиагональные матричные элементы оператора возмущения с правильными функциями нулевого приближения равны нулю, и, следовательно, расходимостей в формулах теории возмущений не возникает, если в качестве базиса использовать правильные функции нулевого приближения.

Если умножить уравнение (4) на функцию  и проинтегрировать, получается условие на поправку к энергии в первом порядке теории возмущений

     (6)

Это значит, что так же, как и в случае отсутствия вырождения, поправка первого порядка к энергии уровня определяется диагональным матричным элементом оператора возмущения, но с правильными функциями нулевого приближения. Используя эти функции можно находить и поправки более высокого порядка.

Отметим, что матричные элементы возмущения между функциями  и невозмущенными функциями, отвечающими другим уровням энергии, вообще говоря, не равны нулю, однако в формулах теории возмущений эти матричные элементы делятся на энергетический интервал между различными уровнями энергий невозмущенной задачи, поэтому эти слагаемые для достаточно малых возмущений малы.

Очевидно, справедливо и обратное утверждение. Если недиагональные матричные элементы оператора возмущения с некоторыми линейно независимыми собственными функциями невозмущенной задачи, число которых равно кратности вырождения уровня, равны нулю, то эти функции и являются правильными функциями нулевого приближения. Предлагаем слушателям доказать это утверждение самостоятельно.

Отметим, что несмотря на то, что по форме уравнение (2) совпадает с истинным возмущенным уравнением Шредингера, нахождение его решений  в виде линейных комбинаций невозмущенных функций, относящихся только к рассматриваемому вырожденному уровню, представляет собой приближение, поскольку истинные решения возмущенного уравнения Шредингера выражаются в виде суммы по всем собственным функциям невозмущенного оператора Гамильтона. Условием применимости изложенного метода является условие малости матричных элементов возмущения по сравнению с энергетическими интервалами между различными энергетическими уровнями невозмущенного гамильтониана.

Подведем итоги. Для использования теории возмущений в задаче с вырождением и анализа возмущения некоторого вырожденного уровня невозмущенного гамильтониана нужно сделать следующее.

(1) Искать решение возмущенного уравнения Шредингера в виде линейных комбинаций невозмущенных функций , , ..., , относящихся к рассматриваемому уровню (с неизвестными пока коэффициентами).

(2) Из возмущенного уравнения Шредингера получить систему алгебраических уравнений для неизвестных коэффициентов. Для этого уравнение нужно последовательно умножать на невозмущенные функции (сначала , потом на , ..., потом на ) и интегрировать. При этом необходимо использовать условие ортонормированности собственных функций , , ..., .

(3) В результате будет получена система однородных (неизвестный коэффициент входит в каждое слагаемое решения) алгебраических уравнений, которая имеет решение, если ее определитель равен нулю. Вычисляя определитель системы и приравнивая его к нулю, получаем алгебраическое уравнение степени  относительно неизвестного собственного значения  (это уравнение принято называть секулярным; название заимствовано из небесной механики). Можно доказать, что все  корней этого уравнения будут действительны и будут определять возмущенные уровни энергии в первом порядке теории возмущений (в некоторых случаях какие-то из корней этого уравнения могут совпадать). Таким образом, возмущения, вообще говоря, снимают вырождение уровней и приводят к возникновению близко расположенных подуровней, число которых, вообще говоря, совпадает с кратностью вырождения рассматриваемого вырожденного уровня энергии. (Попробуйте доказать, что сумма найденных таким образом энергий будет совпадать с суммой диагональных матричных элементов оператора возмущения с невозмущенными функциями).

(4) Подставляя последовательно найденные в первом порядке возмущенные уровни в систему – сначала , потом  и т.д., нужно найти коэффициенты правильных функций нулевого приближения, отвечающих каждому подуровню. При этом поскольку коэффициенты находятся из системы однородных уравнений, однозначно найти их нельзя (однородные линейные уравнения можно решить только с точностью до множителя). Другим словами, после подстановки собственных значений в систему уравнений нужно выразить все коэффициенты через один из них, который остается свободным.

(5) Найти этот свободный коэффициент из условия нормировки правильных функций нулевого приближения.

После нахождения правильных функций нулевого приближения для каждого вырожденного уровня невозмущенной задачи можно находить поправки теории возмущений более высокого порядка, при этом (как отмечалось выше) расходимостей в формулах теории возмущений не возникает. Этого, однако, как правило, не приходится делать, поскольку главный эффект возмущения – снятие вырождения – находится уже в первом порядке, а все отсальное представляет собой поправки к этому эффекту.

На следующей лекции мы попробуем применить этот метод к ряду конкретных квантовомеханических задач.

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

74526. Конституционное право как отрасль российского права. Виды, принципы и свойства Конституции РФ 30.63 KB
  Виды принципы и свойства Конституции РФ Отличия отраслей права.Основы конституционного строя России суверенитет народа разделение власти верховенство Конституции. Отношения основанные на системе запретов прямой запрет определенных действий Задание Найдите примеры норм Конституции которые основаны на указанных выше методах
74527. Суверенитет народа и формы его осуществления 35.9 KB
  Запрет принуждения ко вступлению в общественные объединения и пребыванию в них. Запрет создания и деятельности общественных объединений направленных на изменение конституционного строя нарушение целостности РФ подрыв безопасности государства создание вооруженных формирований разжигание расовой социальной национальной религиозной вражды ФЗ РФ Об общественных объединениях. Признаки общественного объединения формирование граждан добровольное самоуправляемое некоммерческое общность интересов общность целей цели закреплены в...
74528. Объективная сторона преступления 130.5 KB
  Объективная сторона преступления. Понятие и содержание объективной стороны состава преступления. Факультативные признаки объективной стороны преступления и их значение. Понятие и содержание объективной стороны состава преступления.
74529. Субъект преступления 101.5 KB
  Субъект преступления Понятие и признаки субъекта преступления Вменяемость. Возраст уголовной ответственности Специальный субъект преступления. Понятие и признаки субъекта преступления Субъект преступления и его признаки определены...
74530. Субъективная сторона преступления 179.5 KB
  Субъективная сторона преступления. Понятие и значение субъективной стороны преступления. Факультативные признаки субъективной стороны преступления мотив цель эмоции. Понятие и значение субъективной стороны преступления.
74531. Объект преступления 44.5 KB
  Объект преступления. Понятие объекта преступления. Виды объектов преступления. Соотношение объекта и предмета преступления.
74532. ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ЭВМ. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА, СОСТАВ И НАЗНАЧЕНИЕ ОСНОВНЫХ ВИДОВ ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ КОМПЬЮТЕРА 17.96 KB
  Программное обеспечение это совокупность программ позволяющих осуществить на компьютере автоматизированную обработку информации. Программное обеспечение делится на системное общее и прикладное специальное. Системное программное обеспечение обеспечивает функционирование и обслуживание компьютера а также автоматизацию процесса создания новых программ. К системному программному обеспечению относятся: операционные системы и их пользовательский...
74533. Базы данных. Назначение и основные функции 24.14 KB
  База данных это информационная модель позволяющая упорядоченно хранить данные о группе объектов обладающих одинаковым набором свойств. Базами данных являются например различные справочники энциклопедии и т. Информация в базах данных хранится в упорядоченном виде.