19045

Теория стационарных возмущений для состояний дискретного спектра. Случай вырож-денного спектра

Лекция

Физика

Лекция 27 Теория стационарных возмущений для состояний дискретного спектра. Случай вырожденного спектра Рассмотрим теперь случай когда невозмущенный оператор Гамильтона имеет вырожденные собственные значения. Пусть функции ... отвечают одному и тому же собст...

Русский

2013-07-11

269.5 KB

30 чел.

Лекция 27

Теория стационарных возмущений для состояний дискретного спектра. Случай вырожденного спектра

Рассмотрим теперь случай, когда невозмущенный оператор Гамильтона  имеет вырожденные собственные значения. Пусть, функции , , ...,  отвечают одному и тому же собственному значению , кратность вырождения которого, таким образом, равна . Необходимо найти поправки к собственной энергии  и собственным функциям  при «включении» малого возмущения . Очевидно, использование формул предыдущей лекции для одного из состояний  даже для сколь угодно малого возмущения в этом случае невозможно, поскольку знаменатели этих формул обращаются в нуль при ненулевом числителе.

Однако в этом случае существует и еще одна проблема: при наличии вырождения выбор собственных функций невозмущенного гамильтониана является неоднозначным. Действительно, легко доказать, что если функции , , ...,  являются собственными функциями гамильтониана , отвечающими собственному значению , то и любая их линейная комбинация

    (1)

будет также собственной функцией, отвечающей тому же собственному значению . Более того, легко понять, что именно с этой неоднозначностью и связаны расходимости в формулах теории возмущений без вырождения. Действительно, при наложении малого возмущения должно произойти снятие вырождения вырожденного уровня, и вместо  вырожденных состояний в спектре должны появиться  близких по энергии состояний с волновыми функциями, близкими к некоторым линейным комбинациям невозмущенных функций. Это значит, что «при выключении» возмущения эти функции перейдут в некоторые не произвольные, а вполне определенные комбинации функций , , ..., , которые и должны быть использованы в качестве базиса теории возмущений.

Главным свойством этих линейных комбинаций является то, что недиагональные матричные элементы оператора возмущения с этими функциям равны нулю, поэтому и расходящихся слагаемых в формулах теории возмущения не возникает, и ее можно использовать и в вырожденном случае. Таким образом, главным в рассматриваемом методе, который называется теорией возмущений при наличии вырождения, является правильный выбор собственных функций невозмущенного гамильтониана, на которых строится теория возмущений. Эти функции являются базисом теории возмущений и называются «правильными функциями нулевого приближения».

Докажем, что для построения правильных функций нулевого приближения необходимо решить возмущенное уравнение Шредингера

  (2)

причем его решения искать в виде линейной комбинации функций, относящихся к вырожденному уровню. То есть необходимо искать решения уравнения (2) в виде линейных комбинаций невозмущенных функций, относящихся к вырожденному уровню:

  (3)

где суммирование распространяется на состояния рассматриваемого вырожденного уровня энергии. Решение уравнения (2) на базисе функций (3) позволит найти правильные функции нулевого приближения и новые энергии  в первом порядке теории возмущений. А поскольку эти энергии могут оказаться разными, то в возмущенной задаче пропадает вырождение; как говорят в этом случае, возмущение снимает вырождение уровня. Подчеркнем, что хотя мы ищем правильные функции из возмущенного уравнения, они являются точными собственными функциями невозмущенного гамильтониана, отсюда их название – «правильные функции нулевого приближения».

Для доказательства сделаем следующее. Во-первых, так как все  - собственные функции , отвечающие собственному значению , легко подействовать на них невозмущенным гамильтонианом . В результате получим

      (4)

Далее умножим уравнение (4) на одну из невозмущенных собственных функций  () и проинтегрируем по всем координатам, от которых зависят собственные функции. В результате получим, используя ортогональность функций :

       (5)

Таким образом, недиагональные матричные элементы оператора возмущения с правильными функциями нулевого приближения равны нулю, и, следовательно, расходимостей в формулах теории возмущений не возникает, если в качестве базиса использовать правильные функции нулевого приближения.

Если умножить уравнение (4) на функцию  и проинтегрировать, получается условие на поправку к энергии в первом порядке теории возмущений

     (6)

Это значит, что так же, как и в случае отсутствия вырождения, поправка первого порядка к энергии уровня определяется диагональным матричным элементом оператора возмущения, но с правильными функциями нулевого приближения. Используя эти функции можно находить и поправки более высокого порядка.

Отметим, что матричные элементы возмущения между функциями  и невозмущенными функциями, отвечающими другим уровням энергии, вообще говоря, не равны нулю, однако в формулах теории возмущений эти матричные элементы делятся на энергетический интервал между различными уровнями энергий невозмущенной задачи, поэтому эти слагаемые для достаточно малых возмущений малы.

Очевидно, справедливо и обратное утверждение. Если недиагональные матричные элементы оператора возмущения с некоторыми линейно независимыми собственными функциями невозмущенной задачи, число которых равно кратности вырождения уровня, равны нулю, то эти функции и являются правильными функциями нулевого приближения. Предлагаем слушателям доказать это утверждение самостоятельно.

Отметим, что несмотря на то, что по форме уравнение (2) совпадает с истинным возмущенным уравнением Шредингера, нахождение его решений  в виде линейных комбинаций невозмущенных функций, относящихся только к рассматриваемому вырожденному уровню, представляет собой приближение, поскольку истинные решения возмущенного уравнения Шредингера выражаются в виде суммы по всем собственным функциям невозмущенного оператора Гамильтона. Условием применимости изложенного метода является условие малости матричных элементов возмущения по сравнению с энергетическими интервалами между различными энергетическими уровнями невозмущенного гамильтониана.

Подведем итоги. Для использования теории возмущений в задаче с вырождением и анализа возмущения некоторого вырожденного уровня невозмущенного гамильтониана нужно сделать следующее.

(1) Искать решение возмущенного уравнения Шредингера в виде линейных комбинаций невозмущенных функций , , ..., , относящихся к рассматриваемому уровню (с неизвестными пока коэффициентами).

(2) Из возмущенного уравнения Шредингера получить систему алгебраических уравнений для неизвестных коэффициентов. Для этого уравнение нужно последовательно умножать на невозмущенные функции (сначала , потом на , ..., потом на ) и интегрировать. При этом необходимо использовать условие ортонормированности собственных функций , , ..., .

(3) В результате будет получена система однородных (неизвестный коэффициент входит в каждое слагаемое решения) алгебраических уравнений, которая имеет решение, если ее определитель равен нулю. Вычисляя определитель системы и приравнивая его к нулю, получаем алгебраическое уравнение степени  относительно неизвестного собственного значения  (это уравнение принято называть секулярным; название заимствовано из небесной механики). Можно доказать, что все  корней этого уравнения будут действительны и будут определять возмущенные уровни энергии в первом порядке теории возмущений (в некоторых случаях какие-то из корней этого уравнения могут совпадать). Таким образом, возмущения, вообще говоря, снимают вырождение уровней и приводят к возникновению близко расположенных подуровней, число которых, вообще говоря, совпадает с кратностью вырождения рассматриваемого вырожденного уровня энергии. (Попробуйте доказать, что сумма найденных таким образом энергий будет совпадать с суммой диагональных матричных элементов оператора возмущения с невозмущенными функциями).

(4) Подставляя последовательно найденные в первом порядке возмущенные уровни в систему – сначала , потом  и т.д., нужно найти коэффициенты правильных функций нулевого приближения, отвечающих каждому подуровню. При этом поскольку коэффициенты находятся из системы однородных уравнений, однозначно найти их нельзя (однородные линейные уравнения можно решить только с точностью до множителя). Другим словами, после подстановки собственных значений в систему уравнений нужно выразить все коэффициенты через один из них, который остается свободным.

(5) Найти этот свободный коэффициент из условия нормировки правильных функций нулевого приближения.

После нахождения правильных функций нулевого приближения для каждого вырожденного уровня невозмущенной задачи можно находить поправки теории возмущений более высокого порядка, при этом (как отмечалось выше) расходимостей в формулах теории возмущений не возникает. Этого, однако, как правило, не приходится делать, поскольку главный эффект возмущения – снятие вырождения – находится уже в первом порядке, а все отсальное представляет собой поправки к этому эффекту.

На следующей лекции мы попробуем применить этот метод к ряду конкретных квантовомеханических задач.

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

25350. УТОМЛЕНИЕ И ВОССТАНОВЛЕНИЕ ПРИ МЫШЕЧНОЙ РАБОТЕ 35.5 KB
  В то же время повторное утомление не доводимое до чрезмерного является средством повышения функциональных возможностей организма. Различают также острое и хроническое общее и локальное скрытое компенсируемое и явное некомпенсируемое утомление. Острое утомление наступает при относительно кратковременной работе если ее интенсивность не соответствует уровне физической подготовленности субъекта.
25351. Состав и функции крови 41 KB
  Существует два понятия: периферическая кровь состоящая из плазмы и находящихся в ней во взвешенном состоянии форменных элементов и система крови куда относят периферическую кровь органы кроветворения и кроверазрушения костный мозг печень селезенка и лимфатические узлы. Кровь является своеобразной формой ткани и характеризуется рядом особенностей: жидкая среда организма находится в постоянном движении составные части крови имеют разное происхождение образуются и разрушаются в основном вне ее. Плазма крови лишенная фибриногена...
25352. Иммуно-биологические свойства крови 34 KB
  03 а удельный вес крови 1. У человека осмотическое давление крови составляет около 770 кПа 7. Клетки крови имеют осмотическое давление одинаковое с плазмой.
25353. Регуляция системы крови 44.5 KB
  В организме существует два основных механизма регуляции системы крови нервный и гуморальный. Высшим подкорковым центром осуществляющим нервную регуляцию системы крови является гипоталамус. Кора головного мозга оказывает влияние на систему крови также через гипоталамус.
25354. Регуляция работы сердца 41.5 KB
  Закон сердечного ритма чем больше приток крови тем больше сила и частота сердечных сокращений. Хеморецепторы возбуждаются в результате сдвигов химического состава плазмы крови при увеличении в ней рСО2 или снижения рО2. Гуморальная регуляция деятельности сердца осуществляется путем воздействия на него химических веществ находящихся в крови. 0051 ДВИЖЕНИЕ КРОВИ ПО СОСУДАМ ГЕМОДИНАМИКА Движение крови по сосудам обусловлено градиентом давления в артериях и венах.
25355. Регуляция движения крови в сосудах 83.5 KB
  Если же перерезать мозг между продолговатым и спинным максимальное давление крови в сонной артерии понижается с нормальных 100 120 до 60 70 мм рт. Спинномозговые центры способны через некоторое время после выключения сосудосуживающего центра продолговатого мозга немного повысить давление крови снизившееся вследствие расширения артерий и артериол. При введении через канюлю в изолированный каротидный синус крови под давлением можно наблюдать падение артериального давления в сосудах тела.
25356. Регуляция движения крови по сосудам 24.5 KB
  Нервы регулирующие тонус сосудов называются сосудодвигательным и состоят из двух частей сосудосуживающих и сосудорасширяющих Симпатические нервные волокна выходящие в составе передних корешков спинного мозга оказывают суживающее действие на сосуды кожи органов брюшной полости почек легких и мозговых оболочек но расширяют сосуды сердца. Сосудорасширяющие влияния оказываются парасимпатическими волокнами которые выходят из спинного мозга в составе задних корешков. Кроме того существуют высшие сосудодвигательные центры расположенные в...
25357. Лимфа и лимфообращение 43 KB
  В отличие от кровеносных сосудов которым происходит как приток крови к тканям тела так и ее отток от них сосуды служат лишь для оттока лимфы т. Состав и свойства лимфы Лимфа собираемая из лимфатических протоков во время или после приема нежирной пищи представляет собой бесцветную почти прозрачную жидкость отличающуюся от плазмы крови примерно вдвое большим содержанием белков. Реакция лимфы щелочная. Это обусловлено тем что лимфоциты образуются в лимфатических узлах и из них с током лимфы уносятся в кровь.
25358. ФИЗИОЛОГИЯ ВНЕШНЕГО ДЫХАНИЯ. ЛЕГОЧНЫЕ ОБЪЕМЫ. ЛЕГОЧНАЯ ВЕНТИЛЯЦИЯ 41.5 KB
  При вдохе объем легких увеличивается давление в них становится ниже атмосферного и воздух поступает в дыхательные пути. Во время выдоха объем грудной полости уменьшается воздух в легких сжимается давление в них становится выше атмосферного и воздух выходит наружу. Количество воздуха находящегося в легких после максимального вдоха составляет общую емкость легких величина которой у взрослого человека равна 46 л. В общей емкости легких принято выделять четыре составляющих ее компонента: дыхательный объем резервный объем вдоха и выдоха и...