19046

Теория стационарных возмущений в случае вырожденного спектра. Примеры

Лекция

Физика

Лекция 28 Теория стационарных возмущений в случае вырожденного спектра. Примеры Рассмотрим несколько примеров применения теории возмущений в случае вырожденного спектра. Пусть трехмерная частица находится в сферически симметричном потенциале в котором отсутст...

Русский

2013-07-11

441 KB

20 чел.

Лекция 28

Теория стационарных возмущений в случае вырожденного спектра. Примеры

Рассмотрим несколько примеров применения теории возмущений в случае вырожденного спектра.

Пусть трехмерная частица находится в сферически симметричном потенциале, в котором отсутствует «случайное» вырождение уровней энергии. На эту систему накладывается слабое однородное электрическое поле с напряженностью . Докажем, что в первом порядке теории возмущений расщепления энергетических уровней частицы не происходит.

Стационарные состояния частицы (в отсутствии спина) в центрально-симметричном поле можно классифицировать с помощью трех квантовых чисел: радиального квантового числа , орбитального момента  и его проекции  на одну из координатных осей (например, ось, направленную вдоль вектора ) - . При этом уровень энергии частицы с моментом  является -кратно вырожденным по проекции момента (по условию «случайное» вырождение отсутствует). То есть собственные значения оператора Гамильтона, отвечающие собственным состояниям с одинаковыми значениями радиального квантового числа  и момента , но с разными значениями  проекции момента на ось  совпадают.

При наложении однородного электрического поля к гамильтониану частицы добавляется возмущение . Очевидно, функции  являются правильными функциями нулевого приближения, поскольку все недиагональные матричные элементы оператора возмущения с невозмущенными функциями

   (1)

равны нулю. Действительно, зависимость невозмущенной собственной функции  от углов определяется сферической функцией , оператора возмущения - сферической функцией  (поскольку ), поэтому матричный элемент (1) содержит следующий интеграл по переменной :

     (2)

который равен нулю, если . Этот матричный элемент равен нулю и для , поскольку  - четная функция для любого ,  - нечетная. Следовательно, расщепления уровня энергии заряженной частицы в центрально-симметричном поле под действием возмущения  не происходит.

Отметим, что проведенное рассмотрение не годится при наличии «случайного» вырождения, характерного, например, для кулоновского поля, когда вырожденными являются состояния с различными . Рассмотрению расщепления уровней энергии электрона в кулоновском поле под действием однородного электрического поля (эффект Штарка) посвящен конец сегодняшней лекции.

Рассмотрим теперь бесспиновую заряженную частицу, находящуюся в центральном поле, на которую наложено слабое однородное магнитное поле, направленное вдоль оси . В первом порядке теории возмущений найдем расщепление энергетического уровня с полным моментом .

Поскольку невозмущенный гамильтониан частицы, находящейся в центральном поле, коммутирует с операторами квадрата момента импульса и его проекции на ось , его собственные функции являются также и собственными функциями операторов квадрата момента и его проекции на ось , причем уровни энергии -кратно вырождены по проекции момента. То есть волновые функции стационарных состояний, отвечающие одному уровню энергии могут быть выбраны как

   (3)

где радиальная функция  одинакова для всех состояний, отвечающих данному уровню энергии (здесь мы также предполагаем, что «случайное» вырождение по моменту, характерное, например, для движения частицы в кулоновском поле или трехмерного гармонического осциллятора, отсутствует).

Классическая энергия взаимодействия заряженной частицы с магнитным полем напряженности  определяется выражением , где  - магнитный момент, связанный с движением частицы в пространстве (так как по условию спин частицы равен нулю, то она не имеет магнитного момента, связанного с ее «внутренними» степенями свободы или, другими словами, с внутренними движениями):

    (4)

где  - заряд частицы,  - ее масса,  - скорость света,  - момент импульса. Из этих выражений можно построить квантовомеханический оператор взаимодействия частицы с магнитным полем

      (5)

(направление оси  выбрано вдоль вектора ). Очевидно, для возмущения (5) собственные функции невозмущенного гамильтониана являются правильными функциями нулевого приближения. Действительно, легко проверить, что все недиагональные матричные элементы оператора (5)

  (6)

равны нулю из-за ортогональности собственных функций невозмущенного гамильтониана. Поэтому функции (3) можно использовать в формулах теории возмущений без вырождения. В частности, поправки первого порядка к энергии уровня определяются диагональными матричными элементами оператора (5) с функциями (3). Находим

  (7)

Таким образом, энергетический уровень невозмущенного гамильтониана с моментом  расщепляется на подуровни с энергиями

  (8)

где  - невозмущенная энергия. Как следует из (8) энергии всех состояний различны, что означает, что под действием магнитного поля вырождение по проекции момента импульса, характерное для частицы в центрально-симметричном поле, полностью снимается.

Рассмотрим теперь взаимодействие заряженной частицы, находящейся на первом возбужденном уровне энергии в кулоновском поле притяжения с однородным электрическим полем (эффект Штарка).

Напомним, что первый возбужденный уровень энергии электрона в атоме водорода имеет энергию  ( - боровский радиус), является четырехкратно вырожденным, поскольку ему отвечают: одно состояние с моментом  и три состояния с моментом . Волновые функции состояний, отвечающих первому возбужденному уровню электрона в атоме, могут быть выбраны в следующем виде

     (9)

   (10)

При наложении на атом однородного электрического поля к гамильтониану электрона добавляется возмущение . Ищем правильные функции в виде неизвестных линейных комбинаций функций (9), (10). Подставляя эти линейные комбинации в возмущенное уравнение и умножая его последовательно на  и интегрируя, получим систему уравнений для коэффициентов

   (11)

Среди всех матричных элементов, входящих в систему уравнений (11) не равны нулю только матричные элементы . Вычисляя их, получим (соответствующие интеграл вычисляется элементарно)

     (12)

Система однородных уравнений для неизвестных коэффициентов (11) имеет ненулевые решения, если ее определитель равняется нулю

   (13)

Раскрывая определитель (13) получаем

   (14)

Из уравнения (14) в первом порядке теории возмущений находим энергии подуровней, на которые расщепляется первый возбужденный уровень атома водорода под действием однородного электрического поля

     (14)

Поскольку первый корень является двукратно вырожденным, то четырехкратно вырожденный невозмущенный уровень энергии расщепится на три подуровня, один из которых будет двукратно вырожденным, остальные два – невырожденными. Таким образом, вырождение, имеющее место невозмущенного атома, снимается только частично.

Очевидно, этим подуровням отвечают следующие правильные функции. Тем подуровням, которые не сдвинутся по сравнению с невозмущенной задачей, - состояния с моментом  и проекциями  и  (или любая их линейная комбинация). Сдвинутым состояниям – линейные комбинации состояний с ,  и , . Предлагаем слушателям убедиться в этом самостоятельно и найти коэффициенты правильных линейных комбинаций.

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

33630. Модель Харрисона-Руззо-Ульмана (матричная модель) 32 KB
  Модель ХаррисонаРуззоУльмана матричная модель Модель матрицы права доступа предполагает что состояние разрешения определено используя матрицу соотносящую субъекты объекты и разрешения принадлежащие каждой теме на каждом объекте. Состояние разрешения описано тройкой Q = S О А где S множество субъектов 0 множество объектов А матрица права доступа. Вход s о содержит режимы доступа для которых субъект S разрешается на объекте о. Множество режимов доступа зависит от типа рассматриваемых объектов и функциональных...
33631. Многоуровневые модели 31.5 KB
  К режимам доступа относятся: чтение запись конкатенирование выполнение.7 где b текущее множество доступа. Это множество составлено из троек формы субъект объект режим доступа. Тройка s о т в b указывает что субъект s имеет текущий доступ к объекту о в режиме т; М матрица прав доступа аналогичная матрице прав доступа в модели ХаррисонаРуззоУльмана; f функция уровня которая связывается с каждым субъектом и объектом в системе как уровень их защиты.
33632. Графические модели 44 KB
  Графические модели сети Петри которые позволяют построить модели дискретных систем. Определение: Сеть Петри это набор N =STFWM0 где S непустое множество элементов сети называемое позициями T непустое множество элементов сети называемое переходами отношение инцидентности а W и M0 две функции называемые соответственно кратностью дуг и начальной разметкой. Если п 1 то в графическом представлении сети число n выписывается рядом с короткой чертой пересекающей дугу. Часто такая дуга будет также заменяться пучком из п...
33633. Построение модели систем защиты на базе Е-сетей на основе выделенного набора правил фильтрации 78 KB
  2 Переходы: d3 = XEâr3 p1 p2 p3 t3 установление соединения проверка пароля и имени пользователя для доступа к внутренней сети подсети; d4 = XEâr4 p2 p4 р5 0 подсчет попыток ввода пароля и имени; d5 = Tp4 p6 0 вывод сообщения о неверном вводе пароля и имени; d6 = Tp1 p6 0 передача пакета для повторной аутентификации и идентификации; d7 = Tp5 p7 t4 создание соответствующей записи в журнале учета и регистрации. 3 Решающие позиции: r3 проверка пароля и имени пользователя; r4 ...
33634. RSA (буквенная аббревиатура от фамилий Rivest, Shamir и Adleman) 92.5 KB
  Алгоритм RS состоит из следующих пунктов: Выбрать простые числа p и q заданного размера например 512 битов каждое. Вычислить n = p q Вычисляется значение функции Эйлера от числа n: m = p 1 q 1 Выбрать число d взаимно простое с m Два целых числа называются взаимно простыми если они не имеют никаких общих делителей кроме 1. Выбрать число e так чтобы e d = 1 mod m Числа e и d являются ключами. Шифруемые данные необходимо разбить на блоки числа от 0 до n 1.
33635. IDEA (англ. International Data Encryption Algorithm, международный алгоритм шифрования данных) 121 KB
  Interntionl Dt Encryption lgorithm международный алгоритм шифрования данных симметричный блочный алгоритм шифрования данных запатентованный швейцарской фирмой scom. Известен тем что применялся в пакете программ шифрования PGP. Если такое разбиение невозможно используются различные режимы шифрования. Каждый исходный незашифрованный 64битный блок делится на четыре подблока по 16 бит каждый так как все алгебраические операции использующиеся в процессе шифрования совершаются над 16битными числами.
33636. Advanced Encryption Standard (AES) - Алгоритм Rijndael 317.5 KB
  dvnced Encryption Stndrd ES Алгоритм Rijndel Инициатива в разработке ES принадлежит национальному институту стандартов США NIST. Основная цель состояла в создании федерального стандарта США который бы описывал алгоритм шифрования используемый для защиты информации как в государственном так и в частном секторе. В результате длительного процесса оценки был выбрал алгоритм Rijndel в качестве алгоритма в стандарте ES. Алгоритм Rijndel представляет собой симметричный алгоритм блочного шифрования с переменной длиной блока и переменной...
33637. Актуальность проблемы обеспечения безопасности сетевых информационных технологий 13.99 KB
  Отставание в области создания непротиворечивой системы законодательноправового регулирования отношений в сфере накопления использования и защиты информации создает условия для возникновения и широкого распространения компьютерного хулиганства и компьютерной преступности. Особую опасность представляют злоумышленники специалисты профессионалы в области вычислительной техники и программирования досконально знающие все достоинства и слабые места вычислительных систем и располагающие подробнейшей документацией и самыми совершенными...
33638. Основные понятия информационной безопасности 31 KB
  В связи с бурным процессом информатизации общества все большие объемы информации накапливаются хранятся и обрабатываются в автоматизированных системах построенных на основе современных средств вычислительной техники и связи. Автоматизированная система АС обработки информации организационнотехническая система представляющая собой совокупность взаимосвязанных компонентов: технических средств обработки и передачи данных методов и алгоритмов обработки в виде соответствующего программного обеспечения информация массивов наборов баз...