19046

Теория стационарных возмущений в случае вырожденного спектра. Примеры

Лекция

Физика

Лекция 28 Теория стационарных возмущений в случае вырожденного спектра. Примеры Рассмотрим несколько примеров применения теории возмущений в случае вырожденного спектра. Пусть трехмерная частица находится в сферически симметричном потенциале в котором отсутст...

Русский

2013-07-11

441 KB

19 чел.

Лекция 28

Теория стационарных возмущений в случае вырожденного спектра. Примеры

Рассмотрим несколько примеров применения теории возмущений в случае вырожденного спектра.

Пусть трехмерная частица находится в сферически симметричном потенциале, в котором отсутствует «случайное» вырождение уровней энергии. На эту систему накладывается слабое однородное электрическое поле с напряженностью . Докажем, что в первом порядке теории возмущений расщепления энергетических уровней частицы не происходит.

Стационарные состояния частицы (в отсутствии спина) в центрально-симметричном поле можно классифицировать с помощью трех квантовых чисел: радиального квантового числа , орбитального момента  и его проекции  на одну из координатных осей (например, ось, направленную вдоль вектора ) - . При этом уровень энергии частицы с моментом  является -кратно вырожденным по проекции момента (по условию «случайное» вырождение отсутствует). То есть собственные значения оператора Гамильтона, отвечающие собственным состояниям с одинаковыми значениями радиального квантового числа  и момента , но с разными значениями  проекции момента на ось  совпадают.

При наложении однородного электрического поля к гамильтониану частицы добавляется возмущение . Очевидно, функции  являются правильными функциями нулевого приближения, поскольку все недиагональные матричные элементы оператора возмущения с невозмущенными функциями

   (1)

равны нулю. Действительно, зависимость невозмущенной собственной функции  от углов определяется сферической функцией , оператора возмущения - сферической функцией  (поскольку ), поэтому матричный элемент (1) содержит следующий интеграл по переменной :

     (2)

который равен нулю, если . Этот матричный элемент равен нулю и для , поскольку  - четная функция для любого ,  - нечетная. Следовательно, расщепления уровня энергии заряженной частицы в центрально-симметричном поле под действием возмущения  не происходит.

Отметим, что проведенное рассмотрение не годится при наличии «случайного» вырождения, характерного, например, для кулоновского поля, когда вырожденными являются состояния с различными . Рассмотрению расщепления уровней энергии электрона в кулоновском поле под действием однородного электрического поля (эффект Штарка) посвящен конец сегодняшней лекции.

Рассмотрим теперь бесспиновую заряженную частицу, находящуюся в центральном поле, на которую наложено слабое однородное магнитное поле, направленное вдоль оси . В первом порядке теории возмущений найдем расщепление энергетического уровня с полным моментом .

Поскольку невозмущенный гамильтониан частицы, находящейся в центральном поле, коммутирует с операторами квадрата момента импульса и его проекции на ось , его собственные функции являются также и собственными функциями операторов квадрата момента и его проекции на ось , причем уровни энергии -кратно вырождены по проекции момента. То есть волновые функции стационарных состояний, отвечающие одному уровню энергии могут быть выбраны как

   (3)

где радиальная функция  одинакова для всех состояний, отвечающих данному уровню энергии (здесь мы также предполагаем, что «случайное» вырождение по моменту, характерное, например, для движения частицы в кулоновском поле или трехмерного гармонического осциллятора, отсутствует).

Классическая энергия взаимодействия заряженной частицы с магнитным полем напряженности  определяется выражением , где  - магнитный момент, связанный с движением частицы в пространстве (так как по условию спин частицы равен нулю, то она не имеет магнитного момента, связанного с ее «внутренними» степенями свободы или, другими словами, с внутренними движениями):

    (4)

где  - заряд частицы,  - ее масса,  - скорость света,  - момент импульса. Из этих выражений можно построить квантовомеханический оператор взаимодействия частицы с магнитным полем

      (5)

(направление оси  выбрано вдоль вектора ). Очевидно, для возмущения (5) собственные функции невозмущенного гамильтониана являются правильными функциями нулевого приближения. Действительно, легко проверить, что все недиагональные матричные элементы оператора (5)

  (6)

равны нулю из-за ортогональности собственных функций невозмущенного гамильтониана. Поэтому функции (3) можно использовать в формулах теории возмущений без вырождения. В частности, поправки первого порядка к энергии уровня определяются диагональными матричными элементами оператора (5) с функциями (3). Находим

  (7)

Таким образом, энергетический уровень невозмущенного гамильтониана с моментом  расщепляется на подуровни с энергиями

  (8)

где  - невозмущенная энергия. Как следует из (8) энергии всех состояний различны, что означает, что под действием магнитного поля вырождение по проекции момента импульса, характерное для частицы в центрально-симметричном поле, полностью снимается.

Рассмотрим теперь взаимодействие заряженной частицы, находящейся на первом возбужденном уровне энергии в кулоновском поле притяжения с однородным электрическим полем (эффект Штарка).

Напомним, что первый возбужденный уровень энергии электрона в атоме водорода имеет энергию  ( - боровский радиус), является четырехкратно вырожденным, поскольку ему отвечают: одно состояние с моментом  и три состояния с моментом . Волновые функции состояний, отвечающих первому возбужденному уровню электрона в атоме, могут быть выбраны в следующем виде

     (9)

   (10)

При наложении на атом однородного электрического поля к гамильтониану электрона добавляется возмущение . Ищем правильные функции в виде неизвестных линейных комбинаций функций (9), (10). Подставляя эти линейные комбинации в возмущенное уравнение и умножая его последовательно на  и интегрируя, получим систему уравнений для коэффициентов

   (11)

Среди всех матричных элементов, входящих в систему уравнений (11) не равны нулю только матричные элементы . Вычисляя их, получим (соответствующие интеграл вычисляется элементарно)

     (12)

Система однородных уравнений для неизвестных коэффициентов (11) имеет ненулевые решения, если ее определитель равняется нулю

   (13)

Раскрывая определитель (13) получаем

   (14)

Из уравнения (14) в первом порядке теории возмущений находим энергии подуровней, на которые расщепляется первый возбужденный уровень атома водорода под действием однородного электрического поля

     (14)

Поскольку первый корень является двукратно вырожденным, то четырехкратно вырожденный невозмущенный уровень энергии расщепится на три подуровня, один из которых будет двукратно вырожденным, остальные два – невырожденными. Таким образом, вырождение, имеющее место невозмущенного атома, снимается только частично.

Очевидно, этим подуровням отвечают следующие правильные функции. Тем подуровням, которые не сдвинутся по сравнению с невозмущенной задачей, - состояния с моментом  и проекциями  и  (или любая их линейная комбинация). Сдвинутым состояниям – линейные комбинации состояний с ,  и , . Предлагаем слушателям убедиться в этом самостоятельно и найти коэффициенты правильных линейных комбинаций.

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20602. Модемы систем подвижной связи 649.5 KB
  Однако объем передачи данных по таким сетям имеет тенденцию к быстрому увеличению.3 DQPSK n 4 Требуемое отношения сигнал шум дБ 9 16 Скорость преобразования речи Кбит с 13 65 8 Алгоритм преобразования речи RPE LTP VSELP Типовой радиус соты км 0535 0520 Технологическое преимущество цифровой сотовой связи позволяет увеличивать емкость сетей снижать стоимость и повышать надежность передачи данных. К таким решениям можно отнести: построение сетей GSM на принципах модели открытых систем и интеллектуальных сетей; применение эффективных...
20603. Понятие о защите информации от несанкционированного доступа 109 KB
  Говорить о безопасности сотовой связи в общем нельзя. Если бы не было необходимости в идентификации то он получил бы вместе с аппаратом и доступ к счету жертвы у оператора связи. Принцип работы A3 известен только операторам связи а также разработчикам и производителям всевозможного сотового оборудования. Шифрование данных У любого стандарта сотовой связи есть один большой недостаток.
20604. Перспективы развития СПРС и ПСС – переход к системам 3-го поколения 236.5 KB
  Перспективы развития СПРС и ПСС переход к системам 3го поколения Прошло немногим более двух десятилетий с момента появления первых мобильных телефонов но мобильная связь уже подверглась существенным изменениям. Cистемы первого поколения основанные на аналоговом принципе использовались исключительно для телефонной связи и лишь впоследствии обзавелись некоторыми базовыми сервисами. Cистемы второго поколения включая стандарт GSM предоставляют улучшенное качество передачи и защиту сигнала дополнительные сервисы низкоскоростную...
20605. Принципы функционирования систем сотовой связи 490 KB
  Свое название они получили в соответствии с сотовым принципом организации связи согласно которому зона обслуживания территория города или региона делится на ячейки соты. Эти системы подвижной связи появившиеся сравнительно недавно являются принципиально новым видом систем связи так как они построены в соответствии с сотовым: принципом распределения частот по территории обслуживания территориальночастотное планирование и предназначены для обеспечения радиосвязью большого числа подвижных абонентов с выходом в телефонную сеть общего...
20606. Абонентские терминалы СПРС и ПСС 360.5 KB
  В верхней части аппарата обычно располагаются световой индикатор светодиод отображающий режим работы режим ожидания вызов включено и источник звукового сигнала звонок. При получении вызова о чем абонент оповещается звуковым сигналом звонком он манипулирует теми же клавишами. Во всех аппаратах на дисплее отображаются уровень принимаемого сигнала и степень разряда аккумуляторной батареи в большинстве из них имеется подсветка дисплея и клавиатуры. К стационарному аппарату обычно бывает возможно подключить телефонный аппарат...
20607. Методы формирования речевых сигналов в слуховой системе 103 KB
  В некоторых восточных языках например в китайском изменение частоты основного тона важный информативный параметр речи. Звуки речи в которых присутствует основной тон называются вокализованными. Темп характеризует скорость речи количество слов произнесённых в определённый временной промежуток. Темп речи в норме по своим временным и пространственным характеристикам соответствует органическим темповым и ритмическим параметрам присущим речевому и зрительному потоку информации человека.
20608. Слуховое восприятие речевых сигналов и оценка качества их звучания 335.5 KB
  Как правило слуховое восприятие речи у пожилых людей нарушается в большей степени чем чистых тонов. Среди существующих методов не утратили своего значения камертональные опыты или пробы и установление восприятия разговорной и шепотной речи. Наиболее распространенными способами оценки слуха в диагностики тугоухости являются измерение порогов слышимости чистых тонов и разборчивость записанной на ленте магнитофона и воспроизводимой через аудиометр речи определенной интенсивности см. являются гиперакузия заключающаяся в повышенной...
20609. Простой генератор кода 37 KB
  Данные вычисленные результаты находятся в регистрах как можно дальше и перенос их в память осуществляется только при необходимости использовать этот регистр. a:= bc b в регистр Ri c в регистр Rj. 2 b в регистр Ri c в памяти ADD Ri с.
20610. Распределение и назначение регистров. Счетчики использования регистров 52.5 KB
  Пример: Переменная Регистр b R0 d R1 a R2 e R3 B0: MOV R0b MOV R1d MOV R2a MOV R3e B1: MOV R2 R0 ADD R2c SUB R1 R0 MOV R3 R2 ADD R3f B2: SUB R2 R1 MOV f R2 B3: MOV R0 R1 ADD R0f MOV R3 R2 SUB R3c B4: MOV R0 R1 ADD R0c.