19047

Теория нестационарных возмущений. Переходы под влиянием возмущений, зависящих от времени

Лекция

Физика

Лекция 29 Теория нестационарных возмущений. Переходы под влиянием возмущений зависящих от времени Согласно постулатам квантовой механики волновая функция любой квантовой системы удовлетворяет временному уравнению Шредингера 1 где гамильтониан системы...

Русский

2013-07-11

777 KB

10 чел.

Лекция 29

Теория нестационарных возмущений. Переходы под влиянием возмущений, зависящих от времени

Согласно постулатам квантовой механики волновая функция любой квантовой системы удовлетворяет временному уравнению Шредингера

    (1)

где  - гамильтониан системы. Если гамильтониан не зависит явно от времени, то общее решение временного уравнения Шредингера (1) имеет вид

   (2)

где  и  - собственные функции и собственные значения оператора Гамильтона системы, а постоянные  определяются начальной волновой функцией :

    (3)

Так как решение (2) представляет собой разложение волновой функции системы по собственным функциям оператора Гамильтона, то вероятность обнаружить при измерении энергии  квантовой системы, что  (то есть вероятность обнаружить квантовую систему в -ом собственном состоянии гамильтониана) равна

   (4)

Из (4) следует, что если гамильтониан квантовой системы не зависит от времени, то вероятность обнаружить систему в том или ином собственном состоянии гамильтониана не зависит от времени. В частности, если в начальный момент времени квантовая система находилась в -ом собственном состоянии гамильтониана (в сумме (2) – одно слагаемое), то она будет находится в нем в любой момент времени (то есть в сумме (2) так и останется одно слагаемое).. Действительно, в этом случае ,  и, как это следует из (4), ,  в любой момент времени.

Совершенно другое положение имеет место в случае, когда гамильтониан явно зависит от времени. Такие случаи реализуются, например, когда стационарные квантовые системы подвергаются воздействию внешних возмущений, зависящих от времени. В этом случае функция вида (2) уже не является решением  временного уравнения Шредингера (1) ни при каком выборе постоянных . Поэтому коэффициенты разложения волновой функции  по любой полной системе функций и, в частности, по собственным функциям гамильтониана системы в какой-то момент времени

    (5)

являются функциями времени, квадраты модуля которых зависят от времени. Следовательно, вероятность обнаружить квантовую систему в том или ином квантовом состоянии зависит от времени. В частности, если в начальный момент времени квантовая система находилась в единственном состоянии , входящем в некоторую полную систему функций, не зависящих от времени, то в последующие моменты времени она может быть обнаружена в других состояниях , входящих в ту же систему. Таким образом, при воздействии на квантовую систему зависящих от времени возмущений она может совершать переходы из одних стационарных состояний в другие. При этом согласно основным принципам квантовой механики вероятность перехода из -го состояния в -ое к моменту времени  определяется квадратом модуля функции  в (5), (при условии, что ). Поэтому для вычисления вероятности перехода квантовой системы под действием зависящего от времени возмущения необходимо найти ее волновую функцию из уравнения (1) и разложить эту функцию по любой полной системе функций. Нахождение волновых функций квантовых систем из уравнения (1) в случае зависящего от времени гамильтониана, как правило, представляет собой сложную математическую проблему, поскольку в уравнении Шредингера не разделяются временная и пространственные переменные. В некоторых случаях возможны, однако, простые решения этой задачи.

Пусть зависимость гамильтониана от времени «слабая», то есть гамильтониан представим в виде

    (6)

где от времени зависит только малое возмущение . Основная идея решения уравнения Шредингера (1) в этом случае заключается в следующем. Разложим волновую функцию квантовой системы  по образующим полную систему собственным функциям  не зависящего от времени гамильтониана

    (7)

где  - некоторые неизвестные функции времени. Если выделить из них временные экспоненты , то можно функцию  представить в виде

    (8)

где в отличии от (2) коэффициенты  являются некоторыми функциями времени. Если возмущение мало, то коэффициенты  должны слабо зависеть от времени и их можно искать в виде ряда по степеням возмущения

   (9)

причем «нулевое» слагаемое  определяется волновой функцией системы до включения возмущения. Подставляя ряд (9) во временное уравнение (1) и собирая слагаемые одного порядка малости по , можно получить явные выражения для . Такой метод нахождения функций  называется теорией нестационарных возмущений (иногда ее называют также «нестационарной теорией возмущений»). Приведем здесь только окончательные формулы этого метода.

Пусть до момента включения возмущения при  квантовая система находилась в -ом стационарном состоянии гамильтониана . Тогда , а функции  в первом порядке по возмущению  определяются соотношениями

    (10)

    (11)

В формулах (10), (11) введены следующие обозначения, часть из которых уже использовалась ранее. Величины:

представляют собой матричные элементы оператора возмущения в базисе собственных функций , величина

имеющая размерность «1/время», называется частотой перехода между стационарными состояниями  и . Согласно основным принципам квантовой механики квадраты модулей коэффициентов  определяют вероятности перехода из начального состояния (-го собственного состояния гамильтониана ) в конечное (-е собственное состояние гамильтониана ) к моменту времени . Из формулы (10) следует, что вероятность перехода к моменту времени  определяется соотношением

   (12)

Если в некоторый момент времени  возмущение обращается в нуль (или, как часто, хотя и несколько жаргонно, говорят, «выключается»), то после этого система снова описывается волновой функцией вида (2), и, следовательно, в дальнейшем  вероятность обнаружить ее в том или ином состоянии не зависит от времени. Поэтому при

   (13)

Соотношение (8.13) позволяет вычислить вероятность перехода в первом порядке нестационарной теории возмущений. Условием применимости этого соотношения является условие малости суммарной вероятности перехода во все состояния  (или близкая к единице вероятность остаться в состоянии ). Подчеркнем, что в результате действия зависящих от времени возмущений квантовые системы, вообще говоря, оказываются в состояниях с неопределенными энергиями (их волновые функции представляют собой суперпозиции многих стационарных состояний) и, согласно принципам квантовой механики при измерениях могут быть обнаружены в различных состояниях. «На наблюдательном языке» это значит, что при одновременном измерении энергии тождественных квантовых систем, подвергающихся воздействию одинаковых возмущений, можно с определенными вероятностями получать различные значения.

Поскольку вероятность перехода – мала, то вычислять вероятность того, что система останется в начальном состоянии как:

     (14)

нельзя. Это связано с тем, что неучтенные в (14) слагаемые квадратичны по возмущению и при возведении (14) в квадрат дадут перекрестное слагаемое с единицей, также квадратичное по возмущению как и вероятность перехода (13) Поэтому вероятность того, что система останется  в исходном состоянии, следует вычислять из условия нормировки вероятностей всех возможных переходов, то есть как

  (15)

На следующей лекции мы рассмотрим примеры применения теории нестационарных возмущений для простейших квантовых систем.

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

37951. ИЗУЧЕНИЕ ГАЗОВЫХ ЗАКОНОВ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПУАССОНА ГАЗА МЕТОДОМ КЛЕМАНА – ДЕЗОРМА 157.5 KB
  Теплоемкость и коэффициент Пуассона газа.14 лабораторная работа № 24 ИЗУЧЕНИЕ ГАЗОВЫХ ЗАКОНОВ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПУАССОНА ГАЗА МЕТОДОМ КЛЕМАНА – ДЕЗОРМА Цель работы Изучение различных процессов изменения состояния газа и определение коэффициента Пуассона воздуха. Теплоемкость и коэффициент Пуассона газа Удельной теплоемкостью вещества называется величина равная количеству теплоты которую надо передать единице массы этого вещества для увеличения его температуры на 1К а молярной теплоемкостью – количество теплоты которое...
37952. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ МЕТАЛЛОВ 2.23 MB
  13 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 25 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ МЕТАЛЛОВ Цель работы Изучение явления теплопроводности и определение коэффициентов теплопроводности чистых металлов и сплавов. Если в неравномерно нагретых жидкостях и газах тепловая энергия передается преимущественно за счет конвекции при которой происходит перемещение вещества между областями с различной температурой то в твердых телах тепло переносится только за счет теплопроводности. Распространение тепловой энергии путем теплопроводности обусловлено хаотическим...
37953. ИЗУЧЕНИЕ ВЗИМОСВЯЗИ ПАРМЕТРОВ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА И ГАЗОВЫХ ЗАКОНОВ 150.5 KB
  Экспериментальная проверка уравнения состояния идеального газа.13 лабораторная работа № 29 ИЗУЧЕНИЕ ВЗИМОСВЯЗИ ПАРМЕТРОВ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА И ГАЗОВЫХ ЗАКОНОВ Цель работы 1. Изучение взаимосвязи макропараметров определяющих состояние идеального газа. Экспериментальная проверка уравнения состояния идеального газа.
37954. Исследование электростатического поля и изображение его при помощи силовых линий и поверхностей равного потенциала 867.5 KB
  Исследование электростатического поля Цель работы Экспериментальное исследование электростатического поля и изображение его при помощи силовых линий и поверхностей равного потенциала. Напряженностью электрического поля называют силу действующую на единичный положительный пробный заряд. Если электрическое поле создается системой зарядов то напряженность поля в данной точке определяется по принципу суперпозиции...
37955. ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ ПОСТОЯННОГО ТОКА 1.19 MB
  Электрическим током называют упорядоченное движение зарядов. Эти заряды называют носителями тока. Линия тока есть математическая линия, направление касательной которой в каждой точке совпадает с направлением скорости носителей тока. За положительное направление тока принято считать направление скорости положительно заряженных частиц.
37956. Девиантное поведение. Концепции девиантного поведения 17.59 KB
  Девиантное поведение – поведение, отклоняющееся от нормы; когда человек ведет себя не в соответствии с нормами и стандартами поведения, принятыми в данном обществе.
37958. Определение моментов инерции твердых тел методом трифилярного подвеса 318.5 KB
  Момент инерции.1] Список литературы Лабораторная работа № 1 Определение моментов инерции твердых тел методом трифилярного подвеса 1. Экспериментальное определение моментов инерции твердых тел. Момент инерции.
37959. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ МЕТОДОМ ТРИФИЛЯРНОГО ПОДВЕСА 284.5 KB
  ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ МЕТОДОМ ТРИФИЛЯРНОГО ПОДВЕСА 1. Цель работы Экспериментальное определение моментов инерции твердых тел. Момент инерции. Теорема Штейнера Моментом инерции материальной точки...