19047

Теория нестационарных возмущений. Переходы под влиянием возмущений, зависящих от времени

Лекция

Физика

Лекция 29 Теория нестационарных возмущений. Переходы под влиянием возмущений зависящих от времени Согласно постулатам квантовой механики волновая функция любой квантовой системы удовлетворяет временному уравнению Шредингера 1 где гамильтониан системы...

Русский

2013-07-11

777 KB

11 чел.

Лекция 29

Теория нестационарных возмущений. Переходы под влиянием возмущений, зависящих от времени

Согласно постулатам квантовой механики волновая функция любой квантовой системы удовлетворяет временному уравнению Шредингера

    (1)

где  - гамильтониан системы. Если гамильтониан не зависит явно от времени, то общее решение временного уравнения Шредингера (1) имеет вид

   (2)

где  и  - собственные функции и собственные значения оператора Гамильтона системы, а постоянные  определяются начальной волновой функцией :

    (3)

Так как решение (2) представляет собой разложение волновой функции системы по собственным функциям оператора Гамильтона, то вероятность обнаружить при измерении энергии  квантовой системы, что  (то есть вероятность обнаружить квантовую систему в -ом собственном состоянии гамильтониана) равна

   (4)

Из (4) следует, что если гамильтониан квантовой системы не зависит от времени, то вероятность обнаружить систему в том или ином собственном состоянии гамильтониана не зависит от времени. В частности, если в начальный момент времени квантовая система находилась в -ом собственном состоянии гамильтониана (в сумме (2) – одно слагаемое), то она будет находится в нем в любой момент времени (то есть в сумме (2) так и останется одно слагаемое).. Действительно, в этом случае ,  и, как это следует из (4), ,  в любой момент времени.

Совершенно другое положение имеет место в случае, когда гамильтониан явно зависит от времени. Такие случаи реализуются, например, когда стационарные квантовые системы подвергаются воздействию внешних возмущений, зависящих от времени. В этом случае функция вида (2) уже не является решением  временного уравнения Шредингера (1) ни при каком выборе постоянных . Поэтому коэффициенты разложения волновой функции  по любой полной системе функций и, в частности, по собственным функциям гамильтониана системы в какой-то момент времени

    (5)

являются функциями времени, квадраты модуля которых зависят от времени. Следовательно, вероятность обнаружить квантовую систему в том или ином квантовом состоянии зависит от времени. В частности, если в начальный момент времени квантовая система находилась в единственном состоянии , входящем в некоторую полную систему функций, не зависящих от времени, то в последующие моменты времени она может быть обнаружена в других состояниях , входящих в ту же систему. Таким образом, при воздействии на квантовую систему зависящих от времени возмущений она может совершать переходы из одних стационарных состояний в другие. При этом согласно основным принципам квантовой механики вероятность перехода из -го состояния в -ое к моменту времени  определяется квадратом модуля функции  в (5), (при условии, что ). Поэтому для вычисления вероятности перехода квантовой системы под действием зависящего от времени возмущения необходимо найти ее волновую функцию из уравнения (1) и разложить эту функцию по любой полной системе функций. Нахождение волновых функций квантовых систем из уравнения (1) в случае зависящего от времени гамильтониана, как правило, представляет собой сложную математическую проблему, поскольку в уравнении Шредингера не разделяются временная и пространственные переменные. В некоторых случаях возможны, однако, простые решения этой задачи.

Пусть зависимость гамильтониана от времени «слабая», то есть гамильтониан представим в виде

    (6)

где от времени зависит только малое возмущение . Основная идея решения уравнения Шредингера (1) в этом случае заключается в следующем. Разложим волновую функцию квантовой системы  по образующим полную систему собственным функциям  не зависящего от времени гамильтониана

    (7)

где  - некоторые неизвестные функции времени. Если выделить из них временные экспоненты , то можно функцию  представить в виде

    (8)

где в отличии от (2) коэффициенты  являются некоторыми функциями времени. Если возмущение мало, то коэффициенты  должны слабо зависеть от времени и их можно искать в виде ряда по степеням возмущения

   (9)

причем «нулевое» слагаемое  определяется волновой функцией системы до включения возмущения. Подставляя ряд (9) во временное уравнение (1) и собирая слагаемые одного порядка малости по , можно получить явные выражения для . Такой метод нахождения функций  называется теорией нестационарных возмущений (иногда ее называют также «нестационарной теорией возмущений»). Приведем здесь только окончательные формулы этого метода.

Пусть до момента включения возмущения при  квантовая система находилась в -ом стационарном состоянии гамильтониана . Тогда , а функции  в первом порядке по возмущению  определяются соотношениями

    (10)

    (11)

В формулах (10), (11) введены следующие обозначения, часть из которых уже использовалась ранее. Величины:

представляют собой матричные элементы оператора возмущения в базисе собственных функций , величина

имеющая размерность «1/время», называется частотой перехода между стационарными состояниями  и . Согласно основным принципам квантовой механики квадраты модулей коэффициентов  определяют вероятности перехода из начального состояния (-го собственного состояния гамильтониана ) в конечное (-е собственное состояние гамильтониана ) к моменту времени . Из формулы (10) следует, что вероятность перехода к моменту времени  определяется соотношением

   (12)

Если в некоторый момент времени  возмущение обращается в нуль (или, как часто, хотя и несколько жаргонно, говорят, «выключается»), то после этого система снова описывается волновой функцией вида (2), и, следовательно, в дальнейшем  вероятность обнаружить ее в том или ином состоянии не зависит от времени. Поэтому при

   (13)

Соотношение (8.13) позволяет вычислить вероятность перехода в первом порядке нестационарной теории возмущений. Условием применимости этого соотношения является условие малости суммарной вероятности перехода во все состояния  (или близкая к единице вероятность остаться в состоянии ). Подчеркнем, что в результате действия зависящих от времени возмущений квантовые системы, вообще говоря, оказываются в состояниях с неопределенными энергиями (их волновые функции представляют собой суперпозиции многих стационарных состояний) и, согласно принципам квантовой механики при измерениях могут быть обнаружены в различных состояниях. «На наблюдательном языке» это значит, что при одновременном измерении энергии тождественных квантовых систем, подвергающихся воздействию одинаковых возмущений, можно с определенными вероятностями получать различные значения.

Поскольку вероятность перехода – мала, то вычислять вероятность того, что система останется в начальном состоянии как:

     (14)

нельзя. Это связано с тем, что неучтенные в (14) слагаемые квадратичны по возмущению и при возведении (14) в квадрат дадут перекрестное слагаемое с единицей, также квадратичное по возмущению как и вероятность перехода (13) Поэтому вероятность того, что система останется  в исходном состоянии, следует вычислять из условия нормировки вероятностей всех возможных переходов, то есть как

  (15)

На следующей лекции мы рассмотрим примеры применения теории нестационарных возмущений для простейших квантовых систем.

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

53995. The Best Place for Holidays 81.5 KB
  Today at the lesson we’ll speak about the best place for holidays, listen to the dialogue about visiting Malta, revise and identify the past tenses, put the verbs in brackets into the correct tense, read Vicky’s letter about her holidays in Madrid, in groups write the letter to a pen friend according to the plan, get to know if you “can taste the flower seeds”.
53996. Modern Inventions. The Internet 68 KB
  Communication in social networks was chosen as the object of our lesson because communication has always been an important part of young people's lives. Today they can choose between traditional and new ways of communication. Traditionally the young meet after classes with their school friends, make parties and go to the movies or disco clubs to have fun, relax and acquire new friends.
53997. CLOTHES ACCORDING TO THE SEASON 189 KB
  Now children, listen to me and guess: what season it is. 1. It often rains. The leaves are falling. They are red and brown. 2. It is hot and sunny. There are many flowers. They are red, yellow, pink and white. 3. It is warm. There are small green leaves on the trees. The birds are singing.
53998. Our Fafourite Holidays 81.5 KB
  Today we’re going to discuss very pleasant and interesting things. We’ll speak about holidays. We do love holidays, don’t we? By the end of the lesson you should be able to actively use the target vocabulary in your talk about some holidays’ celebrations.
53999. It Often Rains 58.5 KB
  Express your opinion in a chain. Mind the colour of your card. If you’ve got a green card you tell us about good points of the rainy weather; if your card is red you tell us about bad points of it.
54000. Science and Inventions “Scientists and their Contributions to the World Science” 134 KB
  Glad to hear that. The more so because I am going to give you some food for thought. As at the previous lessons we spoke about science and how it is important in our life, I think it won`t be difficult for you to understand and explain the meaning of the following words which were once said by a famous writer B.Shaw...
54001. Sports. Plural (irregular nouns) 223.5 KB
  On February we’ll have the world sport competitions which called the Olympic Games. There are winter and summer Olympic Games. The last summer Olympic Games were in Perkin in China. The next winter Olympic Games will take part in Vancouver in Canada. The team of our country will take part in these competitions.
54002. What’s the weather like? 148 KB
  Today we are going to speak about the weather, about your favourite seasons. You know, the weather is a safe topic for a conversation. That's why we should be good at it.
54003. Я сохраняю энергию 836.52 KB
  At the end of the lessons students are evaluated and given the hometask to create a group outcome project to be considered by school authority for further long-term implementment and for further its presentation as promotion of eco-consciousness among pupils of the gymnasium.