19047

Теория нестационарных возмущений. Переходы под влиянием возмущений, зависящих от времени

Лекция

Физика

Лекция 29 Теория нестационарных возмущений. Переходы под влиянием возмущений зависящих от времени Согласно постулатам квантовой механики волновая функция любой квантовой системы удовлетворяет временному уравнению Шредингера 1 где гамильтониан системы...

Русский

2013-07-11

777 KB

10 чел.

Лекция 29

Теория нестационарных возмущений. Переходы под влиянием возмущений, зависящих от времени

Согласно постулатам квантовой механики волновая функция любой квантовой системы удовлетворяет временному уравнению Шредингера

    (1)

где  - гамильтониан системы. Если гамильтониан не зависит явно от времени, то общее решение временного уравнения Шредингера (1) имеет вид

   (2)

где  и  - собственные функции и собственные значения оператора Гамильтона системы, а постоянные  определяются начальной волновой функцией :

    (3)

Так как решение (2) представляет собой разложение волновой функции системы по собственным функциям оператора Гамильтона, то вероятность обнаружить при измерении энергии  квантовой системы, что  (то есть вероятность обнаружить квантовую систему в -ом собственном состоянии гамильтониана) равна

   (4)

Из (4) следует, что если гамильтониан квантовой системы не зависит от времени, то вероятность обнаружить систему в том или ином собственном состоянии гамильтониана не зависит от времени. В частности, если в начальный момент времени квантовая система находилась в -ом собственном состоянии гамильтониана (в сумме (2) – одно слагаемое), то она будет находится в нем в любой момент времени (то есть в сумме (2) так и останется одно слагаемое).. Действительно, в этом случае ,  и, как это следует из (4), ,  в любой момент времени.

Совершенно другое положение имеет место в случае, когда гамильтониан явно зависит от времени. Такие случаи реализуются, например, когда стационарные квантовые системы подвергаются воздействию внешних возмущений, зависящих от времени. В этом случае функция вида (2) уже не является решением  временного уравнения Шредингера (1) ни при каком выборе постоянных . Поэтому коэффициенты разложения волновой функции  по любой полной системе функций и, в частности, по собственным функциям гамильтониана системы в какой-то момент времени

    (5)

являются функциями времени, квадраты модуля которых зависят от времени. Следовательно, вероятность обнаружить квантовую систему в том или ином квантовом состоянии зависит от времени. В частности, если в начальный момент времени квантовая система находилась в единственном состоянии , входящем в некоторую полную систему функций, не зависящих от времени, то в последующие моменты времени она может быть обнаружена в других состояниях , входящих в ту же систему. Таким образом, при воздействии на квантовую систему зависящих от времени возмущений она может совершать переходы из одних стационарных состояний в другие. При этом согласно основным принципам квантовой механики вероятность перехода из -го состояния в -ое к моменту времени  определяется квадратом модуля функции  в (5), (при условии, что ). Поэтому для вычисления вероятности перехода квантовой системы под действием зависящего от времени возмущения необходимо найти ее волновую функцию из уравнения (1) и разложить эту функцию по любой полной системе функций. Нахождение волновых функций квантовых систем из уравнения (1) в случае зависящего от времени гамильтониана, как правило, представляет собой сложную математическую проблему, поскольку в уравнении Шредингера не разделяются временная и пространственные переменные. В некоторых случаях возможны, однако, простые решения этой задачи.

Пусть зависимость гамильтониана от времени «слабая», то есть гамильтониан представим в виде

    (6)

где от времени зависит только малое возмущение . Основная идея решения уравнения Шредингера (1) в этом случае заключается в следующем. Разложим волновую функцию квантовой системы  по образующим полную систему собственным функциям  не зависящего от времени гамильтониана

    (7)

где  - некоторые неизвестные функции времени. Если выделить из них временные экспоненты , то можно функцию  представить в виде

    (8)

где в отличии от (2) коэффициенты  являются некоторыми функциями времени. Если возмущение мало, то коэффициенты  должны слабо зависеть от времени и их можно искать в виде ряда по степеням возмущения

   (9)

причем «нулевое» слагаемое  определяется волновой функцией системы до включения возмущения. Подставляя ряд (9) во временное уравнение (1) и собирая слагаемые одного порядка малости по , можно получить явные выражения для . Такой метод нахождения функций  называется теорией нестационарных возмущений (иногда ее называют также «нестационарной теорией возмущений»). Приведем здесь только окончательные формулы этого метода.

Пусть до момента включения возмущения при  квантовая система находилась в -ом стационарном состоянии гамильтониана . Тогда , а функции  в первом порядке по возмущению  определяются соотношениями

    (10)

    (11)

В формулах (10), (11) введены следующие обозначения, часть из которых уже использовалась ранее. Величины:

представляют собой матричные элементы оператора возмущения в базисе собственных функций , величина

имеющая размерность «1/время», называется частотой перехода между стационарными состояниями  и . Согласно основным принципам квантовой механики квадраты модулей коэффициентов  определяют вероятности перехода из начального состояния (-го собственного состояния гамильтониана ) в конечное (-е собственное состояние гамильтониана ) к моменту времени . Из формулы (10) следует, что вероятность перехода к моменту времени  определяется соотношением

   (12)

Если в некоторый момент времени  возмущение обращается в нуль (или, как часто, хотя и несколько жаргонно, говорят, «выключается»), то после этого система снова описывается волновой функцией вида (2), и, следовательно, в дальнейшем  вероятность обнаружить ее в том или ином состоянии не зависит от времени. Поэтому при

   (13)

Соотношение (8.13) позволяет вычислить вероятность перехода в первом порядке нестационарной теории возмущений. Условием применимости этого соотношения является условие малости суммарной вероятности перехода во все состояния  (или близкая к единице вероятность остаться в состоянии ). Подчеркнем, что в результате действия зависящих от времени возмущений квантовые системы, вообще говоря, оказываются в состояниях с неопределенными энергиями (их волновые функции представляют собой суперпозиции многих стационарных состояний) и, согласно принципам квантовой механики при измерениях могут быть обнаружены в различных состояниях. «На наблюдательном языке» это значит, что при одновременном измерении энергии тождественных квантовых систем, подвергающихся воздействию одинаковых возмущений, можно с определенными вероятностями получать различные значения.

Поскольку вероятность перехода – мала, то вычислять вероятность того, что система останется в начальном состоянии как:

     (14)

нельзя. Это связано с тем, что неучтенные в (14) слагаемые квадратичны по возмущению и при возведении (14) в квадрат дадут перекрестное слагаемое с единицей, также квадратичное по возмущению как и вероятность перехода (13) Поэтому вероятность того, что система останется  в исходном состоянии, следует вычислять из условия нормировки вероятностей всех возможных переходов, то есть как

  (15)

На следующей лекции мы рассмотрим примеры применения теории нестационарных возмущений для простейших квантовых систем.

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

24855. Причины изменения стоимости компании при разных типах слияний 29.5 KB
  вз дополняющие рессы одной компании не хватает опред ресовпроизводой мощности квал кадров уник продуктов нов патенты Поэтому дешевле объедся. В процессе слияния у новой компании открываются новые возможности и стть компании выше.
24856. Проблемы выбора рациональной структуры капитала 25 KB
  Оптимальная структура капитала подразумевает сочетание собственного и заемного капитала которое обеспечивает максимум рыночной оценки всего капитала Решая задачу формирования рациональной структуры средств предприятия помимо расчета количественных показателей необходимо учитывать качественные факторы в том числе: темпы наращивания оборота предприятия что требует дополнительного финансирования; стабильность развития: предприятие со стабильным оборотом может позволить себе больший удельный вес заемных средств в пассивах; структура...
24857. Рентабельность активов и собственного капитала: расчёт, анализ, оценка 28 KB
  Рента́бельность акти́вов относительный показатель эффективности деятельности частное от деления чистой прибыли полученной за период на общую величину активов организации за период. Показывает способность активов компании порождать прибыль. Рентабельность активов индикатор доходности и эффективности деятельности компании очищенный от влияния объема заемных средств.
24858. Реструктуризация как способ повышения рыночной стоимости компании 32 KB
  Концепция управления стоимостью предприятия ориентирует менеджмент на рост рыночной стоимости компании или рост стоимости имущественного комплекса создаваемого либо развиваемого в инновационных проектах. Различают четыре основных Стандарта оценки бизнеса: обоснованной рыночной стоимости; обоснованной стоимости; инвестиционной стоимости; внутренней фундаментальной стоимости. Стандарт обоснованной рыночной стоимости предполагает что оценка производится на основе информации об имуществе рыночной конъюнктуре и т.
24859. Роль ЗК в управлении компанией 27.5 KB
  полож момент: достаточ широк возм привлеч особ при высоком кредм рейитинге орган налич залога обеспеч роста фин потенциала при необход существенно расшир активов и возраст темпов роста V хоз деят. Урнь этих риско возрт прямопропорц росту удельн веса ЗК активы сформир за счеь ЗК генерир меньшую при прочих равн услях норму П кот сниж на сумму уплачив за кредит высокая зависим ЗК от колеб конъюкт рынка сложность процедуры привлечя особенно больших ров.
24860. Синергетический эффект как рез-т слияния и поглощения 30.5 KB
  Отделение подразумевает передачу части активов и обязательств новому предприятию с последующим предоставлением акционерам материнского предприятия акций нового предприятия пропорционально их доле собственности в первоначальном предприятии. Разбивка все активы реструктурируемого предприятия разделяются между отделяемыми предприятиями и материнское предприятие перестает существовать. В данном случае материнское предприятие учреждает новое предприятие и предает ему свои активы затем продает акции нового предприятия. Данный метод...
24861. Сравнительная характеристика базовых подходов к оценке стоимости бизнеса 30.5 KB
  Существуют 3 подхода к оценке стоимости любого объекта: 1 доходный который опирается на доходность потенциально возможную к получению в будущем; 2 затратный при котором стоимость рассматривается с точки зрения понесенных издержек; 3 сравнительный рыночный при котором возможно получение стоимости оцениваемого объекта через механизм сравнения данного объекта с объектами аналогами. Определение стоимости в данном случае осуществляется по фактически проведенным сделкам. В рамках доходного подхода существуют следующие методы определения...
24862. Сравнительная характеристика типов реструктуризации 25.5 KB
  Основной причиной почему компании стремятся к реструктуризации обычно является низкая эффективность их деятельности которая выражается в неудовлетворительных финансовых показателях в нехватке оборотных средств в высоком уровне дебиторской и кредиторской задолженности. В зависимости от целевых установок и стратегии компании определяется одна из форм реструктуризации: оперативная или стратегическая. Оперативная реструктуризация способствует улучшению результатов деятельности предприятия в краткосрочном периоде и создает предпосылки для...
24863. Средневзвешенная стоимость капитала 29.5 KB
  Если организация финансируется только за счет собственного капитала то стоимость капитала определяется как норма прибыли которую компания предлагает за свои ценные бумаги для поддержания их рыночной стоимости. В случае смешанного финансирования стоимость капитала рассчитывается как средневзвешенная величина составных частей капитала. Средневзвешенная стоимость капитала является основным показателем характеризующим стоимость капитала WACC = S Wj ∙ Kj где WACC средневзвешенная стоимость капитала Wj удельный вес капитала jного вида...