19048

Теория нестационарных возмущений. Примеры

Лекция

Физика

Лекция 30 Теория нестационарных возмущений. Примеры Рассмотрим примеры применения теории нестационарных возмущений для простейших квантовых систем. Пусть на гармонический осциллятор находящийся в основном состоянии начиная с момента времени действует малое в...

Русский

2013-07-11

838 KB

47 чел.

Лекция 30

Теория нестационарных возмущений. Примеры

Рассмотрим примеры применения теории нестационарных возмущений для простейших квантовых систем.

Пусть на гармонический осциллятор, находящийся в основном состоянии, начиная с момента времени  действует малое возмущение , где  и  - числа. В первом порядке нестационарной теории возмущений найдем вероятности переходов осциллятора в возбужденные состояния при  (поскольку при  возмущение стремится к нулю, начальная задача является стационарной, и ее постановка поэтому имеет смысл; в противном случае нельзя было бы говорить о начальном стационарном состоянии осциллятора).

В первом порядке теории возмущений вероятность перехода из основного состояния в -ое определяется выражением (13) из предыдущей лекции

    (1)

Для рассматриваемого в задаче оператора возмущения матричные элементы  имеют вид

   (2)

где  - волновые функции стационарных состояний осциллятора. Интеграл в формуле (2) с осцилляторными функциями был вычислен ранее. Он отличен от нуля только для состояния  и равен

    (3)

Поэтому в первом порядке теории возмущений отлична от нуля только вероятность перехода осциллятора в первое возбужденное состояние. Подставляя (2), (3) в формулу для вероятности перехода (1), получим

  (4)

где  - частота перехода из основного в первое возбужденное состояние осциллятора, равная осцилляторной частоте , так как энергии стационарных состояний осциллятора определяются соотношением . Вычисляя интеграл по времени (после выделения полного квадрата в показателе степени экспоненты он сводится к интегралу Пуассона), получим

     (5)

Исследуем теперь зависимость вероятности перехода (5) от времени включения-выключения возмущения, то есть рассмотрим выражение (5) при различных значениях параметра , который и определяет характерное время действия рассматриваемого возмущения. При этом будем считать, что , то есть «суммарная величина» возмущения не изменяется.

При  (в этом случае характерное время включения-выключения возмущения меньше периода колебаний осциллятора, то есть возмущение можно назвать «мгновенным», «внезапным») экспоненту можно заменить на единицу, и вероятность перехода определяется соотношением

      (6)

При этом вероятность перехода не зависит от параметра  при неизменной «величине» возмущения.

Если  (адиабатическое, «медленное», «плавное» включение-выключение возмущения) вероятность перехода осциллятора (6) экспоненциально убывает при увеличении параметра .

Условием применимости полученного результата является малость вероятности перехода по сравнению с единицей. Если при данных значениях параметров вычисленная согласно нестационарной теории возмущений вероятность перехода окажется сравнимой с единицей, теорией возмущений пользоваться нельзя, и задача должна решаться точно.

Как следует из проведенного рассмотрения, для анализа случаев, когда вероятность перехода между двумя состояниями равна нулю (в этом случае переход между этими состояниями не происходит, или, как говорят, запрещен), необходимо понять, для каких возможных конечных состояний матричные элементы оператора возмущения равны нулю.. Рассмотрим еще один пример.

На частицу, находящуюся в бесконечно глубокой потенциальной яме шириной , расположенной между точками  и , накладывают возмущение , где  - некоторая функция времени. В какие стационарные состояния возможны переходы из основного состояния. Ответ дать в первом порядке теории нестационарных возмущений?

Волновые функции состояний частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме с плоским дном определяются соотношением

     (7)

,  - размер ямы. Исследуем матричные элементы оператора возмущения между функцией основного и некоторого -го состояния. Если он равен нулю, переход из основного состояния в -ое запрещен. Имеем

  (8)

Используя далее известную тригонометрическую формулу

получим

 (9)

Таким образом, матричный элемент оператора возмущения между функцией основного и -го состояния сводится к двум интегралам от двух собственных функций гамильтониана частицы: -ой и пятой и -ой и третьей. В результате из ортогональности волновых функций стационарных состояний заключаем, что матричный элемент (8) будет отличен от нуля только в случае, когда  и . Другими словами в бесконечно глубокой яме из основного состояния под действием возмущения  частица может перейти из основного состояния только в четвертое возбужденное () и второе возбужденное () стационарные состояния. Переходы в другие состояния запрещены.

Отметим, что этот вывод получен в рамках первого порядка нестационарной теории возмущений для волновой функции. В следующих порядках он будет нарушаться. А это значит, что под действием рассматриваемого возмущения возможны и переходы в другие состояния, однако их вероятности (в случае малого возмущения) должны быть величинами более высокого порядка малости по возмущению. Тем не менее, один вывод относительно вероятностей переходов можно сделать, не опираясь на теорию возмущений. Поскольку и потенциальная энергия частицы и возмущение являются четными относительно центра ямы, то гамильтониан частицы коммутирует с оператором четности в любой момент времени. Это значит, что четность есть интеграл движения, и, следовательно, сохраняется средняя четность состояния частицы. А поскольку волновая функция частицы – четна в начальный момент времени, то она будет четной и в дальнейшем. Следовательно, ее разложение по волновым функциям стационарных состояний будет содержать только четные слагаемые, а, значит, возможны переходы только в стационарные состояния с четными относительно центра ямы волновыми функциями, которые отвечают квантовым числам , , ,  и т.д. Переходы в другие состояния запрещены точно. Если бы начальное состояние было бы нечетным относительно центра ямы, то переходы происходили бы только в нечетные состояния. Такого рода условия, которые строго запрещают те или иные квантовые переходы принято называть «правилами отбора».

Ответим еще на один вопрос, связанный с вероятностями переходов. Пусть на некоторую квантовую систему, находящуюся в -ом стационарном состоянии независящего от времени гамильтониана, накладывают малое, зависящее от времени возмущение . В состояния с какими энергиями  переходы системы будут более вероятными, если матричные элементы  оператора  не зависят от индекса ?

Оценим интеграл по времени

,       (10)

который и определяет вероятность перехода . Для оценки интеграла заметим, что в нем могут быть два разных временных масштаба: во-первых, это характерное время изменения возмущения  (обозначим его ), а во-вторых, характерное время изменения экспоненты , которое обратно пропорционально разности энергий

    (11)

Если выполнено неравенство  (такие возмущения называют внезапными), временная экспонента за время действия возмущения не успевает измениться, ее можно вынести за знак интеграла. А так как ее квадрат модуля равен единице, то для внезапных возмущений вероятность не зависит от разности энергий начального и конечного состояний.

Если выполнено обратное неравенство  (такие возмущения называют адиабатическими, медленными), временная экспонента в области интегрирования многократно осциллирует, и интеграл по времени становится малым.

Таким образом, переходы с заметными вероятностями происходят только в те состояния, для энергий которых выполнено неравенство

где  - характерное время изменения возмущения.

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

21574. Краткий словарь психологических терминов 86.51 KB
  telegraphic speech один из ранних этапов развития детской речи переходный к овладению речью взрослых Л. Специальная речевая работа с детьми правильная речь окружающих взрослых исключающая подстраивание под несовершенную речь ребенка служат средством профилактики а также коррекции если этот этап развития речи затянулся А. В случаях ее развития у близнецов рекомендуется кроме того их временное разъединение АНАЛЬНАЯ СТАДИЯ англ. Фрейда 2я стадия психосексуального развития в возрасте ок.
21575. Проблема культурного развития ребенка 20.61 KB
  Ключевые слова : Психологические процессы Память Примитивный ребенок Линии психологического развития Культурный прием поведения Стадия Для правильной постановки проблемы культурного развития ребенка имеет большое значение выделенное в последнее время понятие детской примитивности. Выделение детской примитивности как особой формы недоразвития может способствовать правильному пониманию культурного развития поведения. задержка в культурном развитии ребенка бывает связана большей частью с тем что ребенок по какимлибо внешним или...
21576. Фрейд З. Я И ОНО. Сознание и бессознательное 18.78 KB
  Я И ОНО. Напротив характерно то что состояние осознательности быстро проходит; осознанное сейчас представление в следующий момент делается неосознанным но при известных легко осуществимых условиях может снова вернуться в сознание в промежутках оно было бессознательным. К этому Я прикреплено сознание оно владеет подступами к разрядке раздражений во внешний мир. сознательным может стать только то что когдато уже было СЗ восприятием и что помимо чувств изнутри хочет стать сознательным; оно должно сделать попытку превратиться во...
21577. Развитие личности: психосексуальные стадии по З. Фрейду 21.44 KB
  Ключевые слова: Стадии: оральной анальной фаллической и генитальной. В акте сосания эротический компонент получавший удовлетворение при кормлении грудью становится самостоятельным отказываясь от постороннего объекта и замещая его какимнибудь органом собственного тела [7;163] В течение второй половины первого года жизни начинается вторая фаза оральной стадии – оральноагрессивная или оральносадистическая фаза. Фрейд утверждал что все будущие формы самоконтроля и саморегуляции берут начало в анальной стадии.
21578. КАРСТ И КАРСТОВЫЕ ФОРМЫ РЕЛЬЕФА 42 KB
  КАРСТ И КАРСТОВЫЕ ФОРМЫ РЕЛЬЕФА 6. Поверхностные карстовые формы 6. Подземные карстовые формы 6. КАРСТ И КАРСТОВЫЕ ФОРМЫ РЕЛЬЕФА Карст совокупность специфических форм рельефа и особенностей наземной и подземной гидрографии свойственной областям сложенным растворимыми горными породами каменная соль гипс известняк доломит и др.
21579. АБРАЗИЯ И АБРАЗИОННЫЕ ФОРМЫ РЕЛЬЕФА 174.5 KB
  Абразионный тип берегов 7. Аккумулятивные формы береговой зоны 7. Полезные ископаемые морских берегов 7. Различают три вида абразии: а механическая разрушение пород под действием ударов волн и бомбардировки обломочным материалом; б химическая разрушение коренных пород берегов и берегового склона в результате растворения их морской водой; в термическая разрушение берегов сложенных мёрзлыми породами или льдом в результате отщепляющего действия морской воды на лёд.
21580. ЛЕДНИКОВЫЙ РЕЛЬЕФ И ЛЕДНИКОВЫЕ ОТЛОЖЕНИЯ 94.5 KB
  Обломочный материал переносимый и откладываемый льдом образует морены. Различают: подвижные морены переносимые льдом; отложенные морены различные типы ледниковых отложений; морены как формы аккумулятивного ледникового рельефа. Основные морены состоят из самых разнообразных по размеру частиц от глинистых до валунных. С удалением от области ледниковой денудации в составе морены увеличивается количество пылеватого материала и заметно уменьшается величина валунов.
21581. РЕЛЬЕФ И ЭНДОГЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ 104.5 KB
  Планетарные и тектонические формы рельефа 9. Вулканические формы рельефа 9. Псевдовулканические формы рельефа 9. Планетарные и тектонические формы рельефа Наболее крупными величайшими формами рельефа планеты являются материковые выступы и океанические впадины.
21582. НЕОТЕКТОНИКА И РЕЛЬЕФ 52.5 KB
  Геоморфологические методы исследования новейших структур и движений 10. Геофизичекие аэрокосмические и другие методы изучения неотектоники 10. Геоморфологические методы исследования новейших структур и движений Выражение структур в облике земной поверхности обуславливается следующими факторами: спецификой геометрии структур размерности морфологии плановых очертаний; спецификой проявления экзогенных процессов изменениями морфологии и строения экзогенных форм рельефа под влиянием растущей структуры; составом свойствами и...