19048

Теория нестационарных возмущений. Примеры

Лекция

Физика

Лекция 30 Теория нестационарных возмущений. Примеры Рассмотрим примеры применения теории нестационарных возмущений для простейших квантовых систем. Пусть на гармонический осциллятор находящийся в основном состоянии начиная с момента времени действует малое в...

Русский

2013-07-11

838 KB

48 чел.

Лекция 30

Теория нестационарных возмущений. Примеры

Рассмотрим примеры применения теории нестационарных возмущений для простейших квантовых систем.

Пусть на гармонический осциллятор, находящийся в основном состоянии, начиная с момента времени  действует малое возмущение , где  и  - числа. В первом порядке нестационарной теории возмущений найдем вероятности переходов осциллятора в возбужденные состояния при  (поскольку при  возмущение стремится к нулю, начальная задача является стационарной, и ее постановка поэтому имеет смысл; в противном случае нельзя было бы говорить о начальном стационарном состоянии осциллятора).

В первом порядке теории возмущений вероятность перехода из основного состояния в -ое определяется выражением (13) из предыдущей лекции

    (1)

Для рассматриваемого в задаче оператора возмущения матричные элементы  имеют вид

   (2)

где  - волновые функции стационарных состояний осциллятора. Интеграл в формуле (2) с осцилляторными функциями был вычислен ранее. Он отличен от нуля только для состояния  и равен

    (3)

Поэтому в первом порядке теории возмущений отлична от нуля только вероятность перехода осциллятора в первое возбужденное состояние. Подставляя (2), (3) в формулу для вероятности перехода (1), получим

  (4)

где  - частота перехода из основного в первое возбужденное состояние осциллятора, равная осцилляторной частоте , так как энергии стационарных состояний осциллятора определяются соотношением . Вычисляя интеграл по времени (после выделения полного квадрата в показателе степени экспоненты он сводится к интегралу Пуассона), получим

     (5)

Исследуем теперь зависимость вероятности перехода (5) от времени включения-выключения возмущения, то есть рассмотрим выражение (5) при различных значениях параметра , который и определяет характерное время действия рассматриваемого возмущения. При этом будем считать, что , то есть «суммарная величина» возмущения не изменяется.

При  (в этом случае характерное время включения-выключения возмущения меньше периода колебаний осциллятора, то есть возмущение можно назвать «мгновенным», «внезапным») экспоненту можно заменить на единицу, и вероятность перехода определяется соотношением

      (6)

При этом вероятность перехода не зависит от параметра  при неизменной «величине» возмущения.

Если  (адиабатическое, «медленное», «плавное» включение-выключение возмущения) вероятность перехода осциллятора (6) экспоненциально убывает при увеличении параметра .

Условием применимости полученного результата является малость вероятности перехода по сравнению с единицей. Если при данных значениях параметров вычисленная согласно нестационарной теории возмущений вероятность перехода окажется сравнимой с единицей, теорией возмущений пользоваться нельзя, и задача должна решаться точно.

Как следует из проведенного рассмотрения, для анализа случаев, когда вероятность перехода между двумя состояниями равна нулю (в этом случае переход между этими состояниями не происходит, или, как говорят, запрещен), необходимо понять, для каких возможных конечных состояний матричные элементы оператора возмущения равны нулю.. Рассмотрим еще один пример.

На частицу, находящуюся в бесконечно глубокой потенциальной яме шириной , расположенной между точками  и , накладывают возмущение , где  - некоторая функция времени. В какие стационарные состояния возможны переходы из основного состояния. Ответ дать в первом порядке теории нестационарных возмущений?

Волновые функции состояний частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме с плоским дном определяются соотношением

     (7)

,  - размер ямы. Исследуем матричные элементы оператора возмущения между функцией основного и некоторого -го состояния. Если он равен нулю, переход из основного состояния в -ое запрещен. Имеем

  (8)

Используя далее известную тригонометрическую формулу

получим

 (9)

Таким образом, матричный элемент оператора возмущения между функцией основного и -го состояния сводится к двум интегралам от двух собственных функций гамильтониана частицы: -ой и пятой и -ой и третьей. В результате из ортогональности волновых функций стационарных состояний заключаем, что матричный элемент (8) будет отличен от нуля только в случае, когда  и . Другими словами в бесконечно глубокой яме из основного состояния под действием возмущения  частица может перейти из основного состояния только в четвертое возбужденное () и второе возбужденное () стационарные состояния. Переходы в другие состояния запрещены.

Отметим, что этот вывод получен в рамках первого порядка нестационарной теории возмущений для волновой функции. В следующих порядках он будет нарушаться. А это значит, что под действием рассматриваемого возмущения возможны и переходы в другие состояния, однако их вероятности (в случае малого возмущения) должны быть величинами более высокого порядка малости по возмущению. Тем не менее, один вывод относительно вероятностей переходов можно сделать, не опираясь на теорию возмущений. Поскольку и потенциальная энергия частицы и возмущение являются четными относительно центра ямы, то гамильтониан частицы коммутирует с оператором четности в любой момент времени. Это значит, что четность есть интеграл движения, и, следовательно, сохраняется средняя четность состояния частицы. А поскольку волновая функция частицы – четна в начальный момент времени, то она будет четной и в дальнейшем. Следовательно, ее разложение по волновым функциям стационарных состояний будет содержать только четные слагаемые, а, значит, возможны переходы только в стационарные состояния с четными относительно центра ямы волновыми функциями, которые отвечают квантовым числам , , ,  и т.д. Переходы в другие состояния запрещены точно. Если бы начальное состояние было бы нечетным относительно центра ямы, то переходы происходили бы только в нечетные состояния. Такого рода условия, которые строго запрещают те или иные квантовые переходы принято называть «правилами отбора».

Ответим еще на один вопрос, связанный с вероятностями переходов. Пусть на некоторую квантовую систему, находящуюся в -ом стационарном состоянии независящего от времени гамильтониана, накладывают малое, зависящее от времени возмущение . В состояния с какими энергиями  переходы системы будут более вероятными, если матричные элементы  оператора  не зависят от индекса ?

Оценим интеграл по времени

,       (10)

который и определяет вероятность перехода . Для оценки интеграла заметим, что в нем могут быть два разных временных масштаба: во-первых, это характерное время изменения возмущения  (обозначим его ), а во-вторых, характерное время изменения экспоненты , которое обратно пропорционально разности энергий

    (11)

Если выполнено неравенство  (такие возмущения называют внезапными), временная экспонента за время действия возмущения не успевает измениться, ее можно вынести за знак интеграла. А так как ее квадрат модуля равен единице, то для внезапных возмущений вероятность не зависит от разности энергий начального и конечного состояний.

Если выполнено обратное неравенство  (такие возмущения называют адиабатическими, медленными), временная экспонента в области интегрирования многократно осциллирует, и интеграл по времени становится малым.

Таким образом, переходы с заметными вероятностями происходят только в те состояния, для энергий которых выполнено неравенство

где  - характерное время изменения возмущения.

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

43408. Моделирование технологии получения отливки «ОТЛИВКА» из сплава марки СПЛАВ методом литья в МЕТОД ЛИТЬЯ в системе компьютерного моделирования литейных процессов СКМ 578 KB
  Произвести компьютерное моделирование заполнения и затвердевания отливки по заданному технологическому процессу. Провести анализ полученных результатов и дать рекомендации по улучшению предложенного технологического решения. Обозначить вероятные проблемы и возможные дефекты литья, выявленные в ходе анализа. Применить для анализа СКМ ЛП LVMFlow.
43409. Проект мероприятия по озеленению и благоустройству территории сквера “Победа” 263 KB
  Летнее повышение температуры вызывается тропическим воздухом, проникающим из Средиземноморья. Юго-восточные ветры приносят из пустынь Средней Азии засуху. Воздушные потоки с Атлантики приносят пасмурную погоду, снегопады, а летом – облачность и дожди.
43410. Разработка и исследование математическую модель функционирования бытового электрического водонагревателя 621.5 KB
  Интегрированная среда разработки Trce ModeОбщие сведения TRCE MODE состоит из инструментальной системы интегрированной среды разработки и из набора исполнительных модулей. С помощью исполнительных модулей TRCE MODE проект АСУ запускается на исполнение в реальном времени. TRCE MODE позволяет создавать проект сразу для нескольких исполнительных модулей узлов проекта.
43411. Усилитель мощности звуковой частоты 296.5 KB
  Очень широкое применение в современной технике имеют усилители у которых как управляющая так и управляемая энергия представляет собой электрическую энергию. Такие усилители называют усилителями электрических сигналов. Усилители электрических сигналов далее просто усилители применяются во многих областях современной науки и техники. Особенно широкое применение усилители имеют в радиосвязи и радиовещании радиолокации радионавигации радиопеленгации телевидении звуковом кино дальней проводной связи технике радиоизмерений где они...
43412. УСИЛИТЕЛЬ МОЩНОСТИ СИГНАЛОВ ЗВУКОВОЙ ЧАСТОТЫ 551 KB
  Выходная группа каскадов –двухтактный эмиттерный повторитель на составных квазикомплементарных транзисторах работающих в режиме АВ. наметились два направления в конструировании любительских УМСЗЧ – проектирование ультролинейных усилителей имеющих коэффициент гармоник порядка тысячных долей процента но весьма сложных в регулировке и налаживании и создание сравнительно простых усилительных устройств обычно на одном – двух операционных усилителях и двух – четырёх транзисторах легко повторяемых но не позволяющих получить требуемое для...
43413. Расчет и конструирование плиты и главной балки монолитного ребристого перекрытия 923.5 KB
  Здания по крайним осям 253x23 м причем расстояние между продольными осями здания l1=84м – что является пролетом главной балки lГБ=84м а между поперечными l2=46м – что является пролетом второстепенной балки lВБ=46м. Арматура рабочая продольная: для плиты класса ВрI арматурная проволока 35 мм и АIII для главной балки класса АIII в Арматура рабочая поперечная для главной балки класса АIII г Арматура монтажная: для плиты класса ВрI; для главной балки АIII. Компоновка перекрытия Вдоль поперечных осей здания...
43414. Расчет несущих свойств самолёта 659 KB
  Расчет несущих свойств самолёта Cyα= α для малых чисел М полёта с убранными средствами механизации и шасси на высоте полёта Н=0; 2. Расчет поляры самолёта Cyα=Cxα для малых чисел М полёта с убранными средствами механизации и шасси на высоте полёта Н=0; 3. Определение коэффициента лобового сопротивления самолёта Схα0 при Cyα=0 для малых чисел М полёта на высоте Н=0; 4. Оценка режимов полета самолёта на расчетной скорости и высоте полёта крейсерский режим полёта; 5.
43415. Гигиена (hygieinos) – область медицинской науки 272.37 KB
  Гигиена (hygieinos) – область медицинской науки о сохранении и улучшении здоровья путём проведения предупредительных мероприятий. Она изучает влияние условий жизни и труда на здоровье человека и разрабатывает мероприятия по профилактике заболеваний. На организм человека могут воздействовать различные факторы внешней среды
43416. Системи криптографічного захисту інформації 430 KB
  К алгоритмам шифрования предъявляются определенные требования: высокий уровень защиты данных против дешифрования и возможной модификации; защищенность информации основанная только на знании ключа и не зависящая от того известен алгоритм или нет правило Кирхгофа; малое изменение исходного текста или ключа приводящее к значительному изменению шифрованного текста эффект обвала; область значений ключа исключающая возможность дешифрования данных путем перебора значений ключа; экономичность реализации алгоритма при достаточном...