19049

Адиабатические и внезапные возмущения. Переходы под действием внезапных возмущений

Лекция

Физика

Лекция 31 Адиабатические и внезапные возмущения. Переходы под действием внезапных возмущений Исследуем общую формулу для вероятностей переходов на предмет зависимости вероятности перехода 1 от времени действия возмущения некоторые элементы такого анали

Русский

2013-07-11

1.15 MB

17 чел.

Лекция 31

Адиабатические и внезапные возмущения. Переходы под действием внезапных возмущений

Исследуем общую формулу для вероятностей переходов на предмет зависимости вероятности перехода

    (1)

от времени действия возмущения (некоторые элементы такого анализа для конкретного примера уже были продемонстрированы в конце предыдущей лекции). В формуле (1), которая представляет собой первый порядок теории нестационарных возмущений, величины  есть матричные элементы оператора возмущения в базисе собственных функций стационарного гамильтониана

   (2)

величины  представляют собой частоту квантового перехода между стационарными состояниями  и :

     (3)

Фактор  определяется собственными энергиями или собственными частотами исследуемой квантовой системы, а возмущение  связано с внешним воздействием на систему. Поэтому зависимости этих величин от времени, вообще говоря, могут быть абсолютно разными по характерным масштабам времени изменения. Пусть  (и, следовательно, ) имеет характерный масштаб изменения, равный  Характерный масштаб изменения экспоненты  равен , что по порядку величины совпадает с характерным периодом движения рассматриваемой квантовой системы.

1. Пусть выполнено условие

(4)

(такие возмущения принято называть адиабатическими). Очевидно, вероятности квантовых переходов в этом случае будут малы. Это связано с тем, что при плавной функции  под интегралом в формуле (1) комплексная экспонента  успевает много-много раз проосциллировать, дав одинаковые по модулю, но положительные и отрицательные вклады в интеграл (1), который в этом случае будет мал. Поэтому в случае адиабатических возмущений переходы практически не происходят. Тем не менее, если исходное состояние вырождено с каким-то другим стационарным состоянием гамильтониана, то система может перейти в такое состояние и под действием адиабатических возмущений.

Таким образом, из формулы для вероятностей переходов следует, что вероятности переходов с очень большими изменениями энергии подавлены и происходят только в те состояния, для энергий которых выполнено неравенство

     (5)

Другими словами, разность энергии стационарных состояний, между которыми возможен переход, не должна превышать величины .

2. Внезапные возмущения.

  (6)

В этом случае функция  не успевает измениться в той характерной области, в которой «набирается» интеграл. Поэтому эта функция является, фактически, множителем и может быть вынесена из под интеграла. Его модуль равен единице, поэтому формула для вероятности перехода в этом случае дает

  (7)

Обратим внимание на то, что в случае внезапных возмущений вероятность переходя не зависит от разности энергий состояний.

Еще один случай, когда возможно простое решение нестационарной задачи (кроме случая малых возмущений) – это случай внезапно включающихся возмущений, то есть возмущений, которые включаются за очень короткое время и далее от времени не зависят. Пусть до момента времени  квантовая система описывалась независящим от времени гамильтонианом  и находилась в -ом стационарном состоянии  этого гамильтониана, то есть до этого момента времени волновая функция системы определялась одним слагаемым общего решения временного уравнения Шредингера

   (8)

Далее, пусть в момент времени  мгновенно включается возмущение  (необязательно малое), которое само от времени не зависит. Таким образом, после включения возмущения волновая функция  удовлетворяет уравнению Шредингера с гамильтонианом

   (9)

Так как гамильтониан  от времени также не зависит, общее решение уравнения Шредингера (9) имеет вид

  (10)

но в формулу (10) входят собственные функции  и собственные значения  гамильтониана , а коэффициенты  определяют согласно постулатам квантовой механики вероятность обнаружить квантовую систему в -ом стационарном состоянии гамильтониана , и, следовательно, определяют вероятность перехода из -го собственного состояния гамильтониана  в -ое собственное состояние гамильтониана . Так как возмущение включается мгновенно, то за время включения волновая функция системы не успевает измениться (это связано с тем, что временное уравнение Шредингера – уравнение первого порядка по времени), и, следовательно, функция  является начальным условием для решения (10). Поэтому в момент времени  справедливо равенство для волновой функции квантовой системы

    (11)

и, следовательно,

     (12)

Умножая правую и левую часть равенство (12) на функцию , интегрируя и пользуясь ортонормированностью функций , найдем вероятности переходов при мгновенном включении возмущения

    (13)

Из этого соотношения следует, что вероятность перехода под действием внезапных возмущений определяется интегралами перекрытия собственных функций возмущенного и невозмущенного гамильтонианов. Подчеркнем, что соотношение (13) позволяет находить вероятность перехода из стационарного состояния одного гамильтониана (, который описывает квантовую систему до включения возмущения) в стационарные состояния другого - , который описывает квантовую систему после включения возмущения. Отметим также, что в отличие от формул нестационарной теории возмущений оператор  вошел в конечное выражение неявно, через собственные функции оператора . Кроме того, поскольку при выводе формулы (13) не использовалась малость возмущения (использовалась только мгновенность его включения), вероятности переходов, вычисленные согласно формуле (13) могут быть сравнимыми с единицей.

Рассмотрим пример применения формулы (13).

Ядро атома трития , находившегося в основном состоянии испытывает -распад, в результате которого один из нейтронов, входящих в состав ядра, превращается в протон, электрон и электронное антинейтрино. Две последние частицы вылетают из ядра. Поэтому в результате -распада количество протонов в ядре увеличивается на единицу, а количество нейтронов уменьшается. Остаточным ядром является . Считая, что -распад происходит мгновенно и вылетевший электрон не взаимодействует с оставшимся атомным электроном, найти вероятность того, что последний будет находится на втором энергетическом уровне водородоподобного иона .

При -распаде ядра его заряд увеличивается на единицу, что эквивалентно мгновенному включению возмущения . Так как по условию задачи распад происходит за бесконечно малое время, для вычисления вероятности перехода можно воспользоваться формулой (13)

    (14)

где в качестве  следует взять волновую функцию электрона в основном состоянии атома трития (заряд ядра которого равен ), в качестве , волновую функцию электрона, находящегося на втором энергетическом уровне водородоподобного иона  (заряд ядра ). Второй энергетический уровень водородоподобного иона является четырехкратно вырожденным, поскольку ему отвечают одна волновая функция с моментом, равным нулю (-состояние), и три волновых функции -состояний, отличающихся магнитным квантовым числом .

Очевидно, вероятности перехода в -состояния равны нулю, так как интеграл (14) для таких переходов равен нулю из-за ортогональности  сферических функций. Поэтому в условиях данной задачи возможен переход только в -состояние. Вероятность перехода электрона с первого энергетического уровня атома трития на второй энергетический уровень иона  определяется интегралом перекрытия волновой функции первого s-состояния в атоме трития и второго s-состояния в ионе . Эти волновые функции имеют вид:

    (15)

  (16)

Вычисление интеграла (14) с функциями (15), (16) дает

     (17)

В заключение отметим, что при вычислении вероятности перехода предполагалось, что вылетевший из ядра электрон не взаимодействует с атомным электроном, а действующее на него возмущение связано только с изменением заряда ядра. Это приближение является хорошим, если энергия вылетевшего из ядра электрона много больше энергии атомного электрона. Для рассмотренного процесса отношение этих энергий , поэтому использованное приближение достаточно хорошо работает.

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

23459. ТАТАРСКИЙ ЯЗЫК: ИЗУЧИТЬ ЛЕГКО! 866.5 KB
  Несколько слов о терминологии. В настоящей книге используется немало словтерминов лингвистического характера как падежные формы залог категория притяжательности которые многим напомнят уроки русского языка в школе. От терминов к сожалению не убежать если хочешь быть однозначным в своих пояснениях. И вместо того чтобы сказать: моя книга – минем китабым если дословно: минем китап – но это стилистическая ошибка можно сказать китап минеке или просто добавить –мын м ым в конце в виде суффикса т.
23460. ТАТАРСКО-РУССКИЙ СЛОВАРЬ НОВЫХ СЛОВ И НОВЫХ 1.21 MB
  средства банка аграрчы аграр мґсьґлґлґр белгече аграрник агрегатчы агрегатлар ыючы кйлґче ремонтлаучы эшче агрегатчик агреман бер ил хїкємґтенеј икенче дипломатия вґкилен кабул итґргґ ризалык белдерєе агреман агрикультура агрикультура агнийога йоганыј индус фґлсґфи системасыныј бер тїре агнийога агробизнес авыл хуќалыгы сґнґгате агробизнес агробиоценоз кеше хезмґтлеге нигезендґ барлыкка килгґн семлеклґр ґнлеклґр ыелмасы агробиоценоз агролицей агролицей агрология авыл хуќалыгы эшлґренґ бґйле рґвештґ туфрак єзгґрешлґрен...
23461. Грамматика татарского языка 255 KB
  Так в татарском языке имеются индийские китайские финноугорские заимствования относящиеся к эпохе общетюркского состояния. После Октябрьской революции заимствования стали проникать в татарский язык через письменный язык и поэтому пишутся и произносятся как и в русском языке: армия балет герой завод кинотеатр колхоз консерватор начальник председатель революция резерв секретарь совет совхоз авторучка ваучер чек акция рейтинг и т. Через русский язык заимствуются и слова из западноевропейских языков в тех же значениях и...
23462. Просто и легко о татарском языке. Что такое грамматика 362.5 KB
  Просто и легко о татарском языке Что такое грамматика Грамматика – это правила. Если у человека плохо с грамматикой то он путает род имен существительных и выстраивает слова не связывая их по принятым в языке законам: моя твоя не понимай – яркий пример того что человек не владеет русской грамматикой. Но он говорит на этом языке а ты не можешь. Итак: Самое главное в татарском языке Итак в чем же особенности грамматики татарского языка Чем он отличается от русского в своих правилах.
23463. Татарский язык на рубеже веков 36 KB
  АН РТ доктор филологических наук Казань Как известно татарский язык наряду с английским китайским индийским испанским немецким и другими языками был признан ЮНЕСКО одним 14 развитых и широко употребляемых языков мира. Будучи близок к тюркским языкам с древней письменностью он обнаруживает сходство также и с тюркскими языками Алтая. А ведь на тюркских языках разговаривают судя по некоторым данным более 250 миллионов человек В формировании татарского народа приняли участие несколько этнических компонентов групп. Поэтому...
23464. Русско-литовско-польский разговорник 1.77 MB
  Жегнайче Простите Atleiskite атляйскитя Proszę mi wybaczyć Проше ми выбачычь Извините Atsipraau атсипрашау Przepraszam Пшепрашам Спасибо Ačiu ачу Dzieńkuję Дзенькуе Пожалуйста Praom прашом Proszę Проше Помогите пожалуйста. прашом падети Proszę o pomóc. Проше о помуц Передайте пожалуйста Praom perduoti прашом пярдуоти Proszę przekazać Проше пшеказачь Скажите пожалуйста Praom pasakyti прашом пасакити Proszę mi powiedzieć Проше ми поведзечь Будьте здоровы. Сакикитя лечау Proszę mówić wolniej.
23465. Личные местоимения 199.5 KB
  Слоговое приращение augmentum syllabicum представляет собой гласный ἐ10 который помещается перед основой начинающейся с согласного звука: παιδεύω я воспитываю – impf. Глаголы начинающиеся с ρ при добавлении приращения удваивают этот согласный: ῥίπτω я бросаю – impf. Девять глаголов принимают приращение εἰ вместо ἐ: ἐθίζω я приучаю – impf. εἴθιζον я приучал ἕλκω я тащу – impf.
23466. Возвратные местоимения 184 KB
  свой4 были заменены в аттическом диалекте родительным падежом5 личных местоимений αὐτοῦ αὐτῆς αὐτῶν занимающим позицию либо позади либо реже впереди существительного или родительным падежом возвратных местоимений ἑαυτοῦ ἑαυτῆς ἑαυτῶν который всегда помещается между артиклем и существительным: ὁ υἱὸς αὐτοῦ или реже αὐτοῦ ὁ υἱός но ὁ ἑαυτοῦ υἱός. Точно так же вместо притяжательных местоимений 1го и 2го лица ἐμός σός ἡμέτερος ὑμέτερος может ставиться родительный падеж либо соответствующих им личных местоимений – энклитических...
23467. Средний и страдательный залоги 256.5 KB
  1 действительный залог activum средний залог medium страдательный залог passivum αἱρέω я беру захватываю αἱρέομαι я беру для себя выбираю αἱρέομαι меня берут захватывают προσάγω я привожу коголибо προσάγομαι я привожу к себе привлекаю к себе склоняю на свою сторону коголибо προσάγομαι меня приводят к комулибо λούω я мою купаю λούομαι я моюсь купаюсь λούομαι меня моют купают δικάζω я сужу творю суд как судья δικάζομαι я сужусь веду тяжбу как сторона в судебном процессе δικάζομαι надо мною творят суд...