19050

Переходы под действием периодических возмущений. Резонансное приближение. Переходы в непрерывный спектр

Лекция

Физика

Лекция 32 Переходы под действием периодических возмущений. Резонансное приближение. Переходы в непрерывный спектр Рассмотрим теперь случай возмущений зависящих от времени периодически. Пусть на частицу находящуюся в стационарном состоянии с энергией действует

Русский

2013-07-11

1.21 MB

40 чел.

Лекция 32

Переходы под действием периодических возмущений. Резонансное приближение. Переходы в непрерывный спектр

Рассмотрим теперь случай возмущений, зависящих от времени периодически. Пусть на частицу, находящуюся в стационарном состоянии с энергией , действует малое периодическое возмущение

      (1)

где  - частота возмущения, причем возмущение действует в течение длительного времени , так что  (в противном случае бессмысленно говорить о периодичности возмущения, даже если оно описывается формулой (1). Докажем, что в первом порядке теории возмущений переходы с заметной вероятностью происходят только в такие состояния , энергия которых отличаются от энергии начального состояния на величину : .

Исходим из формулы теории нестационарных возмущений

   (2)

где  - матричный элемент оператора . Интеграл по времени вычисляется элементарно:

   (3)

Рассмотрим зависимость вероятности перехода (2), (3) от частоты возмущения  для больших значений времени действия возмущения . Как будет показано ниже, первое слагаемое в формуле (3) как функция частоты возмущения имеет узкий максимум при частоте , второе - при частоте . Или, другими словами, под действием периодического возмущения с частотой  в квантовой системе происходят переходы только в состояния  с энергией . Поэтому при анализе зависимости вероятности (2), (3) от частоты возмущения  достаточно рассмотреть только значения  и и ограничится в первом случае только первым слагаемым формулы (3), во втором - вторым. Отметим, что так как , первый случай отвечает переходам  в состояния  с энергией , большей энергии , второй – с меньшей. Итак, при  из (2), (3) имеем

 (4)

Рассмотрим зависимость вероятности перехода  (4) от частоты возмущения при больших значениях . Если , то  в (4) можно разложить в ряд и

     (5)

Если же , то  в (5) может для разных  принимать все значения от нуля до единицы и, следовательно,

   (6)

Таким образом, если частота возмущения  лежит в узком интервале частот  вблизи частоты, равной , то вероятность перехода , существенно превосходит вероятность этого перехода, происходящего под действием возмущения с частотой, вне этого интервала (причем этот интервал тем уже, чем больше время действия возмущения). Другими словами, при фиксированной частоте возмущения  квантовая система с подавляющей вероятностью совершает переходы только в такие состояния , энергии которых определяется соотношением , где  - энергия начального состояния. Аналогичное рассмотрение второго слагаемого в (3) приводит к возможности перехода в состояния  с энергиями . Переходы в состояния с другими энергиями под действием периодических возмущений маловероятны. При этом, если выполняются строгие равенства , вероятность перехода  при достаточно больших  может стать большой, и для ее вычисления теория возмущений может оказаться неприменимой.

В этом случае используют другое приближение, которое называют резонансным. Основная идея его заключается в том, что если частота возмущения близка к частоте перехода между двумя состояниями, то с подавляющей вероятностью переходы будут происходить только в одно состояние, а всеми остальными слагаемыми в разложении волновой функции системы по волновым функциям стационарных состояний можно пренебречь.

Итак, пусть

 

и  близко к  ( - частота перехода между двумя состояниями  и  в системе); пусть (для определенности) - чуть больше:

 

Величину  называют «отстройкой».

Если нет резонанса, используем теорию возмущений. Для состояний  и  справедливо стационарное уравнение Шредингера:

  (7)

(мы выбрали начало отсчета энергий посередине между энергиями состояний  и ). Будем искать решения уравнения

  (8)

в виде

 

(в этом и состоит резонансное приближение). Подставляя это выражение в уравнение (8) и оставляя только главные члены (зависимость которых от времени определяется малой частотой ), получим

 

 (9)

Делаем подстановку , получаем

 (10)

Исключаем из этих уравнений , получим:

  (11)

В качестве линейно независимых решений этих уравнений выбираем

 

 (12)

где  постоянные, и введены обозначения

 (13)

Таким образом, под влиянием возмущения функции  и  переходят в функции  с коэффициентами (12), (13). Из этих формул следует, что если в начальный момент система находилась в состоянии , то коэффициент при  в последующем равен

    (14)

Из формулы (14) следует, что система периодически (с периодом ) переходит из одного состояния в другое и обратно. Частота  называется частотой Раби.

Рассмотрим теперь переходы под действием периодического возмущения из стационарных состояний дискретного в состояния непрерывного спектра (например, ионизация атома, когда электрон из связанного состояния переходит в непрерывный спектр). Возмущение запишем как (здесь явно учтена эрмитовость возмущения)

  (15)

Так как спектр непрерывен, то всегда найдется энергия, в точности удовлетворяющая условию

  (16)

и, следовательно, переход всегда будет. В выражении для  оставляем только:

  (17)

Вероятность перехода за время  равна:

  (18)

Вводим . Тогда:

  (19)

Мы интересуемся вероятностью ионизации за время, много большее периода собственных колебаний системы. Рассмотрим . 

  (20)

Поэтому

  (21)

Вероятность перехода в единицу времени есть

  (22)

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

27145. Управление жизненным циклом информации 150.37 KB
  Например в заказе на покупку ценность информации меняется с момента размещения заказа до истечения срока гарантии. В момент получения заказа на покупку и его обработки для доставки товара значимость информации максимальна. Управление жизненным циклом информации Information Lifecycle Management ILM Проблемы клиента В настоящее время расходы на хранение составляют более 15 ИТбюджетов Ежегодно объемы данных растут более чем на 50 В большинстве случаев дисковые устройства хранения используются менее чем на 50 40 из них...
27146. Классификация данных: структурированные, неструктурированные, детализированные, агрегированные, метаданные 30.27 KB
  Метаданные должны содержать описание структуры хранилища и структуры данных в том числе импортируемых их внешних источников. В хранилищах данных метаданные нужны для извлечения преобразования и загрузки данных из разных источников а также для последующего использования и интерпретации хранимых данных. Технически метаданные содержат данные для обеспечения работы самого хранилища статистика загрузки описание модели данных Классификация данных в зависимости от способа управления и хранения: Структурированные 20 Неструктурированные 80.
27147. Комбинация многомерного и реляционного подхода: киоски (витрины) данных 39.38 KB
  Преимущества реляционных ХД: неограниченный объем хранения данных т. РСУБД лежат в основе большинства OLTP систем а те в свою очередь являются основным источником данных для хранилищ то упрощена загрузка данных в ХД OLTP Online Transaction Processing транзакционная система обработка транзакций в реальном времени. OLTPсистемы предназначены для ввода структурированного хранения и обработки информации операций документов в режиме реального времени при добавлении новых изменений не нужно выполнять сложную физическую реорганизацию...
27148. Многомерные хранилища данных 69.22 KB
  Сущность многомерного представления данных состоит в следующем. Например для описания процесса продаж могут понадобиться сведения о наименованиях товаров или их групп о поставщике и покупателе о городе где производились продажи а также о ценах количествах проданных товаров и общих суммах. Представление данных в виде многомерных кубов более наглядно чем совокупность нормализованных таблиц реляционной модели структуру которой представляет только администратор БД.
27149. Реляционные ХД 11.22 KB
  Данные хранятся в реляционных таблицах но образуют специальные структуры эмулирующие многомерное представление данных. Многомерные ХД реализуют многомерное представление данных на физическом уровне в виде многомерных кубов. Гибридные ХД сочетают в себе свойства как реляционной так и многомерной модели данных. Виртуальные ХД не являются хранилищами данных в привычном понимании.
27150. ВВЕДЕНИЕ В OLAP 336.95 KB
  И если количество аналитиков в десятки раз меньше числа кассиров то объемы данных необходимых для анализа превышают размер средней транзакции на несколько порядков величины. Технология OLAP Online Analytical Processing представляет собой методику оперативного извлечения нужной информации из больших массивов данных и формирования соответствующих отчетов. Однако вскоре выяснилось что OLAPсистемы очень плохо справляются с ролью посредника между различными транзакционными системами источниками данных и клиентскими приложениями.
27151. Информационные системы 10.52 KB
  ETL получает несогласованные данные которые надо преобразовать к единому формату. ETL загружает данные в центральное хранилище. SRD должно доставить данные в различные витрины в соответствии с правами доступа графиком доставки и требованиями к составу информации.
27152. Модели данных, используемые при построении Хранилищ Данных 52.16 KB
  Принципы построения систем ориентированных на анализ данных Модели данных используемые при построении Хранилищ Данных В настоящее время наибольшее распространение получили три вида моделей хранилищ данных: многомерная реляционная и комбинированная. Измерения играют роль индексов используемых для идентификации конкретных значений данных. Вращение изменение порядка измерений; обычно для двухмерных сечений остальные фиксированные для приведения данных к форме удобной для восприятия; Свертка замена одного из значений измерения другим ...
27153. Формат BluRay 2.09 MB
  Приведены основные технические характеристики BDдиска. Это и гибридный лазер способный генерировать излучение трех длин волн: 780 нм 650 нм и 405 нм объектив с изменяемой числовой апертурой SONY голографический оптический элемент LG дифракционный оптический элемент Matsushita высокопрочное защитное покрытие поверхности диска DURABIS2 TDK регистрирующие материалы для записываемых дисков органический Fuji и неорганический TDK новейшие технологии мастеринга новых дисков с использованием термохимической реакции в материале...