19050

Переходы под действием периодических возмущений. Резонансное приближение. Переходы в непрерывный спектр

Лекция

Физика

Лекция 32 Переходы под действием периодических возмущений. Резонансное приближение. Переходы в непрерывный спектр Рассмотрим теперь случай возмущений зависящих от времени периодически. Пусть на частицу находящуюся в стационарном состоянии с энергией действует

Русский

2013-07-11

1.21 MB

40 чел.

Лекция 32

Переходы под действием периодических возмущений. Резонансное приближение. Переходы в непрерывный спектр

Рассмотрим теперь случай возмущений, зависящих от времени периодически. Пусть на частицу, находящуюся в стационарном состоянии с энергией , действует малое периодическое возмущение

      (1)

где  - частота возмущения, причем возмущение действует в течение длительного времени , так что  (в противном случае бессмысленно говорить о периодичности возмущения, даже если оно описывается формулой (1). Докажем, что в первом порядке теории возмущений переходы с заметной вероятностью происходят только в такие состояния , энергия которых отличаются от энергии начального состояния на величину : .

Исходим из формулы теории нестационарных возмущений

   (2)

где  - матричный элемент оператора . Интеграл по времени вычисляется элементарно:

   (3)

Рассмотрим зависимость вероятности перехода (2), (3) от частоты возмущения  для больших значений времени действия возмущения . Как будет показано ниже, первое слагаемое в формуле (3) как функция частоты возмущения имеет узкий максимум при частоте , второе - при частоте . Или, другими словами, под действием периодического возмущения с частотой  в квантовой системе происходят переходы только в состояния  с энергией . Поэтому при анализе зависимости вероятности (2), (3) от частоты возмущения  достаточно рассмотреть только значения  и и ограничится в первом случае только первым слагаемым формулы (3), во втором - вторым. Отметим, что так как , первый случай отвечает переходам  в состояния  с энергией , большей энергии , второй – с меньшей. Итак, при  из (2), (3) имеем

 (4)

Рассмотрим зависимость вероятности перехода  (4) от частоты возмущения при больших значениях . Если , то  в (4) можно разложить в ряд и

     (5)

Если же , то  в (5) может для разных  принимать все значения от нуля до единицы и, следовательно,

   (6)

Таким образом, если частота возмущения  лежит в узком интервале частот  вблизи частоты, равной , то вероятность перехода , существенно превосходит вероятность этого перехода, происходящего под действием возмущения с частотой, вне этого интервала (причем этот интервал тем уже, чем больше время действия возмущения). Другими словами, при фиксированной частоте возмущения  квантовая система с подавляющей вероятностью совершает переходы только в такие состояния , энергии которых определяется соотношением , где  - энергия начального состояния. Аналогичное рассмотрение второго слагаемого в (3) приводит к возможности перехода в состояния  с энергиями . Переходы в состояния с другими энергиями под действием периодических возмущений маловероятны. При этом, если выполняются строгие равенства , вероятность перехода  при достаточно больших  может стать большой, и для ее вычисления теория возмущений может оказаться неприменимой.

В этом случае используют другое приближение, которое называют резонансным. Основная идея его заключается в том, что если частота возмущения близка к частоте перехода между двумя состояниями, то с подавляющей вероятностью переходы будут происходить только в одно состояние, а всеми остальными слагаемыми в разложении волновой функции системы по волновым функциям стационарных состояний можно пренебречь.

Итак, пусть

 

и  близко к  ( - частота перехода между двумя состояниями  и  в системе); пусть (для определенности) - чуть больше:

 

Величину  называют «отстройкой».

Если нет резонанса, используем теорию возмущений. Для состояний  и  справедливо стационарное уравнение Шредингера:

  (7)

(мы выбрали начало отсчета энергий посередине между энергиями состояний  и ). Будем искать решения уравнения

  (8)

в виде

 

(в этом и состоит резонансное приближение). Подставляя это выражение в уравнение (8) и оставляя только главные члены (зависимость которых от времени определяется малой частотой ), получим

 

 (9)

Делаем подстановку , получаем

 (10)

Исключаем из этих уравнений , получим:

  (11)

В качестве линейно независимых решений этих уравнений выбираем

 

 (12)

где  постоянные, и введены обозначения

 (13)

Таким образом, под влиянием возмущения функции  и  переходят в функции  с коэффициентами (12), (13). Из этих формул следует, что если в начальный момент система находилась в состоянии , то коэффициент при  в последующем равен

    (14)

Из формулы (14) следует, что система периодически (с периодом ) переходит из одного состояния в другое и обратно. Частота  называется частотой Раби.

Рассмотрим теперь переходы под действием периодического возмущения из стационарных состояний дискретного в состояния непрерывного спектра (например, ионизация атома, когда электрон из связанного состояния переходит в непрерывный спектр). Возмущение запишем как (здесь явно учтена эрмитовость возмущения)

  (15)

Так как спектр непрерывен, то всегда найдется энергия, в точности удовлетворяющая условию

  (16)

и, следовательно, переход всегда будет. В выражении для  оставляем только:

  (17)

Вероятность перехода за время  равна:

  (18)

Вводим . Тогда:

  (19)

Мы интересуемся вероятностью ионизации за время, много большее периода собственных колебаний системы. Рассмотрим . 

  (20)

Поэтому

  (21)

Вероятность перехода в единицу времени есть

  (22)

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

46304. Методика обучения словообразованию 15.44 KB
  Изучение морфемики и словообразования это основа формирования представлений о языке как развивающейся системе постоянно пополняющейся новыми словами. Элементарные знания даются в начальной школе в 57 классах ученики знакомятся с основными понятиями структуры слова и словопроизводства в 89 классах полученные сведения закрепляются и обобщаются. познавательные цели: ознакомление учащихся со структурой русского слова основными способами русского словообразования показать взаимосвязь между единицами разных уровней языка:...
46305. Noun 15.41 KB
  Noun hs ctegoricl mening of thingness becuse noun effects nomintion of the fullest vlue. The N is chrcterized by specific set of wordbuilding ffixes nd wordbuilding models which unmistkbly mrk noun mong them: suffixes of the doer worker nturlist etc. s for wordchnging ctegories the noun is chnged ccording to the ctegories of number boyboys cse boyboys nd rticle determintion boy boy the boy.
46306. Слово в системе языка: статус системная функция, коммуникативная необходимость 15.3 KB
  Внутренним содержанием слова является его лексическое значение. Значение слова это соотнесенность слова с определенным понятием. Основная функция слова назывная или номинативная лат. Значение семантика слова это явление историческое: оно не является раз и навсегда данным а может изменяться в процессе функционирования слова в речи; некоторые слова постепенно приобретают новое или новые значение при этом происходит расширение значения слова; некоторые из значений слова могут исчезать забываться происходит сужение значения слова [ср.
46307. Выбор продуктов в продуктовых инновациях 15.27 KB
  Существуют различные подходы к продуктовым инновациям: консервативный и радикальный.Консервативный подход к выбору новых более выгодных продуктов или услуг наиболее приемлем для финансовокризисных фирм ограниченных как в возможностях финансировать значительные стартовые инвестиции в новый бизнес так и в сроке окупаемости этих инвестиций.Консервативный подход к продуктовым инновациям сводится к выбору для освоения таких продуктов услуг или операций которые бы опирались на: уже созданный технологический а также коммерческий задел фирмы...
46308. Сущность и классификация затрат 15.26 KB
  Группировка по экономическим элементам отражает затраты которые распределяются по видам характеризующим их экономическое содержание их природное назначение. Все остальные являются комплексными собирающими затраты по обслуживанию и управлению производством. Прямые затраты непосредственно связаны с производством определенного вида продукции работ услуг и могут быть учтены в себестоимости данного вида продукции работ услуг сырье материалы полуфабрикаты комплектующие зарплата станочников и др.
46309. Эксплуатация машинно-тракторного парка при возделывании сахарной свеклы в СПК «Авангард» Сергачского района Нижегородской области 978.5 KB
  Огромное экономическое значение сахарной свеклы в народном хозяйстве. Она является главным источником доходов свеклосеящих хозяйствах. При удельном весе ее в пашне ≈ 8,6% удельный вес доходов составляет ≈ 44% от доходов растениеводства.
46310. Магнитные и электромагнитные приспособления в металлообработке 64.5 KB
  Значительный прогресс в металлообработке может быть достигнут за счет применения универсальных приспособлений, использующих энергию магнитного поля. Такие приспособления могут применяться в условиях единичного, серийного и массового производств
46311. Графическое обозначение технологической оснастки в документации 93.5 KB
  Рекомендации по выбору типа привода зажимных устройств При выборе типа привода ЗУ в соответствии с требованиями технического процесса обработки деталей на станке должны быть обеспечены необходимая сила жесткость и точность зажима заготовки с заданными отношениями их размера. Достоинства гидропривода: возможность применения сравнительно выгодных давлений масла до 10 МПа и выше что позволяет создавать большую силу зажима; работает плавно бесшумно; обеспечивает заданную производительность и точность. Недостатки гидропривода: высокие...
46312. Расчет приспособления на точность 270 KB
  Расчет приспособления на точность. Требуемую точность приспособления можно определить решением размерной цепи системы: заготовка приспособление станок инструмент. При этом выявляется роль приспособления в достижении заданной точности выполняемого на заготовке размера то есть замыкающего звена размерной цепи. Для этого производят деление допуска ограничивающего отклонения от выполняемого размера на части одна из которых выделяется для приспособления.