19050

Переходы под действием периодических возмущений. Резонансное приближение. Переходы в непрерывный спектр

Лекция

Физика

Лекция 32 Переходы под действием периодических возмущений. Резонансное приближение. Переходы в непрерывный спектр Рассмотрим теперь случай возмущений зависящих от времени периодически. Пусть на частицу находящуюся в стационарном состоянии с энергией действует

Русский

2013-07-11

1.21 MB

35 чел.

Лекция 32

Переходы под действием периодических возмущений. Резонансное приближение. Переходы в непрерывный спектр

Рассмотрим теперь случай возмущений, зависящих от времени периодически. Пусть на частицу, находящуюся в стационарном состоянии с энергией , действует малое периодическое возмущение

      (1)

где  - частота возмущения, причем возмущение действует в течение длительного времени , так что  (в противном случае бессмысленно говорить о периодичности возмущения, даже если оно описывается формулой (1). Докажем, что в первом порядке теории возмущений переходы с заметной вероятностью происходят только в такие состояния , энергия которых отличаются от энергии начального состояния на величину : .

Исходим из формулы теории нестационарных возмущений

   (2)

где  - матричный элемент оператора . Интеграл по времени вычисляется элементарно:

   (3)

Рассмотрим зависимость вероятности перехода (2), (3) от частоты возмущения  для больших значений времени действия возмущения . Как будет показано ниже, первое слагаемое в формуле (3) как функция частоты возмущения имеет узкий максимум при частоте , второе - при частоте . Или, другими словами, под действием периодического возмущения с частотой  в квантовой системе происходят переходы только в состояния  с энергией . Поэтому при анализе зависимости вероятности (2), (3) от частоты возмущения  достаточно рассмотреть только значения  и и ограничится в первом случае только первым слагаемым формулы (3), во втором - вторым. Отметим, что так как , первый случай отвечает переходам  в состояния  с энергией , большей энергии , второй – с меньшей. Итак, при  из (2), (3) имеем

 (4)

Рассмотрим зависимость вероятности перехода  (4) от частоты возмущения при больших значениях . Если , то  в (4) можно разложить в ряд и

     (5)

Если же , то  в (5) может для разных  принимать все значения от нуля до единицы и, следовательно,

   (6)

Таким образом, если частота возмущения  лежит в узком интервале частот  вблизи частоты, равной , то вероятность перехода , существенно превосходит вероятность этого перехода, происходящего под действием возмущения с частотой, вне этого интервала (причем этот интервал тем уже, чем больше время действия возмущения). Другими словами, при фиксированной частоте возмущения  квантовая система с подавляющей вероятностью совершает переходы только в такие состояния , энергии которых определяется соотношением , где  - энергия начального состояния. Аналогичное рассмотрение второго слагаемого в (3) приводит к возможности перехода в состояния  с энергиями . Переходы в состояния с другими энергиями под действием периодических возмущений маловероятны. При этом, если выполняются строгие равенства , вероятность перехода  при достаточно больших  может стать большой, и для ее вычисления теория возмущений может оказаться неприменимой.

В этом случае используют другое приближение, которое называют резонансным. Основная идея его заключается в том, что если частота возмущения близка к частоте перехода между двумя состояниями, то с подавляющей вероятностью переходы будут происходить только в одно состояние, а всеми остальными слагаемыми в разложении волновой функции системы по волновым функциям стационарных состояний можно пренебречь.

Итак, пусть

 

и  близко к  ( - частота перехода между двумя состояниями  и  в системе); пусть (для определенности) - чуть больше:

 

Величину  называют «отстройкой».

Если нет резонанса, используем теорию возмущений. Для состояний  и  справедливо стационарное уравнение Шредингера:

  (7)

(мы выбрали начало отсчета энергий посередине между энергиями состояний  и ). Будем искать решения уравнения

  (8)

в виде

 

(в этом и состоит резонансное приближение). Подставляя это выражение в уравнение (8) и оставляя только главные члены (зависимость которых от времени определяется малой частотой ), получим

 

 (9)

Делаем подстановку , получаем

 (10)

Исключаем из этих уравнений , получим:

  (11)

В качестве линейно независимых решений этих уравнений выбираем

 

 (12)

где  постоянные, и введены обозначения

 (13)

Таким образом, под влиянием возмущения функции  и  переходят в функции  с коэффициентами (12), (13). Из этих формул следует, что если в начальный момент система находилась в состоянии , то коэффициент при  в последующем равен

    (14)

Из формулы (14) следует, что система периодически (с периодом ) переходит из одного состояния в другое и обратно. Частота  называется частотой Раби.

Рассмотрим теперь переходы под действием периодического возмущения из стационарных состояний дискретного в состояния непрерывного спектра (например, ионизация атома, когда электрон из связанного состояния переходит в непрерывный спектр). Возмущение запишем как (здесь явно учтена эрмитовость возмущения)

  (15)

Так как спектр непрерывен, то всегда найдется энергия, в точности удовлетворяющая условию

  (16)

и, следовательно, переход всегда будет. В выражении для  оставляем только:

  (17)

Вероятность перехода за время  равна:

  (18)

Вводим . Тогда:

  (19)

Мы интересуемся вероятностью ионизации за время, много большее периода собственных колебаний системы. Рассмотрим . 

  (20)

Поэтому

  (21)

Вероятность перехода в единицу времени есть

  (22)

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34040. Правовой режим служебных земельных наделов 25 KB
  Основанием выделения работникам служебного земельного надела служит решение соответствующей организации о выделении работнику служебного земельного надела при наличии заявления работника. лесничий обязан предоставлять работникам государственной лесной охраны служебные земельные наделы и другие льготы предусмотренные законодательством. Увольнение работника из штата организации влечет за собой изъятие предоставленного земельного участка. В случае когда на служебном наделе произведен посев сельскохозяйственных культур право пользования...
34041. Правовой режим земель водного фонда 48 KB
  ЗЕМЛИ ВОДНОГО ФОНДА К землям водного фонда относятся: 1 земли занятые водными объектами; 2 земли водоохранных зон водных объектов; 3 земли выделяемые для установления полос отвода и зон охраны водозаборов гидротехнических сооружений и иных водохозяйственных сооружений и объектов. В частномельным MM с использованием воды изъятой из водных не водным а гражданским и иными отрас мьм жизни и деятел ьности е лями законодательства. водных отношении тесно вязаны Р территории Российской CoBOicynHWWSSrLS включению в...
34042. Правовой режим земельных участков предоставленных для жилищного, дачного, гаражного строительства, огородничества, садоводства. Нормы предоставления земельных участков 49 KB
  Садоводство огородничество и дачное строительство являются одними из наиболее распространенных видов землевладения и землепользования граждан на землях сельскохозяйственного назначения. Особенностью этих видов землевладения является то что подавляющее большинство его субъектов это граждане проживающие в городах и поселках городского типа. Эти отношения достаточно полно регулируются Законами О садоводческих огороднических и дачных некоммерческих объединениях граждан который был принят 15 апреля 1998 г. и О внесении изменений в...
34043. Правовой режим земель лесного фонда 56.5 KB
  Правовой режим земель лесного фонда. ЗЕМЛИ ЛЕСНОГО ФОНДА К землям лесного фонда согласно ст. 101 Земельного кодекса РФ относятся: 1 лесные земли а земли покрытые лесной растительностью; б не покрытые ею но предназначенные для ее восстановления вырубки гари редины прогалины; 2 предназначенные для ведения лесного хозяйства нелесные земли просеки дороги болота. Земли лесного фонда занимают больше половины территории России 59.
34044. Правовой режим особо охраняемых территорий (общие положения) 25.5 KB
  Правовой режим особо охраняемых территорий общие положения. Особо охраняемые природные территории определены законодательством РФ как участки земли водной поверхности и воздушного пространства над ними где располагаются природные комплексы и объекты имеющие особое природоохранное научное культурное эстетическое рекреационное и оздоровительное значение. Общественные отношения в сфере организации охраны и использования особо охраняемых природных территорий с целью сохранения уникальных и типичных природных комплексов и объектов...
34045. Правовой режим земель сельскохозяйственного назначения (общие положения) 79.5 KB
  Правовой режим земель сельскохозяйственного назначения общие положения. Правовой режим земель сельскохозяйственного назначения. В действующем Земельном Кодексе РФ целая глава посвящена закреплению правового режима земель сельскохозяйственного назначения. Правовой режим использования данных земель кроме ЗК РФ регулируется также специальным Федеральным законом от 24 июля 2002г.
34046. Правовой режим земель специального назначения 84 KB
  Землями специального назначения признаются земли отведенные в установленном порядке предприятиям учреждениям и организациям для выполнения соответствующих задач. Общим признаком всех видов земель данной категории является то обстоятельство что данные земли выступают в качестве территориального базиса и не являются сельскохозяйственными т. Правовой режим земель специального назначения распространяется и на земли других категорий. В зависимости от нахождения в той или иной категории земли специального назначения имеют определенный...
34047. Правовой режим земель поселений 48 KB
  Правовой режим земель поселений. Одной из них являются земли поселений. Данные земли представляют собой пространственнооперационный базис располагающихся на них городов и других поселений. Землями поселений признаются земли предоставленные для размещения и развития городов поселков и сельских поселений.
34048. Правовой режим земель природоохранного, рекреационного, историко-культурного назначения. Особо ценные земли 77.5 KB
  Они имеют целью сохранение и изучение естественного хода природных процессов и явлений генетического фонда растительного и животного мира отдельных видов и сообществ растений и животных типичных и уникальных экологических систем. Земля воды недра государственных природных заповедников со всеми находящимися в их пределах объектами растительного и животного мира историкокультурными и другими объектами недвижимости полностью и безвозмездно предоставляются заповедникам в бессрочное постоянное пользование. Имущество государственных...