19050

Переходы под действием периодических возмущений. Резонансное приближение. Переходы в непрерывный спектр

Лекция

Физика

Лекция 32 Переходы под действием периодических возмущений. Резонансное приближение. Переходы в непрерывный спектр Рассмотрим теперь случай возмущений зависящих от времени периодически. Пусть на частицу находящуюся в стационарном состоянии с энергией действует

Русский

2013-07-11

1.21 MB

39 чел.

Лекция 32

Переходы под действием периодических возмущений. Резонансное приближение. Переходы в непрерывный спектр

Рассмотрим теперь случай возмущений, зависящих от времени периодически. Пусть на частицу, находящуюся в стационарном состоянии с энергией , действует малое периодическое возмущение

      (1)

где  - частота возмущения, причем возмущение действует в течение длительного времени , так что  (в противном случае бессмысленно говорить о периодичности возмущения, даже если оно описывается формулой (1). Докажем, что в первом порядке теории возмущений переходы с заметной вероятностью происходят только в такие состояния , энергия которых отличаются от энергии начального состояния на величину : .

Исходим из формулы теории нестационарных возмущений

   (2)

где  - матричный элемент оператора . Интеграл по времени вычисляется элементарно:

   (3)

Рассмотрим зависимость вероятности перехода (2), (3) от частоты возмущения  для больших значений времени действия возмущения . Как будет показано ниже, первое слагаемое в формуле (3) как функция частоты возмущения имеет узкий максимум при частоте , второе - при частоте . Или, другими словами, под действием периодического возмущения с частотой  в квантовой системе происходят переходы только в состояния  с энергией . Поэтому при анализе зависимости вероятности (2), (3) от частоты возмущения  достаточно рассмотреть только значения  и и ограничится в первом случае только первым слагаемым формулы (3), во втором - вторым. Отметим, что так как , первый случай отвечает переходам  в состояния  с энергией , большей энергии , второй – с меньшей. Итак, при  из (2), (3) имеем

 (4)

Рассмотрим зависимость вероятности перехода  (4) от частоты возмущения при больших значениях . Если , то  в (4) можно разложить в ряд и

     (5)

Если же , то  в (5) может для разных  принимать все значения от нуля до единицы и, следовательно,

   (6)

Таким образом, если частота возмущения  лежит в узком интервале частот  вблизи частоты, равной , то вероятность перехода , существенно превосходит вероятность этого перехода, происходящего под действием возмущения с частотой, вне этого интервала (причем этот интервал тем уже, чем больше время действия возмущения). Другими словами, при фиксированной частоте возмущения  квантовая система с подавляющей вероятностью совершает переходы только в такие состояния , энергии которых определяется соотношением , где  - энергия начального состояния. Аналогичное рассмотрение второго слагаемого в (3) приводит к возможности перехода в состояния  с энергиями . Переходы в состояния с другими энергиями под действием периодических возмущений маловероятны. При этом, если выполняются строгие равенства , вероятность перехода  при достаточно больших  может стать большой, и для ее вычисления теория возмущений может оказаться неприменимой.

В этом случае используют другое приближение, которое называют резонансным. Основная идея его заключается в том, что если частота возмущения близка к частоте перехода между двумя состояниями, то с подавляющей вероятностью переходы будут происходить только в одно состояние, а всеми остальными слагаемыми в разложении волновой функции системы по волновым функциям стационарных состояний можно пренебречь.

Итак, пусть

 

и  близко к  ( - частота перехода между двумя состояниями  и  в системе); пусть (для определенности) - чуть больше:

 

Величину  называют «отстройкой».

Если нет резонанса, используем теорию возмущений. Для состояний  и  справедливо стационарное уравнение Шредингера:

  (7)

(мы выбрали начало отсчета энергий посередине между энергиями состояний  и ). Будем искать решения уравнения

  (8)

в виде

 

(в этом и состоит резонансное приближение). Подставляя это выражение в уравнение (8) и оставляя только главные члены (зависимость которых от времени определяется малой частотой ), получим

 

 (9)

Делаем подстановку , получаем

 (10)

Исключаем из этих уравнений , получим:

  (11)

В качестве линейно независимых решений этих уравнений выбираем

 

 (12)

где  постоянные, и введены обозначения

 (13)

Таким образом, под влиянием возмущения функции  и  переходят в функции  с коэффициентами (12), (13). Из этих формул следует, что если в начальный момент система находилась в состоянии , то коэффициент при  в последующем равен

    (14)

Из формулы (14) следует, что система периодически (с периодом ) переходит из одного состояния в другое и обратно. Частота  называется частотой Раби.

Рассмотрим теперь переходы под действием периодического возмущения из стационарных состояний дискретного в состояния непрерывного спектра (например, ионизация атома, когда электрон из связанного состояния переходит в непрерывный спектр). Возмущение запишем как (здесь явно учтена эрмитовость возмущения)

  (15)

Так как спектр непрерывен, то всегда найдется энергия, в точности удовлетворяющая условию

  (16)

и, следовательно, переход всегда будет. В выражении для  оставляем только:

  (17)

Вероятность перехода за время  равна:

  (18)

Вводим . Тогда:

  (19)

Мы интересуемся вероятностью ионизации за время, много большее периода собственных колебаний системы. Рассмотрим . 

  (20)

Поэтому

  (21)

Вероятность перехода в единицу времени есть

  (22)

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

77361. Вопросы выбора архитектуры интерактивного взаимодействия с параллельными программами 120 KB
  озможность интерактивного взаимодействия с суперкомпьютерной программой при проведении расчётов по сравнению с пакетной обработкой задач может существенно повысить эффективность труда исследователя. Однако организация такого взаимодействия сопряжена с рядом трудностей связанных с устоявшейся методикой программирования и проведения расчётов. Один из ключевых моментов построения такого взаимодействия выбор правил и принципов построения связи со счетными программами.
77362. DATAFLOW-BASED DISTRIBUTED COMPUTING SYSTEM 39.5 KB
  The method is bsed on the following concepts: storge tsk nd rule. Storge stores nmed dt on which three opertions could be pplied crete write red nd delete. Every item in the storge is selfsufficient nd contins dt some metinformtion nd hs unique nme. The term tsk identifies the progrm which could red dt with specific nmes from the storge nd generte new dt items which will be written into the storge s result of tsk execution.
77363. ПОИСК НОВЫХ ПОДХОДОВ К ВИЗУАЛИЗАЦИИ ПРОЦЕССОВ 33 KB
  Важная проблема разработки систем компьютерной визуализации связана с выбором методов представления данных возникающих в связи с описанием сложных процессов. Такие подходы появляются в различных областях компьютерной визуализации см. Нужен дополнительный поиск более простых метафор визуализации позволяющих более эффективно анализировать абстрактные данные.
77364. Применение алгоритмов распознавания образов с целью захвата жестовых языков без применения маркирующих устройств 23.5 KB
  В этой работе рассматривается возможность построения системы на базе принципов захвата движения для распознавания жестовых языков обладающих большим количеством знаков. В этой связи важным является изучение современных алгоритмов распознавания образов. Проведен анализ ряда алгоритмов преобразования изображений применяемых в области распознавания образов а также их комбинации для эффективности решения поставленной задачи.
77365. VISUAL SUPPORTING OF PROGRAM PARALLELIZING 26 KB
  We have developed the simple prototype of the system to support visually the parallelizing process. The prototype is realized twofold. One of the realizations has to deal with parallelism of Massage Passing paradigm; another has to deal with Shared Memory parallelization. That is our system works with MPI and OpenMP programs.
77366. ПРОЕКТ СРЕДЫ РАЗРАБОТКИ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫХ СИСТЕМ ВИЗУАЛИЗАЦИИ 39.5 KB
  Средства визуализации результатов численного моделирования можно разделить на три класса: Универсальные системы визуализации способные отображать большое многообразие визуальных объектов. Специализированные системы визуализации предметной области вычислительного эксперимента или специфических визуальных сущностей. Специализированные системы визуализации созданные специально для данного исследовательского проекта или даже конкретного пользователя.
77367. РАЗРАБОТКА СРЕДСТВ ВИЗУАЛЬНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СЕТОК 26 KB
  В настоящее время для визуализации сеток на этапе генерации используются средства разработанного в коллективе конструктора специализированных систем визуализации. Для визуализации сеток больших объемов проводится экспериментальная разработка по реализации параллельного программного воксельного рендеринга с применением графических ускорителей. Продолжаются исследования и опытные разработки по применению виртуальной реальности для визуализации сеточных данных. Система интерактивной визуализации параллельных вычислений 14я Международная...
77368. Remote Visualization in Computer Aided Engineering 14 KB
  IMM UrB RS Urls Stte University Computer ided Engineering softwre gin now the incresing distribution. To chieve dditionl productivity engineering clcultions re mde on the specil computing resources which re seprte from the engineers worksttion. It ssumes tht imges re rendered remotely from enduser worksttion close to the plce of ctul engineering computtions.
77369. РАЗРАБОТКА КОМПИЛЯТОРА ДЛЯ ЯЗЫКА ПРОГРАММИРОВАНИЯ RIDE.L 24 KB
  Согласно которой используя статическую типизацию и перегрузку операторов для описания семантики синтаксических конструкций языка на самом языке можно получать эффективный машинный код. Оператор в качестве аргументов получает несколько выражений и одну строковую константу содержащую ассемблерный код в тернарной форме. В общем случае аппликация операторов происходит так: код реализация оператора подставляется по месту обращения; код определяется следующим образом: если выражение это оператор код фрагментов при проходе слева...