19050

Переходы под действием периодических возмущений. Резонансное приближение. Переходы в непрерывный спектр

Лекция

Физика

Лекция 32 Переходы под действием периодических возмущений. Резонансное приближение. Переходы в непрерывный спектр Рассмотрим теперь случай возмущений зависящих от времени периодически. Пусть на частицу находящуюся в стационарном состоянии с энергией действует

Русский

2013-07-11

1.21 MB

38 чел.

Лекция 32

Переходы под действием периодических возмущений. Резонансное приближение. Переходы в непрерывный спектр

Рассмотрим теперь случай возмущений, зависящих от времени периодически. Пусть на частицу, находящуюся в стационарном состоянии с энергией , действует малое периодическое возмущение

      (1)

где  - частота возмущения, причем возмущение действует в течение длительного времени , так что  (в противном случае бессмысленно говорить о периодичности возмущения, даже если оно описывается формулой (1). Докажем, что в первом порядке теории возмущений переходы с заметной вероятностью происходят только в такие состояния , энергия которых отличаются от энергии начального состояния на величину : .

Исходим из формулы теории нестационарных возмущений

   (2)

где  - матричный элемент оператора . Интеграл по времени вычисляется элементарно:

   (3)

Рассмотрим зависимость вероятности перехода (2), (3) от частоты возмущения  для больших значений времени действия возмущения . Как будет показано ниже, первое слагаемое в формуле (3) как функция частоты возмущения имеет узкий максимум при частоте , второе - при частоте . Или, другими словами, под действием периодического возмущения с частотой  в квантовой системе происходят переходы только в состояния  с энергией . Поэтому при анализе зависимости вероятности (2), (3) от частоты возмущения  достаточно рассмотреть только значения  и и ограничится в первом случае только первым слагаемым формулы (3), во втором - вторым. Отметим, что так как , первый случай отвечает переходам  в состояния  с энергией , большей энергии , второй – с меньшей. Итак, при  из (2), (3) имеем

 (4)

Рассмотрим зависимость вероятности перехода  (4) от частоты возмущения при больших значениях . Если , то  в (4) можно разложить в ряд и

     (5)

Если же , то  в (5) может для разных  принимать все значения от нуля до единицы и, следовательно,

   (6)

Таким образом, если частота возмущения  лежит в узком интервале частот  вблизи частоты, равной , то вероятность перехода , существенно превосходит вероятность этого перехода, происходящего под действием возмущения с частотой, вне этого интервала (причем этот интервал тем уже, чем больше время действия возмущения). Другими словами, при фиксированной частоте возмущения  квантовая система с подавляющей вероятностью совершает переходы только в такие состояния , энергии которых определяется соотношением , где  - энергия начального состояния. Аналогичное рассмотрение второго слагаемого в (3) приводит к возможности перехода в состояния  с энергиями . Переходы в состояния с другими энергиями под действием периодических возмущений маловероятны. При этом, если выполняются строгие равенства , вероятность перехода  при достаточно больших  может стать большой, и для ее вычисления теория возмущений может оказаться неприменимой.

В этом случае используют другое приближение, которое называют резонансным. Основная идея его заключается в том, что если частота возмущения близка к частоте перехода между двумя состояниями, то с подавляющей вероятностью переходы будут происходить только в одно состояние, а всеми остальными слагаемыми в разложении волновой функции системы по волновым функциям стационарных состояний можно пренебречь.

Итак, пусть

 

и  близко к  ( - частота перехода между двумя состояниями  и  в системе); пусть (для определенности) - чуть больше:

 

Величину  называют «отстройкой».

Если нет резонанса, используем теорию возмущений. Для состояний  и  справедливо стационарное уравнение Шредингера:

  (7)

(мы выбрали начало отсчета энергий посередине между энергиями состояний  и ). Будем искать решения уравнения

  (8)

в виде

 

(в этом и состоит резонансное приближение). Подставляя это выражение в уравнение (8) и оставляя только главные члены (зависимость которых от времени определяется малой частотой ), получим

 

 (9)

Делаем подстановку , получаем

 (10)

Исключаем из этих уравнений , получим:

  (11)

В качестве линейно независимых решений этих уравнений выбираем

 

 (12)

где  постоянные, и введены обозначения

 (13)

Таким образом, под влиянием возмущения функции  и  переходят в функции  с коэффициентами (12), (13). Из этих формул следует, что если в начальный момент система находилась в состоянии , то коэффициент при  в последующем равен

    (14)

Из формулы (14) следует, что система периодически (с периодом ) переходит из одного состояния в другое и обратно. Частота  называется частотой Раби.

Рассмотрим теперь переходы под действием периодического возмущения из стационарных состояний дискретного в состояния непрерывного спектра (например, ионизация атома, когда электрон из связанного состояния переходит в непрерывный спектр). Возмущение запишем как (здесь явно учтена эрмитовость возмущения)

  (15)

Так как спектр непрерывен, то всегда найдется энергия, в точности удовлетворяющая условию

  (16)

и, следовательно, переход всегда будет. В выражении для  оставляем только:

  (17)

Вероятность перехода за время  равна:

  (18)

Вводим . Тогда:

  (19)

Мы интересуемся вероятностью ионизации за время, много большее периода собственных колебаний системы. Рассмотрим . 

  (20)

Поэтому

  (21)

Вероятность перехода в единицу времени есть

  (22)

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34088. Основания возникновения и изменения прав на земельные участки 59 KB
  По договору кули продажи одна сторона продавец обязуется пережать другой стороне покупателю земельный участок за плату. договор дарения: По договору дарения одна сторона даритель безвозмездно передает или обязуется передать земельный участок другой стороне одаряемому в собственность. договор ренты: По договору ренты одна сторона получатель ренты передаёт другой стороне плательщику ренты земельный участок в собственность а плательщик ренты обязуется периодически выплачивать ренту. Рента обременяет земельный участок поэтому...
34089. Основания прекращения прав на земельные участки 38.5 KB
  Основания добровольного прекращения: ликвидация юридического лица; смерть гражданина и отсутствие соответствующих наследников; отчуждение земельного участка другим лицам в порядке установленном гражданским законодательством; добровольный отказ от прав на земельный участок. Процедура различна для собственников и лиц не являющихся собственниками Собственник земельного участка может отказаться от своего права путем подачи заявления в орган осуществляющий государственную регистрацию прав на недвижимое имущество и сделок с ним....
34090. Сделки с земельными участками: понятие и виды сделок 53.5 KB
  Особенности оборота земельных участков находят отражение в содержании соответствующих сделок с землей. Так гражданскоправовой институт наследования имущества применяется и в земельном праве однако в целях предотвращения дробления наследуемого земельного участка между многими наследниками земельным законодательством могут быть установлены особые правила наследования земельных участков. Земельное законодательство предусматривает особенности совершения например сделок куплипродажи земельных участков обусловленные необходимостью обеспечения...
34091. Договор купли-продажи земельных участков 38 KB
  По договору куплипродажи земельного участка продавец обязуется передать в собственность покупателя земельный участок а покупатель обязуется принять земельный участок и уплатить за него определенную денежную сумму.Стороны договора не вправе изменять целевое назначение земельного участка являющегося предметом договора. Также не подлежат самовольному изменению такие условия использования земельного участка как охранные зоны и обременения участка. Продавец при заключении договора обязан предоставить покупателю имеющуюся у него информацию об...
34092. Залог земельных участков 37.5 KB
  Нормативной базой ипотеки является 3 главы 23 ГК РФ и ФЗ N 102ФЗ Об ипотеке залогенедвижимости от 16 июля 1998 г. далее Закон об ипотеке. 1 Закона об ипотеке по договору о залоге недвижимого имущества договору об ипотеке одна сторона залогодержатель являющийся кредитором по обязательству обеспеченному ипотекой имеет право получить удовлетворение своих денежных требований к должнику по этому обязательству из стоимости заложенного недвижимого имущества другой стороны залогодателя преимущественно перед другими...
34093. Договор аренды земельных участков 34 KB
  Договор аренды земельных участков. В основе аренды лежит договор. По договору аренды одна сторона арендодатель обязуется передать другой стороне арендатору земельный участок во временное владение или и пользование за плату. Заключается договор аренды в простой письменной форме.
34094. Договор дарения земельного участка. Наследование земельных участков 32 KB
  Договор дарения земельного участка. Право дарения земельного участка имеют собст ДАРЕНИЕ венники земли граждане и юридические лица ЗЕМЕЛЬНОГО на основании Указа Президента РФ О регули УЧАСТКА ровании земельных отношений и развитии аг рарной реформы в России п. Для обеспечения заключения договоров дарения так же как и договоров мены Комитетом РФ по земельным ресурсам и землеустройству была разработана форма договора дарения земельного участка1. Договор дарения земельного участка должен быть оформлен...
34095. Общая долевая собственность на земельные участки 63.5 KB
  Право общей долевой собственности на земельный участок 1 возникает на основе юридических фактов обусловливающих право собственности граждан и юридических лиц. Право собственности на земельные доли предметом рассмотрения в данной статье не является. Право частной собственности на землю. N 13051 О собственности в СССР но которые не были надлежаще оформлены и зарегистрированы имеют право бесплатно приобрести право собственности на указанные земельные участки в соответствии с правилами установленными ст.
34096. Общая совместная собственность на земельные участки 26.5 KB
  Общая совместная собственность на земельные участки. Общая собственность на земельные участки Существует 2 вида: долевая; общая совместная. Общая долевая собственность возникает при попадании двум и более лицам неделимого участка в случаях предусмотренных в законе или договоре. Совместная собственность возникает в следующих случаях прямо предусмотренных законами: общая собственность супругов если брачным контрактом не предусмотрено иное; возникает собственность крестьянскофермерских хозяйств если соглашением между членами...