19050

Переходы под действием периодических возмущений. Резонансное приближение. Переходы в непрерывный спектр

Лекция

Физика

Лекция 32 Переходы под действием периодических возмущений. Резонансное приближение. Переходы в непрерывный спектр Рассмотрим теперь случай возмущений зависящих от времени периодически. Пусть на частицу находящуюся в стационарном состоянии с энергией действует

Русский

2013-07-11

1.21 MB

38 чел.

Лекция 32

Переходы под действием периодических возмущений. Резонансное приближение. Переходы в непрерывный спектр

Рассмотрим теперь случай возмущений, зависящих от времени периодически. Пусть на частицу, находящуюся в стационарном состоянии с энергией , действует малое периодическое возмущение

      (1)

где  - частота возмущения, причем возмущение действует в течение длительного времени , так что  (в противном случае бессмысленно говорить о периодичности возмущения, даже если оно описывается формулой (1). Докажем, что в первом порядке теории возмущений переходы с заметной вероятностью происходят только в такие состояния , энергия которых отличаются от энергии начального состояния на величину : .

Исходим из формулы теории нестационарных возмущений

   (2)

где  - матричный элемент оператора . Интеграл по времени вычисляется элементарно:

   (3)

Рассмотрим зависимость вероятности перехода (2), (3) от частоты возмущения  для больших значений времени действия возмущения . Как будет показано ниже, первое слагаемое в формуле (3) как функция частоты возмущения имеет узкий максимум при частоте , второе - при частоте . Или, другими словами, под действием периодического возмущения с частотой  в квантовой системе происходят переходы только в состояния  с энергией . Поэтому при анализе зависимости вероятности (2), (3) от частоты возмущения  достаточно рассмотреть только значения  и и ограничится в первом случае только первым слагаемым формулы (3), во втором - вторым. Отметим, что так как , первый случай отвечает переходам  в состояния  с энергией , большей энергии , второй – с меньшей. Итак, при  из (2), (3) имеем

 (4)

Рассмотрим зависимость вероятности перехода  (4) от частоты возмущения при больших значениях . Если , то  в (4) можно разложить в ряд и

     (5)

Если же , то  в (5) может для разных  принимать все значения от нуля до единицы и, следовательно,

   (6)

Таким образом, если частота возмущения  лежит в узком интервале частот  вблизи частоты, равной , то вероятность перехода , существенно превосходит вероятность этого перехода, происходящего под действием возмущения с частотой, вне этого интервала (причем этот интервал тем уже, чем больше время действия возмущения). Другими словами, при фиксированной частоте возмущения  квантовая система с подавляющей вероятностью совершает переходы только в такие состояния , энергии которых определяется соотношением , где  - энергия начального состояния. Аналогичное рассмотрение второго слагаемого в (3) приводит к возможности перехода в состояния  с энергиями . Переходы в состояния с другими энергиями под действием периодических возмущений маловероятны. При этом, если выполняются строгие равенства , вероятность перехода  при достаточно больших  может стать большой, и для ее вычисления теория возмущений может оказаться неприменимой.

В этом случае используют другое приближение, которое называют резонансным. Основная идея его заключается в том, что если частота возмущения близка к частоте перехода между двумя состояниями, то с подавляющей вероятностью переходы будут происходить только в одно состояние, а всеми остальными слагаемыми в разложении волновой функции системы по волновым функциям стационарных состояний можно пренебречь.

Итак, пусть

 

и  близко к  ( - частота перехода между двумя состояниями  и  в системе); пусть (для определенности) - чуть больше:

 

Величину  называют «отстройкой».

Если нет резонанса, используем теорию возмущений. Для состояний  и  справедливо стационарное уравнение Шредингера:

  (7)

(мы выбрали начало отсчета энергий посередине между энергиями состояний  и ). Будем искать решения уравнения

  (8)

в виде

 

(в этом и состоит резонансное приближение). Подставляя это выражение в уравнение (8) и оставляя только главные члены (зависимость которых от времени определяется малой частотой ), получим

 

 (9)

Делаем подстановку , получаем

 (10)

Исключаем из этих уравнений , получим:

  (11)

В качестве линейно независимых решений этих уравнений выбираем

 

 (12)

где  постоянные, и введены обозначения

 (13)

Таким образом, под влиянием возмущения функции  и  переходят в функции  с коэффициентами (12), (13). Из этих формул следует, что если в начальный момент система находилась в состоянии , то коэффициент при  в последующем равен

    (14)

Из формулы (14) следует, что система периодически (с периодом ) переходит из одного состояния в другое и обратно. Частота  называется частотой Раби.

Рассмотрим теперь переходы под действием периодического возмущения из стационарных состояний дискретного в состояния непрерывного спектра (например, ионизация атома, когда электрон из связанного состояния переходит в непрерывный спектр). Возмущение запишем как (здесь явно учтена эрмитовость возмущения)

  (15)

Так как спектр непрерывен, то всегда найдется энергия, в точности удовлетворяющая условию

  (16)

и, следовательно, переход всегда будет. В выражении для  оставляем только:

  (17)

Вероятность перехода за время  равна:

  (18)

Вводим . Тогда:

  (19)

Мы интересуемся вероятностью ионизации за время, много большее периода собственных колебаний системы. Рассмотрим . 

  (20)

Поэтому

  (21)

Вероятность перехода в единицу времени есть

  (22)

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

85325. Семиотические основы изучения народной художественной культуры 39.09 KB
  Решающим фактором народной культуры является процесс антропогенеза и происхождения народной культуры как таковой. В животном мире культуры не существует. В животном мире обнаруживаются явления которые в дальнейшем послужили основанием для формирования народной культуры.
85326. Семейно-бытовые праздники и обряды: структура, функции и художественные элементы 47.87 KB
  Понятие обычая обряда ритуала традиции Мы видим что стремлением людей ярко красиво торжественно и памятно отметить узловые события своей жизни обусловлено придание этим событиям форм праздников и обрядов. являются переломными моментами в жизни людей меняющими их отношения с окружающими дающими им новые права и предъявляющими новые требования. Что же заключается в понятии обряд В чем его сущность Почему во все времена начиная с первобытнообщинного строя люди отмечали торжественными ритуальными действиями наиболее выдающиеся события...
85327. Концепция этногенеза Л. Н. Гумилева 42.19 KB
  В основу своей теории этногенеза Гумилев положил в качестве главного постулата тезис о природнобиологическом характере этноса обусловленного тем что он является составной частью биоорганического мира планеты и возникает в определенных географоклпматических условиях.cnn же некоторое количество людей обладающих этим признаком соберется вместе объединенные одной целью если при этом они находятся в благоприятных географических условиях необходим разнообразный ландшафт появляется зародыш нового этноса начинается бурный процесс...
85328. Основные принципы формирования понятия народной художественной культуры 38.78 KB
  До сих пор понимание предметного поля каждого ил этих образований народной к остается весьма дискурсивным. Тем более что ряд наук филология история этнография искусствоведение претендовали в разные годы на всеобъемлющую роль в изучении народной культуры преувеличивая значение для последней своих проблем. Нельзя не сказать и о том что в России ситуация усугубляется за счет потерянных народной художественной культурой ориентиров развития в ХХ в.
85329. Традиционные и инновационные формы народной художественной культуры 39.23 KB
  В народной художественной культуре любого народа постоянно появляется и бытует огромное количество образований представляюших собой традиционный фольклор традиции и новых образований связанных с традиционными художественными структурами новации. В культурологии сочетанием традиции и новации обозначают две взаимозависимые стороны развития культуры в которых зафиксирована мысль о том что она содержит в себе как устойчивые так и изменчивые моменты. Глобальная характеристика культуры заключается в единстве традиции и новаторства...
85330. Поняття «норма» і «аномалія» в психології 31.92 KB
  Норма лат. В практичній психології і педагогіці сьогодні працюючими є поняття учбова норма; соціальновікова норма індивідуальна норма. Питання про аномалії в розвитку може розглядатися тільки в контексті знання про нормальні параметри цих процесів і поведінки.
85331. Полісенсорна система навчання слабочуючих дітей і комунікаційна система навчання глухих 38.93 KB
  Отже потрібно для нього створити відповідні його природі умови. У сучасній дидактичній системі навчання мови глухих дітей за принципом формування мовного спілкування С.Зиков розрізняють три форми словесної мови: дактильная усна і письмова. В якості вихідної форми мови найбільш повно відповідає природі глухого дитини використовується пальцева сприймається зором форма словесної мови дактильная форма.
85332. Психолого-педагогічні основи розвитку і освіти дітей зі складним дефектом 37.31 KB
  Залежно від структури порушення діти з поєднаними порушеннями поділяються на три основні групи. У першу входять діти з двома вираженими психофізичними порушеннями кожне з яких може викликати аномалію розвитку: сліпоглухих діти розумово відсталі глухі слабочуючі із затримкою психічного розвитку первинної. У другу групу мають одне істотне психофізичний порушення провідне і супутнє йому інше порушення виражене в слабкому ступені але помітно обтяжлива хід розвитку: розумово відсталі діти з невеликим зниженням слуху. У третю групу...
85333. Причини порушень слуху 41.95 KB
  Стійкі порушення слуху у дітей можуть бути вродженими і набутими. Висновок про природжений або набутий характер порушення слуху робиться зазвичай на підставі відомостей отриманих зі слів батьків а ці відомості часто виявляються досить неточними. З іншого боку нерідко дійсно вроджене порушення слуху залишається протягом декількох місяців а іноді років нерозпізнаним а коли воно виявляється то приписується якомусь випадковому захворювання або травмі що мали місце незадовго до виявлення дефекту слуху.