19054

Квантовое описание рассеяния. Амплитуда и сечение рассеяния. Оптическая теорема

Лекция

Физика

Лекция 36 Квантовое описание рассеяния. Амплитуда и сечение рассеяния. Оптическая теорема Процессом рассеяния называется отклонение частиц от первоначального движения благодаря взаимодействию с рассевателем. Процесс рассеяния дает информацию о взаимодействии ра

Русский

2013-07-11

274.5 KB

4 чел.

Лекция 36

Квантовое описание рассеяния. Амплитуда и сечение рассеяния. Оптическая теорема

Процессом рассеяния называется отклонение частиц от первоначального движения благодаря взаимодействию с рассевателем. Процесс рассеяния дает информацию о взаимодействии рассеивающихся частиц и их структуре. Первые эксперименты по рассеянию частиц были поставлены Э.Резерфордом. На основе этих экспериментов Резерфорд построил планетарную (ядерную) модель атома. Если в процессе рассеяния не меняется структура рассеивающихся частиц и не меняется их внутреннее состояние, то рассеяние называется упругим. Если внутреннее состояние частиц меняется, то рассеяние называется неупругим. Ниже будет рассматриваться только упругое рассеяние.

В реальной постановке опытов по рассеянию мы не имеем возможности проследить за отклонением каждой частицы: мы всегда имеем поток частиц, падающих на рассеиватель, а измеряем распределение частиц по углу рассеяния, то есть описываем процесс рассеяния статистически. Для статистической характеристики процесса рассеяния вводится понятие дифференциального сечения рассеяния, которое определяется как отношение числа частиц , рассеянных в единицу времени под углом  в малый интервал телесного угла  к плотности потока падающих частиц

    (1)

Поскольку отношение (1) пропорционально углу , то отношение

     (2)

является характеристикой взаимодействия частиц в процессе рассеяния, и не зависит от числа падающих частиц и телесного угла . Эта величина, имеющая размерность площади, называется дифференциальным сечением рассеяния. Дифференциальное сечение показывает величину площади площадки, перпендикулярной сечению налетающего пучка, попадая в которую частицы рассеиваются под углом  в малый интервал телесного угла . Интеграл по полному телесному углу (если он сходится) называется полным сечением рассеяния.

Задача об упругом столкновении, как и всякая задача двух тел, сводится к задаче о движении одной частицы с приведенной массой в поле  силового центра. В этом случае мы описываем движение частиц в системе отсчета, в которой покоится центр инерции рассеивающейся и рассеивающей частицы. «Возвращение назад» в лабораторную систему отсчета совершается стандартными кинематическими методами.

Основная идея квантовомеханического описания процесса рассеяния заключается в следующем. Волновая функция рассеивающихся частиц позволяет найти и плотность потока падающих, и плотность потока, а следовательно, количество рассеянных под углом  частиц, а следовательно, и сечение рассеяния. Поэтому для описания процесса рассеяния необходимо найти волновую функцию  рассевающих частиц. При этом если рассматривается рассеяние частиц с определенной энергией , то волновая функция  является решением стационарного уравнения Шредингера

    (3)

где

    (4)

гамильтониан рассеивающихся частиц. Поскольку потенциальная энергия обращается в нуль на больших расстояниях от рассеивающего центра, уравнение (3) переходит в уравнение Шредингера для свободного движения () на больших расстояниях от рассеивающего центра. Поэтому асимптотически волновая функция задачи рассеяния должна переходить в одну из волновых функций свободного движения. Какую? Ведь свободное уравнение Шредингера имеет бесконечно много решений. Пусть частицы падают на рассеивающий центр в положительном направлении оси . Тогда на больших расстояниях волновая функция падающих частиц есть плоская волна , где . Рассеянные частицы на большом расстоянии от рассеивающего центра описываются приближенным решением уравнения Шредингера

           (5)

которое представляет собой расходящуюся сферическую волну (где  - некоторая функция угла). Таким образом, волновая функция рассеивающихся частиц (волновая функция задачи рассеяния) – это такое решение стационарного уравнения Шредингера, которое на больших расстояниях от рассеивающего центра имеет вид

     (6)

Выражение (6) представляет собой граничное условие, которому должна удовлетворять волновая функция задачи рассеяния. Функция угла рассеяния  в граничном условии задачи рассеяния (6) называется амплитудой рассеяния.

По функции (6) легко найти дифференциальное сечение рассеяния. Для этого по функции  находим поток падающих частиц (), по функции (5) – поток распространяющихся в радиальном направлении рассеянных частиц

    (7)

(при этом при нахождении потока  мы дифференцировали только по  и только экспоненту; остальные производные быстрее обращаются в нуль с ростом ). Количество частиц, рассеянных в элемент телесного угла , есть . Отсюда находим для дифференциального сечения рассеяния

    (8)

Таким образом, для нахождения дифференциального сечения необходимо решить уравнение Шредингера с граничным условием (6), из этого решения найти амплитуду рассеяния, по формуле (8) – сечение рассеяния.

Прежде чем рассмотреть способы вычисления амплитуды упругого рассеяния частиц рассмотрим одно общее свойство амплитуды рассеяния, которое называют условием унитарности для рассеяния.

Согласно определению полное сечение рассеяния (которое есть интеграл от амплитуды рассеяния по полному телесному углу) пропорционально полному количеству рассеянных в единицу времени частиц. Поэтому количество частиц, движущихся в первоначальном направлении, должно уменьшиться на эту величину. Это значит, что величина

     (9)

должна описывать уменьшение частиц в падающем потоке. Легко проверить с помощью формулы для плотности потока, что это уменьшение будет пропорционально мнимой части амплитуды рассеяния при  (или, как часто говорят, амплитуды рассеяния «вперед» или «на угол нуль»). В результате имеем

           (10)

Уравнение (10) называется оптической теоремой для рассеяния и является следствием сохранения числа частиц: в области действия потенциала нет ни «источников», ни «стоков» частиц.

Обратимся теперь к вычислению амплитуды рассеяния. Для теоретического исследования этой величины и построения приближенных методов ее вычисления удобно перейти от дифференциального уравнения Шредингера (3) к интегральному уравнению. Для этого перепишем уравнение Шредингера (3) в виде

   (11)

где . Для решения уравнения (11) используем метод функций Грина. Функцией Грина уравнения (11) называется функция двух переменных , которая удовлетворяет уравнению

    (12)

где  - дельта-функция. (Лапласиан в (12) содержит дифференцирование по переменной ). Нетрудно видеть, что решение уравнения Шредингера (3)  можно с помощью функции Грина записать следующим образом

   (13)

Выражение (13) не есть ответ для волновой функции задачи рассеяния в квадратурах - это интегральное уравнение, поскольку функция  входит и в левую, и в правую часть формулы (12). Однако оно гораздо удобнее для теоретических исследований, чем дифференциальное уравнение (3). Используя известное выражение для функции Грина свободного уравнения Шредингера (12)

    (14)

получим

   (15)

Поскольку для определения амплитуды рассеяния нам нужно знать поведение волновой функции на больших расстояниях от рассеивающего центра, рассмотрим уравнение (15) при  (имеется в виду на расстояниях, много больших, чем радиус действия рассеивающего потенциала). В этом случае можно считать, что . Разлагая разность  в ряд по малому параметру

    (16)

и подставляя это выражение в (15), получаем

   (15)

где введено обозначение , причем вектор  направлен, очевидно, по радиус-вектору. Сравнивая (15) и (6), находим

   (16)

Формула (16) определяет амплитуду рассеяния через решение уравнения Шредингера в области действия потенциала. Таким образом для его использования необходимо решить уравнение Шредингера (1) с граничным условием (6) и вычислить интеграл (16).

 

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36610. Проект создания системы контроля качества производства пакетов полиэтиленовых на ООО «Пластик» 728.5 KB
  Отрасль упаковки – одна из наиболее молодых в нашей стране, и это понятно, т.к. еще 10-15 лет назад никого не волновало, во что упакован товар, главное его купить, а завернуть можно было и в газету. Несколько десятилетий отрасль упаковки у нас совершенно не развивалась...
36611. Операційне числення 1.43 MB
  5 Поняття функції комплексної змінної. Множина комплексних чисел w що відповідають усім називається множиною значень функції fz. Оскільки кожне комплексне число характеризується парою дійсних чисел то завдання комплексної функції w =uiv комплексної змінної z = х iу еквівалентно завданню двох дійсних функцій двох дійсних змінних що може бути записане у вигляді wz =их у ivx у. Функції uху і vxy визначені в області G площини дійсних змінних x y що відповідає області G комплексної площини z.
36612. Поставка товаров, работ и услуг для органов внутренних дел 294.5 KB
  Сфера применения института поставки разнообразна и велика. Она включает отношения, связанные с поставкой товаров, как для коммерческих целей, так и для государственных нужд, в том числе нужд Органов внутренних дел. Тема моей дипломной работы «Поставка товаров, работ и услуг для нужд ОВД»
36613. ІНЖЕНЕРНА ГІДРАВЛІКА. Рух рідини в закритих руслах 752.5 KB
  Рух рідини в закритих руслах. Також в конспекті розглянуті питання виникнення гідравлічних опорів поняття гідравлічного удару витікання рідини через отвори та насадки вільні гідравлічні струмені. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ І ВИЗНАЧЕННЯ КУРСУ ІНЖЕНЕРНА ГІДРАВЛІКА Гідравліка це наука яка вивчає закони рівноваги і руху рідини а також взаємодію між рідиною і твердими тілами в стані спокою і щодо їх руху.
36614. ПРОЕКТУВАННЯ ПЛАСТИЧНОЇ ФОРМИ ОДЯГУ 762 KB
  ПРИЙОМИ ТВОРЧОГО ПОШУКУ ПЛАСТИЧНОЇ ФОРМИ ОДЯГУ. Створення одягу це мистецтво. Тому пластична композиція форми одягу вирішується не лініями і площинами а обємами і просторами певної конфігурації і величини.
36615. РЕГІОНАЛЬНЕ УПРАВЛІННЯ 584.5 KB
  Регіональне управління [конспект лекцій для студентів спеціальності 6. Конспект лекцій з дисципліни Регіональне управління призначений для студентів спеціальності 6. Конспект лекцій з дисципліни Регіональне управління складено на підставі відповідних нормативних вимог Міністерства освіти і науки молоді та спорту України.
36616. КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ З ТРУДОВОГО ПРАВА УКРАЇНИ 217 KB
  Предмет і система трудового права Трудове право розглядається в 3 значеннях як галузь права як науку і як навчальну дисципліну. Предмет трудового права – це сукупність трудових та інших пов’язаних з ними суспільних відносин з приводу організації та здійснення найманої оплачуваної праці. Перша загальна частина до якої входять такі інститути: а поняття та предмет трудового права; б основні принципи трудового права; в джерела трудового права; г суб'єкти трудового права; ґ трудові правовідносини; д колективний договір; е правова...
36617. УСТАТКУВАННЯ ЗАКЛАДІВ ГОТЕЛЬНО-РЕСТОРАННОГО ГОСПОДАРСТВА. Механічне та теплове устаткування 12.46 MB
  Універсальні кухонні машини. Допоміжними елементами машини є засоби керування регулювання захисту сигналізації а також пристрої які забезпечують безпеку експлуатації. Ведуча ланка зєднується з приводом машини а ведена – з робочими органами. Такі машини називаються складними на відміну від простих машин з одним робочим органом.
36618. ОБ’ЄКТНО-ОРІЄНТОВАНЕ ПРОГРАМУВАННЯ 3.53 MB
  Об’єктноорієнтоване програмування це методологія програмування яка базується на поданні програми у вигляді сукупності об’єктів кожний із яких є реалізацією певного класу а класи утворюють ієрархію на принципах успадкування. кожний об’єкт є реалізацією певного класу; 3. Це обєкт класу який асоційований з системною консоллю і отже все те що буде передано в цей об'єкт за допомогою оператора буде виведено в консоль. Тема 15 Поняття класу.