19057

Математические основы квантовой механики: линейные пространства, операторы, матрицы

Практическая работа

Физика

Семинар 1. Математические основы квантовой механики: линейные пространства операторы матрицы функция Дать определения: линейных пространств дискретного и непрерывного базиса скалярного произведения. Привести примеры пространств. Дать определения оператора лин...

Русский

2013-07-11

171 KB

4 чел.

Семинар 1. Математические основы квантовой механики: линейные пространства, операторы, матрицы, -функция

Дать определения: линейных пространств, дискретного и непрерывного базиса, скалярного произведения. Привести примеры пространств. Дать определения оператора, линейного оператора, сопряженного оператора, эрмитового оператора, унитарного оператора. Суммы и произведения операторов. Коммутатора операторов. Дать определение матрицы оператора, определения суммы и произведения матриц.

Дать определение -функции. Обсудить недостатки этого определения с точки зрения математического анализа.

Цель занятия – вспомнить основные понятия линейной алгебры, использующиеся в квантовой механике

Задача 1. Рассмотреть следующие операторы, действующие в линейном пространстве дифференцируемых функций одной действительной переменной: а)  - оператор умножения на функцию  (при действии оператора  на произвольную функцию  получается функция ); б)  - оператор однократного дифференцирования; в)  - оператор возведения в квадрат. Какие из перечисленных операторов являются линейными?

Задача 2. Найти результат действия на функцию  операторов, равных произведению любых двух операторов из перечисленных в задаче 1.1., взятых как в одном, так и в обратном порядке. Какие из перечисленных в задаче 1.1. операторов коммутируют?

Задача 3. Доказать, что , где  и  линейные операторы.

Задача 4. Вычислить коммутатор , где  - оператор умножения на координату.

Задача 5. Вычислить коммутатор , где оператор  определен в задаче 1,  - оператор четности, который меняет знак аргумента функции, на которую он действует: .

Задача 6. Доказать, что оператор , действующий в линейном пространстве функций, определенных на интервале , в котором определено скалярное произведение, является эрмитовым.

Задача 7 Доказать, что сумма эрмитовых операторов - эрмитов оператор.

Задача 8. Доказать, что матрицей единичного и нулевого операторов, действующих в -мерном линейном пространстве, являются единичная и нулевая матрицы размерности .

Задача 9. Пусть  - ортонормированный базис в некотором линейном пространстве. Найти матричные элементы матрицы оператора , действующего в этом пространстве, если известен результат действия оператора  на базисные элементы.

Задача 10. Доказать, что сумме и произведению операторов отвечает сумма и произведение их матриц.

Задача 11. Пусть, матрица некоторого оператора  известна. Найти матрицу оператора .

Задача 12. Рассмотреть функцию  и исследовать ее предел при . Убедиться, что такой предел можно рассматривать как -функцию от .

Задача 13. Вычислить интегралы

 и   

где  - непрерывная функция координат,  - некоторое число.

Задача 14. Доказать формулу


Домашнее задание

1. Пусть . Найти операторы  и .

2. Доказать, что оператор четности , действующий в линейном пространстве функций одной переменной, определенных на симметричном относительно начала координат интервале  - эрмитов.

3. Матрица некоторого оператора , действующего в трехмерном пространстве, имеет вид

Как изменится матрица оператора , если от базиса ,  и  (в котором и задана матрица ) перейти к новому базису ,  и , связанному со старым базисом следующими соотношениями

?

4. Вычислить интеграл

где  - производная дельта-функции,  - некоторое число.

3


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

49519. Защита понижающего трансформатора 172 KB
  Основные защиты реагируют на все виды повреждений трансформатора и действуют на отключение выключателей со всех сторон без выдержки времени. Резервные защиты резервируют основные защиты и реагируют на внешние к. Резервные защиты от междуфазных повреждений имеют несколько вариантов исполнения: а МТЗ максимальная токовая защита без пуска по напряжению; б МТЗ с комбинированным пуском по напряжению; в МТЗ обратной последовательности с приставкой для действия при симметричных к. Резервные защиты...
49520. Эконометрика. ОҚУ-ӘДІСТЕМЕЛІК КЕШЕН 220.5 KB
  “Эконометрика” пәнінің бағдарламасы ҚР Білім және ғылым министрлігі бекіткен жоғары кәсіптік білім берудің Жалпыға міндетті білім беру стандартының дипломдандырылған мамандарды (бакалавр) дайындау деңгейіне және міндетті минимум мазмұны талаптарына
49521. Сушильный барабан для сушки шлака 234.5 KB
  Материал уложен на решетку продуваемую газом со скоростью необходимой для создания кипящего слоя Температура материала максимальная температура нагрева В зависимости от свойств высушиваемого материала. В зависимости от свойств высушиваемого материала. Расход тепла кДж кг 58008000 50006000 Расход электроэнергии кВтч т 57 1015 Напряжение по влаге m0 Кг влаги м3 ч 50150 150200 Время сушки материала 2040 мин 1020 секунд Область применения Сушка кусковых материалов Сушка зернистых и сыпучих некомкующихся материалов сведения взяты...
49522. Исследование рычажного механизма 4.37 MB
  Для этого из центра О делают засечку радиусом R = ВBС на траектории точки С которая представляет собой прямую линию вдоль которой движется ползун. Делим траекторию точки В на 12 равных частей и строим 12 положений механизма. Второе мертвое положение соответствует случаю когда шатун и кривошип перекрывают друг друга тогда из точки А делается засечка радиусом R=СBВ на траектории точки С. Траектория этой точки представлена пунктирной линией.
49524. Расчет параметров систем передачи непрерывных сообщений дискретными сигналами 676 KB
  Для преобразования непрерывного сообщения в цифровую форму используются операции дискретизации и квантования. ЗАДАНИЕ НА ПРОЕКТИРОВАНИЕ Исходными данными для выполнения работы являются: параметр характеризующий порядок фильтра формирующего сообщение: к=4; эффективное значение относительной среднеквадратической ошибки передачи информации: =05=0005; частота определяющая ширину спектра сообщения: f0=1200 Гц; вид модуляции: ЧМ; закон распределения: W4 x = . СТРУКТУРНАЯ СХЕМА ЦИФРОВОЙ СИСТЕМЫ ПЕРЕДАЧИ НЕПРЕРЫВНОГО...
49525. Проект лавы 248.13 KB
  Расчёт толщины стружки и производительности струговой установки Описание технологии работы струговой установки Время крепления призабойного пространства индивидуальной крепью Проведение ниш Крепление сопряжений Выбор способа управления кровлей и обоснование специальной крепи. при работе по падению До 5 Сопротивляемость угля резанию кН м до 250 Характеристика пород непосредственной кровли Не ниже средней устойчивости Скорость движения струга м сек 152 Толщина стружки см до 10 Схема работы струга Челноковая...
49526. Расчет параметров систем передачи непрерывных сообщений дискретными сигналами 412.93 KB
  Расчет информационных характеристик источника сообщения и канала связи К входным преобразованиям относятся ограничения максимальных значений сообщения дискретизация и квантования непрерывного сообщения. Полагая что три из перечисленных выше ошибок имеют одинаковую величину определим их значения: 2 где 1 эффективное значение относительной ошибки вызванной временной дискретизацией сообщения 2 эффективное значение относительной ошибки вызванной ограничением максимальных...
49527. ЭСН и ЭО механического цеха 430.6 KB
  Перед энергетикой в ближайшем будущем стоит задача всемерного развития и использования возобновляемых источников энергии: солнечной, геотермальной, ветровой, приливной и др. Развития комбинированного производства электроэнергии и теплоты для централизованного теплоснабжения промышленных городов.