19057

Математические основы квантовой механики: линейные пространства, операторы, матрицы

Практическая работа

Физика

Семинар 1. Математические основы квантовой механики: линейные пространства операторы матрицы функция Дать определения: линейных пространств дискретного и непрерывного базиса скалярного произведения. Привести примеры пространств. Дать определения оператора лин...

Русский

2013-07-11

171 KB

4 чел.

Семинар 1. Математические основы квантовой механики: линейные пространства, операторы, матрицы, -функция

Дать определения: линейных пространств, дискретного и непрерывного базиса, скалярного произведения. Привести примеры пространств. Дать определения оператора, линейного оператора, сопряженного оператора, эрмитового оператора, унитарного оператора. Суммы и произведения операторов. Коммутатора операторов. Дать определение матрицы оператора, определения суммы и произведения матриц.

Дать определение -функции. Обсудить недостатки этого определения с точки зрения математического анализа.

Цель занятия – вспомнить основные понятия линейной алгебры, использующиеся в квантовой механике

Задача 1. Рассмотреть следующие операторы, действующие в линейном пространстве дифференцируемых функций одной действительной переменной: а)  - оператор умножения на функцию  (при действии оператора  на произвольную функцию  получается функция ); б)  - оператор однократного дифференцирования; в)  - оператор возведения в квадрат. Какие из перечисленных операторов являются линейными?

Задача 2. Найти результат действия на функцию  операторов, равных произведению любых двух операторов из перечисленных в задаче 1.1., взятых как в одном, так и в обратном порядке. Какие из перечисленных в задаче 1.1. операторов коммутируют?

Задача 3. Доказать, что , где  и  линейные операторы.

Задача 4. Вычислить коммутатор , где  - оператор умножения на координату.

Задача 5. Вычислить коммутатор , где оператор  определен в задаче 1,  - оператор четности, который меняет знак аргумента функции, на которую он действует: .

Задача 6. Доказать, что оператор , действующий в линейном пространстве функций, определенных на интервале , в котором определено скалярное произведение, является эрмитовым.

Задача 7 Доказать, что сумма эрмитовых операторов - эрмитов оператор.

Задача 8. Доказать, что матрицей единичного и нулевого операторов, действующих в -мерном линейном пространстве, являются единичная и нулевая матрицы размерности .

Задача 9. Пусть  - ортонормированный базис в некотором линейном пространстве. Найти матричные элементы матрицы оператора , действующего в этом пространстве, если известен результат действия оператора  на базисные элементы.

Задача 10. Доказать, что сумме и произведению операторов отвечает сумма и произведение их матриц.

Задача 11. Пусть, матрица некоторого оператора  известна. Найти матрицу оператора .

Задача 12. Рассмотреть функцию  и исследовать ее предел при . Убедиться, что такой предел можно рассматривать как -функцию от .

Задача 13. Вычислить интегралы

 и   

где  - непрерывная функция координат,  - некоторое число.

Задача 14. Доказать формулу


Домашнее задание

1. Пусть . Найти операторы  и .

2. Доказать, что оператор четности , действующий в линейном пространстве функций одной переменной, определенных на симметричном относительно начала координат интервале  - эрмитов.

3. Матрица некоторого оператора , действующего в трехмерном пространстве, имеет вид

Как изменится матрица оператора , если от базиса ,  и  (в котором и задана матрица ) перейти к новому базису ,  и , связанному со старым базисом следующими соотношениями

?

4. Вычислить интеграл

где  - производная дельта-функции,  - некоторое число.

3


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

43720. Дослідження конкурентоспроможності сільськогосподарської продукції ТОВ «Промінь-Приват» 211.61 KB
  Це визначається винятковим значенням аграрного підприємства у забезпеченні сталого розвитку аграрного ринку здійсненні зовнішньоекономічних звязків створення продовольчої безпеки держави. Тільки конкурентоспроможні підприємства можуть виробляти продовольчу продукцію у відповідності до вимог міжнародних стандартів та зможуть використати переваги міжнародного співробітництва у інвестуванні кредитуванні сертифікації страхуванні науковотехнічному забезпеченні сільськогосподарського виробництва та реалізації продовольчих товарів. Тому...
43721. Создание АРМ «Отдел кадров» для фирмы ИП «Никитин А.А.» 150.43 KB
  На каждом предприятии есть такое структурное подразделение как отдел кадров. Сотрудники отдела кадров должны быстро и качественно собирать информацию о человеке обработать ее проверить ее а затем предоставить начальству. Отдел кадров это место куда стекается информация о рабочих предприятия. В отделе кадров содержится информация о людях работающих на данном предприятии.
43722. Агломерационный процесс. Релейная защита присоединений ГПП 1.78 MB
  Их электроснабжение может осуществляться от одного источника питания при условии что перерывы электроснабжения не превышают одних суток.1 картограмма нагрузок Выбор сечения кабельных линий отходящих присоединений Сеть внутреннего электроснабжения выполнена по радиальной схеме с питанием каждой подстанции цехов по двум цепям поэтому производим выбор сечения жил кабелей по длительно допустимому току. Л5 РП5 3351 97 81 АСБУ3x95 Выполним проверку по максимально допустимому току таблица 1.4 максимальным расчетным током будем...
43723. Запуск программы Sony Vegas Pro CS 8.0 80.96 MB
  Главной рабочей областью является монтажная область где будут проходить все операции с видео и аудиодорожками нашего ролика.3 Импорт Информации Для создания видео ролика в программе Sony Vegs Pro в любом случае нам понадобится материал то есть фото видео музыка и другие необходимые медиафайлы.4 Монтаж Прежде чем начать монтаж видео мы запускаем программу ищем нужные нам файлы . Перетаскивание файла в программу Потом переносим их на видео дорожку.
43724. СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ ТЕРМОФОРМОВОЧНОЙ УСТАНОВКОЙ 1.38 MB
  Термоформовка является одним из основных методов переработки полимерных материалов, объединяя несколько технологических методов: вакуумный, пневматический, механический, а также их различные комбинации. Широкое распространение процессов термоформовки объясняется простотой, компактностью, относительной дешевизной используемого оборудования и технологической оснастки.
43725. ПРИСВОЕНИЕ И РАССТРАТА, СОСТАВ И ВИДЫ ПРЕСТУПЛЕНИЯ 90.17 KB
  Уголовно-правовая характеристика хищения чужого имущества Понятие хищения чужого имущества Хищение чужого имущества совершенное путем присвоения и растраты. В своей работе я дам понятие хищения против собственности затрону тему хищения чужого имущества и уделю особое внимание таким формам хищения как присвоение и растрата.
43726. Применение среды программирования LabVIEW для создания виртуального лабораторного практикума 2.39 MB
  Применение среды программирования LbVIEW для создания виртуального лабораторного практикума Обзор литературы по LbVIEW Обзор среды графического программирования LbVIEW LbVIEW как интегрированная среда разработки Виртуальные приборы Передняя панель Блок диаграмма Терминал Узел Провод Порядок выполнения виртуального прибора Типы данных Примером может служить система LbVIEW фирмы Ntionl Instruments. Так например приложения создаваемые в системе LbVIEW занимают примерно 253 Мбайт...
43728. Институт расторжения брака 85.81 KB
  Основание и порядок расторжения брака Глава Расторжение брака в органах записи актов гражданского состояния При взаимном согласии на расторжение брака супругов не имеющих общих несовершеннолетних детей