19057

Математические основы квантовой механики: линейные пространства, операторы, матрицы

Практическая работа

Физика

Семинар 1. Математические основы квантовой механики: линейные пространства операторы матрицы функция Дать определения: линейных пространств дискретного и непрерывного базиса скалярного произведения. Привести примеры пространств. Дать определения оператора лин...

Русский

2013-07-11

171 KB

4 чел.

Семинар 1. Математические основы квантовой механики: линейные пространства, операторы, матрицы, -функция

Дать определения: линейных пространств, дискретного и непрерывного базиса, скалярного произведения. Привести примеры пространств. Дать определения оператора, линейного оператора, сопряженного оператора, эрмитового оператора, унитарного оператора. Суммы и произведения операторов. Коммутатора операторов. Дать определение матрицы оператора, определения суммы и произведения матриц.

Дать определение -функции. Обсудить недостатки этого определения с точки зрения математического анализа.

Цель занятия – вспомнить основные понятия линейной алгебры, использующиеся в квантовой механике

Задача 1. Рассмотреть следующие операторы, действующие в линейном пространстве дифференцируемых функций одной действительной переменной: а)  - оператор умножения на функцию  (при действии оператора  на произвольную функцию  получается функция ); б)  - оператор однократного дифференцирования; в)  - оператор возведения в квадрат. Какие из перечисленных операторов являются линейными?

Задача 2. Найти результат действия на функцию  операторов, равных произведению любых двух операторов из перечисленных в задаче 1.1., взятых как в одном, так и в обратном порядке. Какие из перечисленных в задаче 1.1. операторов коммутируют?

Задача 3. Доказать, что , где  и  линейные операторы.

Задача 4. Вычислить коммутатор , где  - оператор умножения на координату.

Задача 5. Вычислить коммутатор , где оператор  определен в задаче 1,  - оператор четности, который меняет знак аргумента функции, на которую он действует: .

Задача 6. Доказать, что оператор , действующий в линейном пространстве функций, определенных на интервале , в котором определено скалярное произведение, является эрмитовым.

Задача 7 Доказать, что сумма эрмитовых операторов - эрмитов оператор.

Задача 8. Доказать, что матрицей единичного и нулевого операторов, действующих в -мерном линейном пространстве, являются единичная и нулевая матрицы размерности .

Задача 9. Пусть  - ортонормированный базис в некотором линейном пространстве. Найти матричные элементы матрицы оператора , действующего в этом пространстве, если известен результат действия оператора  на базисные элементы.

Задача 10. Доказать, что сумме и произведению операторов отвечает сумма и произведение их матриц.

Задача 11. Пусть, матрица некоторого оператора  известна. Найти матрицу оператора .

Задача 12. Рассмотреть функцию  и исследовать ее предел при . Убедиться, что такой предел можно рассматривать как -функцию от .

Задача 13. Вычислить интегралы

 и   

где  - непрерывная функция координат,  - некоторое число.

Задача 14. Доказать формулу


Домашнее задание

1. Пусть . Найти операторы  и .

2. Доказать, что оператор четности , действующий в линейном пространстве функций одной переменной, определенных на симметричном относительно начала координат интервале  - эрмитов.

3. Матрица некоторого оператора , действующего в трехмерном пространстве, имеет вид

Как изменится матрица оператора , если от базиса ,  и  (в котором и задана матрица ) перейти к новому базису ,  и , связанному со старым базисом следующими соотношениями

?

4. Вычислить интеграл

где  - производная дельта-функции,  - некоторое число.

3


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

11407. УСТНОЕ НАРОДНОЕ ТВОРЧЕСТВО БЫЛИНЫ 53 KB
  УСТНОЕ НАРОДНОЕ ТВОРЧЕСТВО БЫЛИНЫ Занятия по фольклору в седьмом классе начинаются с рассказов учащихся об известных им жанрах устного народного творчества с пересказов полюбившихся им сказок пословиц поговорок загадок. Они могут быть проведены в виде св...
11408. УСТНОЕ НАРОДНОЕ ТВОРЧЕСТВО Обрядовый фольклор 58 KB
  УСТНОЕ НАРОДНОЕ ТВОРЧЕСТВО Обрядовый фольклор 2 часа Урок 8 Обряды и обрядовый фольклор. Произведения календарнообрядового цикла: колядки веснянки масленичные летние песни осенние обрядовые песни. Эстетическое значение обрядового фольклора
11409. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ 71.5 KB
  Лабораторная работа ЦИКЛИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ Цель работы; ознакомление и приобретение навыков алгоритмизации задач методом структурной декомпозиции использования основных арифметикологических и управляющих операторов языка С/С и отладки пр...
11411. ОБРАБОТКА МАССИВОВ ДАННЫХ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПОЛЬЗОВАТЕЛЬСКИХ ФУНКЦИЙ 50.5 KB
  Лабораторная работа ОБРАБОТКА МАССИВОВ ДАННЫХ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПОЛЬЗОВАТЕЛЬСКИХ ФУНКЦИЙ Цель работы: ознакомление с принципами описания и алгоритмизации обра ботки массивов однотипных данных средствами языка С/С и приобретение навыков работы и отладки...
11413. Нормализация баз данных 36 KB
  Лабораторная работа № 1. Нормализация баз данных. Задание: 1. Спроектировать реляционную базу данных состоящую из четырех связанных отношений. 2. Произвести нормализацию БД до третьей нормальной формы. Нормализация данных Один и тот же набор данных в реляцио...
11414. Запросы определения данных SQL 59.5 KB
  Лабораторная работа № 2. Запросы определения данных SQL. Задание: 1. Определить схемы разработанных отношений на SQLсервере. Обосновать выбор типов данных атрибутов отношений. 2. Определить произвольный двух или трехзначный атрибут пол статус и т.д. и ввести его в одн
11415. Запросы выборки данных SQL 41.5 KB
  Лабораторная работа № 3. Запросы выборки данных SQL. Задание: Создать запросы: 1. На выборку всех кортежей отношения 2. На выборку всех значений нескольких атрибутов отношения. 3. Запрос на выборку значений нескольких атрибутов с назначением альтернативных име