19057

Математические основы квантовой механики: линейные пространства, операторы, матрицы

Практическая работа

Физика

Семинар 1. Математические основы квантовой механики: линейные пространства операторы матрицы функция Дать определения: линейных пространств дискретного и непрерывного базиса скалярного произведения. Привести примеры пространств. Дать определения оператора лин...

Русский

2013-07-11

171 KB

4 чел.

Семинар 1. Математические основы квантовой механики: линейные пространства, операторы, матрицы, -функция

Дать определения: линейных пространств, дискретного и непрерывного базиса, скалярного произведения. Привести примеры пространств. Дать определения оператора, линейного оператора, сопряженного оператора, эрмитового оператора, унитарного оператора. Суммы и произведения операторов. Коммутатора операторов. Дать определение матрицы оператора, определения суммы и произведения матриц.

Дать определение -функции. Обсудить недостатки этого определения с точки зрения математического анализа.

Цель занятия – вспомнить основные понятия линейной алгебры, использующиеся в квантовой механике

Задача 1. Рассмотреть следующие операторы, действующие в линейном пространстве дифференцируемых функций одной действительной переменной: а)  - оператор умножения на функцию  (при действии оператора  на произвольную функцию  получается функция ); б)  - оператор однократного дифференцирования; в)  - оператор возведения в квадрат. Какие из перечисленных операторов являются линейными?

Задача 2. Найти результат действия на функцию  операторов, равных произведению любых двух операторов из перечисленных в задаче 1.1., взятых как в одном, так и в обратном порядке. Какие из перечисленных в задаче 1.1. операторов коммутируют?

Задача 3. Доказать, что , где  и  линейные операторы.

Задача 4. Вычислить коммутатор , где  - оператор умножения на координату.

Задача 5. Вычислить коммутатор , где оператор  определен в задаче 1,  - оператор четности, который меняет знак аргумента функции, на которую он действует: .

Задача 6. Доказать, что оператор , действующий в линейном пространстве функций, определенных на интервале , в котором определено скалярное произведение, является эрмитовым.

Задача 7 Доказать, что сумма эрмитовых операторов - эрмитов оператор.

Задача 8. Доказать, что матрицей единичного и нулевого операторов, действующих в -мерном линейном пространстве, являются единичная и нулевая матрицы размерности .

Задача 9. Пусть  - ортонормированный базис в некотором линейном пространстве. Найти матричные элементы матрицы оператора , действующего в этом пространстве, если известен результат действия оператора  на базисные элементы.

Задача 10. Доказать, что сумме и произведению операторов отвечает сумма и произведение их матриц.

Задача 11. Пусть, матрица некоторого оператора  известна. Найти матрицу оператора .

Задача 12. Рассмотреть функцию  и исследовать ее предел при . Убедиться, что такой предел можно рассматривать как -функцию от .

Задача 13. Вычислить интегралы

 и   

где  - непрерывная функция координат,  - некоторое число.

Задача 14. Доказать формулу


Домашнее задание

1. Пусть . Найти операторы  и .

2. Доказать, что оператор четности , действующий в линейном пространстве функций одной переменной, определенных на симметричном относительно начала координат интервале  - эрмитов.

3. Матрица некоторого оператора , действующего в трехмерном пространстве, имеет вид

Как изменится матрица оператора , если от базиса ,  и  (в котором и задана матрица ) перейти к новому базису ,  и , связанному со старым базисом следующими соотношениями

?

4. Вычислить интеграл

где  - производная дельта-функции,  - некоторое число.

3


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

16411. ФУНКЦИИ EXCEL. ВВОД ФУНКЦИЙ В РАБОЧЕМ ЛИСТЕ EXCEL 133.75 KB
  Лекция 1. ФУНКЦИИ EXCEL Функции Excel это специальные заранее созданные формулы которые позволяют легко и быстро выполнять сложные вычисления. Их можно сравнить со специальными клавишами на калькуляторах предназначенных для вычисления квадратных корней логарифмов и про...
16412. Емпіричне дослідження гендерних особливостей міжособистісної взаємодії у ранній юності 403.5 KB
  Проблема стосунків жінки і чоловіка в суспільстві прадавня. Сьогодні вона набула особливої гостроти оскільки в світі активізується боротьба за ствердження демократичних норм і принципів. У цьому контексті гендерне партнерство (рівні відносини статей), гендерна рівність набувають все більшої актуальності.
16413. Национальные проекты в России, как одна из форм государственного управления. Национальный проект «Демография» 1.23 MB
  Причины депопуляции в ошибках конкретных государственных правителей — Депопуляция процесс объективный, исторически заданный. Для России низкая рождаемость, ведущая к депопуляции, будет иметь катастрофические последствия. — Депопуляция нежелательна, но не катастрофична; противостоять ей можно.
16414. Планирование, как функция управления 113.5 KB
  Планирование как функция управления Понятие функции управления. Функция планирование. Процесс стратегического планирования. I. Суть любого управления – это достижение организацией целей при наиболее оптимальном использовании ресурсов. ...
16415. Функция организация 166 KB
  Функция организация Сущность функции организация Построение организации Делегирование полномочий I. Организация как функция управления нацелена на то чтобы претворить намеченные планы и решения в жизнь. Ранее мы рассматривал...
16416. Функция мотивация 108 KB
  Функция мотивация Сущность функции мотивации Теории мотивации I. Руководителю чтобы эффективно двигаться к намеченной цели необходимо координировать работу и заставить персонал выполнять ее. Функция мотивации состоит в побуждении перс
16417. Функция контроль 107.5 KB
  Функция контроль Цели задачи и содержание функции контроль Процесс контроля I. Контроль – процесс обеспечения достижения организацией своих целей постоянное сравнение того что есть с тем что должно быть. Функция контроль – состоит в наблю...
16418. Антропоцентрический подход в исследовании текстов (на основе документов официально-делового стиля) 201 KB
  В данной работе рассматривается жанровая организация официально-делового дискурса на примере объяснительных записок с целью многоаспектного исследования их коммуникативно-прагматических характеристик. В работе преобладает антропоцентрический подход, что находится в русле современных лингвистических исследований.
16419. Функции Excel для расчета амортизации АМР, АМГД, ДОБ и ДДОБ 43 KB
  Функции Excel для расчета амортизации АМР АМГД ДОБ и ДДОБ. Под амортизацией подразумевается уменьшение обычно на единицу времени стоимости имущества в процессе эксплуатации. Функция АМР SLN возвращает величину амортизации имущества за один период времени используя ...