19057

Математические основы квантовой механики: линейные пространства, операторы, матрицы

Практическая работа

Физика

Семинар 1. Математические основы квантовой механики: линейные пространства операторы матрицы функция Дать определения: линейных пространств дискретного и непрерывного базиса скалярного произведения. Привести примеры пространств. Дать определения оператора лин...

Русский

2013-07-11

171 KB

4 чел.

Семинар 1. Математические основы квантовой механики: линейные пространства, операторы, матрицы, -функция

Дать определения: линейных пространств, дискретного и непрерывного базиса, скалярного произведения. Привести примеры пространств. Дать определения оператора, линейного оператора, сопряженного оператора, эрмитового оператора, унитарного оператора. Суммы и произведения операторов. Коммутатора операторов. Дать определение матрицы оператора, определения суммы и произведения матриц.

Дать определение -функции. Обсудить недостатки этого определения с точки зрения математического анализа.

Цель занятия – вспомнить основные понятия линейной алгебры, использующиеся в квантовой механике

Задача 1. Рассмотреть следующие операторы, действующие в линейном пространстве дифференцируемых функций одной действительной переменной: а)  - оператор умножения на функцию  (при действии оператора  на произвольную функцию  получается функция ); б)  - оператор однократного дифференцирования; в)  - оператор возведения в квадрат. Какие из перечисленных операторов являются линейными?

Задача 2. Найти результат действия на функцию  операторов, равных произведению любых двух операторов из перечисленных в задаче 1.1., взятых как в одном, так и в обратном порядке. Какие из перечисленных в задаче 1.1. операторов коммутируют?

Задача 3. Доказать, что , где  и  линейные операторы.

Задача 4. Вычислить коммутатор , где  - оператор умножения на координату.

Задача 5. Вычислить коммутатор , где оператор  определен в задаче 1,  - оператор четности, который меняет знак аргумента функции, на которую он действует: .

Задача 6. Доказать, что оператор , действующий в линейном пространстве функций, определенных на интервале , в котором определено скалярное произведение, является эрмитовым.

Задача 7 Доказать, что сумма эрмитовых операторов - эрмитов оператор.

Задача 8. Доказать, что матрицей единичного и нулевого операторов, действующих в -мерном линейном пространстве, являются единичная и нулевая матрицы размерности .

Задача 9. Пусть  - ортонормированный базис в некотором линейном пространстве. Найти матричные элементы матрицы оператора , действующего в этом пространстве, если известен результат действия оператора  на базисные элементы.

Задача 10. Доказать, что сумме и произведению операторов отвечает сумма и произведение их матриц.

Задача 11. Пусть, матрица некоторого оператора  известна. Найти матрицу оператора .

Задача 12. Рассмотреть функцию  и исследовать ее предел при . Убедиться, что такой предел можно рассматривать как -функцию от .

Задача 13. Вычислить интегралы

 и   

где  - непрерывная функция координат,  - некоторое число.

Задача 14. Доказать формулу


Домашнее задание

1. Пусть . Найти операторы  и .

2. Доказать, что оператор четности , действующий в линейном пространстве функций одной переменной, определенных на симметричном относительно начала координат интервале  - эрмитов.

3. Матрица некоторого оператора , действующего в трехмерном пространстве, имеет вид

Как изменится матрица оператора , если от базиса ,  и  (в котором и задана матрица ) перейти к новому базису ,  и , связанному со старым базисом следующими соотношениями

?

4. Вычислить интеграл

где  - производная дельта-функции,  - некоторое число.

3


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

10564. Философия древнего востока. Специфика и основные проблемы Китайской философии 69.5 KB
  Философия древнего востока. Общая характеристика древневосточной философии. Ортодоксальные и неортодоксальные школы древнеиндийской философии: принципы идеи и категории. Специфика и основные проблемы Китайской философии. Основные философские школы дре...
10565. Характер древнегреческой цивилизации и особенности античной философской традиции 66.5 KB
  Характер древнегреческой цивилизации и особенности античной философской традиции Периодизация античной философии. Космоцентризм античного философского мышления и проблема первоначал философия досократиков. Концепция атомизма и материалистические тен...
10566. Статус и функции философии в средневековой европейской культуре 40.5 KB
  Статус и функции философии в средневековой европейской культуре. Соотношение разума и веры в философской традиции средних веков. Исторические этапы развития средневековой философии. Принципы средневекового философского мышления. Соотношение разума и ве
10567. Философия эпохи Возрождения и Нового времени 54.5 KB
  Философия эпохи Возрождения и Нового времени. Гуманизм философской мысли Возрождения. Социальнополитические идеи Возрождения. Философия и наука: проблема самоопределения философии в новоевропейской культуре. Социально-политические идеи Возр
10568. Философия Просвещения и немецкая классическая философия 39 KB
  Философия Просвещения и немецкая классическая философия. Философия и идеология в эпоху Просвещения. Немецкая классическая философия и ее роль в развитии мировой философской традиции. Вопрос 1. Философия и идеология в эпоху Просвещения. Во второй по
10569. Зарождение становление постклассической философии 66 KB
  Зарождение становление постклассической философии. Основные принципы классической философии. Проблемное поле неклассической философии. Критика философской классики и иррационализация философии в творчестве С. Кьеркегора и Ф. Ницше. Основные черты мар...
10570. Религиозная, экзистенциально-феноменологическая и аналитическая философия XX в 35 KB
  Религиозная экзистенциально-феноменологическая и аналитическая философия XX в. Религиозная философия: неотомизм. Философские концепции экзистенциализма. Аналитическая философия. Основные идеи феноменологии. Религиозная философия: неотомизм...
10571. Современная философия запада на рубеже XX-XXI в 42.5 KB
  Современная философия запада на рубеже XX-XXI в. Философская герменевтика. Структурализм и постструктурализм. Философия постмодернизма. Философская герменевтика. Герменевтика греч.: hermeneutike толкование как способ систематического размышле
10572. Философия Беларуси и России: формирование национального самосознания 57.5 KB
  Философия Беларуси и России: формирование национального самосознания Философия и национальное самосознание. Истоки и основные этапы развития философской мысли Беларуси. Основные направления и типологические характеристики русской философии. 1. Фи...