19057

Математические основы квантовой механики: линейные пространства, операторы, матрицы

Практическая работа

Физика

Семинар 1. Математические основы квантовой механики: линейные пространства операторы матрицы функция Дать определения: линейных пространств дискретного и непрерывного базиса скалярного произведения. Привести примеры пространств. Дать определения оператора лин...

Русский

2013-07-11

171 KB

4 чел.

Семинар 1. Математические основы квантовой механики: линейные пространства, операторы, матрицы, -функция

Дать определения: линейных пространств, дискретного и непрерывного базиса, скалярного произведения. Привести примеры пространств. Дать определения оператора, линейного оператора, сопряженного оператора, эрмитового оператора, унитарного оператора. Суммы и произведения операторов. Коммутатора операторов. Дать определение матрицы оператора, определения суммы и произведения матриц.

Дать определение -функции. Обсудить недостатки этого определения с точки зрения математического анализа.

Цель занятия – вспомнить основные понятия линейной алгебры, использующиеся в квантовой механике

Задача 1. Рассмотреть следующие операторы, действующие в линейном пространстве дифференцируемых функций одной действительной переменной: а)  - оператор умножения на функцию  (при действии оператора  на произвольную функцию  получается функция ); б)  - оператор однократного дифференцирования; в)  - оператор возведения в квадрат. Какие из перечисленных операторов являются линейными?

Задача 2. Найти результат действия на функцию  операторов, равных произведению любых двух операторов из перечисленных в задаче 1.1., взятых как в одном, так и в обратном порядке. Какие из перечисленных в задаче 1.1. операторов коммутируют?

Задача 3. Доказать, что , где  и  линейные операторы.

Задача 4. Вычислить коммутатор , где  - оператор умножения на координату.

Задача 5. Вычислить коммутатор , где оператор  определен в задаче 1,  - оператор четности, который меняет знак аргумента функции, на которую он действует: .

Задача 6. Доказать, что оператор , действующий в линейном пространстве функций, определенных на интервале , в котором определено скалярное произведение, является эрмитовым.

Задача 7 Доказать, что сумма эрмитовых операторов - эрмитов оператор.

Задача 8. Доказать, что матрицей единичного и нулевого операторов, действующих в -мерном линейном пространстве, являются единичная и нулевая матрицы размерности .

Задача 9. Пусть  - ортонормированный базис в некотором линейном пространстве. Найти матричные элементы матрицы оператора , действующего в этом пространстве, если известен результат действия оператора  на базисные элементы.

Задача 10. Доказать, что сумме и произведению операторов отвечает сумма и произведение их матриц.

Задача 11. Пусть, матрица некоторого оператора  известна. Найти матрицу оператора .

Задача 12. Рассмотреть функцию  и исследовать ее предел при . Убедиться, что такой предел можно рассматривать как -функцию от .

Задача 13. Вычислить интегралы

 и   

где  - непрерывная функция координат,  - некоторое число.

Задача 14. Доказать формулу


Домашнее задание

1. Пусть . Найти операторы  и .

2. Доказать, что оператор четности , действующий в линейном пространстве функций одной переменной, определенных на симметричном относительно начала координат интервале  - эрмитов.

3. Матрица некоторого оператора , действующего в трехмерном пространстве, имеет вид

Как изменится матрица оператора , если от базиса ,  и  (в котором и задана матрица ) перейти к новому базису ,  и , связанному со старым базисом следующими соотношениями

?

4. Вычислить интеграл

где  - производная дельта-функции,  - некоторое число.

3


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

28626. Введение в программирование, Принцип программного управления 57.5 KB
  Программы управляемые событиями. Всё что способен делать компьютер это выполнять программы. Процессор движущая сила исполнитель точно выполняющий команды программы. а также операции копирования перемещения информации из одних ячеек памяти в другие ввода данных в оперативную память например символов набранных на клавиатуре вывода информации например на экран дисплея или на диск окончания программы и другие.
28627. Язык Паскаль и системы программирования на Паскале 41 KB
  Понятие о языках программирования. Система программирования TURBO PASCAL 7. Понятие о языках программирования.
28628. Операторы с условиями 48 KB
  Композиция условий и операторов. Операторы условного перехода. Операторы итерационных циклов.
28629. Методика разработки простых программ 91 KB
  Разработка проекта программы на Турбо Паскале. Наиболее распространённое и устойчивое заблуждение среди начинающих осваивать программирование стремление немедленно писать текст программы по полученному заданию. Целесообразно поэтому считать процесс разработки программы многоэтапным процессом и придерживаться некоторой дисциплины при разработке даже относительно простых программ. Разработка проекта программы содержащего уточненную постановку задачи в терминах вход выход.
28630. Концепция типа данных 64.5 KB
  Пример программы с простыми типами и оператором выбора. Ранее мы познакомились с некоторыми стандартными типами данных: числовыми символьным строковым и булевским. Стандартные типы данных это лишь частный случай общей концепции типа данных Паскаля.
28631. Структурный тип - Массив 48.5 KB
  Понятие массива в Паскале. Описание массивов и доступ к элементам массива. Понятие массива в Паскале. Идея массива состоит в том чтобы объединить в одно целое фиксированное количество элементов одного и того же типа.
28632. Структурный тип - Строка 37 KB
  m] of char; где: m максимальная длина строки число диапазона 0 . Строки длины до 255 соответствуют типу string без указания длины строки. Нулевая позиция строки является специальной позицией в которой хранится текущая длина строки код ASCII представляющий длину строки. Доступ к компоненту строки символу строки осуществляется также как к элементу массива т.
28633. Структурный тип - Множество 45.5 KB
  Понятие о типе Множество в Турбо Паскале. Описание типа Множество и константымножества . Понятие о типе Множество в Турбо Паскале.
28634. Структурный тип - Запись 49.5 KB
  Запись как объединение неоднородных данных. Запись как объединение неоднородных данных. Объединение таких данных общий структурный типанкета затруднительно сделать в рамках массива или множества. Этот структурный тип специально введен для объединения любого конечного числа неоднородных данных.