19057

Математические основы квантовой механики: линейные пространства, операторы, матрицы

Практическая работа

Физика

Семинар 1. Математические основы квантовой механики: линейные пространства операторы матрицы функция Дать определения: линейных пространств дискретного и непрерывного базиса скалярного произведения. Привести примеры пространств. Дать определения оператора лин...

Русский

2013-07-11

171 KB

4 чел.

Семинар 1. Математические основы квантовой механики: линейные пространства, операторы, матрицы, -функция

Дать определения: линейных пространств, дискретного и непрерывного базиса, скалярного произведения. Привести примеры пространств. Дать определения оператора, линейного оператора, сопряженного оператора, эрмитового оператора, унитарного оператора. Суммы и произведения операторов. Коммутатора операторов. Дать определение матрицы оператора, определения суммы и произведения матриц.

Дать определение -функции. Обсудить недостатки этого определения с точки зрения математического анализа.

Цель занятия – вспомнить основные понятия линейной алгебры, использующиеся в квантовой механике

Задача 1. Рассмотреть следующие операторы, действующие в линейном пространстве дифференцируемых функций одной действительной переменной: а)  - оператор умножения на функцию  (при действии оператора  на произвольную функцию  получается функция ); б)  - оператор однократного дифференцирования; в)  - оператор возведения в квадрат. Какие из перечисленных операторов являются линейными?

Задача 2. Найти результат действия на функцию  операторов, равных произведению любых двух операторов из перечисленных в задаче 1.1., взятых как в одном, так и в обратном порядке. Какие из перечисленных в задаче 1.1. операторов коммутируют?

Задача 3. Доказать, что , где  и  линейные операторы.

Задача 4. Вычислить коммутатор , где  - оператор умножения на координату.

Задача 5. Вычислить коммутатор , где оператор  определен в задаче 1,  - оператор четности, который меняет знак аргумента функции, на которую он действует: .

Задача 6. Доказать, что оператор , действующий в линейном пространстве функций, определенных на интервале , в котором определено скалярное произведение, является эрмитовым.

Задача 7 Доказать, что сумма эрмитовых операторов - эрмитов оператор.

Задача 8. Доказать, что матрицей единичного и нулевого операторов, действующих в -мерном линейном пространстве, являются единичная и нулевая матрицы размерности .

Задача 9. Пусть  - ортонормированный базис в некотором линейном пространстве. Найти матричные элементы матрицы оператора , действующего в этом пространстве, если известен результат действия оператора  на базисные элементы.

Задача 10. Доказать, что сумме и произведению операторов отвечает сумма и произведение их матриц.

Задача 11. Пусть, матрица некоторого оператора  известна. Найти матрицу оператора .

Задача 12. Рассмотреть функцию  и исследовать ее предел при . Убедиться, что такой предел можно рассматривать как -функцию от .

Задача 13. Вычислить интегралы

 и   

где  - непрерывная функция координат,  - некоторое число.

Задача 14. Доказать формулу


Домашнее задание

1. Пусть . Найти операторы  и .

2. Доказать, что оператор четности , действующий в линейном пространстве функций одной переменной, определенных на симметричном относительно начала координат интервале  - эрмитов.

3. Матрица некоторого оператора , действующего в трехмерном пространстве, имеет вид

Как изменится матрица оператора , если от базиса ,  и  (в котором и задана матрица ) перейти к новому базису ,  и , связанному со старым базисом следующими соотношениями

?

4. Вычислить интеграл

где  - производная дельта-функции,  - некоторое число.

3


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

6810. Параметрична ідентифікація параметрів з використанням функцій чутливості 116.93 KB
  Параметрична ідентифікація параметрів з використанням функцій чутливості. Для математичної моделі коливання трьох мас, які поєднані між собою пружинами з відповідними жорсткостями, і відомої функції спостереження координат моделі потрі...
6811. Data manipulation in SQL Oracle 110 KB
  Data manipulation in SQL Oracle Purpose of the lab To study SQL Oracle possibilities in inserting, updating and deleting rows in a tables. To acquire practical skills in inserting, updating and deleting rows in a tables by using SQ...
6812. Манипулирование данными в SQL Oracle 121 KB
  Манипулирование данными в SQLOracle Цели лабораторной работы Изучить возможности SQL Oracle по вставке, обновлению и удалению строк в таблице. Приобрести практический опыт по вставке, обновлению и удалению строк в таблице с и...
6813. Опрацювання текстової інформації в MS-Word. Форматування та друк тексту 421 KB
  Опрацювання текстової інформації в MS-Word. Форматування та друк тексту Мета: удосконалити навички щодо створення та збереження документів та їх копій у текстовому редакторі Word, навички щодо редагування і форматування тестів. Теоретичні відомості ...
6814. Обработка результатов многократных равноточных наблюдений при прямых измерениях 318.5 KB
  Обработка результатов многократных равноточных наблюдений при прямых измерениях. Цель работы: изучить порядок обработки результатов многократных наблюдений при прямых измерениях приобрести навыки стандартной обработки результатов наблюдений, оценки...
6815. Сценарій під мереж 1 200 KB
  CNA Exploration Routing Protocols and Concepts: Introduction to Dynamic Routing Protocols Activity 3.5.2: Subnetting Scenario 1 Сценарій під мереж 1 Мета навчання Після завершення цієї лабораторної роботи ви зможете: Визначити нео...
6816. Предложение SELECT в SQL Oracle. Основные возможности 283 KB
  Предложение SELECT в SQL Oracle. Основные возможности Цели лабораторной работы Изучить основные возможности SQL Oracle по поиску данных в таблицах базы данных. Приобрести практический опыт по поиску данных в таблицах базы данных с...
6817. The SELECT statement in SQL Oracle. Basic features 287 KB
  The SELECT statement in SQL Oracle. Basic features Purpose of the lab To study general SQL Oracle possibilities in searching data in database tables. To acquire practical skills in searching data in database tables by using SQL*Plu...
6818. Базова VTP конфігурація 200 KB
  Базова VTP конфігурація Мета роботи Після виконання цієї лабораторної роботи ви зможете: Створити мережу відповідно до діаграми топології Видалити стартову конфігурацію і перезавантажити комутатор у режим по замовчуванню Налаштуват...