19057

Математические основы квантовой механики: линейные пространства, операторы, матрицы

Практическая работа

Физика

Семинар 1. Математические основы квантовой механики: линейные пространства операторы матрицы функция Дать определения: линейных пространств дискретного и непрерывного базиса скалярного произведения. Привести примеры пространств. Дать определения оператора лин...

Русский

2013-07-11

171 KB

4 чел.

Семинар 1. Математические основы квантовой механики: линейные пространства, операторы, матрицы, -функция

Дать определения: линейных пространств, дискретного и непрерывного базиса, скалярного произведения. Привести примеры пространств. Дать определения оператора, линейного оператора, сопряженного оператора, эрмитового оператора, унитарного оператора. Суммы и произведения операторов. Коммутатора операторов. Дать определение матрицы оператора, определения суммы и произведения матриц.

Дать определение -функции. Обсудить недостатки этого определения с точки зрения математического анализа.

Цель занятия – вспомнить основные понятия линейной алгебры, использующиеся в квантовой механике

Задача 1. Рассмотреть следующие операторы, действующие в линейном пространстве дифференцируемых функций одной действительной переменной: а)  - оператор умножения на функцию  (при действии оператора  на произвольную функцию  получается функция ); б)  - оператор однократного дифференцирования; в)  - оператор возведения в квадрат. Какие из перечисленных операторов являются линейными?

Задача 2. Найти результат действия на функцию  операторов, равных произведению любых двух операторов из перечисленных в задаче 1.1., взятых как в одном, так и в обратном порядке. Какие из перечисленных в задаче 1.1. операторов коммутируют?

Задача 3. Доказать, что , где  и  линейные операторы.

Задача 4. Вычислить коммутатор , где  - оператор умножения на координату.

Задача 5. Вычислить коммутатор , где оператор  определен в задаче 1,  - оператор четности, который меняет знак аргумента функции, на которую он действует: .

Задача 6. Доказать, что оператор , действующий в линейном пространстве функций, определенных на интервале , в котором определено скалярное произведение, является эрмитовым.

Задача 7 Доказать, что сумма эрмитовых операторов - эрмитов оператор.

Задача 8. Доказать, что матрицей единичного и нулевого операторов, действующих в -мерном линейном пространстве, являются единичная и нулевая матрицы размерности .

Задача 9. Пусть  - ортонормированный базис в некотором линейном пространстве. Найти матричные элементы матрицы оператора , действующего в этом пространстве, если известен результат действия оператора  на базисные элементы.

Задача 10. Доказать, что сумме и произведению операторов отвечает сумма и произведение их матриц.

Задача 11. Пусть, матрица некоторого оператора  известна. Найти матрицу оператора .

Задача 12. Рассмотреть функцию  и исследовать ее предел при . Убедиться, что такой предел можно рассматривать как -функцию от .

Задача 13. Вычислить интегралы

 и   

где  - непрерывная функция координат,  - некоторое число.

Задача 14. Доказать формулу


Домашнее задание

1. Пусть . Найти операторы  и .

2. Доказать, что оператор четности , действующий в линейном пространстве функций одной переменной, определенных на симметричном относительно начала координат интервале  - эрмитов.

3. Матрица некоторого оператора , действующего в трехмерном пространстве, имеет вид

Как изменится матрица оператора , если от базиса ,  и  (в котором и задана матрица ) перейти к новому базису ,  и , связанному со старым базисом следующими соотношениями

?

4. Вычислить интеграл

где  - производная дельта-функции,  - некоторое число.

3


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

51462. Понятие закрытой и открытой ринолалии, ее причины и проявления 15.32 KB
  Ринолалия - вид органической дислалии; расстройство звукопроизношения, образующееся в результате излишнего или недостаточного резонирования в носовой полости в процессе речи...
51463. Строение наружного уха, иннервация, его роль в слуховой функции. Особенности наружного уха у ребенка. Аномалии 15.7 KB
  Ввиду того что функциональное значение ушной раковины невелико, все ее заболевания, а также повреждения и аномалии развития, вплоть до полного отсутствия, не влекут за собой существенного нарушения слуха и имеют в основном лишь косметическое значение.
51464. Устройство и принцип работы трансформатора ТД-500 6.1 MB
  Сварочная дуга как потребитель энергии и источник питания образуют взаимосвязанную энергетическую систему. Дуга представляет собой мощный, длительно существующий электрический разряд, происходящий в атмосфере газов и паров металла между электродом и изделием или между двумя электродами, находящимися под напряжением.
51465. Барабанная полость. Формы, размеры и иннервация, ее содержимое и их роль в слуховой функции. Аномалии 15.4 KB
  Верхняя = передняя стенка пирамиды. Отделяет барабан.пер. от средней черепной ямки, где расположена височная доля мозга. У детей между пирамидой и чешуйчатой костью – щель (воспаление – осложнение отита – менингит).
51467. Средства разработки приложений в Visual Studio.NET 307.06 KB
  Необходимо отметить что процесс написания программ за последние 50 лет прошел путь от программирования в инструкциях процессора программирование в машинных кодах через программирование на низкоуровневых языках ассемблер до программирования на языках высокого уровня.
51468. Создание и выполнение Windowsпроектов с несколькими формами. Стандартные модули и модульная структура приложений в VB 843.34 KB
  Диалоговое окно Добавление нового элемента dd New Item предлагает несколько шаблонов доступных для использования в проектах. Окно Обозреватель решений Solution Explorer в списке компонент проекта содержит модуль который был добавлен в программу.
51469. Объектно-ориентированный подход в программировании. Теоретические основы объектно-ориентированного программирования 435.5 KB
  Теоретические основы объектно-ориентированного программирования Составные части объектного подхода Задачи для самостоятельного решения по теме Теоретические основы объектно-ориентированного программирования Тестовые задания по теме Теоретические основы объектно-ориентированного программирования...
51470. Средства объектно-ориентированного программирования в Visual Basic 187.42 KB
  С классами студенты сталкивались практически во всех предыдущих темах. Объектноориентированное программирование и проектирование построено на классах. Очень важно обратить внимание на то что у класса две различные роли: модуля и типа данных. Вторая роль класса не менее важна.