19058

Математические основы квантовой механики: уравнения на собственные значения и собственные функции

Практическая работа

Физика

Семинар 2. Математические основы квантовой механики: уравнения на собственные значения и собственные функции Напомнить что называется уравнением на собственные значения и собственные функции. Дать общую классификацию возможных решений: непрерывный и дискретный спе...

Русский

2013-07-11

344.5 KB

1 чел.

Семинар 2. Математические основы квантовой механики: уравнения на собственные значения и собственные функции

Напомнить, что называется уравнением на собственные значения и собственные функции. Дать общую классификацию возможных решений: непрерывный и дискретный спектр, вырождение и т.д.

Сформулировать цель занятия: исследовать свойства решений ряда уравнений на собственные значения м собственные функции. Исследовать также вопрос о существовании общих решений уравнений на собственные значения разных операторов.

Задача 1. Найти собственные значения и собственные функции нулевого и единичногооператоров. Какова кратность вырождения собственных значений?

Задача 2. Доказать, что если  - собственная функция оператора , отвечающая собственному значению , то она является также собственной функцией оператора , отвечающей собственному значению . Справедливо ли обратное утверждение?

Задача 3. Пусть  - эрмитов оператор. Доказать, что собственные значения оператора  действительны, а собственные функции, отвечающие разным собственным значениям ортогональны.

Задача 4. Пусть  - эрмитов оператор. Доказать, что собственные значения оператора  неотрицательны.

Задача 5. Доказать, что если  и  - собственные функции некоторого оператора , отвечающие одному и тому же собственному значению , то любая их линейная комбинация также является собственной функцией этого оператора, отвечающей тому же собственному значению.

Задача 6. Найти собственные значения  и собственные функции  оператора четности. Какова кратность вырождения собственных значений?

Задача 7. Эрмитов оператор , действующий в двумерном  пространстве, задан матрицей

Найти собственные значения и соответствующие им собственные функции оператора  в виде разложения по ортонормированному базису, в котором определена матрица оператора. Проверить ортогональность собственных функций.

Задача 8. Найти собственные значения и соответствующие им собственные функции оператора

в пространстве определенных на интервале () ограниченных функций.

Задача 9. Найти собственные значения и собственные функции оператора

( - азимутальный угол сферической системы координат), в пространстве однозначных функций угла .

Задача 10. Операторы  и  коммутируют и собственное значение  оператора  невырождено. Доказать, что отвечающая этому собственному значению собственная функция  оператора  является и собственной функцией оператора .


Домашнее задание

1. Эрмитов оператор , действующий в двумерном  пространстве, задан матрицей

Найти собственные значения и соответствующие им собственные функции оператора  в виде разложения по ортонормированному базису, в котором определена матрица оператора. Проверить ортогональность собственных функций.

2. Найти собственные значения и соответствующие им собственные функции оператора

в пространстве определенных на интервале () ограниченных функций.

3. Имеют ли операторы  и , действующие в линейном пространстве ограниченных функций, общие собственные функции? Будет ли любая собственная функция оператора  собственной функцией оператора ? А наоборот? Объяснить разницу.

3


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

50600. Импульсные стабилизаторы напряжения 143 KB
  Цель работы Изучить назначение принцип действия свойства и возможные схемотехнические решения импульсных стабилизаторов напряжения. Задание Ознакомиться с принципами построения характеристиками и свойствами импульсных стабилизаторов напряжения. Исследовать свойства импульсных стабилизаторов напряжения построенного на биполярных транзисторах.
50601. Схемотехнические решения устройств на операционных усилителях 586 KB
  Принципиальная схема простого аналогового интегратора показана на рис. На этой схеме конденсатор в цепи обратной связи ОУ подсоединен между суммирующим входом и выходом интегратора. Для определения выходного напряжения интегратора при постоянном напряжении Ui на его входе воспользуемся формулой коэффициента передачи усилителя с параллельной отрицательной обратной связью Kip = Uo Ui = Kp [1 bp Kp] 1 в которой Кр = А...
50602. Генераторы электрических колебаний 488 KB
  Зарисовать осциллограммы на выходе RCгенератора при 3х и 4х звенной фазосдвигающей цепочки. Исследовать зависимость амплитуды и частоты выходного сигнала а также периода самовозбуждения генератора от величины R и С и занести полученные значения в таб.5 кОм С мкФ 5 10 20 40 80 Um В 355 327 273 207 143 Т С 026 03 034 037 038 Гц 385 333 294 27 263 Tcв сек Исследование генератора на операционном усилителе.
50603. Пуск-Autodesk-Autodesk 3d Max 8-3d Max 8 516.5 KB
  Находится в верхней части окна программы и обеспечивает доступ к основным командам 3ds Mx 7. Обычно находится под главным меню но может отображаться как плавающая панель или располагаться в других местах окна. Viewports Окна проекций. Расположены в центре окна и занимают его большую часть.
50604. Создание геометрических примитивов. Добавление освещения в сцену 278 KB
  Установив параметры нажмите кнопку Crete Создать. В окне проекции Top Вид сверху нажмите левую кнопку мыши и не отпуская левую клавишу передвиньте мышь определяя первый радиус конуса. Расположение объектов в окне проекции Top Создайте Тор для этого: Нажмите кнопку Torus Тор на панели Cret Создать Создайте тор в окне проекции Top Вид сверху. Создайте трубу для этого: Нажмите кнопку Tube Труба на панели Cret Создать Создайте в окне проекции Top...
50605. Создание интерьера кухни с помощью примитивов 3ds Max 677.5 KB
  Например все объекты сцены на рис. Сцена созданная из примитивов 3ds Mx Цель: Смоделировав подобную сцену вы ознакомитесь с интерфейсом программы научитесь создавать объекты и производить с ними основные операции: выравнивание перемещение вращение клонирование. Научиться производить над объектами основные операции.
50606. Проблемы реализации геополитической стратегии Российской Федерацией 99 KB
  Понятие “геополитика” в современном мире рассматривается, иногда чересчур широко, что, в конечном счете, размывает характерные особенности данного явления.
50607. Создание тел вращения по профилю сечения при помощи сплайнов 923.5 KB
  Сегмент segment это участок линии сплайна между двумя соседними вершинами. Криволинейные сегменты представляются набором прямолинейных отрезков часто незаметных для глаза число которых задается при создании сплайна. Вершины vertex сплайна различаются по типу и определяют степень кривизны сегментов сплайна прилегающих к этим вершинам.
50608. Создание объектов методом Editable Mesh (Редактируемая поверхность) 879 KB
  Переключитесь в режим редактирования Polygon Полигон. Выйдите из режима редактирования Polygon Полигон выделите объект перейдите на вкладку Modify Изменение командной панели выберите из списка Modifier List Список модификаторов модификатор MeshSmooth Сглаживание. Переключитесь в режим редактирования Edge Ребро. Переключитесь в режим редактирования Vertex Вершина.