19058

Математические основы квантовой механики: уравнения на собственные значения и собственные функции

Практическая работа

Физика

Семинар 2. Математические основы квантовой механики: уравнения на собственные значения и собственные функции Напомнить что называется уравнением на собственные значения и собственные функции. Дать общую классификацию возможных решений: непрерывный и дискретный спе...

Русский

2013-07-11

344.5 KB

1 чел.

Семинар 2. Математические основы квантовой механики: уравнения на собственные значения и собственные функции

Напомнить, что называется уравнением на собственные значения и собственные функции. Дать общую классификацию возможных решений: непрерывный и дискретный спектр, вырождение и т.д.

Сформулировать цель занятия: исследовать свойства решений ряда уравнений на собственные значения м собственные функции. Исследовать также вопрос о существовании общих решений уравнений на собственные значения разных операторов.

Задача 1. Найти собственные значения и собственные функции нулевого и единичногооператоров. Какова кратность вырождения собственных значений?

Задача 2. Доказать, что если  - собственная функция оператора , отвечающая собственному значению , то она является также собственной функцией оператора , отвечающей собственному значению . Справедливо ли обратное утверждение?

Задача 3. Пусть  - эрмитов оператор. Доказать, что собственные значения оператора  действительны, а собственные функции, отвечающие разным собственным значениям ортогональны.

Задача 4. Пусть  - эрмитов оператор. Доказать, что собственные значения оператора  неотрицательны.

Задача 5. Доказать, что если  и  - собственные функции некоторого оператора , отвечающие одному и тому же собственному значению , то любая их линейная комбинация также является собственной функцией этого оператора, отвечающей тому же собственному значению.

Задача 6. Найти собственные значения  и собственные функции  оператора четности. Какова кратность вырождения собственных значений?

Задача 7. Эрмитов оператор , действующий в двумерном  пространстве, задан матрицей

Найти собственные значения и соответствующие им собственные функции оператора  в виде разложения по ортонормированному базису, в котором определена матрица оператора. Проверить ортогональность собственных функций.

Задача 8. Найти собственные значения и соответствующие им собственные функции оператора

в пространстве определенных на интервале () ограниченных функций.

Задача 9. Найти собственные значения и собственные функции оператора

( - азимутальный угол сферической системы координат), в пространстве однозначных функций угла .

Задача 10. Операторы  и  коммутируют и собственное значение  оператора  невырождено. Доказать, что отвечающая этому собственному значению собственная функция  оператора  является и собственной функцией оператора .


Домашнее задание

1. Эрмитов оператор , действующий в двумерном  пространстве, задан матрицей

Найти собственные значения и соответствующие им собственные функции оператора  в виде разложения по ортонормированному базису, в котором определена матрица оператора. Проверить ортогональность собственных функций.

2. Найти собственные значения и соответствующие им собственные функции оператора

в пространстве определенных на интервале () ограниченных функций.

3. Имеют ли операторы  и , действующие в линейном пространстве ограниченных функций, общие собственные функции? Будет ли любая собственная функция оператора  собственной функцией оператора ? А наоборот? Объяснить разницу.

3


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

24051. Злокачественные и доброкачественные опухоли пищевода 27.72 KB
  К числу доброкачественных опухолей пищевода относятся эпителиальные папилломы аденомы и неэпителиальные лейомиомы гемангиомы. Они берут начало в толще стенки пищевода затем образуют тонкую длинную ножку. Полипы пищевода как правило бывают одиночными локализуются на уровне раздвоения трахеи или в нижней половине пищевода.
24052. Хронический гастрит, Классификация, этиология и патогенез, клиника, лечение 56.92 KB
  Гастрит типа А эндогенный аутоимунный гастрит. Гастрит типа Б. Доказано что в основе патогенеза хронического гастрита типа В лежит персистирующая инфекция HP что подтверждается тем что этот микроорганизм находят в пилорическом отделе у подавляющего большинства больных. Гастрит типа С реактивный химический гастрит рефлюксгастрит.
24053. Бронхиальная астма. Аллергологическая диагностика 35.85 KB
  самостоятельное хроническое рецидивирующее заболевание основным и обязательным патогенетическим механизмом которого является изменённая реактивность бронхов обусловленная специфическими иммунологическими сенсибилизация и аллергия или неспецифическими механизмами а основным обязательным клиническим признаком приступ удушья вследствие бронхоспазма гиперсекреции и отёка слизистой оболочки бронхов Исследование функции внешнего дыхания Для определения функции внешнего дыхания повсеместно у пациентов в возрасте старше 5 лет используются...
24054. Острая и хроническая недостаточность коры надпочечников. Методы неотложной терапии 22.74 KB
  Синдром раздраженного кишечника: клиника диагностика лечение. Синдром раздраженного кишечника это не самостоятельное заболевание а комплекс расстройств которые не связаны с непосредственным поражением самого кишечника. Причины возникновения синдрома раздраженного кишечника: нервнопсихические психоэмоциональные расстройства стрессы нарушение привычного режима питания недостаток клетчатки в пище малоподвижный образ жизни гинекологические заболевания вызывают рефлекторные нарушения функции кишечника кишечника эндокринные нарушения ...
24055. Врожденные пороки сердца. Дефект межпредсердной и межжелудочковой перегородок 25.5 KB
  Врожденные аномалии пищевода. полное отсутствие атрезия аплазия пищевода; 2 частичная атрезия пищевода; 3 врожденные стенозы; 4 трахеоэзофагеальные фистулы; 5 врожденный короткий пищевод с образованием грудного желудка см. главу Дивертикулы пищевода; 7 врожденное диффузное или частичное расширение пищевода; 8 полное или частичное удвоение пищевода; 9 врожденные кисты и аберрантные ткани в пищеводе. Атрезии пищевода есть заращение его просвета на какомлибо участке или по всей длине.
24056. Крупозная и очаговая пневмонии: клиника, диагностика, лечение 43.49 KB
  Вегетососудистая дистония ВСД синонимы: нейроциркуляторная дистония нейроциркуляторная астения психовегетативный синдром вегетоневроз синдром вегетативной дисфункции полиэтиологический синдром характеризующийся дисфункцией вегетативной автономной нервной системы ВНС и функциональными то есть не органическими нарушениями со стороны практически всех систем организма в основном сердечнососудистой. Клинические проявления Основной клинической особенностью больных ВСД является наличие у больных многочисленных жалоб многообразие...
24057. Острые и хронические эрозии желудка и двенадцатиперстной кишки 30.57 KB
  Санация очагов хронической инфекции Отек легких: диагностика клиника лечение. состояние при котором в результате застоя в малом круге кровообращения или токсического поражения сосудов легких серозногоморрагическая жидкость выпотевает в легочные альвеолы. Богатый белком транссудат при соприкосновении с воздухом дает энергичное вспенивание в реиультате чего объем его резко возрастает значительно сокращается дыхательная поверхность легких и возникает угроза асфиксии. Пониженное содержание белков плазмы может быть важной причиной...
24058. Пневмокониозы (силикоз, силикатозы, бериллиоз, смешанные). Клинико-морфологические формы и стадии 34.62 KB
  хронические заболевания легких вызываемые длительным вдыханием пыли и характеризующиеся развитием фиброза легочной ткани. Чем лучше происходит самоочищение легких от пыли тем меньшее ее количество остается в них и тем меньше риск возникновения П. заключается в образовании пылевого депо вследствие того что количество пыли задерживающейся в легких при дыхании превышает количество пылевых частиц удаляемых из них. Первичные механизмы фиброзного процесса развивающегося в легких под воздействием пыли во многом еще не ясны.
24059. Регуляция обмена белков 44.5 KB
  В регуляции обмена белков принимают участие СТГ инсулин тиреидные гормоны половые гормоны кортикостероиды. Главная роль в регуляции обмена белков принадлежит СТГ. Этапы действия СТГ. Эффекты вызываемые СТГ во времени можно разделить на 3 группы: Ранние эффекты 2 ч.