19058

Математические основы квантовой механики: уравнения на собственные значения и собственные функции

Практическая работа

Физика

Семинар 2. Математические основы квантовой механики: уравнения на собственные значения и собственные функции Напомнить что называется уравнением на собственные значения и собственные функции. Дать общую классификацию возможных решений: непрерывный и дискретный спе...

Русский

2013-07-11

344.5 KB

1 чел.

Семинар 2. Математические основы квантовой механики: уравнения на собственные значения и собственные функции

Напомнить, что называется уравнением на собственные значения и собственные функции. Дать общую классификацию возможных решений: непрерывный и дискретный спектр, вырождение и т.д.

Сформулировать цель занятия: исследовать свойства решений ряда уравнений на собственные значения м собственные функции. Исследовать также вопрос о существовании общих решений уравнений на собственные значения разных операторов.

Задача 1. Найти собственные значения и собственные функции нулевого и единичногооператоров. Какова кратность вырождения собственных значений?

Задача 2. Доказать, что если  - собственная функция оператора , отвечающая собственному значению , то она является также собственной функцией оператора , отвечающей собственному значению . Справедливо ли обратное утверждение?

Задача 3. Пусть  - эрмитов оператор. Доказать, что собственные значения оператора  действительны, а собственные функции, отвечающие разным собственным значениям ортогональны.

Задача 4. Пусть  - эрмитов оператор. Доказать, что собственные значения оператора  неотрицательны.

Задача 5. Доказать, что если  и  - собственные функции некоторого оператора , отвечающие одному и тому же собственному значению , то любая их линейная комбинация также является собственной функцией этого оператора, отвечающей тому же собственному значению.

Задача 6. Найти собственные значения  и собственные функции  оператора четности. Какова кратность вырождения собственных значений?

Задача 7. Эрмитов оператор , действующий в двумерном  пространстве, задан матрицей

Найти собственные значения и соответствующие им собственные функции оператора  в виде разложения по ортонормированному базису, в котором определена матрица оператора. Проверить ортогональность собственных функций.

Задача 8. Найти собственные значения и соответствующие им собственные функции оператора

в пространстве определенных на интервале () ограниченных функций.

Задача 9. Найти собственные значения и собственные функции оператора

( - азимутальный угол сферической системы координат), в пространстве однозначных функций угла .

Задача 10. Операторы  и  коммутируют и собственное значение  оператора  невырождено. Доказать, что отвечающая этому собственному значению собственная функция  оператора  является и собственной функцией оператора .


Домашнее задание

1. Эрмитов оператор , действующий в двумерном  пространстве, задан матрицей

Найти собственные значения и соответствующие им собственные функции оператора  в виде разложения по ортонормированному базису, в котором определена матрица оператора. Проверить ортогональность собственных функций.

2. Найти собственные значения и соответствующие им собственные функции оператора

в пространстве определенных на интервале () ограниченных функций.

3. Имеют ли операторы  и , действующие в линейном пространстве ограниченных функций, общие собственные функции? Будет ли любая собственная функция оператора  собственной функцией оператора ? А наоборот? Объяснить разницу.

3


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

68147. ЛІКУВАННЯ ДІАФІЗАРНИХ ПЕРЕЛОМІВ СТЕГНОВОЇ КІСТКИ У ДІТЕЙ ЗОВНІШНІМ СТЕРЖНЕВИМ АПАРАТОМ 191.5 KB
  Переломи стегнової кістки у дітей і підлітків є частим та одним із найбільш тяжких ушкоджень Корж А. Аналіз даних літератури свідчить що у разі хірургічного лікування переломів стегнової кістки у дітей і підлітків використовують позаосередковий остеосинтез спицевими та стержневими...
68148. ЕВОЛЮЦІЯ УКРАЇНСЬКОЇ НАЦІОНАЛЬНОЇ ІДЕЇ У СОЦІАЛЬНО-ФІЛОСОФСЬКІЙ ДУМЦІ УКРАЇНИ НА ЗЛАМІ ХІХ-ХХ СТОЛІТЬ 137.5 KB
  Зазначений аспект об’єктивно актуалізує потребу досліджень теоретикоконцептуального доробку щодо національної ідеї генерованого українською інтелектуальною спадщиною на зламі ХІХ-ХХ століть. Її системне комплексне сприйняття і збалансоване оформлення у вигляді телеологічних пріоритетів надзвичайно...
68149. ЛЮТЕРАНСТВО В КОНТЕКСТІ ЗАГАЛЬНОЄВРОПЕЙСЬКОГО ДУХОВНОГО РОЗВИТКУ: ОСОБЛИВОСТІ РЕЛІГІЙНО-КУЛЬТУРНИХ ВІДНОСИН 175 KB
  Науковий інтерес щодо вивчення лютеранства є досить закономірним що пояснюється недостатнім рівнем його висвітлення в нашій країні протягом тривалого часу а також наявністю певних тенденцій відродження духовного потенціалу України на засадах толерантності діалогічності та плюралізму.
68150. Драма-діалог Лесі Українки та діалогічна традиція в європейських літературах 204.5 KB
  Драматичні твори Лесі Українки завдяки своєрідності поєднання в жанрі філософського контексту й драматичної форми дозволяють виділити в них діалогізм філософськоестетичний спосіб мислення та діалогічність здатність до комунікації і окреслити їх поняттям драмадіалог. Творчі пошуки Лесі Українки...
68151. ТРУБНО-ПЕРИТОНЕАЛЬНА БЕЗПЛІДНІСТЬ ТА ДИСГОРМОНАЛЬНІ ЗАХВОРЮВАННЯ МОЛОЧНИХ ЗАЛОЗ 456.5 KB
  Відновлення репродуктивної функції жінок які страждають на безплідність частота якої коливається у межах від 10 до 20 є актуальною медичною та соціальною проблемою В. Тому дисгормональні захворювання молочних залоз ДЗМЗ являють значний інтерес з одного боку як можливий фон для виникнення злоякісного процесу...
68152. ОСНОВОПОЛОЖНІ ПРИНЦИПИ ПРАВА ЯК ІНТЕГРУЮЧИЙ ЕЛЕМЕНТ ПРАВОВОЇ СИСТЕМИ УКРАЇНИ 152 KB
  Протягом багатьох років принципи права є однією з центральних тем у теорії держави і права. В юридичній літературі слушно зазначається, що на підставі та з урахуванням принципів формується вся система права, приймаються юридичні акти, здійснюється правозастосування і тлумачення права.
68153. ЗАХОДИ АДМІНІСТРАТИВНОГО ВПЛИВУ, ЩО ЗАСТОСОВУЮТЬСЯ ДО НЕПОВНОЛІТНІХ 150 KB
  Така загрозлива тенденція зумовила у свою чергу необхідність пошуку оптимальних шляхів до покращання ситуації зокрема вжиття ефективних заходів адміністративного впливу спрямованих як на виховання так і на попередження адміністративних проступків серед молоді. Так до заходів адміністративної...
68154. ПРАГМАТИКО-ФУНКЦІОНАЛЬНІ ОСОБЛИВОСТІ ПОЛІТИЧНОГО ДИСКУРСУ США ТА УКРАЇНИ ХХІ СТОЛІТТЯ 948 KB
  Метою дисертаційної роботи є виявлення лексико-семантичних та синтактико-стилістичних типологічних особливостей сучасного українського й американського політичного дискурсу що зумовлює вирішення таких завдань: структурувати дефініції термінів політичний...
68155. КОНЦЕПТУАЛЬНА МЕТАФОРА У КЛІШЕ АНГЛОМОВНОГО НАУКОВОГО ТЕКСТУ 204.5 KB
  Для досягнення цієї мети в роботі вирішуються такі конкретні завдання: з’ясування ролі метафори у формуванні змісту наукового тексту а також ролі клішеметафор як стилістичного засобу мови науки; визначення основних положень теорії концептуальної метафори у їх взаємозв’язку з положеннями попередніх...