19058

Математические основы квантовой механики: уравнения на собственные значения и собственные функции

Практическая работа

Физика

Семинар 2. Математические основы квантовой механики: уравнения на собственные значения и собственные функции Напомнить что называется уравнением на собственные значения и собственные функции. Дать общую классификацию возможных решений: непрерывный и дискретный спе...

Русский

2013-07-11

344.5 KB

1 чел.

Семинар 2. Математические основы квантовой механики: уравнения на собственные значения и собственные функции

Напомнить, что называется уравнением на собственные значения и собственные функции. Дать общую классификацию возможных решений: непрерывный и дискретный спектр, вырождение и т.д.

Сформулировать цель занятия: исследовать свойства решений ряда уравнений на собственные значения м собственные функции. Исследовать также вопрос о существовании общих решений уравнений на собственные значения разных операторов.

Задача 1. Найти собственные значения и собственные функции нулевого и единичногооператоров. Какова кратность вырождения собственных значений?

Задача 2. Доказать, что если  - собственная функция оператора , отвечающая собственному значению , то она является также собственной функцией оператора , отвечающей собственному значению . Справедливо ли обратное утверждение?

Задача 3. Пусть  - эрмитов оператор. Доказать, что собственные значения оператора  действительны, а собственные функции, отвечающие разным собственным значениям ортогональны.

Задача 4. Пусть  - эрмитов оператор. Доказать, что собственные значения оператора  неотрицательны.

Задача 5. Доказать, что если  и  - собственные функции некоторого оператора , отвечающие одному и тому же собственному значению , то любая их линейная комбинация также является собственной функцией этого оператора, отвечающей тому же собственному значению.

Задача 6. Найти собственные значения  и собственные функции  оператора четности. Какова кратность вырождения собственных значений?

Задача 7. Эрмитов оператор , действующий в двумерном  пространстве, задан матрицей

Найти собственные значения и соответствующие им собственные функции оператора  в виде разложения по ортонормированному базису, в котором определена матрица оператора. Проверить ортогональность собственных функций.

Задача 8. Найти собственные значения и соответствующие им собственные функции оператора

в пространстве определенных на интервале () ограниченных функций.

Задача 9. Найти собственные значения и собственные функции оператора

( - азимутальный угол сферической системы координат), в пространстве однозначных функций угла .

Задача 10. Операторы  и  коммутируют и собственное значение  оператора  невырождено. Доказать, что отвечающая этому собственному значению собственная функция  оператора  является и собственной функцией оператора .


Домашнее задание

1. Эрмитов оператор , действующий в двумерном  пространстве, задан матрицей

Найти собственные значения и соответствующие им собственные функции оператора  в виде разложения по ортонормированному базису, в котором определена матрица оператора. Проверить ортогональность собственных функций.

2. Найти собственные значения и соответствующие им собственные функции оператора

в пространстве определенных на интервале () ограниченных функций.

3. Имеют ли операторы  и , действующие в линейном пространстве ограниченных функций, общие собственные функции? Будет ли любая собственная функция оператора  собственной функцией оператора ? А наоборот? Объяснить разницу.

3


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

59232. В гостях у казки 26 KB
  Хід заняття Діти сьогодні ми з вами потрапимо в казкову країну в чарівний ліс де зустрінемось з казкою Давайте ми разом скажемо ось такі слова: Мив чарівний ліс підем Казку в лісі ми знайдем. Кругом себе повернись Казко де ти Нам зявись Ось ми і в лісі.
59233. Рідна природа 33 KB
  Звідки ж прилетіли сніжинки З неба З якого неба Веселого чи сердитого похмурого Сердитого похмурого де пливуть хмаринки. Проводиться вправа на розвиток мовного дихання Сніжинки або Снігопад.
59234. Світлий трагізм фіналу трагедії В. Шекспіра Ромео і Джульєтта 37.5 KB
  Сьогодні на уроці ми повинні довести що Ромео і Джульєтта це світла ренесаcна анти містична трагедія. Ця ворожнеча зла доля Ромео і Джульєтти яка призводить їх до загину.
59235. Визволення Принцеси Математики з полону Чахлика Невмирущого 32.5 KB
  Мета: перевірити знання дітей про кількісну і порядкову лічбу в межах 10; про геометричні фігури. Закріпити уміння розв’язувати елементарні задачі на додавання і віднімання. Закріпити знання дітей про час (дні тижня).
59236. УЗАГАЛЬНЕННЯ ЗНАНЬ ПРО ПРИКМЕТНИК 48.5 KB
  Ми повторимо все що знаємо про прикметники; Закріпимо вміння знаходити його в тексті ставити питання до прикметника та складати з ним речення і словосполучення.
59237. Ходить, ходить зима гаєм... Урок читання: Зима-білосніжка 37 KB
  Мета уроку: Навчати учнів бачити відчувати створені словами образи природи; спостерігати за змінами які відбуваються у природі з настанням зими; розширити знання учнів про особливості зимівлі окремих тварин...