19059

Основные принципы квантовой механики и их простейшие следствия

Практическая работа

Физика

Семинар 3. Основные принципы квантовой механики и их простейшие следствия Кратко перечислить основные физические принципы и постулаты квантовой механики. Обсудить основные схему рассмотрения любых квантовомеханических задач: решение уравнения Шредингера уравнени

Русский

2013-07-11

204.5 KB

9 чел.

Семинар 3. Основные принципы квантовой механики и их простейшие следствия

Кратко перечислить основные физические принципы и постулаты квантовой механики. Обсудить основные схему рассмотрения любых квантовомеханических задач: решение уравнения Шредингера, уравнений на собственные значения и собственные функции операторов, разложения по системам собственных функций.

Цель занятия – познакомиться с постулатами квантовой механики и их простейшими следствиями.

Задача 1. Нормированная волновая функция частицы имеет вид

где  - некоторое число. Найти вероятность того, что при измерении координат частицы можно одновременно обнаружить значения  и .

Задача 2. Нормированная волновая функция электрона в атоме водорода имеет вид

где  - некоторое число, имеющее размерность длины,  - расстояние от электрона до ядра. Что больше, вероятность обнаружить электрон в узком сферическом слое толщиной  на расстоянии  или в слое толщиной  на расстоянии  от ядра?

Задача 3. Квантовомеханическая система находится в состоянии с нормированной волновой функцией . В этой квантовой системе проводятся измерения некоторой физической величины . Пусть оператор  имеет дискретный спектр собственных значений . Используя постулаты квантовой механики, доказать, что вероятность того, что в результате измерений величины  в момент времени  будет обнаружено, что , равна

где  - нормированная на единицу собственная функция оператора , отвечающая собственному значению .

Задача 4. Согласно постулатам квантовой механики коэффициенты разложения волновой функции некоторого состояния  по собственным функциям оператора физической величины определяют вероятность наблюдения различных собственных значений. Доказать, что условие нормировки для найденных таким образом вероятностей будет выполнено автоматически, если волновая функция  и собственные функции оператора нормированы на единицу.

Задача 5. Говорят, что физическая величина имеет определенное значение, если при многократных измерениях этой физической величины в одних и тех же условиях будет получено одно и то же значение. Доказать, что физическая величина  имеет определенное значение в состоянии, волновая функция которого  совпадает с одной из собственных функций оператора .

Задача 6. Пусть величина  является дискретной случайной величиной, то есть в каждом эксперименте, проводимом в одинаковых условиях, величина  может принимать дискретный ряд значений , причем заранее нельзя сказать, какое значение величина  примет в данном конкретном эксперименте. Пусть вероятности появления указанных значений в отдельном эксперименте равны соответственно . Выразить среднее арифметическое значение  результатов большого числа измерений величины  (которое в теории вероятностей принято называть математическим ожиданием) через возможные значения  и их вероятности  .

Задача 7. Доказать, что среднее значение  результатов многократных измерений физической величины  в состоянии, которое описывается нормированной волновой функцией , в любой момент времени определяется соотношением

где  - квантовомеханический оператор, отвечающий величине .

Задача 8. Используя физическую величину , определим новую физическую величину , где  - среднее значение величины  в состоянии, описываемом некоторой волновой функцией  (в теории вероятностей величина  называется дисперсией величины ). Доказать, что среднее значение дисперсии равно нулю тогда и только тогда, когда волновая функция  совпадает с одной из собственных функций оператора . Каков смысл дисперсии?

Задача 9. Эрмитов оператор, отвечающий некоторой физической величине , имеет следующие собственные значения и нормированные собственные функции  и  (),. Квантовомеханическая система находится в состоянии, описываемом нормированной волновой функцией

Какие значения физических величин  и  могут быть обнаружены в этом состоянии в результате измерений и с какими вероятностями? Найти среднее значение результатов многократных измерений физических величин  и  в этом состоянии.

Задача 10. Пусть физической величине  отвечает квантовомеханический оператор . Доказать, что физической величине  отвечает оператор


Домашнее задание

1. Нормированная волновая функция электрона в атоме водорода имеет вид

где  - некоторое число. Найти среднее и наиболее вероятное значение модуля радиус-вектора.

2. Частица находится в состоянии, описываемом нормированной волновой функцией  (область определения волновой функции ). Известно значение следующего интеграла

Найти вероятности различных значений четности и среднюю четность состояния .

3. Нормированная волновая функция частицы имеет вид . Чему равна дисперсия четности  в этом состоянии?

4. Эрмитов оператор, отвечающий некоторой физической величине , имеет следующие собственные значения и отвечающие им ортонормированные собственные функции: , ,  (второе собственное значение двукратно вырождено). Квантовомеханическая система находится в состоянии, описываемом нормированной волновой функцией

Какие значения этой физической величины могут быть обнаружены в результате измерений и с какими вероятностями? Двумя способами найти среднее значение физической величины  и ее квадрата  в этом состоянии: (а) используя формулу теории вероятностей для математического ожидания дискретной случайной величины, (б) вычисляя соответствующие квантовомеханические средние.

5. Оператор некоторой физической величины имеет три собственных значения . Среднее значение величины  в некотором состоянии , а дисперсия . Найти вероятности различных значений величины .

3


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

76613. Зарождение либеральной и революционной идеи в России 18 века 29.5 KB
  Русский либерализм одна из значимых тенденций общественной мысли в России. Либерализм в России возник как идеология в период кризиса феодальнокрепостнического строя конец 18 1я половина 19 в. Его появление обусловлено включением России в широкий общеевропейский контекст приобщением высших слоев общества к европейской образованности утверждением идеалов просвещения внедрением идеи общественного договора и т.
76614. Россия и мир в 19 веке. Попытки модернизации и промышленный переворот. Развитие россии при Александре 1 30 KB
  Александр 1 – сын императора Павла I и княгини Марии Фёдоровны, внук Екатерины 2. Родился 23 декабря 1777 г. С самого раннего детства он начал жить у бабушки, которая хотела воспитать из него хорошего государя. После смерти Екатерины на престол вошел Павел
76615. Декабризм. Исторические условия, предпосылки, программы, тактика 28.5 KB
  Серьезное влияние на становление взглядов будущих декабристов оказали идеи западных национально-освободительных движений русская публицистика и просветительская литература. Таким образом можно выделить следующие важнейшие причины восстания декабристов. Несмотря на то что далеко не все было готово заговорщики решили действовать и восстание декабристов произошло в 1825 г. Но Николай 1 был предупрежден о том что готовится восстание декабристов на Сенатской площади.
76616. Николай 1. Западничество и славянофильство 35 KB
  Либеральная мысль в России разделилась на два идейных течения оппозиционных политике Николая I славянофилы и западники. Западники придерживались идеи о том что Россия принадлежит к европейской цивилизации и следовательно путь ее развития проходит по тем же рельсам по которым уже прошла Европа. Западники напротив верили в единство человеческой цивилизации и полагали что Россия стала цивилизованным государством лишь со времен Петра Великого благодаря именно реформам Петра. С особенным интересом западники следили за умственным...
76617. Россия во второй половине 19 в. Реформы и контрреформы 45 KB
  Реформы и контрреформы. Сразу же началась подготовка судебной реформы. Основные принципы судебной реформы определенные с учетом опыта европейских стран была одобрена Александром II в сентябре 1862 г. Важнейшим принципом реформы было признание равенства всех подданных империи перед законом.
76618. Основные направления народничества 33 KB
  езавершенность и половинчатость большинства реформ, проводившихся в борьбе с консерваторами, вызвали всплеск движения революционного народничества. Общество «Земля и воля», созданное Чернышевским, Слепцовым, Обручевым, Серно-Соловьевичем в конце 1861- начале 1862 г. в Петербурге не имело достаточно сил, чтобы стать всероссийской организацией
76619. Распространение марксизма в России 34 KB
  Первые организации пролетариата возникли в Петербурге и Одессе и назывались соответственно Северный союз русских рабочих и Южнороссийский союз рабочих. Оба императора и мысли не допускали чтобы разрешить образование профсоюзов или других даже не политических рабочих организаций. В результате по решению правительства трудовые споры должны были улаживать специальные чиновники фабричные инспектора которые разумеется чаще находились под влиянием предпринимателей нежели заботились об интересах рабочих. со своими соратниками он создал в...
76620. Россия и мир на рубеже XIX-XX веках 45 KB
  Приблизительное представление об историческом месте России в мировом сообществе на рубеже веков дает т. В России же промышленный переворот 90е гг. В России действовала хотя и не повсеместно рыночная система превосходящая западную ее средний уровень по своей динамике. объем промышленной продукции в России возрос в 7 раз в Германии в 5 во Франции в 25 в Англии в 2 раза.
76621. Первая Российская революция 1905-1907 годах 37.5 KB
  Царизм объявил об учреждении законосовещательной Государственной Думы Булыгинской по имени министра внутренних дел А. Не останавливая предназначенных выборов в Государственную думу привлечь теперь же к участию в Думе в мере возможности соответствующей кратности остающегося до созыва Думы срока те классы населения которые ныне совсем лишены избирательных прав предоставив за сим дальнейшее развитие начала общего избирательною права вновь установленному законодательному порядку и 3. Установить как незыблемое правило чтобы никакой...