19059

Основные принципы квантовой механики и их простейшие следствия

Практическая работа

Физика

Семинар 3. Основные принципы квантовой механики и их простейшие следствия Кратко перечислить основные физические принципы и постулаты квантовой механики. Обсудить основные схему рассмотрения любых квантовомеханических задач: решение уравнения Шредингера уравнени

Русский

2013-07-11

204.5 KB

9 чел.

Семинар 3. Основные принципы квантовой механики и их простейшие следствия

Кратко перечислить основные физические принципы и постулаты квантовой механики. Обсудить основные схему рассмотрения любых квантовомеханических задач: решение уравнения Шредингера, уравнений на собственные значения и собственные функции операторов, разложения по системам собственных функций.

Цель занятия – познакомиться с постулатами квантовой механики и их простейшими следствиями.

Задача 1. Нормированная волновая функция частицы имеет вид

где  - некоторое число. Найти вероятность того, что при измерении координат частицы можно одновременно обнаружить значения  и .

Задача 2. Нормированная волновая функция электрона в атоме водорода имеет вид

где  - некоторое число, имеющее размерность длины,  - расстояние от электрона до ядра. Что больше, вероятность обнаружить электрон в узком сферическом слое толщиной  на расстоянии  или в слое толщиной  на расстоянии  от ядра?

Задача 3. Квантовомеханическая система находится в состоянии с нормированной волновой функцией . В этой квантовой системе проводятся измерения некоторой физической величины . Пусть оператор  имеет дискретный спектр собственных значений . Используя постулаты квантовой механики, доказать, что вероятность того, что в результате измерений величины  в момент времени  будет обнаружено, что , равна

где  - нормированная на единицу собственная функция оператора , отвечающая собственному значению .

Задача 4. Согласно постулатам квантовой механики коэффициенты разложения волновой функции некоторого состояния  по собственным функциям оператора физической величины определяют вероятность наблюдения различных собственных значений. Доказать, что условие нормировки для найденных таким образом вероятностей будет выполнено автоматически, если волновая функция  и собственные функции оператора нормированы на единицу.

Задача 5. Говорят, что физическая величина имеет определенное значение, если при многократных измерениях этой физической величины в одних и тех же условиях будет получено одно и то же значение. Доказать, что физическая величина  имеет определенное значение в состоянии, волновая функция которого  совпадает с одной из собственных функций оператора .

Задача 6. Пусть величина  является дискретной случайной величиной, то есть в каждом эксперименте, проводимом в одинаковых условиях, величина  может принимать дискретный ряд значений , причем заранее нельзя сказать, какое значение величина  примет в данном конкретном эксперименте. Пусть вероятности появления указанных значений в отдельном эксперименте равны соответственно . Выразить среднее арифметическое значение  результатов большого числа измерений величины  (которое в теории вероятностей принято называть математическим ожиданием) через возможные значения  и их вероятности  .

Задача 7. Доказать, что среднее значение  результатов многократных измерений физической величины  в состоянии, которое описывается нормированной волновой функцией , в любой момент времени определяется соотношением

где  - квантовомеханический оператор, отвечающий величине .

Задача 8. Используя физическую величину , определим новую физическую величину , где  - среднее значение величины  в состоянии, описываемом некоторой волновой функцией  (в теории вероятностей величина  называется дисперсией величины ). Доказать, что среднее значение дисперсии равно нулю тогда и только тогда, когда волновая функция  совпадает с одной из собственных функций оператора . Каков смысл дисперсии?

Задача 9. Эрмитов оператор, отвечающий некоторой физической величине , имеет следующие собственные значения и нормированные собственные функции  и  (),. Квантовомеханическая система находится в состоянии, описываемом нормированной волновой функцией

Какие значения физических величин  и  могут быть обнаружены в этом состоянии в результате измерений и с какими вероятностями? Найти среднее значение результатов многократных измерений физических величин  и  в этом состоянии.

Задача 10. Пусть физической величине  отвечает квантовомеханический оператор . Доказать, что физической величине  отвечает оператор


Домашнее задание

1. Нормированная волновая функция электрона в атоме водорода имеет вид

где  - некоторое число. Найти среднее и наиболее вероятное значение модуля радиус-вектора.

2. Частица находится в состоянии, описываемом нормированной волновой функцией  (область определения волновой функции ). Известно значение следующего интеграла

Найти вероятности различных значений четности и среднюю четность состояния .

3. Нормированная волновая функция частицы имеет вид . Чему равна дисперсия четности  в этом состоянии?

4. Эрмитов оператор, отвечающий некоторой физической величине , имеет следующие собственные значения и отвечающие им ортонормированные собственные функции: , ,  (второе собственное значение двукратно вырождено). Квантовомеханическая система находится в состоянии, описываемом нормированной волновой функцией

Какие значения этой физической величины могут быть обнаружены в результате измерений и с какими вероятностями? Двумя способами найти среднее значение физической величины  и ее квадрата  в этом состоянии: (а) используя формулу теории вероятностей для математического ожидания дискретной случайной величины, (б) вычисляя соответствующие квантовомеханические средние.

5. Оператор некоторой физической величины имеет три собственных значения . Среднее значение величины  в некотором состоянии , а дисперсия . Найти вероятности различных значений величины .

3


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

5014. Системы массового обслуживания и их основные элементы 150 KB
  Во многих областях практической деятельности человека мы сталкиваемся с необходимостью пребывания в состоянии ожидания. Подобные ситуации возникают в очередях в билетных кассах, в крупных аэропортах, при ожидании обслуживающим персоналом са...
5015. Сучасні стереотипи відносно особистості та професійної діяльності психолога 138 KB
  Дослідник вважає дане дослідження досить актуальним тому що всі аспекти і процеси життя людина сприймає і реагує на них тільки через свої стереотипи взаємодіє з людьми на підставі стереотипів робить усі свої умовиводи і висновки тільки на пі...
5016. Проблема інвестування економіки України за рахунок внутрішніх резервів 108.5 KB
  Інвестиції є основою розвитку підприємств, окремих галузей та економіки країни в цілому. Від уміння інвестувати залежить розквіт чи занепад власного виробництва, можливості вирішення соціальних й екологічних проблем, сучасний рівень і потенцій...
5017. Рыночная экономика: сущность, функции, механизм 149 KB
  Рыночная экономика: сущность, функции, механизм. На какой бы ступени исторического развития ни находилось человеческое общество, люди, чтобы жить, должны иметь пищу, одежду, жилищные и другие материальные блага. Необходимые человеку средства...
5018. Налогообложение в России 223 KB
  В течение ряда последних лет Российская Федерация переживает величайший экономический эксперимент - переход от планового управления народным хозяйством к использованию рыночных механизмов экономического развития. Новые экономические инстр...
5019. Менеджмент – как структура управления предприятием 143 KB
  В наше время появляется много фирм. Состояние фирмы во многом зависит от правильного руководства, правильного управления делами фирмы. Необходимо четко понимать, насколько устойчива фирма, и как долго она сможет противостоять различным внеш...
5020. Повышение эффективности обработки экономической информации на базе АРМ финансиста 326.5 KB
  Введение В связи с неустойчивым положением в стране в последнее время одной из немногих благополучных отраслей, переживающих период бурного роста, является компьютерная индустрия. Буквально за считанные годы в стране освоен массовый выпуск качествен...
5022. Види АРП приймальних пристроїв РЛС. Робота АРП із зворотним звязком 26.98 KB
  Усилители с автоматической регулировкой усиления (АРУ). Области применения АРУ. Мощность отраженного радиолокационного сигнала принимаемого от отражающего объекта, изменяется прямопропорционально четвертой степени дальности или удвоенного в...