19059

Основные принципы квантовой механики и их простейшие следствия

Практическая работа

Физика

Семинар 3. Основные принципы квантовой механики и их простейшие следствия Кратко перечислить основные физические принципы и постулаты квантовой механики. Обсудить основные схему рассмотрения любых квантовомеханических задач: решение уравнения Шредингера уравнени

Русский

2013-07-11

204.5 KB

9 чел.

Семинар 3. Основные принципы квантовой механики и их простейшие следствия

Кратко перечислить основные физические принципы и постулаты квантовой механики. Обсудить основные схему рассмотрения любых квантовомеханических задач: решение уравнения Шредингера, уравнений на собственные значения и собственные функции операторов, разложения по системам собственных функций.

Цель занятия – познакомиться с постулатами квантовой механики и их простейшими следствиями.

Задача 1. Нормированная волновая функция частицы имеет вид

где  - некоторое число. Найти вероятность того, что при измерении координат частицы можно одновременно обнаружить значения  и .

Задача 2. Нормированная волновая функция электрона в атоме водорода имеет вид

где  - некоторое число, имеющее размерность длины,  - расстояние от электрона до ядра. Что больше, вероятность обнаружить электрон в узком сферическом слое толщиной  на расстоянии  или в слое толщиной  на расстоянии  от ядра?

Задача 3. Квантовомеханическая система находится в состоянии с нормированной волновой функцией . В этой квантовой системе проводятся измерения некоторой физической величины . Пусть оператор  имеет дискретный спектр собственных значений . Используя постулаты квантовой механики, доказать, что вероятность того, что в результате измерений величины  в момент времени  будет обнаружено, что , равна

где  - нормированная на единицу собственная функция оператора , отвечающая собственному значению .

Задача 4. Согласно постулатам квантовой механики коэффициенты разложения волновой функции некоторого состояния  по собственным функциям оператора физической величины определяют вероятность наблюдения различных собственных значений. Доказать, что условие нормировки для найденных таким образом вероятностей будет выполнено автоматически, если волновая функция  и собственные функции оператора нормированы на единицу.

Задача 5. Говорят, что физическая величина имеет определенное значение, если при многократных измерениях этой физической величины в одних и тех же условиях будет получено одно и то же значение. Доказать, что физическая величина  имеет определенное значение в состоянии, волновая функция которого  совпадает с одной из собственных функций оператора .

Задача 6. Пусть величина  является дискретной случайной величиной, то есть в каждом эксперименте, проводимом в одинаковых условиях, величина  может принимать дискретный ряд значений , причем заранее нельзя сказать, какое значение величина  примет в данном конкретном эксперименте. Пусть вероятности появления указанных значений в отдельном эксперименте равны соответственно . Выразить среднее арифметическое значение  результатов большого числа измерений величины  (которое в теории вероятностей принято называть математическим ожиданием) через возможные значения  и их вероятности  .

Задача 7. Доказать, что среднее значение  результатов многократных измерений физической величины  в состоянии, которое описывается нормированной волновой функцией , в любой момент времени определяется соотношением

где  - квантовомеханический оператор, отвечающий величине .

Задача 8. Используя физическую величину , определим новую физическую величину , где  - среднее значение величины  в состоянии, описываемом некоторой волновой функцией  (в теории вероятностей величина  называется дисперсией величины ). Доказать, что среднее значение дисперсии равно нулю тогда и только тогда, когда волновая функция  совпадает с одной из собственных функций оператора . Каков смысл дисперсии?

Задача 9. Эрмитов оператор, отвечающий некоторой физической величине , имеет следующие собственные значения и нормированные собственные функции  и  (),. Квантовомеханическая система находится в состоянии, описываемом нормированной волновой функцией

Какие значения физических величин  и  могут быть обнаружены в этом состоянии в результате измерений и с какими вероятностями? Найти среднее значение результатов многократных измерений физических величин  и  в этом состоянии.

Задача 10. Пусть физической величине  отвечает квантовомеханический оператор . Доказать, что физической величине  отвечает оператор


Домашнее задание

1. Нормированная волновая функция электрона в атоме водорода имеет вид

где  - некоторое число. Найти среднее и наиболее вероятное значение модуля радиус-вектора.

2. Частица находится в состоянии, описываемом нормированной волновой функцией  (область определения волновой функции ). Известно значение следующего интеграла

Найти вероятности различных значений четности и среднюю четность состояния .

3. Нормированная волновая функция частицы имеет вид . Чему равна дисперсия четности  в этом состоянии?

4. Эрмитов оператор, отвечающий некоторой физической величине , имеет следующие собственные значения и отвечающие им ортонормированные собственные функции: , ,  (второе собственное значение двукратно вырождено). Квантовомеханическая система находится в состоянии, описываемом нормированной волновой функцией

Какие значения этой физической величины могут быть обнаружены в результате измерений и с какими вероятностями? Двумя способами найти среднее значение физической величины  и ее квадрата  в этом состоянии: (а) используя формулу теории вероятностей для математического ожидания дискретной случайной величины, (б) вычисляя соответствующие квантовомеханические средние.

5. Оператор некоторой физической величины имеет три собственных значения . Среднее значение величины  в некотором состоянии , а дисперсия . Найти вероятности различных значений величины .

3


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

48723. ИССЛЕДОВАНИЕ АКТИВНОГО RC-ФИЛЬТРА 695 KB
  ФАКУЛЬТЕТ РАДОИСВЯЗИ РАДИОВЕЩАНИЯ И ТЕЛЕВИДЕНИЯ Курсовая работа на тему: ИССЛЕДОВАНИЕ АКТИВНОГО RCФИЛЬТРА Выполнил студент группы Проверила: Чечулина Людмила Александровна СанктПетербург 2003 Содержание Нахождение операторной передаточной АЧХ ФЧХ характеристик первого звена .5 Таблица значений АЧХ ФЧХ обоих звеньев и всего фильтра а также их графики . Нахождение переходной характеристики для первого звена фильтра 8 5. Проверка устойчивости фильтра по расположению...
48724. Нахождение операторной передаточной характеристики ARC звена 1.07 MB
  Нахождение операторной передаточной характеристики RC звена ; кОм; Ф; Ом; Ом; т. n=3 Схема ФПНЧ ; ; ; Передаточная функция полиномиального низкочастотного фильтрапрототипа: ; Преобразуем схему ФПНЧ в схему проектируемого фильтра: Ом; Ф Гн; Ф Гн; Ф Гн Расчет передаточной функции проектируемого...
48725. Cложная система с использованием объектно-ориентированного подхода 172.5 KB
  Моделирование поведения стада животных. На территории леса в хаотичном порядке расположены деревья и животные. На одном из краёв леса находится корм для животных. Во время движения на животных действуют два стимула: достижение корма и стремление быть близко друг к другу.
48726. Основы хирургии нарушений венозного и лимфатического кровотока. ЯЗВЫ. СВИЩИ 664 KB
  Заболеваниями венозной и лимфатической систем страдают 35 млн. человек. У 15% из них имеются декомпенсированные формы заболеваний, требующие оперативного лечения. Материальные затраты на лечение этих заболеваний огромны и достигают в промышленно развитых странах
48727. Анализ и диагностика финансово-хозяйственной деятельности предприятии ОАО «КБ «Вымпел» и оценки эффективности его работы в условиях рыночной экономики 123.96 KB
  Содержанием АФХД является глубокое и всестороннее изучение экономической информации о функционировании анализируемого субъекта хозяйствования с целью принятия оптимальных управленческих решений по обеспечению выполнения производственных программ предприятия, оценки уровня их выполнения, выявления слабых мест и внутрихозяйственных резервов.
48728. Принципы организации производственного процесса 68.92 KB
  Главной задачей, стоящей перед работниками остается своевременное, качественное и полное удовлетворение народного хозяйства и населения в перевозках и повышение экономической эффективности работы отрасли.
48729. Історія України. НАВЧАЛЬНО-МЕТОДИЧНИЙ ПОСІБНИК 482.09 KB
  Вивчення історії України має не тільки пізнавальне, а й виховне значення, в якому закладено глибокий гуманістичний зміст. Зокрема, одним із головних завдань викладання вітчизняної історії є виховання у студентської молоді почуття патріотизму, громадянської свідомості, виховання майбутніх спеціалістів, яким належить утверджувати державність України.
48730. Методы локализации неисправностей на аппаратуре СВ и РМ 91 KB
  БИВ блок индикатора вспомогательный. Задана внешнее проявление неисправности на экране ЭЛТ БИВ отсутствует изображение. Отследим тракт прохождения сигнала при выводе цифровой информации на экране БИВ. Наша неисправность выражается как отсутствие изображения на экране БИВ.