19059

Основные принципы квантовой механики и их простейшие следствия

Практическая работа

Физика

Семинар 3. Основные принципы квантовой механики и их простейшие следствия Кратко перечислить основные физические принципы и постулаты квантовой механики. Обсудить основные схему рассмотрения любых квантовомеханических задач: решение уравнения Шредингера уравнени

Русский

2013-07-11

204.5 KB

9 чел.

Семинар 3. Основные принципы квантовой механики и их простейшие следствия

Кратко перечислить основные физические принципы и постулаты квантовой механики. Обсудить основные схему рассмотрения любых квантовомеханических задач: решение уравнения Шредингера, уравнений на собственные значения и собственные функции операторов, разложения по системам собственных функций.

Цель занятия – познакомиться с постулатами квантовой механики и их простейшими следствиями.

Задача 1. Нормированная волновая функция частицы имеет вид

где  - некоторое число. Найти вероятность того, что при измерении координат частицы можно одновременно обнаружить значения  и .

Задача 2. Нормированная волновая функция электрона в атоме водорода имеет вид

где  - некоторое число, имеющее размерность длины,  - расстояние от электрона до ядра. Что больше, вероятность обнаружить электрон в узком сферическом слое толщиной  на расстоянии  или в слое толщиной  на расстоянии  от ядра?

Задача 3. Квантовомеханическая система находится в состоянии с нормированной волновой функцией . В этой квантовой системе проводятся измерения некоторой физической величины . Пусть оператор  имеет дискретный спектр собственных значений . Используя постулаты квантовой механики, доказать, что вероятность того, что в результате измерений величины  в момент времени  будет обнаружено, что , равна

где  - нормированная на единицу собственная функция оператора , отвечающая собственному значению .

Задача 4. Согласно постулатам квантовой механики коэффициенты разложения волновой функции некоторого состояния  по собственным функциям оператора физической величины определяют вероятность наблюдения различных собственных значений. Доказать, что условие нормировки для найденных таким образом вероятностей будет выполнено автоматически, если волновая функция  и собственные функции оператора нормированы на единицу.

Задача 5. Говорят, что физическая величина имеет определенное значение, если при многократных измерениях этой физической величины в одних и тех же условиях будет получено одно и то же значение. Доказать, что физическая величина  имеет определенное значение в состоянии, волновая функция которого  совпадает с одной из собственных функций оператора .

Задача 6. Пусть величина  является дискретной случайной величиной, то есть в каждом эксперименте, проводимом в одинаковых условиях, величина  может принимать дискретный ряд значений , причем заранее нельзя сказать, какое значение величина  примет в данном конкретном эксперименте. Пусть вероятности появления указанных значений в отдельном эксперименте равны соответственно . Выразить среднее арифметическое значение  результатов большого числа измерений величины  (которое в теории вероятностей принято называть математическим ожиданием) через возможные значения  и их вероятности  .

Задача 7. Доказать, что среднее значение  результатов многократных измерений физической величины  в состоянии, которое описывается нормированной волновой функцией , в любой момент времени определяется соотношением

где  - квантовомеханический оператор, отвечающий величине .

Задача 8. Используя физическую величину , определим новую физическую величину , где  - среднее значение величины  в состоянии, описываемом некоторой волновой функцией  (в теории вероятностей величина  называется дисперсией величины ). Доказать, что среднее значение дисперсии равно нулю тогда и только тогда, когда волновая функция  совпадает с одной из собственных функций оператора . Каков смысл дисперсии?

Задача 9. Эрмитов оператор, отвечающий некоторой физической величине , имеет следующие собственные значения и нормированные собственные функции  и  (),. Квантовомеханическая система находится в состоянии, описываемом нормированной волновой функцией

Какие значения физических величин  и  могут быть обнаружены в этом состоянии в результате измерений и с какими вероятностями? Найти среднее значение результатов многократных измерений физических величин  и  в этом состоянии.

Задача 10. Пусть физической величине  отвечает квантовомеханический оператор . Доказать, что физической величине  отвечает оператор


Домашнее задание

1. Нормированная волновая функция электрона в атоме водорода имеет вид

где  - некоторое число. Найти среднее и наиболее вероятное значение модуля радиус-вектора.

2. Частица находится в состоянии, описываемом нормированной волновой функцией  (область определения волновой функции ). Известно значение следующего интеграла

Найти вероятности различных значений четности и среднюю четность состояния .

3. Нормированная волновая функция частицы имеет вид . Чему равна дисперсия четности  в этом состоянии?

4. Эрмитов оператор, отвечающий некоторой физической величине , имеет следующие собственные значения и отвечающие им ортонормированные собственные функции: , ,  (второе собственное значение двукратно вырождено). Квантовомеханическая система находится в состоянии, описываемом нормированной волновой функцией

Какие значения этой физической величины могут быть обнаружены в результате измерений и с какими вероятностями? Двумя способами найти среднее значение физической величины  и ее квадрата  в этом состоянии: (а) используя формулу теории вероятностей для математического ожидания дискретной случайной величины, (б) вычисляя соответствующие квантовомеханические средние.

5. Оператор некоторой физической величины имеет три собственных значения . Среднее значение величины  в некотором состоянии , а дисперсия . Найти вероятности различных значений величины .

3


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

63969. Установка и настройка программы управления компьютерным классом в «Пермском Радиотехническом Колледже А.С. Попова» 1.98 MB
  Для достижения поставленной цели, в ходе выполнения работы необходимо решить следующие задачи: исследование актуальности установки программы управление компьютерным классом; выбрать наиболее подходящую программу; установка и настройка программы в компьютерном классе колледжа...
63970. Повышению эффективности социальной работы ГКУ АО «Центр социальной поддержки населения Кировского района города Астрахани» 8.91 MB
  Тема дипломной работы является достаточно широко исследованной, но при этом остается постоянно актуальной, так как вопросы социальной защиты являются одними из базовых функций государства обеспечивающих его стабильность.
63971. Организации учета основных средств на ОАО «Вагонная ремонтная компания - 2» 231.53 KB
  В настоящее время из отраслей получающих значительные объемы бюджетных средств железнодорожный транспорт превратился в отрасль не только практически полностью самофинансирующуюся но и являющуюся одним из крупнейших доноров федерального бюджета пенсионного фонда местных бюджетных и внебюджетных фондов.
63972. Техника окрашивания омбре в салонных условиях 231.05 KB
  Для простоты восприятия приведем пример создания омбре по этой технике на натуральном цвете волос с переходом от натурального оттенка у корней к любому другому на кончиках. Нанесение краски на нижнюю часть всех волос. Реагент выдерживается на волосах максимально долго для создания интенсивного цвета.
63973. ОСОБЛИВОСТІ АДАПТАЦІЇ ОРГАНІЗМУ ПРИ ЦИКЛІЧНИХ ФІЗИЧНИХ НАВАНТАЖЕННЯХ 373 KB
  В літературі зустрічається незначна кількість праць яка присвячена вивченню показників діяльності серця спортсменів в різні періоди тренувального циклу протягом року макроцикл.зацікавленість викликають дослідження функцій серця спортсменів які займаються циклічними видами спорту в різні етапи...
63974. Класифікація і специфіка використання ОЗП. Методи вимірювання опору, ємності, індуктивності, добротності 281.79 KB
  У мостових схемах опори вимірюють, порівнюючи величини вимірюваного опору з величиною зразкового опору шляхом порівняння падіння напруг на цих опорах. При роботі в електричних полях змінного струму у діелектриках виникають втрати потужності.
63975. Индивидуальный подход и особенности его реализации в обучении иностранным языкам 185.35 KB
  Современная образовательная ситуация характеризуется становлением гуманистической парадигмы предполагающей иные отличные от традиционных подходы к организации образовательного процесса основанные на концепции индивидуального подхода целеполаганием которого является обеспечение развития...
63976. ОРГАНИЗАЦИЯ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ НА УСЛОВИЯХ ФРАНЧАЙЗИНГА 33.98 MB
  Целью дипломной работы является проект по созданию ресторана «KFC» (Kentuсky Fried Chicken) в городе Иркутске с использованием методов экономического анализа, достижение поставленной цели предполагает необходимость решения следующих задач: изучить историю франчайзинга...
63977. Основные направления борьбы с коррупцией в таможенных органах на основе анализа международного опыта 680.5 KB
  Понятие коррупции и история ее возникновения в таможенных органах. Требования по предупреждению коррупционных правонарушений Основные направления по противодействию коррупции. Причины возникновения коррупции модели и индексы. Основные принципы противодействия коррупции.