19059

Основные принципы квантовой механики и их простейшие следствия

Практическая работа

Физика

Семинар 3. Основные принципы квантовой механики и их простейшие следствия Кратко перечислить основные физические принципы и постулаты квантовой механики. Обсудить основные схему рассмотрения любых квантовомеханических задач: решение уравнения Шредингера уравнени

Русский

2013-07-11

204.5 KB

10 чел.

Семинар 3. Основные принципы квантовой механики и их простейшие следствия

Кратко перечислить основные физические принципы и постулаты квантовой механики. Обсудить основные схему рассмотрения любых квантовомеханических задач: решение уравнения Шредингера, уравнений на собственные значения и собственные функции операторов, разложения по системам собственных функций.

Цель занятия – познакомиться с постулатами квантовой механики и их простейшими следствиями.

Задача 1. Нормированная волновая функция частицы имеет вид

где  - некоторое число. Найти вероятность того, что при измерении координат частицы можно одновременно обнаружить значения  и .

Задача 2. Нормированная волновая функция электрона в атоме водорода имеет вид

где  - некоторое число, имеющее размерность длины,  - расстояние от электрона до ядра. Что больше, вероятность обнаружить электрон в узком сферическом слое толщиной  на расстоянии  или в слое толщиной  на расстоянии  от ядра?

Задача 3. Квантовомеханическая система находится в состоянии с нормированной волновой функцией . В этой квантовой системе проводятся измерения некоторой физической величины . Пусть оператор  имеет дискретный спектр собственных значений . Используя постулаты квантовой механики, доказать, что вероятность того, что в результате измерений величины  в момент времени  будет обнаружено, что , равна

где  - нормированная на единицу собственная функция оператора , отвечающая собственному значению .

Задача 4. Согласно постулатам квантовой механики коэффициенты разложения волновой функции некоторого состояния  по собственным функциям оператора физической величины определяют вероятность наблюдения различных собственных значений. Доказать, что условие нормировки для найденных таким образом вероятностей будет выполнено автоматически, если волновая функция  и собственные функции оператора нормированы на единицу.

Задача 5. Говорят, что физическая величина имеет определенное значение, если при многократных измерениях этой физической величины в одних и тех же условиях будет получено одно и то же значение. Доказать, что физическая величина  имеет определенное значение в состоянии, волновая функция которого  совпадает с одной из собственных функций оператора .

Задача 6. Пусть величина  является дискретной случайной величиной, то есть в каждом эксперименте, проводимом в одинаковых условиях, величина  может принимать дискретный ряд значений , причем заранее нельзя сказать, какое значение величина  примет в данном конкретном эксперименте. Пусть вероятности появления указанных значений в отдельном эксперименте равны соответственно . Выразить среднее арифметическое значение  результатов большого числа измерений величины  (которое в теории вероятностей принято называть математическим ожиданием) через возможные значения  и их вероятности  .

Задача 7. Доказать, что среднее значение  результатов многократных измерений физической величины  в состоянии, которое описывается нормированной волновой функцией , в любой момент времени определяется соотношением

где  - квантовомеханический оператор, отвечающий величине .

Задача 8. Используя физическую величину , определим новую физическую величину , где  - среднее значение величины  в состоянии, описываемом некоторой волновой функцией  (в теории вероятностей величина  называется дисперсией величины ). Доказать, что среднее значение дисперсии равно нулю тогда и только тогда, когда волновая функция  совпадает с одной из собственных функций оператора . Каков смысл дисперсии?

Задача 9. Эрмитов оператор, отвечающий некоторой физической величине , имеет следующие собственные значения и нормированные собственные функции  и  (),. Квантовомеханическая система находится в состоянии, описываемом нормированной волновой функцией

Какие значения физических величин  и  могут быть обнаружены в этом состоянии в результате измерений и с какими вероятностями? Найти среднее значение результатов многократных измерений физических величин  и  в этом состоянии.

Задача 10. Пусть физической величине  отвечает квантовомеханический оператор . Доказать, что физической величине  отвечает оператор


Домашнее задание

1. Нормированная волновая функция электрона в атоме водорода имеет вид

где  - некоторое число. Найти среднее и наиболее вероятное значение модуля радиус-вектора.

2. Частица находится в состоянии, описываемом нормированной волновой функцией  (область определения волновой функции ). Известно значение следующего интеграла

Найти вероятности различных значений четности и среднюю четность состояния .

3. Нормированная волновая функция частицы имеет вид . Чему равна дисперсия четности  в этом состоянии?

4. Эрмитов оператор, отвечающий некоторой физической величине , имеет следующие собственные значения и отвечающие им ортонормированные собственные функции: , ,  (второе собственное значение двукратно вырождено). Квантовомеханическая система находится в состоянии, описываемом нормированной волновой функцией

Какие значения этой физической величины могут быть обнаружены в результате измерений и с какими вероятностями? Двумя способами найти среднее значение физической величины  и ее квадрата  в этом состоянии: (а) используя формулу теории вероятностей для математического ожидания дискретной случайной величины, (б) вычисляя соответствующие квантовомеханические средние.

5. Оператор некоторой физической величины имеет три собственных значения . Среднее значение величины  в некотором состоянии , а дисперсия . Найти вероятности различных значений величины .

3


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80343. Виконання спеціального завдання з розкриття злочинної діяльності організованої групи чи злочинної організації 30.17 KB
  Виконання спеціального завдання з розкриття злочинної діяльності організованої групи чи злочинної організації. Правові засади виконання спеціального завдання з розкриття злочинної діяльності організованої групи чи злочинної організації У КПК України гл. 272 передбачено такий вид негласних слідчих розшукових дій як виконання спеціального завдання з розкриття злочинної діяльності організованої групи чи злочинної організації. Під час досудового розслідування тяжких або особливо тяжких злочинів можуть бути отримані відомості речі і...
80344. ЗАХОДИ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ КРИМІНАЛЬНОГО ПРОВАДЖЕННЯ 113.69 KB
  Зважаючи на вимоги кримінально-процесуальної форми, необхідність дотримання принципу законності, вивчення питань, що стосуються обрання, зміни та скасування заходів забезпечення кримінального провадження є запорукою успішної та ефективної роботи органів досудового розслідування, дотримання прав громадян та недопущення їх порушень.
80345. Россия после смуты 17 век 40.5 KB
  Казаки попытались стать «под руку» московского царя в 1620 г. Царь отказал. Причина – набеги казаков на крымские территории Турции. Польша – конфликт с Турцией из-за Молдавии. Запорожцы – на стороне Польши. Михаил Хмельницкий, П. Сагайдачный сложили головы за польское дело, Богдан Хмельницкий попал в турецкий плен. .
80346. Контроль за вчиненням злочину 40.62 KB
  В Україні проведення контрольованої поставки здійснюється згідно з положеннями пункту 1 частини першої статті 271 Кримінального процесуального кодексу України у порядку визначеному нормативноправовими актами Міністерства внутрішніх справ України податкової міліції Державної податкової служби України Служби безпеки України Державної митної служби України погодженими з Генеральною прокуратурою України та зареєстрованими у Міністерстві юстиції України. У Законі України Про оперативнорозшукову діяльність далі ОРД у пункті 2 частини...
80347. Solutions of electrolytes. Features of Solutions of Salts, Acids, and Bases 290.5 KB
  Solutions of salts, acids, and alkalis greatly deviate from the laws mentioned above. The osmotic pressure, depression of the vapour pressure, and the changes in the boiling and freezing points are always greater for them than they ought to be for the given concentration of the solution.
80349. Классификация дифференциальных уравнений с частными производными 21.5 KB
  Приведение дифференциального уравнения к каноническому виду в общем случае. Дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными. Классификация. Канонические формы линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Задача Коши. Корректно поставленная задача.