19059

Основные принципы квантовой механики и их простейшие следствия

Практическая работа

Физика

Семинар 3. Основные принципы квантовой механики и их простейшие следствия Кратко перечислить основные физические принципы и постулаты квантовой механики. Обсудить основные схему рассмотрения любых квантовомеханических задач: решение уравнения Шредингера уравнени

Русский

2013-07-11

204.5 KB

10 чел.

Семинар 3. Основные принципы квантовой механики и их простейшие следствия

Кратко перечислить основные физические принципы и постулаты квантовой механики. Обсудить основные схему рассмотрения любых квантовомеханических задач: решение уравнения Шредингера, уравнений на собственные значения и собственные функции операторов, разложения по системам собственных функций.

Цель занятия – познакомиться с постулатами квантовой механики и их простейшими следствиями.

Задача 1. Нормированная волновая функция частицы имеет вид

где  - некоторое число. Найти вероятность того, что при измерении координат частицы можно одновременно обнаружить значения  и .

Задача 2. Нормированная волновая функция электрона в атоме водорода имеет вид

где  - некоторое число, имеющее размерность длины,  - расстояние от электрона до ядра. Что больше, вероятность обнаружить электрон в узком сферическом слое толщиной  на расстоянии  или в слое толщиной  на расстоянии  от ядра?

Задача 3. Квантовомеханическая система находится в состоянии с нормированной волновой функцией . В этой квантовой системе проводятся измерения некоторой физической величины . Пусть оператор  имеет дискретный спектр собственных значений . Используя постулаты квантовой механики, доказать, что вероятность того, что в результате измерений величины  в момент времени  будет обнаружено, что , равна

где  - нормированная на единицу собственная функция оператора , отвечающая собственному значению .

Задача 4. Согласно постулатам квантовой механики коэффициенты разложения волновой функции некоторого состояния  по собственным функциям оператора физической величины определяют вероятность наблюдения различных собственных значений. Доказать, что условие нормировки для найденных таким образом вероятностей будет выполнено автоматически, если волновая функция  и собственные функции оператора нормированы на единицу.

Задача 5. Говорят, что физическая величина имеет определенное значение, если при многократных измерениях этой физической величины в одних и тех же условиях будет получено одно и то же значение. Доказать, что физическая величина  имеет определенное значение в состоянии, волновая функция которого  совпадает с одной из собственных функций оператора .

Задача 6. Пусть величина  является дискретной случайной величиной, то есть в каждом эксперименте, проводимом в одинаковых условиях, величина  может принимать дискретный ряд значений , причем заранее нельзя сказать, какое значение величина  примет в данном конкретном эксперименте. Пусть вероятности появления указанных значений в отдельном эксперименте равны соответственно . Выразить среднее арифметическое значение  результатов большого числа измерений величины  (которое в теории вероятностей принято называть математическим ожиданием) через возможные значения  и их вероятности  .

Задача 7. Доказать, что среднее значение  результатов многократных измерений физической величины  в состоянии, которое описывается нормированной волновой функцией , в любой момент времени определяется соотношением

где  - квантовомеханический оператор, отвечающий величине .

Задача 8. Используя физическую величину , определим новую физическую величину , где  - среднее значение величины  в состоянии, описываемом некоторой волновой функцией  (в теории вероятностей величина  называется дисперсией величины ). Доказать, что среднее значение дисперсии равно нулю тогда и только тогда, когда волновая функция  совпадает с одной из собственных функций оператора . Каков смысл дисперсии?

Задача 9. Эрмитов оператор, отвечающий некоторой физической величине , имеет следующие собственные значения и нормированные собственные функции  и  (),. Квантовомеханическая система находится в состоянии, описываемом нормированной волновой функцией

Какие значения физических величин  и  могут быть обнаружены в этом состоянии в результате измерений и с какими вероятностями? Найти среднее значение результатов многократных измерений физических величин  и  в этом состоянии.

Задача 10. Пусть физической величине  отвечает квантовомеханический оператор . Доказать, что физической величине  отвечает оператор


Домашнее задание

1. Нормированная волновая функция электрона в атоме водорода имеет вид

где  - некоторое число. Найти среднее и наиболее вероятное значение модуля радиус-вектора.

2. Частица находится в состоянии, описываемом нормированной волновой функцией  (область определения волновой функции ). Известно значение следующего интеграла

Найти вероятности различных значений четности и среднюю четность состояния .

3. Нормированная волновая функция частицы имеет вид . Чему равна дисперсия четности  в этом состоянии?

4. Эрмитов оператор, отвечающий некоторой физической величине , имеет следующие собственные значения и отвечающие им ортонормированные собственные функции: , ,  (второе собственное значение двукратно вырождено). Квантовомеханическая система находится в состоянии, описываемом нормированной волновой функцией

Какие значения этой физической величины могут быть обнаружены в результате измерений и с какими вероятностями? Двумя способами найти среднее значение физической величины  и ее квадрата  в этом состоянии: (а) используя формулу теории вероятностей для математического ожидания дискретной случайной величины, (б) вычисляя соответствующие квантовомеханические средние.

5. Оператор некоторой физической величины имеет три собственных значения . Среднее значение величины  в некотором состоянии , а дисперсия . Найти вероятности различных значений величины .

3


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

38643. Анализ выявления преимуществ и недостатков в деятельности менеджера по управлению персоналом в Ростовском филиале ОАО «Ростелеком» 368 KB
  1 Сущность цели и принципы системы управления персоналом 1.2 Основные задачи и этапы управления персоналом. В условиях рыночной экономики необходимо постоянно совершенствовать систему организации труда и управления персоналом что бы достигнуть социальноэкономической стабильности в стране. Поэтому актуальность совершенствования методов управления персоналом в организации все более возрастает.
38644. ПОДГОТОВКА СПОРТСМЕНОВ 15-17 ЛЕТ ПО СИЛОВОМУ ТРОЕБОРЬЮ 315 KB
  Упражнения со штангой и тяжестями как эффективное средство развития силовых возможностей привлекают многих молодых людей как мужского и женского пола а также людей среднего и старшего возраста. В силовом троеборье пауэрлифтинге соревнования проходят в трех упражнениях приседании со штангой на спине жиме штанги лежа и становой тяге. Предполагается что повышение силовых способностей юношей 1517 лет занимающихся силовым троеборьем будет проходить более эффективно если применять упражнения в становой тяге основанные на...
38645. Элементы электронного учебно-методического комплекса курса «Популяционная экология» 1.03 MB
  Методики обучения с использованием персонального компьютера позволяют изучать учебный текст в необходимом студенту темпе, т.е. обеспечивают индивидуальное восприятие материала. При этом используется возможность «пошаговой» проработки материала, что особенно важно при различной степени средней базовой подготовленности студентов. Студент, работая на персональном компьютере, может сам наблюдать за процессом усвоения знаний, видеть свои ошибки и оценку своей работы
38646. Анализ финансовых услуг инвестиционных компаний на рынке ценных бумаг 1.17 MB
  Профессиональная и непрофессиональная деятельность инвестиционных компаний на рынке ценных бумаг Универсальный сервис как фактор конкурентоспособности инвестиционных компаний на фондовом рынке Анализ финансовых услуг инвестиционных компаний на рынке...
38647. Совершенствование системы управления персоналом на ООО «Вирма» 3.84 MB
  Понятие и структура персонала предприятия 7 1. Поэтому на каждом предприятии должна разрабатываться и осуществляться кадровая политика которая должна быть направлена на достижение следующих целей: создание здорового и работоспособного коллектива; повышение уровня квалификации работников предприятия; создание трудового коллектива оптимального по половой и возрастной структуре а также по уровню квалификации; создание высокопрофессионального руководящего звена способного гибко реагировать на изменяющиеся обстоятельства...
38650. Английский роман воспитания XIX века (Ч. Диккенс, У.М. Теккерей, Д. Мередит) 292.5 KB
  ЛОМОНОСОВА ФИЛОЛОГИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра истории зарубежной литературы Дипломная работастудентки V курса отделения романогерманской филологииКемпион Натальи Владимировны Английский роман воспитания XIX века Ч. Проблема воспитания является доминирующей во всей необозримой романной литературе. Как должен жить и мыслить современный человек чтобы стать достойным превысшего из званий: человек Какие силы подчерпнутые в природе в духовной культуре в конкретном исторически обусловленном социальном бытии человечества могут и должны...