19070

Одномерный гармонический осциллятор: простейшие вычисления с осцилляторными функциями

Практическая работа

Физика

Семинар 15. Одномерный гармонический осциллятор: простейшие вычисления с осцилляторными функциями В различных задачах квантовой механики приходится вычислять интегралы с осцилляторными функциями. Проблема заключается в том что явных выражений для функций с большим...

Русский

2013-07-11

290 KB

3 чел.

Семинар 15.

Одномерный гармонический осциллятор: простейшие вычисления с осцилляторными функциями

В различных задачах квантовой механики приходится вычислять интегралы с осцилляторными функциями. Проблема заключается в том, что явных выражений для функций с большими номерами у нас нет (есть только рекуррентные соотношения для коэффициентов полиномов Эрмита), а даже если бы они и были вычисления были бы очень громоздки. Тем не менее, такие интегралы с осцилляторными функциями легко вычисляются и без явных выражений для этих функций только на основе рекуррентных соотношений.

Цель занятия – научиться вычислять интегралы с очцилляторными функциями на основе рекуррентных соотношений для полиномов Эрмита, а также рассмотреть ряд задач, связанных с осциллятором.

Задача 1. Для полиномов Эрмита справедливы следующие рекуррентные соотношения.

Используя указанные тождества доказать, что

где  - нормированные волновые функции стационарных состояний осциллятора (сделать на доске с подробными комментариями).

Задача 2. Для -го стационарного состояния осциллятора найти , , , , ,  (сделать на доске с подробными комментариями). Как объяснить рост дисперсии координаты и импульса осциллятора с ростом ?

Задача 3. Осциллятор находится в -ом стационарном состоянии. Найти среднее значение полной, потенциальной и кинетической энергий.

Задача 4. В момент времени  нормированная волновая функция осциллятора имеет вид

Найти среднюю координату осциллятора в этом состоянии как функцию времени. Найти также поток вероятности при  как функцию времени. Дать физическую интерпретацию полученных результатов.

Задача 5. Волновая функция гармонического осциллятора в некоторый момент времени имеет вид  ( - безразмерная координата осциллятора). Найти среднюю координату осциллятора как функцию времени.

Задача 6. Волновая функция осциллятора в момент времени  имеет вид , где  - безразмерная координата осциллятора,  - постоянная. Будет ли средняя координата осциллятора в этом состоянии зависеть от времени?

Задача 7. Для каких значений индексов  и  отличен от нуля интеграл , где  и  собственные функции осциллятора,  - оператор координаты?

А. если индексы  и  совпадают  б. если индексы  и  - числа одной четности в. если индексы  и  отличаются на 2  г. если индексы  и  отличаются на 1

Задача 8. Для каких значений индексов  и  отличен от нуля интеграл , где  и  собственные функции осциллятора,  - оператор координаты?

А. только если индексы  и  совпадают  б. если индексы  и  - числа одной четности  в. если индексы  и  совпадают или отличаются на 2  г. только если индексы  и  отличаются на 2

Задача 9. Какой формулой (с точностью до безразмерного множителя) определяется интеграл , где  и  нормированные собственные функции осциллятора,  - оператор координаты?

А.   б.   в.   г.

Задача 10. Для каких значений индексов  и  отличен от нуля интеграл , где  и  собственные функции осциллятора,  - оператор импульса?

А. если индексы  и  совпадают  б. если индексы  и  отличаются на 1 в. если индексы  и  отличаются на 2  г. если индексы  и  - числа одной четности

Задача 11. Для каких значений индексов  и  отличен от нуля интеграл , где  и  собственные функции осциллятора,  - оператор импульса?

А. только если индексы  и  совпадают  б. только если индексы  и  отличаются на 2 в. если индексы  и  совпадают или отличаются на 2  г. если индексы  и  - числа одной четности

Задача 12. Какой формулой (с точностью до безразмерного множителя) определяется интеграл , где  и  нормированные собственные функции осциллятора,  - оператор импульса?

А.    б.    в.    г.

Задача 13. Волновая функция осциллятора в момент времени  равна

а.    б.

в.    г.

В каком из этих состояний средняя координата осциллятора не зависит от времени?

Задача 14. Потенциальная энергия частицы имеет вид

(«половина осциллятора»). Используя решение стационарного уравнения Шредингера для осциллятора найти волновые функции и энергии стационарных состояний частицы в таком потенциале.

Задача 15. Потенциальная энергия частицы имеет вид . Используя решение стационарного уравнения Шредингера для осциллятора найти волновые функции и энергии стационарных состояний частицы в таком потенциале.


Домашнее задание

Задачи (из вышеперечисленных), оставшиеся нерешенными, задать на дом.

4