19070

Одномерный гармонический осциллятор: простейшие вычисления с осцилляторными функциями

Практическая работа

Физика

Семинар 15. Одномерный гармонический осциллятор: простейшие вычисления с осцилляторными функциями В различных задачах квантовой механики приходится вычислять интегралы с осцилляторными функциями. Проблема заключается в том что явных выражений для функций с большим...

Русский

2013-07-11

290 KB

3 чел.

Семинар 15.

Одномерный гармонический осциллятор: простейшие вычисления с осцилляторными функциями

В различных задачах квантовой механики приходится вычислять интегралы с осцилляторными функциями. Проблема заключается в том, что явных выражений для функций с большими номерами у нас нет (есть только рекуррентные соотношения для коэффициентов полиномов Эрмита), а даже если бы они и были вычисления были бы очень громоздки. Тем не менее, такие интегралы с осцилляторными функциями легко вычисляются и без явных выражений для этих функций только на основе рекуррентных соотношений.

Цель занятия – научиться вычислять интегралы с очцилляторными функциями на основе рекуррентных соотношений для полиномов Эрмита, а также рассмотреть ряд задач, связанных с осциллятором.

Задача 1. Для полиномов Эрмита справедливы следующие рекуррентные соотношения.

Используя указанные тождества доказать, что

где  - нормированные волновые функции стационарных состояний осциллятора (сделать на доске с подробными комментариями).

Задача 2. Для -го стационарного состояния осциллятора найти , , , , ,  (сделать на доске с подробными комментариями). Как объяснить рост дисперсии координаты и импульса осциллятора с ростом ?

Задача 3. Осциллятор находится в -ом стационарном состоянии. Найти среднее значение полной, потенциальной и кинетической энергий.

Задача 4. В момент времени  нормированная волновая функция осциллятора имеет вид

Найти среднюю координату осциллятора в этом состоянии как функцию времени. Найти также поток вероятности при  как функцию времени. Дать физическую интерпретацию полученных результатов.

Задача 5. Волновая функция гармонического осциллятора в некоторый момент времени имеет вид  ( - безразмерная координата осциллятора). Найти среднюю координату осциллятора как функцию времени.

Задача 6. Волновая функция осциллятора в момент времени  имеет вид , где  - безразмерная координата осциллятора,  - постоянная. Будет ли средняя координата осциллятора в этом состоянии зависеть от времени?

Задача 7. Для каких значений индексов  и  отличен от нуля интеграл , где  и  собственные функции осциллятора,  - оператор координаты?

А. если индексы  и  совпадают  б. если индексы  и  - числа одной четности в. если индексы  и  отличаются на 2  г. если индексы  и  отличаются на 1

Задача 8. Для каких значений индексов  и  отличен от нуля интеграл , где  и  собственные функции осциллятора,  - оператор координаты?

А. только если индексы  и  совпадают  б. если индексы  и  - числа одной четности  в. если индексы  и  совпадают или отличаются на 2  г. только если индексы  и  отличаются на 2

Задача 9. Какой формулой (с точностью до безразмерного множителя) определяется интеграл , где  и  нормированные собственные функции осциллятора,  - оператор координаты?

А.   б.   в.   г.

Задача 10. Для каких значений индексов  и  отличен от нуля интеграл , где  и  собственные функции осциллятора,  - оператор импульса?

А. если индексы  и  совпадают  б. если индексы  и  отличаются на 1 в. если индексы  и  отличаются на 2  г. если индексы  и  - числа одной четности

Задача 11. Для каких значений индексов  и  отличен от нуля интеграл , где  и  собственные функции осциллятора,  - оператор импульса?

А. только если индексы  и  совпадают  б. только если индексы  и  отличаются на 2 в. если индексы  и  совпадают или отличаются на 2  г. если индексы  и  - числа одной четности

Задача 12. Какой формулой (с точностью до безразмерного множителя) определяется интеграл , где  и  нормированные собственные функции осциллятора,  - оператор импульса?

А.    б.    в.    г.

Задача 13. Волновая функция осциллятора в момент времени  равна

а.    б.

в.    г.

В каком из этих состояний средняя координата осциллятора не зависит от времени?

Задача 14. Потенциальная энергия частицы имеет вид

(«половина осциллятора»). Используя решение стационарного уравнения Шредингера для осциллятора найти волновые функции и энергии стационарных состояний частицы в таком потенциале.

Задача 15. Потенциальная энергия частицы имеет вид . Используя решение стационарного уравнения Шредингера для осциллятора найти волновые функции и энергии стационарных состояний частицы в таком потенциале.


Домашнее задание

Задачи (из вышеперечисленных), оставшиеся нерешенными, задать на дом.

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

33275. Элементы земельного налога и их характеристика 33.5 KB
  Существует несколько форм платы за землю: земельный налог арендная плата нормативная цена земли. Ежегодным земельным налогом облагаются собственники земли землевладельцы и землепользователи кроме арендаторов. Арендная плата взимается за земли переданные в аренду. Для покупки и выкупа земельных участков в случаях предусмотренных земельным законодательством РФ а также для получения под залог земли банковского кредита устанавливается нормативная цена земли.
33276. Упрощенная система налогообложения индивидуальных предпринимателей на основе патента 29 KB
  Под субъектами малого предпринимательства понимаются коммерческие организации одновременно удовлетворяющие следующим условиям: 1 Доля участия РФ субъектов РФ общественных и религиозных организаций и объединений благотворительных и иных фондов в уставном капитале организации не превышает 25; 2 Доля уставного капитала доля уставного капитала принадлежащая одному или нескольким юридическим лицам не являющимся субъектами малого предпринимательства не превышает 25; 3 Среднесписочная численность организации не превышает предельного...
33277. Единый налог на вмененный доход для отдельных видов деятельности и его характеристика 27 KB
  Единый налог на вмененный доход для отдельных видов деятельности и его характеристика. Данный налог введен для обложения сфер деятельности где преобладают наличные денежные расчеты. Базовая доходность – условная месячная доходность в стоимостном выражении на ту или иную единицу физического показателя характеризующего определенный вид предпринимательской деятельности в различных сопоставимых условиях которая используется для расчета величины вмененного дохода. Корректирующие коэффициенты базовой доходности – коэффициенты показывающие...
33278. Корректирующие коэффициенты и их применение при расчете единого налога на вмененный доход 23 KB
  К3 коэффициентдефлятор соответствующий индексу изменения потребительских цен на товары работы услуги в Российской Федерации Таким образом расчет единого налога на вмененный доход: ЕНВД = БД х Ф х К1 х К2 х В1 В2 х С где БД значение базовой доходности в месяц по осуществлению розничной торговли; Ф физический показатель характеризующий розничную торговлю в каждом месяце налогового периода площадь торгового зала; К1 коэффициентдефлятор; К2 корректирующий коэффициент; В1 фактическое количество дней работы в месяце; В2 ...
33279. Единый сельскохозяйственный налог и его характеристика 27 KB
  Единый сельскохозяйственный налог и его характеристика. Налогоплательщиками признаются организации крестьянские фермерские хозяйства и индивидуальные предприниматели являющиеся сельскохозяйственными товаропроизводителями т. производящие сельскохозяйственную продукцию на сельскохозяйственных угодьях и реализующие эту продукцию в том числе продукты ее переработки при условии что в их общей выручке от реализации товаров работ услуг доля выручки от реализации этой продукции составляет не менее 70. хоз.
33280. Налоги и сборы и их роль в формировании налоговых доходов бюджетной системы РФ 24 KB
  Налоги и сборы и их роль в формировании налоговых доходов бюджетной системы РФ налоговая система совокупность налогов сборов пошлин и других платежей уплачиваемых физическими и юридическими лицами выполняет функцию аккумуляции денежных средств необходимых для государственных расходов выполняет бюджетная система государства и его внебюджетные фонды. Бюджетная система Российской Федерации включает в себя не только централизованный денежный фонд государства госбюджет но и бюджеты формируемые на уровне субъектов Федерации республик...
33281. Региональные и местные налоги и их роль в формировании налоговых доходов консолидированного бюджета субъекта РФ (на конкретном примере своего региона) 26.5 KB
  Региональные и местные налоги и их роль в формировании налоговых доходов консолидированного бюджета субъекта РФ на конкретном примере своего региона. Региональными налогами признаются налоги которые установлены Налоговым Кодексом и законами субъектов Российской Федерации о налогах и обязательны к уплате на территориях соответствующих субъектов Российской Федерации. Местными налогами признаются налоги которые установлены Налоговым Кодексом и нормативными правовыми актами представительных органов муниципальных образований о налогах и...
33282. Возникновение налога и его природа 27.5 KB
  Налоговая система возникла и развивалась вместе с государством. В Афинах например считалось что свободный гражданин не должен платить прямых налогов. Это государство еще не имело теории налогов. Плательщиками налогов обычно выступали люди принадлежавшие к третьему сословию т.
33283. Налоги в дореволюционной России и их роль в формировании доходов государственного бюджета (начало ХХ в.) 24.5 KB
  Дополнительный промысловый налог по размеру превосходил основной и зависел от размера основного капитала и прибыли предприятия. Принадлежавшие купцам предприятия и заведения вносили дополнительный налог в виде раскладочного сбора и процентного сбора с прибыли. Сбор с прибыли составлял 333 с той части прибыли которая в 30 раз превышала размер основного промыслового налога. Акционерные общества платили дополнительный промысловый налог в форме налога с капитала и процентного сбора с прибыли.