19070

Одномерный гармонический осциллятор: простейшие вычисления с осцилляторными функциями

Практическая работа

Физика

Семинар 15. Одномерный гармонический осциллятор: простейшие вычисления с осцилляторными функциями В различных задачах квантовой механики приходится вычислять интегралы с осцилляторными функциями. Проблема заключается в том что явных выражений для функций с большим...

Русский

2013-07-11

290 KB

3 чел.

Семинар 15.

Одномерный гармонический осциллятор: простейшие вычисления с осцилляторными функциями

В различных задачах квантовой механики приходится вычислять интегралы с осцилляторными функциями. Проблема заключается в том, что явных выражений для функций с большими номерами у нас нет (есть только рекуррентные соотношения для коэффициентов полиномов Эрмита), а даже если бы они и были вычисления были бы очень громоздки. Тем не менее, такие интегралы с осцилляторными функциями легко вычисляются и без явных выражений для этих функций только на основе рекуррентных соотношений.

Цель занятия – научиться вычислять интегралы с очцилляторными функциями на основе рекуррентных соотношений для полиномов Эрмита, а также рассмотреть ряд задач, связанных с осциллятором.

Задача 1. Для полиномов Эрмита справедливы следующие рекуррентные соотношения.

Используя указанные тождества доказать, что

где  - нормированные волновые функции стационарных состояний осциллятора (сделать на доске с подробными комментариями).

Задача 2. Для -го стационарного состояния осциллятора найти , , , , ,  (сделать на доске с подробными комментариями). Как объяснить рост дисперсии координаты и импульса осциллятора с ростом ?

Задача 3. Осциллятор находится в -ом стационарном состоянии. Найти среднее значение полной, потенциальной и кинетической энергий.

Задача 4. В момент времени  нормированная волновая функция осциллятора имеет вид

Найти среднюю координату осциллятора в этом состоянии как функцию времени. Найти также поток вероятности при  как функцию времени. Дать физическую интерпретацию полученных результатов.

Задача 5. Волновая функция гармонического осциллятора в некоторый момент времени имеет вид  ( - безразмерная координата осциллятора). Найти среднюю координату осциллятора как функцию времени.

Задача 6. Волновая функция осциллятора в момент времени  имеет вид , где  - безразмерная координата осциллятора,  - постоянная. Будет ли средняя координата осциллятора в этом состоянии зависеть от времени?

Задача 7. Для каких значений индексов  и  отличен от нуля интеграл , где  и  собственные функции осциллятора,  - оператор координаты?

А. если индексы  и  совпадают  б. если индексы  и  - числа одной четности в. если индексы  и  отличаются на 2  г. если индексы  и  отличаются на 1

Задача 8. Для каких значений индексов  и  отличен от нуля интеграл , где  и  собственные функции осциллятора,  - оператор координаты?

А. только если индексы  и  совпадают  б. если индексы  и  - числа одной четности  в. если индексы  и  совпадают или отличаются на 2  г. только если индексы  и  отличаются на 2

Задача 9. Какой формулой (с точностью до безразмерного множителя) определяется интеграл , где  и  нормированные собственные функции осциллятора,  - оператор координаты?

А.   б.   в.   г.

Задача 10. Для каких значений индексов  и  отличен от нуля интеграл , где  и  собственные функции осциллятора,  - оператор импульса?

А. если индексы  и  совпадают  б. если индексы  и  отличаются на 1 в. если индексы  и  отличаются на 2  г. если индексы  и  - числа одной четности

Задача 11. Для каких значений индексов  и  отличен от нуля интеграл , где  и  собственные функции осциллятора,  - оператор импульса?

А. только если индексы  и  совпадают  б. только если индексы  и  отличаются на 2 в. если индексы  и  совпадают или отличаются на 2  г. если индексы  и  - числа одной четности

Задача 12. Какой формулой (с точностью до безразмерного множителя) определяется интеграл , где  и  нормированные собственные функции осциллятора,  - оператор импульса?

А.    б.    в.    г.

Задача 13. Волновая функция осциллятора в момент времени  равна

а.    б.

в.    г.

В каком из этих состояний средняя координата осциллятора не зависит от времени?

Задача 14. Потенциальная энергия частицы имеет вид

(«половина осциллятора»). Используя решение стационарного уравнения Шредингера для осциллятора найти волновые функции и энергии стационарных состояний частицы в таком потенциале.

Задача 15. Потенциальная энергия частицы имеет вид . Используя решение стационарного уравнения Шредингера для осциллятора найти волновые функции и энергии стационарных состояний частицы в таком потенциале.


Домашнее задание

Задачи (из вышеперечисленных), оставшиеся нерешенными, задать на дом.

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

809. Проектирование механического привода конвейера для транспортирования сухих сыпучих материалов 182 KB
  Определение мощности и выбор электродвигателя. Определение общего передаточного отношения привода и разбивка передаточного числа редуктора по ступеням. Определение вращающих моментов на валах редуктора. Проверочный расчет передач на контактную прочность. Уточненный расчет промежуточного вала.
810. ППП Евфрат 231.5 KB
  Удобный инструмент для адаптирования системы конкретно под нужды и структуры организации, позволяет создать полный маршрут движения определенного типа документа, что в процессе работы позволяет экономить время и ресуры, затрачиваемые на обработку документа.
811. Сравнительный анализ требований зарубежных (национальных) и отечественных нормативных и технических документов 300.5 KB
  Сравнительный анализ методов контроля обсадных труб по ГОСТ 632-80, документам API. Попробуем сравнить российские национальные стандарты со стандартами Американского института нефти (API) на примере стандартов API 5CT/ISO 11960:2001 и ГОСТ 632-80.
812. База данных 250.5 KB
  Совокупность сведений о реальных объектах, процессах, событиях или явлениях, относящихся к определённой теме или задаче. Создание базы данных Продажи книг. Описание структуры базы данных, обработка данных и управление данными.
813. Особенности использование кодов 170 KB
  Создать алфавит А, используемый при форматировании Ф.И.О., которые будут являться исходным текстом. Построить прямые двоичные коды постоянной длины и закодировать ими исходный текст. Коды, учитывающие частоту символов. Коды Грея. Построение кода для обнаружения и исправления ошибок.
814. Сознание в философии 229 KB
  Постановка проблемы сознания в философии. Информационное взаимодействие как генетическая структура. Сознание как необходимое условие воспроизводства. Типы и уровни информационного взаимодействия.
815. Привод ленточного транспортера 7.73 MB
  Подготовка данных для расчета червячной передачи на ЭВМ. Выбор типа и схемы установки подшипников. Расчет валов на статическую прочность и сопротивление усталости. Порядок сборки привода, выполнение необходимых регулировочных работ. Выбор смазочных материалов и системы смазывания.
816. Реформы и контрреформы государственного управления во второй половине ХIХ в. 227.5 KB
  Предпосылки реформ государственного управления в начале ХIХ века. Поиск путей совершенствования государственного управления при Александре I. Конституционные проекты декабристов. Причины незавершенности реформ государственного управления 1-й половины ХIХ века. Кризис абсолютистко-бюрократической системы управления при Николае I. Сущность и значение реформ государственного управления в период правления Александра II.
817. Разработка техпроцессов сборки и монтажа 222 KB
  Выбор возможного типового или группового ТП и (при необходимости) его доработка. Составление маршрутов ТП сборки блоков (сборочных единиц) и установление технологических требований к входящим в них сборочным единицам и деталям. Выдача технического задания на проектирование и изготовление специальной технологической оснастки. Корректировка документации по результатам испытаний опытной партии.