19070

Одномерный гармонический осциллятор: простейшие вычисления с осцилляторными функциями

Практическая работа

Физика

Семинар 15. Одномерный гармонический осциллятор: простейшие вычисления с осцилляторными функциями В различных задачах квантовой механики приходится вычислять интегралы с осцилляторными функциями. Проблема заключается в том что явных выражений для функций с большим...

Русский

2013-07-11

290 KB

3 чел.

Семинар 15.

Одномерный гармонический осциллятор: простейшие вычисления с осцилляторными функциями

В различных задачах квантовой механики приходится вычислять интегралы с осцилляторными функциями. Проблема заключается в том, что явных выражений для функций с большими номерами у нас нет (есть только рекуррентные соотношения для коэффициентов полиномов Эрмита), а даже если бы они и были вычисления были бы очень громоздки. Тем не менее, такие интегралы с осцилляторными функциями легко вычисляются и без явных выражений для этих функций только на основе рекуррентных соотношений.

Цель занятия – научиться вычислять интегралы с очцилляторными функциями на основе рекуррентных соотношений для полиномов Эрмита, а также рассмотреть ряд задач, связанных с осциллятором.

Задача 1. Для полиномов Эрмита справедливы следующие рекуррентные соотношения.

Используя указанные тождества доказать, что

где  - нормированные волновые функции стационарных состояний осциллятора (сделать на доске с подробными комментариями).

Задача 2. Для -го стационарного состояния осциллятора найти , , , , ,  (сделать на доске с подробными комментариями). Как объяснить рост дисперсии координаты и импульса осциллятора с ростом ?

Задача 3. Осциллятор находится в -ом стационарном состоянии. Найти среднее значение полной, потенциальной и кинетической энергий.

Задача 4. В момент времени  нормированная волновая функция осциллятора имеет вид

Найти среднюю координату осциллятора в этом состоянии как функцию времени. Найти также поток вероятности при  как функцию времени. Дать физическую интерпретацию полученных результатов.

Задача 5. Волновая функция гармонического осциллятора в некоторый момент времени имеет вид  ( - безразмерная координата осциллятора). Найти среднюю координату осциллятора как функцию времени.

Задача 6. Волновая функция осциллятора в момент времени  имеет вид , где  - безразмерная координата осциллятора,  - постоянная. Будет ли средняя координата осциллятора в этом состоянии зависеть от времени?

Задача 7. Для каких значений индексов  и  отличен от нуля интеграл , где  и  собственные функции осциллятора,  - оператор координаты?

А. если индексы  и  совпадают  б. если индексы  и  - числа одной четности в. если индексы  и  отличаются на 2  г. если индексы  и  отличаются на 1

Задача 8. Для каких значений индексов  и  отличен от нуля интеграл , где  и  собственные функции осциллятора,  - оператор координаты?

А. только если индексы  и  совпадают  б. если индексы  и  - числа одной четности  в. если индексы  и  совпадают или отличаются на 2  г. только если индексы  и  отличаются на 2

Задача 9. Какой формулой (с точностью до безразмерного множителя) определяется интеграл , где  и  нормированные собственные функции осциллятора,  - оператор координаты?

А.   б.   в.   г.

Задача 10. Для каких значений индексов  и  отличен от нуля интеграл , где  и  собственные функции осциллятора,  - оператор импульса?

А. если индексы  и  совпадают  б. если индексы  и  отличаются на 1 в. если индексы  и  отличаются на 2  г. если индексы  и  - числа одной четности

Задача 11. Для каких значений индексов  и  отличен от нуля интеграл , где  и  собственные функции осциллятора,  - оператор импульса?

А. только если индексы  и  совпадают  б. только если индексы  и  отличаются на 2 в. если индексы  и  совпадают или отличаются на 2  г. если индексы  и  - числа одной четности

Задача 12. Какой формулой (с точностью до безразмерного множителя) определяется интеграл , где  и  нормированные собственные функции осциллятора,  - оператор импульса?

А.    б.    в.    г.

Задача 13. Волновая функция осциллятора в момент времени  равна

а.    б.

в.    г.

В каком из этих состояний средняя координата осциллятора не зависит от времени?

Задача 14. Потенциальная энергия частицы имеет вид

(«половина осциллятора»). Используя решение стационарного уравнения Шредингера для осциллятора найти волновые функции и энергии стационарных состояний частицы в таком потенциале.

Задача 15. Потенциальная энергия частицы имеет вид . Используя решение стационарного уравнения Шредингера для осциллятора найти волновые функции и энергии стационарных состояний частицы в таком потенциале.


Домашнее задание

Задачи (из вышеперечисленных), оставшиеся нерешенными, задать на дом.

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

8679. Філософія нового часу. Емпіризм та раціоналізм. 114.5 KB
  Філософія нового часу. Емпіризм та раціоналізм. Філософія Просвітництва. Марксистська філософія. Новим часом називають епоху, яка розпочалася буржуазними революціями в Західній Європі (наприкінці XVI- на початку XVII...
8680. Німецька класична філософія 153 KB
  Іммануїл Кант народився в 1724 р. у сімї ремісника в Кенігсберзі. Тут Кант вчився, вчителював, став професором, ректором університету. У Кенігсберзі він написав усі свої твори, тут він і помер у 1804...
8682. Сучасна світова філософія: школи і напрямки 96.5 KB
  Сучасна світова філософія: школи і напрямки. Філософія науки: позитивізм і неопозитивізм діалектичний матеріалізм фрейдизм і неофрейдизм. Філософія ірраціоналізму: світський екзистенціалізм релігійний...
8683. Філософська думка України 116 KB
  Філософська думка України. Філософська думка у давніх словян і в Київській Русі. Середньовічна українська філософія. Києво-Могилянська філософська школа. Українські просвітники. Філософія - явище загальнолюдське. Вона д...
8684. Філософська думка України. Українська філософія діаспори 207.5 KB
  Філософська думка України Філософія київського кола. Філософська думка під час культурно-історичного підйому 20-х років. Філософське обґрунтування національного радикалізму. Філософія українських шестидесятників...
8685. Філософське розуміння світу. Проблема буття 93 KB
  Філософське розуміння світу. Проблема буття. Філософський зміст проблеми буття. Особливості розуміння проблеми буття. Форми буття. Буття. Субстанція і матерія. Дух. З самого початку західно-європейського мислення і до сьогоднішньог...
8686. Діалектика. Антиподи діалектики: софістика, метафізика 177 KB
  Діалектика Діалектика як вчення про розвиток і універсальні зв’язки. Принципи діалектики. Категорії діалектики. Закони діалектики, їхнє методологічне та світоглядне значення. Антиподи діалектики: софістика, метафізика.  ...
8687. Філософська антропологія. людина, її проблема у філософії 97 KB
  Філософська антропологія. людина, її проблема у філософії. Актуальність філософського вивчення проблеми людини. Природа і сутність людини. Сенс життя людини. Особа. Індивід. Індивідуальність. Ціннісні орієнтації особи. Людина...