19088

Выбор частоты дискретизации с помощью функций отсчетов

Практическая работа

Физика

Лекция № 2. Выбор частоты дискретизации с помощью функций отсчетов. Теорема Котельникова: произвольный сигнал непрерывный спектр которого не содержит частот выше может быть полностью восстановлен если известны отсчетные значения этого сигнала взятые через равн

Русский

2013-07-11

187.5 KB

17 чел.

Лекция № 2.

Выбор частоты дискретизации с помощью функций отсчетов.

Теорема Котельникова: произвольный сигнал, непрерывный спектр которого не содержит частот выше ,  может быть полностью восстановлен, если известны отсчетные значения этого сигнала, взятые через равные интервалы  времени  Теорема Котельникова устанавливает принципиальную возможность полного восстановления детерминированного сигнала с ограниченным спектром и указывает предельное значение шага (интервала) дискретизации, при котором такое восстановление возможно.

Доказательство теоремы. Пусть функция , описывающая дискредитируемый сигнал, имеет ограниченную спектральную плотность , причем

при ,                                                                       (2.1)

где  наибольшая частота спектра  . Используя обратное преобразование Фурье с учетом соотношения (2.1), запишем:

.                                                                    (2.2)

Для любых моментов времени, например , где  любое целое число, функция  принимает значения

.                                                          (2.3) 

Рассматривая спектральную плотность  как функцию частоты с периодом ,  и периодически продолжая ее с этим периодом, разложим   в ряд Фурье  на интервале частот :

                                                                         (2.4)

где коэффициенты разложения равны:

                                                              (2.5)

Сравнивая (2.3) и (2.5),  видим, что , откуда определяем:

                                                                                 (2.6)

Выразим  через отсчеты исходной функции:

                     (2.7)

Поскольку суммирование ведется как по положительным, так и по отрицательным числам , знак перед  в выражении (2.7) можно изменить на обратный:

.                                                             (2.8)

Подставив (2.8)  в выражение (2.2), определим значения исходной функции в любой момент времени:

                                           (2.9)

Учитывая сходимость ряда Фурье, изменим порядок суммирования и интегрирования:

.                                                  (2.10)

В полученном выражении вычислим интеграл:

                                (2.11)

Подставив результат вычисления интеграла в (2.10) окончательно получим:

.                                                        (2.12)

Итак, непрерывная функция с ограниченным спектром может быть представлена множеством своих значений (отсчетов), взятыми в моменты времени .

Выражение (2.12) представляет собой ряд Котельникова, в котором роль коэффициентов выполняют отсчеты функции , а базисными являются функции вида:      .                                                               (2.13)

Базисные функции называют функциями отсчетов. 

Свойства функций отсчетов.

1. Так как  при любых целых числах  и  справедливы соотношения , то очевидно

                                            (2.14)

Каждая из функций имеет неограниченную протяженность во времени и достигает своего наибольшего значения, равного 1,  в моменты времени . Относительно этого момента времени функция   симметрична. В любые другие моменты времени, кратные , функция  обращается в нуль. Общий вид функций отсчетов приведен на рис 2.1. Благодаря свойству (2.14) сигналы  с ограниченным спектром могут быть представлены своими дискретными отсчетами без потери информации.

2. Функции отсчетов ортогональны с весом 1 на бесконечно большом интервале времени:            .                                                         (2.15)

Каждую функцию отсчета можно рассматривать как реакцию (отклик) идеального фильтра нижних частот с частотой среза  на дельта-импульс, приходящий в момент времени  и имеющий площадь, равную .

Практические аспекты использования теоремы Котельникова. Важная особенность теоремы Котельникова состоит в ее конструктивном характере: она не только указывает на возможность разложения сигнала в соответствующий ряд, но и определяет способ восстановления непрерывного сигнала, заданного своими дискретными значениями (отсчетами). Очевидно, с ее помощью может быть выбран оптимальный шаг дискретизации реального сигнала и оценена возникающая при этом погрешность дискретизации. Однако использование теоремы как точного утверждения по отношению к реальным сигналам наталкивается на ряд принципиальных трудностей. Во-первых, реальный сигнал имеет конечную длительность и, следовательно, обладает неограниченным спектром. Однако в силу реальных свойств источников сигналов и ограниченности полосы пропускания реальных приборов и систем  спектр сигнала с той или иной степенью точности можно считать ограниченным некоторой предельной  частотой.  Чаще всего предельное (граничное) значение частоты  определяют  на основе энергетического критерия, согласно которому практическую ширину спектра сигнала выбирают так, чтобы в ней была сосредоточена подавляющая часть энергии сигнала.  Для этого используют равенство Парсеваля, позволяющее определить энергию сигнала  либо через функцию, описывающую реальный сигнал длительностью ,  либо через модуль ее спектральной плотности :

.                                            (2.16)

Практическая ширина спектра сигнала, сосредоточенная в диапазоне частот от 0 до некоторого значения ,  определяется из соотношения:

.                                                                (2.17)

Здесь  – граничная частота, определяющая верхнее значение спектра сигнала;  – коэффициент, достаточно близкий к 1 (на практике его значение выбирают в интервале от 0.9 до 0,998 в зависимости от требований к качеству воспроизведения сигнала). Значение  означает, что в полосе частот от  до  содержится 99 % энергии сигнала. Значение граничной частоты находят, решая трансцендентное уравнение (2.17).

Ограничение спектра реального сигнала, естественно, приводит к искажению сигнала. Таким образом, восстановление ограниченного во времени сигнала по отсчетам в соответствии с теоремой Котельникова при условии принудительного ограничения спектра сигнала возможно только приближенно.  Точность такого приближения может быть оценена как абсолютным значением погрешности, называемой энергией погрешности:      ,                                                            (2.18)

так и относительной погрешностью: ,  где   .    (2.19)

Погрешность дискретизации возникает не только за счет принудительного ограничения спектра, но и за счет конечного числа отсчетов на интервале длительности сигнала ,  которых в соответствии с теоремой Котельникова будет  .  Эта составляющая является следствием пренебрежения вкладом бесконечного числа функций отсчетов, соответствующих выборкам за пределами интервала . Для реальных сигналов теорему Котельникова следует рассматривать как приближенную:

.                                                      (2.20)

Не смотря на вышеперечисленные трудности, теорема Котельникова ( в зарубежных источниках – теорема Найквиста) широко используется в процессе преобразования аналоговых сигналов в цифровую форму.

                                          

PAGE  4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

26775. Гражданское общество и гражданин 31.5 KB
  Гражданское общество есть общество основным элементом которого является гражданин как активная универсальная личность свободно реализующая свои потребности в тесном сотрудничестве с другими людьми и в составе различных групповых структур которые эффективно взаимодействуют друг с другом и с государственными институтами с учетом этикоправовых норм в условиях демократического управления обществом и наличия различных форм собственности в соответствии с целевой установкой на устойчивое развитие общества в ноосферном пространстве. Гражданским...
26776. Многомерные задачи оптимизации 271.5 KB
  В ИС организационного управления преобладает режим оперативной обработки транзакций для отражения актуального состояния предметной области в любой момент времени а пакетная обработка занимает незначительную часть. Офисные ИС предназначены для перевода бумажных документов в электронную форму для автоматизации делопроизводства и управления документооборотом. Смотр по контролю качества является функцией управления разработкой и связан с оценкой того насколько результаты этой работы согласуются с декларированными требованиями относительно...
26777. Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка 474 KB
  Свойства информации тесно связаны с информационной деятельностью человека информационными процессами в его сознании. Информационные процессы – это процессы в которых человек с помощью разнообразных технических устройств выполняет сбор хранение поиск обработку кодирование и передачу информации. Информационный процесс возникает в результате установления связи между двумя материальными объектами: источником генератором и потребителем приемником получателем информации. Под информационным процессом понимаются процессы получения...
26778. Методы отделения корней уравнения 195 KB
  x37x5=0 x3=7x5 φx= x3 ψx=7x5 Процесс накопления информации. Процесс хранения информации Поиск информации. Поиск или сбор информации – первичный информационный процесс лежащий как правило в сфере некоторой практической или научной деятельности. Поиск информации – это извлечение хранимой информации.
26779. Уточнение корней уравнения. Метод деления отрезка пополам, метод секущих 204.5 KB
  Детальный уровень включает в себя все характеристики среднего уровня с оценкой влияния данных характеристик на каждый этап процесса разработки ПО Организация работы модели в системе GPSS. Операторыблоки формируют логику функционирования модели. Управляющие операторы служат для контроля и управления процессом моделирования прогоном модели. В процессе моделирования транзакты €œсоздаются€ заявки поступают и €œуничтожаются€ заявки уходят так как это необходимо по логике модели.
26780. Аппроксимация функций 101.5 KB
  Конкретные модели файлов используемые в системе управления файлами мы рассмотрим далее когда перейдем к физическим способам организации баз данных а на этом этапе нам достаточно знать что пользователи видят файл как линейную последовательность записей и могут выполнить над ним ряд стандартных операций: создать файл требуемого типа и размера; открыть ранее созданный файл; прочитать из файла некоторую запись текущую следующую предыдущую первую последнюю; записать в файл на место текущей записи новую добавить новую запись в...
26781. Обобщение простейших формул численного интегрирования 188.5 KB
  Основные особенности протокола TCP. TCP Transfer Control Protocol – протокол контроля передачи протокол TCP применяется в тех случаях когда требуется гарантированная доставка сообщений. Первая и последняя версия TCP RFC793 Transmission Control Protocol J. Модуль TCP нарезает большие сообщения файлы на пакеты каждый из которых передается отдельно на приемнике наоборот файлы собираются.
26782. Простейшие формулы численного интегрирования 276.5 KB
  Задача Коши для системы 4.13 может быть сведена к задаче Коши для системы дифференциальных уравнений. Системы можно разделять на классы по различным признакам. Цель любой классификации – ограничить выбор подходов к отображению системы и дать рекомендации по выбору методов ее исследования.
26783. Методы отделения корней уравнения 140 KB
  Основной принцип технологии клиент сервер применительно к технологии баз данных заключается в разделении функций стандартного интерактивного приложения на 5 групп имеющих различную природу: функции ввода и отображения данных Presentation Logic; прикладные функции определяющие основные алгоритмы решения задач приложения Business Logic; функции обработки данных внутри приложения Database Logic функции управления информационными ресурсами Database Manager System; служебные функции играющие роль связок между функциями первых...