19088

Выбор частоты дискретизации с помощью функций отсчетов

Практическая работа

Физика

Лекция № 2. Выбор частоты дискретизации с помощью функций отсчетов. Теорема Котельникова: произвольный сигнал непрерывный спектр которого не содержит частот выше может быть полностью восстановлен если известны отсчетные значения этого сигнала взятые через равн

Русский

2013-07-11

187.5 KB

18 чел.

Лекция № 2.

Выбор частоты дискретизации с помощью функций отсчетов.

Теорема Котельникова: произвольный сигнал, непрерывный спектр которого не содержит частот выше ,  может быть полностью восстановлен, если известны отсчетные значения этого сигнала, взятые через равные интервалы  времени  Теорема Котельникова устанавливает принципиальную возможность полного восстановления детерминированного сигнала с ограниченным спектром и указывает предельное значение шага (интервала) дискретизации, при котором такое восстановление возможно.

Доказательство теоремы. Пусть функция , описывающая дискредитируемый сигнал, имеет ограниченную спектральную плотность , причем

при ,                                                                       (2.1)

где  наибольшая частота спектра  . Используя обратное преобразование Фурье с учетом соотношения (2.1), запишем:

.                                                                    (2.2)

Для любых моментов времени, например , где  любое целое число, функция  принимает значения

.                                                          (2.3) 

Рассматривая спектральную плотность  как функцию частоты с периодом ,  и периодически продолжая ее с этим периодом, разложим   в ряд Фурье  на интервале частот :

                                                                         (2.4)

где коэффициенты разложения равны:

                                                              (2.5)

Сравнивая (2.3) и (2.5),  видим, что , откуда определяем:

                                                                                 (2.6)

Выразим  через отсчеты исходной функции:

                     (2.7)

Поскольку суммирование ведется как по положительным, так и по отрицательным числам , знак перед  в выражении (2.7) можно изменить на обратный:

.                                                             (2.8)

Подставив (2.8)  в выражение (2.2), определим значения исходной функции в любой момент времени:

                                           (2.9)

Учитывая сходимость ряда Фурье, изменим порядок суммирования и интегрирования:

.                                                  (2.10)

В полученном выражении вычислим интеграл:

                                (2.11)

Подставив результат вычисления интеграла в (2.10) окончательно получим:

.                                                        (2.12)

Итак, непрерывная функция с ограниченным спектром может быть представлена множеством своих значений (отсчетов), взятыми в моменты времени .

Выражение (2.12) представляет собой ряд Котельникова, в котором роль коэффициентов выполняют отсчеты функции , а базисными являются функции вида:      .                                                               (2.13)

Базисные функции называют функциями отсчетов. 

Свойства функций отсчетов.

1. Так как  при любых целых числах  и  справедливы соотношения , то очевидно

                                            (2.14)

Каждая из функций имеет неограниченную протяженность во времени и достигает своего наибольшего значения, равного 1,  в моменты времени . Относительно этого момента времени функция   симметрична. В любые другие моменты времени, кратные , функция  обращается в нуль. Общий вид функций отсчетов приведен на рис 2.1. Благодаря свойству (2.14) сигналы  с ограниченным спектром могут быть представлены своими дискретными отсчетами без потери информации.

2. Функции отсчетов ортогональны с весом 1 на бесконечно большом интервале времени:            .                                                         (2.15)

Каждую функцию отсчета можно рассматривать как реакцию (отклик) идеального фильтра нижних частот с частотой среза  на дельта-импульс, приходящий в момент времени  и имеющий площадь, равную .

Практические аспекты использования теоремы Котельникова. Важная особенность теоремы Котельникова состоит в ее конструктивном характере: она не только указывает на возможность разложения сигнала в соответствующий ряд, но и определяет способ восстановления непрерывного сигнала, заданного своими дискретными значениями (отсчетами). Очевидно, с ее помощью может быть выбран оптимальный шаг дискретизации реального сигнала и оценена возникающая при этом погрешность дискретизации. Однако использование теоремы как точного утверждения по отношению к реальным сигналам наталкивается на ряд принципиальных трудностей. Во-первых, реальный сигнал имеет конечную длительность и, следовательно, обладает неограниченным спектром. Однако в силу реальных свойств источников сигналов и ограниченности полосы пропускания реальных приборов и систем  спектр сигнала с той или иной степенью точности можно считать ограниченным некоторой предельной  частотой.  Чаще всего предельное (граничное) значение частоты  определяют  на основе энергетического критерия, согласно которому практическую ширину спектра сигнала выбирают так, чтобы в ней была сосредоточена подавляющая часть энергии сигнала.  Для этого используют равенство Парсеваля, позволяющее определить энергию сигнала  либо через функцию, описывающую реальный сигнал длительностью ,  либо через модуль ее спектральной плотности :

.                                            (2.16)

Практическая ширина спектра сигнала, сосредоточенная в диапазоне частот от 0 до некоторого значения ,  определяется из соотношения:

.                                                                (2.17)

Здесь  – граничная частота, определяющая верхнее значение спектра сигнала;  – коэффициент, достаточно близкий к 1 (на практике его значение выбирают в интервале от 0.9 до 0,998 в зависимости от требований к качеству воспроизведения сигнала). Значение  означает, что в полосе частот от  до  содержится 99 % энергии сигнала. Значение граничной частоты находят, решая трансцендентное уравнение (2.17).

Ограничение спектра реального сигнала, естественно, приводит к искажению сигнала. Таким образом, восстановление ограниченного во времени сигнала по отсчетам в соответствии с теоремой Котельникова при условии принудительного ограничения спектра сигнала возможно только приближенно.  Точность такого приближения может быть оценена как абсолютным значением погрешности, называемой энергией погрешности:      ,                                                            (2.18)

так и относительной погрешностью: ,  где   .    (2.19)

Погрешность дискретизации возникает не только за счет принудительного ограничения спектра, но и за счет конечного числа отсчетов на интервале длительности сигнала ,  которых в соответствии с теоремой Котельникова будет  .  Эта составляющая является следствием пренебрежения вкладом бесконечного числа функций отсчетов, соответствующих выборкам за пределами интервала . Для реальных сигналов теорему Котельникова следует рассматривать как приближенную:

.                                                      (2.20)

Не смотря на вышеперечисленные трудности, теорема Котельникова ( в зарубежных источниках – теорема Найквиста) широко используется в процессе преобразования аналоговых сигналов в цифровую форму.

                                          

PAGE  4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

32314. Возникновение государственности в Европе (Афины, Рим, германцы, славяне). Общие закономерности и особенности 50 KB
  В отличие от азиатского государства ведущим государствообразующим фактором на территории Европы было классовое разделение общества. Следовательно для генезиса Афинского государства характерно то что оно возникает непосредственно и прежде всего из классовых антагонизмов развивающихся в недрах родоплеменного общества. В длившейся 200 лет борьбе между двумя группами свободных членов римского родоплеменного общества плебеи вырывали у патрициев одну уступку за другой. Если само положение Греции и Рима способствовало...
32315. Теории возникновения государства и права 43 KB
  Одни государства подчас могут распадаться СССР Югославия Чехословакия; другие объединяются в более крупные такой процесс возможно начался в рамках Европейского Союза. Могут зародиться новые причины и формы такого возникновения что бесспорно только обогатит теорию государства. Основные теории происхождения государства теологическая патриархальная договорная насилия органическая материалистическая психологическая патримониальная и ирригационная ставят во главу угла какойлибо один конкретный доминирующий способ...
32316. Государственная власть: понятие и общие черты 33 KB
  В юридической литературе одни авторы рассматривают власть как определенную функцию присущую любому коллективу обществу; другие исследователи как волевое отношение властеотношение властвующего и подвластного субъектов; третьи как способность властвующего управляющего навязывать свою волю другим лицам; четвертые как организованную силу способную подчинять воле определенной социальной общности других людей. Власть понимается также как управление связанное с принуждением. И наконец зачастую под властью понимается государство или его...
32317. Сущность государства. Признаки и определение понятия государства. Различные подходы к определению понятия государства 45 KB
  Сущность государства. Признаки и определение понятия государства. Различные подходы к определению понятия государства. Его определяют и как общественный союз свободных людей с принудительно установленным мирным порядком посредством предоставления исключительного права принуждения только органам государства Н.
32318. больших группах классах тех или иных объектов обладающих набором общих характерных для каждого типа приз 27.5 KB
  В его основе лежит учение об общественноэкономической формации которая включает в себя тип производственных отношений базис и соответствующий ему тип надстройки государство право и т. Ленина и других решающим фактором общественного развития который детерминирует и соответствующий тип надстроечных элементов: государство и право. Рабовладельческое государство есть орудие поддержания власти рабовладельцев над рабами которые были собственностью свободных граждан. Феодальное государство это диктатура класса феодалов земельных...
32319. Внутренние функции государства. Их виды и характеристика в различных типах государства 43.5 KB
  Внутренние функции государства. Внутренние функции государства представляют собой основные направления разнообразной внутренней деятельности государства обусловленные необходимостью решения стоящих перед ним внутренних задач. Таковой была например позиция ряда авторов классифицировавших функции государства еще в 70е годы на функции политической охраны строя политическая функция а также на экономическую социальную и идеологическую функции. Правда при этом оговаривалась возможность и более дробной полностью не совпадающей с различными...
32320. Цивилизационный подход к типологии государств. Понятие цивилизаций. Виды цивилизаций и соответствующих типов государств при различных разновидностях цивилизационного подхода (Тойнби, Ростоу, Сорокин) 45 KB
  Цивилизационный подход это исследование состояния и развития общества закономерностей смены исторических типов государств с точки зрения качественных изменений в социокультурной среде общества в духовной культуре народа его религии и нравах. Цивилизационный подход выделяет три принципа соотношения государства и духовнокультурной жизни общества: Природа государства определяется не только реальным соотношением сил но и накопленными в ходе исторического процесса представлениями о мире ценностями образцами поведения. Цивилизация есть...
32321. Внешние функции государства. Их виды и характеристика в различных типах государства 45 KB
  Внешние функции государства. Их виды и характеристика в различных типах государства. Внешние функции государства представляют собой основные направления деятельности государства непосредственно связанные с решением стоящих перед ним на международной арене целей и задач. Они зависят от характера существующего в стране политического режима и типов государств от этапов развития одного и того же государства от складывающейся в мире международной обстановки от характера взаимоотношений сосуществующих друг с другом государств.
32322. Функции государства. Их понятие, соотношение с целями и задачами, виды функций 51.5 KB
  Функции государства. Функции государства это основные направления деятельности государства по решению стоящих перед ним целей и задач. Именно в функциях проявляется сущность конкретного государства его природа и социальное назначение. Как основные направления деятельности государства они не должны отождествляться с самой деятельностью или отдельными элементами этой деятельности.