19088

Выбор частоты дискретизации с помощью функций отсчетов

Практическая работа

Физика

Лекция № 2. Выбор частоты дискретизации с помощью функций отсчетов. Теорема Котельникова: произвольный сигнал непрерывный спектр которого не содержит частот выше может быть полностью восстановлен если известны отсчетные значения этого сигнала взятые через равн

Русский

2013-07-11

187.5 KB

18 чел.

Лекция № 2.

Выбор частоты дискретизации с помощью функций отсчетов.

Теорема Котельникова: произвольный сигнал, непрерывный спектр которого не содержит частот выше ,  может быть полностью восстановлен, если известны отсчетные значения этого сигнала, взятые через равные интервалы  времени  Теорема Котельникова устанавливает принципиальную возможность полного восстановления детерминированного сигнала с ограниченным спектром и указывает предельное значение шага (интервала) дискретизации, при котором такое восстановление возможно.

Доказательство теоремы. Пусть функция , описывающая дискредитируемый сигнал, имеет ограниченную спектральную плотность , причем

при ,                                                                       (2.1)

где  наибольшая частота спектра  . Используя обратное преобразование Фурье с учетом соотношения (2.1), запишем:

.                                                                    (2.2)

Для любых моментов времени, например , где  любое целое число, функция  принимает значения

.                                                          (2.3) 

Рассматривая спектральную плотность  как функцию частоты с периодом ,  и периодически продолжая ее с этим периодом, разложим   в ряд Фурье  на интервале частот :

                                                                         (2.4)

где коэффициенты разложения равны:

                                                              (2.5)

Сравнивая (2.3) и (2.5),  видим, что , откуда определяем:

                                                                                 (2.6)

Выразим  через отсчеты исходной функции:

                     (2.7)

Поскольку суммирование ведется как по положительным, так и по отрицательным числам , знак перед  в выражении (2.7) можно изменить на обратный:

.                                                             (2.8)

Подставив (2.8)  в выражение (2.2), определим значения исходной функции в любой момент времени:

                                           (2.9)

Учитывая сходимость ряда Фурье, изменим порядок суммирования и интегрирования:

.                                                  (2.10)

В полученном выражении вычислим интеграл:

                                (2.11)

Подставив результат вычисления интеграла в (2.10) окончательно получим:

.                                                        (2.12)

Итак, непрерывная функция с ограниченным спектром может быть представлена множеством своих значений (отсчетов), взятыми в моменты времени .

Выражение (2.12) представляет собой ряд Котельникова, в котором роль коэффициентов выполняют отсчеты функции , а базисными являются функции вида:      .                                                               (2.13)

Базисные функции называют функциями отсчетов. 

Свойства функций отсчетов.

1. Так как  при любых целых числах  и  справедливы соотношения , то очевидно

                                            (2.14)

Каждая из функций имеет неограниченную протяженность во времени и достигает своего наибольшего значения, равного 1,  в моменты времени . Относительно этого момента времени функция   симметрична. В любые другие моменты времени, кратные , функция  обращается в нуль. Общий вид функций отсчетов приведен на рис 2.1. Благодаря свойству (2.14) сигналы  с ограниченным спектром могут быть представлены своими дискретными отсчетами без потери информации.

2. Функции отсчетов ортогональны с весом 1 на бесконечно большом интервале времени:            .                                                         (2.15)

Каждую функцию отсчета можно рассматривать как реакцию (отклик) идеального фильтра нижних частот с частотой среза  на дельта-импульс, приходящий в момент времени  и имеющий площадь, равную .

Практические аспекты использования теоремы Котельникова. Важная особенность теоремы Котельникова состоит в ее конструктивном характере: она не только указывает на возможность разложения сигнала в соответствующий ряд, но и определяет способ восстановления непрерывного сигнала, заданного своими дискретными значениями (отсчетами). Очевидно, с ее помощью может быть выбран оптимальный шаг дискретизации реального сигнала и оценена возникающая при этом погрешность дискретизации. Однако использование теоремы как точного утверждения по отношению к реальным сигналам наталкивается на ряд принципиальных трудностей. Во-первых, реальный сигнал имеет конечную длительность и, следовательно, обладает неограниченным спектром. Однако в силу реальных свойств источников сигналов и ограниченности полосы пропускания реальных приборов и систем  спектр сигнала с той или иной степенью точности можно считать ограниченным некоторой предельной  частотой.  Чаще всего предельное (граничное) значение частоты  определяют  на основе энергетического критерия, согласно которому практическую ширину спектра сигнала выбирают так, чтобы в ней была сосредоточена подавляющая часть энергии сигнала.  Для этого используют равенство Парсеваля, позволяющее определить энергию сигнала  либо через функцию, описывающую реальный сигнал длительностью ,  либо через модуль ее спектральной плотности :

.                                            (2.16)

Практическая ширина спектра сигнала, сосредоточенная в диапазоне частот от 0 до некоторого значения ,  определяется из соотношения:

.                                                                (2.17)

Здесь  – граничная частота, определяющая верхнее значение спектра сигнала;  – коэффициент, достаточно близкий к 1 (на практике его значение выбирают в интервале от 0.9 до 0,998 в зависимости от требований к качеству воспроизведения сигнала). Значение  означает, что в полосе частот от  до  содержится 99 % энергии сигнала. Значение граничной частоты находят, решая трансцендентное уравнение (2.17).

Ограничение спектра реального сигнала, естественно, приводит к искажению сигнала. Таким образом, восстановление ограниченного во времени сигнала по отсчетам в соответствии с теоремой Котельникова при условии принудительного ограничения спектра сигнала возможно только приближенно.  Точность такого приближения может быть оценена как абсолютным значением погрешности, называемой энергией погрешности:      ,                                                            (2.18)

так и относительной погрешностью: ,  где   .    (2.19)

Погрешность дискретизации возникает не только за счет принудительного ограничения спектра, но и за счет конечного числа отсчетов на интервале длительности сигнала ,  которых в соответствии с теоремой Котельникова будет  .  Эта составляющая является следствием пренебрежения вкладом бесконечного числа функций отсчетов, соответствующих выборкам за пределами интервала . Для реальных сигналов теорему Котельникова следует рассматривать как приближенную:

.                                                      (2.20)

Не смотря на вышеперечисленные трудности, теорема Котельникова ( в зарубежных источниках – теорема Найквиста) широко используется в процессе преобразования аналоговых сигналов в цифровую форму.

                                          

PAGE  4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

75883. Проблеми створення комп’ютерних систем розпізнавання усного мовлення. Методи виділення й упізнавання елементів мови при обробці усного мовлення 29.83 KB
  Задача распознавания речи состоит в автоматическом восстановлении текста произносимых человеком слов фраз или предложений на естественном языке. Только в последние десятилетия компьютерная техника достигла такого уровня когда стала осмысленной задача распознавания слитной или даже спонтанной устной речи. На этом этапе выяснилось что для решения задачи распознавания речи недостаточно уметь распознавать отдельные звуки и слова команды с надежностью сравнимой с надежностью распознавания отдельных команд человеком. Поэтому задачу...
75884. Структурні компоненти словників. Особливості словникових статей нетрадиційних лінгвістичних словників 282.5 KB
  Каждая зона содержит особый тип словарной информации. Первая зона – лексический вход словарной статьи вокабула или лемма. Лексический вход обычно выделяют полужирным шрифтом и поэтому в жаргоне лексикографов и редакторов эта зона часто называется черным словом. В толковом словаре после лексического входа чаще всего следуют зона грамматической информации и зона стилистических помет.
75885. Структурні компоненти словників. Особливості словникових статей нетрадиційних лінгвістичних словників. Основные структурные компоненты словаря 37.09 KB
  Каждая зона содержит особый тип словарной информации. Первая зона лексический вход словарной статьи вокабула заголовок словарной статьи или лемма син. Поэтому в жаргоне лексикографов и редакторов эта зона часто называется черное слово. В толковом словаре после лексического входа чаще всего следует зона грамматической информации и зона стилистических помет.
75886. Гіпертекст. Базові функції гіпертексту. Види гіпертексту 28.87 KB
  Общеизвестным и ярко выраженным примером гипертекста служат вебстраницы документы HTML язык разметки гипертекста размещённые в Сети. Узлы связаны разнообразными отношениями типы которых задаются разработчиками программного обеспечения гипертекста или самим читателем. Компьютерные реализации гипертекста бывают иерархическими или сетевыми. Иерархическое – древовидное – строение гипертекста существенно ограничивает возможности перехода между его компонентами.
75887. Морфологічний та синтаксичний аналіз письмової сови. Кількісні характеристики морфем, граматичних категорій та синтаксичних конструкцій 25.93 KB
  МОРФОЛОГИЯ как часть грамматики это учение о слове о его грамматических классах частях речи морфологических категориях и формах. ЗНАМЕНАТЕЛЬНЫЕ ЧАСТИ РЕЧИ имя существительное имя прилагательное имя числительное местоимение глагол наречие категория состояния традиционно выделяют по совокупности признаков к которым относят: 1 обобщенное грамматическое частеречное значение отвлеченное от лексических и частных морфологических значений слов данной части речи; 2 характерный для каждого класса комплекс морфологических категорий и...
75888. Комп’ютерні технології і сучасна лексикографічна наука 26.72 KB
  Множество различных компьютерных лексикографических программ можно разделить на две больших группы: программы поддержки лексикографических работ и автоматические словари АС различных типов включающие лексикографические базы данных. Автоматические словари. Иными словами различаются автоматические словари конечного...
75889. Когнітивний інструментарій когнітивної лінгвістики 26.47 KB
  В основе этого языка лежит теория знаний разработанная в искусственном интеллекте и образующая важный раздел когнитивной науки. Онтологически разделение декларативных и процедурных знаний соответствует различным типам знаний когнитивной системы человека. В теории знаний для изучения и представления знания используются различные структуры знаний фреймы сценарии планы. Минскому фрейм это структура данных предназначенная для представления стереотипной ситуации Более развернуто можно сказать что фрейм является концептуальной структурой...
75890. Понятие «империя» и многообразие его трактовок. Континентальные и морские империи 15.44 KB
  Континентальные и морские империи. Исторически такая трактовка империи оформилась не сразу. Понятие империи было тесно связано с завоеваниями территориальными захватами. Развитие империи как агрессивного расширяющегося государства всегда сопровождалось развитием личной диктатуры тиранической власти единоличного правителя.
75891. Межнациональные отношения внутри империи. Метрополия и колонии. Сравнительный анализ Российской империи, Австро-Венгрии, Великобритании. «Внутренний колониализм» 18.63 KB
  Сравнительный анализ Российской империи АвстроВенгрии Великобритании. Характер интеграции присоединенных территорий материальные духовные связи метрополии с завоеванными территориями определяют будущее империи. Сравним Британскую Российскую и АвстроВенгерскую империи.