19089

Выбор шага дискретизации с использованием интерполирующих полиномов Лагранжа

Практическая работа

Физика

Лекция № 3. Выбор шага дискретизации с использованием интерполирующих полиномов Лагранжа. При дискретизации реального сигнала описываемого непрерывной функцией имеющей ограниченную производную в качестве аппроксимирующей воспроизводящей функции может ис

Русский

2013-07-11

181 KB

35 чел.

Лекция № 3.

Выбор шага дискретизации с использованием интерполирующих полиномов Лагранжа.

При дискретизации реального сигнала, описываемого непрерывной функцией , имеющей   ограниченную производную, в качестве аппроксимирующей (воспроизводящей) функции может использоваться степенной многочлен степени:

                                        (3.1)

В зависимости от выбранного способа восстановления степенной полином может быть интерполирующим или экстраполирующим. Если базисные функции выбраны так, что значения аппроксимирующего полинома совпадают со значениями выборок в моменты их отсчета, то такой полином называют интерполирующим. Если аппроксимация предусматривает восстановление исследуемой функции только по предыдущим отсчетам, то такой полином называют экстраполирующим.

Погрешность дискретизации (восстановления) функции полиномом  на каждом участке аппроксимации определяется остаточным членом  :

.                                                                  (3.2)

Задача обеспечения минимальной погрешности при восстановлении сигнала на практике не ставится. Обычно задается допустимое значение этой погрешности и по нему определяется соответствующий шаг дискретизации.

Рассмотрим задачу точечной интерполяции, позволяющую выбрать шаг дискретизации сигнала (или частоту дискретизации) с помощью полиномов Лагранжа и критерия наибольшего отклонения.

Математическая формулировка задачи точечной интерполяции: требуется определить на заданном интервале времени    шаг дискретизации , при котором текущая погрешность восстановления не превысит допустимого значения , если функция задана  узлом, т.е. совокупностью значений   

Другими словами, требуется построить аппроксимирующий полином так, чтобы в узлах аппроксимации погрешность восстановления отсутствовала, а между узлами не превышала заданного значения.

В общем случае решение этой задачи сводится к решению системы уравнений:

                                                      (3.3)

Решение этой системы можно представить в виде интерполяционного полинома Лагранжа, имеющего вид:

                                             (3.4)

При равномерной дискретизации шаг дискретизации  и, введя безразмерный параметр , можно записать интерполирующий полином Лагранжа в виде:

                                                           (3.5)

Значение остаточного члена , определяющего погрешность дискретизации (восстановления), имеет вид:

                                                                  (3.6)

где максимальное во всем интервале преобразования значение модуля  производной сигнала . Для равноотстоящих узлов (равномерная дискретизация) остаточный член  имеет вид:

 .                                               (3.7)

Последнее выражение позволяет определить шаг дискретизации сигнала при заданной допустимой погрешности восстановления  (см. 3.2). При этом следует иметь в виду, что выбор более высокой степени аппроксимирующего полинома при заданной погрешности обеспечивает меньшее число отсчетов, однако при этом существенно возрастает сложность технической реализации метода. Поэтому обычно ограничиваются многочленами нулевой (ступенчатая аппроксимация), первой (линейная аппроксимация) и второй степеней (параболическая аппроксимация).

Интерполяция полиномами нулевой степени

Значение восстанавливающей функции  в любой момент времени  на каждом том интервале    принимается равным отсчету  . Соотношение (3.7) позволяет получить выражение для остаточного члена:

                                                                           (3.8)

Максимальное значение погрешности достигается при .  Отсюда получаем, что шаг дискретизации не должен превышать значения:

.                                                                                        (3.9)

Интерполяция полиномами первой степени

Определим шаг равномерной дискретизации с помощью интерполирующих полиномов Лагранжа первой степени вида . При восстановлении исходного сигнала  на каждом интервале времени  используются  два отсчета  и , соединяемые прямой линией. Максимальное значение для остаточного члена, записываемого для линейной аппроксимации в виде , найдем, приравняв нулю его производную, откуда допустимый шаг дискретизации равен:

.                                                                         (3.10)

Интерполяция полиномами второй степени

Интерполирующий полином второй степени при параболической аппроксимации имеет вид:  . Для восстановления исходного сигнала по дискретным значениям используют три отсчета на интервале времени. Остаточный член такого приближения записывается в виде  . Оценив его максимальное значение, определяем допустимый шаг дискретизации:

.                                                                      (3.11)

В общем случае, при использовании интерполирующих полиномов степени  формула для вычисления шага равномерной дискретизации имеет вид:

,                                                                            (3.12)

где  числовой коэффициент, зависящий от .

Оценки показывают, что при относительно больших значениях погрешности   различие в шагах дискретизации при использовании линейной и параболической аппроксимаций незначительно. Лишь при малых погрешностях  целесообразно рассматривать возможность применения степенных полиномов со степенью .

Пример. Определить частоту дискретизации и число интервалов квантования функции  на интервале значений  при использовании ступенчатой, линейной и параболической аппроксимаций. Положить .

Для оценки погрешности по формуле (3.7) необходима информация о максимальном значении модуля  производной функции . Обычно такая информация априори отсутствует. Однако для оценки этой величины можно воспользоваться неравенством Бернштейна, которое справедливо для функций, ограниченных по модулю и имеющих ограниченный спектр:

,                                                                        (3.13)

где верхняя граничная частота спектра непрерывной функции , а максимальное значение модуля этой функции. Подставляя (3.13) в (3.12), получаем еще одно соотношение для выбора шага дискретизации сигнала:

.                                                                       (3.14)

Анализ формулы (3.14) позволяет ввести приведенную погрешность восстановления сигнала  

.                                                                                      (3.15)

Учитывая, что частота дискретизации – величина, обратная  шагу дискретизации , можно получить выражения для оценки величины приведенной погрешности восстановления при различных вариантах аппроксимации в зависимости от отношения двух частот: граничной частоты  и частоты дискретизации :

для ступенчатой аппроксимации;

для линейной аппроксимации;              (3.16)

            для параболической аппроксимации.  

PAGE  1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

43730. БЕЗОПАСНОСТЬ В ЧРЕЗВЫЧАЙНЫХ СИТУАЦИЯХ 807.08 KB
  Список сокращений: ДП – дипломный проект ХОО – химически опасный объект ОХД – объект хозяйственной деятельности ОХВ – опасное химическое вещество РГР – расчётнографическая работа КИП – контрольноизмерительные приборы ППР плановопредупредительные работы Общие положения В соответствии с п. Необходимо дать определения что такое ОХВ где они используются.6; dплотность ОХВ т м 3 таблица 9[17] d= 0. Мероприятия по защите рабочих и служащих ОХД указать: Выводы: Объект оказался не оказался в зоне химического...
43731. Экономические отношения в рамках международных организаций 291 KB
  На современном этапе развития эта работа является первой по тематике международно-правовых аспектов экономических отношений России и Китая. Таким образом, научную разработанность данной темы нельзя признать достаточной – она требует глубокого анализа
43732. Экономический анализ проведенных проектных работ и их внедрение в условиях предприятия ООО «Агрохмель» 12.55 MB
  Климат хозяйства характеризуется умеренно-прохладным. Солнечных дней в году около 110. Среднегодовая температура воздуха положительная и равна +2,2 градуса Среднегодовое количество осадков 427 мм, а во время вегетационного периода 300-390мм. Почвы в среднем промерзают на 63 см.
43733. Оптимізація виробництва деталі маточина переднього колеса 399.47 KB
  Опис призначення й умов роботи деталі. Хімічний склад механічні властивості матеріалу деталі. Аналіз технологічності деталі. Проектування маршрутного технологічного процесу виготовлення деталі.
43735. Создании базы данных для построения крепёжных деталей 3.34 MB
  Исходное информационное обеспечение. Обеспечить пользователя необходимой информацией о крепёжных деталях. Решение: Использование формы в которых будет содержаться необходимая информация о крепежных элементах. Создать программу которая позволила бы обрабатывать сортировать и изменять информацию о крепёжных элементах.
43736. Реализация базы данных центра занятости 587.17 KB
  С чисто практической точки зрения базы данных позволяют избавиться от большого количества бумажных документов и значительно ускорить поиск и внесение информации. Цель данного курсового проекта – реализация базы данных центра занятости. Для выполнения работ в базе данных необходима авторизация с помощью пары...
43737. Система управління складським обліком продовольчих товарів 24.23 MB
  Завдяки використанню топології складських приміщень, система наочно відображає завантаженість товаром осередків та стелажів Грамотна організація роботи підприємств складського комплексу веде до підвищення продуктивності праці, скорочує витрати робочого часу на виконання складських операцій і дозволяє ефективно використовувати складські приміщення. Все це сприяє підвищенню економічної ефективності підприємства.
43738. Обґрунтування роздільної технології збирання льону-довгунця з використанням льонопідбирача-молотарки ПМЛ-1 в Інституті луб’яних культур 1.64 MB
  Первинна очистка насіння здійснюеться на чотирьох машинах ОВС-25, великі партії насіння до посівних кондицій доробляються на двох лініях, одна з яких змонтована з послідовно підключених Петкусі-Гігантів, друга являе з себе комплекс КЗС-40, переобладнаний зерноочисними машинами фірми “Петкус”. Доробка машин малих парків насіння здійснюется на чотирьох Петкус-Суперах і одному Петкус-Гіганті.