19089

Выбор шага дискретизации с использованием интерполирующих полиномов Лагранжа

Практическая работа

Физика

Лекция № 3. Выбор шага дискретизации с использованием интерполирующих полиномов Лагранжа. При дискретизации реального сигнала описываемого непрерывной функцией имеющей ограниченную производную в качестве аппроксимирующей воспроизводящей функции может ис

Русский

2013-07-11

181 KB

36 чел.

Лекция № 3.

Выбор шага дискретизации с использованием интерполирующих полиномов Лагранжа.

При дискретизации реального сигнала, описываемого непрерывной функцией , имеющей   ограниченную производную, в качестве аппроксимирующей (воспроизводящей) функции может использоваться степенной многочлен степени:

                                        (3.1)

В зависимости от выбранного способа восстановления степенной полином может быть интерполирующим или экстраполирующим. Если базисные функции выбраны так, что значения аппроксимирующего полинома совпадают со значениями выборок в моменты их отсчета, то такой полином называют интерполирующим. Если аппроксимация предусматривает восстановление исследуемой функции только по предыдущим отсчетам, то такой полином называют экстраполирующим.

Погрешность дискретизации (восстановления) функции полиномом  на каждом участке аппроксимации определяется остаточным членом  :

.                                                                  (3.2)

Задача обеспечения минимальной погрешности при восстановлении сигнала на практике не ставится. Обычно задается допустимое значение этой погрешности и по нему определяется соответствующий шаг дискретизации.

Рассмотрим задачу точечной интерполяции, позволяющую выбрать шаг дискретизации сигнала (или частоту дискретизации) с помощью полиномов Лагранжа и критерия наибольшего отклонения.

Математическая формулировка задачи точечной интерполяции: требуется определить на заданном интервале времени    шаг дискретизации , при котором текущая погрешность восстановления не превысит допустимого значения , если функция задана  узлом, т.е. совокупностью значений   

Другими словами, требуется построить аппроксимирующий полином так, чтобы в узлах аппроксимации погрешность восстановления отсутствовала, а между узлами не превышала заданного значения.

В общем случае решение этой задачи сводится к решению системы уравнений:

                                                      (3.3)

Решение этой системы можно представить в виде интерполяционного полинома Лагранжа, имеющего вид:

                                             (3.4)

При равномерной дискретизации шаг дискретизации  и, введя безразмерный параметр , можно записать интерполирующий полином Лагранжа в виде:

                                                           (3.5)

Значение остаточного члена , определяющего погрешность дискретизации (восстановления), имеет вид:

                                                                  (3.6)

где максимальное во всем интервале преобразования значение модуля  производной сигнала . Для равноотстоящих узлов (равномерная дискретизация) остаточный член  имеет вид:

 .                                               (3.7)

Последнее выражение позволяет определить шаг дискретизации сигнала при заданной допустимой погрешности восстановления  (см. 3.2). При этом следует иметь в виду, что выбор более высокой степени аппроксимирующего полинома при заданной погрешности обеспечивает меньшее число отсчетов, однако при этом существенно возрастает сложность технической реализации метода. Поэтому обычно ограничиваются многочленами нулевой (ступенчатая аппроксимация), первой (линейная аппроксимация) и второй степеней (параболическая аппроксимация).

Интерполяция полиномами нулевой степени

Значение восстанавливающей функции  в любой момент времени  на каждом том интервале    принимается равным отсчету  . Соотношение (3.7) позволяет получить выражение для остаточного члена:

                                                                           (3.8)

Максимальное значение погрешности достигается при .  Отсюда получаем, что шаг дискретизации не должен превышать значения:

.                                                                                        (3.9)

Интерполяция полиномами первой степени

Определим шаг равномерной дискретизации с помощью интерполирующих полиномов Лагранжа первой степени вида . При восстановлении исходного сигнала  на каждом интервале времени  используются  два отсчета  и , соединяемые прямой линией. Максимальное значение для остаточного члена, записываемого для линейной аппроксимации в виде , найдем, приравняв нулю его производную, откуда допустимый шаг дискретизации равен:

.                                                                         (3.10)

Интерполяция полиномами второй степени

Интерполирующий полином второй степени при параболической аппроксимации имеет вид:  . Для восстановления исходного сигнала по дискретным значениям используют три отсчета на интервале времени. Остаточный член такого приближения записывается в виде  . Оценив его максимальное значение, определяем допустимый шаг дискретизации:

.                                                                      (3.11)

В общем случае, при использовании интерполирующих полиномов степени  формула для вычисления шага равномерной дискретизации имеет вид:

,                                                                            (3.12)

где  числовой коэффициент, зависящий от .

Оценки показывают, что при относительно больших значениях погрешности   различие в шагах дискретизации при использовании линейной и параболической аппроксимаций незначительно. Лишь при малых погрешностях  целесообразно рассматривать возможность применения степенных полиномов со степенью .

Пример. Определить частоту дискретизации и число интервалов квантования функции  на интервале значений  при использовании ступенчатой, линейной и параболической аппроксимаций. Положить .

Для оценки погрешности по формуле (3.7) необходима информация о максимальном значении модуля  производной функции . Обычно такая информация априори отсутствует. Однако для оценки этой величины можно воспользоваться неравенством Бернштейна, которое справедливо для функций, ограниченных по модулю и имеющих ограниченный спектр:

,                                                                        (3.13)

где верхняя граничная частота спектра непрерывной функции , а максимальное значение модуля этой функции. Подставляя (3.13) в (3.12), получаем еще одно соотношение для выбора шага дискретизации сигнала:

.                                                                       (3.14)

Анализ формулы (3.14) позволяет ввести приведенную погрешность восстановления сигнала  

.                                                                                      (3.15)

Учитывая, что частота дискретизации – величина, обратная  шагу дискретизации , можно получить выражения для оценки величины приведенной погрешности восстановления при различных вариантах аппроксимации в зависимости от отношения двух частот: граничной частоты  и частоты дискретизации :

для ступенчатой аппроксимации;

для линейной аппроксимации;              (3.16)

            для параболической аппроксимации.  

PAGE  1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

22735. Зовнішньоекономічна програма США після ІІ світової війни 26.5 KB
  Зовнішньоекономічна програма США після ІІ світової війни. Проте США не зазнали на відміну від європейських держав проблем пов'язаних з війною руйнації міст та сіл. Зате на США припала третина воєнних витрат в антигітлерівській коаліції. Найголовніший результат американської участі у другій світовій війні полягав у тому що США перетворилися в наймогутнішу країну капіталістичного світу стали його економічним та фінансовим центром і незаперечним військовополітичним лідером.
22736. Ескалація інтервенції США у В'єтнамі 1965 - 1968 рр. 30.5 KB
  Ескалація інтервенції США у Вєтнамі 1965 1968 рр. Воспользовавшись спровоцированными инцидентами США подвергли 5 августа 1964 г. 10 августа президент США утвердил закон принятый 7 августа на совместном заседании палаты представителей в сената США. Эта так называемая тонкинская резолюция санкционировала принятие президентом США необходимых мер два отражения любого вооруженного нападения против военных сил США и предотвращения дальнейшей агрессии.
22737. Початок ’’холодної війни’’ США проти СРСР у 1946 – 1949 рр 37 KB
  Початок ’’холодної війни’’ США проти СРСР у 1946 – 1949 рр. Але наступного ж дня 3 лютого у США розпочалася пропагандистська кампанія з приводу радянського атомного шпіонажу до речі про інтерес спецслужб СРСР до Манхеттенського проекту американському керівництву стало відомо щонайменше за півроку до появи відповідної інформації у ЗМІ. Черчилль не висловив і побоювань щодо можливості воєнного нападу СРСР на країни Заходу. СРСР який переміг у війні та вперше розірвав буферний пояс що ізолював його від світу відчув за думкою...
22738. Зовнішня політика адміністрації Трумена. «Доктрина Трумена» 33 KB
  Американский империализм стремился использовать финансовоэкономические трудности Англии усугубленные кабальным займом полученным ею от США в июле 1946 г. Американские дипломаты убеждали своих английских коллег что для их правительства самым благоприятным выходом была бы передача этой доли наследства в руки США как для облегчения финансового бремени Англии так и для ухода от той критики которой повсеместно подвергался британский империализм за его интервенцию в Греции. правительство США получило две британские ноты в которых...
22739. Американська стратегія ’’гнучкого реагування’’ у 60-ті рр 30.5 KB
  В месте тем разработчики плана учитывали и возможность нанесения Советским Союзом ответного ядерного удара по территории США. Внезапное для США появление советских ракет средней дальности на Кубе и отсутствие у них подавляющего превосходства в количестве МБР и БРПЛ над Советским Союзом сделали военный путь разрешения конфликта невозможным. Желания военных нашли должную поддержку в сенате США. Учитывая такие факторы как практически безраздельное господство ВМС США и объединенного флота НАТО на просторах мирового океана в начале 60х годов...
22740. Канада і НАФТА 44 KB
  Канада і НАФТА. Североамериканскиое соглашение о свободной торговле НАФТА между Канадой Соединенными Штатами Америки и Мексикой вступило в силу 1 января 1994 года. Созданное для поощрения увеличения торговли и инвестиций между партнерами по НАФТА Соглашение содержит грандиозный план уничтожения тарифов и сокращения нетарифных барьеров наряду с обстоятельными положениями по ведению бизнеса в зоне свбодной торговли. НАФТА увеличила доступ Канады на американский и мексиканский рынки а также повысила привлекательность канадской экономики для...
22741. Латиноамериканський курс адміністрації Дж. Картера 23.5 KB
  Планы укрепления агрессивной межамериканской военной системы консолидации правых режимов на континенте были приняты на вооружение и администрацией США во главе с Дж. Столкнувшись с падением престижа США в Латинской Америке и стремясь укрепить здесь свои позиции официальный Вашингтон возвестил о пересмотре политики в отношении латиноамериканских государств. Дипломатия США стала усиленно афишировать свой постоянный интерес к этим странам. Президент США Дж.
22742. Етапи війни США у Кореї 82 KB
  Етапи війни США у Кореї. Поэтому сейчас взрывы в Японии рассматривались как начало атомного шантажа США. Эта ошибка в переоценке своих сил вынудили США заплатить за нее очень дорого сначала в Корее а затем во Вьетнаме. Дело состояло в следующем: СССР допустив США в Корею справедливо считала что американцы в свою очередь выделят СССР зону оккупации в Японии.
22743. Основні напрямки зовнішньої політики США на початку 70-х рр 31 KB
  Зайнявши Білий дім 37й американський президент уже в липні 1969 року проголосив нову стратегію США у в'єтнамській війні яка отримала назву доктрини Ніксона . Вже в червні 1969 року почалася евакуація півмільйонного американського контингенту з Південного В'єтнаму. На травень 1972 року тут залишалось 69 тисяч американців. на думку деяких істориків змусило Ханой підписати у Парижі 27 січня 1973 року угоду про припинення військових дій та відновлення миру у В'єтнамі .