19090

Выбор шага дискретизации с использованием экстраполирующих многочленов Тейлора

Практическая работа

Физика

Лекция № 4. Выбор шага дискретизации с использованием экстраполирующих многочленов Тейлора. Экстраполирующий многочлен Тейлора описывающий исходную функцию определяется выражением: 4.1 где соответственно первая вторая и производные непрерывной ...

Русский

2013-07-11

227 KB

12 чел.

Лекция № 4.

Выбор шага дискретизации с использованием экстраполирующих многочленов Тейлора.

Экстраполирующий многочлен Тейлора, описывающий исходную функцию , определяется выражением:

          (4.1)

где  соответственно первая, вторая и  производные непрерывной  функции в момент времени . Значение погрешности восстановления на интервале аппроксимации не должно превышать максимального значения остаточного члена разложения:

                                (4.2)

где – максимальное значение модуля производной функции  на интервале аппроксимации.

Ступенчатая  экстраполяция. Определим шаг равномерной дискретизации на основе многочлена Тейлора нулевой степени (ступенчатая  экстраполяция). Значение воспроизводящей функции  в любой момент времени  на каждом  интервале  принимается равным отсчету   (рис. 4.1).

Из (4.2) следует, что значение остаточного члена достигает максимума в конце интервала при :  

                                                           (4.3)

Отсюда получаем условие, определяющее шаг дискретизации:

                                                                                       (4.4)

Линейная экстраполяция. Определим шаг равномерной дискретизации с помощью многочлена Тейлора первой степени. В соответствии с (4.1) при восстановлении сигнала  помимо отсчета используется значение первой производной функции в момент времени .  На каждом   интервале времени   воспроизводящая функция равна:

,                                                               (4.5)

и представляет собой отрезок прямой, касательный к функции  в момент времени ,  (рис. 4.2).

Максимальное значение остаточного члена достигается в конце интервала при  и равно:

                                                      (4.6)

Соответственно получаем соотношение для шага дискретизации:

.                                                                                           (4.7)

Сравнение линейной экстраполяции с линейной интерполяцией (см. формулу 3.10)  показывает, что для обеспечения допустимой погрешности при экстраполяции требуется вдвое большее число отсчетов по сравнению с интерполяционным методом. Этот недостаток экстраполяции компенсируется более мягкими требованиями к обеспечению технической реализации аппаратных  (и программных) средств дискретизации и восстановления реальных сигналов, т.к. при экстраполяции не нужна задержка сигналов, необходимая при интерполяции.

Адаптивная дискретизация.              

Выше рассмотренные методы и алгоритмы дискретизации предназначены для  обработки любых возможных реализаций сигнала, поэтому они основаны на анализе предельных значений его динамических характеристик. В частности, при равномерной дискретизации погрешность восстановления может достигать предельного значения только в отдельные, сравнительно редкие моменты времени.  К тому же  значительное число отсчетов может быть избыточным, т.е. неинформативным.

В основе принципа адаптивной дискретизации лежит непосредственное слежение за текущей погрешностью восстановления сигнала. Наиболее широко на практике применяются алгоритмы дискретизации с адаптацией по длине интервала. Идея такой дискретизации состоит в следующем. На основе имеющегося дискретного отсчета (или отсчетов) на текущем интервале дискретизации определяются параметры восстанавливающей функции, формируемой с учетом текущих значений динамических характеристик сигнала. Затем в любой текущий момент времени определяется разность между соответствующими значениями исходной и воспроизводящей функцией, т.е. погрешность восстановления на основе, например, критерия наибольшего отклонения. Если эта погрешность достигает предельно допустимого значения, наращивание интервала прекращается и производится отсчет.  При этом в качестве воспроизводящих функций наиболее часто используют степенные алгебраические полиномы.

Возможен и другой подход к адаптивной дискретизации, заключающийся в адаптивном изменении порядка восстанавливающего полинома при фиксированном интервале дискретизации. Однако на практике наибольшее распространение получила адаптивная дискретизация с переменным шагом дискретизации.

В зависимости от возможного изменения шага дискретизации различают две группы методов:

  •  дискретизация с некратными интервалами, при которой шаг дискретизации  непрерывно меняется в интервале ;
  •  дискретизация с кратными интервалами, при которой – дискретная величина .

В реальных системах для восстановления непрерывной функции по дискретным отсчетам обычно применяют степенные полиномы нулевого и первого порядка. При этом  используют принцип экстраполяции (интерполяционные способы не нашли широкого применения, поскольку их реализация связана с запоминанием сигнала на интервале аппроксимации и выполнением большого числа вычислительных операций).

Ограничимся рассмотрением примеров адаптивной дискретизации на основе экстраполяции.

Пример 1.  Рассмотреть адаптивную дискретизацию реализации сигнала  с использованием аппроксимирующего многочлена типа (3.1) нулевой степени (ступенчатая аппроксимация). Принять, что наибольшее допустимое отклонение равно .

На момент  начала каждого интервала аппроксимирующий полином принимаем равным  и вычисляем разность , которую сравниваем с . Установление равенства  соответствует моменту  окончания интервала и фиксации очередного отсчета (см. рис. 4.3).

 

Пример 2.  Рассмотреть адаптивную дискретизацию реализации сигнала  с использованием аппроксимирующего многочлена первой степени (линейная  аппроксимация). Принять, что наибольшее допустимое отклонение равно .

На момент  начала каждого интервала аппроксимирующий полином  зададим в виде:   ,                                                   (4.8)

где – производная сигнала в момент времени .

Момент очередного отсчета определяется выполнением равенства:

                         (4.9)

Результаты дискретизации приведены на рис. 4.4.

При аппаратной реализации данного алгоритма следует учесть, что вследствие наличия операции дифференцирования сигнала он неэффективен при наличии высокочастотных помех.

PAGE  1


EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

Рис. 4.1

Рис. 4.2

Рис. 4.3.

Рис. 4.4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

33070. Філософія Нового часу 17.08 KB
  Як і більшість мислителів Нового часу він вважав що завдання філософії створити новий метод наукового пізнання переосмислити завдання науки. Він вказував що правильно знати це знати опосередковано причинами і закликав застосовувати такі нові методи пізнання як індукція дедукція експеримент. Такий метод на думку Бекона мало придатний до пізнання. Усяке пізнання і усякий винахід повинні спиратися на досвід тобто повинні рухатися від вивчення поодиноких фактів до загальних положень.
33071. Рене Декарт 13.65 KB
  У теорії пізнання він розвиває раціоналізм тобто вчення згідно з яким розум думка визнаються найвищою цінністю. Метод наукового пізнання який Декарт розглядає в своїх працях Міркування про метод Правила для керівництва розумом називається аналітичним. Цей метод вимагає ясності і чіткості пізнання розчленування об'єкту на складові частини і вивчення їх руху думки від простого до складного. У теорії пізнання Спіноза розвиває раціоналізм.
33072. Просвітництво 13.8 KB
  Класичним філософом французького Просвітництва був Вольтер 16941778 головні ідеї якого викладені у працях: Філософські листи 1734 Метафізичний трактат 1734 Роздуми про людину 1737 Філософський словник 1764 Філософія історії 1765 та ін. Головне завдання своєї філософії Вольтер вбачає в розвінчуванні релігійної догматики що заважає людям будувати щасливе життя культивуючи неуцтво неосвіченість фанатизм брехню. У філософії природи Вольтер послідовник Ньютона. У теорії пізнання Вольтер прагнув поєднати сенсуалістичний...
33073. Класична німецька філософія 14.81 KB
  Німецька класична філософія охоплює порівняно короткий період який обмежений 80ми роками XVIII століття з одного боку і 1831 роком роком смерті Гегеля з іншою або пізнішою антропологічною матеріалістичною філософією Фейєрбаха який проте увійшов до протиріччя з основним характером німецької філософії цього періоду її ідеалізмом. Основними представниками цієї філософії були основоположник її Иммануил Кант його послідовник Фихте Шеллинг супротивник кантіанської філософії Георг Вільгельм Фрідріх Гегель. Що стосується загальної...
33074. Родоначальником німецької класичної філософії є Іммануїл Кант 13.37 KB
  До Канта вважали що пізнання є результатом дій на людину зовнішніх чинників. Кант перевернув це співвідношення: він проголосив що пізнання і знання є результатом людської насамперед розумової активності. Аналогія з коперниканським переворотом тут цілком очевидна: Коперник зрушив Землю яку до того розглядали нерухомим центром Всесвіту а Кант зрушив людину поклавши край її пасивності.
33075. Система і метод філософії Гегеля 13.77 KB
  Вихідним пунктом філософської концепції Гегеля є тотожність буття та мислення. Мислення з точки зору Гегеля є не лише суб'єктною людською діяльністю а й незалежною від людини об'єктивною сутністю першоосновою всього сущого. Мислення стверджує Гегель відчужує своє буття у формі матерії природи яка є інобуттям цього об'єктивно існуючого мислення або абсолютної ідеї. При цьому Гегель розглядає мислення абсолютну ідею не як нерухому незмінну першосутність а як процес неперервного розвитку пізнання як процес сходження від нижчого до...
33076. Глибоким критиком ідеалістичної системи Гегеля став Л. Фейєрбах, його сучасник, учень, який, однак, не став послідовником свого вчителя 13.54 KB
  Великі зміни в історії суспільства вважав філософ пояснюються змінами форм релігії. Будучи глибоким критиком релігії що існувала на той час Фейєрбах намагався створити свою нову релігію в якій замість культу Бога буде панувати культ людини і любові. Фейєрбах запропонував відмінне від традиційного розуміння філософії її минулого та сучасності ролі в суспільстві і ставлення до релігії. Водночас і сама філософія повинна змінитися: вона не має стати простим чи негативним в гегелівському розумінні запереченням релігії.
33077. Загальна характеристика сучасної світової парадигми 14.29 KB
  Характерна ознака цієї філософії безмежна віра в розум. Особливістю класичної філософії також те що розглядаючи людину та історію вона сконцентрувала свою увагу навколо проблеми свободи та інших гуманістичних цінностей і стверджувала необхідність раціонального пізнання загальнолюдських моральних принципів та ідеалів. Для сучасної філософії характерні такі суттєві риси. цей стиль філософствування починає домінувати в західній філософії; філософію мислення замінює філософія життя .
33078. Прагматизм 12.09 KB
  Дьюі 18591952 вважають що філософія повинна займатись не проблемами філософів а âлюдськими проблемамиâ тобто цілями та засобами їх вирішення і таким чином повинна бути перетворена в інтересах того що є вигідним для життя людини. Людина повинна діяти у ірраціональному світі та спроби досягнути обєктивної істини є безглуздими.