19090

Выбор шага дискретизации с использованием экстраполирующих многочленов Тейлора

Практическая работа

Физика

Лекция № 4. Выбор шага дискретизации с использованием экстраполирующих многочленов Тейлора. Экстраполирующий многочлен Тейлора описывающий исходную функцию определяется выражением: 4.1 где соответственно первая вторая и производные непрерывной ...

Русский

2013-07-11

227 KB

10 чел.

Лекция № 4.

Выбор шага дискретизации с использованием экстраполирующих многочленов Тейлора.

Экстраполирующий многочлен Тейлора, описывающий исходную функцию , определяется выражением:

          (4.1)

где  соответственно первая, вторая и  производные непрерывной  функции в момент времени . Значение погрешности восстановления на интервале аппроксимации не должно превышать максимального значения остаточного члена разложения:

                                (4.2)

где – максимальное значение модуля производной функции  на интервале аппроксимации.

Ступенчатая  экстраполяция. Определим шаг равномерной дискретизации на основе многочлена Тейлора нулевой степени (ступенчатая  экстраполяция). Значение воспроизводящей функции  в любой момент времени  на каждом  интервале  принимается равным отсчету   (рис. 4.1).

Из (4.2) следует, что значение остаточного члена достигает максимума в конце интервала при :  

                                                           (4.3)

Отсюда получаем условие, определяющее шаг дискретизации:

                                                                                       (4.4)

Линейная экстраполяция. Определим шаг равномерной дискретизации с помощью многочлена Тейлора первой степени. В соответствии с (4.1) при восстановлении сигнала  помимо отсчета используется значение первой производной функции в момент времени .  На каждом   интервале времени   воспроизводящая функция равна:

,                                                               (4.5)

и представляет собой отрезок прямой, касательный к функции  в момент времени ,  (рис. 4.2).

Максимальное значение остаточного члена достигается в конце интервала при  и равно:

                                                      (4.6)

Соответственно получаем соотношение для шага дискретизации:

.                                                                                           (4.7)

Сравнение линейной экстраполяции с линейной интерполяцией (см. формулу 3.10)  показывает, что для обеспечения допустимой погрешности при экстраполяции требуется вдвое большее число отсчетов по сравнению с интерполяционным методом. Этот недостаток экстраполяции компенсируется более мягкими требованиями к обеспечению технической реализации аппаратных  (и программных) средств дискретизации и восстановления реальных сигналов, т.к. при экстраполяции не нужна задержка сигналов, необходимая при интерполяции.

Адаптивная дискретизация.              

Выше рассмотренные методы и алгоритмы дискретизации предназначены для  обработки любых возможных реализаций сигнала, поэтому они основаны на анализе предельных значений его динамических характеристик. В частности, при равномерной дискретизации погрешность восстановления может достигать предельного значения только в отдельные, сравнительно редкие моменты времени.  К тому же  значительное число отсчетов может быть избыточным, т.е. неинформативным.

В основе принципа адаптивной дискретизации лежит непосредственное слежение за текущей погрешностью восстановления сигнала. Наиболее широко на практике применяются алгоритмы дискретизации с адаптацией по длине интервала. Идея такой дискретизации состоит в следующем. На основе имеющегося дискретного отсчета (или отсчетов) на текущем интервале дискретизации определяются параметры восстанавливающей функции, формируемой с учетом текущих значений динамических характеристик сигнала. Затем в любой текущий момент времени определяется разность между соответствующими значениями исходной и воспроизводящей функцией, т.е. погрешность восстановления на основе, например, критерия наибольшего отклонения. Если эта погрешность достигает предельно допустимого значения, наращивание интервала прекращается и производится отсчет.  При этом в качестве воспроизводящих функций наиболее часто используют степенные алгебраические полиномы.

Возможен и другой подход к адаптивной дискретизации, заключающийся в адаптивном изменении порядка восстанавливающего полинома при фиксированном интервале дискретизации. Однако на практике наибольшее распространение получила адаптивная дискретизация с переменным шагом дискретизации.

В зависимости от возможного изменения шага дискретизации различают две группы методов:

  •  дискретизация с некратными интервалами, при которой шаг дискретизации  непрерывно меняется в интервале ;
  •  дискретизация с кратными интервалами, при которой – дискретная величина .

В реальных системах для восстановления непрерывной функции по дискретным отсчетам обычно применяют степенные полиномы нулевого и первого порядка. При этом  используют принцип экстраполяции (интерполяционные способы не нашли широкого применения, поскольку их реализация связана с запоминанием сигнала на интервале аппроксимации и выполнением большого числа вычислительных операций).

Ограничимся рассмотрением примеров адаптивной дискретизации на основе экстраполяции.

Пример 1.  Рассмотреть адаптивную дискретизацию реализации сигнала  с использованием аппроксимирующего многочлена типа (3.1) нулевой степени (ступенчатая аппроксимация). Принять, что наибольшее допустимое отклонение равно .

На момент  начала каждого интервала аппроксимирующий полином принимаем равным  и вычисляем разность , которую сравниваем с . Установление равенства  соответствует моменту  окончания интервала и фиксации очередного отсчета (см. рис. 4.3).

 

Пример 2.  Рассмотреть адаптивную дискретизацию реализации сигнала  с использованием аппроксимирующего многочлена первой степени (линейная  аппроксимация). Принять, что наибольшее допустимое отклонение равно .

На момент  начала каждого интервала аппроксимирующий полином  зададим в виде:   ,                                                   (4.8)

где – производная сигнала в момент времени .

Момент очередного отсчета определяется выполнением равенства:

                         (4.9)

Результаты дискретизации приведены на рис. 4.4.

При аппаратной реализации данного алгоритма следует учесть, что вследствие наличия операции дифференцирования сигнала он неэффективен при наличии высокочастотных помех.

PAGE  1


EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

Рис. 4.1

Рис. 4.2

Рис. 4.3.

Рис. 4.4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

37316. LiME - THE EVENT DRIVEN TRANSLATION SYSTEM 24.5 KB
  Nowadays the development of CPU with new instruction set architecture (ISA) implies that translators to this ISA assembler from the certain set of high level programming languages should be developed too. If the basic principles of the ISA are close enough to the long time used traditional CISC
37317. СОВРЕМЕННЫЙ РУССКИЙ ЯЗЫК. ЯЗЫК ЛИТЕРАТУРНЫЙ И НЕЛИТЕРАТУРНЫЕ ФОРМЫ ЯЗЫКА 163 KB
  ЯЗЫК ЛИТЕРАТУРНЫЙ И НЕЛИТЕРАТУРНЫЕ ФОРМЫ ЯЗЫКА Вопросы Русский язык и его функции. Функциональная дифференциация языка. Язык литературный и нелитературные формы языка. Функциональные стили русского языка.
37318. ОСНОВЫ ПРАВА. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ 36.04 KB
  Учебная дисциплина «Основы права» относятся к базовой части дисциплин Гуманитарного, социального и экономического цикла основной образовательной программы подготовки бакалавров по направлению 081100.62 «Государственное и муниципальное управление». Ее освоение опирается на знания, полученные в процессе освоения программы общего среднего образования, в том числе при изучении дисциплин «История», «Обществознание», «Граждановедение» и других курсов гуманитарного и социально-политического характера – «Политологии» и «Правовой акмеологии».
37323. ФИЛОСОФИЯ ОНТОЛОГИЯ И ТЕОРИЯ ПОЗНАНИЯ 284 KB
  Одна из задач философии – научить человека самостоятельно и творчески мыслить. Учебный курс философии предполагает как теоретический так и практический уровни. На практическом уровне студент должен научиться: использовать полученные теоретические знания для определения закономерностей развития и социальной значимости явлений и процессов действительного мира; анализировать имеющиеся точки зрения на вопрос; аргументировать собственную позицию; оценить личный вклад философа учёного деятеля культуры в развитие науки и культуры; использовать...
37324. ПРОЕКТИРОВАНИЕ АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ СИСТЕМ 235.5 KB
  Заказная спецификация на приборы и средства автоматизации электроаппаратуру Приложение 7. Чертеж функциональной схемы автоматизации Приложение 10. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ КУРСОВОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ Выполнение курсового проекта по дисциплине “Проектирование автоматизированных систем†является подготовкой студентов к самостоятельной разработке проектов автоматизации в пищевой и химической промышленности. В процессе выполнения проекта студент должен показать глубину освоения теоретических и практических...