19090

Выбор шага дискретизации с использованием экстраполирующих многочленов Тейлора

Практическая работа

Физика

Лекция № 4. Выбор шага дискретизации с использованием экстраполирующих многочленов Тейлора. Экстраполирующий многочлен Тейлора описывающий исходную функцию определяется выражением: 4.1 где соответственно первая вторая и производные непрерывной ...

Русский

2013-07-11

227 KB

9 чел.

Лекция № 4.

Выбор шага дискретизации с использованием экстраполирующих многочленов Тейлора.

Экстраполирующий многочлен Тейлора, описывающий исходную функцию , определяется выражением:

          (4.1)

где  соответственно первая, вторая и  производные непрерывной  функции в момент времени . Значение погрешности восстановления на интервале аппроксимации не должно превышать максимального значения остаточного члена разложения:

                                (4.2)

где – максимальное значение модуля производной функции  на интервале аппроксимации.

Ступенчатая  экстраполяция. Определим шаг равномерной дискретизации на основе многочлена Тейлора нулевой степени (ступенчатая  экстраполяция). Значение воспроизводящей функции  в любой момент времени  на каждом  интервале  принимается равным отсчету   (рис. 4.1).

Из (4.2) следует, что значение остаточного члена достигает максимума в конце интервала при :  

                                                           (4.3)

Отсюда получаем условие, определяющее шаг дискретизации:

                                                                                       (4.4)

Линейная экстраполяция. Определим шаг равномерной дискретизации с помощью многочлена Тейлора первой степени. В соответствии с (4.1) при восстановлении сигнала  помимо отсчета используется значение первой производной функции в момент времени .  На каждом   интервале времени   воспроизводящая функция равна:

,                                                               (4.5)

и представляет собой отрезок прямой, касательный к функции  в момент времени ,  (рис. 4.2).

Максимальное значение остаточного члена достигается в конце интервала при  и равно:

                                                      (4.6)

Соответственно получаем соотношение для шага дискретизации:

.                                                                                           (4.7)

Сравнение линейной экстраполяции с линейной интерполяцией (см. формулу 3.10)  показывает, что для обеспечения допустимой погрешности при экстраполяции требуется вдвое большее число отсчетов по сравнению с интерполяционным методом. Этот недостаток экстраполяции компенсируется более мягкими требованиями к обеспечению технической реализации аппаратных  (и программных) средств дискретизации и восстановления реальных сигналов, т.к. при экстраполяции не нужна задержка сигналов, необходимая при интерполяции.

Адаптивная дискретизация.              

Выше рассмотренные методы и алгоритмы дискретизации предназначены для  обработки любых возможных реализаций сигнала, поэтому они основаны на анализе предельных значений его динамических характеристик. В частности, при равномерной дискретизации погрешность восстановления может достигать предельного значения только в отдельные, сравнительно редкие моменты времени.  К тому же  значительное число отсчетов может быть избыточным, т.е. неинформативным.

В основе принципа адаптивной дискретизации лежит непосредственное слежение за текущей погрешностью восстановления сигнала. Наиболее широко на практике применяются алгоритмы дискретизации с адаптацией по длине интервала. Идея такой дискретизации состоит в следующем. На основе имеющегося дискретного отсчета (или отсчетов) на текущем интервале дискретизации определяются параметры восстанавливающей функции, формируемой с учетом текущих значений динамических характеристик сигнала. Затем в любой текущий момент времени определяется разность между соответствующими значениями исходной и воспроизводящей функцией, т.е. погрешность восстановления на основе, например, критерия наибольшего отклонения. Если эта погрешность достигает предельно допустимого значения, наращивание интервала прекращается и производится отсчет.  При этом в качестве воспроизводящих функций наиболее часто используют степенные алгебраические полиномы.

Возможен и другой подход к адаптивной дискретизации, заключающийся в адаптивном изменении порядка восстанавливающего полинома при фиксированном интервале дискретизации. Однако на практике наибольшее распространение получила адаптивная дискретизация с переменным шагом дискретизации.

В зависимости от возможного изменения шага дискретизации различают две группы методов:

  •  дискретизация с некратными интервалами, при которой шаг дискретизации  непрерывно меняется в интервале ;
  •  дискретизация с кратными интервалами, при которой – дискретная величина .

В реальных системах для восстановления непрерывной функции по дискретным отсчетам обычно применяют степенные полиномы нулевого и первого порядка. При этом  используют принцип экстраполяции (интерполяционные способы не нашли широкого применения, поскольку их реализация связана с запоминанием сигнала на интервале аппроксимации и выполнением большого числа вычислительных операций).

Ограничимся рассмотрением примеров адаптивной дискретизации на основе экстраполяции.

Пример 1.  Рассмотреть адаптивную дискретизацию реализации сигнала  с использованием аппроксимирующего многочлена типа (3.1) нулевой степени (ступенчатая аппроксимация). Принять, что наибольшее допустимое отклонение равно .

На момент  начала каждого интервала аппроксимирующий полином принимаем равным  и вычисляем разность , которую сравниваем с . Установление равенства  соответствует моменту  окончания интервала и фиксации очередного отсчета (см. рис. 4.3).

 

Пример 2.  Рассмотреть адаптивную дискретизацию реализации сигнала  с использованием аппроксимирующего многочлена первой степени (линейная  аппроксимация). Принять, что наибольшее допустимое отклонение равно .

На момент  начала каждого интервала аппроксимирующий полином  зададим в виде:   ,                                                   (4.8)

где – производная сигнала в момент времени .

Момент очередного отсчета определяется выполнением равенства:

                         (4.9)

Результаты дискретизации приведены на рис. 4.4.

При аппаратной реализации данного алгоритма следует учесть, что вследствие наличия операции дифференцирования сигнала он неэффективен при наличии высокочастотных помех.

PAGE  1


EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

Рис. 4.1

Рис. 4.2

Рис. 4.3.

Рис. 4.4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

38136. Концептуальні засади соціального і гуманітарного забезпечення та виховної роботи в Збройних Силах України 188 KB
  Актуальність вивчення даної теми полягає в тому, що знання командиром (начальником) концептуальних засад гуманітарного та соціального забезпечення, змісту і основних напрямків соціальної і гуманітарної політики, основ морально-психологічного забезпечення, на сучасному етапі розвитку ЗС України виступає важливою передумовою ефективного навчання та виховання особового складу в підрозділі (частині).
38137. Організація морально-психологічного забезпечення окремих видів бойової підготовки підрозділів 157 KB
  Оголосити тему заняття, її актуальність та звязок з іншими темами, мету та навчальні питання, які будуть розглянуті. Особливу увагу на занятті необхідно звернути на те, що існує обєктивна потреба в оволодінні всім офіцерським складом загальними поняттями про психологію спілкування у військовому колективі, а також розкрити сутність, функції та структура спілкування,
38138. Організація заходів морально-психологічного забезпечення виконання миротворчих завдань 149 KB
  Географія міжнародних миротворчих операцій є практично необмеженою, оскільки жоден населений регіон світу не можна вважати абсолютно стабільним. Тому військові підрозділи, що призначаються для здійснення миротворчих операцій, мають бути готовими до дій у будь-яких географічних і кліматичних умовах. Водночас не викликає сумніву потреба диференційованої підготовки миротворчих підрозділів до дій в особливих умовах (наприклад, гірських або тропічних).
38139. Організація психологічної підготовки в збройних силах країн – членів НАТО 107.5 KB
  Організація моральнопсихологічного забезпечення Заняття №16: Організація психологічної підготовки в збройних силах країн – членів НАТО Час: 2 години Мета заняття: 1. У бундесвері концепцію виховного впливу формує цілий Апарат ідеологічної роботи збройних сил безпосередньо підпорядкований міністру оборони країни. На вищому рівні цим...
38140. Морально-психологічне забезпечення основних видів бою Сухопутних військ ЗС України 133.5 KB
  Оголосити тему заняття, її актуальність та звязок з іншими темами, мету та навчальні питання, які будуть розглянуті. Особливу увагу на занятті необхідно звернути на те, що існує обєктивна потреба в оволодінні всім офіцерським складом загальними поняттями про психологію спілкування у військовому колективі, а також розкрити сутність, функції та структура спілкування...
38141. Завдання органів з виховної роботи на сучасному етапі розвитку Збройних Сил України 159.5 KB
  Морально-психологічне забезпечення діяльності військ – це система заходів, спрямованих на формування і підтримання високого морального духу армії, МПС і дисципліни особового складу, правопорядку військового, на згуртування військових колективів і протидію інформаційно-психологічному впливу противника.
38142. Плануюча і звітна документація з питань морально-психологічного забезпечення виконання миротворчих завдань 104 KB
  Закріпити знання одержані курсантами студентами в процесі самостійної роботи над навчальною методичною і науковою літературою; 2. Головною метою його роботи є оптимізація спільної військової діяльності міжособистісних взаємин а також моральнопсихологічного стану окремих військовослужбовців. ОСНОВНА ЧАСТИНА: виховної роботи це визначення напрямів шляхів змісту засобів методів і форм щодо реалізації цілей виховної роботи прийняття конкретних адресних обґрунтованих рішень що стосуються реалізації заходів виховної роботи їх...