19090

Выбор шага дискретизации с использованием экстраполирующих многочленов Тейлора

Практическая работа

Физика

Лекция № 4. Выбор шага дискретизации с использованием экстраполирующих многочленов Тейлора. Экстраполирующий многочлен Тейлора описывающий исходную функцию определяется выражением: 4.1 где соответственно первая вторая и производные непрерывной ...

Русский

2013-07-11

227 KB

10 чел.

Лекция № 4.

Выбор шага дискретизации с использованием экстраполирующих многочленов Тейлора.

Экстраполирующий многочлен Тейлора, описывающий исходную функцию , определяется выражением:

          (4.1)

где  соответственно первая, вторая и  производные непрерывной  функции в момент времени . Значение погрешности восстановления на интервале аппроксимации не должно превышать максимального значения остаточного члена разложения:

                                (4.2)

где – максимальное значение модуля производной функции  на интервале аппроксимации.

Ступенчатая  экстраполяция. Определим шаг равномерной дискретизации на основе многочлена Тейлора нулевой степени (ступенчатая  экстраполяция). Значение воспроизводящей функции  в любой момент времени  на каждом  интервале  принимается равным отсчету   (рис. 4.1).

Из (4.2) следует, что значение остаточного члена достигает максимума в конце интервала при :  

                                                           (4.3)

Отсюда получаем условие, определяющее шаг дискретизации:

                                                                                       (4.4)

Линейная экстраполяция. Определим шаг равномерной дискретизации с помощью многочлена Тейлора первой степени. В соответствии с (4.1) при восстановлении сигнала  помимо отсчета используется значение первой производной функции в момент времени .  На каждом   интервале времени   воспроизводящая функция равна:

,                                                               (4.5)

и представляет собой отрезок прямой, касательный к функции  в момент времени ,  (рис. 4.2).

Максимальное значение остаточного члена достигается в конце интервала при  и равно:

                                                      (4.6)

Соответственно получаем соотношение для шага дискретизации:

.                                                                                           (4.7)

Сравнение линейной экстраполяции с линейной интерполяцией (см. формулу 3.10)  показывает, что для обеспечения допустимой погрешности при экстраполяции требуется вдвое большее число отсчетов по сравнению с интерполяционным методом. Этот недостаток экстраполяции компенсируется более мягкими требованиями к обеспечению технической реализации аппаратных  (и программных) средств дискретизации и восстановления реальных сигналов, т.к. при экстраполяции не нужна задержка сигналов, необходимая при интерполяции.

Адаптивная дискретизация.              

Выше рассмотренные методы и алгоритмы дискретизации предназначены для  обработки любых возможных реализаций сигнала, поэтому они основаны на анализе предельных значений его динамических характеристик. В частности, при равномерной дискретизации погрешность восстановления может достигать предельного значения только в отдельные, сравнительно редкие моменты времени.  К тому же  значительное число отсчетов может быть избыточным, т.е. неинформативным.

В основе принципа адаптивной дискретизации лежит непосредственное слежение за текущей погрешностью восстановления сигнала. Наиболее широко на практике применяются алгоритмы дискретизации с адаптацией по длине интервала. Идея такой дискретизации состоит в следующем. На основе имеющегося дискретного отсчета (или отсчетов) на текущем интервале дискретизации определяются параметры восстанавливающей функции, формируемой с учетом текущих значений динамических характеристик сигнала. Затем в любой текущий момент времени определяется разность между соответствующими значениями исходной и воспроизводящей функцией, т.е. погрешность восстановления на основе, например, критерия наибольшего отклонения. Если эта погрешность достигает предельно допустимого значения, наращивание интервала прекращается и производится отсчет.  При этом в качестве воспроизводящих функций наиболее часто используют степенные алгебраические полиномы.

Возможен и другой подход к адаптивной дискретизации, заключающийся в адаптивном изменении порядка восстанавливающего полинома при фиксированном интервале дискретизации. Однако на практике наибольшее распространение получила адаптивная дискретизация с переменным шагом дискретизации.

В зависимости от возможного изменения шага дискретизации различают две группы методов:

  •  дискретизация с некратными интервалами, при которой шаг дискретизации  непрерывно меняется в интервале ;
  •  дискретизация с кратными интервалами, при которой – дискретная величина .

В реальных системах для восстановления непрерывной функции по дискретным отсчетам обычно применяют степенные полиномы нулевого и первого порядка. При этом  используют принцип экстраполяции (интерполяционные способы не нашли широкого применения, поскольку их реализация связана с запоминанием сигнала на интервале аппроксимации и выполнением большого числа вычислительных операций).

Ограничимся рассмотрением примеров адаптивной дискретизации на основе экстраполяции.

Пример 1.  Рассмотреть адаптивную дискретизацию реализации сигнала  с использованием аппроксимирующего многочлена типа (3.1) нулевой степени (ступенчатая аппроксимация). Принять, что наибольшее допустимое отклонение равно .

На момент  начала каждого интервала аппроксимирующий полином принимаем равным  и вычисляем разность , которую сравниваем с . Установление равенства  соответствует моменту  окончания интервала и фиксации очередного отсчета (см. рис. 4.3).

 

Пример 2.  Рассмотреть адаптивную дискретизацию реализации сигнала  с использованием аппроксимирующего многочлена первой степени (линейная  аппроксимация). Принять, что наибольшее допустимое отклонение равно .

На момент  начала каждого интервала аппроксимирующий полином  зададим в виде:   ,                                                   (4.8)

где – производная сигнала в момент времени .

Момент очередного отсчета определяется выполнением равенства:

                         (4.9)

Результаты дискретизации приведены на рис. 4.4.

При аппаратной реализации данного алгоритма следует учесть, что вследствие наличия операции дифференцирования сигнала он неэффективен при наличии высокочастотных помех.

PAGE  1


EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

Рис. 4.1

Рис. 4.2

Рис. 4.3.

Рис. 4.4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

1343. Дослідження страхів у дітей старшого дошкільного віку 441.5 KB
  Емпіричне вивчення проблеми страху у дітей дошкільного віку. Загальнi уявлення про природу страху. Огляд використаних діагностичних методик при вивченні страху у дітей старшого дошкільного віку. Психолого-педагогічні рекомендації щодо позбавлення дитини від почуття страху.
1344. Вопросы и ответы к госэкзамену для механиков 361 KB
  Система ремонта автомобиля. Мойка и очистка деталей перед ремонтом. Восстановление деталей методами ремонтных размеров и дополнительной ремонтной детали. Технологический процесс нанесения лакокрасочных покрытий. Сборка резьбовых, прессовых соединений, зубчатых передач, соединений с подшипниками качения. Восстановление размеров изношенных поверхностей деталей методом пластической деформации.
1345. Экономический расчет показателей по производству и реализации детали Вас-шестерня 318 KB
  Краткая характеристика предприятия. План мероприятий, направленных на повышение эффективности производственно-хозяйственной деятельности предприятия в целях обеспечения выполнения показателей прогноза социально-экономического развития на год. Прогнозирование финансово-хозяйственной деятельности.
1346. Инженерная геология 794.5 KB
  Строение Земли и Земной коры. Размеры Земли. Ядро, мантия, земная кора. Их размеры и строение. Строение Земной коры. Оболочки Земли. Элементы геологической среды. Генетическая классификация горных пород. Характеристика магматических, метаморфических и осадочных пород. Принципы классифицирования в каждой группе. Магматические горные породы, условия образования, классификация. Структура, текстура. Описание характерных (из лотка).
1347. Ленточный транспортер. 409.5 KB
  Кинематический расчет привода. Определение частот вращения и вращающих моментов на валах. Выбор типа и схемы установки подшипников. Подшипники тихоходного вала (7111А). Подшипники приводного вала. Расчет на динамическую грузоподъемность.
1348. Методы решения дифференциальных уравнений. Метод Эйлера-Коши и усовершенствованный метод Эйлера 6.12 MB
  Численное дифференцирование. Усовершенствованный метод Эйлера. Решение задачи усовершенствованным методом Эйлера. Блок-схема алгоритма к усовершенствованному методу Эйлера. Реализация на ЭВМ тестового примера усовершенствованного метода Эйлера.
1349. Метод вузлових потенціалів 113 KB
  Визначити струми у всіх гілках схеми методом вузлових потенціалів. За нульовий потенціал прийняти потенціал вузла b.
1350. Разработка объемного гидропривода поступательного действия 148.5 KB
  Разработка принципиальной гидравлической схемы. Расчет и выбор силовых гидродвигателей, насоса и рабочей жидкости. Расчет и выбор гидроаппаратов. Расчет гидролиний. Тепловой расчет гидропривода. Расчет внешней характеристики гидропривода.
1351. Методи розкодування інформації 208 KB
  Курсова робота на тему методи розкодування інформації. Поняття кодування інформації. Знаковий метод фіксації інформації. Мова як основний засіб кодування й передачі інформації. Мова як засіб кодування інформації. Традиційна система письма. Спеціальні системи письма.