19090

Выбор шага дискретизации с использованием экстраполирующих многочленов Тейлора

Практическая работа

Физика

Лекция № 4. Выбор шага дискретизации с использованием экстраполирующих многочленов Тейлора. Экстраполирующий многочлен Тейлора описывающий исходную функцию определяется выражением: 4.1 где соответственно первая вторая и производные непрерывной ...

Русский

2013-07-11

227 KB

11 чел.

Лекция № 4.

Выбор шага дискретизации с использованием экстраполирующих многочленов Тейлора.

Экстраполирующий многочлен Тейлора, описывающий исходную функцию , определяется выражением:

          (4.1)

где  соответственно первая, вторая и  производные непрерывной  функции в момент времени . Значение погрешности восстановления на интервале аппроксимации не должно превышать максимального значения остаточного члена разложения:

                                (4.2)

где – максимальное значение модуля производной функции  на интервале аппроксимации.

Ступенчатая  экстраполяция. Определим шаг равномерной дискретизации на основе многочлена Тейлора нулевой степени (ступенчатая  экстраполяция). Значение воспроизводящей функции  в любой момент времени  на каждом  интервале  принимается равным отсчету   (рис. 4.1).

Из (4.2) следует, что значение остаточного члена достигает максимума в конце интервала при :  

                                                           (4.3)

Отсюда получаем условие, определяющее шаг дискретизации:

                                                                                       (4.4)

Линейная экстраполяция. Определим шаг равномерной дискретизации с помощью многочлена Тейлора первой степени. В соответствии с (4.1) при восстановлении сигнала  помимо отсчета используется значение первой производной функции в момент времени .  На каждом   интервале времени   воспроизводящая функция равна:

,                                                               (4.5)

и представляет собой отрезок прямой, касательный к функции  в момент времени ,  (рис. 4.2).

Максимальное значение остаточного члена достигается в конце интервала при  и равно:

                                                      (4.6)

Соответственно получаем соотношение для шага дискретизации:

.                                                                                           (4.7)

Сравнение линейной экстраполяции с линейной интерполяцией (см. формулу 3.10)  показывает, что для обеспечения допустимой погрешности при экстраполяции требуется вдвое большее число отсчетов по сравнению с интерполяционным методом. Этот недостаток экстраполяции компенсируется более мягкими требованиями к обеспечению технической реализации аппаратных  (и программных) средств дискретизации и восстановления реальных сигналов, т.к. при экстраполяции не нужна задержка сигналов, необходимая при интерполяции.

Адаптивная дискретизация.              

Выше рассмотренные методы и алгоритмы дискретизации предназначены для  обработки любых возможных реализаций сигнала, поэтому они основаны на анализе предельных значений его динамических характеристик. В частности, при равномерной дискретизации погрешность восстановления может достигать предельного значения только в отдельные, сравнительно редкие моменты времени.  К тому же  значительное число отсчетов может быть избыточным, т.е. неинформативным.

В основе принципа адаптивной дискретизации лежит непосредственное слежение за текущей погрешностью восстановления сигнала. Наиболее широко на практике применяются алгоритмы дискретизации с адаптацией по длине интервала. Идея такой дискретизации состоит в следующем. На основе имеющегося дискретного отсчета (или отсчетов) на текущем интервале дискретизации определяются параметры восстанавливающей функции, формируемой с учетом текущих значений динамических характеристик сигнала. Затем в любой текущий момент времени определяется разность между соответствующими значениями исходной и воспроизводящей функцией, т.е. погрешность восстановления на основе, например, критерия наибольшего отклонения. Если эта погрешность достигает предельно допустимого значения, наращивание интервала прекращается и производится отсчет.  При этом в качестве воспроизводящих функций наиболее часто используют степенные алгебраические полиномы.

Возможен и другой подход к адаптивной дискретизации, заключающийся в адаптивном изменении порядка восстанавливающего полинома при фиксированном интервале дискретизации. Однако на практике наибольшее распространение получила адаптивная дискретизация с переменным шагом дискретизации.

В зависимости от возможного изменения шага дискретизации различают две группы методов:

  •  дискретизация с некратными интервалами, при которой шаг дискретизации  непрерывно меняется в интервале ;
  •  дискретизация с кратными интервалами, при которой – дискретная величина .

В реальных системах для восстановления непрерывной функции по дискретным отсчетам обычно применяют степенные полиномы нулевого и первого порядка. При этом  используют принцип экстраполяции (интерполяционные способы не нашли широкого применения, поскольку их реализация связана с запоминанием сигнала на интервале аппроксимации и выполнением большого числа вычислительных операций).

Ограничимся рассмотрением примеров адаптивной дискретизации на основе экстраполяции.

Пример 1.  Рассмотреть адаптивную дискретизацию реализации сигнала  с использованием аппроксимирующего многочлена типа (3.1) нулевой степени (ступенчатая аппроксимация). Принять, что наибольшее допустимое отклонение равно .

На момент  начала каждого интервала аппроксимирующий полином принимаем равным  и вычисляем разность , которую сравниваем с . Установление равенства  соответствует моменту  окончания интервала и фиксации очередного отсчета (см. рис. 4.3).

 

Пример 2.  Рассмотреть адаптивную дискретизацию реализации сигнала  с использованием аппроксимирующего многочлена первой степени (линейная  аппроксимация). Принять, что наибольшее допустимое отклонение равно .

На момент  начала каждого интервала аппроксимирующий полином  зададим в виде:   ,                                                   (4.8)

где – производная сигнала в момент времени .

Момент очередного отсчета определяется выполнением равенства:

                         (4.9)

Результаты дискретизации приведены на рис. 4.4.

При аппаратной реализации данного алгоритма следует учесть, что вследствие наличия операции дифференцирования сигнала он неэффективен при наличии высокочастотных помех.

PAGE  1


EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

Рис. 4.1

Рис. 4.2

Рис. 4.3.

Рис. 4.4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

11401. Лечение отравлений 39 KB
  4 Острые отравления могут быть различными химическими веществами к которым относятся и лекарства. Могут быть преднамеренными и случайными. Принципы: Затормозить всасывание токсического вещества в кровь Ускорить выведение всосавшегося яда
11402. Работа со сводными таблицами 37 KB
  Задание 6. Работа со сводными таблицами. Создание Загрузите с диска электронную таблицу содержащую перечень основных средств. На основании данных содержащихся в рабочем листе с именем ldquo;Амортизацияrdquo; сформируйт...
11403. Работа со справочниками 331.5 KB
  Задание 4. Работа со справочниками. Справочник Откройте новую рабочую книгу. Создайте рабочий лист с именем Нормы содержащий следующую справочную таблицу: Примечание: при формировании справочны...
11404. Работа со списками данных 57.5 KB
  Задание 5. Работа со списками данных. Редактирование списков данных В справочник норм амортизации произвести следующую корректировку данных...
11405. Изучение жанра сказки на уроках литературы в специальной (коррекционной) школе III-IV вида 25.23 KB
  Лабораторное занятие № 5 Изучение жанра сказки на уроках литературы в специальной коррекционной школе IIIIV вида Задания для самостоятельной работы обязательной формы: 1.Составьте конспект урока по выбранной вами теме: 1 Разработайте конспект вступит
11406. Чтение и изучение фольклорных жанров на уроках литературы в специальной (коррекционной) школе III-IV вида (на материале пословиц и поговорок, былины) 18.31 KB
  Лабораторное занятие № 6 Чтение и изучение фольклорных жанров на уроках литературы в специальной коррекционной школе IIIIV вида на материале пословиц и поговорок былины. Задания для подготовки Выявите по словарям литературоведческих терминов значение понятий
11407. УСТНОЕ НАРОДНОЕ ТВОРЧЕСТВО БЫЛИНЫ 53 KB
  УСТНОЕ НАРОДНОЕ ТВОРЧЕСТВО БЫЛИНЫ Занятия по фольклору в седьмом классе начинаются с рассказов учащихся об известных им жанрах устного народного творчества с пересказов полюбившихся им сказок пословиц поговорок загадок. Они могут быть проведены в виде св...
11408. УСТНОЕ НАРОДНОЕ ТВОРЧЕСТВО Обрядовый фольклор 58 KB
  УСТНОЕ НАРОДНОЕ ТВОРЧЕСТВО Обрядовый фольклор 2 часа Урок 8 Обряды и обрядовый фольклор. Произведения календарнообрядового цикла: колядки веснянки масленичные летние песни осенние обрядовые песни. Эстетическое значение обрядового фольклора
11409. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ 71.5 KB
  Лабораторная работа ЦИКЛИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ Цель работы; ознакомление и приобретение навыков алгоритмизации задач методом структурной декомпозиции использования основных арифметикологических и управляющих операторов языка С/С и отладки пр...