19090

Выбор шага дискретизации с использованием экстраполирующих многочленов Тейлора

Практическая работа

Физика

Лекция № 4. Выбор шага дискретизации с использованием экстраполирующих многочленов Тейлора. Экстраполирующий многочлен Тейлора описывающий исходную функцию определяется выражением: 4.1 где соответственно первая вторая и производные непрерывной ...

Русский

2013-07-11

227 KB

12 чел.

Лекция № 4.

Выбор шага дискретизации с использованием экстраполирующих многочленов Тейлора.

Экстраполирующий многочлен Тейлора, описывающий исходную функцию , определяется выражением:

          (4.1)

где  соответственно первая, вторая и  производные непрерывной  функции в момент времени . Значение погрешности восстановления на интервале аппроксимации не должно превышать максимального значения остаточного члена разложения:

                                (4.2)

где – максимальное значение модуля производной функции  на интервале аппроксимации.

Ступенчатая  экстраполяция. Определим шаг равномерной дискретизации на основе многочлена Тейлора нулевой степени (ступенчатая  экстраполяция). Значение воспроизводящей функции  в любой момент времени  на каждом  интервале  принимается равным отсчету   (рис. 4.1).

Из (4.2) следует, что значение остаточного члена достигает максимума в конце интервала при :  

                                                           (4.3)

Отсюда получаем условие, определяющее шаг дискретизации:

                                                                                       (4.4)

Линейная экстраполяция. Определим шаг равномерной дискретизации с помощью многочлена Тейлора первой степени. В соответствии с (4.1) при восстановлении сигнала  помимо отсчета используется значение первой производной функции в момент времени .  На каждом   интервале времени   воспроизводящая функция равна:

,                                                               (4.5)

и представляет собой отрезок прямой, касательный к функции  в момент времени ,  (рис. 4.2).

Максимальное значение остаточного члена достигается в конце интервала при  и равно:

                                                      (4.6)

Соответственно получаем соотношение для шага дискретизации:

.                                                                                           (4.7)

Сравнение линейной экстраполяции с линейной интерполяцией (см. формулу 3.10)  показывает, что для обеспечения допустимой погрешности при экстраполяции требуется вдвое большее число отсчетов по сравнению с интерполяционным методом. Этот недостаток экстраполяции компенсируется более мягкими требованиями к обеспечению технической реализации аппаратных  (и программных) средств дискретизации и восстановления реальных сигналов, т.к. при экстраполяции не нужна задержка сигналов, необходимая при интерполяции.

Адаптивная дискретизация.              

Выше рассмотренные методы и алгоритмы дискретизации предназначены для  обработки любых возможных реализаций сигнала, поэтому они основаны на анализе предельных значений его динамических характеристик. В частности, при равномерной дискретизации погрешность восстановления может достигать предельного значения только в отдельные, сравнительно редкие моменты времени.  К тому же  значительное число отсчетов может быть избыточным, т.е. неинформативным.

В основе принципа адаптивной дискретизации лежит непосредственное слежение за текущей погрешностью восстановления сигнала. Наиболее широко на практике применяются алгоритмы дискретизации с адаптацией по длине интервала. Идея такой дискретизации состоит в следующем. На основе имеющегося дискретного отсчета (или отсчетов) на текущем интервале дискретизации определяются параметры восстанавливающей функции, формируемой с учетом текущих значений динамических характеристик сигнала. Затем в любой текущий момент времени определяется разность между соответствующими значениями исходной и воспроизводящей функцией, т.е. погрешность восстановления на основе, например, критерия наибольшего отклонения. Если эта погрешность достигает предельно допустимого значения, наращивание интервала прекращается и производится отсчет.  При этом в качестве воспроизводящих функций наиболее часто используют степенные алгебраические полиномы.

Возможен и другой подход к адаптивной дискретизации, заключающийся в адаптивном изменении порядка восстанавливающего полинома при фиксированном интервале дискретизации. Однако на практике наибольшее распространение получила адаптивная дискретизация с переменным шагом дискретизации.

В зависимости от возможного изменения шага дискретизации различают две группы методов:

  •  дискретизация с некратными интервалами, при которой шаг дискретизации  непрерывно меняется в интервале ;
  •  дискретизация с кратными интервалами, при которой – дискретная величина .

В реальных системах для восстановления непрерывной функции по дискретным отсчетам обычно применяют степенные полиномы нулевого и первого порядка. При этом  используют принцип экстраполяции (интерполяционные способы не нашли широкого применения, поскольку их реализация связана с запоминанием сигнала на интервале аппроксимации и выполнением большого числа вычислительных операций).

Ограничимся рассмотрением примеров адаптивной дискретизации на основе экстраполяции.

Пример 1.  Рассмотреть адаптивную дискретизацию реализации сигнала  с использованием аппроксимирующего многочлена типа (3.1) нулевой степени (ступенчатая аппроксимация). Принять, что наибольшее допустимое отклонение равно .

На момент  начала каждого интервала аппроксимирующий полином принимаем равным  и вычисляем разность , которую сравниваем с . Установление равенства  соответствует моменту  окончания интервала и фиксации очередного отсчета (см. рис. 4.3).

 

Пример 2.  Рассмотреть адаптивную дискретизацию реализации сигнала  с использованием аппроксимирующего многочлена первой степени (линейная  аппроксимация). Принять, что наибольшее допустимое отклонение равно .

На момент  начала каждого интервала аппроксимирующий полином  зададим в виде:   ,                                                   (4.8)

где – производная сигнала в момент времени .

Момент очередного отсчета определяется выполнением равенства:

                         (4.9)

Результаты дискретизации приведены на рис. 4.4.

При аппаратной реализации данного алгоритма следует учесть, что вследствие наличия операции дифференцирования сигнала он неэффективен при наличии высокочастотных помех.

PAGE  1


EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

Рис. 4.1

Рис. 4.2

Рис. 4.3.

Рис. 4.4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

25319. Мозжечок 56.5 KB
  Полушария мозжечка делят па переднюю долю и заднюю долю; последнюю разделяют еще на две части. Филогенетически наиболее молодым образованием мозжечка является передняя часть задней доли новый мозжечок; она достигает максимального развития у человека и высших обезьян. Верхняя поверхность полушарий мозжечка состоит из серого вещества толщиной от 1 до 25 мм называемого корой мозжечка. В белом веществе мозжечка составляющем основную его массу находятся скопления серого вещества ядра мозжечка.
25320. Промежуточный мозг и подкорковые ядра 54 KB
  Функционально все ядра таламуса делят на две большие группы специфические и неспецифические. Специфические ядра таламуса имеют прямые связи с определенными участками коры больших полушарий. Неспецифические же ядра в большинстве случаев передают сигналы в подкорковые ядра от которых импульсы поступают одновременно в разные отделы коры.
25321. Кора больших полушарий головного мозга 27.5 KB
  Ритмы электроэнцефалограммы. Альфаритм это ритмические колебания потенциала почти синусоидальной формы частотой 8 13 в секунду с амплитудой до 50 мкв. Альфаритм отчетливо выражен если испытуемый человек находится в условиях физического и умственного покоя лежа или сидя в удобном кресле с расслабленной мускулатурой и закрытыми глазами при отсутствии внешних раздражений. Многие исследователи считают что существует две области коры в которых альфаритм имеет наибольшую амплитуду и характеризуется большим постоянством: одна из них...
25322. Физиологическое значение коры больших полушарий 30 KB
  Пирамидные нейроны осуществляют эфферентную функцию коры преимущественно через пирамидный тракт и внутрикорковые процессы взаимодействия между удаленными друг от друга нейронами. Наиболее крупные пирамидные клетки гигантские пирамиды Беца находятся в передней центральной извилине моторной зоне коры. Функциональной единицей коры является вертикальная колонка взаимосвязанных нейронов.
25323. Структурно-функциональные особенности вегетативной НС 31 KB
  Вегетативной нервной системой называют совокупность эфферентных нервных клеток спинного и головного мозга а также клеток особых узлов ганглиев иннервирующих внутренние органы. Эфферентные пути симпатической нервной системы начинаются в грудном и поясничном отделах спинного мозга от нейронов его боковых рогов. Эфферентные пути парасимпатической нервной системы начинаются в головном мозге от некоторых ядер среднего и продолговатого мозга и в спинном мозге от нейронов крестцового отдел а. ФУНКЦИИ СИМПАТИЧЕСКОЙ НС С участием симпатической...
25324. Механизм образования и значение условных рефлексов 37 KB
  запах мяса для слюнного рефлекса и искусственные на посторонние сигналы например запах мяты; 2 наличные и следовые на условный сигнал непосредственно предшествующий безусловному подкреплению и на его следовое влияние; положительные с активным проявлением ответной реакции и отрицательные с ее торможением; 4 условные рефлексы на время при ритмической подаче условных сигналов ответная реакция появляется через заданный интервал даже при отсутствии очередного сигнала; 5 условные рефлексы первого порядка на один предшествующий...
25325. Высшая нервная деятельность 31 KB
  Синтетическая деятельность коры полушарий большого мозга обеспечивает объединение сигналов поступающих от различных анализаторов от органов чувств от функциональных центров нервной системы. Такая синтетическая деятельность мозга человека возможна благодаря многочисленным и разнообразным ассоциативным связям между различными отделами центральной нервной системы. Типы нервной системы Нервные реакции в организме у разных людей отличаются по силе подвижности и уравновешенности. На основании этих трех признаков в первую очередь силы нервных...
25326. Первая и вторая сигнальные системы 44 KB
  И у человека вырабатываются условные рефлексы на различные сигналы внешнего мира или внутреннего состояния организма если только различные раздражения экстеро или интерорецепторов сочетаются с какимилибо раздражениями вызывающими безусловные или условные рефлексы. И у человека при соответствующих условиях возникает внешнее безусловное или внутреннее условное торможение. И у человека наблюдается иррадиация и концентрация возбуждения и торможения индукция динамическая стереотипия и другие характерные проявления условнорефлекторной...
25327. Типы высшей нервной деятельности 36.5 KB
  Современное представление об анализаторах как сложных многоуровневых системах передающих информацию от рецепторов к коре и включающих регулирующие влияния коры на рецепторы и нижележащие центры привело к появлению более общего понятия сенсорные системы. 0036 Рецепторы и их свойства Рецепторами называются специальные образования преобразующие энергию внешнего раздражения в специфическую энергию нервного импульса. Все рецепторы по воспринимаемой среде делятся на экстерорецепторы принимающие раздражения из внешней среды рецепторы органов...