19093

Ортогональные преобразования сигналов в базисе функций Уолша

Практическая работа

Физика

Лекция № 6. Ортогональные преобразования сигналов в базисе функций Уолша. При обработке дискретных сигналов большое значение представляет ортонормированная система базисных функций Уолша. Непрерывные функции Уолша относятся к классу кусочнопостоянных знакопере

Русский

2013-07-11

222.5 KB

26 чел.

Лекция № 6.

Ортогональные преобразования сигналов в базисе функций Уолша.

При обработке дискретных сигналов большое значение представляет ортонормированная система базисных функций Уолша. Непрерывные функции Уолша относятся к классу кусочно-постоянных  знакопеременных функций, задаваемых на отрезке  либо  и принимающих значения .  Для представления реальных, ограниченных во времени сигналов с началом отсчета в нулевой точке, удобно пользоваться функциями Уолша с интервалом определения .

Интервал определения функций Уолша можно представить как совокупность  равных подынтервалов, на каждом из которых функции Уолша принимают значения +1 или -1, а на концах подынтервалов  имеют разрывы первого рода, причем в этих точках функции Уолша непрерывны справа.

Совместно записанные и пронумерованные функции Уолша образуют базисную систему, в которой можно разложить произвольный сигнал в ряд Уолша. Поскольку нумерация (упорядочение) функций Уолша может быть выполнена различными способами, то возможны три варианта упорядочения: по Пэли, Хармуту  и Адамару. Каждая из систем может быть построена и аналитически описана с помощью кусочно-постоянных функций Радемахера . Эти функции на интервале  заданы следующим образом:

                                              (6.1)

Выражение является функцией знака                     (6.2)

Функции Радемахера, имеющие  вид совокупности меандров, представлены на рис. 6.1 (приведены первые три функции):

Функции Радемахера ортонормированны на интервале , но не образуют полной системы функций, т.к. являются нечетными функциями относительно середины интервала. В частности, можно подобрать функцию , которая будет ортогональна всем функциям Радемахера. Поэтому, дополнив систему Радемахера функциями, образованными посредством всевозможных произведений функций Радемахера, построим полную систему функций Уолша с различными способами упорядочения.

Диадно-упорядоченная система  функций Уолша (упорядочение по Пэли). Функции Пэли  с номером   ()  формируются из произведений таких функций Радемахера, номера которых определяются по номерам позиций двоичного представления числа , содержащих 1. Если номер функции  имеет следующее двоичное разрядное представление

                                                                              (6.3)

то функции системы Пэли в общем виде представляются в виде:

                                                                           (6.4)

В случае, если  есть степень числа 2 и, следовательно, его двоичное представление содержит одну 1, функция Пэли совпадает с одной из функций Радемахера.

Пример.  Построить систем у функций Пэли для случая

Таким образом, первые три функции, упорядоченные по Пэли, совпадают с тремя первыми функциями Радемахера.  На рис.6.2 изображены функции с номерами 3, 4, 5, упорядоченные по Пэли:


                Упорядочение по Адамару может быть получено из системы Пэли двоичной инверсией номеров функций Пэли, т.е. путем записи разрядов двоичного представления номера функции в обратном порядке. Например, третья функция в системе Адамара () совпадает с шестой функцией в системе Пэли ().  

Систему упорядочения по Хармуту называют системой, функции которой упорядочены по частоте следования или по числу переходов через нулевой уровень (числу смены знаков) на интервале . Запишем функции системы Хармута в форме:

                                                                (6.5)

Анализ (6.5) показывает, что система Хармута представляет собой систему, в которой чередуются четные и нечетные функции относительно середины временного интервала. То есть:      и т.д. Свойство четной и нечетной симметрии уподобляет систему Хармута тригонометрической системе функций . Поэтому спектр сигнала в базисе функций Хармута удобнее сопоставлять со спектром в базисе Фурье из-за аналогии в упорядочении функций.

Поскольку все рассмотренные системы используют одни и те же функции Уолша, но в различной последовательности, они равноправны для представления сигналов.

Перечислим основные свойства непрерывных функций Уолша .

  1.  Ортогональность функций на интервале :

                                                             (6.6)

  1.  Модуль функций Уолша равен 1, т.к. функции принимают только значения :

.                                                                                        (6.7)

  1.  Среднее значение функций Уолша для всех  равно нулю в силу ортогональности с функцией :

                                                                       (6.8)

  1.  Функции Уолша являются ортонормированными в силу (6.6):

         при любом .                                               (6.9)

  1.  Мультипликативность: произведение двух функций Уолша всегда дает новую функцию Уолша из этой же системы:

                                                           (6.10)

где   означает поразрядное суммирование двоичных представлений чисел  и

Разложение непрерывных сигналов по функциям Уолша.

Функции Уолша используют для разложения сигналов с интегрируемым квадратом на интервале определения :

                                                                                        (6.11)

Ряд Уолша записывается в виде:

                                                                             (6.12)

Коэффициенты разложения (спектр Уолша) определяются по формуле:

                                                                             (6.13)

В силу полноты и ортонормированности системы функций Уолша и свойства (6.11)  справедливо равенство Парсеваля:     

                                                                                  (6.14)

              Реальные сигналы в большинстве случаев имеют интервал определения    Для разложения таких сигналов по функциям Уолша необходимо выполнить операцию приведения интервалов определения базисных функций и сигналов. Обычно вводят безразмерный аргумент .  Кроме того, на практике ряд Уолша ограничивают первыми  членами, исходя из точности представления сигналов:

                                                                              (6.15)

PAGE  3


EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

1

1

1

0

0

0

-1

-1

-1

1

1

1

0

0

0

1

1

1

1

_1

_1

_1

1

1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

48485. Организация учета в системе управления предприятием 524.5 KB
  Основы организации учета и контроля в системе управление предприятием Специализация любой области науки непосредственно связана с четким определением целей задач предмета и методов его исследования. Бухгалтерский учет как наиболее распространенный совмещает в себе все виды хозяйственного учета и применяется в микроэкономике субъектами предпринимательской деятельности независимо от форм собственности и методов хозяйствования. Стандартизация учетных процедур уступает местом наиболее гибким системам учета сориентированным на анализ...
48486. АРБИТРАЖНЫЙ ПРОЦЕСС 319 KB
  Конституционный суд: разрешает дела о соответствии Конституции РФ федеральных законов нормативных актов органов государственной власти РФ и субъектов Федерации; разрешает споры о компетенции между органами государственной власти; дает толкование Конституции РФ; дает заключение о соблюдении установленного порядка выдвижения обвинения Президента РФ. Верховный суд: является высшим судебным органом по гражданским уголовным и иным делам подведомственным судам общей юрисдикции. Судьи действуют самостоятельно как при установлении...
48488. Хімічний склад організмів 398.5 KB
  АТФ. Набуття формування та систематизація теоретичних знань про органічні молекули макромолекули нуклеінові кислоти АТФ їх будову властивості біологічне значення . Мотивація навчальної діяльності Розширити знання про біологічну роль в організмі нуклеінових кислотАТФ. Будова і властивості АТФ 4.
48489. Особенности налогообложения экспортных операций 771 KB
  Рассмотрим вопросы НДС при экспорте. Далее Закон о НДС.1 Закона о НДС. Она рассчитывается исходя из договорной контрактной стоимости определяемой по свободным или регулируемым ценам тарифам с учетом установленных налоговым законодательством общегосударственных налогов и сборов за исключением НДС.
48490. ГРАЖДАНСКОЕ ПРАВО 1.03 MB
  Любая отрасль права характеризуется предметом и методом правового регулирования. Предмет правового регулирования Предмет правового регулирования те общественные отношения которые регулируются данной отраслью права. Предмет гражданского права можно считать определенным только если мы перечислим все общественные отношения входящие в гражданское право.
48492. Иные права на земельные участки 208 KB
  К обязательственным правам на земельные участки относятся те права которые приобретаются в результате сделок: договора аренды земельного участка договора ренты и пожизненного содержания с иждивением договора безвозмездного срочного пользования договора доверительного управления договора залога ипотеки. Основания для регистрации: акт предоставления земельного участка; свидетельство о праве гражданина на данный земельный участок; выписка из похозяйственной книги. Переоформление земельного участка Заявление подается в исполнительный...
48493. Информационная безопасность, курс лекций 318.5 KB
  Основы информационной безопасности государства региона предприятия учреждения и отдельных граждан а также потенциальных угроз информационной безопасности; ядро курса составляют теория защиты информации и системный анализ; оценка знаний и умений студентов проводится с помощью зачета в конце курса изучения дисциплины. Для изучения курса студент должен знать: политическое положение России в современных геополитических условиях; задачи и...