19093

Ортогональные преобразования сигналов в базисе функций Уолша

Практическая работа

Физика

Лекция № 6. Ортогональные преобразования сигналов в базисе функций Уолша. При обработке дискретных сигналов большое значение представляет ортонормированная система базисных функций Уолша. Непрерывные функции Уолша относятся к классу кусочнопостоянных знакопере

Русский

2013-07-11

222.5 KB

30 чел.

Лекция № 6.

Ортогональные преобразования сигналов в базисе функций Уолша.

При обработке дискретных сигналов большое значение представляет ортонормированная система базисных функций Уолша. Непрерывные функции Уолша относятся к классу кусочно-постоянных  знакопеременных функций, задаваемых на отрезке  либо  и принимающих значения .  Для представления реальных, ограниченных во времени сигналов с началом отсчета в нулевой точке, удобно пользоваться функциями Уолша с интервалом определения .

Интервал определения функций Уолша можно представить как совокупность  равных подынтервалов, на каждом из которых функции Уолша принимают значения +1 или -1, а на концах подынтервалов  имеют разрывы первого рода, причем в этих точках функции Уолша непрерывны справа.

Совместно записанные и пронумерованные функции Уолша образуют базисную систему, в которой можно разложить произвольный сигнал в ряд Уолша. Поскольку нумерация (упорядочение) функций Уолша может быть выполнена различными способами, то возможны три варианта упорядочения: по Пэли, Хармуту  и Адамару. Каждая из систем может быть построена и аналитически описана с помощью кусочно-постоянных функций Радемахера . Эти функции на интервале  заданы следующим образом:

                                              (6.1)

Выражение является функцией знака                     (6.2)

Функции Радемахера, имеющие  вид совокупности меандров, представлены на рис. 6.1 (приведены первые три функции):

Функции Радемахера ортонормированны на интервале , но не образуют полной системы функций, т.к. являются нечетными функциями относительно середины интервала. В частности, можно подобрать функцию , которая будет ортогональна всем функциям Радемахера. Поэтому, дополнив систему Радемахера функциями, образованными посредством всевозможных произведений функций Радемахера, построим полную систему функций Уолша с различными способами упорядочения.

Диадно-упорядоченная система  функций Уолша (упорядочение по Пэли). Функции Пэли  с номером   ()  формируются из произведений таких функций Радемахера, номера которых определяются по номерам позиций двоичного представления числа , содержащих 1. Если номер функции  имеет следующее двоичное разрядное представление

                                                                              (6.3)

то функции системы Пэли в общем виде представляются в виде:

                                                                           (6.4)

В случае, если  есть степень числа 2 и, следовательно, его двоичное представление содержит одну 1, функция Пэли совпадает с одной из функций Радемахера.

Пример.  Построить систем у функций Пэли для случая

Таким образом, первые три функции, упорядоченные по Пэли, совпадают с тремя первыми функциями Радемахера.  На рис.6.2 изображены функции с номерами 3, 4, 5, упорядоченные по Пэли:


                Упорядочение по Адамару может быть получено из системы Пэли двоичной инверсией номеров функций Пэли, т.е. путем записи разрядов двоичного представления номера функции в обратном порядке. Например, третья функция в системе Адамара () совпадает с шестой функцией в системе Пэли ().  

Систему упорядочения по Хармуту называют системой, функции которой упорядочены по частоте следования или по числу переходов через нулевой уровень (числу смены знаков) на интервале . Запишем функции системы Хармута в форме:

                                                                (6.5)

Анализ (6.5) показывает, что система Хармута представляет собой систему, в которой чередуются четные и нечетные функции относительно середины временного интервала. То есть:      и т.д. Свойство четной и нечетной симметрии уподобляет систему Хармута тригонометрической системе функций . Поэтому спектр сигнала в базисе функций Хармута удобнее сопоставлять со спектром в базисе Фурье из-за аналогии в упорядочении функций.

Поскольку все рассмотренные системы используют одни и те же функции Уолша, но в различной последовательности, они равноправны для представления сигналов.

Перечислим основные свойства непрерывных функций Уолша .

  1.  Ортогональность функций на интервале :

                                                             (6.6)

  1.  Модуль функций Уолша равен 1, т.к. функции принимают только значения :

.                                                                                        (6.7)

  1.  Среднее значение функций Уолша для всех  равно нулю в силу ортогональности с функцией :

                                                                       (6.8)

  1.  Функции Уолша являются ортонормированными в силу (6.6):

         при любом .                                               (6.9)

  1.  Мультипликативность: произведение двух функций Уолша всегда дает новую функцию Уолша из этой же системы:

                                                           (6.10)

где   означает поразрядное суммирование двоичных представлений чисел  и

Разложение непрерывных сигналов по функциям Уолша.

Функции Уолша используют для разложения сигналов с интегрируемым квадратом на интервале определения :

                                                                                        (6.11)

Ряд Уолша записывается в виде:

                                                                             (6.12)

Коэффициенты разложения (спектр Уолша) определяются по формуле:

                                                                             (6.13)

В силу полноты и ортонормированности системы функций Уолша и свойства (6.11)  справедливо равенство Парсеваля:     

                                                                                  (6.14)

              Реальные сигналы в большинстве случаев имеют интервал определения    Для разложения таких сигналов по функциям Уолша необходимо выполнить операцию приведения интервалов определения базисных функций и сигналов. Обычно вводят безразмерный аргумент .  Кроме того, на практике ряд Уолша ограничивают первыми  членами, исходя из точности представления сигналов:

                                                                              (6.15)

PAGE  3


EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

1

1

1

0

0

0

-1

-1

-1

1

1

1

0

0

0

1

1

1

1

_1

_1

_1

1

1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

11376. Антиатеросклеротические средства 43 KB
  Антиатеросклеротические средства I. Атеросклероз хроническое заболевание поражающее артерии которое характеризуется образованием атеросклеротических бляшек во внутренних оболочках сосудов. Это приводит к прогрессирующему сужению просвета артерии вплоть до полн...
11377. ГИПЕРТЕНЗИВНЫЕ СРЕДСТВА 30.5 KB
  ГИПЕРТЕНЗИВНЫЕ СРЕДСТВА Гипотензия может быть острой и хронической. При оказании помощи при острой гипотензии необходимо учитывать причину патологического состояния. Гипотония может быть результатом: а нарушения сердечной деятельности острая сердечная недостат...
11378. ГИПЕРТОНИЯ, АНТИГИПЕРТЕНЗИВНЫЕ СРЕДСТВА 103.5 KB
  В зависимости от этиологии гипертонию подразделяют на два типа:первичную и вторичную симптоматическую. симптоматическая гипертония симптом заболевания какоголибооргана: почек эндокринных желез сосудов сердца ЦНС... Лечат основ...
11379. МОЧЕГОННЫЕ СРЕДСТВА (ДИУРЕТИКИ) 97.5 KB
  МОЧЕГОННЫЕ СРЕДСТВА ДИУРЕТИКИ Изменение объема и электролитного состава жидкостей организма наблюдаются довольно часто и являются серьезными клиническими проблемами. Задержка солей и воды в организме с увеличением гидратации тканей образованием отеков и скоплен...
11380. Стимуляторы дыхания (Дыхательные аналептики) 76 KB
  При лечении острых и хронических заболеваний органов дыхания которые широко распространены в медицинской практике могут быть использованы лекарственные средства из различных групп в том числе противомикробные противоаллергические и другие противовирусные. В данн
11381. Средства, влияющие на ЖКТ. Средства, влияющие на аппетит 194 KB
  Лекции по курсу Фармакология тема: Средства влияющие на ЖКТ I. Средства влияющие на аппетит Физиологическая система регуляции аппетита включает центральное и периферическое звенья. Центральные механизмы: в ядрах гипоталамуса находятся центр голода и цен...
11382. Средства, влияющие на гемопоэз 98 KB
  Средства влияющие на гемопоэз Введение. Кровь состоит из форменных элементов и плазмы. Форменные элементы имеют небольшую продолжительность жизни от несколько дней до нескольких месяцев эритроциты = 120 дней тромбоциты = 10 дней. В организме постоянно идет процесс р
11383. ЛЕКАРСТВЕННЫЕ СРЕДСТВА, ВЛИЯЮЩИЕ НА СВЕРТЫВАНИЕ КРОВИ 211.5 KB
  ЕКАРСТВЕННЫЕ СРЕДСТВА ВЛИЯЮЩИЕ НА СВЕРТЫВАНИЕ КРОВИ I Введение В организме две эти системы находятся в динамическом равновесии и в зависимости от конкретных условий преобладает одна или другая. Если равновесие нарушается то либо повышается к...
11384. Моторика и тонус миометрия регулируется нейрогуморальными механизмами 48.5 KB
  Введение. I. Моторика и тонус миометрия регулируется нейрогуморальными механизмами. А В миометрии находятся МХР α1 и β2 АР Возбудители МХР и α АР стимулирующее действие. Возбудители β2 АР угнетающее действие Б Стимулирующее влияние на сократительную актив