19093

Ортогональные преобразования сигналов в базисе функций Уолша

Практическая работа

Физика

Лекция № 6. Ортогональные преобразования сигналов в базисе функций Уолша. При обработке дискретных сигналов большое значение представляет ортонормированная система базисных функций Уолша. Непрерывные функции Уолша относятся к классу кусочнопостоянных знакопере

Русский

2013-07-11

222.5 KB

28 чел.

Лекция № 6.

Ортогональные преобразования сигналов в базисе функций Уолша.

При обработке дискретных сигналов большое значение представляет ортонормированная система базисных функций Уолша. Непрерывные функции Уолша относятся к классу кусочно-постоянных  знакопеременных функций, задаваемых на отрезке  либо  и принимающих значения .  Для представления реальных, ограниченных во времени сигналов с началом отсчета в нулевой точке, удобно пользоваться функциями Уолша с интервалом определения .

Интервал определения функций Уолша можно представить как совокупность  равных подынтервалов, на каждом из которых функции Уолша принимают значения +1 или -1, а на концах подынтервалов  имеют разрывы первого рода, причем в этих точках функции Уолша непрерывны справа.

Совместно записанные и пронумерованные функции Уолша образуют базисную систему, в которой можно разложить произвольный сигнал в ряд Уолша. Поскольку нумерация (упорядочение) функций Уолша может быть выполнена различными способами, то возможны три варианта упорядочения: по Пэли, Хармуту  и Адамару. Каждая из систем может быть построена и аналитически описана с помощью кусочно-постоянных функций Радемахера . Эти функции на интервале  заданы следующим образом:

                                              (6.1)

Выражение является функцией знака                     (6.2)

Функции Радемахера, имеющие  вид совокупности меандров, представлены на рис. 6.1 (приведены первые три функции):

Функции Радемахера ортонормированны на интервале , но не образуют полной системы функций, т.к. являются нечетными функциями относительно середины интервала. В частности, можно подобрать функцию , которая будет ортогональна всем функциям Радемахера. Поэтому, дополнив систему Радемахера функциями, образованными посредством всевозможных произведений функций Радемахера, построим полную систему функций Уолша с различными способами упорядочения.

Диадно-упорядоченная система  функций Уолша (упорядочение по Пэли). Функции Пэли  с номером   ()  формируются из произведений таких функций Радемахера, номера которых определяются по номерам позиций двоичного представления числа , содержащих 1. Если номер функции  имеет следующее двоичное разрядное представление

                                                                              (6.3)

то функции системы Пэли в общем виде представляются в виде:

                                                                           (6.4)

В случае, если  есть степень числа 2 и, следовательно, его двоичное представление содержит одну 1, функция Пэли совпадает с одной из функций Радемахера.

Пример.  Построить систем у функций Пэли для случая

Таким образом, первые три функции, упорядоченные по Пэли, совпадают с тремя первыми функциями Радемахера.  На рис.6.2 изображены функции с номерами 3, 4, 5, упорядоченные по Пэли:


                Упорядочение по Адамару может быть получено из системы Пэли двоичной инверсией номеров функций Пэли, т.е. путем записи разрядов двоичного представления номера функции в обратном порядке. Например, третья функция в системе Адамара () совпадает с шестой функцией в системе Пэли ().  

Систему упорядочения по Хармуту называют системой, функции которой упорядочены по частоте следования или по числу переходов через нулевой уровень (числу смены знаков) на интервале . Запишем функции системы Хармута в форме:

                                                                (6.5)

Анализ (6.5) показывает, что система Хармута представляет собой систему, в которой чередуются четные и нечетные функции относительно середины временного интервала. То есть:      и т.д. Свойство четной и нечетной симметрии уподобляет систему Хармута тригонометрической системе функций . Поэтому спектр сигнала в базисе функций Хармута удобнее сопоставлять со спектром в базисе Фурье из-за аналогии в упорядочении функций.

Поскольку все рассмотренные системы используют одни и те же функции Уолша, но в различной последовательности, они равноправны для представления сигналов.

Перечислим основные свойства непрерывных функций Уолша .

  1.  Ортогональность функций на интервале :

                                                             (6.6)

  1.  Модуль функций Уолша равен 1, т.к. функции принимают только значения :

.                                                                                        (6.7)

  1.  Среднее значение функций Уолша для всех  равно нулю в силу ортогональности с функцией :

                                                                       (6.8)

  1.  Функции Уолша являются ортонормированными в силу (6.6):

         при любом .                                               (6.9)

  1.  Мультипликативность: произведение двух функций Уолша всегда дает новую функцию Уолша из этой же системы:

                                                           (6.10)

где   означает поразрядное суммирование двоичных представлений чисел  и

Разложение непрерывных сигналов по функциям Уолша.

Функции Уолша используют для разложения сигналов с интегрируемым квадратом на интервале определения :

                                                                                        (6.11)

Ряд Уолша записывается в виде:

                                                                             (6.12)

Коэффициенты разложения (спектр Уолша) определяются по формуле:

                                                                             (6.13)

В силу полноты и ортонормированности системы функций Уолша и свойства (6.11)  справедливо равенство Парсеваля:     

                                                                                  (6.14)

              Реальные сигналы в большинстве случаев имеют интервал определения    Для разложения таких сигналов по функциям Уолша необходимо выполнить операцию приведения интервалов определения базисных функций и сигналов. Обычно вводят безразмерный аргумент .  Кроме того, на практике ряд Уолша ограничивают первыми  членами, исходя из точности представления сигналов:

                                                                              (6.15)

PAGE  3


EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

1

1

1

0

0

0

-1

-1

-1

1

1

1

0

0

0

1

1

1

1

_1

_1

_1

1

1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

77491. СУБЪЕКТЫ АДМИНИСТРАТИВНОГО ПРАВА 154 KB
  К числу индивидуальных субъектов относятся: граждане Российской Федерации; иностранные граждане и лица без гражданства. Конкретными разновидностями субъектов административного права являются: граждане Российской Федерации; иностранные граждане; лица без гражданства; Президент Российской Федерации...
77492. АДМИНИСТРАТИВНО-ПРАВОВЫЕ ФОРМЫ 122.5 KB
  Ведомственные нормативные акты 5. Основные признаки правового акта управления Правовые акты важное средство практической реализации целей и функций административной власти основная форма ее исполнительно-распорядительной деятельности. Правовые акты основная продукция государственной администрации. Эти документы различного рода справки отчетные материалы докладные записки удостоверения протоколы акты ревизий и проверок и т.
77493. АДМИНИСТРАТИВНО-ПРАВОВЫЕ МЕТОДЫ 95.5 KB
  Понятие и виды методов управления 2. Понятие и виды методов управления Подчинение воли подвластных воле субъекта власти достигается различными методами под которыми понимаются способы воздействия на людей средства приемы достижения какойлибо цели выполнения задачи. Исходя из приведенной трактовки понятия метод а также рассмотренного в предыдущих темах понятия управления под методами управления можно понимать совокупность способов правил приемов и направлений: 1 теоретического и или практического исследования реальных объектов...
77494. ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГРАЖДАНСКАЯ СЛУЖБА КАК ПУБЛИЧН-ПРАВОВОЙ, ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ И СОЦИАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ 193.5 KB
  Организационные принципы государственной службы. Взаимосвязь гражданской службы со службой иных видов и муниципальной службой. Государственная гражданская служба как публично-правовой институт Коренные изменения в социально-политическом устройстве России в 1991-1993 годах принятие новой Конституции страны 1993 и другие факторы вызвали необходимость утверждения государственной службы на новых организационно-правовых принципах и социальных нормах. В процессе становления государственной службы первостепенное значение приобретает ее...
77495. СТАТУС ГОСУДАРСТВЕННОГО СЛУЖАЩЕГО 185.5 KB
  Должности гражданской службы. Реестры должностей государственной гражданской службы РФ. Квалификационные требования к должностям гражданской службы. Должности гражданской службы.
77496. Культура речи и деловое общение 48.5 KB
  Культура речи и деловое общение. Деловое общение. Деловое общение это процесс взаимосвязи и взаимодействия в котором происходит обмен деятельностью информацией и опытом. Деловое общение отличается от общения в широком смысле тем что в его процессе ставятся цель и конкретные задачи которые требуют своего решения.
77498. ПРАВИЛА ДЕЛОВОЙ ПЕРЕПИСКИ 52 KB
  При всевозрастающей роли телефонов телефаксов и других средств доставки деловой информации обыкновенное деловое письмо было и остается исключительно важным а порой и незаменимым средством делового взаимодействия между фирмами и организациями. Деловое письмо должно быть составлено так чтобы были соблюдены следующие правила: Оно должно быть написано грамотно лаконично и аргументированно. Содержание письма должно быть адекватно его виду письмозаказ ответное письмо...
77499. Конфликты в деловом общении 60 KB
  Конфликты в деловом общении Инцидент это действие или совокупность действий участников конфликтной ситуации провоцирующее резкое обострение противоречия и начало борьбы между ними. Участник спора переговоров конфликта конфликтной ситуации это субъект лицо группа организация государство непосредственно вовлеченный во все фазы спора переговоров конфликта конфликтной ситуации. Конфликтный человек это человек который чаще других создает и вовлекает других в конфликты и конфликтные ситуации. Чтобы отличить конфликт от...