19093

Ортогональные преобразования сигналов в базисе функций Уолша

Практическая работа

Физика

Лекция № 6. Ортогональные преобразования сигналов в базисе функций Уолша. При обработке дискретных сигналов большое значение представляет ортонормированная система базисных функций Уолша. Непрерывные функции Уолша относятся к классу кусочнопостоянных знакопере

Русский

2013-07-11

222.5 KB

24 чел.

Лекция № 6.

Ортогональные преобразования сигналов в базисе функций Уолша.

При обработке дискретных сигналов большое значение представляет ортонормированная система базисных функций Уолша. Непрерывные функции Уолша относятся к классу кусочно-постоянных  знакопеременных функций, задаваемых на отрезке  либо  и принимающих значения .  Для представления реальных, ограниченных во времени сигналов с началом отсчета в нулевой точке, удобно пользоваться функциями Уолша с интервалом определения .

Интервал определения функций Уолша можно представить как совокупность  равных подынтервалов, на каждом из которых функции Уолша принимают значения +1 или -1, а на концах подынтервалов  имеют разрывы первого рода, причем в этих точках функции Уолша непрерывны справа.

Совместно записанные и пронумерованные функции Уолша образуют базисную систему, в которой можно разложить произвольный сигнал в ряд Уолша. Поскольку нумерация (упорядочение) функций Уолша может быть выполнена различными способами, то возможны три варианта упорядочения: по Пэли, Хармуту  и Адамару. Каждая из систем может быть построена и аналитически описана с помощью кусочно-постоянных функций Радемахера . Эти функции на интервале  заданы следующим образом:

                                              (6.1)

Выражение является функцией знака                     (6.2)

Функции Радемахера, имеющие  вид совокупности меандров, представлены на рис. 6.1 (приведены первые три функции):

Функции Радемахера ортонормированны на интервале , но не образуют полной системы функций, т.к. являются нечетными функциями относительно середины интервала. В частности, можно подобрать функцию , которая будет ортогональна всем функциям Радемахера. Поэтому, дополнив систему Радемахера функциями, образованными посредством всевозможных произведений функций Радемахера, построим полную систему функций Уолша с различными способами упорядочения.

Диадно-упорядоченная система  функций Уолша (упорядочение по Пэли). Функции Пэли  с номером   ()  формируются из произведений таких функций Радемахера, номера которых определяются по номерам позиций двоичного представления числа , содержащих 1. Если номер функции  имеет следующее двоичное разрядное представление

                                                                              (6.3)

то функции системы Пэли в общем виде представляются в виде:

                                                                           (6.4)

В случае, если  есть степень числа 2 и, следовательно, его двоичное представление содержит одну 1, функция Пэли совпадает с одной из функций Радемахера.

Пример.  Построить систем у функций Пэли для случая

Таким образом, первые три функции, упорядоченные по Пэли, совпадают с тремя первыми функциями Радемахера.  На рис.6.2 изображены функции с номерами 3, 4, 5, упорядоченные по Пэли:


                Упорядочение по Адамару может быть получено из системы Пэли двоичной инверсией номеров функций Пэли, т.е. путем записи разрядов двоичного представления номера функции в обратном порядке. Например, третья функция в системе Адамара () совпадает с шестой функцией в системе Пэли ().  

Систему упорядочения по Хармуту называют системой, функции которой упорядочены по частоте следования или по числу переходов через нулевой уровень (числу смены знаков) на интервале . Запишем функции системы Хармута в форме:

                                                                (6.5)

Анализ (6.5) показывает, что система Хармута представляет собой систему, в которой чередуются четные и нечетные функции относительно середины временного интервала. То есть:      и т.д. Свойство четной и нечетной симметрии уподобляет систему Хармута тригонометрической системе функций . Поэтому спектр сигнала в базисе функций Хармута удобнее сопоставлять со спектром в базисе Фурье из-за аналогии в упорядочении функций.

Поскольку все рассмотренные системы используют одни и те же функции Уолша, но в различной последовательности, они равноправны для представления сигналов.

Перечислим основные свойства непрерывных функций Уолша .

  1.  Ортогональность функций на интервале :

                                                             (6.6)

  1.  Модуль функций Уолша равен 1, т.к. функции принимают только значения :

.                                                                                        (6.7)

  1.  Среднее значение функций Уолша для всех  равно нулю в силу ортогональности с функцией :

                                                                       (6.8)

  1.  Функции Уолша являются ортонормированными в силу (6.6):

         при любом .                                               (6.9)

  1.  Мультипликативность: произведение двух функций Уолша всегда дает новую функцию Уолша из этой же системы:

                                                           (6.10)

где   означает поразрядное суммирование двоичных представлений чисел  и

Разложение непрерывных сигналов по функциям Уолша.

Функции Уолша используют для разложения сигналов с интегрируемым квадратом на интервале определения :

                                                                                        (6.11)

Ряд Уолша записывается в виде:

                                                                             (6.12)

Коэффициенты разложения (спектр Уолша) определяются по формуле:

                                                                             (6.13)

В силу полноты и ортонормированности системы функций Уолша и свойства (6.11)  справедливо равенство Парсеваля:     

                                                                                  (6.14)

              Реальные сигналы в большинстве случаев имеют интервал определения    Для разложения таких сигналов по функциям Уолша необходимо выполнить операцию приведения интервалов определения базисных функций и сигналов. Обычно вводят безразмерный аргумент .  Кроме того, на практике ряд Уолша ограничивают первыми  членами, исходя из точности представления сигналов:

                                                                              (6.15)

PAGE  3


EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

1

1

1

0

0

0

-1

-1

-1

1

1

1

0

0

0

1

1

1

1

_1

_1

_1

1

1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

53072. Ігри при вивченні іноземної мови 59.5 KB
  Методичний посібник розрахований на розвиток інтересу школярів до вивчення іноземної мови формування творчих здібностей учнів кращому закріпленню лексичного та граматичного матеріалу. Гра сприяє засвоєнню знань не за примусом а проходить зацікавлено створює атмосферу здорового змагання сприяє мобілізації та розвитку творчих здібностей дає можливість оцінити себе серед інших учнів а також працювати командою. Проводячи такий урок обов'язком вчителя є створити атмосферу дружби довіри на уроці не тільки ставити свої умови гри але й...
53073. Проектна робота «Ходить гарбуз по городу» 72.5 KB
  Мета проекту: вчити учнів працювати з науковопізнавальною літературою; розкрити користь гарбуза для людини його фармакологічні властивості та використання; розвивати творчі та інтелектуальні здібності; виховувати працьовитість взаємодопомогу почуття дружби необхідність ділитися досвідом новими ідеями знахідками. Посередині столу – великий гарбуз з намальованим обличчям. Гарбуз Що ти знаєш про нього Наше завдання – збагатити знання учнів про гарбуз його історію назву види лікувальні властивості страви з нього.
53075. Каждый несет ответственность перед всей планетой (по рассказу Ю. Нагибина «Мой первый друг, мой друг бесценный» 24 KB
  Нагибина Мой первый друг мой друг бесценный. Оборудование и материалы: текст рассказа; портрет писателя; тетради учеников; на отвороте доски закрыт от учеников написан отрывок из стихотворения:: Мой первый друг мой друг бесценный И я судьбу благословил Когда мой двор уединенный Печальным снегом занесенный Твой колокольчик огласил. Сегодня мы говорим о рассказе писателя Юрия Нагибина Мой первый друг мой друг бесценный.
53076. Основи здоров'я. Газобезпека 137 KB
  Перша вправа для покращення мозкового обігу, працюємо з нашими головами, але не забуваємо, що вага голови 5кг., тому оберігаємо шию, як зв.язуючий ланцюг.
53077. Рівняння стану ідеального газу 138.5 KB
  Повторення основних понять створення презентації за допомогою програми PowerPoint. Створення презентації за темою Рівняння стану ідеального газу. Два учні розв’язують домашні задачі біля дошки інші повторюють основні поняття створення презентації за допомогою програми PowerPoint вчитель читає початок речення а учні закінчують його. Закінчіть речення: Комп'ютерні презентації використовують для.
53078. Перлини народної мудрості Жива газета для учнів 5 - 9 класів 72 KB
  Допоможемо вам поринути у світ фольклору ми – працівники редакції: я – головний редактор координатори – ведучі сторінок голоси та ілюстрації. Голос 1: Природа. Голос 2: Наука. Голос 3: Вади вдачі та поведінки.
53079. Газообмін у легенях і тканинах 76 KB
  Основні поняття й терміни: зовнішнє диханнявнутрішнє диханнягазообміндифузіяпарціальний тискоксигемоглобінартеріальна кроввенозна кров. Знати як явище дифузії впливає на перетворення венозної крові в артеріальну і навпаки. Яким повітря повинне потрапляти до легень Яка система нашого організму тісно пов’язана з дихальною системою Яка кров називається артеріальною Яка кров називається венозною Де починається й закінчується М. оксигемаглобін Альвеоли...
53080. ТВОРЧІ ТА ПРОБЛЕМНІ ЗАВДАННЯ З ФІЗИЧНОЇ ГЕОГРАФІЇ 108 KB
  Учні вивчають матеріал а потім їм пропонується відповісти на запитання: Якими морями та океанами омивається Південна Америка Які форми рельєфу переважають в Південній Америці Чому Південну Америку вважають найвологішим материком. У чому полягає особливість клімату Південної Америки Як вплинула надмірна вологість клімату на особливості розташування природних зон на материку Для розв’язання проблеми учням пропонують відповіді які не завжди були правильними тому такі завдання допомагає виконувати вчитель. З яким океаном...