19093

Ортогональные преобразования сигналов в базисе функций Уолша

Практическая работа

Физика

Лекция № 6. Ортогональные преобразования сигналов в базисе функций Уолша. При обработке дискретных сигналов большое значение представляет ортонормированная система базисных функций Уолша. Непрерывные функции Уолша относятся к классу кусочнопостоянных знакопере

Русский

2013-07-11

222.5 KB

30 чел.

Лекция № 6.

Ортогональные преобразования сигналов в базисе функций Уолша.

При обработке дискретных сигналов большое значение представляет ортонормированная система базисных функций Уолша. Непрерывные функции Уолша относятся к классу кусочно-постоянных  знакопеременных функций, задаваемых на отрезке  либо  и принимающих значения .  Для представления реальных, ограниченных во времени сигналов с началом отсчета в нулевой точке, удобно пользоваться функциями Уолша с интервалом определения .

Интервал определения функций Уолша можно представить как совокупность  равных подынтервалов, на каждом из которых функции Уолша принимают значения +1 или -1, а на концах подынтервалов  имеют разрывы первого рода, причем в этих точках функции Уолша непрерывны справа.

Совместно записанные и пронумерованные функции Уолша образуют базисную систему, в которой можно разложить произвольный сигнал в ряд Уолша. Поскольку нумерация (упорядочение) функций Уолша может быть выполнена различными способами, то возможны три варианта упорядочения: по Пэли, Хармуту  и Адамару. Каждая из систем может быть построена и аналитически описана с помощью кусочно-постоянных функций Радемахера . Эти функции на интервале  заданы следующим образом:

                                              (6.1)

Выражение является функцией знака                     (6.2)

Функции Радемахера, имеющие  вид совокупности меандров, представлены на рис. 6.1 (приведены первые три функции):

Функции Радемахера ортонормированны на интервале , но не образуют полной системы функций, т.к. являются нечетными функциями относительно середины интервала. В частности, можно подобрать функцию , которая будет ортогональна всем функциям Радемахера. Поэтому, дополнив систему Радемахера функциями, образованными посредством всевозможных произведений функций Радемахера, построим полную систему функций Уолша с различными способами упорядочения.

Диадно-упорядоченная система  функций Уолша (упорядочение по Пэли). Функции Пэли  с номером   ()  формируются из произведений таких функций Радемахера, номера которых определяются по номерам позиций двоичного представления числа , содержащих 1. Если номер функции  имеет следующее двоичное разрядное представление

                                                                              (6.3)

то функции системы Пэли в общем виде представляются в виде:

                                                                           (6.4)

В случае, если  есть степень числа 2 и, следовательно, его двоичное представление содержит одну 1, функция Пэли совпадает с одной из функций Радемахера.

Пример.  Построить систем у функций Пэли для случая

Таким образом, первые три функции, упорядоченные по Пэли, совпадают с тремя первыми функциями Радемахера.  На рис.6.2 изображены функции с номерами 3, 4, 5, упорядоченные по Пэли:


                Упорядочение по Адамару может быть получено из системы Пэли двоичной инверсией номеров функций Пэли, т.е. путем записи разрядов двоичного представления номера функции в обратном порядке. Например, третья функция в системе Адамара () совпадает с шестой функцией в системе Пэли ().  

Систему упорядочения по Хармуту называют системой, функции которой упорядочены по частоте следования или по числу переходов через нулевой уровень (числу смены знаков) на интервале . Запишем функции системы Хармута в форме:

                                                                (6.5)

Анализ (6.5) показывает, что система Хармута представляет собой систему, в которой чередуются четные и нечетные функции относительно середины временного интервала. То есть:      и т.д. Свойство четной и нечетной симметрии уподобляет систему Хармута тригонометрической системе функций . Поэтому спектр сигнала в базисе функций Хармута удобнее сопоставлять со спектром в базисе Фурье из-за аналогии в упорядочении функций.

Поскольку все рассмотренные системы используют одни и те же функции Уолша, но в различной последовательности, они равноправны для представления сигналов.

Перечислим основные свойства непрерывных функций Уолша .

  1.  Ортогональность функций на интервале :

                                                             (6.6)

  1.  Модуль функций Уолша равен 1, т.к. функции принимают только значения :

.                                                                                        (6.7)

  1.  Среднее значение функций Уолша для всех  равно нулю в силу ортогональности с функцией :

                                                                       (6.8)

  1.  Функции Уолша являются ортонормированными в силу (6.6):

         при любом .                                               (6.9)

  1.  Мультипликативность: произведение двух функций Уолша всегда дает новую функцию Уолша из этой же системы:

                                                           (6.10)

где   означает поразрядное суммирование двоичных представлений чисел  и

Разложение непрерывных сигналов по функциям Уолша.

Функции Уолша используют для разложения сигналов с интегрируемым квадратом на интервале определения :

                                                                                        (6.11)

Ряд Уолша записывается в виде:

                                                                             (6.12)

Коэффициенты разложения (спектр Уолша) определяются по формуле:

                                                                             (6.13)

В силу полноты и ортонормированности системы функций Уолша и свойства (6.11)  справедливо равенство Парсеваля:     

                                                                                  (6.14)

              Реальные сигналы в большинстве случаев имеют интервал определения    Для разложения таких сигналов по функциям Уолша необходимо выполнить операцию приведения интервалов определения базисных функций и сигналов. Обычно вводят безразмерный аргумент .  Кроме того, на практике ряд Уолша ограничивают первыми  членами, исходя из точности представления сигналов:

                                                                              (6.15)

PAGE  3


EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

1

1

1

0

0

0

-1

-1

-1

1

1

1

0

0

0

1

1

1

1

_1

_1

_1

1

1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

30406. Цивилизационный и формационный подходы к изучению истории: сходства и различия 35.05 KB
  Формационный подход принцип единства исторического процесса. общественноэкономические формации общество находящееся на определенной ступени исторического развития общество со своеобразными отличительными характеристиками человечество в своем историческом развитии проходит пять основных стадий формаций: первобытнообщинную рабовладельческую феодальную капиталистическую и коммунистическую. однолинейный характер исторического развития некоторые страны не укладываются в эту схему чередования пяти формаций создает определенные...
30407. Структура цивилизации, ее основные элементы 42.35 KB
  Структура цивилизации ее основные элементы ОБЩЕСТВЕННОЕ СОЗНАНИЕ ДУХОВНЫЙ МИР наука культура образование мораль идеология религия СОЦИАЛЬНОПОЛИТИЧЕСКИЕ ОТНОШЕНИЯ социальные национальные политические государственные правовые ЭКОНОМИЧЕСКИЙ СПОСОБ ПРОИЗВОДСТВА структура воспроизводства формы собственности обмен распределение экономическое управление ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ СПОСОБ ПРОИЗВОДСТВА средства труда источники энергии предметы труда природные ресурсы технологии организация производства ЧЕЛОВЕК СЕМЬЯ НАРОДОНАСЕЛЕНИЕ потребности способности...
30408. Неолитическая революция. Динамика развития цивилизации, этапы ее развития на историческом примере 33.35 KB
  Падают темпы роста производительности общественного труда разражается новый кризис завершающий фазу зрелости. В основе прогресса лежали ступени общественного разделения труда сделавшие возможным производство прибавочного продукта. Выделение скотоводов и земледельцев →новые орудия труда обмен продуктами труда. Признаки кризиса: недостаток орудий труда зависимость от источников сырья падение производительности труда и численности населения сложившаяся система экономических отношений не удовлетворяла запросы производителей...
30409. Переходный период цивилизаций: основные этапы и итоги 30.38 KB
  В духовной сфере зарождаются новые открытия экономические общественно-политические теории. Формируются новые технологии. Механизмы старой цивилизации рушатся а новые еще не установлены. Во время перехода на всех этажах пирамиды сталкиваются старые и новые.
30410. Переходный этап в развитии цивилизации на историческом примере перехода от неолитической к раннеклассовой 28.5 KB
  Переходный этап в развитии цивилизации на историческом примере Переходный период от неолитической к раннеклассовой глобальной цивилизации на примере древних обществ Междуречья Уже в 4тыс. Достижения неолитической цивилизации позволили шумерам увеличить свою численность а с конца 4 тыс.о к началу 3 тыс. В первой половине 3 тыс.
30411. Основные особенности и достижения глобальной неолитической цивилизации 32.9 KB
  Произошла неолитическая катастрофа т. Неолитическая революция переход от эпизодического выращивания злаков и приручения животных к регулярному воспроизводству продуктов питания на основе земледелия и скотоводства т. Неолитическая революция положила начало формированию неолитической цивилизации и всей человеческой цивилизации в целом. Неолитическая революция предложила два выхода: 1.
30412. Методы ценообразования в туризме 45.5 KB
  количество отправлений туристов достич нулевую рентабельность работать не в убыток определить истинную цену тура рассчитать норму прибыли. Издержки бывают: Постоянные не зависят от объема работы ТО аренда зарплата коммунальные платежи интернет Переменные они меняются от тура к туру и зависят от объема работы ТО. неизвестно скольуо человек будет в группе Стоимость тура для сопровождающего Стоимость обслуживания тура это затраты рабочего времени сотрудников фирмы и денежные расходы на организацию продаж Норма прибыли...
30413. Основные направления инновации в туризме 38 KB
  большая часть инноваций в туризме связанна с инновациями в транспорте. Другим направлением инноваций в туризме являются информационные технологии которые позволяют решать большинство проблем по бронированию туров способствует более эффективной работе фирм.
30414. Сегментация туристского рынка 41.5 KB
  Обычно выделяют: А ВИП клиенты Б Туркласс В Эконом класс Эти группы определяются в каждом регионе по своему т. Члены фокусгруппы должны иметь одинаковые потребности и возможности. Члены фокусгруппы должны быть активными покупателями туристических услуг и не охвачены конкурентами.