19093

Ортогональные преобразования сигналов в базисе функций Уолша

Практическая работа

Физика

Лекция № 6. Ортогональные преобразования сигналов в базисе функций Уолша. При обработке дискретных сигналов большое значение представляет ортонормированная система базисных функций Уолша. Непрерывные функции Уолша относятся к классу кусочнопостоянных знакопере

Русский

2013-07-11

222.5 KB

25 чел.

Лекция № 6.

Ортогональные преобразования сигналов в базисе функций Уолша.

При обработке дискретных сигналов большое значение представляет ортонормированная система базисных функций Уолша. Непрерывные функции Уолша относятся к классу кусочно-постоянных  знакопеременных функций, задаваемых на отрезке  либо  и принимающих значения .  Для представления реальных, ограниченных во времени сигналов с началом отсчета в нулевой точке, удобно пользоваться функциями Уолша с интервалом определения .

Интервал определения функций Уолша можно представить как совокупность  равных подынтервалов, на каждом из которых функции Уолша принимают значения +1 или -1, а на концах подынтервалов  имеют разрывы первого рода, причем в этих точках функции Уолша непрерывны справа.

Совместно записанные и пронумерованные функции Уолша образуют базисную систему, в которой можно разложить произвольный сигнал в ряд Уолша. Поскольку нумерация (упорядочение) функций Уолша может быть выполнена различными способами, то возможны три варианта упорядочения: по Пэли, Хармуту  и Адамару. Каждая из систем может быть построена и аналитически описана с помощью кусочно-постоянных функций Радемахера . Эти функции на интервале  заданы следующим образом:

                                              (6.1)

Выражение является функцией знака                     (6.2)

Функции Радемахера, имеющие  вид совокупности меандров, представлены на рис. 6.1 (приведены первые три функции):

Функции Радемахера ортонормированны на интервале , но не образуют полной системы функций, т.к. являются нечетными функциями относительно середины интервала. В частности, можно подобрать функцию , которая будет ортогональна всем функциям Радемахера. Поэтому, дополнив систему Радемахера функциями, образованными посредством всевозможных произведений функций Радемахера, построим полную систему функций Уолша с различными способами упорядочения.

Диадно-упорядоченная система  функций Уолша (упорядочение по Пэли). Функции Пэли  с номером   ()  формируются из произведений таких функций Радемахера, номера которых определяются по номерам позиций двоичного представления числа , содержащих 1. Если номер функции  имеет следующее двоичное разрядное представление

                                                                              (6.3)

то функции системы Пэли в общем виде представляются в виде:

                                                                           (6.4)

В случае, если  есть степень числа 2 и, следовательно, его двоичное представление содержит одну 1, функция Пэли совпадает с одной из функций Радемахера.

Пример.  Построить систем у функций Пэли для случая

Таким образом, первые три функции, упорядоченные по Пэли, совпадают с тремя первыми функциями Радемахера.  На рис.6.2 изображены функции с номерами 3, 4, 5, упорядоченные по Пэли:


                Упорядочение по Адамару может быть получено из системы Пэли двоичной инверсией номеров функций Пэли, т.е. путем записи разрядов двоичного представления номера функции в обратном порядке. Например, третья функция в системе Адамара () совпадает с шестой функцией в системе Пэли ().  

Систему упорядочения по Хармуту называют системой, функции которой упорядочены по частоте следования или по числу переходов через нулевой уровень (числу смены знаков) на интервале . Запишем функции системы Хармута в форме:

                                                                (6.5)

Анализ (6.5) показывает, что система Хармута представляет собой систему, в которой чередуются четные и нечетные функции относительно середины временного интервала. То есть:      и т.д. Свойство четной и нечетной симметрии уподобляет систему Хармута тригонометрической системе функций . Поэтому спектр сигнала в базисе функций Хармута удобнее сопоставлять со спектром в базисе Фурье из-за аналогии в упорядочении функций.

Поскольку все рассмотренные системы используют одни и те же функции Уолша, но в различной последовательности, они равноправны для представления сигналов.

Перечислим основные свойства непрерывных функций Уолша .

  1.  Ортогональность функций на интервале :

                                                             (6.6)

  1.  Модуль функций Уолша равен 1, т.к. функции принимают только значения :

.                                                                                        (6.7)

  1.  Среднее значение функций Уолша для всех  равно нулю в силу ортогональности с функцией :

                                                                       (6.8)

  1.  Функции Уолша являются ортонормированными в силу (6.6):

         при любом .                                               (6.9)

  1.  Мультипликативность: произведение двух функций Уолша всегда дает новую функцию Уолша из этой же системы:

                                                           (6.10)

где   означает поразрядное суммирование двоичных представлений чисел  и

Разложение непрерывных сигналов по функциям Уолша.

Функции Уолша используют для разложения сигналов с интегрируемым квадратом на интервале определения :

                                                                                        (6.11)

Ряд Уолша записывается в виде:

                                                                             (6.12)

Коэффициенты разложения (спектр Уолша) определяются по формуле:

                                                                             (6.13)

В силу полноты и ортонормированности системы функций Уолша и свойства (6.11)  справедливо равенство Парсеваля:     

                                                                                  (6.14)

              Реальные сигналы в большинстве случаев имеют интервал определения    Для разложения таких сигналов по функциям Уолша необходимо выполнить операцию приведения интервалов определения базисных функций и сигналов. Обычно вводят безразмерный аргумент .  Кроме того, на практике ряд Уолша ограничивают первыми  членами, исходя из точности представления сигналов:

                                                                              (6.15)

PAGE  3


EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

1

1

1

0

0

0

-1

-1

-1

1

1

1

0

0

0

1

1

1

1

_1

_1

_1

1

1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

2287. Конспект воспитательного мероприятия на тему Знакомство с ребятами 20.48 KB
  Цель: познакомиться с ребятами. найти к ним подход. заинтересовать детей в своей работе. Задача: узнать как можно больше о ребятах, о их интересах и предпочтениях.
2288. Особенности составления диалогов в английском языке 18.68 KB
  Повторение и представление диалогов, активизация стандартных языковых фраз. Работа с текстом домашнего задания. Проверяем лексические единицы текста. Работа с текстом Euro currency.
2289. Внеклассное мероприятие по теме Friends and Friendship 18.92 KB
  Внеклассное мероприятие провели студенты исторического факультета, IV курса. Внеклассное мероприятие проводилось на тему: Friends and Friendship.
2290. Акустические свойства звука. 16.69 KB
  Звуки речи, произнесенные человеком в результате процессов взаимодействия ЦНС и периферийных органов речи, представляют собой, как и любой звук в природе колебательное движение упругой среды.
2291. Звуковые явления 18.23 KB
  Потеря взрыва. Фразы, состоящие из 2х и более интонационных групп. Нисходящий терминальный тон в развернутых побудительных высказываниях.
2292. Что делает человека человеком 17.84 KB
  Мыслители пришли к выводу, что самый важный признак человека заключается в том, что он существо общественное. Или социальное. Socialis – общественный.
2293. Анализ деятельности специалистов строительного профиля в ООО Монолит 56.51 KB
  Структура численности предприятия. Виды работ, пройденные в период практики. Обязанности мастера отделочных работ. Организация труда в бригаде отделочников. Должностная инструкция мастера отделочных строительных работ ООО Монолит.
2294. Формирование здоровой, полноценной, социально адаптированной личности 30.72 KB
  Целью воспитательной работы лицея и моей как мастера производственного обучения является: формирование полноценной, психически и физически здоровой, социально адаптированной личности, способной строить свою жизнь.
2295. Договор финансовой аренды (лизинга) 99 KB
  В Республике Беларусь лизинговые операции стали проводиться с 1991 г. Развитие лизинга шло по двум направлениям: внутреннему и международному. Большинство белорусских лизинговых компаний на сегодняшний день занимаются внутренним лизингом. Внутренние лизинговые операции проводятся в основном за счет кредитных ресурсов белорусских банков.