19093

Ортогональные преобразования сигналов в базисе функций Уолша

Практическая работа

Физика

Лекция № 6. Ортогональные преобразования сигналов в базисе функций Уолша. При обработке дискретных сигналов большое значение представляет ортонормированная система базисных функций Уолша. Непрерывные функции Уолша относятся к классу кусочнопостоянных знакопере

Русский

2013-07-11

222.5 KB

29 чел.

Лекция № 6.

Ортогональные преобразования сигналов в базисе функций Уолша.

При обработке дискретных сигналов большое значение представляет ортонормированная система базисных функций Уолша. Непрерывные функции Уолша относятся к классу кусочно-постоянных  знакопеременных функций, задаваемых на отрезке  либо  и принимающих значения .  Для представления реальных, ограниченных во времени сигналов с началом отсчета в нулевой точке, удобно пользоваться функциями Уолша с интервалом определения .

Интервал определения функций Уолша можно представить как совокупность  равных подынтервалов, на каждом из которых функции Уолша принимают значения +1 или -1, а на концах подынтервалов  имеют разрывы первого рода, причем в этих точках функции Уолша непрерывны справа.

Совместно записанные и пронумерованные функции Уолша образуют базисную систему, в которой можно разложить произвольный сигнал в ряд Уолша. Поскольку нумерация (упорядочение) функций Уолша может быть выполнена различными способами, то возможны три варианта упорядочения: по Пэли, Хармуту  и Адамару. Каждая из систем может быть построена и аналитически описана с помощью кусочно-постоянных функций Радемахера . Эти функции на интервале  заданы следующим образом:

                                              (6.1)

Выражение является функцией знака                     (6.2)

Функции Радемахера, имеющие  вид совокупности меандров, представлены на рис. 6.1 (приведены первые три функции):

Функции Радемахера ортонормированны на интервале , но не образуют полной системы функций, т.к. являются нечетными функциями относительно середины интервала. В частности, можно подобрать функцию , которая будет ортогональна всем функциям Радемахера. Поэтому, дополнив систему Радемахера функциями, образованными посредством всевозможных произведений функций Радемахера, построим полную систему функций Уолша с различными способами упорядочения.

Диадно-упорядоченная система  функций Уолша (упорядочение по Пэли). Функции Пэли  с номером   ()  формируются из произведений таких функций Радемахера, номера которых определяются по номерам позиций двоичного представления числа , содержащих 1. Если номер функции  имеет следующее двоичное разрядное представление

                                                                              (6.3)

то функции системы Пэли в общем виде представляются в виде:

                                                                           (6.4)

В случае, если  есть степень числа 2 и, следовательно, его двоичное представление содержит одну 1, функция Пэли совпадает с одной из функций Радемахера.

Пример.  Построить систем у функций Пэли для случая

Таким образом, первые три функции, упорядоченные по Пэли, совпадают с тремя первыми функциями Радемахера.  На рис.6.2 изображены функции с номерами 3, 4, 5, упорядоченные по Пэли:


                Упорядочение по Адамару может быть получено из системы Пэли двоичной инверсией номеров функций Пэли, т.е. путем записи разрядов двоичного представления номера функции в обратном порядке. Например, третья функция в системе Адамара () совпадает с шестой функцией в системе Пэли ().  

Систему упорядочения по Хармуту называют системой, функции которой упорядочены по частоте следования или по числу переходов через нулевой уровень (числу смены знаков) на интервале . Запишем функции системы Хармута в форме:

                                                                (6.5)

Анализ (6.5) показывает, что система Хармута представляет собой систему, в которой чередуются четные и нечетные функции относительно середины временного интервала. То есть:      и т.д. Свойство четной и нечетной симметрии уподобляет систему Хармута тригонометрической системе функций . Поэтому спектр сигнала в базисе функций Хармута удобнее сопоставлять со спектром в базисе Фурье из-за аналогии в упорядочении функций.

Поскольку все рассмотренные системы используют одни и те же функции Уолша, но в различной последовательности, они равноправны для представления сигналов.

Перечислим основные свойства непрерывных функций Уолша .

  1.  Ортогональность функций на интервале :

                                                             (6.6)

  1.  Модуль функций Уолша равен 1, т.к. функции принимают только значения :

.                                                                                        (6.7)

  1.  Среднее значение функций Уолша для всех  равно нулю в силу ортогональности с функцией :

                                                                       (6.8)

  1.  Функции Уолша являются ортонормированными в силу (6.6):

         при любом .                                               (6.9)

  1.  Мультипликативность: произведение двух функций Уолша всегда дает новую функцию Уолша из этой же системы:

                                                           (6.10)

где   означает поразрядное суммирование двоичных представлений чисел  и

Разложение непрерывных сигналов по функциям Уолша.

Функции Уолша используют для разложения сигналов с интегрируемым квадратом на интервале определения :

                                                                                        (6.11)

Ряд Уолша записывается в виде:

                                                                             (6.12)

Коэффициенты разложения (спектр Уолша) определяются по формуле:

                                                                             (6.13)

В силу полноты и ортонормированности системы функций Уолша и свойства (6.11)  справедливо равенство Парсеваля:     

                                                                                  (6.14)

              Реальные сигналы в большинстве случаев имеют интервал определения    Для разложения таких сигналов по функциям Уолша необходимо выполнить операцию приведения интервалов определения базисных функций и сигналов. Обычно вводят безразмерный аргумент .  Кроме того, на практике ряд Уолша ограничивают первыми  членами, исходя из точности представления сигналов:

                                                                              (6.15)

PAGE  3


EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

1

1

1

0

0

0

-1

-1

-1

1

1

1

0

0

0

1

1

1

1

_1

_1

_1

1

1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

68670. Повышение эффективности деятельности туристической фирмы (на примере туристического агенства ООО «Альпана») 2.32 MB
  Цель исследования - на основе исследования современных тенденций развития туристского рынка в Украине разработать конкретные предложения по повышению эффективности деятельности ООО «Альпана» с целью ее экономического роста. Для достижения поставленной цели предполагается решение следующих основных задач...
68671. Развитие творческого потенциала младших школьников на уроке математики 142 KB
  Приобрести вычислительные навыки значит для каждого случая знать какие операции и в каком порядке следует выполнять чтобы найти результат арифметического действия и выполнять эти операции достаточно быстро. Приобрести вычислительные навыки значит для каждого случая знать какие операции и в каком...
68672. Анализ работы контакторной панели троллейбуса ЗиУ-682Г. Устройство и компоновка контакторной панели троллейбуса ЗиУ-682Г 572.5 KB
  Контакторы и реле, обеспечивающие коммутацию силовых цепей, управление подвижным составом и защиту электрооборудования, для удобства монтажа, облегчения ремонта и сокращения проводки группируют по изоляционным панелям и ящикам. Изоляционные панели унифицированы и поставляются заводом-изготовителем комплектом.
68675. Технического обслуживания локомотива ТО-2 134.57 KB
  При ТО-2 не реже одного раза в двое суток проверяют состояние основного оборудования и ходовых частей электровоза и устраняют выявленные при осмотре неисправности. Кроме того, выполняют работы, записанные локомотивными бригадами в журнале технического состояния электровоза...
68676. Анализ предметной области и разработка технического задания для разработки распределенной информационной системы «Магазин компьютерной техники» 452 KB
  Анализ предметной области это первый шаг этапа системного анализа с которого начинается разработка программной системы. Концептуальная модель применяется для структурирования предметной области с учетом информационных интересов пользователей системы.
68678. Система борьбы с организованной преступностью 364 KB
  Цель данного исследования – рассмотреть теоретические основы противодействия организованной преступности проблемы возникающие в борьбе с организованной преступностью. Объект исследования – Объектом исследования является организованная преступная деятельность, а также социально-правовые механизмы государственного реагирования на нее.