19095

Характеристики дискретных (цифровых) фильтров

Практическая работа

Физика

Лекция № 8. Характеристики дискретных цифровых фильтров. Основными характеристиками стационарных линейных дискретных фильтров являются следующие: импульсная характеристика ; комплексная частотная характеристика ; амплитудночастотная и фазочастот...

Русский

2013-07-11

176 KB

29 чел.

Лекция № 8.

Характеристики дискретных (цифровых) фильтров.

Основными характеристиками стационарных линейных дискретных фильтров являются следующие:

  •  импульсная характеристика ;
  •  комплексная частотная характеристика ;
  •  амплитудно-частотная  и фазочастотная  характеристики;
  •  системная функция (передаточная функция) .

Импульсной характеристикой дискретного фильтра называется его реакция на единичный импульс  при нулевых начальных условиях:

или                            (8.1)

где  оператор преобразования дискретного фильтра. Импульсную характеристику фильтра  обычно представляют совокупностью значений , называемых коэффициентами фильтра.

Заметим, что любую дискретную последовательность  можно представить в виде линейной комбинации единичных отсчетов:

                                                                            (8.2)

Тогда выходной сигнал, исходя из линейности и стационарности рассматриваемой системы, должен представлять собой линейную комбинацию импульсных характеристик:

            (8.3)

Выражение (8.3) представляет собой дискретную свертку входного сигнала и импульсной характеристики фильтра.  Если фильтр физически реализуем (каузален), то его реакция на выходе не может появиться раньше воздействия на его входе (принцип временного детерминизма).  Следовательно, его  импульсная характеристика должна равняться нулю в отсчетных точках, предшествующих моменту подачи входного импульса, т.е.  при .  Поэтому верхний предел суммирования в формуле (8.3) может быть заменен на :

                                                  (8.4)

Смысл этой формулы прост и нагляден –  в момент каждого отсчета дискретный фильтр проводит операцию взвешенного суммирования всех предыдущих значений входного сигнала, причем роль последовательности весовых коэффициентов играют отсчеты импульсной характеристики:

                     (8.5)

Это означает, что система при вычислении очередного отсчета может оперировать только прошлыми значениями входного сигнала и ничего не знает о будущих значениях.

Процедура вычисления дискретной свертки сводится к следующему:

  •  сначала импульсную характеристику  симметрично поворачивают относительно оси ординат, получая ;
  •  затем ее последовательно сдвигают вправо на временной промежуток
  •  далее значения дискретного сигнала  умножают на  соответствующие значения импульсной характеристики ;
  •  суммируя полученные значения в соответствии с (8.4), получают выходную последовательность дискретного сигнала.

Если число отсчетов импульсной характеристики (коэффициентов фильтра) конечно, то такие фильтры называют КИХ-фильтрами (фильтры с конечной импульсной характеристикой). Простота их реализации, а также наглядная связь коэффициентов фильтра с отсчетами его импульсной характеристики и абсолютная устойчивость привели к их широкому использованию на практике. Однако для получения хороших частотных характеристик нужны фильтры высокого порядка – до нескольких сотен и даже тысяч.

Наличие в схеме фильтра обратных связей позволяет получить у него бесконечную импульсную характеристику. Поэтому рекурсивные фильтры называют также фильтрами с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтры). Такие фильтры не всегда устойчивы. Под устойчивостью фильтра понимают его способность при любой ограниченной входной последовательности дискретного сигнала обеспечивать ограниченную последовательность выходного дискретного сигнала.

Любой сигнал на выходе линейной стационарной системы представляет собой линейную комбинацию ее задержанных во времени импульсных характеристик. Поэтому для затухания свободных колебаний дискретной системы необходимо, чтобы ее импульсная характеристика была затухающей:    

Определим частотную характеристику дискретного фильтра. Для этого на вход фильтра подадим  дискретизированный гармонический сигнал в виде комплексной дискретной экспоненты:

.                                                                   (8.6)

Если такая последовательность поступает на вход фильтра с импульсной характеристикой , то на выходе появится последовательность:

              (8.7)

Таким образом, согласно формуле (8.7),  выходная последовательность совпадает с входной, умноженной на некоторый комплексный множитель , который выражается через импульсную характеристику системы следующим образом:

.                                                                             (8.8)

Поскольку последовательность вида  функционально эквивалентна дискретизированной синусоиде с частотой , то комплексный множитель  называют частотной характеристикой фильтра, а соотношение (8.8) представляет собой ряд Фурье, в котором роль коэффициентов играют отсчеты импульсной характеристики. Т.к. , то  – периодическая функция частоты с периодом  . Поэтому отсчеты импульсной характеристики (коэффициенты ряда Фурье) связаны с частотной характеристикой фильтра соотношением:

.                                                                      (8.9)

Примечание. Выражения (8.8) и (8.9) записаны в формализованном виде, без учета значения шага дискретизации. Если ввести шаг дискретизации , то частотную характеристику нужно записать в виде:

.                                                                            (8.10)

Таким образом,  является периодической функцией  с периодом, равным частоте дискретизации исходного сигнала: .

В общем случае частотная характеристика комплексна. Ее модуль  называют амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) фильтра, а аргумент  – фазочастотной характеристикой (ФЧХ). Важным параметром частотной характеристики является также групповое время задержки , определяемое как .

Следует отметить, что модуль  частотной характеристики симметричен, а аргумент  – антисимметричен на интервале   (или на интервале  при соответствующем задании частотного интервала). Поэтому для физически реализуемых фильтров интервал частот, на котором задают частотную характеристику, обычно сокращают до .

Пара преобразований (8.8) и (8.9) справедлива для любой последовательности с конечной суммой, поэтому произвольную входную последовательность также можно представить в виде:

,                                                                           (8.11)

где .                                                                            (8.12)

Т.к. отклик на последовательность  согласно (8.7) равен , откликом на входную последовательность (8.11) будет:

.                                                                  (8.13)

Из равенства

                                                                                     (8.14)

следует, что (8.13) представляет собой обратное преобразование Фурье для последовательности . Таким образом, и для дискретных систем свертка во временной области соответствует умножению в частотной области.

Пример.  Пусть дискретная система первого порядка задана разностным уравнением:   с начальным условием , где . Легко установить, что импульсная характеристика такого фильтра  равна: .  Определить частотную характеристику, АЧХ и ФЧХ такого фильтра.

Решение. В соответствии с (8.8) получим:

.                 (8.15)

Т.к.  то после преобразований имеем:

PAGE  1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

75860. Лінгвістичні засоби впливу в рекламі. Маніпулятивні стратегії 56.5 KB
  Что касается грамматической организации рекламных текстов, она представляет собой удивительное своеобразие на фоне нескончаемой однородности. Относительно порядка слов следует подчеркнуть употребление инверсии и пассивных конструкций - Detroit Edison is pleased to be
75862. Визначення і методи комп. Бібліографування та реферування 24.53 KB
  К аналитическим методам относятся: Общий библиографический анализ документа осуществляемый в целях выяснения ее основной тематики формальных и содержательных особенностей достоинств и недостатков целевого и читательского назначения; Библиографическое описание документа...
75863. Термінологія та термінографія 103.5 KB
  Теорією і практикою укладання словників займається термінологічна лексикографія. Розроблення загальної класифікації документів є одним із провідних напрямків документознавства класифікація термінологічних словників розглядається в колі проблематики термінографії. Метою дослідження є встановлення видових і типологічних особливостей термінологічних словників розроблення класифікаційної схеми. Це створить передумови для розроблення методології та конкретних способів укладання спеціальних словників вироблення науково обґрунтованих принципів...
75864. Термінологія та термінографія. Термінологічні словники 25.71 KB
  Термины очень специфический предмет исследования. В отличие от слов разговорного языка и языка художественной литературы термины языковое средство профессиональной деятельности людей естественный компонент любого профессионального процесса. Термины функционируют и развиваются вместе с функционированием и развитием своей отрасли. Это придает используемым в ходе профессиональной деятельности языковым средствам среди которых доминируют термины особую значимость.
75865. Види інформаційно-пошукових систем. Ключові слова. Пошуковий образ документу. Інформаційно-пошукова мова 27.06 KB
  По характеру предоставления логической организации хранимой информации ИПС разделяются на фактографические документальные и геоинформационные. В документальных единичным элементом информации является нерасчлененный на более мелкие элементы документ и информация при вводе как правило не структурируются или структурируются в ограниченном виде. Для вводимого документа могут устанавливаться некоторые формализованные позиции дата изготовления исполнитель тематика. Некоторые виды документальных информационных систем обеспечивают установление...
75866. Соціолект. Види соціолектів 26.42 KB
  Койне. Термин койне первоначально применялся лишь к общегреческому языку который сложился в 43 вв. В современной социолингвистике койне повседневное общение которое связывает людей говорящих на разных региональных или социальных вариантах данного языка. В роли койне могут выступать наддиалектные формы языка своеобразные интердиалекты объединяющие в себе черты разных территориальных диалектов или один из языков функционирующих в данном ареале.
75867. Соціолінгвістика. Провідні поняття соціолінгвістики. Провідні поняття соціолінгвістики. Комунікативна ситуація 29.18 KB
  Под социальными условиями имеется в виду комплекс внешних обстоятельств в которых реально функционирует и развивается язык: общество людей использующих данный язык социальная структура этого общества различия между носителями языка в возрасте социальном статусе уровне культуры и образования месте проживания а также различия в их речевом поведении в зависимости от ситуации общения. Языковое сообщество это совокупность людей объединенных общими социальными экономическими политическими и культурными связями и осуществляющих в...
75868. Технічне забезпечення інтернет-комунікації. Інтернет-каталоги та пошукові машини. Інформаційно-пошукова мова. Дескриптори 31.73 KB
  Інтернеткаталоги та пошукові машини. Интернеткаталог англ. Сайты внутри каталога разбиваются по темам а внутри тем могут быть ранжированы или по индексу цитирования как в каталогах Яндекса или Google или по дате добавления или по алфавиту или по другому параметру. В зависимости от широты тематики ссылок каталоги могут быть общими и специализированными тематическими.