19095

Характеристики дискретных (цифровых) фильтров

Практическая работа

Физика

Лекция № 8. Характеристики дискретных цифровых фильтров. Основными характеристиками стационарных линейных дискретных фильтров являются следующие: импульсная характеристика ; комплексная частотная характеристика ; амплитудночастотная и фазочастот...

Русский

2013-07-11

176 KB

23 чел.

Лекция № 8.

Характеристики дискретных (цифровых) фильтров.

Основными характеристиками стационарных линейных дискретных фильтров являются следующие:

  •  импульсная характеристика ;
  •  комплексная частотная характеристика ;
  •  амплитудно-частотная  и фазочастотная  характеристики;
  •  системная функция (передаточная функция) .

Импульсной характеристикой дискретного фильтра называется его реакция на единичный импульс  при нулевых начальных условиях:

или                            (8.1)

где  оператор преобразования дискретного фильтра. Импульсную характеристику фильтра  обычно представляют совокупностью значений , называемых коэффициентами фильтра.

Заметим, что любую дискретную последовательность  можно представить в виде линейной комбинации единичных отсчетов:

                                                                            (8.2)

Тогда выходной сигнал, исходя из линейности и стационарности рассматриваемой системы, должен представлять собой линейную комбинацию импульсных характеристик:

            (8.3)

Выражение (8.3) представляет собой дискретную свертку входного сигнала и импульсной характеристики фильтра.  Если фильтр физически реализуем (каузален), то его реакция на выходе не может появиться раньше воздействия на его входе (принцип временного детерминизма).  Следовательно, его  импульсная характеристика должна равняться нулю в отсчетных точках, предшествующих моменту подачи входного импульса, т.е.  при .  Поэтому верхний предел суммирования в формуле (8.3) может быть заменен на :

                                                  (8.4)

Смысл этой формулы прост и нагляден –  в момент каждого отсчета дискретный фильтр проводит операцию взвешенного суммирования всех предыдущих значений входного сигнала, причем роль последовательности весовых коэффициентов играют отсчеты импульсной характеристики:

                     (8.5)

Это означает, что система при вычислении очередного отсчета может оперировать только прошлыми значениями входного сигнала и ничего не знает о будущих значениях.

Процедура вычисления дискретной свертки сводится к следующему:

  •  сначала импульсную характеристику  симметрично поворачивают относительно оси ординат, получая ;
  •  затем ее последовательно сдвигают вправо на временной промежуток
  •  далее значения дискретного сигнала  умножают на  соответствующие значения импульсной характеристики ;
  •  суммируя полученные значения в соответствии с (8.4), получают выходную последовательность дискретного сигнала.

Если число отсчетов импульсной характеристики (коэффициентов фильтра) конечно, то такие фильтры называют КИХ-фильтрами (фильтры с конечной импульсной характеристикой). Простота их реализации, а также наглядная связь коэффициентов фильтра с отсчетами его импульсной характеристики и абсолютная устойчивость привели к их широкому использованию на практике. Однако для получения хороших частотных характеристик нужны фильтры высокого порядка – до нескольких сотен и даже тысяч.

Наличие в схеме фильтра обратных связей позволяет получить у него бесконечную импульсную характеристику. Поэтому рекурсивные фильтры называют также фильтрами с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтры). Такие фильтры не всегда устойчивы. Под устойчивостью фильтра понимают его способность при любой ограниченной входной последовательности дискретного сигнала обеспечивать ограниченную последовательность выходного дискретного сигнала.

Любой сигнал на выходе линейной стационарной системы представляет собой линейную комбинацию ее задержанных во времени импульсных характеристик. Поэтому для затухания свободных колебаний дискретной системы необходимо, чтобы ее импульсная характеристика была затухающей:    

Определим частотную характеристику дискретного фильтра. Для этого на вход фильтра подадим  дискретизированный гармонический сигнал в виде комплексной дискретной экспоненты:

.                                                                   (8.6)

Если такая последовательность поступает на вход фильтра с импульсной характеристикой , то на выходе появится последовательность:

              (8.7)

Таким образом, согласно формуле (8.7),  выходная последовательность совпадает с входной, умноженной на некоторый комплексный множитель , который выражается через импульсную характеристику системы следующим образом:

.                                                                             (8.8)

Поскольку последовательность вида  функционально эквивалентна дискретизированной синусоиде с частотой , то комплексный множитель  называют частотной характеристикой фильтра, а соотношение (8.8) представляет собой ряд Фурье, в котором роль коэффициентов играют отсчеты импульсной характеристики. Т.к. , то  – периодическая функция частоты с периодом  . Поэтому отсчеты импульсной характеристики (коэффициенты ряда Фурье) связаны с частотной характеристикой фильтра соотношением:

.                                                                      (8.9)

Примечание. Выражения (8.8) и (8.9) записаны в формализованном виде, без учета значения шага дискретизации. Если ввести шаг дискретизации , то частотную характеристику нужно записать в виде:

.                                                                            (8.10)

Таким образом,  является периодической функцией  с периодом, равным частоте дискретизации исходного сигнала: .

В общем случае частотная характеристика комплексна. Ее модуль  называют амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) фильтра, а аргумент  – фазочастотной характеристикой (ФЧХ). Важным параметром частотной характеристики является также групповое время задержки , определяемое как .

Следует отметить, что модуль  частотной характеристики симметричен, а аргумент  – антисимметричен на интервале   (или на интервале  при соответствующем задании частотного интервала). Поэтому для физически реализуемых фильтров интервал частот, на котором задают частотную характеристику, обычно сокращают до .

Пара преобразований (8.8) и (8.9) справедлива для любой последовательности с конечной суммой, поэтому произвольную входную последовательность также можно представить в виде:

,                                                                           (8.11)

где .                                                                            (8.12)

Т.к. отклик на последовательность  согласно (8.7) равен , откликом на входную последовательность (8.11) будет:

.                                                                  (8.13)

Из равенства

                                                                                     (8.14)

следует, что (8.13) представляет собой обратное преобразование Фурье для последовательности . Таким образом, и для дискретных систем свертка во временной области соответствует умножению в частотной области.

Пример.  Пусть дискретная система первого порядка задана разностным уравнением:   с начальным условием , где . Легко установить, что импульсная характеристика такого фильтра  равна: .  Определить частотную характеристику, АЧХ и ФЧХ такого фильтра.

Решение. В соответствии с (8.8) получим:

.                 (8.15)

Т.к.  то после преобразований имеем:

PAGE  1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

42070. Решение задачи динамического программирования 659.5 KB
  Требуется перевезти груз из пункта 1 в пункт 10 с минимальными затратами на перевозку. Сетевой график дорог Стоимость перевозки груза из пункта s s=129 в пункт j j=2310 представлена в таблице Маршрут Расстояние Маршрут Расстояние 12 4 27 13 11 37 14 3 47 4 25 3 58 9 35 1 68 45 4 78 7 26 4 59 8 36 6 69 5 46 6 79 12 810 5 910 3 Все множество вершин пунктов разбивается на подмножества: . На первом этапе принимается решение через какой пункт принадлежащий второму подмножеству везти груз из пункта 1. На...
42071. Решение задачи о распределении ресурсов методом динамического программирования 610.5 KB
  Средства X выделенные kому предприятию приносит в конце года прибыль . Функции заданы таблично: X f1X f2X f3X f4X 1 8 6 3 4 2 10 9 4 6 3 11 11 7 8 4 12 13 11 13 5 18 15 18 16 Определить какое количество средств нужно выделить каждому предприятию чтобы суммарная прибыль равная сумме прибылей полученных от каждого предприятия была наибольшей. Пусть количество средств выделенных kому предприятию. Уравнения на м шаге удовлетворяют условию: либо kому предприятию ничего не выделяем: либо не больше того что...
42072. Изучение работы приборов для измерения давления электрической ветви ГСП 101.5 KB
  Ознакомиться с принципом действия устройством преобразователя измерительного Метран43 в комплекте с вторичным прибором и приобретают навыки в определении давления при помощи измерительных преобразователей типа Метран43. Снять статическую характеристику измерительного преобразователя Метран43.1 Преобразователи давления типа Метран43 Преобразователи разности давления типа Метран43 предназначены для промышленных систем автоматического контроля и систем в составе АСУ ТП на базе микропроцессорной техники работающих со...
42073. Нахождение оптимального решения по векторному критерию 362.5 KB
  Метод ведущего критерия – все критерии кроме самого важного заносятся в систему ограничений. Метод равных и наименьших относительных отклонений – оптимизируемые критерии включают в число неизвестных задачи а систему ограничений дополняют требованием равных относительных отклонений значений критериев в компромиссном решении от их экстремальных значений. Найти решение следующей трехкритериальной задачи Система ограничений: 1 Применим информационные технологии Excel для решения задачи. Для нахождения компромиссного...
42074. Расчет производственной программы технического обслуживания и текущего ремонта главной передачи автомобиля Ваз 2107 с разработкой планировочного решения зоны текущего ремонта 2.25 MB
  Двойные главные передачи устанавливают на автомобилях большой грузоподъемности для увеличения общего передаточного числа трансмиссии и повышения передаваемого крутящего момента. В этом случае передаточное число главной передачи подсчитывается как произведение передаточных чисел конической
42075. Изучение конструкции и тарировка измерительного преобразователя уровня буйкового типа УБ-П 101 KB
  Изучить принцип действия и конструкции измерительного преобразователя уровня. Ознакомление с методикой тарировки измерительных преобразователей уровня буйковых с пневматическим выходным сигналом. При изменении уровня жидкости в аппарате масса буйка в жидкости изменяется пропорционально изменению уровня.
42077. Створення Delphi- проектів з використанням компонентів відображення даних 71.53 KB
  Створити Delphi-проект, головна форма якого має вигляд, зображений на рис.1. Для надписів “конкурсант А” ,“конкурсант В” , “конкурсант С” використати компоненти типу TLabel (текстові мітки), для введення балів – компоненти типу TEdit, для графічного відображення результатів – компоненти типу TProgressBar. Для заборони введення в полях любих символів крім цифр використано подію OnKeyPress для поля Edit. Для полівEdit2Edit3 в інспекторі об’єктів для події OnKeyPress вибрано зі списку цю ж саму процедуру.Керування доступом до кнопки “ пітсумкиâ€здійснено з використанням події OnChge для поляEdit1.
42078. Исследование процессов самотестирования компьютерной системы при включении (POST) 294 KB
  Анализ алгоритмов тестирования клавиатуры CMOSпамяти и спикера и выявление особенностей процессов их диагностики. Задача: Ознакомиться и выучить алгоритмы тестирования клавиатуры CMOSпамяти и спикера с учетом выявленных особенностей процессов их диагностики. Результаты: Отчет по лабораторной работе с описанием особенностей процессов диагностики клавиатуры CMOSпамяти и спикера. Имеется в виду программа POST и контроль четности памяти.