19095

Характеристики дискретных (цифровых) фильтров

Практическая работа

Физика

Лекция № 8. Характеристики дискретных цифровых фильтров. Основными характеристиками стационарных линейных дискретных фильтров являются следующие: импульсная характеристика ; комплексная частотная характеристика ; амплитудночастотная и фазочастот...

Русский

2013-07-11

176 KB

27 чел.

Лекция № 8.

Характеристики дискретных (цифровых) фильтров.

Основными характеристиками стационарных линейных дискретных фильтров являются следующие:

  •  импульсная характеристика ;
  •  комплексная частотная характеристика ;
  •  амплитудно-частотная  и фазочастотная  характеристики;
  •  системная функция (передаточная функция) .

Импульсной характеристикой дискретного фильтра называется его реакция на единичный импульс  при нулевых начальных условиях:

или                            (8.1)

где  оператор преобразования дискретного фильтра. Импульсную характеристику фильтра  обычно представляют совокупностью значений , называемых коэффициентами фильтра.

Заметим, что любую дискретную последовательность  можно представить в виде линейной комбинации единичных отсчетов:

                                                                            (8.2)

Тогда выходной сигнал, исходя из линейности и стационарности рассматриваемой системы, должен представлять собой линейную комбинацию импульсных характеристик:

            (8.3)

Выражение (8.3) представляет собой дискретную свертку входного сигнала и импульсной характеристики фильтра.  Если фильтр физически реализуем (каузален), то его реакция на выходе не может появиться раньше воздействия на его входе (принцип временного детерминизма).  Следовательно, его  импульсная характеристика должна равняться нулю в отсчетных точках, предшествующих моменту подачи входного импульса, т.е.  при .  Поэтому верхний предел суммирования в формуле (8.3) может быть заменен на :

                                                  (8.4)

Смысл этой формулы прост и нагляден –  в момент каждого отсчета дискретный фильтр проводит операцию взвешенного суммирования всех предыдущих значений входного сигнала, причем роль последовательности весовых коэффициентов играют отсчеты импульсной характеристики:

                     (8.5)

Это означает, что система при вычислении очередного отсчета может оперировать только прошлыми значениями входного сигнала и ничего не знает о будущих значениях.

Процедура вычисления дискретной свертки сводится к следующему:

  •  сначала импульсную характеристику  симметрично поворачивают относительно оси ординат, получая ;
  •  затем ее последовательно сдвигают вправо на временной промежуток
  •  далее значения дискретного сигнала  умножают на  соответствующие значения импульсной характеристики ;
  •  суммируя полученные значения в соответствии с (8.4), получают выходную последовательность дискретного сигнала.

Если число отсчетов импульсной характеристики (коэффициентов фильтра) конечно, то такие фильтры называют КИХ-фильтрами (фильтры с конечной импульсной характеристикой). Простота их реализации, а также наглядная связь коэффициентов фильтра с отсчетами его импульсной характеристики и абсолютная устойчивость привели к их широкому использованию на практике. Однако для получения хороших частотных характеристик нужны фильтры высокого порядка – до нескольких сотен и даже тысяч.

Наличие в схеме фильтра обратных связей позволяет получить у него бесконечную импульсную характеристику. Поэтому рекурсивные фильтры называют также фильтрами с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтры). Такие фильтры не всегда устойчивы. Под устойчивостью фильтра понимают его способность при любой ограниченной входной последовательности дискретного сигнала обеспечивать ограниченную последовательность выходного дискретного сигнала.

Любой сигнал на выходе линейной стационарной системы представляет собой линейную комбинацию ее задержанных во времени импульсных характеристик. Поэтому для затухания свободных колебаний дискретной системы необходимо, чтобы ее импульсная характеристика была затухающей:    

Определим частотную характеристику дискретного фильтра. Для этого на вход фильтра подадим  дискретизированный гармонический сигнал в виде комплексной дискретной экспоненты:

.                                                                   (8.6)

Если такая последовательность поступает на вход фильтра с импульсной характеристикой , то на выходе появится последовательность:

              (8.7)

Таким образом, согласно формуле (8.7),  выходная последовательность совпадает с входной, умноженной на некоторый комплексный множитель , который выражается через импульсную характеристику системы следующим образом:

.                                                                             (8.8)

Поскольку последовательность вида  функционально эквивалентна дискретизированной синусоиде с частотой , то комплексный множитель  называют частотной характеристикой фильтра, а соотношение (8.8) представляет собой ряд Фурье, в котором роль коэффициентов играют отсчеты импульсной характеристики. Т.к. , то  – периодическая функция частоты с периодом  . Поэтому отсчеты импульсной характеристики (коэффициенты ряда Фурье) связаны с частотной характеристикой фильтра соотношением:

.                                                                      (8.9)

Примечание. Выражения (8.8) и (8.9) записаны в формализованном виде, без учета значения шага дискретизации. Если ввести шаг дискретизации , то частотную характеристику нужно записать в виде:

.                                                                            (8.10)

Таким образом,  является периодической функцией  с периодом, равным частоте дискретизации исходного сигнала: .

В общем случае частотная характеристика комплексна. Ее модуль  называют амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) фильтра, а аргумент  – фазочастотной характеристикой (ФЧХ). Важным параметром частотной характеристики является также групповое время задержки , определяемое как .

Следует отметить, что модуль  частотной характеристики симметричен, а аргумент  – антисимметричен на интервале   (или на интервале  при соответствующем задании частотного интервала). Поэтому для физически реализуемых фильтров интервал частот, на котором задают частотную характеристику, обычно сокращают до .

Пара преобразований (8.8) и (8.9) справедлива для любой последовательности с конечной суммой, поэтому произвольную входную последовательность также можно представить в виде:

,                                                                           (8.11)

где .                                                                            (8.12)

Т.к. отклик на последовательность  согласно (8.7) равен , откликом на входную последовательность (8.11) будет:

.                                                                  (8.13)

Из равенства

                                                                                     (8.14)

следует, что (8.13) представляет собой обратное преобразование Фурье для последовательности . Таким образом, и для дискретных систем свертка во временной области соответствует умножению в частотной области.

Пример.  Пусть дискретная система первого порядка задана разностным уравнением:   с начальным условием , где . Легко установить, что импульсная характеристика такого фильтра  равна: .  Определить частотную характеристику, АЧХ и ФЧХ такого фильтра.

Решение. В соответствии с (8.8) получим:

.                 (8.15)

Т.к.  то после преобразований имеем:

PAGE  1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

25265. Утвердження християнства в Київській Русі. Володимирова версія хрещення Русі: аргументи „за” і „проти” 30 KB
  Утвердження християнства в Київській Русі. Володимирова версія хрещення Русі: аргументи за€ і проти€ Ідеї християнства на територію Східної Європи почали проникати ще за римських часів про що свідчать матеріали археологічних памяток Кримського півострова. На Русі знайомство з новою вірою відбулося у ІХ ст. Процес впровадження православя на Русі був дуже довгим і не однозначним.
25266. Українське православя: його витоки та особливості історичного розвитку. Православний рух в Україні 90-х рр. XX ст.-початку XXI ст 30 KB
  УАПЦ 1990 незалежна УПЦ Друга половина XVI ст. Філарет веде політику щоб УПЦ отримала автокефалію травень 1992 р. в Харкові Собор єпископів Російської православної церкви на якому Філарет був усунений з кафедри предстоятеля УПЦ. утворення Української православної церкви Київського патріархату злиття УПАЦ і тих хто підтримував Філарета від УПЦ.
25267. Містицизм в рел іст людства. Особливості міст сприйняття. Заг хар христ містики 24 KB
  як правило супроводжує періоди сусп криз: занепад Рим імперії неоплатонізмтворцем світу є надчуттєве абстрактне єдине що може бути сприйняте людиною лише в екмтазі гностицизмматерія гріховне і зле начало що протистоїть духовному непізнаваному первоначалу; кін сер віків суфізмпізнання Бога шляхом особливих танців або постійного повторення молитв кабалавтручання в божественні процеси за допомогою спец ритуалів молитв ісихазмчерез містичне споглядання у чернецтві можна досяг вищий ступінь пізнання запереч пізн Бога за...
25268. Проблеми християнської антропології 33.5 KB
  Видима частина тіло плоть; невидима душа дух психічне те що існує у формі почуттів уявлень думок. 2 частини у Л: душа і тіло. Дух душа тіло. Ідея про тіло як необхідний орган знаряддя душі.
25269. Особливості розвитку православної філософії і богослов'я в ХІХ-ХХ століттях 34.5 KB
  Щербацький велику увагу приділяли проблемам пізнання істини суті пізнання. Концепція пізнання себе: â€œПізнай себеâ€. Пізнання це наближення до Бога шляхом пізнання себе. Теорія пізнання Сковороди безпосередньо пов'язана з його вченням про три світи і дві натури вона є двоїстою: з одного боку Г.
25270. Християнський неноплатонізм. Корпус ареопагітиків 28 KB
  Корпус ареопагітиків включає 4 трактати: €œПро небесну ієрархію€ €œПро церковну ієрархію€ і €œПро божественні імена€ €œТаємниче богословя€ і 10 послань в них розкривається доктрина вища точка християнського неоплатонізму. Автор повязав онтологію неоплатонізму з соціальною проблематикою; доктрина про церковну ієрархію безпосередньо підстроюється до доктрини небесних ієрархій. При цьому на відміну від мітичного історизму Августину €œЦерква як град Божий€ образ церкви як ідеальна людська спільнота що знаходиться у згоді з...
25271. Римська («зовнішня» людина) і грецька («внутрішня» людина) гілки окцидентальної філософії Середньовіччя 29 KB
  Західноєвроп суспільства формуються як суспільства ієрархизованімайстер підмайстер иежу перейти дуже важко; васал мого васала не мій васал король не може впливати на васала свого васала. Світська і духовна ієрархія кардинал і король король не може впливати на васала папи.
25272. Містична діалектика середньовічної Європи (Екхарт, Бьоме) 28.5 KB
  Божество основа внутрішнє джерело бога джерело його творчості. Душа голвне творіння бога. Центральне місце в його філософії займає вчення про бога. Бог це прірва яка народжує основу світу велику містерію тілесності бога.
25273. Західноєвропейський „кордоцентризм” (Б.Паскаль, німецькі романтики) 34.5 KB
  Певна достовірність властива усім гносеологічним властивостям людини: відчуттям розуму серцю органу внутрішнього відчуття€ або чуттєвій інтуїції€ на відміну від інтелектуальної інтуїції Декарта. Особлива тема в його гносеології критика розуму позбавлення його абсолютної величі€ і визнання його відносної мізерності€ тобто по суті визначення сфери і меж його достовірного використання. Паскаль прихильник просвітленого абсолютизму€ він протиставляє імперії влади€ імперію розуму€. Друга магістральні ідея антропології Паска...