19095

Характеристики дискретных (цифровых) фильтров

Практическая работа

Физика

Лекция № 8. Характеристики дискретных цифровых фильтров. Основными характеристиками стационарных линейных дискретных фильтров являются следующие: импульсная характеристика ; комплексная частотная характеристика ; амплитудночастотная и фазочастот...

Русский

2013-07-11

176 KB

29 чел.

Лекция № 8.

Характеристики дискретных (цифровых) фильтров.

Основными характеристиками стационарных линейных дискретных фильтров являются следующие:

  •  импульсная характеристика ;
  •  комплексная частотная характеристика ;
  •  амплитудно-частотная  и фазочастотная  характеристики;
  •  системная функция (передаточная функция) .

Импульсной характеристикой дискретного фильтра называется его реакция на единичный импульс  при нулевых начальных условиях:

или                            (8.1)

где  оператор преобразования дискретного фильтра. Импульсную характеристику фильтра  обычно представляют совокупностью значений , называемых коэффициентами фильтра.

Заметим, что любую дискретную последовательность  можно представить в виде линейной комбинации единичных отсчетов:

                                                                            (8.2)

Тогда выходной сигнал, исходя из линейности и стационарности рассматриваемой системы, должен представлять собой линейную комбинацию импульсных характеристик:

            (8.3)

Выражение (8.3) представляет собой дискретную свертку входного сигнала и импульсной характеристики фильтра.  Если фильтр физически реализуем (каузален), то его реакция на выходе не может появиться раньше воздействия на его входе (принцип временного детерминизма).  Следовательно, его  импульсная характеристика должна равняться нулю в отсчетных точках, предшествующих моменту подачи входного импульса, т.е.  при .  Поэтому верхний предел суммирования в формуле (8.3) может быть заменен на :

                                                  (8.4)

Смысл этой формулы прост и нагляден –  в момент каждого отсчета дискретный фильтр проводит операцию взвешенного суммирования всех предыдущих значений входного сигнала, причем роль последовательности весовых коэффициентов играют отсчеты импульсной характеристики:

                     (8.5)

Это означает, что система при вычислении очередного отсчета может оперировать только прошлыми значениями входного сигнала и ничего не знает о будущих значениях.

Процедура вычисления дискретной свертки сводится к следующему:

  •  сначала импульсную характеристику  симметрично поворачивают относительно оси ординат, получая ;
  •  затем ее последовательно сдвигают вправо на временной промежуток
  •  далее значения дискретного сигнала  умножают на  соответствующие значения импульсной характеристики ;
  •  суммируя полученные значения в соответствии с (8.4), получают выходную последовательность дискретного сигнала.

Если число отсчетов импульсной характеристики (коэффициентов фильтра) конечно, то такие фильтры называют КИХ-фильтрами (фильтры с конечной импульсной характеристикой). Простота их реализации, а также наглядная связь коэффициентов фильтра с отсчетами его импульсной характеристики и абсолютная устойчивость привели к их широкому использованию на практике. Однако для получения хороших частотных характеристик нужны фильтры высокого порядка – до нескольких сотен и даже тысяч.

Наличие в схеме фильтра обратных связей позволяет получить у него бесконечную импульсную характеристику. Поэтому рекурсивные фильтры называют также фильтрами с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтры). Такие фильтры не всегда устойчивы. Под устойчивостью фильтра понимают его способность при любой ограниченной входной последовательности дискретного сигнала обеспечивать ограниченную последовательность выходного дискретного сигнала.

Любой сигнал на выходе линейной стационарной системы представляет собой линейную комбинацию ее задержанных во времени импульсных характеристик. Поэтому для затухания свободных колебаний дискретной системы необходимо, чтобы ее импульсная характеристика была затухающей:    

Определим частотную характеристику дискретного фильтра. Для этого на вход фильтра подадим  дискретизированный гармонический сигнал в виде комплексной дискретной экспоненты:

.                                                                   (8.6)

Если такая последовательность поступает на вход фильтра с импульсной характеристикой , то на выходе появится последовательность:

              (8.7)

Таким образом, согласно формуле (8.7),  выходная последовательность совпадает с входной, умноженной на некоторый комплексный множитель , который выражается через импульсную характеристику системы следующим образом:

.                                                                             (8.8)

Поскольку последовательность вида  функционально эквивалентна дискретизированной синусоиде с частотой , то комплексный множитель  называют частотной характеристикой фильтра, а соотношение (8.8) представляет собой ряд Фурье, в котором роль коэффициентов играют отсчеты импульсной характеристики. Т.к. , то  – периодическая функция частоты с периодом  . Поэтому отсчеты импульсной характеристики (коэффициенты ряда Фурье) связаны с частотной характеристикой фильтра соотношением:

.                                                                      (8.9)

Примечание. Выражения (8.8) и (8.9) записаны в формализованном виде, без учета значения шага дискретизации. Если ввести шаг дискретизации , то частотную характеристику нужно записать в виде:

.                                                                            (8.10)

Таким образом,  является периодической функцией  с периодом, равным частоте дискретизации исходного сигнала: .

В общем случае частотная характеристика комплексна. Ее модуль  называют амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) фильтра, а аргумент  – фазочастотной характеристикой (ФЧХ). Важным параметром частотной характеристики является также групповое время задержки , определяемое как .

Следует отметить, что модуль  частотной характеристики симметричен, а аргумент  – антисимметричен на интервале   (или на интервале  при соответствующем задании частотного интервала). Поэтому для физически реализуемых фильтров интервал частот, на котором задают частотную характеристику, обычно сокращают до .

Пара преобразований (8.8) и (8.9) справедлива для любой последовательности с конечной суммой, поэтому произвольную входную последовательность также можно представить в виде:

,                                                                           (8.11)

где .                                                                            (8.12)

Т.к. отклик на последовательность  согласно (8.7) равен , откликом на входную последовательность (8.11) будет:

.                                                                  (8.13)

Из равенства

                                                                                     (8.14)

следует, что (8.13) представляет собой обратное преобразование Фурье для последовательности . Таким образом, и для дискретных систем свертка во временной области соответствует умножению в частотной области.

Пример.  Пусть дискретная система первого порядка задана разностным уравнением:   с начальным условием , где . Легко установить, что импульсная характеристика такого фильтра  равна: .  Определить частотную характеристику, АЧХ и ФЧХ такого фильтра.

Решение. В соответствии с (8.8) получим:

.                 (8.15)

Т.к.  то после преобразований имеем:

PAGE  1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

37514. Философия. Краткий конспект 20.02 KB
  11 Философия Пифагор: Мир не хаос мир подчиняется строгим математическим законам. Средневековая философия. С 5 века по 11 век европейская философия по 16 восточная философия. Гуманистическая философия т.
37515. Специфика мифологического мировоззрения 11.53 KB
  Мифологическое мировоззрение характеризуется преимущественно игнорированием причинноследственных методов описания действительности в результате чего картина мира предстает только в ее пространственновременном оформлении например в нереальных сроках жизни людей их перерождении и воскрешении в другом качестве и т. Мифологическое мировоззрение обладает еще одной особенностью в мифе всегда есть присутствие целостного представления между природной субстанцией и самим человеком. Поэтому мифологическое сознание сначала растворяется в...
37517. Что такое философия На какие вопросы отвечает 10.8 KB
  Философия не наука. Философия к человеческим смыслам предпосылкам знания носит созерцательный характер и поэтому исключает научный критерии истинности в качестве которого с точки зрении философии выступает практика. Таким образом философия в отличие от науки суть абстрактные размышления рефлексия противоположные опыту.
37519. Философия. Вспомогательный материал к лекциям в схемах 53.47 KB
  Критика чувственных методов познания. Постоянно изменяется не только материальный мир не только объект познания но и субъект т. О несуществующем или о природе Проблемы политики этики государства права языкознания познания. Отрицание познания космоса возможно лишь познать свою душу.
37520. Сравнительный анализ истоков философского мышления Запада и Востока 51.65 KB
  Существует также трактат Нань Цзин - один из древнейших в Китае медицинских трактатов, в основу которого положена девятка : - он описывает 81 трудность классической медицины И-Цзин по своей сути является трактатом, описывающим всеохватно-круговые перемены. Это учение о замкнутой, состоящей из 64 основных ситуаций, структуре постоянно и циклически изменяющегося мира.
37521. Наука 20.83 KB
  Проблема начала науки ее возникновения имеет важное методологическое значение для формирования теоретических подходов к определению природы науки ее статуса этапов развития. Античная наука Страна происхождения науки в европейском понимании Древняя Греция. Для этой науки характерна органичная связь с философией.
37522. Сравнительный анализ философских школ 119.35 KB
  Бытие первоначально имеет огонь и является равновесием двух потоков. Все появляется через отдельные промежутки времени. Отношение к рабовладению и роль рабов в государстве В государстве Платона рабство сохраняется в частности одной из задач сословия стражей является ведение завоевательных войн с целью добычи рабов. Если целью правящих является не благо государства а собственный корыстный интерес единолично правящего то монархия вырождается в тиранию.