19095

Характеристики дискретных (цифровых) фильтров

Практическая работа

Физика

Лекция № 8. Характеристики дискретных цифровых фильтров. Основными характеристиками стационарных линейных дискретных фильтров являются следующие: импульсная характеристика ; комплексная частотная характеристика ; амплитудночастотная и фазочастот...

Русский

2013-07-11

176 KB

23 чел.

Лекция № 8.

Характеристики дискретных (цифровых) фильтров.

Основными характеристиками стационарных линейных дискретных фильтров являются следующие:

  •  импульсная характеристика ;
  •  комплексная частотная характеристика ;
  •  амплитудно-частотная  и фазочастотная  характеристики;
  •  системная функция (передаточная функция) .

Импульсной характеристикой дискретного фильтра называется его реакция на единичный импульс  при нулевых начальных условиях:

или                            (8.1)

где  оператор преобразования дискретного фильтра. Импульсную характеристику фильтра  обычно представляют совокупностью значений , называемых коэффициентами фильтра.

Заметим, что любую дискретную последовательность  можно представить в виде линейной комбинации единичных отсчетов:

                                                                            (8.2)

Тогда выходной сигнал, исходя из линейности и стационарности рассматриваемой системы, должен представлять собой линейную комбинацию импульсных характеристик:

            (8.3)

Выражение (8.3) представляет собой дискретную свертку входного сигнала и импульсной характеристики фильтра.  Если фильтр физически реализуем (каузален), то его реакция на выходе не может появиться раньше воздействия на его входе (принцип временного детерминизма).  Следовательно, его  импульсная характеристика должна равняться нулю в отсчетных точках, предшествующих моменту подачи входного импульса, т.е.  при .  Поэтому верхний предел суммирования в формуле (8.3) может быть заменен на :

                                                  (8.4)

Смысл этой формулы прост и нагляден –  в момент каждого отсчета дискретный фильтр проводит операцию взвешенного суммирования всех предыдущих значений входного сигнала, причем роль последовательности весовых коэффициентов играют отсчеты импульсной характеристики:

                     (8.5)

Это означает, что система при вычислении очередного отсчета может оперировать только прошлыми значениями входного сигнала и ничего не знает о будущих значениях.

Процедура вычисления дискретной свертки сводится к следующему:

  •  сначала импульсную характеристику  симметрично поворачивают относительно оси ординат, получая ;
  •  затем ее последовательно сдвигают вправо на временной промежуток
  •  далее значения дискретного сигнала  умножают на  соответствующие значения импульсной характеристики ;
  •  суммируя полученные значения в соответствии с (8.4), получают выходную последовательность дискретного сигнала.

Если число отсчетов импульсной характеристики (коэффициентов фильтра) конечно, то такие фильтры называют КИХ-фильтрами (фильтры с конечной импульсной характеристикой). Простота их реализации, а также наглядная связь коэффициентов фильтра с отсчетами его импульсной характеристики и абсолютная устойчивость привели к их широкому использованию на практике. Однако для получения хороших частотных характеристик нужны фильтры высокого порядка – до нескольких сотен и даже тысяч.

Наличие в схеме фильтра обратных связей позволяет получить у него бесконечную импульсную характеристику. Поэтому рекурсивные фильтры называют также фильтрами с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтры). Такие фильтры не всегда устойчивы. Под устойчивостью фильтра понимают его способность при любой ограниченной входной последовательности дискретного сигнала обеспечивать ограниченную последовательность выходного дискретного сигнала.

Любой сигнал на выходе линейной стационарной системы представляет собой линейную комбинацию ее задержанных во времени импульсных характеристик. Поэтому для затухания свободных колебаний дискретной системы необходимо, чтобы ее импульсная характеристика была затухающей:    

Определим частотную характеристику дискретного фильтра. Для этого на вход фильтра подадим  дискретизированный гармонический сигнал в виде комплексной дискретной экспоненты:

.                                                                   (8.6)

Если такая последовательность поступает на вход фильтра с импульсной характеристикой , то на выходе появится последовательность:

              (8.7)

Таким образом, согласно формуле (8.7),  выходная последовательность совпадает с входной, умноженной на некоторый комплексный множитель , который выражается через импульсную характеристику системы следующим образом:

.                                                                             (8.8)

Поскольку последовательность вида  функционально эквивалентна дискретизированной синусоиде с частотой , то комплексный множитель  называют частотной характеристикой фильтра, а соотношение (8.8) представляет собой ряд Фурье, в котором роль коэффициентов играют отсчеты импульсной характеристики. Т.к. , то  – периодическая функция частоты с периодом  . Поэтому отсчеты импульсной характеристики (коэффициенты ряда Фурье) связаны с частотной характеристикой фильтра соотношением:

.                                                                      (8.9)

Примечание. Выражения (8.8) и (8.9) записаны в формализованном виде, без учета значения шага дискретизации. Если ввести шаг дискретизации , то частотную характеристику нужно записать в виде:

.                                                                            (8.10)

Таким образом,  является периодической функцией  с периодом, равным частоте дискретизации исходного сигнала: .

В общем случае частотная характеристика комплексна. Ее модуль  называют амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) фильтра, а аргумент  – фазочастотной характеристикой (ФЧХ). Важным параметром частотной характеристики является также групповое время задержки , определяемое как .

Следует отметить, что модуль  частотной характеристики симметричен, а аргумент  – антисимметричен на интервале   (или на интервале  при соответствующем задании частотного интервала). Поэтому для физически реализуемых фильтров интервал частот, на котором задают частотную характеристику, обычно сокращают до .

Пара преобразований (8.8) и (8.9) справедлива для любой последовательности с конечной суммой, поэтому произвольную входную последовательность также можно представить в виде:

,                                                                           (8.11)

где .                                                                            (8.12)

Т.к. отклик на последовательность  согласно (8.7) равен , откликом на входную последовательность (8.11) будет:

.                                                                  (8.13)

Из равенства

                                                                                     (8.14)

следует, что (8.13) представляет собой обратное преобразование Фурье для последовательности . Таким образом, и для дискретных систем свертка во временной области соответствует умножению в частотной области.

Пример.  Пусть дискретная система первого порядка задана разностным уравнением:   с начальным условием , где . Легко установить, что импульсная характеристика такого фильтра  равна: .  Определить частотную характеристику, АЧХ и ФЧХ такого фильтра.

Решение. В соответствии с (8.8) получим:

.                 (8.15)

Т.к.  то после преобразований имеем:

PAGE  1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

73638. Статистика населения 160.5 KB
  Для полного и точного учета численности населения необходимо определить границы территории, на которой учитывается население, и установить время, к которому относятся данные о численности населения. Учет населения производится по населенным пунктам
73639. Статистика объема и состава национального богатства 98 KB
  Национальное богатство (НБ) – важнейшая социально-экономическая категория, используемая для оценки экономического потенциала и уровня экономического развития страны.
73640. Статистика основных фондов 169 KB
  Основные фонды представляют собой совокупность потребительных стоимостей производственного и непроизводственного назначения, которые функционируют в экономике на протяжении ряда лет и, постепенно изнашиваясь
73641. Статистика национального богатства 112 KB
  Статистика оборотных фондов Понятие и состав оборотных фондов. Показатели объема и структуры оборотных фондов. Показатели использования и динамики материальных оборотных фондов Показатели оборачиваемости оборотных средств. Понятие и состав оборотных фондов Оборотные фонды – важная часть национального богатства страны его наиболее мобильный постоянно возобновляемый элемент.
73642. Память. Типовые структуры и функциональные узлы микросхем памяти 1.32 MB
  Каждый код хранится в отдельном элементе памяти называемом ячейкой памяти. Основная функция любой памяти состоит в выдаче этих кодов на выходы микросхемы по внешнему запросу. Основной параметр памяти ее объем то есть количество кодов которые могут в ней храниться и разрядность этих кодов. Для обозначения количества ячеек памяти используются следующие специальные единицы измерения: 1К это 1024 то есть 210 читается кило или ка примерно равно одной тысяче; 1М это 1048576 то есть 220 читается мега примерно равно одному...
73644. Реформирование и адаптация предприятия к новым условиям хозяйствования 78 KB
  Реформирование и развитие предприятий промышленного комплекса. Проблемы реформирования и адаптации предприятий к новым условиям хозяйствования. Управление предприятием при его реформировании и реабилитации.
73645. Интерфейс ведения журнала кардиологических операций 969 KB
  Компьютеризация медицины идет по самым разным направлениям. На данный момент налицо все технические предпосылки для этого - наличие надежных сетей, серверов, компьютеризированного медицинского инструментария и пр. Большое число медицинских работников активно использует в своей работе самые разнообразные возможности вычислительной техники.