19096

Z-преобразование

Практическая работа

Физика

Лекция № 9. Zпреобразование. Удобным способом анализа дискретных последовательностей является Zпреобразование. При Zпреобразовании разностные уравнения описывающие работу дискретной системы преобразуются в алгебраические уравнения с которыми проще производит

Русский

2013-07-11

233 KB

67 чел.

Лекция № 9.

Z-преобразование.

Удобным способом анализа дискретных последовательностей является Z-преобразование. При  Z-преобразовании разностные уравнения, описывающие работу дискретной системы, преобразуются в алгебраические уравнения, с которыми проще производить необходимые действия. Z-преобразование играет для дискретных сигналов и систем такую же роль, как преобразование Лапласа – для аналоговых сигналов.

Определение Z-преобразования. Дискретной последовательности отсчетов  ставится в соответствие функция комплексной переменной z, определяемая следующим образом:

                                                                   (9.1)

Функция  определена только для тех значений z, при которых ряд (9.1) сходится.

Если последовательность имеет ограниченную длину, то  сходится в Z-плоскости везде, за исключением, быть может, точек z = 0 или z = .

Получим Z-преобразование для некоторых часто встречающихся на практике дискретных сигналов.

Единичный импульс, определяемый как

.                                                                                      (9.2)

Используя формулу (9.1), получаем:

                                                                           (9.3)

Функция  сходится во всей комплексной плоскости.

Единичный скачок, определяемый соотношением:

.                                                                                        (9.4)

Используя определение Z-преобразования, получаем:

                                                                  (9.5)

Ряд (9.5) является суммой бесконечной геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем . Как известно, такой ряд сходится при  то есть при  и его сумма равна:                                                                                      (9.6)

Значение  является единственной особой точкой (полюсом) функции .

Экспоненциальная дискретная функция, определяемая как

.                                                                                    (9.7)

                                          (9.8)

Как и в предыдущем случае, этот ряд представляет собой сумму геометрической прогрессии с первым членом, равным 1 и знаменателем . Таким образом, ряд сходится при   т.е. при , и имеет особую точку при :

                                                                          (9.10)

Комплексная дискретная экспонента, определяемая как

.                                                                                  (9.11)

                                      (9.12)

причем  сходится при , т.к. единственной особой точкой  является .

Связь Z-преобразования с преобразованием Лапласа найдем, записав аналоговый сигнал в виде суммы дискретных отсчетов и набора дельта-функций:

                                                                        (9.13)

где шаг дискретизации. Преобразование Лапласа для такого сигнала равно:

    (9.14)

Воспользовавшись фильтрующим свойством дельта-функции, получим:

                                                                            (9.15)

Сравнивая соотношения (9.1) и (9.15), замечаем, что одна формула переходит в другую при замене   .  Таким образом, Z-преобразование можно получить из преобразования Лапласа путем перехода к новой переменной:

                                                          (9.16)

Смысл использования  Z-преобразования при анализе дискретных сигналов вытекает из следующего. Так как справедливо соотношение:

 ,                                                                                (9.17)

то изменение фазовой характеристики сигнала  означает задержку сигнала на один шаг дискретизации  и соответствует задержке сигнала на один такт в области.

Переход от преобразования Лапласа к Z-преобразованию при описании дискретных систем необходим по следующей причине. Дискретизация аналогового сигнала приводит к периодичности частотного спектра, то есть появлению бесконечного ряда сдвинутых копий спектра исходного непрерывного сигнала. Очевидно, эффект дискретизации приводит к появлению в плоскости  бесконечной конфигурации особых точек (полюсов и нулей), повторяющихся через интервал .

При переходе от плоскости к плоскости точка  отображается в точку . Поэтому путь вдоль мнимой оси  в плоскости отображается в единичную окружность в плоскости, так как на мнимой оси  и, следовательно  Можно показать, что левая (устойчивая) полоса плоскости шириной  отображается внутрь круга единичного радиуса  плоскости. Все последующие полосы плоскости шириной , соответствующие периодическому частотному спектру дискретного сигнала, также отображаются внутрь круга единичного радиуса плоскости. Поэтому конфигурация особых точек (полюсов и нулей) в плоскости становится конечной.

Свойства Z-преобразования.

  1.  Линейность. 

Если  и  являются  Z-преобразованиями соответствующих сигналов  и , то сигналу будет отвечать Z-преобразование  при любых постоянных  и

  1.  Задержка (сдвиг последовательности).

Если Z-преобразование сигнала  равно , то Z-преобразование сигнала , задержанного на  тактов, будет равно .

Доказательство.

                        (9.18)

Таким образом, при задержке сигнала на  тактов необходимо умножить его Z-преобразование на множитель .

В частности, если сигнал  получен путем сдвига сигнала  на один такт в сторону запаздывания, то его Z-преобразование . Следовательно, символ  служит  оператором единичной задержки (на один интервал дискретизации) в области.

3. Свертка.

Введем дискретную линейную свертку , которую определим следующим образом:

                                             (9.19)

Вычислим ее Z-преобразование:

      (9.20)

Итак, Z-преобразование линейной свертки двух дискретных сигналов равно  произведению их  Z-преобразований.

Системная функция (передаточная функция) дискретного фильтра.

Применим третье свойство Z-преобразования к уравнению дискретной фильтрации:     . Поскольку выходной сигнал дискретной системы есть линейная свертка входного сигнала с импульсной характеристикой системы, то      

,                                                                                       (9.21)

где – Z-преобразования соответственно входного и выходного сигналов системы, а – Z-преобразование ее импульсной характеристики:

.                                                                                     (9.22)

Учитывая, что   равняется отношению двух преобразованных сигналов (выходного и входного), ее называют системной или передаточной функцией. Она играет важнейшую роль в построении дискретных цифровых систем.

Применим  Z-преобразование к обеим частям разностного уравнения:

   (9.23)

Отсюда получаем общий вид передаточной функции:

                                                                (9.24)

Таким образом, передаточная (системная) функция физически реализуемой дискретной системы может быть представлена в виде отношения полиномов по отрицательным степеням переменной .

PAGE  1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

53150. Веселі гномики 38.5 KB
  Тема: Веселі гномики Автор: Шевченко Марина Михайлівна вихователь ДНЗ №23 Дзвіночок м. Вихователь: Гномикиви дуже гарний настрій подарували нашим гостям. Гномики вас ліс вітає Снігуроньку відшукаєм Вихователь: Ось ми і прийшли на лісову галявину. вихователь індивідуально активізує кожну дитинузапитує про колір Молодціпогляньте яка красива в нас ялинка Давайте поплескаємо в долоні Ялинка запалюється вогниками Вихователь: Йдемо далі.
53151. Година спілкування «Наше дозвілля або Не перемикайте канал!» 69 KB
  Обладнання: анкета програми телебачення фішки вислови мікрофон Зміст роботи І. Кореспондент Це я зараз запитаю в Можливі відповіді: дізнатись про активне змістовне цікаве дозвілля; як впливає телебачення на здоровя учнів; продемонструвати своє захоплення і т. Спецрозслідування Ведучий Доброго дня наші глядачі якщо його можна назвати добрим На нас чекає розслідування: Скільки часу вбиває телебачення робота в групах: 1 у програмі телебачення підкреслити передачі що допомагають розвитку дітей; 2 у програмі...
53152. Як не захворіти на грип та застуду 52 KB
  Обладнання: плакат зараження грипом повітрянокрапельним шляхом малюнки Віруси марлева пов'язка мікроскоп костюм лікаря костюм Зайчика до інсценізації казки Зайчик застудився фотоілюстрації лікарських рослин магнітола телевізор. Поради лікаря А зараз до вашої уваги члени гуртка У світі казки чарівної пропонують казочку Зайчик застудився Зайчик застудився Ведучий: Ось в цій хатці під сосною І улітку і зимою Жив собі маленький Зайчик Жвавий сірий побігайчик з'являється Зайчик чхаєкашляє ойкає Дівчинка: Зайчик...
53153. Година цікавої математики, присвячена Дню космонавтики 148 KB
  Небо зорями рясніє Таємниче і глибоке Всесвіт нам бентежить мрії Спонукаючи до дії Розум радує і око. Інтернет зв'язок мобільний Телебачення прогноз Спілкування з світом вільне Змінює життя всерйоз Учитель: слайд 3 Дорогі діти сьогодні ми з вами зробимо екскурсію в історію освоєння космонавтики. І так ми вирушаємо у подорож слайд4 МАПА ПОДОРОЖІ. слайд 5 Перший конкурс присвячений датам з історії освоєння космосу.
53154. Schulbibliothek. An der Spitze – gestern und heute 98 KB
  Ich möchte wissen, was ihr vor der Stunde erwartet. Hier habe ich eine Liste der Tätigkeiten in der Stunde. Aber die Sätze sind nicht voll. Ergänzt und äußert eure Vermutungen. Was werden wir heute machen? Am Ende der Stunde prüfen wir, welche Vermutungen richtig sind.
53155. Ім'я Гоголя на карті Диканьки 79 KB
  Тема проекту: Ім'я Гоголя на карті Диканьки. Мета: ознайомити дітей з історією вулиці Гоголя в Диканці діяльністю організацій на цій вулиці життям її мешканців. Гоголя; глибше знайомство з особистістю М. Гоголя.