19096

Z-преобразование

Практическая работа

Физика

Лекция № 9. Zпреобразование. Удобным способом анализа дискретных последовательностей является Zпреобразование. При Zпреобразовании разностные уравнения описывающие работу дискретной системы преобразуются в алгебраические уравнения с которыми проще производит

Русский

2013-07-11

233 KB

72 чел.

Лекция № 9.

Z-преобразование.

Удобным способом анализа дискретных последовательностей является Z-преобразование. При  Z-преобразовании разностные уравнения, описывающие работу дискретной системы, преобразуются в алгебраические уравнения, с которыми проще производить необходимые действия. Z-преобразование играет для дискретных сигналов и систем такую же роль, как преобразование Лапласа – для аналоговых сигналов.

Определение Z-преобразования. Дискретной последовательности отсчетов  ставится в соответствие функция комплексной переменной z, определяемая следующим образом:

                                                                   (9.1)

Функция  определена только для тех значений z, при которых ряд (9.1) сходится.

Если последовательность имеет ограниченную длину, то  сходится в Z-плоскости везде, за исключением, быть может, точек z = 0 или z = .

Получим Z-преобразование для некоторых часто встречающихся на практике дискретных сигналов.

Единичный импульс, определяемый как

.                                                                                      (9.2)

Используя формулу (9.1), получаем:

                                                                           (9.3)

Функция  сходится во всей комплексной плоскости.

Единичный скачок, определяемый соотношением:

.                                                                                        (9.4)

Используя определение Z-преобразования, получаем:

                                                                  (9.5)

Ряд (9.5) является суммой бесконечной геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем . Как известно, такой ряд сходится при  то есть при  и его сумма равна:                                                                                      (9.6)

Значение  является единственной особой точкой (полюсом) функции .

Экспоненциальная дискретная функция, определяемая как

.                                                                                    (9.7)

                                          (9.8)

Как и в предыдущем случае, этот ряд представляет собой сумму геометрической прогрессии с первым членом, равным 1 и знаменателем . Таким образом, ряд сходится при   т.е. при , и имеет особую точку при :

                                                                          (9.10)

Комплексная дискретная экспонента, определяемая как

.                                                                                  (9.11)

                                      (9.12)

причем  сходится при , т.к. единственной особой точкой  является .

Связь Z-преобразования с преобразованием Лапласа найдем, записав аналоговый сигнал в виде суммы дискретных отсчетов и набора дельта-функций:

                                                                        (9.13)

где шаг дискретизации. Преобразование Лапласа для такого сигнала равно:

    (9.14)

Воспользовавшись фильтрующим свойством дельта-функции, получим:

                                                                            (9.15)

Сравнивая соотношения (9.1) и (9.15), замечаем, что одна формула переходит в другую при замене   .  Таким образом, Z-преобразование можно получить из преобразования Лапласа путем перехода к новой переменной:

                                                          (9.16)

Смысл использования  Z-преобразования при анализе дискретных сигналов вытекает из следующего. Так как справедливо соотношение:

 ,                                                                                (9.17)

то изменение фазовой характеристики сигнала  означает задержку сигнала на один шаг дискретизации  и соответствует задержке сигнала на один такт в области.

Переход от преобразования Лапласа к Z-преобразованию при описании дискретных систем необходим по следующей причине. Дискретизация аналогового сигнала приводит к периодичности частотного спектра, то есть появлению бесконечного ряда сдвинутых копий спектра исходного непрерывного сигнала. Очевидно, эффект дискретизации приводит к появлению в плоскости  бесконечной конфигурации особых точек (полюсов и нулей), повторяющихся через интервал .

При переходе от плоскости к плоскости точка  отображается в точку . Поэтому путь вдоль мнимой оси  в плоскости отображается в единичную окружность в плоскости, так как на мнимой оси  и, следовательно  Можно показать, что левая (устойчивая) полоса плоскости шириной  отображается внутрь круга единичного радиуса  плоскости. Все последующие полосы плоскости шириной , соответствующие периодическому частотному спектру дискретного сигнала, также отображаются внутрь круга единичного радиуса плоскости. Поэтому конфигурация особых точек (полюсов и нулей) в плоскости становится конечной.

Свойства Z-преобразования.

  1.  Линейность. 

Если  и  являются  Z-преобразованиями соответствующих сигналов  и , то сигналу будет отвечать Z-преобразование  при любых постоянных  и

  1.  Задержка (сдвиг последовательности).

Если Z-преобразование сигнала  равно , то Z-преобразование сигнала , задержанного на  тактов, будет равно .

Доказательство.

                        (9.18)

Таким образом, при задержке сигнала на  тактов необходимо умножить его Z-преобразование на множитель .

В частности, если сигнал  получен путем сдвига сигнала  на один такт в сторону запаздывания, то его Z-преобразование . Следовательно, символ  служит  оператором единичной задержки (на один интервал дискретизации) в области.

3. Свертка.

Введем дискретную линейную свертку , которую определим следующим образом:

                                             (9.19)

Вычислим ее Z-преобразование:

      (9.20)

Итак, Z-преобразование линейной свертки двух дискретных сигналов равно  произведению их  Z-преобразований.

Системная функция (передаточная функция) дискретного фильтра.

Применим третье свойство Z-преобразования к уравнению дискретной фильтрации:     . Поскольку выходной сигнал дискретной системы есть линейная свертка входного сигнала с импульсной характеристикой системы, то      

,                                                                                       (9.21)

где – Z-преобразования соответственно входного и выходного сигналов системы, а – Z-преобразование ее импульсной характеристики:

.                                                                                     (9.22)

Учитывая, что   равняется отношению двух преобразованных сигналов (выходного и входного), ее называют системной или передаточной функцией. Она играет важнейшую роль в построении дискретных цифровых систем.

Применим  Z-преобразование к обеим частям разностного уравнения:

   (9.23)

Отсюда получаем общий вид передаточной функции:

                                                                (9.24)

Таким образом, передаточная (системная) функция физически реализуемой дискретной системы может быть представлена в виде отношения полиномов по отрицательным степеням переменной .

PAGE  1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

2077. Stylistics of English Language Seminar exercises and tasks 862.83 KB
  Данное учебное пособие предлагает подробный план семинарских практических занятий по стилистике английского языка. План каждого занятия включает обзор теоретического материала, задания для самостоятельной работы, а также широкий спектр практических заданий, включающих как упражнения, направленные на отработку отдельных языковых навыков, так и развитие творческого письма на английском языке в различных стилях.
2078. Учебно-методический комплекс по дисциплине 1.02 MB
  Содержание дисциплины, структурированное по видам учебных занятий с указанием их объемов в часах. Методические указания по выполнению отдельных видов учебной работы. Организация промежуточного и итогового контроля знаний.
2079. Хозяйственная жизнь общества (Производство и распределение) 983.61 KB
  Восхождение от абстрактного к конкретному как метод построения логической целостной теории хозяйственной деятельности. Производство как основа существования и развития общества. Технологический способ производства как функционирование производительных сил. Диалектика духовного и материального производства.
2080. Расчет схем на диодах 1.29 MB
  Расчет схем на полупроводниковых диодах. Пример расчета диодного ограничителя. Стабилизаторы напряжения на диодах. Расчет параметрического стабилизатора.
2081. Учебное пособие Логика 877.93 KB
  Предмет и значение логики. совместимые отношения между понятиями. объем и содержание понятия. Правила и ошибки понятий. Виды сложных суждений. Непосредственные умозаключения. Методы научной индукции.
2082. Локальные компьютерные сети 627.36 KB
  Локальные компьютерные сети, базовые понятия. Оборудование компьютерных сетей. Локальные сети в общей классификации компьютерных сетей. Структура стандартов IEEE 802.X. Формат кадра и этапы доступа к среде. Производительность сети Ethernet. Маркерный метод доступа к разделяемой среде.
2083. Физико-химические основы микроэлектроники и технологии РЭС и ЭВС 2.33 MB
  Строение твердых тел. Основы кристаллографии. Основы квантовой физики. Основы зонной теории твердых тел и квантовой статистики. Гальваномагнитные эффекты в твердых телах. Оптические и фотоэлектрические явления в твердых телах
2084. Конспект лекций Turbo Pascal -2 725.88 KB
  Параметры-переменные и параметры-значения. Новые графические процедуры и функции. Вертикально-горизонтальное отношение. Поворот фигур и вывод текста. Тип данных множество и записи. Файлы с прямым доступом.
2085. Конспект лекций Turbo Pascal 1.57 MB
  Знакомство со средой PASCAL. Структура программы на Паскале. Печать списка и текстов. Переменные. Оператор присваивания. Управление выводом информации. Ввод данных (операторы READLN и READ). Логические переменные и операции. Многомерные массивы. Процедуры и функции с параметрами.