19096

Z-преобразование

Практическая работа

Физика

Лекция № 9. Zпреобразование. Удобным способом анализа дискретных последовательностей является Zпреобразование. При Zпреобразовании разностные уравнения описывающие работу дискретной системы преобразуются в алгебраические уравнения с которыми проще производит

Русский

2013-07-11

233 KB

73 чел.

Лекция № 9.

Z-преобразование.

Удобным способом анализа дискретных последовательностей является Z-преобразование. При  Z-преобразовании разностные уравнения, описывающие работу дискретной системы, преобразуются в алгебраические уравнения, с которыми проще производить необходимые действия. Z-преобразование играет для дискретных сигналов и систем такую же роль, как преобразование Лапласа – для аналоговых сигналов.

Определение Z-преобразования. Дискретной последовательности отсчетов  ставится в соответствие функция комплексной переменной z, определяемая следующим образом:

                                                                   (9.1)

Функция  определена только для тех значений z, при которых ряд (9.1) сходится.

Если последовательность имеет ограниченную длину, то  сходится в Z-плоскости везде, за исключением, быть может, точек z = 0 или z = .

Получим Z-преобразование для некоторых часто встречающихся на практике дискретных сигналов.

Единичный импульс, определяемый как

.                                                                                      (9.2)

Используя формулу (9.1), получаем:

                                                                           (9.3)

Функция  сходится во всей комплексной плоскости.

Единичный скачок, определяемый соотношением:

.                                                                                        (9.4)

Используя определение Z-преобразования, получаем:

                                                                  (9.5)

Ряд (9.5) является суммой бесконечной геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем . Как известно, такой ряд сходится при  то есть при  и его сумма равна:                                                                                      (9.6)

Значение  является единственной особой точкой (полюсом) функции .

Экспоненциальная дискретная функция, определяемая как

.                                                                                    (9.7)

                                          (9.8)

Как и в предыдущем случае, этот ряд представляет собой сумму геометрической прогрессии с первым членом, равным 1 и знаменателем . Таким образом, ряд сходится при   т.е. при , и имеет особую точку при :

                                                                          (9.10)

Комплексная дискретная экспонента, определяемая как

.                                                                                  (9.11)

                                      (9.12)

причем  сходится при , т.к. единственной особой точкой  является .

Связь Z-преобразования с преобразованием Лапласа найдем, записав аналоговый сигнал в виде суммы дискретных отсчетов и набора дельта-функций:

                                                                        (9.13)

где шаг дискретизации. Преобразование Лапласа для такого сигнала равно:

    (9.14)

Воспользовавшись фильтрующим свойством дельта-функции, получим:

                                                                            (9.15)

Сравнивая соотношения (9.1) и (9.15), замечаем, что одна формула переходит в другую при замене   .  Таким образом, Z-преобразование можно получить из преобразования Лапласа путем перехода к новой переменной:

                                                          (9.16)

Смысл использования  Z-преобразования при анализе дискретных сигналов вытекает из следующего. Так как справедливо соотношение:

 ,                                                                                (9.17)

то изменение фазовой характеристики сигнала  означает задержку сигнала на один шаг дискретизации  и соответствует задержке сигнала на один такт в области.

Переход от преобразования Лапласа к Z-преобразованию при описании дискретных систем необходим по следующей причине. Дискретизация аналогового сигнала приводит к периодичности частотного спектра, то есть появлению бесконечного ряда сдвинутых копий спектра исходного непрерывного сигнала. Очевидно, эффект дискретизации приводит к появлению в плоскости  бесконечной конфигурации особых точек (полюсов и нулей), повторяющихся через интервал .

При переходе от плоскости к плоскости точка  отображается в точку . Поэтому путь вдоль мнимой оси  в плоскости отображается в единичную окружность в плоскости, так как на мнимой оси  и, следовательно  Можно показать, что левая (устойчивая) полоса плоскости шириной  отображается внутрь круга единичного радиуса  плоскости. Все последующие полосы плоскости шириной , соответствующие периодическому частотному спектру дискретного сигнала, также отображаются внутрь круга единичного радиуса плоскости. Поэтому конфигурация особых точек (полюсов и нулей) в плоскости становится конечной.

Свойства Z-преобразования.

  1.  Линейность. 

Если  и  являются  Z-преобразованиями соответствующих сигналов  и , то сигналу будет отвечать Z-преобразование  при любых постоянных  и

  1.  Задержка (сдвиг последовательности).

Если Z-преобразование сигнала  равно , то Z-преобразование сигнала , задержанного на  тактов, будет равно .

Доказательство.

                        (9.18)

Таким образом, при задержке сигнала на  тактов необходимо умножить его Z-преобразование на множитель .

В частности, если сигнал  получен путем сдвига сигнала  на один такт в сторону запаздывания, то его Z-преобразование . Следовательно, символ  служит  оператором единичной задержки (на один интервал дискретизации) в области.

3. Свертка.

Введем дискретную линейную свертку , которую определим следующим образом:

                                             (9.19)

Вычислим ее Z-преобразование:

      (9.20)

Итак, Z-преобразование линейной свертки двух дискретных сигналов равно  произведению их  Z-преобразований.

Системная функция (передаточная функция) дискретного фильтра.

Применим третье свойство Z-преобразования к уравнению дискретной фильтрации:     . Поскольку выходной сигнал дискретной системы есть линейная свертка входного сигнала с импульсной характеристикой системы, то      

,                                                                                       (9.21)

где – Z-преобразования соответственно входного и выходного сигналов системы, а – Z-преобразование ее импульсной характеристики:

.                                                                                     (9.22)

Учитывая, что   равняется отношению двух преобразованных сигналов (выходного и входного), ее называют системной или передаточной функцией. Она играет важнейшую роль в построении дискретных цифровых систем.

Применим  Z-преобразование к обеим частям разностного уравнения:

   (9.23)

Отсюда получаем общий вид передаточной функции:

                                                                (9.24)

Таким образом, передаточная (системная) функция физически реализуемой дискретной системы может быть представлена в виде отношения полиномов по отрицательным степеням переменной .

PAGE  1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

4468. Національно-державне відродження українського народу. Незалежна Україна на сучасному етапі 67.98 KB
  Перебудова в СРСР та її наслідки для України. Спроба державного перевороту в СРСР і Україна. Розпад Радянського Союзу і відродження незалежної України. Розгортання державотворчих процесів. Становлення владних структур, прийняття Конституції України Політичне життя в Україні. Вибори до Верховної Ради України в 1994, 1998, 2002, 2006, 2007 рр. Вибори Президента України 1999, 2004, 2010 рр.
4469. Історія україни Опорний конспект. Методична розробка 1.37 MB
  Методична розробка Опорний конспект з історії України написана на основі навчальної програми курсу Історія України для вищих навчальних закладів І і ІІ рівнів акредитації дає вказівки по вивченню, засвоєнню матеріалу, що вивчається аудиторно. Робота...
4470. Основи теорії держави і права 181.5 KB
  Основи теорії держави і права Ознайомити студентів із поняттям держави і права, їх ознаками, закономірностями виникнення, основними теоріями походження та функціями. Охарактеризувати форми держави і права,поняття та ознаки г...
4471. Основи Конституційного права України 180.5 KB
  Основи Конституційного права України. Мета заняття.Ознайомити студентів із основами конституційного права України, загальними засадами конституційного ладу, народовладдям та формами його здійснення. Охарактеризувати види виборів та головні при...
4472. Основи Цивільного права 223 KB
  Основи Цивільного права Мета заняття.Ознайомити студентів із основами цивільного права, його джерелами та відносинами, що ним регулюються, суб’єктами та об’єктами цивільно-правових відносин, суттю права власності та формами його захи...
4473. Основи трудового права України 281 KB
  Основи трудового права України Мета заняття.Ознайомити студентів із трудовим правом, його джерелами та відносинами, що ним регулюються, колективним та трудовим договорами, робочим часом та часом відпочинку, підставами та порядком звільнення з ...
4474. Основи фінансового та банківського права 129.5 KB
  Основи фінансового та банківського права. Ознайомити студентів із основами фінансового та банківського права, їх джерелами та відносинами, що ними регулюються, суб'єктами та об'єктами цивільно-правових відносин, суттю пра...
4475. Основи адміністративного права України 103.5 KB
  Основи адміністративного права України Мета заняття.Ознайомити студентів із особливостями адміністративного права, адміністративними правопорушеннями та адміністративною відповідальністю. Дати загальну характеристику Кримінального кодексу Укра...
4476. Основи кримінального права України 143.5 KB
  Основи кримінального права України Мета заняття.Ознайомити студентів із особливостями кримінального права, адміністративними правопорушеннями та адміністративною відповідальністю. Дати загальну характеристику Кримінального кодексу України. Оха...