19096

Z-преобразование

Практическая работа

Физика

Лекция № 9. Zпреобразование. Удобным способом анализа дискретных последовательностей является Zпреобразование. При Zпреобразовании разностные уравнения описывающие работу дискретной системы преобразуются в алгебраические уравнения с которыми проще производит

Русский

2013-07-11

233 KB

62 чел.

Лекция № 9.

Z-преобразование.

Удобным способом анализа дискретных последовательностей является Z-преобразование. При  Z-преобразовании разностные уравнения, описывающие работу дискретной системы, преобразуются в алгебраические уравнения, с которыми проще производить необходимые действия. Z-преобразование играет для дискретных сигналов и систем такую же роль, как преобразование Лапласа – для аналоговых сигналов.

Определение Z-преобразования. Дискретной последовательности отсчетов  ставится в соответствие функция комплексной переменной z, определяемая следующим образом:

                                                                   (9.1)

Функция  определена только для тех значений z, при которых ряд (9.1) сходится.

Если последовательность имеет ограниченную длину, то  сходится в Z-плоскости везде, за исключением, быть может, точек z = 0 или z = .

Получим Z-преобразование для некоторых часто встречающихся на практике дискретных сигналов.

Единичный импульс, определяемый как

.                                                                                      (9.2)

Используя формулу (9.1), получаем:

                                                                           (9.3)

Функция  сходится во всей комплексной плоскости.

Единичный скачок, определяемый соотношением:

.                                                                                        (9.4)

Используя определение Z-преобразования, получаем:

                                                                  (9.5)

Ряд (9.5) является суммой бесконечной геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем . Как известно, такой ряд сходится при  то есть при  и его сумма равна:                                                                                      (9.6)

Значение  является единственной особой точкой (полюсом) функции .

Экспоненциальная дискретная функция, определяемая как

.                                                                                    (9.7)

                                          (9.8)

Как и в предыдущем случае, этот ряд представляет собой сумму геометрической прогрессии с первым членом, равным 1 и знаменателем . Таким образом, ряд сходится при   т.е. при , и имеет особую точку при :

                                                                          (9.10)

Комплексная дискретная экспонента, определяемая как

.                                                                                  (9.11)

                                      (9.12)

причем  сходится при , т.к. единственной особой точкой  является .

Связь Z-преобразования с преобразованием Лапласа найдем, записав аналоговый сигнал в виде суммы дискретных отсчетов и набора дельта-функций:

                                                                        (9.13)

где шаг дискретизации. Преобразование Лапласа для такого сигнала равно:

    (9.14)

Воспользовавшись фильтрующим свойством дельта-функции, получим:

                                                                            (9.15)

Сравнивая соотношения (9.1) и (9.15), замечаем, что одна формула переходит в другую при замене   .  Таким образом, Z-преобразование можно получить из преобразования Лапласа путем перехода к новой переменной:

                                                          (9.16)

Смысл использования  Z-преобразования при анализе дискретных сигналов вытекает из следующего. Так как справедливо соотношение:

 ,                                                                                (9.17)

то изменение фазовой характеристики сигнала  означает задержку сигнала на один шаг дискретизации  и соответствует задержке сигнала на один такт в области.

Переход от преобразования Лапласа к Z-преобразованию при описании дискретных систем необходим по следующей причине. Дискретизация аналогового сигнала приводит к периодичности частотного спектра, то есть появлению бесконечного ряда сдвинутых копий спектра исходного непрерывного сигнала. Очевидно, эффект дискретизации приводит к появлению в плоскости  бесконечной конфигурации особых точек (полюсов и нулей), повторяющихся через интервал .

При переходе от плоскости к плоскости точка  отображается в точку . Поэтому путь вдоль мнимой оси  в плоскости отображается в единичную окружность в плоскости, так как на мнимой оси  и, следовательно  Можно показать, что левая (устойчивая) полоса плоскости шириной  отображается внутрь круга единичного радиуса  плоскости. Все последующие полосы плоскости шириной , соответствующие периодическому частотному спектру дискретного сигнала, также отображаются внутрь круга единичного радиуса плоскости. Поэтому конфигурация особых точек (полюсов и нулей) в плоскости становится конечной.

Свойства Z-преобразования.

  1.  Линейность. 

Если  и  являются  Z-преобразованиями соответствующих сигналов  и , то сигналу будет отвечать Z-преобразование  при любых постоянных  и

  1.  Задержка (сдвиг последовательности).

Если Z-преобразование сигнала  равно , то Z-преобразование сигнала , задержанного на  тактов, будет равно .

Доказательство.

                        (9.18)

Таким образом, при задержке сигнала на  тактов необходимо умножить его Z-преобразование на множитель .

В частности, если сигнал  получен путем сдвига сигнала  на один такт в сторону запаздывания, то его Z-преобразование . Следовательно, символ  служит  оператором единичной задержки (на один интервал дискретизации) в области.

3. Свертка.

Введем дискретную линейную свертку , которую определим следующим образом:

                                             (9.19)

Вычислим ее Z-преобразование:

      (9.20)

Итак, Z-преобразование линейной свертки двух дискретных сигналов равно  произведению их  Z-преобразований.

Системная функция (передаточная функция) дискретного фильтра.

Применим третье свойство Z-преобразования к уравнению дискретной фильтрации:     . Поскольку выходной сигнал дискретной системы есть линейная свертка входного сигнала с импульсной характеристикой системы, то      

,                                                                                       (9.21)

где – Z-преобразования соответственно входного и выходного сигналов системы, а – Z-преобразование ее импульсной характеристики:

.                                                                                     (9.22)

Учитывая, что   равняется отношению двух преобразованных сигналов (выходного и входного), ее называют системной или передаточной функцией. Она играет важнейшую роль в построении дискретных цифровых систем.

Применим  Z-преобразование к обеим частям разностного уравнения:

   (9.23)

Отсюда получаем общий вид передаточной функции:

                                                                (9.24)

Таким образом, передаточная (системная) функция физически реализуемой дискретной системы может быть представлена в виде отношения полиномов по отрицательным степеням переменной .

PAGE  1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

65379. МЕХАНІЗМ ОЦІНЮВАННЯ ДЕРЖАВНОГО УПРАВЛІННЯ ЗА ЧИННИКОМ ЛЮДСЬКОГО ВИМІРУ 198.5 KB
  На європейському шляху розвитку України найбільш актуальними напрямами є подальша демократизація країни принципова зміна відношення до людини в суспільстві не тільки визначення її у всіх правових та програмних документах як найбільшої суспільної цінності...
65380. ФОРМУВАННЯ ІНФОРМАТИЧНИХ КОМПЕТЕНТНОСТЕЙ МАЙБУТНІХ ВЧИТЕЛІВ ІНФОРМАТИКИ У ПРОЦЕСІ НАВЧАННЯ МЕТОДІВ ОБЧИСЛЕНЬ 238 KB
  Більшість науковців схиляються до ідей компетентнісного підходу в оцінюванні результатів навчання формування компетентностей на основі сучасних досягнень науки і техніки. Сьогодні розробляються стандарти та моделі підготовки фахівців...
65381. Формування високопродуктивних агроценозів багаторічних трав при залуженні орних земель вилучених із обробітку в південному Степу 4.66 MB
  Обґрунтувати теоретичні засади сучасного ландшафтноекологічного стану сільськогосподарських угідь південного Степу та розробити в умовах природного зволоження без зрошення енергоощадні технології створення високопродуктивних агрофітоценозів...
65382. Удосконалення технології обробки стебел безнаркотичних конопель 542 KB
  Наукові дослідження з вивчення властивостей і хімічного складу волокна конопель показали, що воно має високі показники гігроскопічності, повітропроникності, антибактеріальні, гігієнічні та антиелектростатичні властивості.
65383. ІНДИВІДУАЛІЗАЦІЯ ПРОФЕСІЙНОЇ ПІДГОТОВКИ МАЙБУТНІХ ФАХІВЦІВ ШВЕЙНОГО ПРОФІЛЮ 147.5 KB
  Сучасні соціально-економічні перетворення в державі призвели до необхідності переосмислення ідей індивідуалізації, її сутності та можливостей у забезпеченні життєвого, професійного, особистісного самовизначення майбутнього фахівця...
65384. РОЗРОБКА МІКРОПРОЦЕСОРНОГО КЕРУВАННЯ МАТРИЧНИМИ СВІТЛОДІОДНИМИ ВИПРОМІНЮВАЧАМИ 177.5 KB
  Основною причиною великих енергозатрат на освітлення є низький коефіцієнт корисної дії ККД сучасних лампових джерел світла який складає декілька відсотків. За останнє десятиліття розроблені світлодіодні джерела світла ККД яких досягає 80.
65385. УПРАВЛІННЯ ПРОЦЕСОМ ФОРМУВАННЯ ВРОЖАЙНОСТІ ЗЕРНА ПРОСА ПОСІВНОГО 1.49 MB
  Важливим є глибоке вивчення управління сортовими особливостями асиміляційного апарату рослин проса шляхом поєднання абіотичних і біотичних факторів та елементів технології вирощування на продуктивність рослин...
65386. РЕПРЕЗЕНТАЦІЯ ЧАСУ В СОЦІОЛОГІЇ 144.5 KB
  Представники різних наук, які, так чи інакше, підходять до проблематики часу відчувають раціональну потребу об’єднати зусилля у його подальшому вивченні. Спроби співставити і порівняти різні тлумачення часу що пропонують фізики і біологи, геологи і екологи, психологи і логіки...
65387. ОБҐРУНТУВАННЯ ПАРАМЕТРІВ ПРОЦЕСУ ДОЗУВАННЯ І РОЗРОБКА РЕШІТНОГО ДОЗАТОРА КОНЦЕНТРОВАНИХ КОРМІВ 962.5 KB
  Тому створення конструкції і обґрунтування оптимальних параметрів решітного дозатора з вібророзрідженою подачею концентрованих кормів є актуальним і перспективним науковоприкладним завданням для розвитку тваринницької галузі України...