19096

Z-преобразование

Практическая работа

Физика

Лекция № 9. Zпреобразование. Удобным способом анализа дискретных последовательностей является Zпреобразование. При Zпреобразовании разностные уравнения описывающие работу дискретной системы преобразуются в алгебраические уравнения с которыми проще производит

Русский

2013-07-11

233 KB

73 чел.

Лекция № 9.

Z-преобразование.

Удобным способом анализа дискретных последовательностей является Z-преобразование. При  Z-преобразовании разностные уравнения, описывающие работу дискретной системы, преобразуются в алгебраические уравнения, с которыми проще производить необходимые действия. Z-преобразование играет для дискретных сигналов и систем такую же роль, как преобразование Лапласа – для аналоговых сигналов.

Определение Z-преобразования. Дискретной последовательности отсчетов  ставится в соответствие функция комплексной переменной z, определяемая следующим образом:

                                                                   (9.1)

Функция  определена только для тех значений z, при которых ряд (9.1) сходится.

Если последовательность имеет ограниченную длину, то  сходится в Z-плоскости везде, за исключением, быть может, точек z = 0 или z = .

Получим Z-преобразование для некоторых часто встречающихся на практике дискретных сигналов.

Единичный импульс, определяемый как

.                                                                                      (9.2)

Используя формулу (9.1), получаем:

                                                                           (9.3)

Функция  сходится во всей комплексной плоскости.

Единичный скачок, определяемый соотношением:

.                                                                                        (9.4)

Используя определение Z-преобразования, получаем:

                                                                  (9.5)

Ряд (9.5) является суммой бесконечной геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем . Как известно, такой ряд сходится при  то есть при  и его сумма равна:                                                                                      (9.6)

Значение  является единственной особой точкой (полюсом) функции .

Экспоненциальная дискретная функция, определяемая как

.                                                                                    (9.7)

                                          (9.8)

Как и в предыдущем случае, этот ряд представляет собой сумму геометрической прогрессии с первым членом, равным 1 и знаменателем . Таким образом, ряд сходится при   т.е. при , и имеет особую точку при :

                                                                          (9.10)

Комплексная дискретная экспонента, определяемая как

.                                                                                  (9.11)

                                      (9.12)

причем  сходится при , т.к. единственной особой точкой  является .

Связь Z-преобразования с преобразованием Лапласа найдем, записав аналоговый сигнал в виде суммы дискретных отсчетов и набора дельта-функций:

                                                                        (9.13)

где шаг дискретизации. Преобразование Лапласа для такого сигнала равно:

    (9.14)

Воспользовавшись фильтрующим свойством дельта-функции, получим:

                                                                            (9.15)

Сравнивая соотношения (9.1) и (9.15), замечаем, что одна формула переходит в другую при замене   .  Таким образом, Z-преобразование можно получить из преобразования Лапласа путем перехода к новой переменной:

                                                          (9.16)

Смысл использования  Z-преобразования при анализе дискретных сигналов вытекает из следующего. Так как справедливо соотношение:

 ,                                                                                (9.17)

то изменение фазовой характеристики сигнала  означает задержку сигнала на один шаг дискретизации  и соответствует задержке сигнала на один такт в области.

Переход от преобразования Лапласа к Z-преобразованию при описании дискретных систем необходим по следующей причине. Дискретизация аналогового сигнала приводит к периодичности частотного спектра, то есть появлению бесконечного ряда сдвинутых копий спектра исходного непрерывного сигнала. Очевидно, эффект дискретизации приводит к появлению в плоскости  бесконечной конфигурации особых точек (полюсов и нулей), повторяющихся через интервал .

При переходе от плоскости к плоскости точка  отображается в точку . Поэтому путь вдоль мнимой оси  в плоскости отображается в единичную окружность в плоскости, так как на мнимой оси  и, следовательно  Можно показать, что левая (устойчивая) полоса плоскости шириной  отображается внутрь круга единичного радиуса  плоскости. Все последующие полосы плоскости шириной , соответствующие периодическому частотному спектру дискретного сигнала, также отображаются внутрь круга единичного радиуса плоскости. Поэтому конфигурация особых точек (полюсов и нулей) в плоскости становится конечной.

Свойства Z-преобразования.

  1.  Линейность. 

Если  и  являются  Z-преобразованиями соответствующих сигналов  и , то сигналу будет отвечать Z-преобразование  при любых постоянных  и

  1.  Задержка (сдвиг последовательности).

Если Z-преобразование сигнала  равно , то Z-преобразование сигнала , задержанного на  тактов, будет равно .

Доказательство.

                        (9.18)

Таким образом, при задержке сигнала на  тактов необходимо умножить его Z-преобразование на множитель .

В частности, если сигнал  получен путем сдвига сигнала  на один такт в сторону запаздывания, то его Z-преобразование . Следовательно, символ  служит  оператором единичной задержки (на один интервал дискретизации) в области.

3. Свертка.

Введем дискретную линейную свертку , которую определим следующим образом:

                                             (9.19)

Вычислим ее Z-преобразование:

      (9.20)

Итак, Z-преобразование линейной свертки двух дискретных сигналов равно  произведению их  Z-преобразований.

Системная функция (передаточная функция) дискретного фильтра.

Применим третье свойство Z-преобразования к уравнению дискретной фильтрации:     . Поскольку выходной сигнал дискретной системы есть линейная свертка входного сигнала с импульсной характеристикой системы, то      

,                                                                                       (9.21)

где – Z-преобразования соответственно входного и выходного сигналов системы, а – Z-преобразование ее импульсной характеристики:

.                                                                                     (9.22)

Учитывая, что   равняется отношению двух преобразованных сигналов (выходного и входного), ее называют системной или передаточной функцией. Она играет важнейшую роль в построении дискретных цифровых систем.

Применим  Z-преобразование к обеим частям разностного уравнения:

   (9.23)

Отсюда получаем общий вид передаточной функции:

                                                                (9.24)

Таким образом, передаточная (системная) функция физически реализуемой дискретной системы может быть представлена в виде отношения полиномов по отрицательным степеням переменной .

PAGE  1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

24545. Виды программных модулей 48.36 KB
  никакие внешние события не могут прервать работу модуля и он непрерывно выполняется от начала до конца. Структура привилегированного модуля приведена на рис. Структура привилегированного модуля Непривилегированные модули это обычные программные модули которые могут быть прерваны во время своей работы.2 приведен пример использования реентерабельного модуля В процессами А и С.
24546. Ядро и вспомогательные модули ОС 95.57 KB
  Ядро и вспомогательные модули ОС.3 Ядро и вспомогательные модули операционной системы. Все модули ОС разделяются на две группы: ядро и вспомогательные модули. Ядро наиболее часто используемые модули ОС выполняющие основные ее функции: управление процессами памятью устройствами ввода вывода и т.
24547. Классическая архитектура ОС 26.18 KB
  Для надежной и безопасной работы ОС ее ядро должно иметь более высокие привилегии по сравнению со вспомогательными модулями самой ОС и пользовательскими приложениями рис. Привилегии ядра обеспечиваются средствами аппаратной поддержки процессора который должен поддерживать как минимум два режима работы: пользовательский режим user mode; привилегированный режим ядра kernel mode. Ядро ОС в привилегированном режиме При обращении к ядру происходит переход из пользовательского режима работы в привилегированный что требует дополнительных...
24548. Микроядерная архитектура ОС 70.66 KB
  В микроядерной архитектуре в привилегированном режиме работает только небольшая часть ОС называемая микроядром. Роль посредника при взаимодействии выполняет микроядро. Микроядро в привилегированном режиме имеет доступ к адресным пространствам всех приложений и поэтому может выступать в качестве посредника. Микроядро принимает сообщение клиента и передает его серверу.
24549. В чем заключается принцип безопасности и как он обеспечивается операционной системой 14.52 KB
  В чем заключается принцип безопасности и как он обеспечивается операционной системой 3.6 Обеспечение безопасности вычислительной системы. Под обеспечением безопасности вычислительной системы понимается защита от несанкционированного доступа к информации а также к программным модулям защита ресурсов одного пользователя от других и установление квот по ресурсам для предотвращения захвата одним пользователем всех системных ресурсов например памяти. Уровни безопасности вычислительных систем обозначаются A B C D причем D низший уровень...
24550. Что такое мультипрограммирование (многозадачность). Реализация мультипрограммирования в системах пакетной обработки, разделения времени, реального времени 54.02 KB
  Что такое мультипрограммирование многозадачность Реализация мультипрограммирования в системах пакетной обработки разделения времени реального времени. При реализации мультизадачности существуют разные критерии эффективности: пропускная способность количество задач выполняемых ВС в единицу времени; удобство работы пользователей заключающееся в их возможности работать в интерактивном режиме сразу с несколькими приложениями; реактивность системы способность системы выдерживать заранее заданные интервалы времени между запуском...
24551. Мультипроцессорная обработка, архитектуры мультипроцессорных систем 16.56 KB
  В настоящее время обычным стало включение нескольких процессоров в архитектуру даже персонального компьютера. В мультипроцессорных системах несколько задач выполняются действительно одновременно так как имеется несколько обрабатывающих устройств процессоров. Мультипроцессирование не исключает мультипрограммирования: на каждом из процессоров может попеременно выполняться некоторый закрепленный за данным процессором набор задач. Симметричная архитектура мультипроцессорной системы предполагает однородность всех процессоров и единообразие...
24552. Что такое вычислительный процесс, поток. Состояния процесса 72.89 KB
  Что такое вычислительный процесс поток Состояния процесса.Планирование процессов и потоков. Понятия процесс и поток. Для реализации многозадачности необходимо определить каким образом ОС будет разделять между задачами процессор и другие ресурсы компьютера.
24553. Психосоматические взаимосвязи в организме человека 58.5 KB
  Условнорефлекторная модель И. Конверсионная модель соматических расстройств З. Конверсионная модель объясняет нарушения произвольной моторики так же полезна для понимания психогенных расстройств чувствительности нарушений походки ощущения кома в пищеводе при истерии. В соответствии с конверсионной моделью с появлением соматического симптома пациент испытывает эмоциональное облегчение благодаря смягчению гнета бессознательного конфликта.