19096

Z-преобразование

Практическая работа

Физика

Лекция № 9. Zпреобразование. Удобным способом анализа дискретных последовательностей является Zпреобразование. При Zпреобразовании разностные уравнения описывающие работу дискретной системы преобразуются в алгебраические уравнения с которыми проще производит

Русский

2013-07-11

233 KB

60 чел.

Лекция № 9.

Z-преобразование.

Удобным способом анализа дискретных последовательностей является Z-преобразование. При  Z-преобразовании разностные уравнения, описывающие работу дискретной системы, преобразуются в алгебраические уравнения, с которыми проще производить необходимые действия. Z-преобразование играет для дискретных сигналов и систем такую же роль, как преобразование Лапласа – для аналоговых сигналов.

Определение Z-преобразования. Дискретной последовательности отсчетов  ставится в соответствие функция комплексной переменной z, определяемая следующим образом:

                                                                   (9.1)

Функция  определена только для тех значений z, при которых ряд (9.1) сходится.

Если последовательность имеет ограниченную длину, то  сходится в Z-плоскости везде, за исключением, быть может, точек z = 0 или z = .

Получим Z-преобразование для некоторых часто встречающихся на практике дискретных сигналов.

Единичный импульс, определяемый как

.                                                                                      (9.2)

Используя формулу (9.1), получаем:

                                                                           (9.3)

Функция  сходится во всей комплексной плоскости.

Единичный скачок, определяемый соотношением:

.                                                                                        (9.4)

Используя определение Z-преобразования, получаем:

                                                                  (9.5)

Ряд (9.5) является суммой бесконечной геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем . Как известно, такой ряд сходится при  то есть при  и его сумма равна:                                                                                      (9.6)

Значение  является единственной особой точкой (полюсом) функции .

Экспоненциальная дискретная функция, определяемая как

.                                                                                    (9.7)

                                          (9.8)

Как и в предыдущем случае, этот ряд представляет собой сумму геометрической прогрессии с первым членом, равным 1 и знаменателем . Таким образом, ряд сходится при   т.е. при , и имеет особую точку при :

                                                                          (9.10)

Комплексная дискретная экспонента, определяемая как

.                                                                                  (9.11)

                                      (9.12)

причем  сходится при , т.к. единственной особой точкой  является .

Связь Z-преобразования с преобразованием Лапласа найдем, записав аналоговый сигнал в виде суммы дискретных отсчетов и набора дельта-функций:

                                                                        (9.13)

где шаг дискретизации. Преобразование Лапласа для такого сигнала равно:

    (9.14)

Воспользовавшись фильтрующим свойством дельта-функции, получим:

                                                                            (9.15)

Сравнивая соотношения (9.1) и (9.15), замечаем, что одна формула переходит в другую при замене   .  Таким образом, Z-преобразование можно получить из преобразования Лапласа путем перехода к новой переменной:

                                                          (9.16)

Смысл использования  Z-преобразования при анализе дискретных сигналов вытекает из следующего. Так как справедливо соотношение:

 ,                                                                                (9.17)

то изменение фазовой характеристики сигнала  означает задержку сигнала на один шаг дискретизации  и соответствует задержке сигнала на один такт в области.

Переход от преобразования Лапласа к Z-преобразованию при описании дискретных систем необходим по следующей причине. Дискретизация аналогового сигнала приводит к периодичности частотного спектра, то есть появлению бесконечного ряда сдвинутых копий спектра исходного непрерывного сигнала. Очевидно, эффект дискретизации приводит к появлению в плоскости  бесконечной конфигурации особых точек (полюсов и нулей), повторяющихся через интервал .

При переходе от плоскости к плоскости точка  отображается в точку . Поэтому путь вдоль мнимой оси  в плоскости отображается в единичную окружность в плоскости, так как на мнимой оси  и, следовательно  Можно показать, что левая (устойчивая) полоса плоскости шириной  отображается внутрь круга единичного радиуса  плоскости. Все последующие полосы плоскости шириной , соответствующие периодическому частотному спектру дискретного сигнала, также отображаются внутрь круга единичного радиуса плоскости. Поэтому конфигурация особых точек (полюсов и нулей) в плоскости становится конечной.

Свойства Z-преобразования.

  1.  Линейность. 

Если  и  являются  Z-преобразованиями соответствующих сигналов  и , то сигналу будет отвечать Z-преобразование  при любых постоянных  и

  1.  Задержка (сдвиг последовательности).

Если Z-преобразование сигнала  равно , то Z-преобразование сигнала , задержанного на  тактов, будет равно .

Доказательство.

                        (9.18)

Таким образом, при задержке сигнала на  тактов необходимо умножить его Z-преобразование на множитель .

В частности, если сигнал  получен путем сдвига сигнала  на один такт в сторону запаздывания, то его Z-преобразование . Следовательно, символ  служит  оператором единичной задержки (на один интервал дискретизации) в области.

3. Свертка.

Введем дискретную линейную свертку , которую определим следующим образом:

                                             (9.19)

Вычислим ее Z-преобразование:

      (9.20)

Итак, Z-преобразование линейной свертки двух дискретных сигналов равно  произведению их  Z-преобразований.

Системная функция (передаточная функция) дискретного фильтра.

Применим третье свойство Z-преобразования к уравнению дискретной фильтрации:     . Поскольку выходной сигнал дискретной системы есть линейная свертка входного сигнала с импульсной характеристикой системы, то      

,                                                                                       (9.21)

где – Z-преобразования соответственно входного и выходного сигналов системы, а – Z-преобразование ее импульсной характеристики:

.                                                                                     (9.22)

Учитывая, что   равняется отношению двух преобразованных сигналов (выходного и входного), ее называют системной или передаточной функцией. Она играет важнейшую роль в построении дискретных цифровых систем.

Применим  Z-преобразование к обеим частям разностного уравнения:

   (9.23)

Отсюда получаем общий вид передаточной функции:

                                                                (9.24)

Таким образом, передаточная (системная) функция физически реализуемой дискретной системы может быть представлена в виде отношения полиномов по отрицательным степеням переменной .

PAGE  1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

10375. Место политологии среди других обществоведческих дисциплин 29 KB
  Место политологии среди других обществоведческих дисциплин. Политики представляя собой очевидную сторону общественной жизни детерминируется множеством явных и скрытых от глаз мене ощутимых факторов и процессов в совокупности составляющих ее социологические основ...
10376. История развития политической мысли. Основные тенденц 35.5 KB
  История развития политической мысли. Основные тенденции. Чрезвычайно огромный объём материалов по истории развития политической мысли включающий в себя исторические правовые политические географические философские и другие источники не позволяют авторам подробн
10377. Сущность и особенности внешней политики России на современном этапе 30 KB
  Сущность и особенности внешней политики России на современном этапе. Проблемы формирования новой государственности в России с точки зрения ее роли в мировом политическом процессе нельзя рассматривать без учета взаимозависимости основных субъектов международных о
10378. Теория разделения властей: возникновение и развитие 33.5 KB
  Теория разделения властей: возникновение и развитие. Основными функциями политической власти являются: руководство в целом страной государством и каждой его сферой политической экономической духовной социальной и др.: оптимизация самой политической системы прис
10379. Разработка идей естественного права в трудах мыслителей эпохи просвещения 36.5 KB
  Разработка идей естественного права в трудах мыслителей эпохи просвещения. Уже в XIX в. нормативно ценностный подход дал повод для критического к нему отношения. С одной стороны политической мыслью был сформулирован ряд идей которые выражали постепенное движение обще
10380. Развитие идей гражданского общества и государства 31 KB
  Развитие идей гражданского общества и государства. Рассмотрим пять основных типов политических систем в обобщенном виде: 1. Рабовладельческая феодальная капиталистическая социалистическая система с капиталистической или социалистической ориентацией основой тип...
10381. Ресурсы и легитимность политической власти 31.5 KB
  Ресурсы и легитимность политической власти. Успех функционирования политической власти зависит от многих факторов. Среди них весьма важная роль отводится ее законности признанию обществом ее права на руководящую роль. В политологии данная характеристика обозначае...
10382. Политическая система общества структура и функции 29.5 KB
  Политическая система общества структура и функции. Теория политической системы возникла в середине 50х годов когда для этого были созданы определенные научные предпосылки а политика стала играть слишком большую роль в жизни стран и народов что потребовало использо...
10383. Основные идейно-политические теории в современном мире 51 KB
  Основные идейно-политические теории в современном мире. Политическая теория от греч. theoria наблюдение исследование система знаний идей о политике отражающая и характеризующая процессы и явления политической жизни общества международных отношений и определенны...