19096

Z-преобразование

Практическая работа

Физика

Лекция № 9. Zпреобразование. Удобным способом анализа дискретных последовательностей является Zпреобразование. При Zпреобразовании разностные уравнения описывающие работу дискретной системы преобразуются в алгебраические уравнения с которыми проще производит

Русский

2013-07-11

233 KB

60 чел.

Лекция № 9.

Z-преобразование.

Удобным способом анализа дискретных последовательностей является Z-преобразование. При  Z-преобразовании разностные уравнения, описывающие работу дискретной системы, преобразуются в алгебраические уравнения, с которыми проще производить необходимые действия. Z-преобразование играет для дискретных сигналов и систем такую же роль, как преобразование Лапласа – для аналоговых сигналов.

Определение Z-преобразования. Дискретной последовательности отсчетов  ставится в соответствие функция комплексной переменной z, определяемая следующим образом:

                                                                   (9.1)

Функция  определена только для тех значений z, при которых ряд (9.1) сходится.

Если последовательность имеет ограниченную длину, то  сходится в Z-плоскости везде, за исключением, быть может, точек z = 0 или z = .

Получим Z-преобразование для некоторых часто встречающихся на практике дискретных сигналов.

Единичный импульс, определяемый как

.                                                                                      (9.2)

Используя формулу (9.1), получаем:

                                                                           (9.3)

Функция  сходится во всей комплексной плоскости.

Единичный скачок, определяемый соотношением:

.                                                                                        (9.4)

Используя определение Z-преобразования, получаем:

                                                                  (9.5)

Ряд (9.5) является суммой бесконечной геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем . Как известно, такой ряд сходится при  то есть при  и его сумма равна:                                                                                      (9.6)

Значение  является единственной особой точкой (полюсом) функции .

Экспоненциальная дискретная функция, определяемая как

.                                                                                    (9.7)

                                          (9.8)

Как и в предыдущем случае, этот ряд представляет собой сумму геометрической прогрессии с первым членом, равным 1 и знаменателем . Таким образом, ряд сходится при   т.е. при , и имеет особую точку при :

                                                                          (9.10)

Комплексная дискретная экспонента, определяемая как

.                                                                                  (9.11)

                                      (9.12)

причем  сходится при , т.к. единственной особой точкой  является .

Связь Z-преобразования с преобразованием Лапласа найдем, записав аналоговый сигнал в виде суммы дискретных отсчетов и набора дельта-функций:

                                                                        (9.13)

где шаг дискретизации. Преобразование Лапласа для такого сигнала равно:

    (9.14)

Воспользовавшись фильтрующим свойством дельта-функции, получим:

                                                                            (9.15)

Сравнивая соотношения (9.1) и (9.15), замечаем, что одна формула переходит в другую при замене   .  Таким образом, Z-преобразование можно получить из преобразования Лапласа путем перехода к новой переменной:

                                                          (9.16)

Смысл использования  Z-преобразования при анализе дискретных сигналов вытекает из следующего. Так как справедливо соотношение:

 ,                                                                                (9.17)

то изменение фазовой характеристики сигнала  означает задержку сигнала на один шаг дискретизации  и соответствует задержке сигнала на один такт в области.

Переход от преобразования Лапласа к Z-преобразованию при описании дискретных систем необходим по следующей причине. Дискретизация аналогового сигнала приводит к периодичности частотного спектра, то есть появлению бесконечного ряда сдвинутых копий спектра исходного непрерывного сигнала. Очевидно, эффект дискретизации приводит к появлению в плоскости  бесконечной конфигурации особых точек (полюсов и нулей), повторяющихся через интервал .

При переходе от плоскости к плоскости точка  отображается в точку . Поэтому путь вдоль мнимой оси  в плоскости отображается в единичную окружность в плоскости, так как на мнимой оси  и, следовательно  Можно показать, что левая (устойчивая) полоса плоскости шириной  отображается внутрь круга единичного радиуса  плоскости. Все последующие полосы плоскости шириной , соответствующие периодическому частотному спектру дискретного сигнала, также отображаются внутрь круга единичного радиуса плоскости. Поэтому конфигурация особых точек (полюсов и нулей) в плоскости становится конечной.

Свойства Z-преобразования.

  1.  Линейность. 

Если  и  являются  Z-преобразованиями соответствующих сигналов  и , то сигналу будет отвечать Z-преобразование  при любых постоянных  и

  1.  Задержка (сдвиг последовательности).

Если Z-преобразование сигнала  равно , то Z-преобразование сигнала , задержанного на  тактов, будет равно .

Доказательство.

                        (9.18)

Таким образом, при задержке сигнала на  тактов необходимо умножить его Z-преобразование на множитель .

В частности, если сигнал  получен путем сдвига сигнала  на один такт в сторону запаздывания, то его Z-преобразование . Следовательно, символ  служит  оператором единичной задержки (на один интервал дискретизации) в области.

3. Свертка.

Введем дискретную линейную свертку , которую определим следующим образом:

                                             (9.19)

Вычислим ее Z-преобразование:

      (9.20)

Итак, Z-преобразование линейной свертки двух дискретных сигналов равно  произведению их  Z-преобразований.

Системная функция (передаточная функция) дискретного фильтра.

Применим третье свойство Z-преобразования к уравнению дискретной фильтрации:     . Поскольку выходной сигнал дискретной системы есть линейная свертка входного сигнала с импульсной характеристикой системы, то      

,                                                                                       (9.21)

где – Z-преобразования соответственно входного и выходного сигналов системы, а – Z-преобразование ее импульсной характеристики:

.                                                                                     (9.22)

Учитывая, что   равняется отношению двух преобразованных сигналов (выходного и входного), ее называют системной или передаточной функцией. Она играет важнейшую роль в построении дискретных цифровых систем.

Применим  Z-преобразование к обеим частям разностного уравнения:

   (9.23)

Отсюда получаем общий вид передаточной функции:

                                                                (9.24)

Таким образом, передаточная (системная) функция физически реализуемой дискретной системы может быть представлена в виде отношения полиномов по отрицательным степеням переменной .

PAGE  1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

14955. Еліміздің экологиялық проблемалары 59.5 KB
  УДК 621.311.24 ЕЛІМІЗДІҢ ЭКОЛОГИЯЛЫҚ ПРОБЛЕМАЛАРЫ Д.Бұхарбаева А.К.Ершина Қазақ мемелекеттік қыздар педагогикалық институты Алматы қ. Экологияның күрт нашарлап кетуі адамдардың табиғатқа антропогендек әсерін болып отыр. Атмосферадағы көмірқышқыл газдардың ко
14956. Қазақстанның климат ерекшеліктері 307.5 KB
  Қазақстан Республикасы климаты Климаты. Кең байтақ Казақстан жерiнде оның геогр. орнына яғни атмосф. ылғалдықтың негiзгi көзi мұхиттардан тым шалғай орналасуына және жер бедерiнiң сипатына байланысты қуаң континенттiк климат қалыптасқан. Басқа кезкел...
14957. Қазақстанның пайдалы қазбалары 50 KB
  География және табиғат журналы №2 Наурыз – сәуір 2008 жыл Сабақтың тақырыбы: Қазақстанның пайдалы қазбалары Сабақтың мақсаты: Білімділігі: жер бедерінің дамуы және геологиялық құрылысы мен пайдалы қазбалардың байланысы ой қозғау Дамытушылық: пайдалы қ...
14958. Қазақстанның топырағы, өсімдіктері, жануарлар әлемі 58.5 KB
  Қазақстан Республикасы топырағы өсімдіктері жануарлары Қазақстанда өзге елдерде кездесетiн топырақ түрлерiнiң түгелдей дерлiгi тараған. Мұнда тайга тундра топырағына дейiн бар тек ылғалды субтропик белдемiне тән топырақ қана жоқ. Солтүстік Қазақстандағ...
14959. Қазақстанның физика-географиялық сипаттамасы 219.5 KB
  Қазақстанның физикагеографиялық сипаттамасы. Зерттелу тарихы Інұсқа Қазақстан жерінің аумағы А 2925 мың км2 В 3865 мың км2 С 27249 мың км2 Д 2525 мың км2 Е 3965 мың км2 Қазақстанның дүние жүзі бойынша жер көлемі жөнінен алатын орны А 4 В 9 С 10...
14960. Су қоры - халық байлығы 52 KB
  ӘОКС: 502.3 574 С 23 СУ ҚОРЫ – ХАЛЫҚ БАЙЛЫҒЫ Н. Е.Нұрғалиева Е.Қ . Сатаева № 42 ағылшын тілін тереңдете оқытатын орта мектебі Тараз қ. Су жүргізер тіршіліктің тамырын Су жоқ болса тіршілік тамам бауырым Судың біздер біле тұра маңызын Көп болған соң ұмытамыз қад
14961. Тіршілік эволюциясы 652.5 KB
  VІ. ТІРШІЛІК ЭВОЛЮЦИЯСЫ 4.1. Тіршілік эволюциясы Тіршілік өзі қалай дамыды Тірі затты құрайтын элементтер бірбірімен қалай бірікті Қазіргі таңда бұл сұрақтар бойынша дәйекті жорамал құруға мүмкіндік беретін мәлімет көп және жеткілікті. Тіршіліктің пайда болуы жайл...
14962. Топырақтың маңыздылығы 99.5 KB
  Топырақтың адамзат үшін маңызы Жоспар: І. Кіріспе ІІ. Негізгі бөлім 1. Топырақтың адамзат үшін маңызды. 2. Адам топырақты түзуші фактор ретінде. 3. Топырақ географиясы және егіншілік. 4. Топырақты
14963. Тұран жазығының физикалық-географиялық орыны, қалыптасуы 158 KB
  Тұран ойпатының құрылықтың ішкі аймағында орналасуы Шығыс Европаның өзі орналасқан ендіктеріне қарағанда қысы суық, жазы ыстық болып климаты шұғыл континентілігін; келуімен ерекшеленетін климатының...