19097
Связь системной функции с частотная характеристикой. Обратное Z-преобразование
Практическая работа
Физика
Лекция № 10. Связь системной функции с частотная характеристикой. Обратное Zпреобразование. Структурную схему дискретной системы можно составить либо по разностному уравнению либо с помощью системной передаточной функции. Применяя Zпреобразование к обеим частям ...
Русский
2013-07-11
214.5 KB
15 чел.
Лекция № 10.
Связь системной функции с частотная характеристикой. Обратное Z-преобразование.
Структурную схему дискретной системы можно составить либо по разностному уравнению, либо с помощью системной (передаточной) функции. Применяя Z-преобразование к обеим частям разностного уравнения, получим выражение для системной функции:
(10.1)
Так как системная функция есть Z-преобразование от импульсной характеристики системы: (10.2)
сравним это соотношение с выражением для частотного коэффициента передачи, которое также может выражаться через значения импульсной характеристики в соответствии с (8.10): . (10.3)
Очевидно, чтобы получить частотный коэффициент передач (частотную характеристику) дискретной системы из его системной функции, в последней нужно сделать подстановку:
. (10.4)
Этот результат согласуется ранее сделанными выводами, изложенными в лекции № 9.
Таким образом, имея разностное уравнение или структурную схему дискретной системы, не сложно определить ее системную функцию и частотный коэффициент передач.
Пример. Определить системную функцию рекурсивного фильтра второго порядка.
Решение. Введем для анализа промежуточный сигнал и запишем уравнения относительно двух сумматоров в форме разностных уравнений:
(10.5)
(10.6)
Применяя Z-преобразование к уравнениям (10.5) и (10.6), получаем:
(10.7)
(10.8)
Следовательно,
(10.9)
и
Разностные уравнения обычно определены при и имеют набор начальных условий. Поэтому при решении практических задач обычно вводят одностороннее Z-преобразование, определяемое как
. (10.9)
Для многих сигналов свойства одностороннего Z-преобразования аналогичны свойствам обычного Z-преобразования. Основным исключением является свойство, связанное со сдвигом (задержкой) сигналов. Так, задержка на один отсчет по-прежнему приводит к умножению одностороннего Z-преобразования на , но при этом необходимо учесть значения сигнала при , то есть начальные условия.
Обратное Z-преобразование.
В соответствии с (10.9) функция определяет всю бесконечную совокупность отсчетов . Умножим обе части ряда (10.9) на множитель :
, (10.10)
а затем вычислим интегралы от обеих частей полученного равенства, взяв в качестве контура интегрирования замкнутую кривую, лежащую целиком в области аналитичности и охватывающую все полюса функции . При этом воспользуемся теоремой Коши:
(10.11)
Очевидно, интегралы от всех слагаемых правой части обратятся в нуль, за исключением слагаемого с номером . Поэтому
, (10.12)
где замкнутый контур окружностью , радиус сходимости .
Выражение (10.12) называют обратным Z-преобразованием, оно позволяет найти отсчеты по Z-изображению . Обратное Z-преобразование существует только для таких функций , которые могут иметь лишь конечное число особых точек (полюсов), причем особенность в каждой из них является устранимой.
Существует несколько методов вычисления обратного Z-преобразования. Чаще всего пользуются теоремой о вычетах, согласно которой интеграл по замкнутому контуру от функции комплексного аргумента с точностью до множителя равен сумме вычетов подынтегральной функции в особых точках (полюсах ), охватываемых контуром интегрирования :
. (10.13)
Определение вычетов связано с представлением функции в виде:
, (10.14)
где является полюсом порядка .
Для нахождения вычетов используют следующие формулы:
(10.15)
. (10.16)
Пример 1. Определить по изображению отсчеты сигнала .
Найдем подынтегральное выражение обратного Z-преобразования:
.
Функция имеет один простой полюс в точке . В соответствии с (10.15) получаем:
.
Пример 2. Найти отсчеты сигнала по его Z-изображению .
Подынтегральное выражение обратного Z-преобразования равно:
.
Функция имеет один двукратный полюс . В соответствии с (10.16) получаем:
.
Вторым методом вычисления обратного Z-преобразования, применяемым на практике, является метод разложения функции на простые дроби. Функцию представляют в виде суммы элементарных дробей:
, (10.17)
где z-преобразование с одним простым полюсом. С учетом того, что каждое слагаемое имеет обратное Z-преобразование вида , получаем:
(10.18)
Пример 3. Вычислить обратное Z-преобразование функции .
Представим в виде суммы простых дробей:
.
Из сопоставления вида полученных слагаемых с примерами Z-преобразований типовых дискретных сигналов (лекция 9) видно, что первое слагаемое соответствует единичному скачку с амплитудой, равной 2, а второе дискретной показательной функции . Итак, искомая последовательность имеет вид:
.
PAGE 1
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать | |||
7609. | Гідравлічні двигуни | 293.31 KB | |
Гідравлічні двигуни Класифікація гідравлічних двигунів Гідроциліндри Поворотні двигуни Гідромотори Гідравлічний об’ємний двигун - енергетична машина, призначена для перетворення гідравлічної... | |||
7610. | Джерела живлення гідравлічних приводів | 89.4 KB | |
Джерела живлення гідравлічних приводів Класифікація джерел живлення Акумулятори Насоси Гідравлічним акумулятором називається місткість, яка призначена для накопичення (акумулювання) енергії рідини, що знаходиться під ти... | |||
7611. | Тиристоры. Общие сведения | 285.5 KB | |
Тиристоры. Общие сведения Тиристорами называют полупроводниковые приборы с тремя и более p-n-переходами, имеющие S-образную вольт-амперную характеристику. Устройство тиристора схематично показано на рис. 1. При изготовлении тиристора берут пластину... | |||
7612. | Классификация сигналов | 53 KB | |
Классификация сигналов Информация - это совокупность сведений об объектах или процессах, происходящих в природе, обществе или технических системах. Для передачи и хранения информации используют различные знаки, позволяющие представить ее в неко... | |||
7613. | Импульсные сигналы и их параметры | 73.5 KB | |
Импульсные сигналы и их параметры Под электрическим импульсом будем понимать кратковременное отклонение напряжения или тока от некоторого начального уровня. Импульсы постоянного тока или напряжения называют видеоимпульсами, в отличие от радиоимпульс... | |||
7614. | Электрическая цепь | 29 KB | |
Электрическая цепь Электрическая цепь - это совокупность различных устройств и соединяющих их проводников, образующих путь для электрического тока, в которой электромагнитные процессы могут быть описаны с помощью понятий ЭДС, напряжения и тока... | |||
7615. | Соединения элементов. Топологические элементы электрической цепи | 41.5 KB | |
Соединения элементов. Топологические элементы электрической цепи В зависимости от характера соединения элементов, различают неразветвленные и разветвленные цепи. В неразветвленной цепи через все элементы протекает один и то же ток. В разветвленных ц... | |||
7616. | Законы Кирхгофа. Система уравнений электрического равновесия цепи | 41.5 KB | |
Законы Кирхгофа. Система уравнений электрического равновесия цепи Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма мгновенных значений токов в узле равна нулю, при этом токи, втекающие в узел считают положительными, а вытекающие - отрицате... | |||
7617. | Классификация электрических цепей. Принцип наложения | 31.5 KB | |
Классификация электрических цепей. Принцип наложения Все электрические цепи можно разделить на цепи с сосредоточенными и распределенными параметрами. К цепям с сосредоточенными параметрами относят цепи, геометрическими размерами которых можно пренеб... | |||