19097

Связь системной функции с частотная характеристикой. Обратное Z-преобразование

Практическая работа

Физика

Лекция № 10. Связь системной функции с частотная характеристикой. Обратное Zпреобразование. Структурную схему дискретной системы можно составить либо по разностному уравнению либо с помощью системной передаточной функции. Применяя Zпреобразование к обеим частям ...

Русский

2013-07-11

214.5 KB

17 чел.

Лекция № 10.

Связь системной функции с частотная характеристикой.  Обратное Z-преобразование.

Структурную схему дискретной системы можно составить либо по разностному уравнению, либо с помощью системной (передаточной) функции. Применяя Z-преобразование к обеим частям разностного уравнения, получим выражение для системной функции:

                                                 (10.1)

Так как системная функция есть Z-преобразование от импульсной характеристики системы:                                                                               (10.2)

сравним это соотношение с выражением для частотного коэффициента передачи, которое также может выражаться через значения импульсной характеристики в соответствии с (8.10):          .                                                                  (10.3)

Очевидно, чтобы получить частотный коэффициент передач (частотную характеристику) дискретной системы из его системной функции, в последней нужно сделать подстановку:

.                                                                                       (10.4)

Этот результат согласуется ранее сделанными выводами, изложенными в лекции № 9.

Таким образом, имея разностное уравнение или структурную схему дискретной системы, не сложно определить ее системную функцию и частотный коэффициент передач.

Пример. Определить системную функцию рекурсивного фильтра второго порядка.

Решение. Введем для анализа промежуточный сигнал и запишем уравнения относительно двух сумматоров в форме разностных уравнений:

                                                      (10.5)

                                                                             (10.6)    

Применяя  Z-преобразование к уравнениям (10.5) и (10.6), получаем:

                                                    (10.7)

                                                                           (10.8)    

Следовательно,

                             (10.9)

и    

Разностные уравнения обычно определены при  и имеют набор начальных условий. Поэтому при решении практических задач обычно вводят одностороннее Z-преобразование, определяемое как

.                                                                                  (10.9)

Для многих сигналов свойства одностороннего Z-преобразования аналогичны свойствам  обычного Z-преобразования. Основным исключением является свойство, связанное со сдвигом (задержкой) сигналов. Так, задержка на один отсчет по-прежнему приводит к умножению одностороннего Z-преобразования на , но при этом необходимо учесть значения сигнала при , то есть начальные условия.

Обратное Z-преобразование.

В соответствии с (10.9) функция  определяет всю бесконечную совокупность отсчетов . Умножим обе части ряда  (10.9) на множитель :

,                                           (10.10)

а затем вычислим интегралы от обеих частей полученного равенства, взяв в качестве контура интегрирования замкнутую кривую, лежащую целиком в области аналитичности и охватывающую все полюса функции  . При этом воспользуемся теоремой Коши:

                                                                        (10.11)

Очевидно, интегралы от всех слагаемых правой части обратятся в нуль, за исключением слагаемого с номером .  Поэтому

,                                                  (10.12)

где  – замкнутый контур окружностью ,  – радиус сходимости .

Выражение  (10.12) называют обратным Z-преобразованием, оно позволяет найти  отсчеты  по Z-изображению . Обратное Z-преобразование существует только для таких функций , которые могут иметь лишь конечное число особых точек (полюсов), причем особенность в каждой из них является устранимой.

Существует несколько методов вычисления обратного Z-преобразования. Чаще всего пользуются теоремой о вычетах, согласно которой интеграл по замкнутому контуру от функции комплексного аргумента с точностью до множителя  равен сумме вычетов подынтегральной функции  в особых точках (полюсах ), охватываемых контуром интегрирования :

.                                            (10.13)

Определение вычетов связано с представлением  функции  в виде:

,                                                             (10.14)

где  является полюсом порядка .

Для нахождения вычетов используют следующие формулы:

  •  В случае простого (однократного) полюса, т.е. полюса с ,

         (10.15)

  •  В случае кратного полюса, т.е. полюса го порядка,евидно, интегралы от всех слагаемых правой части обратятся в нуль, за исключением слагаемого с номером

.                 (10.16)

Пример 1.  Определить по изображению отсчеты сигнала .

                Найдем подынтегральное выражение обратного  Z-преобразования:

.    

Функция  имеет один простой полюс в точке . В соответствии с (10.15)  получаем:

.

Пример 2.  Найти отсчеты сигнала  по его Z-изображению .

Подынтегральное выражение обратного Z-преобразования равно:

.

Функция  имеет один двукратный полюс .  В соответствии с (10.16) получаем:

      .

Вторым методом вычисления обратного Z-преобразования, применяемым на практике, является метод разложения функции  на простые дроби. Функцию  представляют в виде суммы элементарных дробей:

,                                                                   (10.17)

где – z-преобразование с одним простым полюсом. С учетом того, что каждое слагаемое  имеет обратное Z-преобразование вида , получаем:

                                                                    (10.18)

Пример 3. Вычислить обратное Z-преобразование функции .

Представим  в виде суммы простых дробей:

.

Из сопоставления вида полученных слагаемых с примерами Z-преобразований типовых дискретных сигналов (лекция 9) видно, что первое слагаемое соответствует единичному скачку с амплитудой, равной 2, а второе – дискретной показательной функции . Итак, искомая последовательность имеет вид:

.

PAGE  1

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

47742. Психотерапия и психологическое консультирование 20 KB
  Соотношение понятий психотерапия и психологическое консультирование обсуждается и в литературе. Так известный специалист в этой области Нельсон Джоунс рассматривает психологическое консультирование как психологический процесс ориентированный на профилактику и развитие. С его точки зрения консультирование преимущественно является коррекционным это обеспечивает выполнение профилактических функций.
47743. Финансовый менеджмент. Курс лекций 1.39 MB
  Методика финансового анализа деятельности предприятия Совокупный риск предприятия КРАТКОСРОЧНЫЕ ФИНАНСОВЫЕ РЕШЕНИЯ Управление кредиторской задолженностью ЦЕНОВАЯ ПОЛИТИКА ПРЕДПРИЯТИЯ Оценка рыночных условий и выбор модели ценовой политики предприятия
47744. Конструкции распылителей 323.5 KB
  Для S площади живого сечения клапанной щели в области min диаметров подрезка конуса распылителя или иглы Для автомобильной ТПА ЯЗДА иглы со ступенькой и обратной разностью конусов Позднее такие иглы в форсунках CR R. В распылителе с традиционной разностью конусов в результате смятия первичной линии контакта di уменьшается что увеличивает дифференциальную площадку иглы: и при той же силе пружины приводит к снижению Рфо. = относительное значение...
47745. Дизайн машин. Конспект лекций 205.5 KB
  Художник, общественный деятель Уильям Моррис (1834-1896) под влиянием идей Д. Рескина предпринял в Англии утопические попытки через движение за обновление искусств и ремесел вернуться к ремесленному производству
47746. Валютные операции и валютное регулирование 1.02 MB
  Валютная политика представляет собой совокупность мероприятий, проводимых ЦБ страны и другими государственными органами в сфере валютных отношений и денежного обращения, с конечной целью воздействия на экономику страны и покупательскую силу национальной валюты
47747. Художественные стилевые направления в искусстве 814 KB
  Греческий а затем и латинский язык произведения искусства мифология философия научные открытия стали неотъемлемой частью европейской а во многом и мировой культуры ее историей и географией. Характер античной культуры и античного искусства складывался стремительно Если в Египте в течение нескольких тысячелетий мы наблюдаем по сути дела неизменный образ жизни и мышления человека то Греция за несколько веков проделала...
47748. Понятие и предмет криминологии 1.44 MB
  Преступность в различных ее проявлениях включает: индивидуальное преступное поведение; отдельные виды преступности выделяемые по объекту посягательств экономическая государственная и т. в причины и условия преступности объединяемые родовым понятием криминогенные детерминанты представляют собой совокупность социально негативных экономических демографических идеологических социальнопсихологических политических организационноуправленческих явлений которые порождают и обусловливают детерминируют преступность как свое...
47750. Електричні властивості металів і сплавів і методи їх дослідження 95 KB
  Електричні властивості металів і сплавів і методи їх дослідження. Електроопір металів і сплавів його залежність від температури та структури сплавів. Природа електроопору металів. В основу вивчення електричних властивостей металів і сплавів покладено закон Ома де i це сила струму U напруга R електроопір.