19097

Связь системной функции с частотная характеристикой. Обратное Z-преобразование

Практическая работа

Физика

Лекция № 10. Связь системной функции с частотная характеристикой. Обратное Zпреобразование. Структурную схему дискретной системы можно составить либо по разностному уравнению либо с помощью системной передаточной функции. Применяя Zпреобразование к обеим частям ...

Русский

2013-07-11

214.5 KB

14 чел.

Лекция № 10.

Связь системной функции с частотная характеристикой.  Обратное Z-преобразование.

Структурную схему дискретной системы можно составить либо по разностному уравнению, либо с помощью системной (передаточной) функции. Применяя Z-преобразование к обеим частям разностного уравнения, получим выражение для системной функции:

                                                 (10.1)

Так как системная функция есть Z-преобразование от импульсной характеристики системы:                                                                               (10.2)

сравним это соотношение с выражением для частотного коэффициента передачи, которое также может выражаться через значения импульсной характеристики в соответствии с (8.10):          .                                                                  (10.3)

Очевидно, чтобы получить частотный коэффициент передач (частотную характеристику) дискретной системы из его системной функции, в последней нужно сделать подстановку:

.                                                                                       (10.4)

Этот результат согласуется ранее сделанными выводами, изложенными в лекции № 9.

Таким образом, имея разностное уравнение или структурную схему дискретной системы, не сложно определить ее системную функцию и частотный коэффициент передач.

Пример. Определить системную функцию рекурсивного фильтра второго порядка.

Решение. Введем для анализа промежуточный сигнал и запишем уравнения относительно двух сумматоров в форме разностных уравнений:

                                                      (10.5)

                                                                             (10.6)    

Применяя  Z-преобразование к уравнениям (10.5) и (10.6), получаем:

                                                    (10.7)

                                                                           (10.8)    

Следовательно,

                             (10.9)

и    

Разностные уравнения обычно определены при  и имеют набор начальных условий. Поэтому при решении практических задач обычно вводят одностороннее Z-преобразование, определяемое как

.                                                                                  (10.9)

Для многих сигналов свойства одностороннего Z-преобразования аналогичны свойствам  обычного Z-преобразования. Основным исключением является свойство, связанное со сдвигом (задержкой) сигналов. Так, задержка на один отсчет по-прежнему приводит к умножению одностороннего Z-преобразования на , но при этом необходимо учесть значения сигнала при , то есть начальные условия.

Обратное Z-преобразование.

В соответствии с (10.9) функция  определяет всю бесконечную совокупность отсчетов . Умножим обе части ряда  (10.9) на множитель :

,                                           (10.10)

а затем вычислим интегралы от обеих частей полученного равенства, взяв в качестве контура интегрирования замкнутую кривую, лежащую целиком в области аналитичности и охватывающую все полюса функции  . При этом воспользуемся теоремой Коши:

                                                                        (10.11)

Очевидно, интегралы от всех слагаемых правой части обратятся в нуль, за исключением слагаемого с номером .  Поэтому

,                                                  (10.12)

где  – замкнутый контур окружностью ,  – радиус сходимости .

Выражение  (10.12) называют обратным Z-преобразованием, оно позволяет найти  отсчеты  по Z-изображению . Обратное Z-преобразование существует только для таких функций , которые могут иметь лишь конечное число особых точек (полюсов), причем особенность в каждой из них является устранимой.

Существует несколько методов вычисления обратного Z-преобразования. Чаще всего пользуются теоремой о вычетах, согласно которой интеграл по замкнутому контуру от функции комплексного аргумента с точностью до множителя  равен сумме вычетов подынтегральной функции  в особых точках (полюсах ), охватываемых контуром интегрирования :

.                                            (10.13)

Определение вычетов связано с представлением  функции  в виде:

,                                                             (10.14)

где  является полюсом порядка .

Для нахождения вычетов используют следующие формулы:

  •  В случае простого (однократного) полюса, т.е. полюса с ,

         (10.15)

  •  В случае кратного полюса, т.е. полюса го порядка,евидно, интегралы от всех слагаемых правой части обратятся в нуль, за исключением слагаемого с номером

.                 (10.16)

Пример 1.  Определить по изображению отсчеты сигнала .

                Найдем подынтегральное выражение обратного  Z-преобразования:

.    

Функция  имеет один простой полюс в точке . В соответствии с (10.15)  получаем:

.

Пример 2.  Найти отсчеты сигнала  по его Z-изображению .

Подынтегральное выражение обратного Z-преобразования равно:

.

Функция  имеет один двукратный полюс .  В соответствии с (10.16) получаем:

      .

Вторым методом вычисления обратного Z-преобразования, применяемым на практике, является метод разложения функции  на простые дроби. Функцию  представляют в виде суммы элементарных дробей:

,                                                                   (10.17)

где – z-преобразование с одним простым полюсом. С учетом того, что каждое слагаемое  имеет обратное Z-преобразование вида , получаем:

                                                                    (10.18)

Пример 3. Вычислить обратное Z-преобразование функции .

Представим  в виде суммы простых дробей:

.

Из сопоставления вида полученных слагаемых с примерами Z-преобразований типовых дискретных сигналов (лекция 9) видно, что первое слагаемое соответствует единичному скачку с амплитудой, равной 2, а второе – дискретной показательной функции . Итак, искомая последовательность имеет вид:

.

PAGE  1

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80849. ОРГАНЫ ОБЩЕЙ КОМПЕТЕНЦИИ, ИХ ФУНКЦИИ И ПОЛНОМОЧИЯ 46.13 KB
  Государственный орган – организационно оформленная группа должностных лиц наделенная компетенцией и необходимыми средствами для осуществления управления. По виду компетенции выделяют: общая компетенция общие функции управления – Правительство РФ правительства и администрации субъектов РФ отраслевая компетенция по отрасли и сфере деятельности – министерства главные управления управления межотраслевая компетенция выполняют как правило общие функции государственного управления и на основе их реализации осуществляют межотраслевую...
80850. ОБЩЕСТВЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ КАК ОБЪЕКТ ГОСУДАРСТВЕННОГО УПРАВЛЕНИЯ 46.35 KB
  Управляемые объекты центр приложения массовых усилий общества поскольку именно ими создается все необходимое. В соответствии с основными сферами жизни общества управляемые объекты подразделяются на: экономические социальные и духовные политические. Социальные управляемые объекты осуществляют деятельность направленную на сохранение жизни и здоровья человека его физическое развитие организацию дошкольного школьного высшего и специального образования на создание жилищных коммунальных бытовых условий и поддержание других важных...
80851. РАЗГРАНИЧЕНИЕ ПРЕДМЕТОВ ВЕДЕНИЯ И ПОЛНОМОЧИЙ МЕЖДУ ОРГАНАМИ ГОСУДАРСТВЕННОЙ ВЛАСТИ РФ И ОРГАНАМИ ГОСУДАРСТВЕННОЙ ВЛАСТИ СУБЪЕКТОВ РФ 45.77 KB
  Обеспечение соответствия конституций и законов республик уставов законов и иных нормативных правовых актов краев областей городов федерального значения автономной области автономных округов Конституции РФ и федеральным законам; б защита прав и свобод человека и гражданина; в вопросы владения пользования и распоряжения землей недрами водными и другими природными ресурсами; г разграничение государственной собственности; д природопользование; охрана окружающей среды и обеспечение экологической безопасности; е общие вопросы...
80852. ОСНОВНЫЕ ФУНКЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЙ СОБСТВЕННОСТИ В СИСТЕМЕ ГОСУДАРСТВЕННОГО УПРАВЛЕНИЯ 43.95 KB
  Государственная собственность форма собственности при которой имущество в том числе средства и продукты производства принадлежит государству полностью либо на основе долевой или совместной собственности. Отличия ГС от других видов собственности: в ее анонимности – мы не знаем кому принадлежит ГС; в ее неделимости – она не персонализуется; усиление социальной функции ГС – социализация экономической сферы; преследование разных целей. Место и роль ГС ее функции: контроля государства за частью национального богатства ресурсов страны...
80853. ОСНОВНЫЕ МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ НАУЧНЫХ ШКОЛ ГОСУДАРСТВЕННОГО УПРАВЛЕНИЯ 50.68 KB
  Процесс управления состоит из четырех взаимосвязанных функций: планирования организации мотивации и контроля. Ситуационный подход концентрируется на том что пригодность различных методов управления определяется ситуацией. Друкера МВО; ситуационные теории методы управления меняются в зависимости от ситуации а поэтому менеджмент является ещё и искусством; теория 7S Т.
80854. ГОСУДАРСТВЕННОЕ УПРАВЛЕНИЕ: ПОНЯТИЕ, СПЕЦИФИКА, СООТНОШЕНИЕ С ДРУГИМИ ВИДАМИ УПРАВЛЕНЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ 44.71 KB
  Атаманчук Специфика государственного управления: Атамчук 1. Координация общественного труда в масштабе государственного управления. Деятельность практически выражается в разработке органами государственного управления программ управления установления основных направлений функций всех элементов системы оперативноруководящих связей налаживании оперативного контроля за системой. Управление это административная деятельность предполагающая подчинение объекта субъекту управления.
80855. СУБЪЕКТ, ОБЪЕКТ И МЕХАНИЗМ ГОСУДАРСТВЕННОГО УПРАВЛЕНИЯ 43.96 KB
  Атаманчук Система – совокупность элементов находящихся в отношениях и связях между собой и образующих определенную целостность и единство. Признаки системы: существует в окружающей среде и проявляется во взаимодействии с этой средой реагирует на изменения окружающей среды; состоит из элементов компонентов подсистем каждый из которых является относительно самостоятельным. система образуется не от суммы элементов а от целостности взаимопроникновения; система выполняет определенную цель; имеет структуру – внутреннюю форму строение;...
80856. ЦЕЛИ, ФУНКЦИИ И МЕТОДЫ ГОСУДАРСТВЕННОГО УПРАВЛЕНИЯ 47.06 KB
  Методы: а моральноидеологические социальнополитические экономические административные; б методы организационные административные и экономические. Методы: общие используемые для выполнения всех или основных функций управления регулирование общее руководство административные и экономические методы и специальные применяемые при осуществлении отдельных функций методы выработки и принятия УР. Административные методы реализуются путем прямого воздействия субъекта управления на объект управления.
80857. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ И ФУНКЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ В РФ 44.92 KB
  Государственная гражданская служба по законодательству Российской Федерации вид государственной службы представляющий собой профессиональную служебную деятельность граждан Российской Федерации на должностях государственной гражданской службы Российской Федерации по обеспечению исполнения полномочий федеральных государственных органов государственных органов субъектов Российской Федерации лиц замещающих государственные должности Российской Федерации и лиц замещающих государственные должности субъектов Российской Федерации включая...