19097

Связь системной функции с частотная характеристикой. Обратное Z-преобразование

Практическая работа

Физика

Лекция № 10. Связь системной функции с частотная характеристикой. Обратное Zпреобразование. Структурную схему дискретной системы можно составить либо по разностному уравнению либо с помощью системной передаточной функции. Применяя Zпреобразование к обеим частям ...

Русский

2013-07-11

214.5 KB

15 чел.

Лекция № 10.

Связь системной функции с частотная характеристикой.  Обратное Z-преобразование.

Структурную схему дискретной системы можно составить либо по разностному уравнению, либо с помощью системной (передаточной) функции. Применяя Z-преобразование к обеим частям разностного уравнения, получим выражение для системной функции:

                                                 (10.1)

Так как системная функция есть Z-преобразование от импульсной характеристики системы:                                                                               (10.2)

сравним это соотношение с выражением для частотного коэффициента передачи, которое также может выражаться через значения импульсной характеристики в соответствии с (8.10):          .                                                                  (10.3)

Очевидно, чтобы получить частотный коэффициент передач (частотную характеристику) дискретной системы из его системной функции, в последней нужно сделать подстановку:

.                                                                                       (10.4)

Этот результат согласуется ранее сделанными выводами, изложенными в лекции № 9.

Таким образом, имея разностное уравнение или структурную схему дискретной системы, не сложно определить ее системную функцию и частотный коэффициент передач.

Пример. Определить системную функцию рекурсивного фильтра второго порядка.

Решение. Введем для анализа промежуточный сигнал и запишем уравнения относительно двух сумматоров в форме разностных уравнений:

                                                      (10.5)

                                                                             (10.6)    

Применяя  Z-преобразование к уравнениям (10.5) и (10.6), получаем:

                                                    (10.7)

                                                                           (10.8)    

Следовательно,

                             (10.9)

и    

Разностные уравнения обычно определены при  и имеют набор начальных условий. Поэтому при решении практических задач обычно вводят одностороннее Z-преобразование, определяемое как

.                                                                                  (10.9)

Для многих сигналов свойства одностороннего Z-преобразования аналогичны свойствам  обычного Z-преобразования. Основным исключением является свойство, связанное со сдвигом (задержкой) сигналов. Так, задержка на один отсчет по-прежнему приводит к умножению одностороннего Z-преобразования на , но при этом необходимо учесть значения сигнала при , то есть начальные условия.

Обратное Z-преобразование.

В соответствии с (10.9) функция  определяет всю бесконечную совокупность отсчетов . Умножим обе части ряда  (10.9) на множитель :

,                                           (10.10)

а затем вычислим интегралы от обеих частей полученного равенства, взяв в качестве контура интегрирования замкнутую кривую, лежащую целиком в области аналитичности и охватывающую все полюса функции  . При этом воспользуемся теоремой Коши:

                                                                        (10.11)

Очевидно, интегралы от всех слагаемых правой части обратятся в нуль, за исключением слагаемого с номером .  Поэтому

,                                                  (10.12)

где  – замкнутый контур окружностью ,  – радиус сходимости .

Выражение  (10.12) называют обратным Z-преобразованием, оно позволяет найти  отсчеты  по Z-изображению . Обратное Z-преобразование существует только для таких функций , которые могут иметь лишь конечное число особых точек (полюсов), причем особенность в каждой из них является устранимой.

Существует несколько методов вычисления обратного Z-преобразования. Чаще всего пользуются теоремой о вычетах, согласно которой интеграл по замкнутому контуру от функции комплексного аргумента с точностью до множителя  равен сумме вычетов подынтегральной функции  в особых точках (полюсах ), охватываемых контуром интегрирования :

.                                            (10.13)

Определение вычетов связано с представлением  функции  в виде:

,                                                             (10.14)

где  является полюсом порядка .

Для нахождения вычетов используют следующие формулы:

  •  В случае простого (однократного) полюса, т.е. полюса с ,

         (10.15)

  •  В случае кратного полюса, т.е. полюса го порядка,евидно, интегралы от всех слагаемых правой части обратятся в нуль, за исключением слагаемого с номером

.                 (10.16)

Пример 1.  Определить по изображению отсчеты сигнала .

                Найдем подынтегральное выражение обратного  Z-преобразования:

.    

Функция  имеет один простой полюс в точке . В соответствии с (10.15)  получаем:

.

Пример 2.  Найти отсчеты сигнала  по его Z-изображению .

Подынтегральное выражение обратного Z-преобразования равно:

.

Функция  имеет один двукратный полюс .  В соответствии с (10.16) получаем:

      .

Вторым методом вычисления обратного Z-преобразования, применяемым на практике, является метод разложения функции  на простые дроби. Функцию  представляют в виде суммы элементарных дробей:

,                                                                   (10.17)

где – z-преобразование с одним простым полюсом. С учетом того, что каждое слагаемое  имеет обратное Z-преобразование вида , получаем:

                                                                    (10.18)

Пример 3. Вычислить обратное Z-преобразование функции .

Представим  в виде суммы простых дробей:

.

Из сопоставления вида полученных слагаемых с примерами Z-преобразований типовых дискретных сигналов (лекция 9) видно, что первое слагаемое соответствует единичному скачку с амплитудой, равной 2, а второе – дискретной показательной функции . Итак, искомая последовательность имеет вид:

.

PAGE  1

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20985. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПРИКЛАДНЫХ ПРОГРАММ С ПОМОЩЬЮ ТРАНСПОРТНЫХ ПРОТОКОЛОВ СЕТИ ИНТЕРНЕТ 74 KB
  dfm AnsiString NIK_server; TForm1 Form1; __fastcall TForm1::TForm1TComponent Owner : TFormOwner { ServerSocket1 Active=true; Memo1 Clear; Memo2 Clear; } void __fastcall TForm1::ServerSocket1ClientConnectTObject Sender TCustomWinSocket Socket { Memo1 Lines Add Клиент присоединился ; } ...
20986. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПРИКЛАДНЫХ ПРОГРАММ С ПОМОЩЬЮ ПРОТОКОЛОВ ЭЛЕКТРОННОЙ ПОЧТЫ И ПРОТОКОЛОВ ПРИКЛАДНОГО УРОВНЯ 353.5 KB
  None; } } ФУНКЦИИ ПРИЕМА ОТВЕТА ОТ СЕРВЕРА protected string Receive { string reply = ; byte[] buffer = new byte[1024]; int ret = socket.Receivebuffer; while ret 0 { reply = Encoding.GetStringbuffer 0 ret; if IsCompletereply break; ret = socket.Receivebuffer; } return reply; } protected bool IsCompletestring reply { string[] parts = reply.
20987. Знакомство с языком разметки html, серверным программированием на языке PHP, а также основой работы с СУБД 509.5 KB
  Основные задачи сайта: Популяризация сериала Звёздные врата́: Атланти́да в сети интернет. Решение задачи Для создания сайта распишем основные этапы: Этапы создания сайта: Построение будущей структуры сайта Заказ дизайна Вёрстка Интеграция с PHP Запуск сайта на сервере Реализация Построение будущей структуры сайта Регистрация и авторизация для использования функций сайта пользователь обязан зарегистрироваться используем базу данных Главная краткий экскурс в историю Актеры и герои список актеров используем базу данных...
20988. Взаимодействие прикладных программ с помощью транспортных протоколов сети Интернет 862.5 KB
  Необходимо создать приложение (клиент) , который мог бы отправлять сообщения серверу при помощи транспортных протоколов (TCP и UDP). Клиент должен содержать файлы настроек для возможности задания порта и IP адреса сервера.
20989. Разработка сайта 285.5 KB
  FTPHostHOST USER PASSWORD создается соединение с сервером file_dir file_name = os.splitFILE print 'try downlo ad s' FILE if host.isdirfile_dir and host.isfileFILE: проверяется существование файла print 'file is existing download to:' DEST_DIRfile_name host.
20990. Цифрові рекурсивні фільтри 81.21 KB
  КРЕМЕНЧУК 2011 Мета: одержання практичних навичок із синтезу рекурсивних фільтрів Завдання Визначити параметри рекурсивного фільтра відповідно до варіанту навести передавальну функцію фільтра комплексну та у zзображеннях рівняння сигналу на виході фільтра та побудувати частотні характеристики фільтра. Розрахунок РЦФ в пакеті Mathcad Вихідні дані Визначення нормованих цифрових частот: Визначення порядку фільтра Фільтр 21 порядку розрахувати важко тому візьмемо фільтр 4 порядку Визначення передавальної функції цифрового...
20991. Цифрові нерекурсивні фільтри 154.13 KB
  КРЕМЕНЧУК 2011 Мета: набуття практичних навичок із синтезу нерекурсивних фільтрів низької та високої частоти смугового та режекторного фільтрів. Порядок виконання роботи Реалізація фільтру низьких частот: Реалізація фільтру високих частот: Реалізація смугового фільтру: Реалізація режекторного фільтру: Висновок: На даній практичній роботі були здобуті практичні навички із синтезу нерекурсивних фільтрів низької та високої частоти смугового та режекторного фільтрів.
20992. Розробка цифрових нерекурсивних та рекурсивних фільтрів в LabVIEW 146.2 KB
  Розміщуємо на блокдіаграмі експрес ВП DFD. Classical Filter Design Functions → Addons → Digital Filter Design → Filter Design → DFD Classical Filter Design Функції → Додаткові → Проектування цифрових фільтрів → Проектування фільтрів → DFD Класична розробка фільтрів. Рисунок 1 Конфігурація FIR ФНЧ Розміщуємо на блокдіаграмі експрес ВП DFD Filter Analysis Аналіз фільтру Functions → Addons → Digital Filter Design → Filter Analysis → DFI Filter Analysis Функції → Додаткові → Проектування цифрових фільтрів → Аналіз фільтрів →...