19097

Связь системной функции с частотная характеристикой. Обратное Z-преобразование

Практическая работа

Физика

Лекция № 10. Связь системной функции с частотная характеристикой. Обратное Zпреобразование. Структурную схему дискретной системы можно составить либо по разностному уравнению либо с помощью системной передаточной функции. Применяя Zпреобразование к обеим частям ...

Русский

2013-07-11

214.5 KB

15 чел.

Лекция № 10.

Связь системной функции с частотная характеристикой.  Обратное Z-преобразование.

Структурную схему дискретной системы можно составить либо по разностному уравнению, либо с помощью системной (передаточной) функции. Применяя Z-преобразование к обеим частям разностного уравнения, получим выражение для системной функции:

                                                 (10.1)

Так как системная функция есть Z-преобразование от импульсной характеристики системы:                                                                               (10.2)

сравним это соотношение с выражением для частотного коэффициента передачи, которое также может выражаться через значения импульсной характеристики в соответствии с (8.10):          .                                                                  (10.3)

Очевидно, чтобы получить частотный коэффициент передач (частотную характеристику) дискретной системы из его системной функции, в последней нужно сделать подстановку:

.                                                                                       (10.4)

Этот результат согласуется ранее сделанными выводами, изложенными в лекции № 9.

Таким образом, имея разностное уравнение или структурную схему дискретной системы, не сложно определить ее системную функцию и частотный коэффициент передач.

Пример. Определить системную функцию рекурсивного фильтра второго порядка.

Решение. Введем для анализа промежуточный сигнал и запишем уравнения относительно двух сумматоров в форме разностных уравнений:

                                                      (10.5)

                                                                             (10.6)    

Применяя  Z-преобразование к уравнениям (10.5) и (10.6), получаем:

                                                    (10.7)

                                                                           (10.8)    

Следовательно,

                             (10.9)

и    

Разностные уравнения обычно определены при  и имеют набор начальных условий. Поэтому при решении практических задач обычно вводят одностороннее Z-преобразование, определяемое как

.                                                                                  (10.9)

Для многих сигналов свойства одностороннего Z-преобразования аналогичны свойствам  обычного Z-преобразования. Основным исключением является свойство, связанное со сдвигом (задержкой) сигналов. Так, задержка на один отсчет по-прежнему приводит к умножению одностороннего Z-преобразования на , но при этом необходимо учесть значения сигнала при , то есть начальные условия.

Обратное Z-преобразование.

В соответствии с (10.9) функция  определяет всю бесконечную совокупность отсчетов . Умножим обе части ряда  (10.9) на множитель :

,                                           (10.10)

а затем вычислим интегралы от обеих частей полученного равенства, взяв в качестве контура интегрирования замкнутую кривую, лежащую целиком в области аналитичности и охватывающую все полюса функции  . При этом воспользуемся теоремой Коши:

                                                                        (10.11)

Очевидно, интегралы от всех слагаемых правой части обратятся в нуль, за исключением слагаемого с номером .  Поэтому

,                                                  (10.12)

где  – замкнутый контур окружностью ,  – радиус сходимости .

Выражение  (10.12) называют обратным Z-преобразованием, оно позволяет найти  отсчеты  по Z-изображению . Обратное Z-преобразование существует только для таких функций , которые могут иметь лишь конечное число особых точек (полюсов), причем особенность в каждой из них является устранимой.

Существует несколько методов вычисления обратного Z-преобразования. Чаще всего пользуются теоремой о вычетах, согласно которой интеграл по замкнутому контуру от функции комплексного аргумента с точностью до множителя  равен сумме вычетов подынтегральной функции  в особых точках (полюсах ), охватываемых контуром интегрирования :

.                                            (10.13)

Определение вычетов связано с представлением  функции  в виде:

,                                                             (10.14)

где  является полюсом порядка .

Для нахождения вычетов используют следующие формулы:

  •  В случае простого (однократного) полюса, т.е. полюса с ,

         (10.15)

  •  В случае кратного полюса, т.е. полюса го порядка,евидно, интегралы от всех слагаемых правой части обратятся в нуль, за исключением слагаемого с номером

.                 (10.16)

Пример 1.  Определить по изображению отсчеты сигнала .

                Найдем подынтегральное выражение обратного  Z-преобразования:

.    

Функция  имеет один простой полюс в точке . В соответствии с (10.15)  получаем:

.

Пример 2.  Найти отсчеты сигнала  по его Z-изображению .

Подынтегральное выражение обратного Z-преобразования равно:

.

Функция  имеет один двукратный полюс .  В соответствии с (10.16) получаем:

      .

Вторым методом вычисления обратного Z-преобразования, применяемым на практике, является метод разложения функции  на простые дроби. Функцию  представляют в виде суммы элементарных дробей:

,                                                                   (10.17)

где – z-преобразование с одним простым полюсом. С учетом того, что каждое слагаемое  имеет обратное Z-преобразование вида , получаем:

                                                                    (10.18)

Пример 3. Вычислить обратное Z-преобразование функции .

Представим  в виде суммы простых дробей:

.

Из сопоставления вида полученных слагаемых с примерами Z-преобразований типовых дискретных сигналов (лекция 9) видно, что первое слагаемое соответствует единичному скачку с амплитудой, равной 2, а второе – дискретной показательной функции . Итак, искомая последовательность имеет вид:

.

PAGE  1

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

3744. Мировые масштабы и направления потоков интеллектуальной миграции 53 KB
  Мировые масштабы и направления потоков интеллектуальной миграции По оценкам, к началу третьего тысячелетия в мире насчитывалось около 168 млн. иммигрантов, из которых не менее половины были нелегалами. По данным МОТ, в конце 90-х годов общее число...
3745. Вознаграждение персонала и другие меры поощрения 157 KB
  Стимулирование работы сотрудников осуществляется на двух уровнях. Первый уровень - это стимулирование каждого работника, а второй - стимулирование всего коллектива работников. На том и другом уровне управляющий должен определить, каков долж...
3746. Допуск членов экипажей к полётам 26.5 KB
  Допуск членов экипажей к полётам. Члены экипажей ВС могут быть допущены к самостоятельному выполнению заданий при условии: наличия пилотского свидетельства (лицензии пилота) соблюдения режима предполётного отдыха соблюдения норм лё...
3747. Туберкульоз та його профілактика 69 KB
  Проблема раннього, виявлення туберкульозу полягає у відсутності характерних, достовірних, кілінічних симптомів хвороби. Через те, що паренхіма легень не має больових нервових рецепторів, наявність специфічного інфільтрату в ній не викликає болі.
3748. Влияние низких температур на работоспособность сварных соединений 96.5 KB
  Свойства низкоуглеродистых и низколегированных сталей, а также сварных соединений из них наиболее заметно изменяются при понижении температуры. При испытании гладких образцов из этих сталей пределы текучести, прочности и выносливости повышаются, а о...
3749. Механизация земляных работ в строительстве 463 KB
  Земляные работы выполняются при строительстве любых зданий и сооружений. В состав земляных работ входят: вертикальная планировка площадок, разработка котлованов и траншей, обратная засыпка грунта, сооружение дамб, каналов, а в отдельн...
3750. Трудовая мобильность в организации на примере МУСПАТ по уборке г. Липецка 126 KB
  Введение Существуют социальные процессы, изменяющие место индивида или группы в пространстве или социальной структуре трудового коллектива. Это стихийные процессы текучести кадров и управляемые процессы трудовой мобильности, в первую очередь социаль...
3751. Тоталитаризм как форма политического режима 130 KB
  При рассмотрении политической системы какого-либо государства или общества не следует ограничиваться лишь официально провозглашенными и действующими в нем институтами и правовыми нормами, конституционными актами, т.е. тем, что "заявляет" о ...
3752. Территориальное общественное самоуправление как форма непосредственной демократии на примере ТОС в г. Биробиджан 256 KB
  Признав в 1993 году местное самоуправление в качестве одной из основ конституционного строя, установив его самостоятельность в обеспечении жизнедеятельности населения, Конституция России положила начало огромной и чрезвычайно сложной законо...