19097

Связь системной функции с частотная характеристикой. Обратное Z-преобразование

Практическая работа

Физика

Лекция № 10. Связь системной функции с частотная характеристикой. Обратное Zпреобразование. Структурную схему дискретной системы можно составить либо по разностному уравнению либо с помощью системной передаточной функции. Применяя Zпреобразование к обеим частям ...

Русский

2013-07-11

214.5 KB

14 чел.

Лекция № 10.

Связь системной функции с частотная характеристикой.  Обратное Z-преобразование.

Структурную схему дискретной системы можно составить либо по разностному уравнению, либо с помощью системной (передаточной) функции. Применяя Z-преобразование к обеим частям разностного уравнения, получим выражение для системной функции:

                                                 (10.1)

Так как системная функция есть Z-преобразование от импульсной характеристики системы:                                                                               (10.2)

сравним это соотношение с выражением для частотного коэффициента передачи, которое также может выражаться через значения импульсной характеристики в соответствии с (8.10):          .                                                                  (10.3)

Очевидно, чтобы получить частотный коэффициент передач (частотную характеристику) дискретной системы из его системной функции, в последней нужно сделать подстановку:

.                                                                                       (10.4)

Этот результат согласуется ранее сделанными выводами, изложенными в лекции № 9.

Таким образом, имея разностное уравнение или структурную схему дискретной системы, не сложно определить ее системную функцию и частотный коэффициент передач.

Пример. Определить системную функцию рекурсивного фильтра второго порядка.

Решение. Введем для анализа промежуточный сигнал и запишем уравнения относительно двух сумматоров в форме разностных уравнений:

                                                      (10.5)

                                                                             (10.6)    

Применяя  Z-преобразование к уравнениям (10.5) и (10.6), получаем:

                                                    (10.7)

                                                                           (10.8)    

Следовательно,

                             (10.9)

и    

Разностные уравнения обычно определены при  и имеют набор начальных условий. Поэтому при решении практических задач обычно вводят одностороннее Z-преобразование, определяемое как

.                                                                                  (10.9)

Для многих сигналов свойства одностороннего Z-преобразования аналогичны свойствам  обычного Z-преобразования. Основным исключением является свойство, связанное со сдвигом (задержкой) сигналов. Так, задержка на один отсчет по-прежнему приводит к умножению одностороннего Z-преобразования на , но при этом необходимо учесть значения сигнала при , то есть начальные условия.

Обратное Z-преобразование.

В соответствии с (10.9) функция  определяет всю бесконечную совокупность отсчетов . Умножим обе части ряда  (10.9) на множитель :

,                                           (10.10)

а затем вычислим интегралы от обеих частей полученного равенства, взяв в качестве контура интегрирования замкнутую кривую, лежащую целиком в области аналитичности и охватывающую все полюса функции  . При этом воспользуемся теоремой Коши:

                                                                        (10.11)

Очевидно, интегралы от всех слагаемых правой части обратятся в нуль, за исключением слагаемого с номером .  Поэтому

,                                                  (10.12)

где  – замкнутый контур окружностью ,  – радиус сходимости .

Выражение  (10.12) называют обратным Z-преобразованием, оно позволяет найти  отсчеты  по Z-изображению . Обратное Z-преобразование существует только для таких функций , которые могут иметь лишь конечное число особых точек (полюсов), причем особенность в каждой из них является устранимой.

Существует несколько методов вычисления обратного Z-преобразования. Чаще всего пользуются теоремой о вычетах, согласно которой интеграл по замкнутому контуру от функции комплексного аргумента с точностью до множителя  равен сумме вычетов подынтегральной функции  в особых точках (полюсах ), охватываемых контуром интегрирования :

.                                            (10.13)

Определение вычетов связано с представлением  функции  в виде:

,                                                             (10.14)

где  является полюсом порядка .

Для нахождения вычетов используют следующие формулы:

  •  В случае простого (однократного) полюса, т.е. полюса с ,

         (10.15)

  •  В случае кратного полюса, т.е. полюса го порядка,евидно, интегралы от всех слагаемых правой части обратятся в нуль, за исключением слагаемого с номером

.                 (10.16)

Пример 1.  Определить по изображению отсчеты сигнала .

                Найдем подынтегральное выражение обратного  Z-преобразования:

.    

Функция  имеет один простой полюс в точке . В соответствии с (10.15)  получаем:

.

Пример 2.  Найти отсчеты сигнала  по его Z-изображению .

Подынтегральное выражение обратного Z-преобразования равно:

.

Функция  имеет один двукратный полюс .  В соответствии с (10.16) получаем:

      .

Вторым методом вычисления обратного Z-преобразования, применяемым на практике, является метод разложения функции  на простые дроби. Функцию  представляют в виде суммы элементарных дробей:

,                                                                   (10.17)

где – z-преобразование с одним простым полюсом. С учетом того, что каждое слагаемое  имеет обратное Z-преобразование вида , получаем:

                                                                    (10.18)

Пример 3. Вычислить обратное Z-преобразование функции .

Представим  в виде суммы простых дробей:

.

Из сопоставления вида полученных слагаемых с примерами Z-преобразований типовых дискретных сигналов (лекция 9) видно, что первое слагаемое соответствует единичному скачку с амплитудой, равной 2, а второе – дискретной показательной функции . Итак, искомая последовательность имеет вид:

.

PAGE  1

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

62778. Правила переноса слов 14.71 KB
  Актуализация изученного Прочитайте слова на доске Сосна ванна майка объявил Объясните орфограммы объясняют О ком эта загадка читает загадку о собаке Это о собаке Напишу слово собака на строке продолжает запись.
62779. Второстепенные члены предложения. Обстоятельства и дополнения 23.58 KB
  Давайте запишем это слово проговаривая его по слогам а говори вслух. Давайте придумаем предложение с этим словом. Дети говорят свои варианты У: Давайте запишем такие предложения...
62780. Главные члены двусоставного предложения. Подлежащее 16.34 KB
  Целеполагание. Определяют учащиеся, опираясь на тему урока. Работа со словарным словом: рябина. Устная проверка домашнего задания. Прочесть вслух 2–3 сочинения-описания архитектурного памятника по желанию учащихся.
62781. Правописание разделительного Ь в словах 25.01 KB
  Я буду задавать вам трудные вопросы и хочу услышать от вас умные четкие ответы.Я раздаю вам тесты вы отвечаете на них выбрав из предложенных правильный ответ. Отмечаются верные ответы.
62782. Состав слова. Обобщающий урок 16.84 KB
  Чтобы дать командам названия ответьте на вопросы: Какие части слова знаете Что такое приставка Что такое корень Что такое суффикс Что такое окончание Итак название 1 команды корень 2 суффикс 3 окончание. 1 команда: лечить лечение лекарство лекарь.
62783. Наблюдаем за изменениями слов 18.28 KB
  Задачи: Образовательная: познакомить с изменением названий предметов по числам; Развивающая: развивать умение громко рассуждать и доказывать; Воспитывающая: воспитывать интерес любовь и уважение к родному языку.
62784. Протест против «футлярной жизни» в «маленькой трилогии» А.П.Чехова 15.92 KB
  Оборудование: Портрет Чехова с надписью Его врагом была пошлость. Чехова не всегда легко понять если не помнишь жизненной позиции писателя который был строг прежде всего к себе. Горького горячее желание видеть людей простыми красивыми и гармоничными...
62786. Рвана аплікація: Гроно калини 16.83 KB
  Якого кольору листочки у калини зеленого А ягідки якого кольору червоного Як ви розумієте вислів Похолоднішало риба не ловиться калина у цвіт вбирається. Як ви розумієте вислів Без верби та калини нема України. Сьогодні ми з вами робитимемо рвану аплікацію Гроно калини.