19097

Связь системной функции с частотная характеристикой. Обратное Z-преобразование

Практическая работа

Физика

Лекция № 10. Связь системной функции с частотная характеристикой. Обратное Zпреобразование. Структурную схему дискретной системы можно составить либо по разностному уравнению либо с помощью системной передаточной функции. Применяя Zпреобразование к обеим частям ...

Русский

2013-07-11

214.5 KB

15 чел.

Лекция № 10.

Связь системной функции с частотная характеристикой.  Обратное Z-преобразование.

Структурную схему дискретной системы можно составить либо по разностному уравнению, либо с помощью системной (передаточной) функции. Применяя Z-преобразование к обеим частям разностного уравнения, получим выражение для системной функции:

                                                 (10.1)

Так как системная функция есть Z-преобразование от импульсной характеристики системы:                                                                               (10.2)

сравним это соотношение с выражением для частотного коэффициента передачи, которое также может выражаться через значения импульсной характеристики в соответствии с (8.10):          .                                                                  (10.3)

Очевидно, чтобы получить частотный коэффициент передач (частотную характеристику) дискретной системы из его системной функции, в последней нужно сделать подстановку:

.                                                                                       (10.4)

Этот результат согласуется ранее сделанными выводами, изложенными в лекции № 9.

Таким образом, имея разностное уравнение или структурную схему дискретной системы, не сложно определить ее системную функцию и частотный коэффициент передач.

Пример. Определить системную функцию рекурсивного фильтра второго порядка.

Решение. Введем для анализа промежуточный сигнал и запишем уравнения относительно двух сумматоров в форме разностных уравнений:

                                                      (10.5)

                                                                             (10.6)    

Применяя  Z-преобразование к уравнениям (10.5) и (10.6), получаем:

                                                    (10.7)

                                                                           (10.8)    

Следовательно,

                             (10.9)

и    

Разностные уравнения обычно определены при  и имеют набор начальных условий. Поэтому при решении практических задач обычно вводят одностороннее Z-преобразование, определяемое как

.                                                                                  (10.9)

Для многих сигналов свойства одностороннего Z-преобразования аналогичны свойствам  обычного Z-преобразования. Основным исключением является свойство, связанное со сдвигом (задержкой) сигналов. Так, задержка на один отсчет по-прежнему приводит к умножению одностороннего Z-преобразования на , но при этом необходимо учесть значения сигнала при , то есть начальные условия.

Обратное Z-преобразование.

В соответствии с (10.9) функция  определяет всю бесконечную совокупность отсчетов . Умножим обе части ряда  (10.9) на множитель :

,                                           (10.10)

а затем вычислим интегралы от обеих частей полученного равенства, взяв в качестве контура интегрирования замкнутую кривую, лежащую целиком в области аналитичности и охватывающую все полюса функции  . При этом воспользуемся теоремой Коши:

                                                                        (10.11)

Очевидно, интегралы от всех слагаемых правой части обратятся в нуль, за исключением слагаемого с номером .  Поэтому

,                                                  (10.12)

где  – замкнутый контур окружностью ,  – радиус сходимости .

Выражение  (10.12) называют обратным Z-преобразованием, оно позволяет найти  отсчеты  по Z-изображению . Обратное Z-преобразование существует только для таких функций , которые могут иметь лишь конечное число особых точек (полюсов), причем особенность в каждой из них является устранимой.

Существует несколько методов вычисления обратного Z-преобразования. Чаще всего пользуются теоремой о вычетах, согласно которой интеграл по замкнутому контуру от функции комплексного аргумента с точностью до множителя  равен сумме вычетов подынтегральной функции  в особых точках (полюсах ), охватываемых контуром интегрирования :

.                                            (10.13)

Определение вычетов связано с представлением  функции  в виде:

,                                                             (10.14)

где  является полюсом порядка .

Для нахождения вычетов используют следующие формулы:

  •  В случае простого (однократного) полюса, т.е. полюса с ,

         (10.15)

  •  В случае кратного полюса, т.е. полюса го порядка,евидно, интегралы от всех слагаемых правой части обратятся в нуль, за исключением слагаемого с номером

.                 (10.16)

Пример 1.  Определить по изображению отсчеты сигнала .

                Найдем подынтегральное выражение обратного  Z-преобразования:

.    

Функция  имеет один простой полюс в точке . В соответствии с (10.15)  получаем:

.

Пример 2.  Найти отсчеты сигнала  по его Z-изображению .

Подынтегральное выражение обратного Z-преобразования равно:

.

Функция  имеет один двукратный полюс .  В соответствии с (10.16) получаем:

      .

Вторым методом вычисления обратного Z-преобразования, применяемым на практике, является метод разложения функции  на простые дроби. Функцию  представляют в виде суммы элементарных дробей:

,                                                                   (10.17)

где – z-преобразование с одним простым полюсом. С учетом того, что каждое слагаемое  имеет обратное Z-преобразование вида , получаем:

                                                                    (10.18)

Пример 3. Вычислить обратное Z-преобразование функции .

Представим  в виде суммы простых дробей:

.

Из сопоставления вида полученных слагаемых с примерами Z-преобразований типовых дискретных сигналов (лекция 9) видно, что первое слагаемое соответствует единичному скачку с амплитудой, равной 2, а второе – дискретной показательной функции . Итак, искомая последовательность имеет вид:

.

PAGE  1

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

59511. Виховний захід: Як Батьківщина й сонечко над нами, отак і мама на землі одна 68.5 KB
  Адже тільки мати була є і залишається для нас живим символом рідного дому рідної землі. Стоїть на землі мати вища й найсвятіша від усіх богинь. Стоїть мати і молиться за народ за своїх синів і дочок за нас з вами і перші слова її молитви...
59512. Шкідливі звички – шлях у безодню 66.5 KB
  Обладнання та оформлення: технічні засоби навчання учнівські реферати брошури книги плакати записи на дошці; Бережи одяг доки новий а здоровя доки молодий. Не піддавайся шкідливій звичці...
59513. Його величність хліб (сценарій позакласного заходу) 98.5 KB
  Його величність хліб. Познайомити з історією вирощування хліба з народними традиціями повязаними з хлібом. Виховувати шанобливе ставлення до хліба повагу до праці хлібороба.
59514. Люблю тебе, всім серцем і душею, моя ти рідна Україно 60 KB
  Повези мене батьку на Україну Хай весною почую спів соловя Повези мене батьку за свою Батьківщину Де зелені Карпати домівка твоя. Повези повези де зелені Карати Домівка твоя. Повези мене батьку на Україну Щоби літом побачить пшеничні поля Повези мене батьку на свою батьківщину...
59515. Геній Івана Франка 70.5 KB
  Ведучий. Мабуть, твори Івана Франка народилися з пилинки вогню. Незбагненна клітинка божественного пломеню, «правдива іскра Прометея», залетіла з батьківського ковадла ще в дитяче серце поета, вибухнула вулканом любові до праці, до правди, до свободи...
59516. Як ми знаємо творчість Т.Г.Шевченка 70.5 KB
  Добрий день юні шанувальники творчості Кобзаря дорогі глядачі вболівальники судді Сьогодні ми присутні з вами на конкурсі знавців творчості Тараса Григоровича Шевченка. Кожна команда повинна за 10 хвилин розповісти про Тараса Шевченка...
59517. Свято Андрія 43 KB
  Добрий вечір хазяєчко А чи можна до вас на вечорниці Господиня: Заходьте заходьте дівчата. 2 Дівчина. Чули щось грюкнуло за дверима 3 Дівчина. Всі: Дівчаточка відпустіть мене Що хочете зроблю будьяке бажання виконаю 1 Дівчина: Відгадай загадку...
59518. Палац культурної людини (мовний етикет) 53.5 KB
  Обладнання: Картки правил поведінки; картки завдань для команд; музика; картина. Продовжувати мандрівку від однієї зупинки до іншої можна тільки тоді коли чергова команда виконає всі завдання зупинки.
59519. Виготовлення новорічних ялинкових прикрас (гірлянди “Сніговики”, “Ялинки”, “Дзвоники”, “Зірочки”) 54 KB
  Організація дітей до роботи Привітання Сьогодні до нас на заняття діти завітали гості. Вступна бесіда Чи вірите ви діти у дива Відповідь учнів Я запитала про дива саме тому бо сьогоднішнє заняття наше буде незвичайним. Ми діти знаємо що в передноворічні...