19097

Связь системной функции с частотная характеристикой. Обратное Z-преобразование

Практическая работа

Физика

Лекция № 10. Связь системной функции с частотная характеристикой. Обратное Zпреобразование. Структурную схему дискретной системы можно составить либо по разностному уравнению либо с помощью системной передаточной функции. Применяя Zпреобразование к обеим частям ...

Русский

2013-07-11

214.5 KB

15 чел.

Лекция № 10.

Связь системной функции с частотная характеристикой.  Обратное Z-преобразование.

Структурную схему дискретной системы можно составить либо по разностному уравнению, либо с помощью системной (передаточной) функции. Применяя Z-преобразование к обеим частям разностного уравнения, получим выражение для системной функции:

                                                 (10.1)

Так как системная функция есть Z-преобразование от импульсной характеристики системы:                                                                               (10.2)

сравним это соотношение с выражением для частотного коэффициента передачи, которое также может выражаться через значения импульсной характеристики в соответствии с (8.10):          .                                                                  (10.3)

Очевидно, чтобы получить частотный коэффициент передач (частотную характеристику) дискретной системы из его системной функции, в последней нужно сделать подстановку:

.                                                                                       (10.4)

Этот результат согласуется ранее сделанными выводами, изложенными в лекции № 9.

Таким образом, имея разностное уравнение или структурную схему дискретной системы, не сложно определить ее системную функцию и частотный коэффициент передач.

Пример. Определить системную функцию рекурсивного фильтра второго порядка.

Решение. Введем для анализа промежуточный сигнал и запишем уравнения относительно двух сумматоров в форме разностных уравнений:

                                                      (10.5)

                                                                             (10.6)    

Применяя  Z-преобразование к уравнениям (10.5) и (10.6), получаем:

                                                    (10.7)

                                                                           (10.8)    

Следовательно,

                             (10.9)

и    

Разностные уравнения обычно определены при  и имеют набор начальных условий. Поэтому при решении практических задач обычно вводят одностороннее Z-преобразование, определяемое как

.                                                                                  (10.9)

Для многих сигналов свойства одностороннего Z-преобразования аналогичны свойствам  обычного Z-преобразования. Основным исключением является свойство, связанное со сдвигом (задержкой) сигналов. Так, задержка на один отсчет по-прежнему приводит к умножению одностороннего Z-преобразования на , но при этом необходимо учесть значения сигнала при , то есть начальные условия.

Обратное Z-преобразование.

В соответствии с (10.9) функция  определяет всю бесконечную совокупность отсчетов . Умножим обе части ряда  (10.9) на множитель :

,                                           (10.10)

а затем вычислим интегралы от обеих частей полученного равенства, взяв в качестве контура интегрирования замкнутую кривую, лежащую целиком в области аналитичности и охватывающую все полюса функции  . При этом воспользуемся теоремой Коши:

                                                                        (10.11)

Очевидно, интегралы от всех слагаемых правой части обратятся в нуль, за исключением слагаемого с номером .  Поэтому

,                                                  (10.12)

где  – замкнутый контур окружностью ,  – радиус сходимости .

Выражение  (10.12) называют обратным Z-преобразованием, оно позволяет найти  отсчеты  по Z-изображению . Обратное Z-преобразование существует только для таких функций , которые могут иметь лишь конечное число особых точек (полюсов), причем особенность в каждой из них является устранимой.

Существует несколько методов вычисления обратного Z-преобразования. Чаще всего пользуются теоремой о вычетах, согласно которой интеграл по замкнутому контуру от функции комплексного аргумента с точностью до множителя  равен сумме вычетов подынтегральной функции  в особых точках (полюсах ), охватываемых контуром интегрирования :

.                                            (10.13)

Определение вычетов связано с представлением  функции  в виде:

,                                                             (10.14)

где  является полюсом порядка .

Для нахождения вычетов используют следующие формулы:

  •  В случае простого (однократного) полюса, т.е. полюса с ,

         (10.15)

  •  В случае кратного полюса, т.е. полюса го порядка,евидно, интегралы от всех слагаемых правой части обратятся в нуль, за исключением слагаемого с номером

.                 (10.16)

Пример 1.  Определить по изображению отсчеты сигнала .

                Найдем подынтегральное выражение обратного  Z-преобразования:

.    

Функция  имеет один простой полюс в точке . В соответствии с (10.15)  получаем:

.

Пример 2.  Найти отсчеты сигнала  по его Z-изображению .

Подынтегральное выражение обратного Z-преобразования равно:

.

Функция  имеет один двукратный полюс .  В соответствии с (10.16) получаем:

      .

Вторым методом вычисления обратного Z-преобразования, применяемым на практике, является метод разложения функции  на простые дроби. Функцию  представляют в виде суммы элементарных дробей:

,                                                                   (10.17)

где – z-преобразование с одним простым полюсом. С учетом того, что каждое слагаемое  имеет обратное Z-преобразование вида , получаем:

                                                                    (10.18)

Пример 3. Вычислить обратное Z-преобразование функции .

Представим  в виде суммы простых дробей:

.

Из сопоставления вида полученных слагаемых с примерами Z-преобразований типовых дискретных сигналов (лекция 9) видно, что первое слагаемое соответствует единичному скачку с амплитудой, равной 2, а второе – дискретной показательной функции . Итак, искомая последовательность имеет вид:

.

PAGE  1

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

21295. Мета та завдання дисципліни 88.5 KB
  CASEтехнологія являє собою методологію проектування ІС а також набір інструментальних засобів що дозволяють в наочній формі моделювати предметну область аналізувати цю модель на всіх етапах розробки і супроводу ІС і розробляти програми відповідно до інформаційними потребами користувачів. Поняття моделі та моделювання Модель це об'єкт або опис об'єкта системи для заміщення однієї системи оригіналу іншою системою для кращого вивчення оригіналу або відтворення будьяких його властивостей. Слово модель лат. При моделюванні...
21296. Діаграма варіантів використання (use case diagram) 504 KB
  Діаграма варіантів використання use case diagram Вступ Візуальне моделювання в UML можна уявити як певний процес поуровневого спуску від найбільш обший і абстрактної концептуальної моделі вихідної системи до логічної а потім і до фізичної моделі відповідної програмної системи. Для досягнення цих цілей спочатку будується модель у формі так званої діаграми варіантів використання use case diagram яка описує функціональне призначення системи або іншими словами те що система буде робити в процесі свого функціонування. Діаграма...
21297. Життєвий цикл програмного забезпечення 1.58 MB
  Життєвий цикл програмного забезпечення Одним з базових понять методології проектування ІВ є поняття життєвого циклу її програмного забезпечення ЖЦ ПЗ. Структура ЖЦ ПЗ за стандартом ISO IEC базується на трьох групах процесів: основні процеси ЖЦ ПЗ придбання поставка розробка експлуатація супровід; допоміжні процеси які забезпечують виконання основних процесів документування управління конфігурацією атестація оцінка аудит рішення проблем; організаційні процеси управління проектами створення інфраструктури проекту...
21298. Моделювання за допомогою методу Баркера 243 KB
  З їх допомогою визначаються важливі для предметної області об'єкти сутності їх властивості атрибути і відношення один з одним зв'язки. Графічне зображення сутності Кожна сутність повинна мати унікальний ідентифікатор. Кожен екземпляр сутності повинен однозначно ідентифікуватися і відрізнятися від всіх інших примірників даного типу сутності. Одна і та ж інтерпретація не може застосовуватися до різних імен якщо тільки вони не є псевдонімами; володіє одним або декількома атрибутами які або належать сутності або успадковуються через...
21299. Діаграми класів 160.5 KB
  При цьому можливе використання графічних зображень для асоціацій та їх специфічних властивостей таких як відношення агрегації коли складовими частинами класу можуть виступати інші класи. У цих розділах можуть зазначатися ім'я класу атрибути змінні та операції методи.1 Графічне зображення класу на діаграмі класів Обов'язковим елементом позначення класу є його ім'я. На початкових етапах розробки діаграми окремі класи можуть позначатися простим прямокутником із зазначенням тільки імені відповідного класу рис.
21300. Технології та інструментальні засоби проектування 62.5 KB
  Інструментальні засоби моделювання та проектування інформаційних систем Технології та інструментальні засоби проектування Технології та інструментальні засоби проектування CASEзасоби Computer Aided System Engineering складають основу проекту будьякої інформаційної системи. Методологія реалізується через конкретні технології та підтримують їх стандарти методики та інструментальні засоби які забезпечують виконання процесів життєвого циклу. Особливостями сучасних CASEзасобів є наочні графічні інструменти для створення моделей...
21301. Основы проектирования операционной части АЛУ 273.5 KB
  Рассмотрим все возможные комбинации знаков чисел и действий и сделаем ряд преобразований так чтобы знак результата совпадал со знаком первого операнда: 1. При отсутствии переноса из старшего разряда для представления результата в прямом коде все разряды результата включая знаковый инвертируется и к младшему разряду прибавляется единица. В блок схеме используются два типа блоков: Блоки выполнения действия над значениями исходных переменных с присваиванием результата новым переменным или одной из старых. В минимальном варианте операционная...
21302. Параллельная обработка данных 233.21 KB
  Автоматическое обнаружение параллелизма. Степень и уровни параллелизма. Виды параллелизма. Производительность параллельных ВС зависит от многих факторов и в значительной степени от архитектуры и структуры системы рисовать структуру параллельной системы и объяснять: от степени и уровня параллелизма в системе; от организации передачи данных между параллельно работающими процессорами; от системы коммутации; от взаимодействия процессоров и памяти; от соотношения между аппаратной и программной реализацией макрооперации.
21303. Структурная организация систем обработки данных 156.5 KB
  Организация систем вводавывода. Структура и функции системы вводавывода. Канал вводавывода. Способы организации системы вводаввода.