19098

Цифровая обработка сигналов в частотной области. Дискретное преобразование Фурье

Практическая работа

Физика

Лекция № 11. Цифровая обработка сигналов в частотной области. Дискретное преобразование Фурье. Дискретное преобразование Фурье ДПФ относится к классу основных преобразований при цифровой обработке сигналов. Дискретное преобразование Фурье по возможности вычисляе

Русский

2013-07-11

198 KB

42 чел.

Лекция № 11.

Цифровая обработка сигналов в частотной области. Дискретное преобразование Фурье.

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) относится к классу основных преобразований при цифровой обработке сигналов. Дискретное преобразование Фурье, по возможности вычисляемое быстрыми методами, лежит в основе различных технологий спектрального анализа.

Известно, что при дискретизации аналогового сигнала его спектр становится периодическим с периодом повторения, равным частоте дискретизации . С другой стороны, дискретному спектру должен соответствовать периодический сигнал. Рассмотрим в качестве исходных данных последовательность  дискретных отсчетов , заданных на отрезке , . Моделью последовательности таких отсчетов является сигнал из смещенных по времени дельта-функций:

.                                                                             (11.1)

Мысленно периодизируем этот сигнал с периодом . Так как  дискретный сигнал (11.1) – периодический, его спектр должен быть дискретным с расстоянием между гармониками, равными . Этот дискретный периодический сигнал можно представить рядом Фурье:

.                                                                                   (11.2)

Коэффициенты  этого ряда находят согласно формуле:

                     (11.3)

Переходя к новой  переменной  , получим:

.                             (11.4)

Так как , окончательно имеем:

                                                                                (11.5)

Соотношение (11.5), позволяющее вычислить комплексные амплитуды гармоник дискретного сигнала, представляет собой линейную комбинацию отсчетов этого сигнала. Его называют прямым дискретным преобразованием Фурье  (ДПФ).

Наряду с прямым ДПФ существует обратное дискретное преобразование Фурье:

                                                    (11.6)

Замечание. В размещении множителя  в выражении (11.5) нет полного единства. В некоторых источниках этот множитель относят к формуле обратного ДПФ, удаляя его из формулы для прямого ДПФ.

Ортогональный дискретный базис Фурье, в котором выполняется ДПФ, представляет собой систему дискретных экспоненциальных функций (ДЭФ), заданную на дискретной временной оси  отсчетами:

                                                (11.7)

Система функций (11.7) представляет собой ограниченный набор экспонент с частотами, кратными основной частоте , поскольку  периодична по  с периодом .

Свойства дискретного преобразования Фурье.

  1.  Линейность.

Дискретное преобразование Фурье – линейное преобразование, то есть если последовательностям  и  с одним и тем же периодом  соответствуют наборы гармоник  и , то последовательности  будет соответствовать спектр .

  1.  Симметрия.

Свойство симметрии, которым обладает спектр непрерывного сигнала, сохраняется и для спектра дискретного периодического сигнала. Если отсчеты  – вещественные числа, тогда коэффициенты ДПФ, номера которых расположены симметрично относительно , образуют сопряженные пары:

.                       (11.8)

Из формулы (11.8) следует, что спектр является сопряжено симметричным относительно , то есть содержит ровно такое же количество информации, что и сам сигнал. Действительно, если исходный сигнал представляется набором из  вещественных чисел, то его спектр представляется набором из  комплексных чисел, каждое из которых с информационной точки зрения эквивалентно двум вещественным. Вторая половина спектра взаимно-однозначно связана с первой. Можно считать, что  коэффициенты  отвечают отрицательным частотам. При изучении амплитудного спектра сигнала они не дают новой информации.

Гармоника с нулевым номером (постоянная составляющая), как следует из (11.5) представляет собой среднее значение всех отсчетов сигнала на одном периоде:

.                                                                              (11.9)

Если  четное число, то

                                                                              (11.10)

И амплитуда гармоники с номером  определяется суммой отсчетов с чередующимися знаками:  .

  1.  ДПФ круговой свертки.

Возьмем две последовательности  и  одинаковой длины , ДПФ которых соответственно равны   и .  Вычислим их круговую свертку по одному периоду:

         .                                                                  (11.11)

Найдем точечное ДПФ этой свертки:

                  (11.12)

При выводе формулы (11.12) учтено свойство сдвига периодической последовательности. Таким образом, круговой свертке дискретизированных и заданных на одном временном промежутке сигналов соответствует перемножение их спектров.

Вычисление круговой свертки двух сигналов с помощью ДПФ осуществляется по следующему алгоритму:

  •  вычисление ДПФ исходных сигналов по формуле (11.5);
  •  перемножение коэффициентов полученных ДПФ согласно (11.12);
  •  вычисление сигнала  с помощью обратного ДПФ полученной последовательности .
  1.  Равенство Парсеваля для дискретных сигналов.

 Определим значение , используя формулу ДПФ:

               (11.13)

При выводе формулы (11.13) использовано условие ортонормированности  дискретных экспоненциальных функций:

                                                              (11.14)

Таким образом, мощность сигнала  на  отсчетах равна сумме мощностей его частотных компонентов.

  1.  Связь ДПФ и спектра дискретного сигнала. 

Имея один и тот же набор значений дискретного сигнала , можно рассчитать либо спектральную функцию  этого дискретного сигнала по формуле (8.12), либо его ДПФ по формуле (11.5). Сравнение этих формул показывает, что ДПФ представляет собой просто дискретные отсчеты спектральной функции дискретного сигнала, соответствующие частотам :

.                                                                         (11.15)

Из соотношения (11.15) следует важный вывод: если добавить к конечному набору отсчетов некоторое количество нулей, спектральная функция дискретного сигнала, естественно, не изменится, но ДПФ даст большее число спектральных отсчетов, соответствующих частотам, более тесно расположенным в интервале от нуля до частоты дискретизации.

  1.  Связь ДПФ с Z-преобразованием. 

Сравнивая формулу прямого ДПФ дискретной последовательности  с формулой  Z-преобразования, видим, что коэффициенты ДПФ равны значениям Z-преобразования этого сигнала в  точках, равномерно распределенных по единичной окружности Z-плоскости. Эти коэффициенты однозначно представляют саму последовательность,  поскольку она может быть точно восстановлена с помощью обратного ДПФ.

Получим Z-преобразование последовательности через коэффициенты ДПФ этой последовательности:

          .                              (11.16)

Формула (11.16) показывает, что Z-преобразование конечной последовательности ,  непосредственно связано с коэффициентами , , ее ДПФ.

 

PAGE  3


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

6095. SDI інтерфейс на основі модальних форм 33.71 KB
  SDI інтерфейс на основі модальних форм Хід роботи Створив новий проект, та підключив до нього форму Form2. Розмістив на формах необхідні компоненти. Викликаю другу форму як модальну за допомогою події OnClick від Button1, та в цій події вказав ф...
6096. Використання логічних операторів при пошуку 31.5 KB
  Використання логічних операторів при пошуку Для розширення можливостей пошуку за текстом використовуються логічні оператори. Необхідно враховувати, що всі слова-оператори повинні вводитись лише великими літерами OR Оператор OR використовується, якщо...
6097. Компоненты ЭИС. Предметная область. Детализация представлений ЭИС. Жизненный цикл ЭИС. 33.02 KB
  Компоненты ЭИС. Предметная область. Детализация представлений ЭИС. Жизненный цикл ЭИС. Компоненты ЭИС Все, что происходит в процессе функционирования материальных систем окружающего нас мира, может быть описано в форме сообщений. Сообщен...
6098. Молекулярная генетика. Характеристика ДНК 18.71 KB
  Молекулярная генетика. Модель ДНК в форме регулярной двойной спирали была предложена Дж. Уотсоном и Ф. Криком в 1953 г. Характеристика бета - спирали ДНК Правовращающая Двойная Антипараллельная Диаметр 1,8-22 нм, Шаг (виток) - 3,4 нм В шаге (витк...
6099. Організація ділових прийомів 25.19 KB
  Організація ділових прийомів План Організація і проведення прийомів. Види прийомів. Ділові питання вирішуються не тільки за столом переговорів, але і під час прийомів, які є найпоширенішою формою ділового протоколу. Прийоми - зібран...
6100. Правовое отношение: понятие и признаки 24.39 KB
  Правовое отношение: понятие и признаки Правовое отношение - это такое общественное отношение, в котором стороны связаны между собой взаимными юридическими правами и обязанностями, охраняемыми государством. Правоотношение есть та мера внешней св...
6101. План-конспект внеклассного мероприятия 27 KB
  План-конспект внеклассного мероприятия Внеклассное мероприятие - это особый вид деятельности, отличающийся от урока. Внеклассные мероприятия - это события, ситуации, ситуации в коллективе, организуемые преподавателем или кем-нибудь другим...
6102. Основы межкультурной коммуникации 26.29 KB
  Основы межкультурной коммуникации Межкультурное общение в современном мире Сегодня становится все более очевидным, что человечество развивается по пути расширения взаимосвязи и взаимозависимости различных стран, народов и их культур. Этот проц...
6103. Предмет, метод і система адміністративного права 24.66 KB
  Предмет, метод і система адміністративного права 1. Адміністративне право України як галузь права Адміністративне право - це галузь права (сукупність правових норм), що регулює з метою реалізації завдань і функцій держави суспільні відносини управлі...