19098

Цифровая обработка сигналов в частотной области. Дискретное преобразование Фурье

Практическая работа

Физика

Лекция № 11. Цифровая обработка сигналов в частотной области. Дискретное преобразование Фурье. Дискретное преобразование Фурье ДПФ относится к классу основных преобразований при цифровой обработке сигналов. Дискретное преобразование Фурье по возможности вычисляе

Русский

2013-07-11

198 KB

46 чел.

Лекция № 11.

Цифровая обработка сигналов в частотной области. Дискретное преобразование Фурье.

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) относится к классу основных преобразований при цифровой обработке сигналов. Дискретное преобразование Фурье, по возможности вычисляемое быстрыми методами, лежит в основе различных технологий спектрального анализа.

Известно, что при дискретизации аналогового сигнала его спектр становится периодическим с периодом повторения, равным частоте дискретизации . С другой стороны, дискретному спектру должен соответствовать периодический сигнал. Рассмотрим в качестве исходных данных последовательность  дискретных отсчетов , заданных на отрезке , . Моделью последовательности таких отсчетов является сигнал из смещенных по времени дельта-функций:

.                                                                             (11.1)

Мысленно периодизируем этот сигнал с периодом . Так как  дискретный сигнал (11.1) – периодический, его спектр должен быть дискретным с расстоянием между гармониками, равными . Этот дискретный периодический сигнал можно представить рядом Фурье:

.                                                                                   (11.2)

Коэффициенты  этого ряда находят согласно формуле:

                     (11.3)

Переходя к новой  переменной  , получим:

.                             (11.4)

Так как , окончательно имеем:

                                                                                (11.5)

Соотношение (11.5), позволяющее вычислить комплексные амплитуды гармоник дискретного сигнала, представляет собой линейную комбинацию отсчетов этого сигнала. Его называют прямым дискретным преобразованием Фурье  (ДПФ).

Наряду с прямым ДПФ существует обратное дискретное преобразование Фурье:

                                                    (11.6)

Замечание. В размещении множителя  в выражении (11.5) нет полного единства. В некоторых источниках этот множитель относят к формуле обратного ДПФ, удаляя его из формулы для прямого ДПФ.

Ортогональный дискретный базис Фурье, в котором выполняется ДПФ, представляет собой систему дискретных экспоненциальных функций (ДЭФ), заданную на дискретной временной оси  отсчетами:

                                                (11.7)

Система функций (11.7) представляет собой ограниченный набор экспонент с частотами, кратными основной частоте , поскольку  периодична по  с периодом .

Свойства дискретного преобразования Фурье.

  1.  Линейность.

Дискретное преобразование Фурье – линейное преобразование, то есть если последовательностям  и  с одним и тем же периодом  соответствуют наборы гармоник  и , то последовательности  будет соответствовать спектр .

  1.  Симметрия.

Свойство симметрии, которым обладает спектр непрерывного сигнала, сохраняется и для спектра дискретного периодического сигнала. Если отсчеты  – вещественные числа, тогда коэффициенты ДПФ, номера которых расположены симметрично относительно , образуют сопряженные пары:

.                       (11.8)

Из формулы (11.8) следует, что спектр является сопряжено симметричным относительно , то есть содержит ровно такое же количество информации, что и сам сигнал. Действительно, если исходный сигнал представляется набором из  вещественных чисел, то его спектр представляется набором из  комплексных чисел, каждое из которых с информационной точки зрения эквивалентно двум вещественным. Вторая половина спектра взаимно-однозначно связана с первой. Можно считать, что  коэффициенты  отвечают отрицательным частотам. При изучении амплитудного спектра сигнала они не дают новой информации.

Гармоника с нулевым номером (постоянная составляющая), как следует из (11.5) представляет собой среднее значение всех отсчетов сигнала на одном периоде:

.                                                                              (11.9)

Если  четное число, то

                                                                              (11.10)

И амплитуда гармоники с номером  определяется суммой отсчетов с чередующимися знаками:  .

  1.  ДПФ круговой свертки.

Возьмем две последовательности  и  одинаковой длины , ДПФ которых соответственно равны   и .  Вычислим их круговую свертку по одному периоду:

         .                                                                  (11.11)

Найдем точечное ДПФ этой свертки:

                  (11.12)

При выводе формулы (11.12) учтено свойство сдвига периодической последовательности. Таким образом, круговой свертке дискретизированных и заданных на одном временном промежутке сигналов соответствует перемножение их спектров.

Вычисление круговой свертки двух сигналов с помощью ДПФ осуществляется по следующему алгоритму:

  •  вычисление ДПФ исходных сигналов по формуле (11.5);
  •  перемножение коэффициентов полученных ДПФ согласно (11.12);
  •  вычисление сигнала  с помощью обратного ДПФ полученной последовательности .
  1.  Равенство Парсеваля для дискретных сигналов.

 Определим значение , используя формулу ДПФ:

               (11.13)

При выводе формулы (11.13) использовано условие ортонормированности  дискретных экспоненциальных функций:

                                                              (11.14)

Таким образом, мощность сигнала  на  отсчетах равна сумме мощностей его частотных компонентов.

  1.  Связь ДПФ и спектра дискретного сигнала. 

Имея один и тот же набор значений дискретного сигнала , можно рассчитать либо спектральную функцию  этого дискретного сигнала по формуле (8.12), либо его ДПФ по формуле (11.5). Сравнение этих формул показывает, что ДПФ представляет собой просто дискретные отсчеты спектральной функции дискретного сигнала, соответствующие частотам :

.                                                                         (11.15)

Из соотношения (11.15) следует важный вывод: если добавить к конечному набору отсчетов некоторое количество нулей, спектральная функция дискретного сигнала, естественно, не изменится, но ДПФ даст большее число спектральных отсчетов, соответствующих частотам, более тесно расположенным в интервале от нуля до частоты дискретизации.

  1.  Связь ДПФ с Z-преобразованием. 

Сравнивая формулу прямого ДПФ дискретной последовательности  с формулой  Z-преобразования, видим, что коэффициенты ДПФ равны значениям Z-преобразования этого сигнала в  точках, равномерно распределенных по единичной окружности Z-плоскости. Эти коэффициенты однозначно представляют саму последовательность,  поскольку она может быть точно восстановлена с помощью обратного ДПФ.

Получим Z-преобразование последовательности через коэффициенты ДПФ этой последовательности:

          .                              (11.16)

Формула (11.16) показывает, что Z-преобразование конечной последовательности ,  непосредственно связано с коэффициентами , , ее ДПФ.

 

PAGE  3


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

26316. Реформация в Англии 14.33 KB
  Реформация в Англии Англия страна известная своими реформаторскими тенденциями. Однако решающую роль в Реформации в Англии предстояло сыграть другому человеку. Реформацию в Англии можно в полном смысле назвать Реформацией сверху так как во главе её стал английский король Генрих VIII. Реформация в Англии при Генрихе VIII Первоначально Генрих был противником Реформации даже написал книги против Лютера В защиту семи таинств 1521 в основе которой были не аргументы а брань в адрес виттенбергского реформатора.
26317. Контрреформация в странах Западной Европы 25.22 KB
  Контрреформация Контрреформация в Западной Европе католическое движение возникшее после выдвижения идей Лютера Кальвина Цвингли и других реформаторов имевшее своей целью восстановить престиж католической церкви и веры. Кроме этих мер принимались и решения по изменению организации церкви. Упрёки по поводу упадка нравов внутри церкви были слышны уже в XII в. И внутри церкви были те кто пытался искоренить эти недостатки.
26318. Абсолютизм в Западной Европе (на примере Англии, Франции, Испании) 64.42 KB
  В XIV в. Но все же парламент сыграл прогрессивную роль в политическом развитии Англии XIV XVвв. Фронда Людовик XIII лишь несколькими месяцами пережил своего министра и престол перешёл к его сыну Людовику XIV 1643 1715 годы во время малолетства которого управляли мать его Анна Австрийская и кардинал Мазарини продолжатель политики Ришельё. Людовик XIV Дело кончилось победой кардинала Мазарини но молодой король вынес из этой борьбы крайне печальные воспоминания.
26319. Социально – экономичское и политическое развитие Нидерландов в п.п. XVI в. 29.97 KB
  XVI в. был создан тот трамплин отталкиваясь от которого Нидерланды осуществили поразивший современников динамичный прыжок в XVI столетие. На рынках Эклоо Гента Куртре к середине XVI в. В XVI в.
26320. Усиление феодально – католической реакции при Филиппе II. Назревание революционной ситуации 16.7 KB
  Усиление испанского гнета во второй половине XVI в. Филипп II c самого начала решил установить в Нидерландах бюрократическую систему испанского абсолютизма с целью полного экономического политического и религиозного подчинения страны. Для достижения этой цели испанское правительство наметило следующие мероприятия: увеличение количества испанских войск в стране; сосредоточение фактической власти в руках узкого состава государственного совета консульты членами которого были верные слуги испанского правительства придание епископам...
26321. Основные этапы Нидерландской буржуазной революции и их характерные особенности 25.61 KB
  В рамках усилий по созданию стабильного и надёжного правительства Нидерландов Филипп назначил Маргариту Пармскую штатгальтером Нидерландов. Он продолжил политику своего отца при назначении членов высшего дворянства Нидерландов в Государственный совет руководящий орган семнадцати провинций. Тем не менее уже в 1558 году штаты провинций и генеральный штат Нидерландов стали противоречить пожеланиям Филиппа возражая против его налоговой политики и требуя вывода испанских войск с юга Нидерландов. Несмотря на это к 1570 году испанцы в целом...
26322. Образование Республики Соединённых провинций 15.94 KB
  Образование Республики Соединённых провинций. Здесь Утрехтская уния заложила основы республики. военный перевес Республики Соединенных провинций и ее союзников над Испанией побудил последнюю начать мирные переговоры которые завершились в 1609 г. знаменовало победоносное завершение революции на севере страны и возникновение там первой в истории Европы и всего мира буржуазной республики.
26323. Англия в XVI в. Причины и последствия огораживаний 44.57 KB
  Англия в XVI в: Для Англии XVI век был временем капиталистической мануфактуры аграрного переворота и основания первых английских колоний. суконное производство в Англии являлось основной отраслью промышленности не только в городах но и в деревнях и небольших местечках. Создавались местные промышленные центры в различных графствах Англии. Широкие и тонкие сукна производились на югозападе и в центре Англии Уилтшир Сомерсетшир Глостершир и Оксфордшир.
26324. Экономические и социальные предпосылки английской революции 32.48 KB
  К середине XVII в. Уже в начале XVII в. Обработка шерсти в начале XVII в. Номенклатура только главных видов шерстяных изделий насчитывала в первой половине XVII в.