19098

Цифровая обработка сигналов в частотной области. Дискретное преобразование Фурье

Практическая работа

Физика

Лекция № 11. Цифровая обработка сигналов в частотной области. Дискретное преобразование Фурье. Дискретное преобразование Фурье ДПФ относится к классу основных преобразований при цифровой обработке сигналов. Дискретное преобразование Фурье по возможности вычисляе

Русский

2013-07-11

198 KB

46 чел.

Лекция № 11.

Цифровая обработка сигналов в частотной области. Дискретное преобразование Фурье.

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) относится к классу основных преобразований при цифровой обработке сигналов. Дискретное преобразование Фурье, по возможности вычисляемое быстрыми методами, лежит в основе различных технологий спектрального анализа.

Известно, что при дискретизации аналогового сигнала его спектр становится периодическим с периодом повторения, равным частоте дискретизации . С другой стороны, дискретному спектру должен соответствовать периодический сигнал. Рассмотрим в качестве исходных данных последовательность  дискретных отсчетов , заданных на отрезке , . Моделью последовательности таких отсчетов является сигнал из смещенных по времени дельта-функций:

.                                                                             (11.1)

Мысленно периодизируем этот сигнал с периодом . Так как  дискретный сигнал (11.1) – периодический, его спектр должен быть дискретным с расстоянием между гармониками, равными . Этот дискретный периодический сигнал можно представить рядом Фурье:

.                                                                                   (11.2)

Коэффициенты  этого ряда находят согласно формуле:

                     (11.3)

Переходя к новой  переменной  , получим:

.                             (11.4)

Так как , окончательно имеем:

                                                                                (11.5)

Соотношение (11.5), позволяющее вычислить комплексные амплитуды гармоник дискретного сигнала, представляет собой линейную комбинацию отсчетов этого сигнала. Его называют прямым дискретным преобразованием Фурье  (ДПФ).

Наряду с прямым ДПФ существует обратное дискретное преобразование Фурье:

                                                    (11.6)

Замечание. В размещении множителя  в выражении (11.5) нет полного единства. В некоторых источниках этот множитель относят к формуле обратного ДПФ, удаляя его из формулы для прямого ДПФ.

Ортогональный дискретный базис Фурье, в котором выполняется ДПФ, представляет собой систему дискретных экспоненциальных функций (ДЭФ), заданную на дискретной временной оси  отсчетами:

                                                (11.7)

Система функций (11.7) представляет собой ограниченный набор экспонент с частотами, кратными основной частоте , поскольку  периодична по  с периодом .

Свойства дискретного преобразования Фурье.

  1.  Линейность.

Дискретное преобразование Фурье – линейное преобразование, то есть если последовательностям  и  с одним и тем же периодом  соответствуют наборы гармоник  и , то последовательности  будет соответствовать спектр .

  1.  Симметрия.

Свойство симметрии, которым обладает спектр непрерывного сигнала, сохраняется и для спектра дискретного периодического сигнала. Если отсчеты  – вещественные числа, тогда коэффициенты ДПФ, номера которых расположены симметрично относительно , образуют сопряженные пары:

.                       (11.8)

Из формулы (11.8) следует, что спектр является сопряжено симметричным относительно , то есть содержит ровно такое же количество информации, что и сам сигнал. Действительно, если исходный сигнал представляется набором из  вещественных чисел, то его спектр представляется набором из  комплексных чисел, каждое из которых с информационной точки зрения эквивалентно двум вещественным. Вторая половина спектра взаимно-однозначно связана с первой. Можно считать, что  коэффициенты  отвечают отрицательным частотам. При изучении амплитудного спектра сигнала они не дают новой информации.

Гармоника с нулевым номером (постоянная составляющая), как следует из (11.5) представляет собой среднее значение всех отсчетов сигнала на одном периоде:

.                                                                              (11.9)

Если  четное число, то

                                                                              (11.10)

И амплитуда гармоники с номером  определяется суммой отсчетов с чередующимися знаками:  .

  1.  ДПФ круговой свертки.

Возьмем две последовательности  и  одинаковой длины , ДПФ которых соответственно равны   и .  Вычислим их круговую свертку по одному периоду:

         .                                                                  (11.11)

Найдем точечное ДПФ этой свертки:

                  (11.12)

При выводе формулы (11.12) учтено свойство сдвига периодической последовательности. Таким образом, круговой свертке дискретизированных и заданных на одном временном промежутке сигналов соответствует перемножение их спектров.

Вычисление круговой свертки двух сигналов с помощью ДПФ осуществляется по следующему алгоритму:

  •  вычисление ДПФ исходных сигналов по формуле (11.5);
  •  перемножение коэффициентов полученных ДПФ согласно (11.12);
  •  вычисление сигнала  с помощью обратного ДПФ полученной последовательности .
  1.  Равенство Парсеваля для дискретных сигналов.

 Определим значение , используя формулу ДПФ:

               (11.13)

При выводе формулы (11.13) использовано условие ортонормированности  дискретных экспоненциальных функций:

                                                              (11.14)

Таким образом, мощность сигнала  на  отсчетах равна сумме мощностей его частотных компонентов.

  1.  Связь ДПФ и спектра дискретного сигнала. 

Имея один и тот же набор значений дискретного сигнала , можно рассчитать либо спектральную функцию  этого дискретного сигнала по формуле (8.12), либо его ДПФ по формуле (11.5). Сравнение этих формул показывает, что ДПФ представляет собой просто дискретные отсчеты спектральной функции дискретного сигнала, соответствующие частотам :

.                                                                         (11.15)

Из соотношения (11.15) следует важный вывод: если добавить к конечному набору отсчетов некоторое количество нулей, спектральная функция дискретного сигнала, естественно, не изменится, но ДПФ даст большее число спектральных отсчетов, соответствующих частотам, более тесно расположенным в интервале от нуля до частоты дискретизации.

  1.  Связь ДПФ с Z-преобразованием. 

Сравнивая формулу прямого ДПФ дискретной последовательности  с формулой  Z-преобразования, видим, что коэффициенты ДПФ равны значениям Z-преобразования этого сигнала в  точках, равномерно распределенных по единичной окружности Z-плоскости. Эти коэффициенты однозначно представляют саму последовательность,  поскольку она может быть точно восстановлена с помощью обратного ДПФ.

Получим Z-преобразование последовательности через коэффициенты ДПФ этой последовательности:

          .                              (11.16)

Формула (11.16) показывает, что Z-преобразование конечной последовательности ,  непосредственно связано с коэффициентами , , ее ДПФ.

 

PAGE  3


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

27672. Способы регулирования частоты вращения 3-фазных асинхронных двигателей 537.05 KB
  Основные сведения о регулировании частоты вращения асинхронных двигателей Регулирование скорости изменением числа пар полюсов обмотки статора. Принцип получения разного числа пар полюсов. Регулирование скорости изменением числа пар полюсов путем переключения обмотки статора со «звезды» на «двойную звезду» Регулирование скорости изменением числа пар полюсов путем переключения обмотки статора с «треугольника» на «двойную звезду»
27673. Посягательство на жизнь сотрудника правоохранительного органа (ст. 317 УК), его отличие от убийства 29.5 KB
  Общественная опасность преступления состоит в том что оно посягает на порядок управления и жизнь перечисленных в законе лиц в целях воспрепятствования их деятельности по охране общественного порядка и обеспечению общественной безопасности. которые постоянно или временно исполняют обязанности по охране общественного порядка и обеспечению общественной безопасности военнослужащие проходящие службу в Вооруженных Силах РФ других войсках например во внутренних войсках МВД России а равно их близкие. Преступление совершается чтобы...
27675. Похищение или повреждение документов, штампов, печатей либо похищение марок акцизного сбора? специальных марок или знаков соответствия (ст.325 УК). Отличие данного преступления от кражи (ст.158 УК) и грабежа (ст. 161 УК) 40 KB
  Кража определяется законодателем как тайное хищение чужого имущества 2. Корыстная цель при хищении предполагает незаконное удовлетворение материальных потребностей виновного или третьих лиц за счет чужого имущества т. Корыстная цель представляет собой также один из критериев отграничения хищения от злоупотребления полномочиями злоупотребления должностными полномочиями уничтожения или повреждения имущества самоуправства вандализма и др. Безвозмездность отграничивает хищение от эквивалентного изъятия сопряженного с возмещением стоимости...
27676. Похищение человека (ст. 126 УК). Условия освобождения от уголовной ответственности за данное преступление. Отличие этого преступления от незаконного лишения свободы (ст. 127 УК) 33 KB
  Отличие этого преступления от незаконного лишения свободы ст. Преступления против свободы чести и достоинства личности. Это преступление включает 2 элемента: непосредственно похищение и насильственное удержание связанное с лишением свободы. Похищение следует отличать от незаконного лишения свободы 127 которое предполагает удержание лица в месте где оно оказалось по собственному желанию.
27678. Привлечение заведомо невиновного к уголовной ответственности (ст. 299), отличие этого преступления от вынесения неправосудных приговора, решения или иного судебного акта (ст. 305) 28.5 KB
  299 отличие этого преступления от вынесения неправосудных приговора решения или иного судебного акта ст. 2 Объективная сторона применительно к рассматриваемому составу преступления конкретные действия должностных лиц выражаются в привлечении заведомо невиновного в качестве обвиняемого путем вынесения соответствующего процессуального документа. Квалифицирующим признаком данного преступления является привлечение заведомо невиновного к уголовной ответственности соединенное с обвинением в совершении тяжкого или особо тяжкого преступления....
27680. Понятие субъекта преступления в уголовном праве. Общие признаки субъекта. Специальный субъект преступления и его признаки. Проблема уголовной ответственности юридических лиц 33.5 KB
  Специальный субъект преступления и его признаки. Субъект преступления это лицо совершившее преступление и способное в соответствии с законом понести за него уголовную ответственность. Субъект преступления является одним из обязательных элементов состава преступления.