19098

Цифровая обработка сигналов в частотной области. Дискретное преобразование Фурье

Практическая работа

Физика

Лекция № 11. Цифровая обработка сигналов в частотной области. Дискретное преобразование Фурье. Дискретное преобразование Фурье ДПФ относится к классу основных преобразований при цифровой обработке сигналов. Дискретное преобразование Фурье по возможности вычисляе

Русский

2013-07-11

198 KB

45 чел.

Лекция № 11.

Цифровая обработка сигналов в частотной области. Дискретное преобразование Фурье.

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) относится к классу основных преобразований при цифровой обработке сигналов. Дискретное преобразование Фурье, по возможности вычисляемое быстрыми методами, лежит в основе различных технологий спектрального анализа.

Известно, что при дискретизации аналогового сигнала его спектр становится периодическим с периодом повторения, равным частоте дискретизации . С другой стороны, дискретному спектру должен соответствовать периодический сигнал. Рассмотрим в качестве исходных данных последовательность  дискретных отсчетов , заданных на отрезке , . Моделью последовательности таких отсчетов является сигнал из смещенных по времени дельта-функций:

.                                                                             (11.1)

Мысленно периодизируем этот сигнал с периодом . Так как  дискретный сигнал (11.1) – периодический, его спектр должен быть дискретным с расстоянием между гармониками, равными . Этот дискретный периодический сигнал можно представить рядом Фурье:

.                                                                                   (11.2)

Коэффициенты  этого ряда находят согласно формуле:

                     (11.3)

Переходя к новой  переменной  , получим:

.                             (11.4)

Так как , окончательно имеем:

                                                                                (11.5)

Соотношение (11.5), позволяющее вычислить комплексные амплитуды гармоник дискретного сигнала, представляет собой линейную комбинацию отсчетов этого сигнала. Его называют прямым дискретным преобразованием Фурье  (ДПФ).

Наряду с прямым ДПФ существует обратное дискретное преобразование Фурье:

                                                    (11.6)

Замечание. В размещении множителя  в выражении (11.5) нет полного единства. В некоторых источниках этот множитель относят к формуле обратного ДПФ, удаляя его из формулы для прямого ДПФ.

Ортогональный дискретный базис Фурье, в котором выполняется ДПФ, представляет собой систему дискретных экспоненциальных функций (ДЭФ), заданную на дискретной временной оси  отсчетами:

                                                (11.7)

Система функций (11.7) представляет собой ограниченный набор экспонент с частотами, кратными основной частоте , поскольку  периодична по  с периодом .

Свойства дискретного преобразования Фурье.

  1.  Линейность.

Дискретное преобразование Фурье – линейное преобразование, то есть если последовательностям  и  с одним и тем же периодом  соответствуют наборы гармоник  и , то последовательности  будет соответствовать спектр .

  1.  Симметрия.

Свойство симметрии, которым обладает спектр непрерывного сигнала, сохраняется и для спектра дискретного периодического сигнала. Если отсчеты  – вещественные числа, тогда коэффициенты ДПФ, номера которых расположены симметрично относительно , образуют сопряженные пары:

.                       (11.8)

Из формулы (11.8) следует, что спектр является сопряжено симметричным относительно , то есть содержит ровно такое же количество информации, что и сам сигнал. Действительно, если исходный сигнал представляется набором из  вещественных чисел, то его спектр представляется набором из  комплексных чисел, каждое из которых с информационной точки зрения эквивалентно двум вещественным. Вторая половина спектра взаимно-однозначно связана с первой. Можно считать, что  коэффициенты  отвечают отрицательным частотам. При изучении амплитудного спектра сигнала они не дают новой информации.

Гармоника с нулевым номером (постоянная составляющая), как следует из (11.5) представляет собой среднее значение всех отсчетов сигнала на одном периоде:

.                                                                              (11.9)

Если  четное число, то

                                                                              (11.10)

И амплитуда гармоники с номером  определяется суммой отсчетов с чередующимися знаками:  .

  1.  ДПФ круговой свертки.

Возьмем две последовательности  и  одинаковой длины , ДПФ которых соответственно равны   и .  Вычислим их круговую свертку по одному периоду:

         .                                                                  (11.11)

Найдем точечное ДПФ этой свертки:

                  (11.12)

При выводе формулы (11.12) учтено свойство сдвига периодической последовательности. Таким образом, круговой свертке дискретизированных и заданных на одном временном промежутке сигналов соответствует перемножение их спектров.

Вычисление круговой свертки двух сигналов с помощью ДПФ осуществляется по следующему алгоритму:

  •  вычисление ДПФ исходных сигналов по формуле (11.5);
  •  перемножение коэффициентов полученных ДПФ согласно (11.12);
  •  вычисление сигнала  с помощью обратного ДПФ полученной последовательности .
  1.  Равенство Парсеваля для дискретных сигналов.

 Определим значение , используя формулу ДПФ:

               (11.13)

При выводе формулы (11.13) использовано условие ортонормированности  дискретных экспоненциальных функций:

                                                              (11.14)

Таким образом, мощность сигнала  на  отсчетах равна сумме мощностей его частотных компонентов.

  1.  Связь ДПФ и спектра дискретного сигнала. 

Имея один и тот же набор значений дискретного сигнала , можно рассчитать либо спектральную функцию  этого дискретного сигнала по формуле (8.12), либо его ДПФ по формуле (11.5). Сравнение этих формул показывает, что ДПФ представляет собой просто дискретные отсчеты спектральной функции дискретного сигнала, соответствующие частотам :

.                                                                         (11.15)

Из соотношения (11.15) следует важный вывод: если добавить к конечному набору отсчетов некоторое количество нулей, спектральная функция дискретного сигнала, естественно, не изменится, но ДПФ даст большее число спектральных отсчетов, соответствующих частотам, более тесно расположенным в интервале от нуля до частоты дискретизации.

  1.  Связь ДПФ с Z-преобразованием. 

Сравнивая формулу прямого ДПФ дискретной последовательности  с формулой  Z-преобразования, видим, что коэффициенты ДПФ равны значениям Z-преобразования этого сигнала в  точках, равномерно распределенных по единичной окружности Z-плоскости. Эти коэффициенты однозначно представляют саму последовательность,  поскольку она может быть точно восстановлена с помощью обратного ДПФ.

Получим Z-преобразование последовательности через коэффициенты ДПФ этой последовательности:

          .                              (11.16)

Формула (11.16) показывает, что Z-преобразование конечной последовательности ,  непосредственно связано с коэффициентами , , ее ДПФ.

 

PAGE  3


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

29265. Конфуцианско-даосский тип культуры 36.5 KB
  Первая её основа учения Конфуция а вторая даосизм учение даосов а также буддизм но он отличается от индийского. Конфуцианство учение Конфуция китайского мудреца он жил в VIV веках до н. Конфуций создал учение об идеальном человеке учение о благородном муже он должен быть гуманным милосердным почтительным честным и т. Таким образом конфуцианство это скорее этическое учение чем религия но это учение и о государстве .
29266. Культура Нового времени 98.5 KB
  Кагану КУЛЬТУРА XVII века Европейская история культуры основана на античном городеполисе на полисном генотипе. На этой основе сложились характерные черты буржуазной культуры: Антропоцентрический характер культуры в основе которого мысль древнегреческого философа Протагора Человек есть мера всех вещей. Личностная свобода помается как исходный символ и становится основной ценностью западной культуры. Инновационный инновация нововведение характер культуры: общая ориентация на изменение привычного образа мыслей.
29267. КУЛЬТУРА И ПРИРОДА (по М.С.Кагану) 36 KB
  Маркс: обмен веществ между человеком и природой; практическидуховный отношения которые складываются в обыденном сознании людей в их повседневной жизни выражаются в фантастическом преобразовании реального мира и опредмечиваются в мифологии религии искусстве; духовнотеоретический отношения которые выражаются ав познании законов природы и получают наивысшее выражение в науках о природе и бв ценностном осмыслении природы которое разрабатывается в сфере идеологии. Сферами проявления взаимоотношений культуры и природы можно...
29268. НОРМА КУЛЬТУРНАЯ 30 KB
  Различают нормы общечеловеческие национальные классовые групповые межиндивидуальные. Нормы отличаются друг от друга по уровню обязательности выполнения по степени свободы их выбора. Существуют нормы обязательность которых однозначна и определенна вплоть до применения строгих санкций выполнение правовых норм норм технической деятельности на индустриальном производстве и др. Действие любой нормы не абсолютно; норма переживает период зарождения утверждения потом теряет стабильность начинает разрушаться.
29269. КУЛЬТУРОГЕНЕЗ 27.5 KB
  Сущность культурогенеза заключается в процессе постоянного самообновления культуры не только методом трансформационной изменчивости уже существующих форм и систем но и путем возникновения новых феноменов не существовавших в культуре ранее. Культурогенез не является однократным событием происхождения культуры в эпоху первобытной древности человечества но есть процесс постоянного порождения новых культурных форм и систем. С позиций эволюционной теории основной причиной культурогенеза является необходимость в адаптации человеческих сообществ к...
29270. КУЛЬТУРОЛОГИЯ. Философия культуры 29.5 KB
  Предметом культурологии. Многие теоретические исследования выполняются на стыке философии культуры и культурологии. Прежде всего имеет место разделение культурологии. В фундаментальной культурологии могут быть выделены социальная антропология культурная антропология историческая культурология психологическая антропология культурная семантика и др.
29271. Древнеегипетская, античная, библейская, славянская, восточно-азиатская мифологические системы 59 KB
  Пантеон система всех богов египетских божеств включает несколько исторических пластов. Наиболее древние боги имели тождество с животными: Гор сокол Ра с головой сокола Сехмет львица Анубис шакал и т. Одним из главных богов в Древнем Египте считался Осирис. Египтяне в честь бога совершали ежегодный обряд: сделанное из глины изображение Осириса засевалось зерном и к празднику покрывалось зелеными всходами.
29272. Миф как универсальная культурно-историческая форма 51.5 KB
  Мифы создания коллективной общенародной фантазии обобщённо отражающие действительность в виде чувственноконкретных персонификаций и одушевлённых существ которые мыслятся первобытным сознанием реальными С. В первобытной культуре мифы выполняли роль науки это целостная система в терминах которой воспринимается весь мир. Этиологические мифы от греч. причина мифы объяснительные мифы повествования в которых в мифологически олицетворённой форме разъясняются происхождение какоголибо явления природы или социальной жизни.