19098

Цифровая обработка сигналов в частотной области. Дискретное преобразование Фурье

Практическая работа

Физика

Лекция № 11. Цифровая обработка сигналов в частотной области. Дискретное преобразование Фурье. Дискретное преобразование Фурье ДПФ относится к классу основных преобразований при цифровой обработке сигналов. Дискретное преобразование Фурье по возможности вычисляе

Русский

2013-07-11

198 KB

45 чел.

Лекция № 11.

Цифровая обработка сигналов в частотной области. Дискретное преобразование Фурье.

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) относится к классу основных преобразований при цифровой обработке сигналов. Дискретное преобразование Фурье, по возможности вычисляемое быстрыми методами, лежит в основе различных технологий спектрального анализа.

Известно, что при дискретизации аналогового сигнала его спектр становится периодическим с периодом повторения, равным частоте дискретизации . С другой стороны, дискретному спектру должен соответствовать периодический сигнал. Рассмотрим в качестве исходных данных последовательность  дискретных отсчетов , заданных на отрезке , . Моделью последовательности таких отсчетов является сигнал из смещенных по времени дельта-функций:

.                                                                             (11.1)

Мысленно периодизируем этот сигнал с периодом . Так как  дискретный сигнал (11.1) – периодический, его спектр должен быть дискретным с расстоянием между гармониками, равными . Этот дискретный периодический сигнал можно представить рядом Фурье:

.                                                                                   (11.2)

Коэффициенты  этого ряда находят согласно формуле:

                     (11.3)

Переходя к новой  переменной  , получим:

.                             (11.4)

Так как , окончательно имеем:

                                                                                (11.5)

Соотношение (11.5), позволяющее вычислить комплексные амплитуды гармоник дискретного сигнала, представляет собой линейную комбинацию отсчетов этого сигнала. Его называют прямым дискретным преобразованием Фурье  (ДПФ).

Наряду с прямым ДПФ существует обратное дискретное преобразование Фурье:

                                                    (11.6)

Замечание. В размещении множителя  в выражении (11.5) нет полного единства. В некоторых источниках этот множитель относят к формуле обратного ДПФ, удаляя его из формулы для прямого ДПФ.

Ортогональный дискретный базис Фурье, в котором выполняется ДПФ, представляет собой систему дискретных экспоненциальных функций (ДЭФ), заданную на дискретной временной оси  отсчетами:

                                                (11.7)

Система функций (11.7) представляет собой ограниченный набор экспонент с частотами, кратными основной частоте , поскольку  периодична по  с периодом .

Свойства дискретного преобразования Фурье.

  1.  Линейность.

Дискретное преобразование Фурье – линейное преобразование, то есть если последовательностям  и  с одним и тем же периодом  соответствуют наборы гармоник  и , то последовательности  будет соответствовать спектр .

  1.  Симметрия.

Свойство симметрии, которым обладает спектр непрерывного сигнала, сохраняется и для спектра дискретного периодического сигнала. Если отсчеты  – вещественные числа, тогда коэффициенты ДПФ, номера которых расположены симметрично относительно , образуют сопряженные пары:

.                       (11.8)

Из формулы (11.8) следует, что спектр является сопряжено симметричным относительно , то есть содержит ровно такое же количество информации, что и сам сигнал. Действительно, если исходный сигнал представляется набором из  вещественных чисел, то его спектр представляется набором из  комплексных чисел, каждое из которых с информационной точки зрения эквивалентно двум вещественным. Вторая половина спектра взаимно-однозначно связана с первой. Можно считать, что  коэффициенты  отвечают отрицательным частотам. При изучении амплитудного спектра сигнала они не дают новой информации.

Гармоника с нулевым номером (постоянная составляющая), как следует из (11.5) представляет собой среднее значение всех отсчетов сигнала на одном периоде:

.                                                                              (11.9)

Если  четное число, то

                                                                              (11.10)

И амплитуда гармоники с номером  определяется суммой отсчетов с чередующимися знаками:  .

  1.  ДПФ круговой свертки.

Возьмем две последовательности  и  одинаковой длины , ДПФ которых соответственно равны   и .  Вычислим их круговую свертку по одному периоду:

         .                                                                  (11.11)

Найдем точечное ДПФ этой свертки:

                  (11.12)

При выводе формулы (11.12) учтено свойство сдвига периодической последовательности. Таким образом, круговой свертке дискретизированных и заданных на одном временном промежутке сигналов соответствует перемножение их спектров.

Вычисление круговой свертки двух сигналов с помощью ДПФ осуществляется по следующему алгоритму:

  •  вычисление ДПФ исходных сигналов по формуле (11.5);
  •  перемножение коэффициентов полученных ДПФ согласно (11.12);
  •  вычисление сигнала  с помощью обратного ДПФ полученной последовательности .
  1.  Равенство Парсеваля для дискретных сигналов.

 Определим значение , используя формулу ДПФ:

               (11.13)

При выводе формулы (11.13) использовано условие ортонормированности  дискретных экспоненциальных функций:

                                                              (11.14)

Таким образом, мощность сигнала  на  отсчетах равна сумме мощностей его частотных компонентов.

  1.  Связь ДПФ и спектра дискретного сигнала. 

Имея один и тот же набор значений дискретного сигнала , можно рассчитать либо спектральную функцию  этого дискретного сигнала по формуле (8.12), либо его ДПФ по формуле (11.5). Сравнение этих формул показывает, что ДПФ представляет собой просто дискретные отсчеты спектральной функции дискретного сигнала, соответствующие частотам :

.                                                                         (11.15)

Из соотношения (11.15) следует важный вывод: если добавить к конечному набору отсчетов некоторое количество нулей, спектральная функция дискретного сигнала, естественно, не изменится, но ДПФ даст большее число спектральных отсчетов, соответствующих частотам, более тесно расположенным в интервале от нуля до частоты дискретизации.

  1.  Связь ДПФ с Z-преобразованием. 

Сравнивая формулу прямого ДПФ дискретной последовательности  с формулой  Z-преобразования, видим, что коэффициенты ДПФ равны значениям Z-преобразования этого сигнала в  точках, равномерно распределенных по единичной окружности Z-плоскости. Эти коэффициенты однозначно представляют саму последовательность,  поскольку она может быть точно восстановлена с помощью обратного ДПФ.

Получим Z-преобразование последовательности через коэффициенты ДПФ этой последовательности:

          .                              (11.16)

Формула (11.16) показывает, что Z-преобразование конечной последовательности ,  непосредственно связано с коэффициентами , , ее ДПФ.

 

PAGE  3


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

39869. Разработка электронного блока для ИИС мониторинга тепловых полей растений 1.38 MB
  В данном дипломном проекте представлен электронный блок для мониторинга температуры деревьев предназначенный для мониторинга окружающей среды. Блок обеспечивает длительные измерения и регистрацию температуру стволов деревьев в атомном режиме. Между состоянием деревьев их водным режимом и температурой стволов существует определенная связь. Температуре деревьев свойственен свой суточный ход который коррелирует с суточным ходом солнечной радиации и температуры воздуха и оказывается смещен по сравнению с ними во времени в зависимости от...
39870. Модель зрительных функций (КЧСМ, ДЧСМ) 686 KB
  В частности физиологами военного труда путем определения надежности стабильная устойчивость и несущественные колебания параметра от одного измерения к другому и валидности адекватность параметра исследуемому явлению различных клиникофизиологических биохимических и психофизиологических параметров было установлено что только комплекс из шести показателей время сложной сенсомоторной реакции с выбором КЧСМ ЧСС пульсовое АД выносливость к статическому мышечному усилию и индекс стептеста обладает значимой корреляционной связью с...
39871. 40 квартирный жилой дом 5.52 MB
  Для защиты деревянных элементов от возгорания и биологического разрушения обработать их препаратом БОПОД. В каждой квартире установлен газовый котел АльфаКолор работающий на природном газу. Определяем расчетный пролет перемычки: Элемент перемычки работает как однопролетная свободно лежащая равномерно загруженная балка. Плита монолитно связана со ступенями которые армируют по конструктивным соображениям и её несущая способность с учетом работы ступеней вполне обеспечивается.
39872. Разработка эффективной технологии сушки рециклового винилхлорида 1.66 MB
  Наибольший интерес к винилхлориду проявили позднее когда И. Первое промышленное производство винилхлорида основанное на щелочной обработке дихлорэтана изза недостатков не позволили полностью удовлетворить растущие потребности в винилхлориде. Простота и удобство этой реакции позволили за очень короткое время построить первые заводы сначала в Германии а затем в Англии. В настоящее время основным видом сырья для производства винилхлорида традиционно используют этилен ацетилен смеси этилена с ацетиленом получаемые крекингом нафты или...
39873. Производство глицерина производительностью 40000 т/год 331.5 KB
  Это позволило ориентировать нефтигазопереработку на обеспечение народного хозяйства не только топливом маслами и другими товарными продуктами но и дешёвым сырьём для химической и нефтехимической отраслей промышленности производящих различные синтетические продукты: пластические массы синтетические каучуки химические волокна спирты синтетические масла и др. Позже в 1913 году немецким ученым Гейнеманом предпринимались попытки синтезировать глицерин путем омыления 123трихлорпропана получаемого прямым хлорированием пропилена: C12...
39874. Усовершенствование технологии получения глицерина производительностью 40000 т/год 647 KB
  В разделе Автоматизация для контроля выбраны параметры которые позволяют наиболее полно и своевременно контролировать и регулировать ход процесса. Это позволило ориентировать нефтигазопереработку на обеспечение народного хозяйства не только топливом маслами и другими товарными продуктами но и дешёвым сырьём для химической и нефтехимической отраслей промышленности производящих различные синтетические продукты: пластические массы синтетические каучуки химические волокна спирты синтетические масла и др. Позже в 1913 году немецким ученым...
39875. Разработка технологии очистки отходящих газов содовых производств от токсичных компонентов 392 KB
  Одним из перспективных направлений природоохранной деятельности по защите воздушного бассейна от губительного воздействия вредных токсичных веществ содержащихся в отходящих промышленных газах является метод каталитического окисления. Получение кальцинированной соды включает следующие основные стадии: приготовление аммонизированного рассола станция абсорбции; карбонизация аммонизированного рассола с образованием бикарбоната натрия станция карбонизации; отделение бикарбоната натрия от маточника станция фильтрации; очистка и...
39876. Разработка термокаталитического метода обезвреживания отходящих газов цеха абсорбции-дистилляции-карбонизации №3 от токсичных компонентов 1.49 MB
  Одним из перспективных направлений природоохранной деятельности по защите воздушного бассейна от губительного воздействия вредных токсичных веществ содержащихся в отходящих промышленных газах является метод каталитического окисления.3 Источники образования газообразных выбросов производства цеха абсорбциидистилляциикарбонизации №3 На производстве кальцинированной соды к газообразным выбросам относятся: газовые выбросы после промывателя газа колоннII воздух после промывателя воздуха фильтров организованные выбросы после сборника...