19099

Цифровая обработка сигналов в частотной области. Быстрое преобразование Фурье

Практическая работа

Физика

Лекция № 12. Цифровая обработка сигналов в частотной области. Быстрое преобразование Фурье. Нахождение спектральных составляющих дискретного комплексного сигнала непосредственно по формуле ДПФ требует комплексных умножений и комплексных сложений. Так как колич...

Русский

2013-07-11

316.5 KB

12 чел.

Лекция № 12.

Цифровая обработка сигналов в частотной области. Быстрое преобразование Фурье.

Нахождение спектральных составляющих  дискретного комплексного сигнала непосредственно по формуле ДПФ  требует  комплексных умножений и  комплексных сложений. Так как количество вычислений, а следовательно, и время вычислений приблизительно пропорциональны , то при больших  количество арифметических операций весьма велико. Поэтому нахождение спектра в реальном времени даже для современной вычислительной техники представляет сложную задачу.

По этой причине представляет значительный интерес вычислительные процедуры, уменьшающие количество умножений и сложений. Основной принцип всех этих алгоритмов заключается в разложении операций вычисления ДПФ сигнала длины  на вычисление преобразований Фурье с меньшим числом точек. Разделив анализируемый набор отсчетов на части, вычисляют их ДПФ и объединяют результаты. Такие процедуры получили название алгоритмов быстрого преобразования Фурье БПФ.

При реализации БПФ возможно несколько вариантов организации вычислений в зависимости от способа деления последовательности отсчетов на части (прореживание по времени или по частоте) и от того, на сколько фрагментов производится разбиение последовательности на каждом шаге (основание БПФ). Наиболее простыми и широко используемыми являются алгоритмы БПФ с основанием 2, когда длина последовательности  является целой степенью числа 2, то есть , где целое число.

БПФ с прореживанием по времени.  Рассмотрим идею БПФ с прореживанием по времени на примере деления набора отсчетов пополам. Введя общепринятое в литературе обозначение для дискретных экспоненциальных функций:

,                                                                         (12.1)

Запишем ДПФ сигнала  в виде:

.                                                  (12.2)

Разобьем  на две -точечные последовательности, состоящие из отсчетов с четными и нечетными номерами соответственно. В результате получим:

.                                                    (12.3)

Заменяя индексы суммирования на  при четном  и на  при нечетном , придем к выражению:

.                             (12.4)

Так как ,  то (12.4) можно записать в виде:

                             (12.5)

Каждая из сумм (12.5) является точечным ДПФ: первая – для четных отсчетов исходной последовательности, а вторая – для нечетных. Несмотря на то, что индекс  в формуле (12.5) распространяется на  значений , каждая из сумм требует вычислений только для , так как  и  периодичны по  с периодом .  Объединение же этих сумм приводит к точечному ДПФ . Процесс вычислений значений  в соответствии с (12.5) для восьмиточечной последовательности, то есть для , приведен на рисунке 12.1.

 

Процедура вычислений представлена в виде направленного графа, позволяющего формализовать вычисления. Предполагается, что ветви направленного графа, входящие в узел, суммируются. В тех случаях, когда не указываются коэффициенты передачи, их значение равно единице. Для других ветвей коэффициенты передачи по ветви являются целой степенью .

Из граф-схемы следует, что  получается умножением  на  и прибавлением . Значение  получается умножением  на  и прибавлением  и т.д. Вместе с тем, для  нужно было бы умножить  на  и прибавить . Однако, так как  и  периодичны по  с периодом 4, то  и . Таким образом,  получается умножением  на  и суммированием результата с .  Аналогично вводится коррекция для используемых значений  и  при .

Далее можно вычислить каждое точечное ДПФ в (12.4)  разбиением сумм на два точечных ДПФ. Таким образом,  и  могут быть вычислены в виде:

          (12.6)

                                         (12.7)

При вычислениях точечных ДПФ по формулам (12.6) и (12.7) справедливы все закономерности, отмеченные при разбиении отсчетов последовательности на две группы. Продолжим описанную процедуру разбиения исходной ДПФ на преобразования меньшей размерности, пока не останутся только  двухточечные преобразования.  Двухточечные ДПФ (их число равно ) могут быть вообще вычислены без использования операций умножения. Действительно, для двухточечной последовательности согласно определению ДПФ имеем два спектральных отсчета:

;                                                     (12.8)

.

Число требуемых при этом пар операций «умножение – сложение» можно оценить как . Таким образом, вычислительные затраты по сравнению с непосредственным использованием формулы (11.5) уменьшается в  раз. При больших  это отношение становится весьма велико.  Например, при  достигается более чем 100-кратное ускорение, но и это еще не предел. Количество комплексных умножений в алгоритме БПФ с прореживанием по времени может быть сокращено вдвое.

Из рассмотренного алгоритма следует, что на каждой ступени вычислений происходит преобразование одного множества из  комплексных чисел в другое множество из комплексных чисел. Обозначим множество комплексных чисел, получающееся на  ступени вычисления, через . Тогда можно считать  входным массивом, а  – выходным массивом на  ступени вычислений. С учетом введенных обозначений можно представить основную операцию вычислений как операцию, изображенную на рис.12.2 в виде графа:

Соотношения, соответствующие этому графу, имеют вид:

                                                              (12.9)

Из-за вида графа на рис.12.2  эта операция называется «бабочкой». Выражения (12.9) подсказывают метод сокращения числа комплексных умножений вдвое. Так как

,  соотношения (12.9) можно записать в виде:

                                                                 (12.10)

Так как на каждую ступень разбиения имеется  «бабочек» вида (12.10), а общее число ступеней равно , то общее число пар операций «умножение-сложение» сокращается до  .

PAGE  1


EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

N|2

ДПФ

N|2

ДПФ

Рис.12.1

Рис. 12.2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

3951. Дослідження комбінаційних схем з багатьма виходами 429.72 KB
  Лабораторна робота №14 Тема: дослідження комбінаційних схем з багатьма виходами. Мета: синтезувати комбінаційні схеми з багатьма виходам на прикладі дешифраторі та шифраторів, дослідити роботу цих пристроїв Теоретичні відомості Дешифратор...
3952. Дослідження регістрів 429.31 KB
  Лабораторна робота №13 Тема: дослідження регістрів. Мета: побудувати регістри на основі різних видів тригерів. Теоретичні відомості Регістрами називаються послідовнісні цифрові пристрої (ПЦП), які використовується для зберігання і виконання деяких л...
3953. Синтез мультиплексорів та демультиплексорів 412.29 KB
  Лабораторна робота №15 Тема: синтез мультиплексорів та демультиплексорів Мета: спроектувати комбінаційні схеми і дослідити роботу мультиплексора та демультиплексора. Теоретичні відомості. Мультиплексор призначений для комутації в певному порядку на...
3954. Алгоритми роботи, функції переходів та збудження основних типів тригерів 362.95 KB
  Тема: тригери. Мета: дослідити структуру, алгоритми роботи, функції переходів та збудження основних типів тригерів. Теоретичні відомості Тригером називається послідовний цифровий пристрій, що має два стійкі стани, які встанов...
3955. Дослідження лічильників. Способи зміни коефіцієнта перерахунку лічильників 327.12 KB
  Лабораторна робота №12 Тема: дослідження лічильників. Мета: дослідити роботу підсумовуючих та віднімаючих лічильників, розглянути способи зміни коефіцієнта перерахунку лічильників. Теоретичні відомості. Лічильниками імпульсів називають послідовнісні...
3956. Класс Random и его функции 63.6 KB
  Класс Random и его функции Умение генерировать случайные числа требуется во многих приложениях. Класс Random содержит все необходимые для этого средства. Класс Random имеет конструктор класса: для того, чтобы вызывать методы класса, нужно вначале со...
3957. Создание приложения веб-обозревателя 124.01 KB
  Лабораторная работа. Создание приложения веб-обозревателя. Цель работы. Научится создавать пользовательские приложения с использованием элемента управления MenuStrip, элемента управления Button, элемента управления ComboBox и WebBrowser. Ход выполне...
3958. Комп’ютерне моделювання в економіці, лабораторна робота 117.61 KB
  Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України Національний транспортний університет Факультет транспортних та інформаційних технологій Кафедра інформаційних систем і технологій Комп’ютерне моделювання в економіці Лабораторна робота...
3959. Прийняття рішень при векторному критерії оптимальності. Здачі багатокритеріальної оптимальності 115.12 KB
  Перейдемо до розгляду інформаційних технологій розв'язку ряду задач векторної оптимізації. У процесі розгляду ми обмежимося найбільше широко використовуваними методами. Для розв'язку задач будемо використовувати процесор електронних таблиць Excel, здатний досить просто й ефективно вирішувати задачі подібного роду.