19099

Цифровая обработка сигналов в частотной области. Быстрое преобразование Фурье

Практическая работа

Физика

Лекция № 12. Цифровая обработка сигналов в частотной области. Быстрое преобразование Фурье. Нахождение спектральных составляющих дискретного комплексного сигнала непосредственно по формуле ДПФ требует комплексных умножений и комплексных сложений. Так как колич...

Русский

2013-07-11

316.5 KB

9 чел.

Лекция № 12.

Цифровая обработка сигналов в частотной области. Быстрое преобразование Фурье.

Нахождение спектральных составляющих  дискретного комплексного сигнала непосредственно по формуле ДПФ  требует  комплексных умножений и  комплексных сложений. Так как количество вычислений, а следовательно, и время вычислений приблизительно пропорциональны , то при больших  количество арифметических операций весьма велико. Поэтому нахождение спектра в реальном времени даже для современной вычислительной техники представляет сложную задачу.

По этой причине представляет значительный интерес вычислительные процедуры, уменьшающие количество умножений и сложений. Основной принцип всех этих алгоритмов заключается в разложении операций вычисления ДПФ сигнала длины  на вычисление преобразований Фурье с меньшим числом точек. Разделив анализируемый набор отсчетов на части, вычисляют их ДПФ и объединяют результаты. Такие процедуры получили название алгоритмов быстрого преобразования Фурье БПФ.

При реализации БПФ возможно несколько вариантов организации вычислений в зависимости от способа деления последовательности отсчетов на части (прореживание по времени или по частоте) и от того, на сколько фрагментов производится разбиение последовательности на каждом шаге (основание БПФ). Наиболее простыми и широко используемыми являются алгоритмы БПФ с основанием 2, когда длина последовательности  является целой степенью числа 2, то есть , где целое число.

БПФ с прореживанием по времени.  Рассмотрим идею БПФ с прореживанием по времени на примере деления набора отсчетов пополам. Введя общепринятое в литературе обозначение для дискретных экспоненциальных функций:

,                                                                         (12.1)

Запишем ДПФ сигнала  в виде:

.                                                  (12.2)

Разобьем  на две -точечные последовательности, состоящие из отсчетов с четными и нечетными номерами соответственно. В результате получим:

.                                                    (12.3)

Заменяя индексы суммирования на  при четном  и на  при нечетном , придем к выражению:

.                             (12.4)

Так как ,  то (12.4) можно записать в виде:

                             (12.5)

Каждая из сумм (12.5) является точечным ДПФ: первая – для четных отсчетов исходной последовательности, а вторая – для нечетных. Несмотря на то, что индекс  в формуле (12.5) распространяется на  значений , каждая из сумм требует вычислений только для , так как  и  периодичны по  с периодом .  Объединение же этих сумм приводит к точечному ДПФ . Процесс вычислений значений  в соответствии с (12.5) для восьмиточечной последовательности, то есть для , приведен на рисунке 12.1.

 

Процедура вычислений представлена в виде направленного графа, позволяющего формализовать вычисления. Предполагается, что ветви направленного графа, входящие в узел, суммируются. В тех случаях, когда не указываются коэффициенты передачи, их значение равно единице. Для других ветвей коэффициенты передачи по ветви являются целой степенью .

Из граф-схемы следует, что  получается умножением  на  и прибавлением . Значение  получается умножением  на  и прибавлением  и т.д. Вместе с тем, для  нужно было бы умножить  на  и прибавить . Однако, так как  и  периодичны по  с периодом 4, то  и . Таким образом,  получается умножением  на  и суммированием результата с .  Аналогично вводится коррекция для используемых значений  и  при .

Далее можно вычислить каждое точечное ДПФ в (12.4)  разбиением сумм на два точечных ДПФ. Таким образом,  и  могут быть вычислены в виде:

          (12.6)

                                         (12.7)

При вычислениях точечных ДПФ по формулам (12.6) и (12.7) справедливы все закономерности, отмеченные при разбиении отсчетов последовательности на две группы. Продолжим описанную процедуру разбиения исходной ДПФ на преобразования меньшей размерности, пока не останутся только  двухточечные преобразования.  Двухточечные ДПФ (их число равно ) могут быть вообще вычислены без использования операций умножения. Действительно, для двухточечной последовательности согласно определению ДПФ имеем два спектральных отсчета:

;                                                     (12.8)

.

Число требуемых при этом пар операций «умножение – сложение» можно оценить как . Таким образом, вычислительные затраты по сравнению с непосредственным использованием формулы (11.5) уменьшается в  раз. При больших  это отношение становится весьма велико.  Например, при  достигается более чем 100-кратное ускорение, но и это еще не предел. Количество комплексных умножений в алгоритме БПФ с прореживанием по времени может быть сокращено вдвое.

Из рассмотренного алгоритма следует, что на каждой ступени вычислений происходит преобразование одного множества из  комплексных чисел в другое множество из комплексных чисел. Обозначим множество комплексных чисел, получающееся на  ступени вычисления, через . Тогда можно считать  входным массивом, а  – выходным массивом на  ступени вычислений. С учетом введенных обозначений можно представить основную операцию вычислений как операцию, изображенную на рис.12.2 в виде графа:

Соотношения, соответствующие этому графу, имеют вид:

                                                              (12.9)

Из-за вида графа на рис.12.2  эта операция называется «бабочкой». Выражения (12.9) подсказывают метод сокращения числа комплексных умножений вдвое. Так как

,  соотношения (12.9) можно записать в виде:

                                                                 (12.10)

Так как на каждую ступень разбиения имеется  «бабочек» вида (12.10), а общее число ступеней равно , то общее число пар операций «умножение-сложение» сокращается до  .

PAGE  1


EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

N|2

ДПФ

N|2

ДПФ

Рис.12.1

Рис. 12.2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

54811. Holidays and traditions in Ukraine and English-speaking countries 1.3 MB
  Dear pupils. I am glad to see you again. The theme of our lesson is “Holidays and traditions in Ukraine and English-speaking countries.” Today we are going to read the text about traditions in English speaking countries and Ukraine, we’ll listen to the text about Thanksgiving Day in Canada and of course you’ll speak English and present your projects. Let’s start.
54812. Parties and Holidays 78.5 KB
  Objectives: to practice pupils’ listening and speaking skills; to enrich the pupils’ vocabulary; to train the usage of the lexical material in practice; to widen students’ knowledge about the celebration of different parties and holidays in Ukraine and English-speaking countries; to develop their critical thinking; to enrich their outlook;
54814. FOOD AND COOKERY 90 KB
  It is not a secret that Ukrainian people are big eaters. Our women cook very much and they cook tasty. But our men like to eat what our women cook and they are thankful for tasty dishes.
54815. Турнір знавців Паскаля 255 KB
  Алгоритмізація та програмування для учнів є більш складними розділами інформатики. Тому варто зробити декілька уроків трішки цікавішими, навіть розважальними. Це може бути, наприклад, узагальнюючий урок напередодні тематичного оцінювання, підсумковий урок теми.
54816. Святкова церемонія вручення паспорта громадянина України 47.5 KB
  Буклети Паспорт – головний документ громадянина України Конституція України. Виховувати громадянина патріота країни любов гордість і повагу до України. Ми раді вітати вас на церемонії вручення паспортів громадянина України.
54817. Патріотичне виховання майбутніх соціальних працівників у процесі вивчення соціології (з особистого досвіду) 197 KB
  Тому одним із завдань гуманітаризації та гуманізації вищої освіти стає орієнтація і на загальнолюдські культурні цінності залучення студентів до національних джерел духовності формування у них патріотичних якостей. Проте результати аналізу досліджень вищеназваних учених свідчать що питаниям патріотичного виховання студентів вищих навчальних закладів освіти узагальненню досвіду формування патріотичних якостей студентів не приділялося належної уваги. Патріотичне виховання студентів це організований планомірний та цілеспрямований процес...
54818. Разнообразие Паукообразных 641.5 KB
  Учитель объясняет ученикам что ее необходимо заполнить в ходе урока а именно после показа 1 слайда презентации и дополнительной информации о пауках подготовленной учениками дома из дополнительной литературы. Учитель стимулирует учеников к активности говоря о дополнительных баллах за правильно заполненную таблицу. Учитель: 1. Учитель: 1.
54819. Різноманітність павукоподібних та їхня роль у екосистемах. Значення в житті людини 173 KB
  Мета заняття: навчальна: поглибити знання учнів про різноманітність павукоподібних та риси пристосованості до середовища і способу життя; сформувати поняття про значне поширення представників класу їхню роль у різних екосистемах і господарській діяльності людини; пояснити небезпеку деяких видів павукоподібних що є паразитами людини й переносниками небезпечних вірусних інфекцій або збудниками деяких захворювань; знати заходи профілактики захворювань які...