19099

Цифровая обработка сигналов в частотной области. Быстрое преобразование Фурье

Практическая работа

Физика

Лекция № 12. Цифровая обработка сигналов в частотной области. Быстрое преобразование Фурье. Нахождение спектральных составляющих дискретного комплексного сигнала непосредственно по формуле ДПФ требует комплексных умножений и комплексных сложений. Так как колич...

Русский

2013-07-11

316.5 KB

9 чел.

Лекция № 12.

Цифровая обработка сигналов в частотной области. Быстрое преобразование Фурье.

Нахождение спектральных составляющих  дискретного комплексного сигнала непосредственно по формуле ДПФ  требует  комплексных умножений и  комплексных сложений. Так как количество вычислений, а следовательно, и время вычислений приблизительно пропорциональны , то при больших  количество арифметических операций весьма велико. Поэтому нахождение спектра в реальном времени даже для современной вычислительной техники представляет сложную задачу.

По этой причине представляет значительный интерес вычислительные процедуры, уменьшающие количество умножений и сложений. Основной принцип всех этих алгоритмов заключается в разложении операций вычисления ДПФ сигнала длины  на вычисление преобразований Фурье с меньшим числом точек. Разделив анализируемый набор отсчетов на части, вычисляют их ДПФ и объединяют результаты. Такие процедуры получили название алгоритмов быстрого преобразования Фурье БПФ.

При реализации БПФ возможно несколько вариантов организации вычислений в зависимости от способа деления последовательности отсчетов на части (прореживание по времени или по частоте) и от того, на сколько фрагментов производится разбиение последовательности на каждом шаге (основание БПФ). Наиболее простыми и широко используемыми являются алгоритмы БПФ с основанием 2, когда длина последовательности  является целой степенью числа 2, то есть , где целое число.

БПФ с прореживанием по времени.  Рассмотрим идею БПФ с прореживанием по времени на примере деления набора отсчетов пополам. Введя общепринятое в литературе обозначение для дискретных экспоненциальных функций:

,                                                                         (12.1)

Запишем ДПФ сигнала  в виде:

.                                                  (12.2)

Разобьем  на две -точечные последовательности, состоящие из отсчетов с четными и нечетными номерами соответственно. В результате получим:

.                                                    (12.3)

Заменяя индексы суммирования на  при четном  и на  при нечетном , придем к выражению:

.                             (12.4)

Так как ,  то (12.4) можно записать в виде:

                             (12.5)

Каждая из сумм (12.5) является точечным ДПФ: первая – для четных отсчетов исходной последовательности, а вторая – для нечетных. Несмотря на то, что индекс  в формуле (12.5) распространяется на  значений , каждая из сумм требует вычислений только для , так как  и  периодичны по  с периодом .  Объединение же этих сумм приводит к точечному ДПФ . Процесс вычислений значений  в соответствии с (12.5) для восьмиточечной последовательности, то есть для , приведен на рисунке 12.1.

 

Процедура вычислений представлена в виде направленного графа, позволяющего формализовать вычисления. Предполагается, что ветви направленного графа, входящие в узел, суммируются. В тех случаях, когда не указываются коэффициенты передачи, их значение равно единице. Для других ветвей коэффициенты передачи по ветви являются целой степенью .

Из граф-схемы следует, что  получается умножением  на  и прибавлением . Значение  получается умножением  на  и прибавлением  и т.д. Вместе с тем, для  нужно было бы умножить  на  и прибавить . Однако, так как  и  периодичны по  с периодом 4, то  и . Таким образом,  получается умножением  на  и суммированием результата с .  Аналогично вводится коррекция для используемых значений  и  при .

Далее можно вычислить каждое точечное ДПФ в (12.4)  разбиением сумм на два точечных ДПФ. Таким образом,  и  могут быть вычислены в виде:

          (12.6)

                                         (12.7)

При вычислениях точечных ДПФ по формулам (12.6) и (12.7) справедливы все закономерности, отмеченные при разбиении отсчетов последовательности на две группы. Продолжим описанную процедуру разбиения исходной ДПФ на преобразования меньшей размерности, пока не останутся только  двухточечные преобразования.  Двухточечные ДПФ (их число равно ) могут быть вообще вычислены без использования операций умножения. Действительно, для двухточечной последовательности согласно определению ДПФ имеем два спектральных отсчета:

;                                                     (12.8)

.

Число требуемых при этом пар операций «умножение – сложение» можно оценить как . Таким образом, вычислительные затраты по сравнению с непосредственным использованием формулы (11.5) уменьшается в  раз. При больших  это отношение становится весьма велико.  Например, при  достигается более чем 100-кратное ускорение, но и это еще не предел. Количество комплексных умножений в алгоритме БПФ с прореживанием по времени может быть сокращено вдвое.

Из рассмотренного алгоритма следует, что на каждой ступени вычислений происходит преобразование одного множества из  комплексных чисел в другое множество из комплексных чисел. Обозначим множество комплексных чисел, получающееся на  ступени вычисления, через . Тогда можно считать  входным массивом, а  – выходным массивом на  ступени вычислений. С учетом введенных обозначений можно представить основную операцию вычислений как операцию, изображенную на рис.12.2 в виде графа:

Соотношения, соответствующие этому графу, имеют вид:

                                                              (12.9)

Из-за вида графа на рис.12.2  эта операция называется «бабочкой». Выражения (12.9) подсказывают метод сокращения числа комплексных умножений вдвое. Так как

,  соотношения (12.9) можно записать в виде:

                                                                 (12.10)

Так как на каждую ступень разбиения имеется  «бабочек» вида (12.10), а общее число ступеней равно , то общее число пар операций «умножение-сложение» сокращается до  .

PAGE  1


EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

N|2

ДПФ

N|2

ДПФ

Рис.12.1

Рис. 12.2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

56087. Кіммерійці та скіфи на території сучасної України 101.5 KB
  У відповідному місці впишіть назву кочових племен причорноморського степу що їх витіснили скіфи в VІІ ст. Скіфи - кочові племена що витіснили кіммерійців на теренах Північного Причорноморя. Скіфи були, як і кіммерійці, кочівниками.
56088. Кіммерійці та скіфи на території сучасної України 62.5 KB
  Навчальна мета: закріпити знання з попередньої теми; розглянути з учнями історичний матеріал повязаний з життям на території сучасної України кочових племен кіммерійців та скіфів; при вивченні нового матеріалу...
56089. Школа проти СНІДу 123 KB
  Саме тому перш за все школа повинна стати середовищем для формування у молодих людей розуміння серйозності проблеми ВІЛ СНІДу та переваг здорового способу життя. Мета: ознайомити учнів з епідеміями що спіткали цивілізацію з сучасним станом розвитку епідемії ВІЛ СНІДу.
56090. Григорій Сковорода – філософ, поет, музикант. (“Всякому городу – нрав і права” із циклу “Сад божественних пісень”) 38.5 KB
  Сковорода: філософом поетом чи композитором. Тарас Шевченко Григорій Сковорода видатний український просвітитель поет педагог музикант ХVІІІ століття поборник правди чия творчість пройнята любовю до людей.
56091. ОСОБЛИВОСТІ ВИВЧЕННЯ ТВОРЧОСТІ Г.С. СКОВОРОДИ НА УРОКАХ СЛОВЕСНОСТІ 186.5 KB
  Сковорода був близький йому своїми ідеями поглядами на призначення людини. Можливо він орієнтувався трохи на малюнок Івана Їжакевича Мандрівний філософ Сковорода і на малюнок Миколи Самокиша Сковорода...