19099

Цифровая обработка сигналов в частотной области. Быстрое преобразование Фурье

Практическая работа

Физика

Лекция № 12. Цифровая обработка сигналов в частотной области. Быстрое преобразование Фурье. Нахождение спектральных составляющих дискретного комплексного сигнала непосредственно по формуле ДПФ требует комплексных умножений и комплексных сложений. Так как колич...

Русский

2013-07-11

316.5 KB

9 чел.

Лекция № 12.

Цифровая обработка сигналов в частотной области. Быстрое преобразование Фурье.

Нахождение спектральных составляющих  дискретного комплексного сигнала непосредственно по формуле ДПФ  требует  комплексных умножений и  комплексных сложений. Так как количество вычислений, а следовательно, и время вычислений приблизительно пропорциональны , то при больших  количество арифметических операций весьма велико. Поэтому нахождение спектра в реальном времени даже для современной вычислительной техники представляет сложную задачу.

По этой причине представляет значительный интерес вычислительные процедуры, уменьшающие количество умножений и сложений. Основной принцип всех этих алгоритмов заключается в разложении операций вычисления ДПФ сигнала длины  на вычисление преобразований Фурье с меньшим числом точек. Разделив анализируемый набор отсчетов на части, вычисляют их ДПФ и объединяют результаты. Такие процедуры получили название алгоритмов быстрого преобразования Фурье БПФ.

При реализации БПФ возможно несколько вариантов организации вычислений в зависимости от способа деления последовательности отсчетов на части (прореживание по времени или по частоте) и от того, на сколько фрагментов производится разбиение последовательности на каждом шаге (основание БПФ). Наиболее простыми и широко используемыми являются алгоритмы БПФ с основанием 2, когда длина последовательности  является целой степенью числа 2, то есть , где целое число.

БПФ с прореживанием по времени.  Рассмотрим идею БПФ с прореживанием по времени на примере деления набора отсчетов пополам. Введя общепринятое в литературе обозначение для дискретных экспоненциальных функций:

,                                                                         (12.1)

Запишем ДПФ сигнала  в виде:

.                                                  (12.2)

Разобьем  на две -точечные последовательности, состоящие из отсчетов с четными и нечетными номерами соответственно. В результате получим:

.                                                    (12.3)

Заменяя индексы суммирования на  при четном  и на  при нечетном , придем к выражению:

.                             (12.4)

Так как ,  то (12.4) можно записать в виде:

                             (12.5)

Каждая из сумм (12.5) является точечным ДПФ: первая – для четных отсчетов исходной последовательности, а вторая – для нечетных. Несмотря на то, что индекс  в формуле (12.5) распространяется на  значений , каждая из сумм требует вычислений только для , так как  и  периодичны по  с периодом .  Объединение же этих сумм приводит к точечному ДПФ . Процесс вычислений значений  в соответствии с (12.5) для восьмиточечной последовательности, то есть для , приведен на рисунке 12.1.

 

Процедура вычислений представлена в виде направленного графа, позволяющего формализовать вычисления. Предполагается, что ветви направленного графа, входящие в узел, суммируются. В тех случаях, когда не указываются коэффициенты передачи, их значение равно единице. Для других ветвей коэффициенты передачи по ветви являются целой степенью .

Из граф-схемы следует, что  получается умножением  на  и прибавлением . Значение  получается умножением  на  и прибавлением  и т.д. Вместе с тем, для  нужно было бы умножить  на  и прибавить . Однако, так как  и  периодичны по  с периодом 4, то  и . Таким образом,  получается умножением  на  и суммированием результата с .  Аналогично вводится коррекция для используемых значений  и  при .

Далее можно вычислить каждое точечное ДПФ в (12.4)  разбиением сумм на два точечных ДПФ. Таким образом,  и  могут быть вычислены в виде:

          (12.6)

                                         (12.7)

При вычислениях точечных ДПФ по формулам (12.6) и (12.7) справедливы все закономерности, отмеченные при разбиении отсчетов последовательности на две группы. Продолжим описанную процедуру разбиения исходной ДПФ на преобразования меньшей размерности, пока не останутся только  двухточечные преобразования.  Двухточечные ДПФ (их число равно ) могут быть вообще вычислены без использования операций умножения. Действительно, для двухточечной последовательности согласно определению ДПФ имеем два спектральных отсчета:

;                                                     (12.8)

.

Число требуемых при этом пар операций «умножение – сложение» можно оценить как . Таким образом, вычислительные затраты по сравнению с непосредственным использованием формулы (11.5) уменьшается в  раз. При больших  это отношение становится весьма велико.  Например, при  достигается более чем 100-кратное ускорение, но и это еще не предел. Количество комплексных умножений в алгоритме БПФ с прореживанием по времени может быть сокращено вдвое.

Из рассмотренного алгоритма следует, что на каждой ступени вычислений происходит преобразование одного множества из  комплексных чисел в другое множество из комплексных чисел. Обозначим множество комплексных чисел, получающееся на  ступени вычисления, через . Тогда можно считать  входным массивом, а  – выходным массивом на  ступени вычислений. С учетом введенных обозначений можно представить основную операцию вычислений как операцию, изображенную на рис.12.2 в виде графа:

Соотношения, соответствующие этому графу, имеют вид:

                                                              (12.9)

Из-за вида графа на рис.12.2  эта операция называется «бабочкой». Выражения (12.9) подсказывают метод сокращения числа комплексных умножений вдвое. Так как

,  соотношения (12.9) можно записать в виде:

                                                                 (12.10)

Так как на каждую ступень разбиения имеется  «бабочек» вида (12.10), а общее число ступеней равно , то общее число пар операций «умножение-сложение» сокращается до  .

PAGE  1


EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

N|2

ДПФ

N|2

ДПФ

Рис.12.1

Рис. 12.2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

14273. Рахманинов Сергей Васильевич (1873-1943) - композитор, пианист, дирижёр 251 KB
  Рахманинов Сергей Васильевич 18731943 композитор пианист дирижёр. Родился Рахманинов в дворянской семье в Старорусском уезде Новгородской губернии в имении Онег 20 марта 1873 г. История рода Рахманинова уходит корнями к внуку молдавского царя Стефана Вел
14274. Сказа́ние о неви́димом гра́де Ки́теже и деве Февро́нии 18.75 KB
  Сказа́ние о неви́димом гра́де Ки́теже и деве Февро́нии опера русского композитора Николая Андреевича РимскогоКорсакова. В опере четыре действия шесть картин. Основой сюжета стала легенда конца XVIII века о граде Китеже. РимскийКорсаков приступил к написанию музык
14275. Физика и музыка 371.5 KB
  Содержание Что называется высотой тона Что называется мажорной диатонической гаммой Что называется музыкальным интервалом Для чего служат черные клавиши на рояле и в органах Что называется равномерно темперированной гаммой Какова стандартная высота...
14276. Музыка в детских праздниках и представлениях 137.5 KB
  Реферат Музыка в детских праздниках и представлениях СОДЕРЖАНИЕ: ВВЕДЕНИЕ Роль праздников в развитии и воспитании детей. Значение и роль праздника. Построение праздника. Характеристика основных видов зрелищ для детей раннего возраста. М...
14277. Воздействие звука на человека 139.66 KB
  Воздействие звука на человека Что такое звук Звук представляет собой определенную вибрацию волну или энергию в пространстве. Вся Вселенная была создана Звуком. Согласно Библии: Вначале было Слово при помощи которого Бог творил нашу Вселенную. В индийской философи...
14279. Значение музыки в жизни человека 2.49 MB
  ВВЕДЕНИЕ В области музыки существует огромное поле для исследования а ее психическое влияние представляется очень малоизвестным современной науке. Нас учили что влияние музыки или звука и вибрации приходит к нам и затрагивает наши чувства снаружи; но остается еще
14280. Полонезы. Мазурки . Этюды 5.59 MB
  Полонезы. Мазурки. Этюды. План и содержание: Полонезы характеристика разбор полонезов: Adur №3 и esmoll №2. Мазурки характеристика разбор мазурок: Fdur №50 amoll № 49 fismoll №38 Cdur №15 amoll №13 Bdur №5. Этюды характерис
14281. Дорожные знаки 116.76 KB
  Дорожные знаки Хусаин Файзуллович Ахметов ─ крупнейший башкирский композитор. Его творчество сыграло важную роль в становлении башкирской профессиональной музыки выработке национального музыкального стиля. Среди произведений написанны...