19101

Устойчивость дискретных систем

Практическая работа

Физика

Лекция № 13. Устойчивость дискретных систем. Линейная дискретная система с постоянными параметрами стационарный фильтр называется устойчивой если при любых начальных условиях и любом ограниченном входном сигнале выходной сигнал также остается ограниченным то е...

Русский

2013-07-11

199 KB

18 чел.

Лекция № 13.

Устойчивость дискретных систем.

Линейная дискретная система с постоянными параметрами (стационарный фильтр) называется устойчивой, если при любых начальных условиях и любом ограниченном входном сигнале выходной сигнал также остается ограниченным, то есть из условия  для всех  следует,  

Необходимым и достаточным условием устойчивости одномерного стационарного линейного фильтра является следующее требование к его импульсной характеристике:

,                                                                                      (13.1)

то есть требование сходимости ряда, составленного из модулей отсчетов импульсной характеристики фильтра.

Необходимость. Предположим сначала, что условие (13.1) не выполняется, то есть . Рассмотрим ограниченную последовательность, заданную значениями                                                                                  (13.2)

Так как выходные отсчеты сигнала равны свертке входных отсчетов и значений импульсной характеристики дискретной системы, т.е.

,                                                                        (13.3)

то при  отклик системы равен:

                                                (13.4)

Таким образом, последовательность  не ограничена, следовательно, неравенство (13.1) является необходимым условием устойчивости системы.

Достаточность. Предположим, что условие (13.1) выполняется, а на вход поступает ограниченная последовательность отсчетов сигнала . Из формулы (13.3) получаем:

          (13.5)

Если , то  и система – устойчива.

 Устойчивость нерекурсивных  дискретных систем. Как ранее отмечалось, в нерекурсивных дискретных системах для вычисления очередного отсчета выходного сигнала  используются только отсчеты входного сигнала . Поэтому алгоритм работы такой системы имеет вид:

                                                                                (13.6)

Системная (передаточная) функция такой системы является рациональной функцией, то есть полиномом степени  комплексного аргумента :

.                                                                                      (13.7)

Нерекурсивные стационарные линейные фильтры обладают замечательной особенностью: их импульсные характеристики  имеют конечное число ненулевых отсчетов, причем эти отсчеты равны коэффициентам  алгоритма фильтрации. Действительно, в соответствии с (9.22) и (13.7):

.                                                                (13.8)

Отсюда следует, что                                                       (13.9)

Таким образом, импульсная характеристика нерекурсивного стационарного линейного фильтра имеет конечное число отличных от нуля отсчетов, и в соответствии с (13.1) такой фильтр всегда устойчив. Свойство (13.9) обусловило еще одно название таких фильтров – фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтры).

Устойчивость рекурсивных  дискретных систем.  Для рекурсивных дискретных систем использовать критерий устойчивости в форме (13.1) затруднительно, поскольку необходимо суммировать бесконечный ряд модулей отсчетов импульсной характеристики. Выразим критерий (13.1) в другой форме, удобной для исследования рекурсивных фильтров.

Рассмотрим физически реализуемый фильтр  порядка с системной функцией и для простоты предположим, что все полюсы простые. Отметим, что для физически реализуемых фильтров степень полинома в числителе не превышает степень полинома в знаменателе. Импульсная характеристика такого фильтра определяется соотношением:

.                                                                          (13.10)

Для  имеем:

,                                           (13.11)

а при имеем следующее выражение:

.                                                                    (13.12)

Представляя  полюсы  в виде:  , полагая при этом что

,                                                                              (13.13)

можно записать следующее соотношение:

                              (13.14)

Так как функция аналитична в окрестностях точек  и , то  и все вычеты конечны, то есть    для  . Поэтому из (13.13) и (13.14) следует:

.                                                                    (13.15)

Так как по условию (13.13) , то ряд в правой части соотношения (13.15) сходится и

.  Таким образом, соотношение (13.13) представляет собой достаточное условие устойчивости фильтра.

Итак, если полюса функции  лежат внутри круга единичного радиуса          Z-плоскости, то такой фильтр устойчив. Если хотя бы один полюс  расположен на единичной окружности  или во внешней части круга единичного радиуса, то такая   представляет неустойчивый фильтр. Заметим, что положение нулей системной функции не влияет на устойчивость фильтра.

Недостатки полюсного критерия устойчивости обусловлены необходимостью определения корней характеристического уравнения, являющихся полюсами системной функции. Аналитических методов решения алгебраических уравнений, порядок которых выше четвертого, не существует. Поэтому нахождение полюсов системной функции высокого порядка возможно лишь численными методами.

Существуют алгебраические и частотные критерии устойчивости стационарных линейных дискретных систем, позволяющие судить об устойчивости фильтра без нахождения корней характеристического уравнения. Например, критерий Джури, аналогичный критерию Рауса-Гурвица для аналоговых систем.

Пример. Проверить на устойчивость следующий рекурсивный фильтр 2порядка.

Решение.  Запишем два уравнения относительно двух сумматоров в Z-преобразованой форме:

                                                     (13.16)

Из (13.6) определяем системную функцию такого фильтра:

                                                 (13.7)

где  корни характеристического уравнения, являющиеся полюсами системной функции. Так как  и , следовательно, полюса системной функции  лежат внутри круга единичного радиуса, и фильтр является устойчивым.

Примечание. Неустойчивый фильтр, безусловно, неработоспособен в том случае, когда входной сигнал действует неограниченно долго, так как при этом выходной сигнал  перестанет зависеть от входного сигнала. Но он работоспособен и используется на практике в тех случаях, когда входной сигнал действует в течение ограниченного интервала времени. Например, цифровой интегратор с системной  функцией   (эта функция имеет полюс , т.е. фильтр – неустойчив)  вполне работоспособен и используется на практике, если входной сигнал  действует лишь при , после чего следует сброс и восстановление начальных условий. Цифровой интегратор может входить в состав замкнутой следящей системы. При этом за счет обратной связи система может обладать устойчивостью, несмотря на то, что интегратор, являющийся динамическим звеном системы, неустойчив.

PAGE  4


EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

35324. MS Excel. Структура таблиці. Типи даних. Консолідація да 325.5 KB
  Структура таблиці. Мета:Уміти налаштовувати параметри робочого аркуша вводити текстові числові дані і формули в таблицю редагувати дані форматувати дані і таблиці копіювати формули і таблиці. Яка сума буде на його рахунку через 10 років Відобразити щорічні зміни на рахунку у вигляді таблиці рис. Форматування таблиці.
35325. Побудова діаграм в MS Excel 443 KB
  Запустіть Майстра діаграм і виконайте перший крок: задайте тип і вигляд діаграми. Задайте параметри діаграми. Сформатуйте область діаграми. Активізуйте контекстне меню області діаграми.
35326. Тема: MS ccess. Створення бази даних у вигляді декількох таблиць. 262 KB
  Створення бази даних у вигляді декількох таблиць. План Основні поняття про бази даних. Задача Успішність Створити базу даних з трьох таблиць: Оцінки рис. Оцінки Номер Прізвище Ім'я Мат Інф Фіз Літ Мова 1 Артист Іван 5 5 4 3 3 2 Мицик Орест 3 3 4 4 3 3 Бодак Марта 5 5 5 5 5 4 Пелех Іра 4 4 5 5 5 5 Іваник Микола 5 5 5 4 4 6 Боженко Роман 5 5 4 4 4 7 Ковальчук Лілія 4 4 4 4 4 8 Захарко Оксана 3 3 3 3 3 9 Матвішін Василь 5 5 4 5 4 10 Атарова Леся 3 2 3 3 4 Адреса Номер Прізвище Ім'я Адреса 1 Артист Іван Леніна 32 1 2 Мицик Орест Маликіна 36 2...
35327. Тема: MS PowerPoint. Створення презентацій. 1.45 MB
  Контрольні запитання Яке призначення програми MS PowerPoint Що таке презентація Що може містити слайд Якими способами можна створити слайд Які є режими роботи зі слайдами Як редагують слайд Що таке маркований список Що таке слайд Що таке режим слайдів звичайний 10. Як вставити новий слайд 11. 3 яких елементів може складатися слайд Яке призначення режиму показу слайдів Як вставити звук і відеокліп у слайд Як підвищити рівень елемента списку Для чого використовують анімаційні ефекти...
35328. Монтаж электрооборудования цеха редукторов станкостроительного завода 731.5 KB
  Электромонтажные работы первой стадии предусматривает производство всех подготовительных и заготовительных работ. На этой стадии внутри сооружений и зданий выполняют монтаж опорных конструкций для установки электрооборудования
35329. РАБОТА С БАЗАМИ ДАННЫХ В MICROSOFT EXCEL 860.3 KB
  Призначення: оволодіння засобами виконання основних операцій з дисками дозволить раціонально використовувати диски у повсякденній роботі а в деяких випадках врятувати дані на пошкодженому диску чи просто зробити його знову придатним для роботи. Ход работи Виконати перевірку жорсткого диска С: Пуск Программы Стандартные Служебные Проверка диска . Виконайте стандартну перевірку диска С одержте звіт про виконання. Виконайте повну перевірку диска А одержте звіт про виконання.
35330. Тема: Використання редактора реєстру. 309 KB
  Практична робота №14 Тема: Використання редактора реєстру. Мета: Ознайомитися з редактором реєстру Windows XP навчитися здійснювати пошук інформації в реєстрі а також здійснювати зміни в реєстрі. Індивідуальне завдання Використання редактора реєстру Вправа 1. Дослідження реєстру Зараз ви використаєте Редактор реєстру Regіstry Edіtor для перегляду інформації що втримується в реєстрі.
35331. Основні прийоми роботи в середовищі Windows 8.35 MB
  Призначення: ознайомитися з основними об'єктами робочого столу папками Мій комп'ютер Мережеве оточення Корзина і панеллю задач їх зовнішнім виглядом і змістом навчитися узнавати і змінювати властивості об'єктів Windows. Визначити які диски є на вашому комп'ютері. Взнати інформацією яких комп'ютерів ви можете скористатися при роботі на вашому комп'ютері. В даному випадку не можливо скористатися інформацією інших компютерів.
35332. Основні прийоми роботи в середовищі Windows. 1.47 MB
  Призначення: ознайомитися з основними об'єктами робочого столу папками Мій комп'ютер Мережеве оточення Корзина і панеллю задач їх зовнішнім виглядом і змістом навчитися узнавати і змінювати властивості об'єктів Windows. 1мой компьютер 2интернет 3корзина 4пуск 5 панель задач 6панель увидомления 2. Визначити які диски є на вашому комп'ютері 3. Взнати інформацією яких комп'ютерів ви можете скористатися при роботі на вашому комп'ютері.