19101

Устойчивость дискретных систем

Практическая работа

Физика

Лекция № 13. Устойчивость дискретных систем. Линейная дискретная система с постоянными параметрами стационарный фильтр называется устойчивой если при любых начальных условиях и любом ограниченном входном сигнале выходной сигнал также остается ограниченным то е...

Русский

2013-07-11

199 KB

17 чел.

Лекция № 13.

Устойчивость дискретных систем.

Линейная дискретная система с постоянными параметрами (стационарный фильтр) называется устойчивой, если при любых начальных условиях и любом ограниченном входном сигнале выходной сигнал также остается ограниченным, то есть из условия  для всех  следует,  

Необходимым и достаточным условием устойчивости одномерного стационарного линейного фильтра является следующее требование к его импульсной характеристике:

,                                                                                      (13.1)

то есть требование сходимости ряда, составленного из модулей отсчетов импульсной характеристики фильтра.

Необходимость. Предположим сначала, что условие (13.1) не выполняется, то есть . Рассмотрим ограниченную последовательность, заданную значениями                                                                                  (13.2)

Так как выходные отсчеты сигнала равны свертке входных отсчетов и значений импульсной характеристики дискретной системы, т.е.

,                                                                        (13.3)

то при  отклик системы равен:

                                                (13.4)

Таким образом, последовательность  не ограничена, следовательно, неравенство (13.1) является необходимым условием устойчивости системы.

Достаточность. Предположим, что условие (13.1) выполняется, а на вход поступает ограниченная последовательность отсчетов сигнала . Из формулы (13.3) получаем:

          (13.5)

Если , то  и система – устойчива.

 Устойчивость нерекурсивных  дискретных систем. Как ранее отмечалось, в нерекурсивных дискретных системах для вычисления очередного отсчета выходного сигнала  используются только отсчеты входного сигнала . Поэтому алгоритм работы такой системы имеет вид:

                                                                                (13.6)

Системная (передаточная) функция такой системы является рациональной функцией, то есть полиномом степени  комплексного аргумента :

.                                                                                      (13.7)

Нерекурсивные стационарные линейные фильтры обладают замечательной особенностью: их импульсные характеристики  имеют конечное число ненулевых отсчетов, причем эти отсчеты равны коэффициентам  алгоритма фильтрации. Действительно, в соответствии с (9.22) и (13.7):

.                                                                (13.8)

Отсюда следует, что                                                       (13.9)

Таким образом, импульсная характеристика нерекурсивного стационарного линейного фильтра имеет конечное число отличных от нуля отсчетов, и в соответствии с (13.1) такой фильтр всегда устойчив. Свойство (13.9) обусловило еще одно название таких фильтров – фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтры).

Устойчивость рекурсивных  дискретных систем.  Для рекурсивных дискретных систем использовать критерий устойчивости в форме (13.1) затруднительно, поскольку необходимо суммировать бесконечный ряд модулей отсчетов импульсной характеристики. Выразим критерий (13.1) в другой форме, удобной для исследования рекурсивных фильтров.

Рассмотрим физически реализуемый фильтр  порядка с системной функцией и для простоты предположим, что все полюсы простые. Отметим, что для физически реализуемых фильтров степень полинома в числителе не превышает степень полинома в знаменателе. Импульсная характеристика такого фильтра определяется соотношением:

.                                                                          (13.10)

Для  имеем:

,                                           (13.11)

а при имеем следующее выражение:

.                                                                    (13.12)

Представляя  полюсы  в виде:  , полагая при этом что

,                                                                              (13.13)

можно записать следующее соотношение:

                              (13.14)

Так как функция аналитична в окрестностях точек  и , то  и все вычеты конечны, то есть    для  . Поэтому из (13.13) и (13.14) следует:

.                                                                    (13.15)

Так как по условию (13.13) , то ряд в правой части соотношения (13.15) сходится и

.  Таким образом, соотношение (13.13) представляет собой достаточное условие устойчивости фильтра.

Итак, если полюса функции  лежат внутри круга единичного радиуса          Z-плоскости, то такой фильтр устойчив. Если хотя бы один полюс  расположен на единичной окружности  или во внешней части круга единичного радиуса, то такая   представляет неустойчивый фильтр. Заметим, что положение нулей системной функции не влияет на устойчивость фильтра.

Недостатки полюсного критерия устойчивости обусловлены необходимостью определения корней характеристического уравнения, являющихся полюсами системной функции. Аналитических методов решения алгебраических уравнений, порядок которых выше четвертого, не существует. Поэтому нахождение полюсов системной функции высокого порядка возможно лишь численными методами.

Существуют алгебраические и частотные критерии устойчивости стационарных линейных дискретных систем, позволяющие судить об устойчивости фильтра без нахождения корней характеристического уравнения. Например, критерий Джури, аналогичный критерию Рауса-Гурвица для аналоговых систем.

Пример. Проверить на устойчивость следующий рекурсивный фильтр 2порядка.

Решение.  Запишем два уравнения относительно двух сумматоров в Z-преобразованой форме:

                                                     (13.16)

Из (13.6) определяем системную функцию такого фильтра:

                                                 (13.7)

где  корни характеристического уравнения, являющиеся полюсами системной функции. Так как  и , следовательно, полюса системной функции  лежат внутри круга единичного радиуса, и фильтр является устойчивым.

Примечание. Неустойчивый фильтр, безусловно, неработоспособен в том случае, когда входной сигнал действует неограниченно долго, так как при этом выходной сигнал  перестанет зависеть от входного сигнала. Но он работоспособен и используется на практике в тех случаях, когда входной сигнал действует в течение ограниченного интервала времени. Например, цифровой интегратор с системной  функцией   (эта функция имеет полюс , т.е. фильтр – неустойчив)  вполне работоспособен и используется на практике, если входной сигнал  действует лишь при , после чего следует сброс и восстановление начальных условий. Цифровой интегратор может входить в состав замкнутой следящей системы. При этом за счет обратной связи система может обладать устойчивостью, несмотря на то, что интегратор, являющийся динамическим звеном системы, неустойчив.

PAGE  4


EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

22803. Основні етапи розвитку Києворуської держави 29 KB
  До часів правління Аскольда вчені відносять і першу спробу введення християнства як офіційної релігії у Київській Русі. Володимир починає своє правління посадовивши синів і старших дружинників у містах Русі. У період правління Ярослава Мудрого розширюються кордони Київської Русі: від Чорного моря і пониззя Дунаю на півдні аж до Фінської затоки на півночі від Закарпаття на заході до верхів'їв Волги та Дону на сході. в Київській Русі встановлюється форма правління яку називають тріумвіратом Ярославичів Ізяслава Святослава та Всеволода.
22804. Київська Русь періоду розквіту. Володимир Великий. Ярослав Мудрий 34.5 KB
  Володимир Великий. Ставши Великим князем київським Володимир багато зробив аби зміцнити державу встановити лад і порядок. За часів Володимира в загальних рисах завершилося формування держави. Видатний політик і адміністратор Володимир здійснив серію реформ.
22805. Зовнішня політика Київської Русі та ГВК 25 KB
  Зовнішня політика Київської Русі та ГВК Починаючи із заснування Київської Русі вона досить активно займалася зовнішньою політикою у різних напрямках: політичному економічному релігійному та культурному. перервало зв'язки північносхідних земель Русі з Європою. Для Київської Русі була характерна договірна торгівля значне місце посідав звичайний обмін товар на товар .Отже і в період існування Київської Русі і під час розвитку ГалицькоВолинського князівства зовнішня політика проводилася досить активно і різнобічно.
22806. Причини та наслідки занепаду ГВК 24 KB
  останнього правителя ГалицькоВолинської держави Юрія II була успадкована князями литовської династії Гедиміновичів. Так припинила своє існування ГалицькоВолинська держава. Роль ГалицькоВолинського князівства надзвичайно велика. ГалицькоВолинське князівство відкрило широкий шлях західноєвропейським культурним впливам на Україну зберігаючи при цьому кращі традиції української національної культури.
22807. Хмельниччина 125 KB
  Це час коли ряд блискучих перемог зрушив все українське суспільство мобілізував широку підтримку для Хмельницького і перетворив суто козацьке повстання на загальноукраїнський антипольський рух. 1648 Хмельницький на чолі невеликого загону реєстрових і запорізьких козаків напав на польську залогу на острові Базавлук на Дніпрі і знищив її. Це звільнило Запорізьку Січ від польського контролю притягнуло запорожців на бік Хмельницького обраного гетьманом. Не сподіваючись поважніших труднощів польські полководці Великий гетьман М.
22808. Руїна. Становище України в другій половині XVII ст. 24.5 KB
  Серед козацьких ватажків виникли гострі розходження щодо того чи лишатися Україні під Москвою чи ж шукати покровителів серед інших сусідніх держав. Чи стане Україна унікальним суспільством вільних козаківземлеробів як цього хотіли селяни й рядове козацтво чи ж козацька старшина просто займе місце шляхти відтак повернувши розхитаний суспільний устрій знаті що відповідало б типовим для доби моделям Серед українців ще десятиліттями по смерті Хмельницького точилися запеклі суперечки навколо цих питань.
22809. Наступ царату на автономію України. Остаточна ліквідація гетьманського правління 28.5 KB
  Наступ царату на автономію України.Політику Петра І щодо України продовжували самодержавні імператори Росії з більшою чи меншою жорстокістю і фанатичною впертістю.Певні позитивні зміни в політиці щодо України були можливими після того як російський престол перейшов до дочки Петра І Єлизавети.Розумовський добився того що зносинами Росії з Україною займалися не в Сенаті а в колегії закордонних справ під владу гетьмана було повернуто Київ і Запорожжя з України виведено російські військові підрозділи.
22810. Три поділи Речі Посполитої 70.5 KB
  Австрія та Пруссія перелякавшись що Росія зможе поступово прибрати до рук усю Річ Посполиту вирішили поділити її між собою. За таких обставин пропозиція прусського короля Фрідріха II у 1771 році про поділ польських земель знайшла сприятливий грунт. І 5 червня 1772 повноважні представники Прусії Австрії та Росії підписали в Петербурзі договір про поділ польських земель за яким відбирали на свою користь так звані санітарні смуги тобто території по периметру Речі Посполитої.
22811. Руська трійця 33.5 KB
  Руська трійця У першій половині XIX ст. Тут на початку 30х років виникло напівлегальне демократичнопросвітницьке та літературне угруповання Руська трійця засновники М. Головацький яке виступило на захист української мови термін руська для галичан означав українська. Особливістю виникнення та діяльності громадськокультурного об'єднання Руська трійця було те що воно будучи яскравим самобутнім представником культурницького етапу українського національного руху одночасно зберігало певні риси етапу фольклорноетнографічного і...