19101

Устойчивость дискретных систем

Практическая работа

Физика

Лекция № 13. Устойчивость дискретных систем. Линейная дискретная система с постоянными параметрами стационарный фильтр называется устойчивой если при любых начальных условиях и любом ограниченном входном сигнале выходной сигнал также остается ограниченным то е...

Русский

2013-07-11

199 KB

17 чел.

Лекция № 13.

Устойчивость дискретных систем.

Линейная дискретная система с постоянными параметрами (стационарный фильтр) называется устойчивой, если при любых начальных условиях и любом ограниченном входном сигнале выходной сигнал также остается ограниченным, то есть из условия  для всех  следует,  

Необходимым и достаточным условием устойчивости одномерного стационарного линейного фильтра является следующее требование к его импульсной характеристике:

,                                                                                      (13.1)

то есть требование сходимости ряда, составленного из модулей отсчетов импульсной характеристики фильтра.

Необходимость. Предположим сначала, что условие (13.1) не выполняется, то есть . Рассмотрим ограниченную последовательность, заданную значениями                                                                                  (13.2)

Так как выходные отсчеты сигнала равны свертке входных отсчетов и значений импульсной характеристики дискретной системы, т.е.

,                                                                        (13.3)

то при  отклик системы равен:

                                                (13.4)

Таким образом, последовательность  не ограничена, следовательно, неравенство (13.1) является необходимым условием устойчивости системы.

Достаточность. Предположим, что условие (13.1) выполняется, а на вход поступает ограниченная последовательность отсчетов сигнала . Из формулы (13.3) получаем:

          (13.5)

Если , то  и система – устойчива.

 Устойчивость нерекурсивных  дискретных систем. Как ранее отмечалось, в нерекурсивных дискретных системах для вычисления очередного отсчета выходного сигнала  используются только отсчеты входного сигнала . Поэтому алгоритм работы такой системы имеет вид:

                                                                                (13.6)

Системная (передаточная) функция такой системы является рациональной функцией, то есть полиномом степени  комплексного аргумента :

.                                                                                      (13.7)

Нерекурсивные стационарные линейные фильтры обладают замечательной особенностью: их импульсные характеристики  имеют конечное число ненулевых отсчетов, причем эти отсчеты равны коэффициентам  алгоритма фильтрации. Действительно, в соответствии с (9.22) и (13.7):

.                                                                (13.8)

Отсюда следует, что                                                       (13.9)

Таким образом, импульсная характеристика нерекурсивного стационарного линейного фильтра имеет конечное число отличных от нуля отсчетов, и в соответствии с (13.1) такой фильтр всегда устойчив. Свойство (13.9) обусловило еще одно название таких фильтров – фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтры).

Устойчивость рекурсивных  дискретных систем.  Для рекурсивных дискретных систем использовать критерий устойчивости в форме (13.1) затруднительно, поскольку необходимо суммировать бесконечный ряд модулей отсчетов импульсной характеристики. Выразим критерий (13.1) в другой форме, удобной для исследования рекурсивных фильтров.

Рассмотрим физически реализуемый фильтр  порядка с системной функцией и для простоты предположим, что все полюсы простые. Отметим, что для физически реализуемых фильтров степень полинома в числителе не превышает степень полинома в знаменателе. Импульсная характеристика такого фильтра определяется соотношением:

.                                                                          (13.10)

Для  имеем:

,                                           (13.11)

а при имеем следующее выражение:

.                                                                    (13.12)

Представляя  полюсы  в виде:  , полагая при этом что

,                                                                              (13.13)

можно записать следующее соотношение:

                              (13.14)

Так как функция аналитична в окрестностях точек  и , то  и все вычеты конечны, то есть    для  . Поэтому из (13.13) и (13.14) следует:

.                                                                    (13.15)

Так как по условию (13.13) , то ряд в правой части соотношения (13.15) сходится и

.  Таким образом, соотношение (13.13) представляет собой достаточное условие устойчивости фильтра.

Итак, если полюса функции  лежат внутри круга единичного радиуса          Z-плоскости, то такой фильтр устойчив. Если хотя бы один полюс  расположен на единичной окружности  или во внешней части круга единичного радиуса, то такая   представляет неустойчивый фильтр. Заметим, что положение нулей системной функции не влияет на устойчивость фильтра.

Недостатки полюсного критерия устойчивости обусловлены необходимостью определения корней характеристического уравнения, являющихся полюсами системной функции. Аналитических методов решения алгебраических уравнений, порядок которых выше четвертого, не существует. Поэтому нахождение полюсов системной функции высокого порядка возможно лишь численными методами.

Существуют алгебраические и частотные критерии устойчивости стационарных линейных дискретных систем, позволяющие судить об устойчивости фильтра без нахождения корней характеристического уравнения. Например, критерий Джури, аналогичный критерию Рауса-Гурвица для аналоговых систем.

Пример. Проверить на устойчивость следующий рекурсивный фильтр 2порядка.

Решение.  Запишем два уравнения относительно двух сумматоров в Z-преобразованой форме:

                                                     (13.16)

Из (13.6) определяем системную функцию такого фильтра:

                                                 (13.7)

где  корни характеристического уравнения, являющиеся полюсами системной функции. Так как  и , следовательно, полюса системной функции  лежат внутри круга единичного радиуса, и фильтр является устойчивым.

Примечание. Неустойчивый фильтр, безусловно, неработоспособен в том случае, когда входной сигнал действует неограниченно долго, так как при этом выходной сигнал  перестанет зависеть от входного сигнала. Но он работоспособен и используется на практике в тех случаях, когда входной сигнал действует в течение ограниченного интервала времени. Например, цифровой интегратор с системной  функцией   (эта функция имеет полюс , т.е. фильтр – неустойчив)  вполне работоспособен и используется на практике, если входной сигнал  действует лишь при , после чего следует сброс и восстановление начальных условий. Цифровой интегратор может входить в состав замкнутой следящей системы. При этом за счет обратной связи система может обладать устойчивостью, несмотря на то, что интегратор, являющийся динамическим звеном системы, неустойчив.

PAGE  4


EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

43919. Модернизация учебной лабораторной установки для лаборатории гидравлики и теплотехники кафедры 34, МГИУ 3.17 MB
  По мере прикрытия дросселя общий уровень давления в вихревой трубе повышается, и расход холодного потока через отверстие диафрагмы увеличивается при соответствующем уменьшении расхода горячего потока. При этом температуры холодного и горячего потоков также изменяются.
43920. Проект разработки средств мокрой очистки технологических газов и мероприятий по охране труда в условиях мартеновского цеха ОАО «Запорожсталь» 927.5 KB
  В разделе КИП и А разработаны системы автоматического контроля и регулирования газоочистной установки мартеновской печи №7 ОАО Запорожсталь. Технология выплавки стали в мартеновских печах Устройство мартеновской печи Современная мартеновская печь представляет собой сложное техническое сооружение и состоит из двух основных частей: верхнего строения включающего рабочее пространство и головки печи и нижнего строения состоящего из шлаковиков боровов регулирующих устройств регенераторов и газопроводов.1...
43921. Использование сети Интернет в системе маркетинговых коммуникаций: состояние и перспективы развития на примере ОАО «Брестский райагросервис» 12.07 MB
  Как совокупность средств это комплекс содержания, носителей и способов передачи маркетинговой информации, позволяющий осуществлять информационные связи, контакты в виде рекламы, отношений с общественностью, прямого маркетинга (включая личные контакты) и смешанных видов (включая выставки, ярмарки и другие формы содействия продажам, сбыту).
43922. Использование ресурсов сети Интернет при изучении тем раздела «Социальная информатика» на базовом уровне 25.76 MB
  Под телематикой ученым понимается обработка информации на расстоянии. За этим стоит простая и глубокая мысль: развитие каналов связи отражает и уровень компьютеризации и объем накопленной информации и объективную потребность общества во всех видах информационного обмена и другие проявления информатизации. В последние полвека в развитых странах мира пропускная способность коммуникационных сетей передачи информации возрастала в среднем примерно в 10 раз за десятилетие. Развитие средств хранения передачи и обработки информации в...
43923. Разработка рекомендаций, направленных на совершенствование организации бухгалтерского учета и повышение эффективности использования денежных средств в ОАО «РЖД» 762.5 KB
  Денежные средства характеризуют начальную и конечную стадии кругооборота хозяйственных средств скорость движения которых во многом определяет эффективность всей деятельности организации. В условиях рыночной экономики следует исходить из принципа что умелое использование денежных средств может приносить организации дополнительный доход так как временно...
43924. Театралізовані ігри як засіб розвитку творчих здібностей першокласників на уроках музики 353.5 KB
  Театралізована гра як засіб розвитку творчих здібностей першокласників Загальна характеристика театралізованих ігор як методу розвитку творчих здібностей молодших школярів Методика розвитку творчих здібностей учнів 6річного віку в процесі використання театралізованих ігор на уроках музики Мистецтво з його унікальними можливостями цілісного впливу на особистість виступає не тільки джерелом естетичного виховання а й універсальним засобом творчого розвитку дитини.
43925. Системы налогообложения физических лиц в России на примере общества с ограниченной ответственность (ООО) «САПР ГРУПП» 961.5 KB
  В частности для обеспечения выполнения своих функций – защита внешних границ поддержание порядка внутри государства строительство содержание государственного аппарата и так далее – государству приходится облагать в том числе доходы и имущество граждан. Повышение налогов с населения увеличивает доходы бюджета только на один налоговый период так как уже в следующем база для их уплаты может резко сократиться. С другой стороны налог на доходы и имущество физических лиц имеет большое значение для формирования бюджета государства и его...
43926. Оптимизация производительности сети с использованием средств моделирования 12.06 MB
  Оптимизация производительности сети. В чем состоит планирование сети Использование моделирования для оптимизации производительности сети Влияние топологии связей и производительности коммуникационных устройств на пропускную способность сети