19101

Устойчивость дискретных систем

Практическая работа

Физика

Лекция № 13. Устойчивость дискретных систем. Линейная дискретная система с постоянными параметрами стационарный фильтр называется устойчивой если при любых начальных условиях и любом ограниченном входном сигнале выходной сигнал также остается ограниченным то е...

Русский

2013-07-11

199 KB

18 чел.

Лекция № 13.

Устойчивость дискретных систем.

Линейная дискретная система с постоянными параметрами (стационарный фильтр) называется устойчивой, если при любых начальных условиях и любом ограниченном входном сигнале выходной сигнал также остается ограниченным, то есть из условия  для всех  следует,  

Необходимым и достаточным условием устойчивости одномерного стационарного линейного фильтра является следующее требование к его импульсной характеристике:

,                                                                                      (13.1)

то есть требование сходимости ряда, составленного из модулей отсчетов импульсной характеристики фильтра.

Необходимость. Предположим сначала, что условие (13.1) не выполняется, то есть . Рассмотрим ограниченную последовательность, заданную значениями                                                                                  (13.2)

Так как выходные отсчеты сигнала равны свертке входных отсчетов и значений импульсной характеристики дискретной системы, т.е.

,                                                                        (13.3)

то при  отклик системы равен:

                                                (13.4)

Таким образом, последовательность  не ограничена, следовательно, неравенство (13.1) является необходимым условием устойчивости системы.

Достаточность. Предположим, что условие (13.1) выполняется, а на вход поступает ограниченная последовательность отсчетов сигнала . Из формулы (13.3) получаем:

          (13.5)

Если , то  и система – устойчива.

 Устойчивость нерекурсивных  дискретных систем. Как ранее отмечалось, в нерекурсивных дискретных системах для вычисления очередного отсчета выходного сигнала  используются только отсчеты входного сигнала . Поэтому алгоритм работы такой системы имеет вид:

                                                                                (13.6)

Системная (передаточная) функция такой системы является рациональной функцией, то есть полиномом степени  комплексного аргумента :

.                                                                                      (13.7)

Нерекурсивные стационарные линейные фильтры обладают замечательной особенностью: их импульсные характеристики  имеют конечное число ненулевых отсчетов, причем эти отсчеты равны коэффициентам  алгоритма фильтрации. Действительно, в соответствии с (9.22) и (13.7):

.                                                                (13.8)

Отсюда следует, что                                                       (13.9)

Таким образом, импульсная характеристика нерекурсивного стационарного линейного фильтра имеет конечное число отличных от нуля отсчетов, и в соответствии с (13.1) такой фильтр всегда устойчив. Свойство (13.9) обусловило еще одно название таких фильтров – фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтры).

Устойчивость рекурсивных  дискретных систем.  Для рекурсивных дискретных систем использовать критерий устойчивости в форме (13.1) затруднительно, поскольку необходимо суммировать бесконечный ряд модулей отсчетов импульсной характеристики. Выразим критерий (13.1) в другой форме, удобной для исследования рекурсивных фильтров.

Рассмотрим физически реализуемый фильтр  порядка с системной функцией и для простоты предположим, что все полюсы простые. Отметим, что для физически реализуемых фильтров степень полинома в числителе не превышает степень полинома в знаменателе. Импульсная характеристика такого фильтра определяется соотношением:

.                                                                          (13.10)

Для  имеем:

,                                           (13.11)

а при имеем следующее выражение:

.                                                                    (13.12)

Представляя  полюсы  в виде:  , полагая при этом что

,                                                                              (13.13)

можно записать следующее соотношение:

                              (13.14)

Так как функция аналитична в окрестностях точек  и , то  и все вычеты конечны, то есть    для  . Поэтому из (13.13) и (13.14) следует:

.                                                                    (13.15)

Так как по условию (13.13) , то ряд в правой части соотношения (13.15) сходится и

.  Таким образом, соотношение (13.13) представляет собой достаточное условие устойчивости фильтра.

Итак, если полюса функции  лежат внутри круга единичного радиуса          Z-плоскости, то такой фильтр устойчив. Если хотя бы один полюс  расположен на единичной окружности  или во внешней части круга единичного радиуса, то такая   представляет неустойчивый фильтр. Заметим, что положение нулей системной функции не влияет на устойчивость фильтра.

Недостатки полюсного критерия устойчивости обусловлены необходимостью определения корней характеристического уравнения, являющихся полюсами системной функции. Аналитических методов решения алгебраических уравнений, порядок которых выше четвертого, не существует. Поэтому нахождение полюсов системной функции высокого порядка возможно лишь численными методами.

Существуют алгебраические и частотные критерии устойчивости стационарных линейных дискретных систем, позволяющие судить об устойчивости фильтра без нахождения корней характеристического уравнения. Например, критерий Джури, аналогичный критерию Рауса-Гурвица для аналоговых систем.

Пример. Проверить на устойчивость следующий рекурсивный фильтр 2порядка.

Решение.  Запишем два уравнения относительно двух сумматоров в Z-преобразованой форме:

                                                     (13.16)

Из (13.6) определяем системную функцию такого фильтра:

                                                 (13.7)

где  корни характеристического уравнения, являющиеся полюсами системной функции. Так как  и , следовательно, полюса системной функции  лежат внутри круга единичного радиуса, и фильтр является устойчивым.

Примечание. Неустойчивый фильтр, безусловно, неработоспособен в том случае, когда входной сигнал действует неограниченно долго, так как при этом выходной сигнал  перестанет зависеть от входного сигнала. Но он работоспособен и используется на практике в тех случаях, когда входной сигнал действует в течение ограниченного интервала времени. Например, цифровой интегратор с системной  функцией   (эта функция имеет полюс , т.е. фильтр – неустойчив)  вполне работоспособен и используется на практике, если входной сигнал  действует лишь при , после чего следует сброс и восстановление начальных условий. Цифровой интегратор может входить в состав замкнутой следящей системы. При этом за счет обратной связи система может обладать устойчивостью, несмотря на то, что интегратор, являющийся динамическим звеном системы, неустойчив.

PAGE  4


EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

76755. Варианты и аномалии костей черепа 181.64 KB
  Теменные кости выраженность теменных бугров особенно у женщин; появление межтеменной кости. Затылочная кость наличие поперечного шва отделяющего верхнюю часть чешуи и образование вставочной дополнительной кости; присутствие более мелких добавочных костей часто расположенных в швах кости швов; значительная выраженность затылочных выступов; уплощение чешуи слабая выраженность борозд или наоборот увеличение изогнутости чешуи и углубление борозд; разнообразные формы большого отверстия костных валиков вокруг внутреннего его края;...
76756. Первая и вторая висцеральные дуги 187.99 KB
  Развитие лицевого (висцерального) черепа определяется мозгом и краниальным (глоточным) отделом первичной кишки, в котором на боковых стенках между висцеральными (жаберными) карманами появляются хрящевые висцеральные (жаберные) дуги, но особое значение для черепа имеют первые две.
76757. Кости лицевого черепа. Глазница 192.12 KB
  Подвисочная поверхность находится сзади тела образуя стенку подвисочной и крылонебной ямок состоит: из бугра верхней челюсти с задними альвеолярными отверстиями для одноименных нервов и сосудов. Глазничная поверхность занимает на теле кости верхнее положение участвуя в образовании нижней стенки глазницы. Носовая поверхность образует латеральную стенку полости носа. Небный отросток носовой гребень по медиальному краю; передняя носовая ость: окончание носового гребня впереди; верхняя носовая поверхность; нижняя небная поверхность...
76758. Височная кость 184.9 KB
  У верхушки пирамиды внутреннее отверстие сонного канала. На передней поверхности пирамиды находятся: каменисточешуйчатая щель хрящевая ростковая зона и отверстие мышечнотрубного канала; дугообразное возвышение от полукружных костных каналов лабиринта; крыша барабанной полости от среднего уха; тройничное вдавление на вершине пирамиды для одноименного нервного узла; расщелины и борозды большого и малого каменистого нервов. На задней поверхности пирамиды располагаются: внутреннее слуховое отверстие и внутренний слуховой проход для YII...
76759. Клиновидная кость 180.73 KB
  Клиновидная кость воздухоносная состоит из тела малых и больших крыльев и крыловидных отростков. На верхней поверхности тела находится турецкое седло а в нем: гипофизарная ямка для гипофиза центральной нейроэндокринной железы; бугорок седла кпереди от ямки; спинка седла с задними наклоненными отростками кзади от ямки; сонные борозды: правая и левая с клиновидными язычками лежат по боковым поверхностям седла предназначены для внутренней сонной артерии и внутреннего сонного симпатического нерва венозного пещеристого синуса. На...
76760. Крылонёбная ямка 181.89 KB
  Ямка соседствует и имеет связи с височной и подвисочной ямами. По форме ямка узкая щель ограниченная тремя выше перечисленными костями она граничит и сообщается с полостью черепа средней черепной ямой полостями носа и рта глазницей височной и подвисочной ямами. Крылонебная ямка сообщается: с полостью рта через большой и малый небные каналы с одноименными сосудами и нервами которые снабжают твердое и мягкое небо и небные миндалины; с полостью носа через клиновиднонебное отверстие с одноименными сосудами и нервами для слизистой...
76761. Полость носа 181.99 KB
  Полость носа обладает верхней нижней и парными боковыми стенками. Верхняя стенка состоит из: носовой части лобной кости продырявленной пластинки решетчатой кости и тела клиновидной которые составляют верхнезаднюю часть стенки; парных носовых костей: право и левой образующих передневерхнюю часть стенки. Нижняя стенка включает: небные отростки верхних челюстей и горизонтальные пластинки небных костей костное небо; носовой гребень который проходит по середине стенки в продольном направлении. Латеральные стенки правая и левая...
76762. Внутреннее основание черепа 184.16 KB
  Внутренняя граница между сводом и основанием выделяется не во всех учебниках: слепое отверстие лобной кости и основание ее глазничных отростков; соединение малых и больших крыльев клиновидной кости латеральная оконечность верхней глазничной щели стык теменноклиновидного и лобнотеменного швов; основание пирамиды височной кости и сосцевиднотеменной шов; борозда поперечного синуса крестообразное возвышение и внутренний выступ затылочной кости. Передняя черепная яма образована: по бокам глазничными частями лобной кости; в центре ...
76763. Наружное основание черепа 183.43 KB
  Наружная граница между сводом и основанием проходит по носолобному шву надглазничным краям скуловым отросткам лобной кости подвисочному гребню клиновидной по основанию скуловых отростков височных костей над наружным слуховым отверстием по верхнему краю через основание сосцевидных отростков; заканчивается по верхней выйной линии и наружному затылочному выступу. В своде по наружной поверхности выделяют передний отдел лоб лобная область с рельефом: чешуя лобной кости на ней лобные бугры правый и левый; надбровные дуги у границы с...