19104

Проектирование фильтров с импульсной характеристикой бесконечной длины

Практическая работа

Физика

Лекция № 16. Проектирование фильтров с импульсной характеристикой бесконечной длины. Фильтры с бесконечной импульсной характеристикой БИХфильтры коренным образом отличаются от КИХфильтров изза наличия обратной связи. Во первых они требуют проверки на устойчив

Русский

2013-07-11

174 KB

18 чел.

Лекция № 16.

Проектирование фильтров с импульсной характеристикой бесконечной длины.

Фильтры с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтры) коренным образом отличаются от КИХ-фильтров из-за наличия обратной связи. Во- первых, они требуют проверки на  устойчивость, как и все системы с обратной связью. Во-вторых, они имеют более сложную структуру, их труднее проектировать и анализировать. Кроме того, их фазочастотная  характеристика принципиально не линейна. Почему же их используют? Потому, что они очень эффективны. БИХ-фильтры требуют намного меньше умножений на один выходной отсчет, чтобы реализовать требуемую частотную характеристику. Они позволяют строить фильтры реального времени, которые работают на значительно более высоких частотах дискретизации, чем КИХ-фильтры. Второе принципиальное достоинство состоит в том, что БИХ-фильтры могут аппроксимировать заданные аналоговые фильтры. КИХ-фильтры такой возможности не предоставляют.

Стандартные методы проектирования (синтеза) БИХ-фильтров делятся на три базовых класса:

  •  метод инвариантного преобразования импульсной характеристики;
  •  метод билинейного z-преобразования;
  •  оптимизационные методы, основанные на алгоритмах итерационного моделирования коэффициентов фильтра.

Рассмотрим метод инвариантного преобразования импульсной характеристики, основанный на дискретизации импульсной характеристики аналогового прототипа. Для этого используем общую форму записи Z-преобразования импульсной характеристики БИХ-фильтров, которая  имеет вид:

.                                                                       (16.1)

Существуют два варианта метода инвариантного преобразования.

 Вариант 1 требует применения как обратного преобразования Лапласа, так и Z-преобразования. Его основные этапы (шаги) заключаются в следующем:

  1.  Получить передаточную функцию  аналогового фильтра-прототипа с   требуемой частотной характеристикой.

2.   По передаточной функции  определить непрерывную импульсную  характеристику , используя обратное преобразование Лапласа.

3.   Определить частоту дискретизации  и шаг дискретизации . Частоту  дискретизации выбирают в зависимости от абсолютной частоты аналогового фильтра-прототипа. Из-за проблем наложения спектральных характеристик, свойственных этому методу, должна намного превосходить ширину спектра фильтруемых сигналов.

4.   Подставить значение (не переменную!) шага дискретизации  вместо непрерывной переменной  в выражении импульсной характеристики. Этим обеспечивается равенство отсчетов дискретной импульсной характеристики  значениям непрерывной импульсной характеристики в моменты времени .

5.   Найти Z-преобразование функции  и получить системную (передаточную) функцию БИХ-фильтра  в форме отношения полиномов от переменной .

Примечание. Поскольку  при дискретизации непрерывной импульсной характеристики частотная характеристика цифрового фильтра оказывается умноженной на коэффициент , многие разработчики фильтров считают необходимым включить множитель  в выражение для .  Это позволяет  сделать коэффициент передачи цифрового фильтра равным коэффициенту передачи прототипа. Некоторые авторы предпочитают вводить множитель  в дискретную импульсную характеристику, то есть записать

            Окончательно для получаем:

,          (16.2)

и разностное уравнение в общей форме записывается как:

                                                      (16.3)

Вариант 2 метода инвариантного преобразования импульсной характеристики использует другой подход. Он разбивает математически аналоговый фильтр-прототип на несколько фильтров с одним полюсом, а затем аппроксимирует каждый из этих фильтров однополюсным цифровым фильтром. Набор из  однополюсных фильтров затем аналитически объединяется в БИХ-фильтр  порядка, имеющий  полюсов.

При расчете фильтра этим методом необходимо выполнить следующие шаги:

  1.  Получить передаточную функцию  аналогового фильтра-прототипа в форме:

.                                                               (16.4)

  1.  Выбрать подходящую частоту дискретизации  и вычислить период (шаг) дискретизации  .
  2.  Выразить передаточную функцию  в виде суммы однополюсных передаточных функций. Это требует использования разложения (16.4) на простейшие дроби вида:

             (16.5)

где коэффициенты  представляют собой константы; а  -й полюс в точке

на -плоскости. Обозначим -ю однополюсную передаточную функцию как :

.                                                                                              (16.6)

4.   Определить импульсную характеристику аналогового фильтра с передаточной функцией вида (16.5) и записать ее в форме:

                                                                       (16.7)

где  единичная функция.

5.  Аппроксимировать  каждый однополюсный аналоговый фильтр с передаточной  функцией  однополюсным цифровым фильтром с передаточной функцией . Для этого путем дискретизации импульсной характеристики аналогового фильтра получим импульсную характеристику однополюсного цифрового фильтра:

.                                                                                   (16.8)

Найдем Z-преобразование этого однополюсного фильтра:

.                                      (16.9)

Аппроксимация заключается в отображении каждого полюса , расположенного в точке  на -плоскости, в точку  на z-плоскости. Другими словами, аппроксимация осуществляется с помощью отображения, при котором используется замена:

.                                                                                     (16.10)

Результирующая передаточная функция дискретного фильтра является суммой передаточных функций однополюсных дискретных фильтров:

                                                         (16.11)

  1.   Записать  выражение (16.11) в виде отношения двух полиномов от . Поскольку  является суммой простейших дробей, приводя их к общему знаменателю, получим:

.                                                          (16.12)

По аналогии с вариантом 1 из (16.12) вытекает разностное уравнение в обобщенной форме с известными коэффициентами. Разностное уравнение типа (16.3) можно реализовать либо в виде простой формы БИХ-фильтра, либо в виде улучшенных структур, варианты которых рассмотрены в лекции № 14.

Итак, частотная характеристика цифрового фильтра связана с частотной характеристикой аналогового прототипа точно так же, как спектр дискретизированного сигнала связан со спектром аналогового сигнала – периодическим повторением. Отсюда следует, что для того, чтобы частотные характеристики исходного аналогового фильтра и рассчитываемого методом инвариантного преобразования импульсной характеристики цифрового фильтра соответствовали друг другу, необходимо, чтобы полоса пропускания аналогового фильтра находилась в пределах диапазона:  Для выполнения этого условия необходимо до начала преобразования вводить дополнительный фильтр нижних частот, гарантирующий соответствующее ограничение полосы пропускания аналогового фильтра.

Метод билинейного z-преобразования позволяет синтезировать рекурсивный дискретный фильтр по частотной характеристике аналогового прототипа. При его использовании левая половина плоскости всегда отображается внутрь единичной окружности на плоскости, поэтому синтез по устойчивому аналоговому прототипу дает гарантированно устойчивый дискретный фильтр.

При реализации этого метода используют простое конформное отображение плоскости в плоскость, сохраняющее удобную алгебраическую форму преобразования. Оно основано на замене:

.                                                                     (16.13)

Можно показать, что частотные характеристики аналогового  и дискретного  фильтров связаны друг с другом лишь трансформацией частотной оси:

                                                         (16.14)

На низких частотах, когда, тангенс примерно равен своему аргументу и

. Поэтому в области низких частот частотные характеристики аналогового и дискретного фильтров почти совпадают.

           

PAGE  1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80661. Технология принятия решений в менеджменте 93.5 KB
  Всеобщий закон менеджмента Сущность управленческих решений их характеристика. Виды управленческих решений. Алгоритм принятия и реализации управленческих решений.
80663. Менеджмент и производственный потенциал предприятия 71 KB
  Для выбора эффективной стратегии действий менеджер должен дать оценку экономическому потенциалу предприятия - совокупности трудовых, материальных, финансовых и других ресурсов, имеющихся в распоряжении предприятия, а также способности работников к использованию ресурсов с целью создания товаров, услуг и получения максимальной прибыли.
80664. Кадры управления. Стиль управления 497.5 KB
  Стиль руководства. Стиль руководства Человеческий фактор на предприятии становится всё больше интеллектуальным дополнением к технологии и современной организации различной деятельности. При этом эффективность его работы во многом определяется стилем руководства. Общая схема использования различных методов менеджмента в зависимости от стиля руководства: Параметры взаимодействия Стили руководства Менеджера с коллективом Авторитарный автократический Демократический.
80665. Методологические аспекты менеджмента 150 KB
  Менеджмент - это искусство ведения дел, управления тем или иным объектом, это владение профессиональным мастерством с помощью эффективных принципов управления, чувство хозяина, сочетающееся как с чутким, бережным отношением к людям, так и с использованием приемов, позволяющих исключить жесткое администрирование, добиваясь при этом успешного выполнения поставленных целей.
80667. Товар и товарная политика в маркетинге 754.5 KB
  Понятие товара и его слагаемые. Концепция жизненного цикла товара. Разработка и реализация концепции нового товара. Итак, первооснова эффективности рыночной экономики и БАЗИС маркетинга - удовлетворение потребностей потребителей. Не случайно маркетологи всего мира считают крылатой фразу неизвестного автора: Бизнес появился, чтобы давать счастье (удовлетворение), а не копить миллионы
80668. Комплексный анализ и прогнозирование товарных рынков методами маркетинга 953 KB
  Цели и задачи исследования рынка методами маркетинга. Методы изучения рынка. Цели и задачи исследования рынка методами маркетинга Первый шаг менеджера отвечающего за разработку стратегии маркетинга получить информацию о рынке основном инструменте жизни общества который человечество знает со времен первоначальных прямых обменов. РЫНОК место где встречаются продавец и покупатель отличающиеся следующими свойствами: Для развития рынка необходимо: Четкое полное своевременное изучение рынка обеспечивает: ясность целей знание...
80669. Цены и ценовая политика в маркетинге 84 KB
  Именно цены определяют структуру производства оказывают решающее воздействие на движение материальных потоков распределение товарной массы уровень благосостояния населения. Для успешной работы на рынке очень важно правильно учесть многочисленные факторы влияющие на уровень цены. Цены конкурентов-экспортеров в данную страну.