19107

Математические модели сигналов

Практическая работа

Физика

Лекция № 3. Математические модели сигналов. Сигнал процесс изменения во времени физического состояния какогото объекта служащий для отображения регистрации и передачи сообщений. Сигналы электрические акустические оптические и т.д. Классификация сигналов. Сиг...

Русский

2013-07-11

288.5 KB

51 чел.

Лекция № 3.  Математические модели сигналов.

Сигнал – процесс изменения во времени физического состояния какого-то объекта, служащий для отображения, регистрации и передачи сообщений. Сигналы – электрические, акустические, оптические и т.д.

Классификация сигналов. Сигналы:  детерминированные и случайные; периодические и непериодические; импульсные (видеоимпульсы, радиоимпульсы); аналоговые, дискретные и цифровые.

Математические модели физических сигналов: временная и частотная формы представления аналоговых сигналов.

Типовые виды сигналов, используемых при анализе измерительных систем:

  •  единичная функция (функция включения, функция Хевисайда) ;
  •  дельта-функция (функция Дирака) ;
  •  гармоническое колебание .

Временная форма представления аналогового сигнала

Временным представлением сигнала называют такое разложение сигнала , при котором в качестве базисных функций используются дельта-функции . Пользуясь  фильтрующим свойством дельта-функции, можно записать:

.                                 (3.1)

Таким образом, функция  выражена в виде совокупности примыкающих друг к другу импульсов бесконечно малой длительности. Ортогональность совокупности таких импульсов очевидна, так как они не перекрываются во времени.

Разложение (3.1) имеет большое значение в теории линейных систем, т.к.  установив реакцию системы на элементарный входной сигнал в виде дельта-функции, можно определить реакцию системы на произвольный входной сигнал как суперпозицию реакций на бесконечную последовательность смещенных дельта-импульсов с «площадями», равными соответствующим значениям входного сигнала.

Частотная форма представления  периодических сигналов

Математической моделью процесса, повторяющегося во времени, является периодический  сигнал:  Здесь – период сигнала.

Ставится задача найти спектральное разложение такого сигнала.

Введем основную частоту  последовательности, образующей периодический сигнал. Ряд Фурье для периодического сигнала будет иметь вид:

 .                                                (3.2)

Коэффициенты разложения  функции в ряд Фурье находят по формулам:

                                                                                        (3.3)

                                                                           (3.4)

                                                                            (3.5)

Таким образом, в общем случае периодический сигнал содержит не зависящую от времени постоянную составляющую и бесконечный набор гармонических колебаний, так называемых гармоник с частотами  кратными основной частоте .

Каждую гармонику можно описать ее амплитудой  и начальной фазой . Для этого коэффициенты ряда Фурье следует записать в виде:

   так что

   

Подставив эти выражения в (3.1), получим другую, эквивалентную форму ряда Фурье:                                                                     (3.6)

Ряд Фурье  для периодического сигнала  может быть записан в форме:

    ,                                                                       (3.7)

где                                                                    (3.8)

Соотношение (3.6) представляет собой ряд Фурье в комплексной форме, содержащий экспоненциальные функции как с положительным, так и с отрицательным параметром  (двустороннее частотное представление). Составляющие с «отрицательными частотами» являются следствием комплексной формы записи вещественной функции.

Функцию  принято называть комплексным спектром периодического сигнала . Этот спектр – дискретный, или линейчатый,  так как функция  определена только для целых значений . Значение функции  при конкретном  называют комплексной амплитудой. Запишем комплексный спектр в форме:

.                                                                         (3.9)

Модуль комплексного спектра  называют спектром амплитуд, а функцию – спектром фаз сигнала s(t). Спектры амплитуд и фаз периодического сигнала являются дискретными. При этом спектр амплитуд является четной функцией , т. е. , а спектр фаз – нечетной функцией , т.е. .

От двухстороннего спектрального представления легко перейти к одностороннему (не имеющему отрицательных частот), объединяя комплексно-сопряженные составляющие. В этом случае получим ряд Фурье в тригонометрической форме, ранее записанный в виде (3.2).

Спектр амплитуд и спектр фаз периодического сигнала удобно представлять наглядно в виде спектральных диаграмм. Пример спектральной диаграммы амплитудного спектра сигнала, отображаемого совокупностью линий на частотах , приведен на рисунке:

Огибающую  этого спектра амплитуд можно получить, заменив  в  на , где  для -ой гармоники сигнала. Отметим, что дискретный (линейчатый) спектр характеризует не только периодические сигналы. Линейчатые спектры, включающие гармоники некратных частот, могут принадлежать так называемым почти периодическим сигналам.

Спектр амплитуд периодической последовательности прямоугольных импульсов.

Определим спектр амплитуд периодической последовательности прямоугольных импульсов длительностью  и амплитудой , следующих с частотой  (см. рисунок):

Запишем  в виде ряда Фурье в соответствии с выражением (3.2):

.                                                     (3.10)

Коэффициенты разложения найдем по формулам (3.3) – (3.5). При этом введем параметр , называемый скважностью импульсной последовательности.

Значения коэффициентов равны:

;                                                                                                      (3.11)

;                                                                                        (3.12)

, т.к. функция  – четная, и

.

Отсюда  ,                                                     (3.13)

а амплитуды гармоник, включая постоянную составляющую , определяются из выражения:

          ,  при n = 0,1,2,…                          (3.14)

Анализ зависимостей (3.11) – (3.13) показывает:

  •  При больших значениях скважности импульсной последовательности , амплитудный спектр сигнала содержит большое число медленно убывающих по амплитуде гармоник. При этом расстояние между соседними линиями мало, а амплитуды соседних гармоник близки по величине.
  •  Значение постоянной составляющей  примерно вдвое меньше амплитуды первой гармоники .
  •  На частотах, кратных , огибающая спектра равна нулю. Следовательно, амплитуда гармоник, чей номер кратен скважности , будет равна нулю.
  •  Огибающая спектра амплитуд определяется видом функции

.                                                                            (3.15)

Пример спектральной диаграммы периодической последовательности прямоугольных импульсов для скважности  приведен на рисунке:

4

EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4EMBED Equation.DSMT4EMBED Equation.DSMT4EMBED Equation.DSMT4EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

74001. Основные направления и этапы внешней политики СССР в годы «холодной войны» 19.09 KB
  Основные направления и этапы внешней политики СССР в годы холодной войны. Победа СССР в войне значительно изменило его международное положение. СССР принял участие в создании ООН где ему было определено место одного из постоянных членов Совета безопасности.президент США сформулировал доктрину Трумена меры против экспансии СССР.
74002. Перестройка 1985 – 1990 годов 22.31 KB
  Именно эти меры положили начало развалу политической системы СССР поскольку именно партийная вертикаль обеспечивала реальное функционирование политической системы; советские органы были властью сугубо номинальной а потому оказались не готовы к выполнению возложенных на них полномочий. когда оппозиции удалось добиться отмены 6й статьи Конституции СССР закрепляющей особую роль КПСС в государственной системе СССР и внушительного представительства в ряде...
74003. Становление новой российской государственности в 1990-е годах 18.55 KB
  Распавшийся Советский Союз оставил весьма сложное наследство России в виде экономического кризиса всеобщего социального недовольства и наконец отсутствия реальной российской государственности. В условиях краха умеренной и консервативной моделей периода перестройки вполне естественной была победа весьма радикальной для России концепции демократического либеральнорыночного государства с ориентацией на западные страны. В принципе основные направления реформ к моменту их осуществления в России были уже испытаны в ряде государств Восточной...
74004. Основные этапы развития исторической науки в России XVIII – начале XX веков 20.07 KB
  Главною заслугою Миллера было собирание материалов по русской истории; его рукописи так наз. И исследования Миллера имели значение он был одним из первых ученых заинтересовавшихся позднейшими эпохами нашей истории им посвящены его труды: Опыт новейшей истории России и Известие о дворянах Российских. видное место трудами по русской истории занял и М.
74005. Основные этапы развития советской исторической науки 23.2 KB
  Начало новому этапу в развитии марксистской исторической мысли положили труды В. И. Ленина. Особенно большое значение для И. имела разработка Лениным теоретико-методологических основ общественных наук (в том числе исторической науки)...
74006. Влияние колониальной эксплуатации на традиционное общество в Индии в XIX – начале ХХ веках 23.77 KB
  Влияние колониальной эксплуатации на традиционное общество в Индии в XIX начале ХХ вв. Заключительным этапом средневековой истории Индии стало возвышение на ее севере в начале XVI в. Власть моголов в Индии укрепилась в годы полувекового правления Акбара 14521605 завоевавшего Бенгалию а вместе с ними и выход к морю. Таким образом в Индии XVIXVII вв.
74007. Кризис традиционной японской цивилизации в период сегуната Токугава(1603 - 1867) 20.34 KB
  Кризис традиционной японской цивилизации в период сегуната Токугава1603 1867 Политическое объединение Японии в начале XVII в. Однако объединение страны носило несколько условный характер так как в Японии продолжали существовать более 200 княжеств которые обладали известной степенью автономии. В Японии периода Токугава крупных городов насчитывалось семнадцать среди которых особое положение занимали Эдо Осака. С установлением власти Токугава в Японии широкое распространение получили конфуцианские идеи в интерпретации философа Чжу Си.
74008. Версальско-вашингтонская система международных отношений: становление, эволюция, кризис 32.17 KB
  Вильсон выступал за умеренность в требованиях к Германии, желая не допустить превосходство одной из них в Европе. Соединённые Штаты стремились усилить своё влияние в Европе. Именно с этой целью Вильсон предложил включить в Версальский договор статьи о создании Лига Наций
74009. Мировой экономический кризис 1929 – начала 30-х гг. Причины, региональные особенности, пути преодоления, итоги и значение 36.42 KB
  В противовес классическому принципу невмешательства государства в экономику была признана ведущая роль государства в регулировании национального хозяйства с целью повышения эффективности спроса населения на товары потребления Это основа от кот.