19107

Математические модели сигналов

Практическая работа

Физика

Лекция № 3. Математические модели сигналов. Сигнал процесс изменения во времени физического состояния какогото объекта служащий для отображения регистрации и передачи сообщений. Сигналы электрические акустические оптические и т.д. Классификация сигналов. Сиг...

Русский

2013-07-11

288.5 KB

51 чел.

Лекция № 3.  Математические модели сигналов.

Сигнал – процесс изменения во времени физического состояния какого-то объекта, служащий для отображения, регистрации и передачи сообщений. Сигналы – электрические, акустические, оптические и т.д.

Классификация сигналов. Сигналы:  детерминированные и случайные; периодические и непериодические; импульсные (видеоимпульсы, радиоимпульсы); аналоговые, дискретные и цифровые.

Математические модели физических сигналов: временная и частотная формы представления аналоговых сигналов.

Типовые виды сигналов, используемых при анализе измерительных систем:

  •  единичная функция (функция включения, функция Хевисайда) ;
  •  дельта-функция (функция Дирака) ;
  •  гармоническое колебание .

Временная форма представления аналогового сигнала

Временным представлением сигнала называют такое разложение сигнала , при котором в качестве базисных функций используются дельта-функции . Пользуясь  фильтрующим свойством дельта-функции, можно записать:

.                                 (3.1)

Таким образом, функция  выражена в виде совокупности примыкающих друг к другу импульсов бесконечно малой длительности. Ортогональность совокупности таких импульсов очевидна, так как они не перекрываются во времени.

Разложение (3.1) имеет большое значение в теории линейных систем, т.к.  установив реакцию системы на элементарный входной сигнал в виде дельта-функции, можно определить реакцию системы на произвольный входной сигнал как суперпозицию реакций на бесконечную последовательность смещенных дельта-импульсов с «площадями», равными соответствующим значениям входного сигнала.

Частотная форма представления  периодических сигналов

Математической моделью процесса, повторяющегося во времени, является периодический  сигнал:  Здесь – период сигнала.

Ставится задача найти спектральное разложение такого сигнала.

Введем основную частоту  последовательности, образующей периодический сигнал. Ряд Фурье для периодического сигнала будет иметь вид:

 .                                                (3.2)

Коэффициенты разложения  функции в ряд Фурье находят по формулам:

                                                                                        (3.3)

                                                                           (3.4)

                                                                            (3.5)

Таким образом, в общем случае периодический сигнал содержит не зависящую от времени постоянную составляющую и бесконечный набор гармонических колебаний, так называемых гармоник с частотами  кратными основной частоте .

Каждую гармонику можно описать ее амплитудой  и начальной фазой . Для этого коэффициенты ряда Фурье следует записать в виде:

   так что

   

Подставив эти выражения в (3.1), получим другую, эквивалентную форму ряда Фурье:                                                                     (3.6)

Ряд Фурье  для периодического сигнала  может быть записан в форме:

    ,                                                                       (3.7)

где                                                                    (3.8)

Соотношение (3.6) представляет собой ряд Фурье в комплексной форме, содержащий экспоненциальные функции как с положительным, так и с отрицательным параметром  (двустороннее частотное представление). Составляющие с «отрицательными частотами» являются следствием комплексной формы записи вещественной функции.

Функцию  принято называть комплексным спектром периодического сигнала . Этот спектр – дискретный, или линейчатый,  так как функция  определена только для целых значений . Значение функции  при конкретном  называют комплексной амплитудой. Запишем комплексный спектр в форме:

.                                                                         (3.9)

Модуль комплексного спектра  называют спектром амплитуд, а функцию – спектром фаз сигнала s(t). Спектры амплитуд и фаз периодического сигнала являются дискретными. При этом спектр амплитуд является четной функцией , т. е. , а спектр фаз – нечетной функцией , т.е. .

От двухстороннего спектрального представления легко перейти к одностороннему (не имеющему отрицательных частот), объединяя комплексно-сопряженные составляющие. В этом случае получим ряд Фурье в тригонометрической форме, ранее записанный в виде (3.2).

Спектр амплитуд и спектр фаз периодического сигнала удобно представлять наглядно в виде спектральных диаграмм. Пример спектральной диаграммы амплитудного спектра сигнала, отображаемого совокупностью линий на частотах , приведен на рисунке:

Огибающую  этого спектра амплитуд можно получить, заменив  в  на , где  для -ой гармоники сигнала. Отметим, что дискретный (линейчатый) спектр характеризует не только периодические сигналы. Линейчатые спектры, включающие гармоники некратных частот, могут принадлежать так называемым почти периодическим сигналам.

Спектр амплитуд периодической последовательности прямоугольных импульсов.

Определим спектр амплитуд периодической последовательности прямоугольных импульсов длительностью  и амплитудой , следующих с частотой  (см. рисунок):

Запишем  в виде ряда Фурье в соответствии с выражением (3.2):

.                                                     (3.10)

Коэффициенты разложения найдем по формулам (3.3) – (3.5). При этом введем параметр , называемый скважностью импульсной последовательности.

Значения коэффициентов равны:

;                                                                                                      (3.11)

;                                                                                        (3.12)

, т.к. функция  – четная, и

.

Отсюда  ,                                                     (3.13)

а амплитуды гармоник, включая постоянную составляющую , определяются из выражения:

          ,  при n = 0,1,2,…                          (3.14)

Анализ зависимостей (3.11) – (3.13) показывает:

  •  При больших значениях скважности импульсной последовательности , амплитудный спектр сигнала содержит большое число медленно убывающих по амплитуде гармоник. При этом расстояние между соседними линиями мало, а амплитуды соседних гармоник близки по величине.
  •  Значение постоянной составляющей  примерно вдвое меньше амплитуды первой гармоники .
  •  На частотах, кратных , огибающая спектра равна нулю. Следовательно, амплитуда гармоник, чей номер кратен скважности , будет равна нулю.
  •  Огибающая спектра амплитуд определяется видом функции

.                                                                            (3.15)

Пример спектральной диаграммы периодической последовательности прямоугольных импульсов для скважности  приведен на рисунке:

4

EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4EMBED Equation.DSMT4EMBED Equation.DSMT4EMBED Equation.DSMT4EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20663. Философия Аристотеля, Критика платоновского учения об идеях 72.5 KB
  Аристотель 384 322 год до н. Аристотель проучившись в платоновской академии 20 лет вплоть до смерти Платона развивал философские положения своего учителя придерживаясь объективного идеализма и смог привнести в это течение новые неоспоримо значимые идеи. Аристотель предпочитал проводить занятия со своими учениками прогуливаясь по саду вблизи школы. Для обозначения философской школы Аристотеля используется и такое название как перипатетика от греческого peripatio крытая галерея занятия Аристотель проводил не только прогуливаясь...
20664. Философские школы поздней античности (эллинистическая эпоха) 186.5 KB
  Если ранее у греков существовало представление о своём духовном превосходстве над варварами не способных к культуре и к свободной деятельности что запечатлевалось даже в работах Платона и Аристотеля то в новую эпоху взаимовлияния культур формируется представление о едином бытие человека. Под влиянием восточных культур например астрологических и мистических течений Вавилона происходит эклектическое соединение рационального и сверхъестественного в понимание мира что пагубно отражается и на морали где вера в судьбу в определённость...
20665. Специфика философской мысли в эпоху средневековья 76 KB
  Этот период патристика сталкивается с внутренним противоречием которое выражено в том что стремление посредством рациональной аргументации доказать бытие Бога бессмертие души и прочих сакральных компонентов христианской догматики идёт в разрез с краеугольным положением религии о непостижимости при помощи разума божественных таинств доступных только исключительно в вере. Обсуждаются проблемы: а тринитальный вопрос о единстве и троичности Бога; б христологический вопрос о сочетание в Христе двух начал природного и божественного; в...
20666. Характерные черты эпохи Возрождения 77.5 KB
  Разум в силу своей конечности и определённости пропорцией не является истиной и не способен её постигать настоль точно чтобы утверждать о её исчерпанности. Отсутствие пропорциональности которую мы способны зафиксировать только в конечных вещах является причиной нашего незнания. Конечность нашего ума является источником диспропорции между разумом и бесконечностью в которую он включён и которую стремиться познать. На общем онтологическом уровне индивид связывает все вещи и поэтому является микрокосмом любой вещи.
20667. Учение о субстанции в философии Бенедикта Спинозы и Готфильда Лейбница 51 KB
  Таким образом для Спинозы субстанция является causa sui причиной самой себя. Движение по мнению Спинозы относится лишь к миру модусов и не является атрибутом субстанции по той причине что для его осуществления необходима внешняя причина воздействие связи которая может существовать только в природе порождаемой. По его мнению абсолютно свободен лишь Бог так как является вселенским порядком и субстанцией вбирает в себя и определяет все природные причинноследственные связи необходимость. И так как в мире вещей господствует...
20668. Английский материализм и эмпиризм 17-18 века 64.5 KB
  Согласно Гоббсу каждый из нас стремиться рассуждать о какихнибудь вещах поэтому желание философствовать это врождённое состояние человека свойственное ему от природы. Гоббс таким образом показывает прямую зависимость мышления человека от материального мира и его эмпирического восприятия. Философия природы занимается естественными телами в том числе и изучением тела человека. Данный тип философии направлена на трактовку умственных и нравственных способностей человека этика и определение обязанностей гражданина политика.
20669. Философия французского просвещения. Характерные черты эпохи Просвещения 58 KB
  Главным положением данной эпохи становится указание на первостепенное значение разума рассудка для деятельности человека что например было запечатлено в таких высказываниях как Имей мужество пользоваться своим умом или Дерзай быть мудрым Sapere ande. Вера в человеческий разум выразилась в убеждении о решающей роли естественнонаучных знаний; в стремлении освободиться от предрассудков слепой религиозности невежества неопределённых метафизических догм неподдающихся научной проверке; в пересмотре интеллектуальных ценностей...
20670. Критическая философия Иммануила Канта. Философская система Г.В.Ф. Гегеля 58 KB
  Основы метафизики которая понимается Кантом как наука о принципах чистого разума. Само чувственное познание интуитивно поскольку непосредственно общается с объектом без посредничества разума рассудка. после двенадцати лет философских исследований работы Критика чистого разума. Наиболее значимыми произведениями этого этапа становятся также Критика практического разума и Критика способности суждения.
20671. Философская антропология Л. Фейербаха 40.5 KB
  Согласно его рассуждениям следует отвергнуть гегелевский абсолютный идеализм так как он упразднил конкретного действительного человека. В основу критики идеалистического понимания проблемы отношения Бога и человека Фейербах ставит тезис о том что теология это антропология. Поэтому неприемлем так же и теизм по той причине что не Бог творит человека а человек создает идею Бога. Её истинность кроется в том что она является только формой запечатления отношения человека к собственной сущности.