19107

Математические модели сигналов

Практическая работа

Физика

Лекция № 3. Математические модели сигналов. Сигнал – процесс изменения во времени физического состояния какогото объекта служащий для отображения регистрации и передачи сообщений. Сигналы – электрические акустические оптические и т.д. Классификация сигналов. Сиг...

Русский

2013-07-11

288.5 KB

48 чел.

Лекция № 3.  Математические модели сигналов.

Сигнал – процесс изменения во времени физического состояния какого-то объекта, служащий для отображения, регистрации и передачи сообщений. Сигналы – электрические, акустические, оптические и т.д.

Классификация сигналов. Сигналы:  детерминированные и случайные; периодические и непериодические; импульсные (видеоимпульсы, радиоимпульсы); аналоговые, дискретные и цифровые.

Математические модели физических сигналов: временная и частотная формы представления аналоговых сигналов.

Типовые виды сигналов, используемых при анализе измерительных систем:

  •  единичная функция (функция включения, функция Хевисайда) ;
  •  дельта-функция (функция Дирака) ;
  •  гармоническое колебание .

Временная форма представления аналогового сигнала

Временным представлением сигнала называют такое разложение сигнала , при котором в качестве базисных функций используются дельта-функции . Пользуясь  фильтрующим свойством дельта-функции, можно записать:

.                                 (3.1)

Таким образом, функция  выражена в виде совокупности примыкающих друг к другу импульсов бесконечно малой длительности. Ортогональность совокупности таких импульсов очевидна, так как они не перекрываются во времени.

Разложение (3.1) имеет большое значение в теории линейных систем, т.к.  установив реакцию системы на элементарный входной сигнал в виде дельта-функции, можно определить реакцию системы на произвольный входной сигнал как суперпозицию реакций на бесконечную последовательность смещенных дельта-импульсов с «площадями», равными соответствующим значениям входного сигнала.

Частотная форма представления  периодических сигналов

Математической моделью процесса, повторяющегося во времени, является периодический  сигнал:  Здесь – период сигнала.

Ставится задача найти спектральное разложение такого сигнала.

Введем основную частоту  последовательности, образующей периодический сигнал. Ряд Фурье для периодического сигнала будет иметь вид:

 .                                                (3.2)

Коэффициенты разложения  функции в ряд Фурье находят по формулам:

                                                                                        (3.3)

                                                                           (3.4)

                                                                            (3.5)

Таким образом, в общем случае периодический сигнал содержит не зависящую от времени постоянную составляющую и бесконечный набор гармонических колебаний, так называемых гармоник с частотами  кратными основной частоте .

Каждую гармонику можно описать ее амплитудой  и начальной фазой . Для этого коэффициенты ряда Фурье следует записать в виде:

   так что

   

Подставив эти выражения в (3.1), получим другую, эквивалентную форму ряда Фурье:                                                                     (3.6)

Ряд Фурье  для периодического сигнала  может быть записан в форме:

    ,                                                                       (3.7)

где                                                                    (3.8)

Соотношение (3.6) представляет собой ряд Фурье в комплексной форме, содержащий экспоненциальные функции как с положительным, так и с отрицательным параметром  (двустороннее частотное представление). Составляющие с «отрицательными частотами» являются следствием комплексной формы записи вещественной функции.

Функцию  принято называть комплексным спектром периодического сигнала . Этот спектр – дискретный, или линейчатый,  так как функция  определена только для целых значений . Значение функции  при конкретном  называют комплексной амплитудой. Запишем комплексный спектр в форме:

.                                                                         (3.9)

Модуль комплексного спектра  называют спектром амплитуд, а функцию – спектром фаз сигнала s(t). Спектры амплитуд и фаз периодического сигнала являются дискретными. При этом спектр амплитуд является четной функцией , т. е. , а спектр фаз – нечетной функцией , т.е. .

От двухстороннего спектрального представления легко перейти к одностороннему (не имеющему отрицательных частот), объединяя комплексно-сопряженные составляющие. В этом случае получим ряд Фурье в тригонометрической форме, ранее записанный в виде (3.2).

Спектр амплитуд и спектр фаз периодического сигнала удобно представлять наглядно в виде спектральных диаграмм. Пример спектральной диаграммы амплитудного спектра сигнала, отображаемого совокупностью линий на частотах , приведен на рисунке:

Огибающую  этого спектра амплитуд можно получить, заменив  в  на , где  для -ой гармоники сигнала. Отметим, что дискретный (линейчатый) спектр характеризует не только периодические сигналы. Линейчатые спектры, включающие гармоники некратных частот, могут принадлежать так называемым почти периодическим сигналам.

Спектр амплитуд периодической последовательности прямоугольных импульсов.

Определим спектр амплитуд периодической последовательности прямоугольных импульсов длительностью  и амплитудой , следующих с частотой  (см. рисунок):

Запишем  в виде ряда Фурье в соответствии с выражением (3.2):

.                                                     (3.10)

Коэффициенты разложения найдем по формулам (3.3) – (3.5). При этом введем параметр , называемый скважностью импульсной последовательности.

Значения коэффициентов равны:

;                                                                                                      (3.11)

;                                                                                        (3.12)

, т.к. функция  – четная, и

.

Отсюда  ,                                                     (3.13)

а амплитуды гармоник, включая постоянную составляющую , определяются из выражения:

          ,  при n = 0,1,2,…                          (3.14)

Анализ зависимостей (3.11) – (3.13) показывает:

  •  При больших значениях скважности импульсной последовательности , амплитудный спектр сигнала содержит большое число медленно убывающих по амплитуде гармоник. При этом расстояние между соседними линиями мало, а амплитуды соседних гармоник близки по величине.
  •  Значение постоянной составляющей  примерно вдвое меньше амплитуды первой гармоники .
  •  На частотах, кратных , огибающая спектра равна нулю. Следовательно, амплитуда гармоник, чей номер кратен скважности , будет равна нулю.
  •  Огибающая спектра амплитуд определяется видом функции

.                                                                            (3.15)

Пример спектральной диаграммы периодической последовательности прямоугольных импульсов для скважности  приведен на рисунке:

4

EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4EMBED Equation.DSMT4EMBED Equation.DSMT4EMBED Equation.DSMT4EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

79420. Процессы проектирования. Проектирование системной архитектуры 36.81 KB
  Системная архитектура или общая архитектура системы указывает состав технических объектов программных средств ручных операций; указываются требования системы между объектами. Компоненты должны быть разделены на модули системы подсистемы и т. Необходимо документально оформить привязку системных элементов архитектуры к требованиям системы.
79421. Процессы проектирования. Методики описания системной архитектуры 94.71 KB
  Методики описания системной архитектуры. IEEE 1471 IEEE 1471 Рекомендуемые методы описания архитектуры программных систем. В нем излагается концепция отношений между архитектурой описанием архитектуры заинтересованными сторонами соображениями точками зрений разрезами представлениями и моделями а также подход к работе с ними. См подробное описание ссылка Модель Захмана Модель Захмана основана на дисциплине классической архитектуры и обеспечивает общий словарь и набор перспектив или структур для описания современных сложных...
79422. Процессы проектирования. Архитектурные стили и шаблоны проектирования 80.97 KB
  Шаблон проверяют на: Целостность и непротиворечивость Конструкция полностью покрывает заявленные требования к функционалу Устойчивость и производительность Два подхода проектирования: От общих функций к реализации От частного к общему Архитектурные стили Репозиторий: Описание Все совместно используемые подсистемами данные хранятся в центральной базе данных доступной всем подсистемам. Рекомендации Логично использовать если система обрабатывает большие объёмы данных. Преимущества Совместное использование больших объёмов данных эффективно...
79423. Процессы проектирования. Проектирование информационной архитектуры 44.84 KB
  Задачи решаемые во время проектирования информационной архитектуры: Идентификация и инвентаризация существующих данных включая определение их источников процедур изменения и использования ответственность оценка качества; Сокращение избыточности и фрагментарности данных с целью уменьшения стоимости хранения данных повышение качества данных за счет исключения противоречивости и неоднозначности различных экземпляров данных; Исключение ненужных перемещений и копирований данных; Формирование интегрированных представлений данных таких...
79424. Процессы проектирования. Построение ER модели. Виды нотации 56.27 KB
  С её помощью можно выделить ключевые сущности и обозначить связи которые могут устанавливаться между этими сущностями. Степень конца связи указывается графически множественность связи изображается в виде вилки на конце связи. Модальность связи так же изображается графически необязательность связи помечается кружком на конце связи. Наименование может быть одно для всей связи или два для каждого из концов связи.
79425. Процессы проектирования. Построение логической модели данных 47.37 KB
  Построение логической модели данных. Создание схемы базы данных на основе конкретной модели данных например реляционной модели данных. Для реляционной модели данных даталогическая модель набор схем отношений обычно с указанием первичных ключей а также связей между отношениями представляющих собой внешние ключи. Концептуальная модель хранилища данных представляет собой описание главных основных сущностей и отношений между ними.
79426. Процессы проектирования. Построение физической модели данных 44.2 KB
  Построение физической модели данных. Создание схемы базы данных для конкретной СУБД. Специфика конкретной СУБД может включать в себя ограничения на именование объектов базы данных ограничения на поддерживаемые типы данных и т. Кроме того специфика конкретной СУБД при физическом проектировании включает выбор решений связанных с физической средой хранения данных выбор методов управления дисковой памятью разделение БД по файлам и устройствам методов доступа к данным создание индексов и т.
79427. Процессы проектирования. Проектирование программной архитектуры 48.05 KB
  Подход на основе шаблонов примеры шаблонов можно найти в вопросе 26 Стандартная структура подхода на основе шаблонов: Имя паттерна Задача паттерна Описание решения алгоритм без привязки к реализации Плюсы применения паттерна Минусы применения паттерна Иногда 4 и 5 пункт заменяют рекомендацией. Плюсы применения шаблонов проектирования: Инструмент для решения простых задач на любом языке разработчикам легче взаимодействовать увеличивается скорость программирования. Минусы применения шаблонов проектирования: Зацикливание разработчика...
79428. Процессы проектирования. Шаблоны программной архитектуры 112.61 KB
  Как применять политику ценообразования Вырабатывается стратегия приоритета скидок объект Продажа не должен обладать информацией о применяемых скидках но можно было бы применить стратегию расчета скидок. Имеются классы проектирования Продажа ТоварПродажа продажа отдельного вида товара в рамках продажи в целом ТоварСпецификация описание конкретного вида товара. Объект Продажа должен передать сообщение Рассчитать промежуточную сумму каждому экземпляру класса ТоварПродажа которые в свою очередь передают сообщения СообщитьЦену объектам...