19107

Математические модели сигналов

Практическая работа

Физика

Лекция № 3. Математические модели сигналов. Сигнал процесс изменения во времени физического состояния какогото объекта служащий для отображения регистрации и передачи сообщений. Сигналы электрические акустические оптические и т.д. Классификация сигналов. Сиг...

Русский

2013-07-11

288.5 KB

51 чел.

Лекция № 3.  Математические модели сигналов.

Сигнал – процесс изменения во времени физического состояния какого-то объекта, служащий для отображения, регистрации и передачи сообщений. Сигналы – электрические, акустические, оптические и т.д.

Классификация сигналов. Сигналы:  детерминированные и случайные; периодические и непериодические; импульсные (видеоимпульсы, радиоимпульсы); аналоговые, дискретные и цифровые.

Математические модели физических сигналов: временная и частотная формы представления аналоговых сигналов.

Типовые виды сигналов, используемых при анализе измерительных систем:

  •  единичная функция (функция включения, функция Хевисайда) ;
  •  дельта-функция (функция Дирака) ;
  •  гармоническое колебание .

Временная форма представления аналогового сигнала

Временным представлением сигнала называют такое разложение сигнала , при котором в качестве базисных функций используются дельта-функции . Пользуясь  фильтрующим свойством дельта-функции, можно записать:

.                                 (3.1)

Таким образом, функция  выражена в виде совокупности примыкающих друг к другу импульсов бесконечно малой длительности. Ортогональность совокупности таких импульсов очевидна, так как они не перекрываются во времени.

Разложение (3.1) имеет большое значение в теории линейных систем, т.к.  установив реакцию системы на элементарный входной сигнал в виде дельта-функции, можно определить реакцию системы на произвольный входной сигнал как суперпозицию реакций на бесконечную последовательность смещенных дельта-импульсов с «площадями», равными соответствующим значениям входного сигнала.

Частотная форма представления  периодических сигналов

Математической моделью процесса, повторяющегося во времени, является периодический  сигнал:  Здесь – период сигнала.

Ставится задача найти спектральное разложение такого сигнала.

Введем основную частоту  последовательности, образующей периодический сигнал. Ряд Фурье для периодического сигнала будет иметь вид:

 .                                                (3.2)

Коэффициенты разложения  функции в ряд Фурье находят по формулам:

                                                                                        (3.3)

                                                                           (3.4)

                                                                            (3.5)

Таким образом, в общем случае периодический сигнал содержит не зависящую от времени постоянную составляющую и бесконечный набор гармонических колебаний, так называемых гармоник с частотами  кратными основной частоте .

Каждую гармонику можно описать ее амплитудой  и начальной фазой . Для этого коэффициенты ряда Фурье следует записать в виде:

   так что

   

Подставив эти выражения в (3.1), получим другую, эквивалентную форму ряда Фурье:                                                                     (3.6)

Ряд Фурье  для периодического сигнала  может быть записан в форме:

    ,                                                                       (3.7)

где                                                                    (3.8)

Соотношение (3.6) представляет собой ряд Фурье в комплексной форме, содержащий экспоненциальные функции как с положительным, так и с отрицательным параметром  (двустороннее частотное представление). Составляющие с «отрицательными частотами» являются следствием комплексной формы записи вещественной функции.

Функцию  принято называть комплексным спектром периодического сигнала . Этот спектр – дискретный, или линейчатый,  так как функция  определена только для целых значений . Значение функции  при конкретном  называют комплексной амплитудой. Запишем комплексный спектр в форме:

.                                                                         (3.9)

Модуль комплексного спектра  называют спектром амплитуд, а функцию – спектром фаз сигнала s(t). Спектры амплитуд и фаз периодического сигнала являются дискретными. При этом спектр амплитуд является четной функцией , т. е. , а спектр фаз – нечетной функцией , т.е. .

От двухстороннего спектрального представления легко перейти к одностороннему (не имеющему отрицательных частот), объединяя комплексно-сопряженные составляющие. В этом случае получим ряд Фурье в тригонометрической форме, ранее записанный в виде (3.2).

Спектр амплитуд и спектр фаз периодического сигнала удобно представлять наглядно в виде спектральных диаграмм. Пример спектральной диаграммы амплитудного спектра сигнала, отображаемого совокупностью линий на частотах , приведен на рисунке:

Огибающую  этого спектра амплитуд можно получить, заменив  в  на , где  для -ой гармоники сигнала. Отметим, что дискретный (линейчатый) спектр характеризует не только периодические сигналы. Линейчатые спектры, включающие гармоники некратных частот, могут принадлежать так называемым почти периодическим сигналам.

Спектр амплитуд периодической последовательности прямоугольных импульсов.

Определим спектр амплитуд периодической последовательности прямоугольных импульсов длительностью  и амплитудой , следующих с частотой  (см. рисунок):

Запишем  в виде ряда Фурье в соответствии с выражением (3.2):

.                                                     (3.10)

Коэффициенты разложения найдем по формулам (3.3) – (3.5). При этом введем параметр , называемый скважностью импульсной последовательности.

Значения коэффициентов равны:

;                                                                                                      (3.11)

;                                                                                        (3.12)

, т.к. функция  – четная, и

.

Отсюда  ,                                                     (3.13)

а амплитуды гармоник, включая постоянную составляющую , определяются из выражения:

          ,  при n = 0,1,2,…                          (3.14)

Анализ зависимостей (3.11) – (3.13) показывает:

  •  При больших значениях скважности импульсной последовательности , амплитудный спектр сигнала содержит большое число медленно убывающих по амплитуде гармоник. При этом расстояние между соседними линиями мало, а амплитуды соседних гармоник близки по величине.
  •  Значение постоянной составляющей  примерно вдвое меньше амплитуды первой гармоники .
  •  На частотах, кратных , огибающая спектра равна нулю. Следовательно, амплитуда гармоник, чей номер кратен скважности , будет равна нулю.
  •  Огибающая спектра амплитуд определяется видом функции

.                                                                            (3.15)

Пример спектральной диаграммы периодической последовательности прямоугольных импульсов для скважности  приведен на рисунке:

4

EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4EMBED Equation.DSMT4EMBED Equation.DSMT4EMBED Equation.DSMT4EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

43115. Пресс-автомат для холодного выдавливания 250 KB
  Развитие современной науки и техники неразрывно связано с созданием новых машин, повышающих производительность и облегчающих труд человека на производстве. Главная задача, стоящая перед современным машиностроением- подготовка высококвалифицированных инженеров
43116. Разработка технологического процесса механической обработки детали «Корпус насоса» 678.5 KB
  Такт выпуска определяется по формуле: где годовая программа запуска изделий в производство шт; =28010 шт. Чтобы получить окончательный ответ относительно способа получения заготовки производится экономическое сравнение себестоимости получения деталей при данных методах литья по формуле 5. Стоимость заготовок получаемых такими методами как литьё по выплавляемым моделям и литьё под давлением можно с достаточной для курсового проектирования точностью определить по формуле: где СI базовая стоимость одной тонны...
43117. Проектирование привода ленточного конвейера 462 KB
  Применим индустриальное масло для тяжело нагруженных систем с антиокислительными, антикоррозийными, противоизносными и противозадирными присадками И-Т-Д-220, которое заливается в кратер редуктора до оси червяка.
43118. Проектирование специальных режущих инструментов 1.4 MB
  Графическое и математическое выражение фасонного профиля обрабатываемой детали определяется относительно координатных осей X и Y. Центр координатных осей О находится в точке пересечения левого края детали и ее оси вращения. Координатная ось X совмещается с осью вращения детали. Координатная ось Y проводится из центра координатных осей О перпендикулярно оси X.
43119. Кондуктор для сверления отверстия 10Н7 3.28 MB
  Частая смена объектов производства, связанная с нарастанием темпов технологического процесса, требует создание конструкций приспособлений, методов их расчёта и проектирования, обеспечивающих неуклонное сокращение сроков подготовки производства. Затраты на изготовление технологической оснастки составляют 15…20% от затрат на оборудования для технологического процесса обработки деталей машин или 10…24% от себестоимости машины. Станочные приспособления занимают наибольший удельный вес по стоимости и трудоёмкости изготовления в общем количестве различных типов технологической оснастки.
43120. Проектирование производственного здания «Завод по ремонту двигателей» 314.5 KB
  Проектирование начинается с задания. Задание на проектирование, которое определяется в основном технологическими процессами или назначением объекта, составляется с участием архитекторов, технологов и строителей-проектировщиков. В результате совместной разработки наряду с объемно-планировочной компоновкой, должны быть получены принципиальные решения конструктивной формы здания или сооружения. Эти принципиальные решения согласовываются с технологической и проектной организациями, после чего может быть начато проектирование.
43121. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ПРИВОДА. РАСЧЕТ ЗУБЧАТЫХ ПЕРЕДАЧ 375 KB
  Определяем общий коэффициент полезного действия КПД привода где коэффициенты полезного действия ременной передачи цилиндрической передачи редуктора муфты и опор подшипников. где предел контактной выносливости для углеродистых сталей твердостью поверхностей зубьев менее НВ 350 и термической обработкой улучшением коэффициент долговечности при числе циклов нагружения больше базового что имеет место при длительной эксплуатации редуктора принимаем ; коэффициент безопасности; коэффициент учитывающий влияние...
43122. Разработка технологического процесса изготовления и сборки вала H40-ИНА 125.02.106 802 KB
  Графический материал объемом 4 листа формата А1 в том числе чертеж сборки заданного узла анализ точности изготовления операционные эскизы чертеж приспособления. Схема представлена на листе КП.106 Технологические схемы сборки приведены на листе 1.203 показаны на листе КП.
43123. Реконструкция четырехэтажного жилого дома серии 1-447 С-35 451 KB
  Характеристика объёмнопланировочного конструктивного и архитектурнохудожественного решения здания подлежащего реконструкции. Объемно планировочное решение здания и его соответствие нормативным требованиям Конструктивное решение здания и техническое состояние несущих и ограждение элементов Архитектурнохудожественное решение здания его соответствие требованиям предъявляемым к застройке Перечень и содержание мероприятий необходимых при проведении реконструкции здания Объемнопланировочное...