19108

Спектральные характеристики непериодических сигналов

Практическая работа

Физика

Лекция № 4. Спектральные характеристики непериодических сигналов. Теория спектрального представления непериодических импульсных сигналов основанная на прямом и обратном интегральных преобразованиях Фурье позволяет осуществлять анализ прохождения сигналов чер

Русский

2013-07-11

191.5 KB

26 чел.

Лекция № 4.  Спектральные характеристики непериодических сигналов.

Теория спектрального представления непериодических (импульсных) сигналов, основанная на прямом и обратном интегральных преобразованиях Фурье,  позволяет осуществлять анализ прохождения сигналов через широкий класс функциональных элементов измерительных систем:  электрических цепей,  различного рода преобразователей, функциональных блоков.  Если функция , отображающая реальный сигнал, абсолютно интегрируема, то ее спектральная плотность определяется интегралом:

.                                                                                 (4.1)

Величину  называют комплексной спектральной плотностью или спектральной характеристикой. Она имеет размерность [амплитуда/частота]. Используя обратное преобразование Фурье для сигнала, можно записать:

.                                                                             (4.2)

Как комплексная величина спектральная плотность может быть записана в виде модуля и аргумента:

,                                                            (4.3)

где модуль  называют спектральной плотностью амплитуд или просто амплитудным спектром непериодического сигнала, а аргумент спектральной плотности – фазовым спектром этого сигнала.

Модуль и аргумент спектральной плотности могут быть вычислены по формулам:

,                                                                                 (4.4)

 ,       где                                                                     (4.5)

,                                                                                      (4.6)

.                                                                                       (4.7)

Как и в случае ряда Фурье,   является четной функцией частоты, а  – нечетной функцией частоты. Так как составляющие расположены на всех частотах, то спектр непериодического сигнала является непрерывным или сплошным. 

На основании формулы (4.3) нетрудно привести комплексную форму интегрального преобразования Фурье (4.2) к тригонометрической форме:

.                                                           (4.8)

Преимущество тригонометрической формы записи Фурье-преобразования заключается в возможности некоторого физического толкования с использованием идеализаций, не очень далеких от реальности. Следует отметить, что условие абсолютной интегрируемости сигнала , т.е. сходимости интеграла ,  сужает класс  сигналов, допустимых к Фурье-анализу. Так, в классическом смысле невозможно говорить о спектральной плотности таких сигналов, как единичная функция 1(t), гармонический сигнал  и некоторые другие, т.к. они не соответствуют условию абсолютной интегрируемости.

Спектральная плотность прямоугольного видеоимпульса

Найдем спектральные характеристики (амплитудную и фазовую) одиночного прямоугольного импульса, описываемого выражением:

                                                                (4.9)

Графическое изображение импульса представлено на рисунке.

                                                 

Применяя формулу (4.1), находим спектральную плотность:

                     (4.10)

Заметим, что произведение , равное площади импульса, определяет значение спектральной плотности импульса при , т.е. . Более того, это выражение справедливо для импульсов произвольной формы:

.                                                                           (4.11)

Спектр амплитуд одиночного прямоугольного импульса представляет из себя модуль выражения (4.10):

.                                                                            (4.12)

Графически спектр амплитуд этого импульса представлен на рисунке (приведена правая часть спектральной характеристики, соответствующая положительным значениям ).

Из рисунка и анализа соотношения (4.12) следует, что при увеличении длительности импульса  расстояние между нулями функции  сокращается, что равносильно сужению спектра амплитуд. При этом значение  при   возрастает. При укорачивании (сжатии) импульса  расстояние между нулями функции , напротив, увеличивается (спектр расширяется), а значение  убывает. В пределе при   значение  стремится к бесконечности, а модуль спектральной плотности, бесконечно малый по величине при постоянном значении , становится равномерным в полосе частот от   до . Очевидно также, что амплитудный спектр прямоугольного импульса имеет ту же форму, что и огибающая периодической последовательности таких импульсов.

Фазовая характеристика спектра прямоугольного импульса (спектр фаз) описывается выражением:,  Очевидно,  что каждое изменение знака  учитывается изменением фазы на .

Распределение энергии в спектре непериодического сигнала.

Рассмотрим импульсный сигнал , физическим представлением которого будем считать электрическое напряжение на резисторе номиналом 1 Ом. Тогда энергия, выделяемая на этом резисторе равна:

.                                                                                                 (4.13)

В предположении, что интеграл (4.13) сходится, выразим энергию через модуль спектральной характеристики  этого сигнала . Для этого квадрат модуля запишем в виде:  ,  где  – функция, комплексно-сопряженная спектральной характеристике  сигнала .  Тогда

.

После изменения последовательности интегрирования и использования обратного преобразования Фурье получим:

.                                                                         (4.14)

Окончательно имеем

.                                              (4.15)

Соотношение (4.15) известно как равенство Парсеваля. Из него следует, что каждое из бесконечно малых слагаемых , соответствующих бесконечно малым участкам спектра, характеризует энергию, приходящуюся на спектральные составляющие сигнала, сосредоточенные в полосе частот от  до .

Соотношение (4.15) может быть записано в виде:

,                                                                             (4.16)

где   называют спектральной плотностью энергии сигнала, или энергетическим спектром. Изучение сигнала с помощью его энергетического спектра неизбежно приводит к потере информации, которая заключена в фазовом спектре сигнала, поскольку энергетический спектр есть квадрат модуля спектральной плотности и не зависит от ее аргумента. Тем не менее понятие энергетического спектра оказывается полезным при получении различных оценок, связанных с шириной спектра сигнала.  

3

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

73982. ПОЛЬСЬКА ДЕРЖАВА В ПЕРІОД ПРАВЛІННЯ ДИНАСТІЇ ЯГЕЛЛОНІВ (КІНЕЦЬ ХIV-ХVІ ст.) 519 KB
  Політичний розвиток Польщі наприкінці XIV в першій половині XV ст. Боротьба з німецькою експансією Формування становопредставницької монархії Соціальноекономічний розвиток Польщі Польськолитовські відносини. Польська культура ПОЛІТИЧНИЙ РОЗВИТОК ПОЛЬЩІ НАПРИКІНЦІ XIV В ПЕРШІЙ ПОЛОВИНІ ХV СТ. З метою зміцнення позицій нової королівської династії у Великій Польщі Ельжбета здійснила ряд нововведень: заснувала спеціальні суди які розглядали справи щодо повернення шляхті конфіскованих у неї маєтків; надала привілеї деяким...
73983. Національно-визвольний рух у польських землях наприкінці ХVІІІ–в 60-х роках ХІХст 222 KB
  Відсутність власної держави відчули на собі всі верстви польського суспільства. Шляхту було позбавлено громадянських і політичних прав, якими вона користувалася протягом кількох століть, зокрема можливості брати участь у законотворчості і встановленні розміру податків
73984. Річ Посполита XVII - наприкінці XVIII століттях 247 KB
  Нову династію в Речі Посполитій започаткували вибори на польський престол у 1587 р., на яких обрали фактично двох королів. Примас (глава католицької церкви) Станіслав Карнковський проголосив королем шведського принца Сигіз-мунда. РІЧ ПОСПОЛИТА В XVII - НАПРИКІНЦІ XVIII століттях
73985. Технология приготовления изделия из слоеного теста с начинкой «Курник» 218 KB
  Познакомиться с ассортиментом блюд из птицы. Дать общую характеристику мясных блюд из птицы и изделий из слоеного теста. Показать технологию приготовления куриного рулета. Изучить классификацию блюд из слоеного теста...
73986. Оптимизация системы ведения полеводства в КФХ «Прогресс» Красноперекопского района Республики Крым 5.84 MB
  Оптимальная структура посевных площадей и научно обоснованное чередование культур занимает одно из ведущих мест в повышении их урожайности. Структура посевных площадей (процентное соотношение площадей, засеваемых различными группами культур) определяется производственной направленностью уровнем материально-технического снабжения хозяйства
73987. Проведение уроков информатики по теме: «Кодирование информации» с использованием интернет-технологий 1.03 MB
  В данной дипломной работе показаны примерные уроки для изучения темы «Кодирование информации» в средней школе. Достигнута цель работы изучение и применение методов обучения темы «Кодирование информации» в средней школе. Не смотря на сложность материала большого объема информации на тему «Кодирование информации» в школьном планирование уделено крайне мало часов
73988. Специфика партиципарной коммуникации в газетах мурманской области (на примере городской газеты города Мурманска «Вечерний Мурманск») 354 KB
  Выявить особенности развития партиципарной журналистики в современных российских печатных СМИ, рассмотреть приемы и специфику организации взаимоотношений регионального печатного издания и его аудитории, выявить перспективные методы реализации принципов партиципарности...
73989. Разработка конкурентной стратегии на рынке целлюлозы на предприятии ЦБК 589.5 KB
  Стратегия лидерства по издержкам – снижение полных издержек производства и реализации товаров, стратегия широкой дифференциации (лидеры по качеству) – придание товарам компании специфических черта, отличающих их от товаров конкурентов, стратегия оптимальных издержек – получение преимуществ фирмой за счет сочетания низких издержек и широкой дифференциации товаров...
73990. Возрастные особенности волевой регуляции у подростков и старшеклассников 535.5 KB
  Воля проходит свое развитие в течение многих этапов возрастного становления личности на протяжении всей жизнедеятельности, приближаясь к регулятивным функциям воли. Мы предполагаем, что в подростковом возрасте при развитости воли все еще недостаточно сформирована волевая регуляция, влияющая на произвольное поведение и деятельность подростков