19108

Спектральные характеристики непериодических сигналов

Практическая работа

Физика

Лекция № 4. Спектральные характеристики непериодических сигналов. Теория спектрального представления непериодических импульсных сигналов основанная на прямом и обратном интегральных преобразованиях Фурье позволяет осуществлять анализ прохождения сигналов чер

Русский

2013-07-11

191.5 KB

19 чел.

Лекция № 4.  Спектральные характеристики непериодических сигналов.

Теория спектрального представления непериодических (импульсных) сигналов, основанная на прямом и обратном интегральных преобразованиях Фурье,  позволяет осуществлять анализ прохождения сигналов через широкий класс функциональных элементов измерительных систем:  электрических цепей,  различного рода преобразователей, функциональных блоков.  Если функция , отображающая реальный сигнал, абсолютно интегрируема, то ее спектральная плотность определяется интегралом:

.                                                                                 (4.1)

Величину  называют комплексной спектральной плотностью или спектральной характеристикой. Она имеет размерность [амплитуда/частота]. Используя обратное преобразование Фурье для сигнала, можно записать:

.                                                                             (4.2)

Как комплексная величина спектральная плотность может быть записана в виде модуля и аргумента:

,                                                            (4.3)

где модуль  называют спектральной плотностью амплитуд или просто амплитудным спектром непериодического сигнала, а аргумент спектральной плотности – фазовым спектром этого сигнала.

Модуль и аргумент спектральной плотности могут быть вычислены по формулам:

,                                                                                 (4.4)

 ,       где                                                                     (4.5)

,                                                                                      (4.6)

.                                                                                       (4.7)

Как и в случае ряда Фурье,   является четной функцией частоты, а  – нечетной функцией частоты. Так как составляющие расположены на всех частотах, то спектр непериодического сигнала является непрерывным или сплошным. 

На основании формулы (4.3) нетрудно привести комплексную форму интегрального преобразования Фурье (4.2) к тригонометрической форме:

.                                                           (4.8)

Преимущество тригонометрической формы записи Фурье-преобразования заключается в возможности некоторого физического толкования с использованием идеализаций, не очень далеких от реальности. Следует отметить, что условие абсолютной интегрируемости сигнала , т.е. сходимости интеграла ,  сужает класс  сигналов, допустимых к Фурье-анализу. Так, в классическом смысле невозможно говорить о спектральной плотности таких сигналов, как единичная функция 1(t), гармонический сигнал  и некоторые другие, т.к. они не соответствуют условию абсолютной интегрируемости.

Спектральная плотность прямоугольного видеоимпульса

Найдем спектральные характеристики (амплитудную и фазовую) одиночного прямоугольного импульса, описываемого выражением:

                                                                (4.9)

Графическое изображение импульса представлено на рисунке.

                                                 

Применяя формулу (4.1), находим спектральную плотность:

                     (4.10)

Заметим, что произведение , равное площади импульса, определяет значение спектральной плотности импульса при , т.е. . Более того, это выражение справедливо для импульсов произвольной формы:

.                                                                           (4.11)

Спектр амплитуд одиночного прямоугольного импульса представляет из себя модуль выражения (4.10):

.                                                                            (4.12)

Графически спектр амплитуд этого импульса представлен на рисунке (приведена правая часть спектральной характеристики, соответствующая положительным значениям ).

Из рисунка и анализа соотношения (4.12) следует, что при увеличении длительности импульса  расстояние между нулями функции  сокращается, что равносильно сужению спектра амплитуд. При этом значение  при   возрастает. При укорачивании (сжатии) импульса  расстояние между нулями функции , напротив, увеличивается (спектр расширяется), а значение  убывает. В пределе при   значение  стремится к бесконечности, а модуль спектральной плотности, бесконечно малый по величине при постоянном значении , становится равномерным в полосе частот от   до . Очевидно также, что амплитудный спектр прямоугольного импульса имеет ту же форму, что и огибающая периодической последовательности таких импульсов.

Фазовая характеристика спектра прямоугольного импульса (спектр фаз) описывается выражением:,  Очевидно,  что каждое изменение знака  учитывается изменением фазы на .

Распределение энергии в спектре непериодического сигнала.

Рассмотрим импульсный сигнал , физическим представлением которого будем считать электрическое напряжение на резисторе номиналом 1 Ом. Тогда энергия, выделяемая на этом резисторе равна:

.                                                                                                 (4.13)

В предположении, что интеграл (4.13) сходится, выразим энергию через модуль спектральной характеристики  этого сигнала . Для этого квадрат модуля запишем в виде:  ,  где  – функция, комплексно-сопряженная спектральной характеристике  сигнала .  Тогда

.

После изменения последовательности интегрирования и использования обратного преобразования Фурье получим:

.                                                                         (4.14)

Окончательно имеем

.                                              (4.15)

Соотношение (4.15) известно как равенство Парсеваля. Из него следует, что каждое из бесконечно малых слагаемых , соответствующих бесконечно малым участкам спектра, характеризует энергию, приходящуюся на спектральные составляющие сигнала, сосредоточенные в полосе частот от  до .

Соотношение (4.15) может быть записано в виде:

,                                                                             (4.16)

где   называют спектральной плотностью энергии сигнала, или энергетическим спектром. Изучение сигнала с помощью его энергетического спектра неизбежно приводит к потере информации, которая заключена в фазовом спектре сигнала, поскольку энергетический спектр есть квадрат модуля спектральной плотности и не зависит от ее аргумента. Тем не менее понятие энергетического спектра оказывается полезным при получении различных оценок, связанных с шириной спектра сигнала.  

3

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34176. Системы денежного обращения. Денежные агрегаты 16.42 KB
  Важнейшими элементами денежной системы являются: денежная единица это установленный в законодательном порядке денежный знак который служит для соизмерения и выражения цен всех товаров; масштаб цен весовое количество денежного металла принятое в стране в качестве денежной единицы и ее составных частей; официальный масштаб цен утратил свой смысл в связи с особенностями экономического развития отдельных стран и прекращением размена кредитных денег на золото; система эмиссии денег учреждения выпускающие деньги и ценные бумаги;...
34177. Спрос, предложение и равновесие на денежном рынке 19.95 KB
  Закон спроса гласит: при прочих равных условиях спрос на товары в количественном выражении изменяется в обратной зависимости от цены. На изменение спроса влияют неценовые факторы: 1 число покупателей; 2 изменение в денежных доходах населения. Эластичность спроса степень чувствительности спроса к изменению цены товара. Например если доходы в экономике возрастут то это приведет к росту спроса на деньги а следовательно к увеличению процентной ставки в этом случае будет увеличиваться альтернативная стоимость хранения денег и снижаться...
34178. Ссудный капитал и кредит 18.86 KB
  Ссудный капитал и кредит. Формой движения ссудного капитала является кредит. Ссуды бывают следующих видов: ü безвозвратная; ü возвратная беспроцентная; ü возвратная процентная кредит. Источником процента является доход полученный от использования кредита.
34179. Банковская система: функции и структура 30.8 KB
  В банковскую систему входят специализированные организации обеспечивающие деятельность банков и кредитных учреждений расчетнокассовые и клиринговые центры фирмы по аудиту банков дилерские фирмы по работе с ценными бумагами банков организаций обеспечивающие банки оборудованием информацией кадрами. Сложившаяся банковская система имеет двухуровневую структуру: 1 верхний уровень Центральный банк ЦБ; 2 нижний уровень коммерческие банки и кредитнофинан совые организации . По функциональному назначению и характеру осуществляемых...
34180. Денежно-кредитная система и производство 14.2 KB
  Денежнокредитная система и производство В современной кредитной системе выделяются три основных звена: центральный банк; коммерческие банки; специализированные кредитнофинансовые институты. Коммерческие банки представляют собой главные нервные центры кредитной системы. Кроме того банки могут заниматься посредническими операциями управление имуществом ценными бумагами. Особое место в современной рыночной экономике занимают специализированные кредитнофинансовые институты такие как пенсионный фонд страховые компании инвестиционные и...
34181. Рынок ценных бумаг: содержание, структура, участники 15.25 KB
  Рынок ценных бумаг: содержание структура участники. Рынок ценных бумаг как и любой другой рынок представляет собой сложную организационноправовую систему с определенной технологией проведения операций. Структуру рынка ценных бумаг представляют собой три основных составляющих: предмет торговли т. ценные бумаги и их производные; профессиональные участники; система регулирования рынка.
34182. ГОСУДАРСТВЕННЫЕ ЦЕННЫЕ БУМАГИ ВИДЫ И КЛАССИФИКАЦИЯ ГОСУДАРСТВЕННЫХ ЦЕННЫХ БУМАГ 19.51 KB
  На мировых фондовых рынках обращаются самые различные виды государственных долговых обязательств: облигации векселя ноты сертификаты и др. Существенную долю в структуре внутреннего государственного долга занимают государственные краткосрочные облигации и облигации федерального займа которые непосредственно используются для покрытия дефицита федерального бюджета. В Японии 3 и 6месячные краткосрочные облигации и финансирующие векселя которые выпускаются для покрытия краткосрочных разрывов на срок 60 дней. В Великобритании выпускаются...
34183. Долговые ценные бумаги. Облигации 27.45 KB
  Облигации. оБЛИГАЦИИ Облигация родственна векселю. Поэтому у облигации есть номинальная курсовая и выкупная цены стоимости. Кроме того доход по облигации не зависит от результатов финансовохозяйственной деятельности предприятияэмитента.
34184. Долевые ценные бумаги. Акции 15.86 KB
  Акции. Акции и есть долевые ценные бумаги. Акции могут давать право на получение прибыли в виде дивидендов и участие в управлении компанией. Следует сказать что покупая акции инвестор подвергает свой капитал некоторому риску так как если вдруг у компании дела пойдут плохо то и стоимость акций снизится что может привести к потере всех вложенных денег полностью или частично.