19108

Спектральные характеристики непериодических сигналов

Практическая работа

Физика

Лекция № 4. Спектральные характеристики непериодических сигналов. Теория спектрального представления непериодических импульсных сигналов основанная на прямом и обратном интегральных преобразованиях Фурье позволяет осуществлять анализ прохождения сигналов чер

Русский

2013-07-11

191.5 KB

20 чел.

Лекция № 4.  Спектральные характеристики непериодических сигналов.

Теория спектрального представления непериодических (импульсных) сигналов, основанная на прямом и обратном интегральных преобразованиях Фурье,  позволяет осуществлять анализ прохождения сигналов через широкий класс функциональных элементов измерительных систем:  электрических цепей,  различного рода преобразователей, функциональных блоков.  Если функция , отображающая реальный сигнал, абсолютно интегрируема, то ее спектральная плотность определяется интегралом:

.                                                                                 (4.1)

Величину  называют комплексной спектральной плотностью или спектральной характеристикой. Она имеет размерность [амплитуда/частота]. Используя обратное преобразование Фурье для сигнала, можно записать:

.                                                                             (4.2)

Как комплексная величина спектральная плотность может быть записана в виде модуля и аргумента:

,                                                            (4.3)

где модуль  называют спектральной плотностью амплитуд или просто амплитудным спектром непериодического сигнала, а аргумент спектральной плотности – фазовым спектром этого сигнала.

Модуль и аргумент спектральной плотности могут быть вычислены по формулам:

,                                                                                 (4.4)

 ,       где                                                                     (4.5)

,                                                                                      (4.6)

.                                                                                       (4.7)

Как и в случае ряда Фурье,   является четной функцией частоты, а  – нечетной функцией частоты. Так как составляющие расположены на всех частотах, то спектр непериодического сигнала является непрерывным или сплошным. 

На основании формулы (4.3) нетрудно привести комплексную форму интегрального преобразования Фурье (4.2) к тригонометрической форме:

.                                                           (4.8)

Преимущество тригонометрической формы записи Фурье-преобразования заключается в возможности некоторого физического толкования с использованием идеализаций, не очень далеких от реальности. Следует отметить, что условие абсолютной интегрируемости сигнала , т.е. сходимости интеграла ,  сужает класс  сигналов, допустимых к Фурье-анализу. Так, в классическом смысле невозможно говорить о спектральной плотности таких сигналов, как единичная функция 1(t), гармонический сигнал  и некоторые другие, т.к. они не соответствуют условию абсолютной интегрируемости.

Спектральная плотность прямоугольного видеоимпульса

Найдем спектральные характеристики (амплитудную и фазовую) одиночного прямоугольного импульса, описываемого выражением:

                                                                (4.9)

Графическое изображение импульса представлено на рисунке.

                                                 

Применяя формулу (4.1), находим спектральную плотность:

                     (4.10)

Заметим, что произведение , равное площади импульса, определяет значение спектральной плотности импульса при , т.е. . Более того, это выражение справедливо для импульсов произвольной формы:

.                                                                           (4.11)

Спектр амплитуд одиночного прямоугольного импульса представляет из себя модуль выражения (4.10):

.                                                                            (4.12)

Графически спектр амплитуд этого импульса представлен на рисунке (приведена правая часть спектральной характеристики, соответствующая положительным значениям ).

Из рисунка и анализа соотношения (4.12) следует, что при увеличении длительности импульса  расстояние между нулями функции  сокращается, что равносильно сужению спектра амплитуд. При этом значение  при   возрастает. При укорачивании (сжатии) импульса  расстояние между нулями функции , напротив, увеличивается (спектр расширяется), а значение  убывает. В пределе при   значение  стремится к бесконечности, а модуль спектральной плотности, бесконечно малый по величине при постоянном значении , становится равномерным в полосе частот от   до . Очевидно также, что амплитудный спектр прямоугольного импульса имеет ту же форму, что и огибающая периодической последовательности таких импульсов.

Фазовая характеристика спектра прямоугольного импульса (спектр фаз) описывается выражением:,  Очевидно,  что каждое изменение знака  учитывается изменением фазы на .

Распределение энергии в спектре непериодического сигнала.

Рассмотрим импульсный сигнал , физическим представлением которого будем считать электрическое напряжение на резисторе номиналом 1 Ом. Тогда энергия, выделяемая на этом резисторе равна:

.                                                                                                 (4.13)

В предположении, что интеграл (4.13) сходится, выразим энергию через модуль спектральной характеристики  этого сигнала . Для этого квадрат модуля запишем в виде:  ,  где  – функция, комплексно-сопряженная спектральной характеристике  сигнала .  Тогда

.

После изменения последовательности интегрирования и использования обратного преобразования Фурье получим:

.                                                                         (4.14)

Окончательно имеем

.                                              (4.15)

Соотношение (4.15) известно как равенство Парсеваля. Из него следует, что каждое из бесконечно малых слагаемых , соответствующих бесконечно малым участкам спектра, характеризует энергию, приходящуюся на спектральные составляющие сигнала, сосредоточенные в полосе частот от  до .

Соотношение (4.15) может быть записано в виде:

,                                                                             (4.16)

где   называют спектральной плотностью энергии сигнала, или энергетическим спектром. Изучение сигнала с помощью его энергетического спектра неизбежно приводит к потере информации, которая заключена в фазовом спектре сигнала, поскольку энергетический спектр есть квадрат модуля спектральной плотности и не зависит от ее аргумента. Тем не менее понятие энергетического спектра оказывается полезным при получении различных оценок, связанных с шириной спектра сигнала.  

3

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

73650. Организация надзора за метрологическим обеспечением единства измерений 64.5 KB
  Организация надзора за метрологическим обеспечением единства измерений Студент должен иметь представление: о целях и задачах государственного метрологического надзора; о сферах применения государственного и ведомственного надзора; о видах государственного надзора; знать: порядок проведения и оформления государственного надзора. Государственный надзор за состоянием и применением средств измерений эталонами аттестованными методиками выполнения измерений и соблюдением метрологических правил. Права государственных...
73651. Економічна система 430.38 KB
  Сутність та структура економічної системи. Національні та міжнародна економічні системи. Формування глобальної економічної системи У результаті вивчення даної теми студенти зможуть поглибити власні знання які стосуються розуміння природи визначальних характеристик і особливостей функціонування економічних систем. Сутність та структура економічної системи Проблема економічних систем суспільства їх генезису чинників та логіки становлення є однією з найбільш актуальних у сучасній економічній науці.
73652. Опыт единоличной власти в России в XVI-XX веков 52.54 KB
  В многовековой истории России за редким исключением государство брало верх над обществом. как системы политических и экономических мер установление в России режима личной власти царя. Сложившаяся геополитическая ситуация благоприятствовала национальному возрождению России и превращению ее в крупное европейское государство.
73655. Закрепощение крестьян в России в конце XVI - начале XVII века 37.18 KB
  Очевидно что переходы крестьян в это время были введены в определенные границы и одна из задач работы состоит в выяснении существа этих границ. Самоквасовым еще две грамоты с упоминанием заповедных лет писал что в заповедный год выход или вывоз крестьян.