19109

Спектральный анализ непериодических сигналов

Практическая работа

Физика

Лекция № 5. Спектральный анализ непериодических сигналов Для практических приложений является важным установление связи между преобразованием сигнала и соответствующим этому преобразованию изменением спектральных характеристик. Спектральная плотность сигнала...

Русский

2013-07-11

246 KB

54 чел.

Лекция № 5.  

Спектральный анализ непериодических сигналов

Для практических приложений является важным установление связи между преобразованием сигнала и соответствующим этому преобразованию изменением спектральных характеристик.

Спектральная плотность сигнала, смещенного во времени.

Предположим, что сигнал  произвольной формы, существующий на интервале от  до , имеет спектральную плотность . Найдем спектральную плотность этого же сигнала при условии его задержки на интервал , например преобразователем, называемым  линией задержки. Функция времени задержанного сигнала при сохранении его формы запишется в виде:

                                                                                           (5.1)

Спектральная плотность задержанного сигнала очевидно  имеет вид:

                                              (5.2)

Вводя новую переменную интегрирования , получим:

=.               (5.3)

Из этого соотношения видно, что задержка во времени сигнала  на интервал  приводит к изменению фазовой характеристики спектра   (спектра фаз) на величину . Очевидно, что в общем случае при сдвиге сигнала во времени на величину   его фазовый спектр изменится на величину  .   Спектр амплитуд этого сигнала (модуль спектральной плотности) от положения сигнала на временной оси не зависит.

Спектральная плотность сигнала, сжатого во времени.

Пусть сигнал  длительностью  подвергся сжатию во времени в соответствии с рисунком:

Новый сжатый сигнал  связан с исходным сигналом соотношением:

,                                                                                     (5.4)

Длительность сжатого сигнала очевидно равна .  Определим спектральную плотность сжатого сигнала  :

                                                   (5.5)

Вводя новую переменную интегрирования    , получаем:

                                             (5.6)

Интеграл в правой части выражения (5.6)  есть не что иное, как спектральная плотность исходного сигнала  при частоте  , т.е.:

.                                                                                  (5.7)

Итак, при сжатии сигнала в  раз на временной оси имеем:

  •  уменьшение модуля спектральной плотности в  раз;
  •  расширение во столько же раз его спектральных составляющих на оси частот.

Очевидно, при расширении исходного сигнала во времени  (т.е. при ) имеют место обратные процессы: сужение спектра и увеличение модуля спектральной плотности.

Можно также показать, что длительность сигнала и ширина его спектра амплитуд не могут быть одновременно ограничены конечными интервалами: если длительность сигнала ограничена, то спектр его неограничен, и, наоборот, сигнал с ограниченным спектром длится бесконечно долго. Говорят, что ширина спектра и длительность импульса связаны соотношением неопределенности: ,  где  – длительность импульса, а  – ширина спектра (практическая ширина),  – постоянная, зависящая от формы импульса (в первом приближении принимают ).

Спектральная плотность на выходе сумматора сигналов.

Преобразование Фурье, определяющее спектральную плотность заданного сигнала, является линейным преобразованием. Если на вход сумматора подать некоторую совокупность сигналов   …, обладающих спектральными плотностями соответственно , , , …, то взвешенной сумме сигналов на выходе сумматора   будет соответствовать спектральная плотность:

,                                          (5.8)

где  – произвольные числовые коэффициенты. Для доказательства этого утверждения следует подставить сумму сигналов в формулу для прямого преобразования Фурье.

Спектральная плотность продифференцированного сигнала.

Пусть сигнал  и его спектральная плотность  заданы. Подадим сигнал на вход линейного устройства, осуществляющего дифференцирование сигнала. Сигнал на выходе дифференцирующего устройства  будет иметь вид:

,                                                                                            (5.9)

где  – константа преобразования.

Используя свойство преобразования Фурье, часто записываемое в виде:

,                                                                              (5.10)

где символом  обозначено прямое преобразование Фурье над функцией ,

получим:

                                                                                (5.11)

Итак, дифференцирование сигнала по времени эквивалентно алгебраической операции умножения спектральной плотности на множитель , часто называемым оператором дифференцирования в частотной области. Отметим, что при дифференцировании скорость изменения сигнала во времени возрастает, а сам сигнал укорачивается. Следовательно, модуль спектра производной имеет большие значения в области высоких частот по сравнению с модулем исходного сигнала.

Спектральная плотность сигнала на выходе интегратора.   Во многих измерительных системах находят применение так называемые интеграторы – преобразователи, выходной сигнал которых пропорционален интегралу от входного воздействия :

,  – константа преобразования.                              (5.12)

По аналогии с операцией дифференцирования нетрудно  найти формулу связи спектральных плотностей сигналов на входе и выходе интегратора:

.                                                                                       (5.13)

Так как модуль знаменателя растет линейно с увеличением частоты, это свидетельствует о том, что рассматриваемый интегратор действует подобно фильтру нижних частот, ослабляя высокочастотные спектральные составляющие входного сигнала.

Практическая ширина спектра сигнала.

Реальные сигналы всегда ограничены во времени, следовательно, их  амплитудный спектр теоретически неограничен. Однако реальные сигналы генерируются и передаются устройствами, содержащими инерционные элементы (например, емкости и индуктивности в электрических цепях и прочих  преобразователях). Поэтому они не могут содержать гармонических составляющих сколь угодно высоких частот.

В связи с этим возникает необходимость ввести в рассмотрение модели сигналов, обладающих как конечной длительностью, так и ограниченным спектром. При этом в соответствии с каким-либо критерием дополнительно ограничивается либо ширина спектра, либо длительность сигнала, либо оба параметра одновременно.

Чаще всего в качестве такого критерия используется энергетический критерий, согласно которому практическую ширину амплитудного спектра выбирают так, чтобы в нем была сосредоточена подавляющая часть энергии сигнала.  Для этого используют равенство Парсеваля, позволяющее определить энергию сигнала  либо через функцию, описывающую реальный сигнал длительностью ,  либо через модуль ее спектральной плотности :

.                                            (5.14)

Практическая ширина спектра сигнала, сосредоточенная в диапазоне частот от 0 до некоторого значения ,  определяется из соотношения:

.                                                                (5.15)

Здесь  – граничная частота, определяющая верхнее значение спектра сигнала;  – коэффициент, достаточно близкий к 1 (на практике его значение выбирают в интервале от 0.9 до 0,998 в зависимости от требований к качеству воспроизведения сигнала). Значение  означает, что в полосе частот от  до  содержится 99 % энергии сигнала. Значение граничной частоты находят, решая трансцендентное уравнение (5.15).

Практическая ширина спектра экспоненциального импульса.

Задача: определить граничную частоту спектра сигнала вида      

   ,                                                                                                 (5.16)

ориентируясь на практическую ширину спектра сигнала с

Принять следующие значения:  мВ,   1/сек.

Сигналы такого типа, называемые экспоненциальными видеоимпульсами, генерируются многими датчиками (например, полупроводниковыми детекторами при регистрации параметров ионизирующих излучений) . Условие  обеспечивает достаточно быстрое (экспоненциальное) уменьшение значений сигнала с ростом времени.

Спектральная плотность такого сигнала равна:

                                        (5.17)

Подставляя пределы, получаем:

   .                                                                                      (5.18)

Спектр амплитуд такого импульса равен:                                (5.19)

Трансцендентное уравнение, решение которого позволяет определить , имеет вид:

     .                                                            (5.20)

Так как      ,

получаем:  . Отсюда .

Практическую длительность подобных импульсов в измерительной технике обычно определяют из условия десятикратного уменьшения  уровня сигнала:

.  Отсюда .

PAGE  1


EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

53815. Святковий концерт до 8 Березня «Зустріч з зірками» 46 KB
  8-ий ученьСвята і грішна Ніжна і жагуча Цнотлива й пристрасна І сильна і слабка Ви жінка неповторна і чарівна Ви жінка вічно мудра й молода. Ви жінка жінка мати і дружина Безмежне море доброти й тепла. 10-ий учень Пянка і чуйна Ліки і отрута Земна й небесна Горда і проста Ви жінка королева берегиня Мінлива непізнанна дорога. Для вас імена вчителів художній номер 3тя учениця Воістину небесна і земна Заквітчана і терном і барвінком Свята і грішна рідна й чарівна Повіки будь благословенна жінка.
53816. КООРДИНАТНА ПРЯМА. ЦІЛІ І РАЦІОНАЛЬНІ ЧИСЛА. МОДУЛЬ ЧИСЛА 206 KB
  Мета уроку: узагальнити і систематизувати відомості учнів про види чисел; перевірити вміння визначати координати вказаних точок та будувати на координатній прямій точки за вказаними координатами; знаходити значення виразів що містять числа під знаком модуля; відпрацювати навички застосування означення та властивостей модуля для розв’язування рівнянь; розвивати самостійність творчість; виховувати активність увагу наполегливість інтерес до математики; взаємозв'язок з історією математики....
53817. Прямокутна система координат. Координатна площина 1.31 MB
  Мета та задачі уроку: сформувати поняття координатної площини координат точки на площині абсциси та ординати точки; сформувати вміння виконувати вправи що передбачають знаходження координат точки на координатній площині та побудову точки за її координатами; сприяти розвитку творчих здібностей учнів та їх естетичного сприйняття; підвищувати інтерес до математики. Відстань від початку відліку до точки на координатній прямій 15. Фронтальне опитування Що називається координатною прямою Що називається координатою точки...
53818. Чарівна координатна площина. 6 клас 1.89 MB
  Мета: Відпрацьовування навичок побудови точок на координатній площині і вміння знаходити координати точок побудованих на площині; розвивати пізнавальну активність творчі здібності навички самостійної роботи роботи на комп’ютері; виховувати інтерес до математики усвідомленість своїх дій і їх використання в реальному житті.Вироблення навичок побудови точок на координатній площині Гра Улучення в ціль зберемо гроно винограду. Учні називають координати зазначених точок і поруч на прозорій плівці малюють виноградне лоно...
53819. Координатна площина 6.62 MB
  На екрані з’являється слайд Кожна команда формулює питаннящоб відповіддю було це поняття. Якщо команда ставить правильно запитання і знаходить буквувона більше не бере участь. Кожна команда повинна знайти одну з букв. В залежності від того яку букву одержить команда вчитель регулює подальші дії.
53820. Определение географических координат (6 класс) 51 KB
  Далее объясняю как определить географическую широту места на карте или глобусе что такое географическая долгота. Обозначить на карте местонахождение базы точкой а направления промысловых судов от базы до их конечных пунктов стрелками. На карте или глобусе определите какой это остров Мадагаскар. На контурной карте полушарий подписать его название.
53821. Загальна характеристика рудних та нерудних корисних копалин України 115.5 KB
  Найбільший за площею вугільний басейн Дніпровський буровугільний Найбільший за запасами вугілля Донецький Найменша глибина залягання пластів Дніпровський буровугільний Найменший за площею ЛьвівськоВолинський Найбільша глибина залягання Донецький Найпотужніші пласти кам’яного вугілля Донецький Значний відсоток коксівного вугілля ЛьвівськоВолинський Гра Увага тест на уважність я називаю корисні копалини учні родовища Нафта Кам’яне вугілля Торф Природний газ Буре вугілля Горючі сланці. Дайте...
53822. Производственный и финансовый риски, их взаимосвязь с производственным и финансовым левереджем 27.5 KB
  Производственный риск обусловлен структурой активов, в который фирма решила вложить свой капитал. Этот риск определяется многими факторами: отраслевыми и региональными особенностями бизнеса, конъюнктурой рынка, национальными традиции
53823. Подвижные игры в детском саду 165.5 KB
  Какое значение имеют подвижные игры Докажите на конкретных примерах. Подвижные игры имеют неоценимое значение во всестороннем развитии личности: 1. В процессе игры двигательная активность детей вызывает деятельное состояние всего организма усиливает процессы обмена веществ повышает жизненный тонус.