19111

Динамические характеристики измерительных систем

Практическая работа

Физика

Лекция № 7. Динамические характеристики измерительных систем Импульсная характеристика системы. Импульсной характеристикой стационарной измерительной системы описываемой оператором называют функцию являющуюся откликом системы на входной сигнал в виде функци...

Русский

2013-07-11

245 KB

9 чел.

Лекция № 7.  

Динамические характеристики измерительных систем

Импульсная характеристика системы. Импульсной характеристикой стационарной измерительной системы, описываемой оператором , называют функцию , являющуюся откликом системы на входной сигнал в виде -функции:

.                                                                                          (7.1)

Поскольку в частотной области связь между спектральными плотностями сигналов на входе и выходе и частотной характеристикой системы описывается выражением:

,                                                                       (7.2)

то с учетом:    ,                              (7.3)

Следовательно,                      (7.4)

и             .                                                           (7.5)

Формулы (7.4) и (7.5) устанавливают принципиально важный факт — частотная характеристика и импульсная характеристика  линейной стационарной системы связаны между собой прямым и обратным преобразованиями Фурье. Поэтому, зная функцию , всегда можно определить импульсную характеристику  и наоборот. Таким образом, любую систему можно рассматривать либо во временной области с помощью ее импульсной характеристики, либо в частотной области, анализируя  . Следует представлять, что импульсная характеристика, так же как и порождающая ее дельта-функция, – результат разумной идеализации. С физической точки зрения импульсная характеристика приближенно отображает реакцию системы на входной импульсный сигнал произвольной формы с единичной площадью при условии, что длительность этого сигнала   характерного временного масштаба системы, например, периода ее собственных колебаний.       

Переходная характеристика системы. Если на вход линейной стационарной системы, описываемой оператором ,  воздействует сигнал, отображаемый единичной функцией (функцией Хевисайда) , то выходную реакцию  называют переходной характеристикой системы. Так как единичная функция отлична от нуля при , то и переходная характеристика физически реализуемой системы отлична от нуля лишь при .  Можно показать, что между импульсной и переходной характеристиками имеется тесная связь – импульсная характеристика является производной от переходной характеристики:

.                                                                                    (7.6)

Интеграл Дюамеля. Знание импульсной характеристики линейной стационарной системы позволяет получить фундаментальное соотношение, связывающее входной и выходной сигналы. Действительно, входной сигнал допускает представление вида:

,                                                                (7.7)

называемое фильтрующим свойством -функции.  Отвечающая ему выходная реакция линейной стационарной системы запишется в виде:

.                                             (7.8)

Так как интеграл представляет собой предельное значение суммы, линейный оператор  на основании принципа суперпозиции может быть внесен под знак интеграла. Учитывая, что оператор воздействует лишь на величины, зависящие от текущего времени , но не от переменной интегрирования , получаем:

.                                                             (7.9)

С учетом равенства (7.1) окончательно получаем интеграл Дюамеля:

                                                                (7.10)

Соотношение (7.10) показывает, что выходной сигнал линейной стационарной системы представляет собой свертку двух функций: входного сигнала и импульсной характеристики системы. Для реальных систем (физически реализуемых) всегда выполняется условие:   при , т.к. реакция такой системы (отклик на входное воздействие) не может опережать само входное воздействие. Следовательно,

можно записать интеграл Дюамеля в виде:

.                                                                  (7.11)

Таким образом, линейная стационарная система, выполняя обработку поступающего на вход сигнала, проводит в момент времени  операцию взвешенного суммирования всех его мгновенных значений за все предыдущее время. Роль весовой функции выполняет при этом импульсная характеристика системы.

Физически реализуемая система должна быть, кроме того, устойчивой. Это означает, что ее импульсная характеристика должна удовлетворять условию абсолютной интегрируемости:

.                                                                                        (7.12)

Передаточная функция системы. Решение дифференциального уравнения линейной системы (6.4), связывающего водные воздействия и выходные сигналы, может быть осуществлено операторным методом с помощью интегрального преобразования Лапласа. Примем допущение, что  при . Тогда изображение по Лапласу входного и выходного сигналов будет иметь вид:

,                                                          (7.13)     

.                                                      (7.14)

Вычислив преобразование Лапласа от обеих частей уравнения (6.4) с учетом свойства , получим:

          (7.15)

Введем отношение изображений по Лапласу выходного и входного сигналов, называемое передаточной функцией или операторным коэффициентом передачи системы:

.                                       (7.16)

Если передаточная функция системы известна, то поиск выходной реакции системы на заданное входное воздействие  разбивается на три этапа:

  1.  ;
  2.  ;
  3.  .

Сигнал на выходе системы  находят с помощью обратного преобразования Лапласа:

                             (7.17)

Как известно, способ нахождения оригинала выходного сигнала по его изображению с помощью теоремы о вычетах без вычисления интеграла основан на представлении подынтегрального выражения (7.17) в виде отношения двух многочленов  , определении полюсов подынтегральной функции (значений , являющихся корнями знаменателя ) и вычислении по сумме вычетов  в соответствующих полюсах :

.                                                 (7.18)

При определении передаточных функций сложных систем, состоящих из ряда отдельных звеньев (преобразователей, функциональных блоков), вначале определяют передаточные функции отдельных звеньев. Далее, если эти звенья  соединены последовательно, определяют  общую передаточную функцию системы по формуле:

,                                                                                 (7.19)

где  – передаточные функции отдельных звеньев ( – число звеньев).

Если  звеньев какой либо системы соединены параллельно, то расчет результирующей передаточной функции этой части системы осуществляют по формуле:

.                                                                                 (7.20)

Пример. Определить форму сигнала на выходе кремниевого диффузионного детектора, вызванного регистрацией -частицы,  создавшей заряд  в рабочем объеме детектора.

Схема включения простейшего неоднородного полупроводникового детектора с

p-n переходом приведена на рисунке:

           Анализ схемы детектора показывает, что формирование импульса происходит на -цепи при протекании тока, вызванного движением носителей заряда (электронов и дырок) в рабочем объеме детектора. В ней  – резистор, включаемый в цепь для управления длительностью импульса;  – эквивалентная емкость, равная сумме собственной емкости детектора, входной емкости усилителя и емкости соединительного


кабеля. В первом приближении, пренебрегая процессами собирания носителей зарядов, при условии, что время собирания носителей  длительности импульса , получим упрощенную эквивалентную схему детектора:

Дифференциальное уравнение данной цепи, составленное относительно напряжения , имеет вид:

.                                                                        (7.21)                                                           

В операторном виде уравнение (7.21) записывается так:

.                                                                         (7.22)

Отсюда   ,                                                                               (7.23)

где постоянная времени -цепи   .

При условии локализации ионизационного эффекта при регистрации -частицы и пренебрежимо малом времени собирания носителей зарядов импульс тока можно представить в виде . Значение константы  можно определить,  исходя из условия: .  Следовательно, .

Так как  ,   уравнение (7.23)  запишется в виде:

.                                                                                               (7.24)

С учетом выражений (7.17) и (7.18) имеем:

                 (7.25)

Полученное соотношение (7.25) удовлетворительно описывает форму сигналов на выходе полупроводниковых детекторов ионизирующих излучений.

5


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

75292. Победа частной собственности на крестьянский надел и причины разорения свободных франков 36.5 KB
  Победа частной собственности на крестьянский надел и причины разорения свободных франков. Усадебная земля согласно данным Салической правды находилась уже в индивидуальной собственности каждого франка. Наоборот луга и леса продолжали ещё находиться и в коллективной собственности и в коллективном пользовании всей крестьянской общины. Сосуществование разных видов собственности продолжалось сравнительно недолго и общинная форма собственности на пахотную землю соответствовавшая более низкому уровню производительных сил уступила место...
75293. Начало переворота в поземельных отношениях у франков: бенефициальная реформа Карла Мартелла 38 KB
  Иногда наряду с аллодом они владели землями как мелкие вотчинники составлявшие промежуточный слой между феодалами и свободными крестьянами. Вопервых она значительно укрепила складывавшийся слой мелких и средних феодалов которые в качестве професси нальных воинов стали основой конного ополчения и всей военной организации; они были предшественниками будущего рыцарства. Широкий слой бенефициариев жил целиком эксплуатацией зависимого крестьянства. Укрепившийся благодаря ей слой средних феодальных землевладельцевбенефициариев составил на...
75294. Завершение переворота в поземельных отношениях и складывание основ феодализма при Каролингах 48 KB
  Поэтому даже теряя аллоды свободные общинники брали у феодалов землю в пользование на условии выполнения определенных повинностей. Существовали прекарии нескольких видов; иногда такое условное держание передавалось человеку у которого было недостаточно или вовсе не было земли precri dt но иногда мелкий собственник сам передавал под давлением нужды и насилий соседних крупных землевладельцев право собственности на свою землю одному из них чаще всего церкви и получал эту же землю обратно в качестве прекария пожизненно или...
75295. Франкское государство и общество при Каролингах. Каролингское Возрождение 37 KB
  Карл и его приближенные видели в новой державе возрождение Западной Римской империи франкского короля манил титул императора. Так на западе возникла новая империя что вызвало конфликт между Карлом и Византией императоры которой считали себя единственными наследниками старой Римской империи. Новые рубежи империи были укреплены пограничными областями марками. и международный престиж империи Каролингов: покровительства Карла домогались короли Шотландии и Астурии вожди племенных ирландских княжеств.
75296. Византийское общество и государство в IV-VI вв. Византия при Юстиниане I 41.5 KB
  Наивысшего расцвета Византийская империя достигла в правление императора Юстиниана I 527 565. Его дядя император Юстин I 518 527 возведенный на престол солдатами сделал Юстиниана своим соправителем. Историограф Юстиниана Прокопий Кесарийский в своих официальных трудах и в Тайной истории создал двойственный образ императора: жестокий тиран и властный честолюбец уживался в нем с мудрым политиком и неутомимым реформатором. Танцовщица и куртизанка Феодора благодаря своей редкой красоте уму и твердой воле покорила Юстиниана стала его...
75297. Заключительный период в истории позднеантичного мира 30.5 KB
  Дигесты выдержки из сочинений римских юристов и наконец Новеллы законы самого Юстиниана. Правление Юстиниана ознаменовано обострением социальной напряженности в обществе. Наиболее крупными были неудачи внешней политики Юстиниана на севере Балканского полуострова набеги варваров.
75298. Социально-экономическое и политическое развитие Византии в VII-VIII веках 36.5 KB
  Социальноэкономическое и политическое развитие Византии в VII-VIII вв. Из них а также из свободных византийских крестьян создавалось в VIII в. В византийской деревне в VIII первой половине IX в. Это засвидетельствовано кодифицированным в VIII в.
75300. Особенности социально-экономического и политического развития Византии в IX-XII веков 36 KB
  Золотой век Византийской империи длился примерно с 850 по 1050 гг. В эти столетия ее владения простирались от Южной Италии и Далмации до Армении Сирии и Месопотамии давняя проблема безопасности северных границ империи была решена присоединением Болгарии 1018 и восстановлением прежней римской границы по Дунаю. Были ассимилированы и подчинены империи заселившие в предшествующий период Грецию славяне. Захват Константинополя крестоносцами в 1204 и последующий раздел империи подвел черту под тысячелетним существованием Византии как великой...