19190

Упругое рассеяние в системе центра масс. Связь между сечением рассеяния и прицельным параметром

Лекция

Производство и промышленные технологии

Лекция 2 Упругое рассеяние в системе центра масс. Связь между сечением рассеяния и прицельным параметром. Вычисление сечения рассеяния в лабораторной системе координат по известному сечению рассеяния в системе центра масс. Рассмотрим процесс упругого рассеяния в сис

Русский

2013-07-11

171 KB

6 чел.

Лекция 2

Упругое рассеяние в системе центра масс. Связь между сечением рассеяния и прицельным параметром. Вычисление сечения рассеяния в лабораторной системе координат по известному сечению рассеяния в системе центра масс.

Рассмотрим процесс упругого рассеяния в системе центра масс.

Напомним, что система центра масс с.ц.м. (иначе система центра инерции) – система, в которой как до, так и после столкновения покоится центр масс (центр инерции) сталкивающихся частиц.

Скорость центра масс в л.с.к. по правилам аналитической механики равна

,

где суммирование ведется по частицам, vi – их скорости в л.с.к.

В нашем случае (частица m2 до рассеяния покоилась)

.

Из этого соотношения следует, что скорость центра масс в л.с.к. совпадает по направлению со скоростью частицы m1 до процесса упругого рассеяния.

Импульсы обеих частиц в с.ц.м. остаются после упругого рассеяния равными по величине и противоположными по направлению в силу закона сохранения импульса. С учетом же закона сохранения энергии в с.ц.м. абсолютная величина скорости каждой частицы до и после рассеяния v и v, соответственно, не изменяется. Следовательно, результатом упругого рассеяния в с.ц.м. будет просто поворот скоростей обеих частиц на один и тот же угол. В дальнейшем будем обозначать угол рассеяния в с.ц.м. как . Траектории частиц в с.ц.м. показаны на рис. 2.1. Буквой О обозначено положение начала координат, расположенного в центре масс. Необходимо иметь в виду, что траектория каждой частицы не испытывает мгновенного излома в процессе рассеяния (кроме случая соударения абсолютно упругих шаров), поэтому угол рассеяния есть угол между асимптотами к траектории частицы до и после рассеяния.

Так как до процесса рассеяния для частицы m1 имеем v0 = vц + v, а для частицы m2 0 = vц + v, то скорости частиц в с.ц.м. могут быть выражены через начальную скорость v0 частицы m1 в л.с.к. следующим образом:

(2.1)

причем, |v| = |vц|.

Используя полученные соотношения, построим кинематические диаграммы процесса рассеяния в с.ц.м. для 3 разных случаев.

m1  m2 (  1)

В этом случае, в соответствие с (1.4) v < v. Построим две концентрических окружности радиусами R = v = vц (большая окружность) и r = v (меньшая окружность) – рис. 2.2. Из (2.1) следует, что R/r = . Для дальнейшего построения воспользуемся следующими соотношениями:

  •  вектор v направлен противоположно вектору v,
  •  угол между векторами vц и v равен углу рассеяния в л.с.к.,
  •  вектора скорости частиц m1 и m2 после рассеяния равны v1 = vц + v и v2 = vц + v соответственно,
  •  т.к. вектор v0 параллелен вектору vц, то угол между векторами vц и v1 равен углу рассеяния в л.с.к., а угол между векторами vц и v2 равен углу отдачи Ф в л.с.к.

Из приведенной диаграммы следует, что одному углу рассеяния в л.с.к. отвечают два угла рассеяния в с.ц.м. 1 и 2, два коллинеарных вектора v1, имеющих разные модули, причем большему значению соответствует меньшее значение v1 (соответственно Е1); два угла отдачи в л.с.к. Ф1 и Ф2, два разнонаправленных вектора v2, причем большему значению Ф соответствует большее значение v2 (соответственно Е2). Также из диаграммы следует, что угол рассеяния в с.ц.м. может принимать любые значения от 0 до (конец вектора v может находиться в любой точке окружности r и, соответственно, конец вектора v может находиться в любой точке окружности R). Для угла рассеяния существует предельное значение max, когда вектор v1 направлен по касательной к окружности r, причем sinmax = v/vц = m2/m1 = 1/, что совпадает с требованием вещественности k в (1.2).

m1  m2 (  1)

В этом случае, в соответствие с (2.1) v > v. Для построения кинематической диаграммы построим две концентрических окружности радиусами R = v = vц (большая окружность) и r = v = vц (меньшая окружность) – рис. 2.3.

Из приведенной диаграммы следует, что одному углу рассеяния в л.с.к. отвечает один угол рассеяния в с.ц.м. и одно значение v1 (соответственно Е1); один угол отдачи в л.с.к. Ф и одно значение v2 (соответственно Е2). Также из диаграммы следует, что углы рассеяния в с.ц.м. и л.с.к. могут принимать любые значения от 0 до . Так как

то при вычислении кинематического множителя k по формуле (1.2) необходимо брать знак + перед корнем.

Из приведенной диаграммы также легко получается следующая связь между углом рассеяния в л.с.к. и углом рассеяния в с.ц.м.

(2.2)

Аналогичное соотношение получается и из кинематической диаграммы для случая   1.

Из (2.2) можно определить как функцию . Для этого возведем обе части равенства в квадрат, заменим sin2 на 1 – cos2 и после алгебраических преобразований получим квадратное уравнение

,

решение которого

(2.3)

При   1 получаем, как и должно быть, два значения угла . При   1 в соответствие с кинематической диаграммой на рис. 2.3 необходимо оставить знак + перед корнем.

m1 = m2 ( = 1)

В этом случае v = v = vц = v0/2, поэтому для построения кинематической диаграммы достаточно построить одну окружность диаметром v0, как показано на рис. 2.4.

Из приведенной кинематической диаграммы следует, что = /2 и + = /2, т.е. частицы после соударения разлетаются под прямым углом.

Только в этом случае кинематические факторы могут принимать значения k = 0 и = 1 (когда = ), что соответствует остановке частицы m1 и движению частицы m2 со скоростью v0 после процесса упругого соударения.

Определить конкретную величину угла из кинематических диаграмм нельзя. Для этого необходимо решить уравнение движения частиц с учетом конкретного потенциала взаимодействия между частицами.

Как известно из аналитической механики, процесс рассеяния двух частиц в системе центра масс сводится к рассеянию частицы приведенной массы  = m1m2/(m1+m2) в поле неподвижного силового центра, расположенного в центре масс. В дальнейшем будут рассматриваться только сферически симметричные потенциалы взаимодействия, в которых потенциальная энергия взаимодействия зависит только от расстояния между частицами, т.е. U(r).

Частица начинает своё движение на бесконечности со скоростью , соответственно, с энергией E = /2 и прицельным параметром относительно силового центра, расположенного в точке О – рис.2.5 (случай а соответствует отталкивающему потенциалу, случай б – потенциалу притяжения). Положение частицы на траектории относительно силового центра определяется вектором r. В ближайшей к силовому центру точке А на траектории модуль вектора r принимает минимальное значение rmin. Асимптоты к траектории пересекают отрезок ОА под одинаковыми углами 0, которые определяются следующим интегралом:

(2.4)

причем величина rmin определяется из решения уравнения

.    (2.5)

Таким образом, если заданы m1, m2, , v U(r), то либо аналитически, либо численно можно получить значения rmin и 0 и, следовательно, угла рассеяния в с.ц.м. = – 20. Затем, по выражению (2.2) вычисляется значение угла рассеяния в л.с.к.

Как было отмечено в лекции 1, в методах элементного и структурного анализа используются не отдельные частицы, а пучки частиц. Если пучок моноэнергетический, то различные частицы в пучке имеют одинаковую энергию и, соответственно, v. При этом, прицельный параметр у каждой частицы, вообще говоря, разный, поэтому рассеяние будет происходить на разные углы . Для описания рассеяния пучка используется понятие дифференциального сечения рассеяния d, определяемого следующим образом. Пусть dN – число частиц, рассеиваемых в с.ц.м. в единицу времени на углы, лежащие в диапазоне    + d. Дифференциальное сечение рассеяния для однородного по сечению потока частиц

d = dN/j,

где j – плотность потока частиц. Из данного определения следует, что d имеет размерность площади (в дальнейшем будем использовать см2).

Если связь между и взаимно однозначная (как будет показано ниже, это так для интересующих нас потенциалов взаимодействия), то в диапазон углов    + d будут рассеяны только те частицы, у которых прицельные параметры находятся в диапазоне ()  () + d().

В случае однородного пучка и сферически симметричного потенциала взаимодействия число таких частиц равно числу частиц, прошедших через кольцо площадью 2d – заштрихованное кольцо на рис. 2.6. Поэтому dN = j2d и

.    (2.6)

Модуль используется потому, что величина d()/d может быть отрицательной, а d всегда величина положительная. Полученное выражение определяет дифференциальное сечение рассеяния, проинтегрированное по азимутальному углу (именно в силу сферической симметричности потенциала в результате интегрирования появился множитель 2). В дальнейшем нам будет необходимо дифференциальное сечение рассеяния в единицу телесного угла d = sindd, которое имеет вид

(2.7)

Для того чтобы перейти от дифференциального сечение рассеяния в единицу телесного угла d в с.ц.м. к дифференциальному сечению рассеяния в единицу телесного угла d в л.с.к. воспользуемся следующим равенством

,

которое следует из равенства потоков рассеянных частиц в с.ц.м. и л.с.к. Представив d = sindd и d = sindd, получим следующее соотношение

Чтобы получить отношение sind/sind возьмем дифференциал от cos – выражение (2.3)

.

Поэтому

.

И окончательно связь между дифференциальными сечениями рассеяния в л.с.к. и с.ц.м. имеет вид

(2.8)

где при   1 имеем два угла рассеяния в с.ц.м., соответственно, два значения d()/d, которым соответствуют знаки + и – в квадратной скобке; необходимо иметь ввиду, что при использовании знака – квадратная скобка может оказаться отрицательной, в этом случае необходимо взять от нее модуль. При   1 имеем один угол рассеяния в с.ц.м., соответственно, одно значение d()/d, которому соответствует знак + в квадратной скобке.

d

,

Рис. 2.4

v2ц

О

б

Рис. 2.5

а

r

О

v1ц

vц

v1

v2

0

0

А

.

.

Рис. 2.3

v2ц

Рис. 2.6

d

v1ц

vц

v2ц

2

v1ц

v1ц

O

v1

v2

v2ц

Рис. 2.2

vц

2

1

v1

v1

v2

v2

1

max


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

25427. Государственная семейная политика и механизм ее реализации 17.26 KB
  Государственная семейная политика это целостная система принципов оценок и мер организационного экономического правового научного информационного пропагандирующего и кадрового характера направленная на улучшение условий и повышение качества жизни семьи. Цель ГСП обеспечение государством необходимых условий для реализации семьей ее функций и повышения качества жизни семьи. была принята концепция ГСП в России необходимость семейной политики определилась теми неблагоприятными последствиями в изменении структуры и функций семьи...
25428. Гендерные аспекты социальной работы 68 KB
  анализу социальной ситуации клиента социальной службы изысканию ресурсов и технологий оказания помощи клиенту в зависимости от его принадлежности к мужскому или женскому полу. Доминанты пола играют определенную роль для выбора стратегий поддерживающей терапии клиента. Проблемы мужчиныклиента в контексте брачносемейных отношений и психосексуальных конфликтов являются важной составной частью социальной работы. Таким образом полоролевые особенности клиента вызывают ряд специфических проблем которые имеют свою функциональную...
25429. Женщины – один из наиболее значимых объектов социальной работы 47.5 KB
  Женщины составляют большинство населения в России где их доля равна 531 881 мужчина на 1000 женщин. Для возрастной структуры России гендерный аспект имеет особое значение: среди жителей страны в возрасте 60 лет и старше доля женщин составляет более 65 диспропорция мужского и женского населения что ведет к женскому одиночеству. Исследованием положения женщин вплотную заняты 2 науки: гендерология и феминология. Предмет гендерологиисоциальные статусы женщины и мужчины определяющие определенный характер их взаимодействия и...
25430. Основные направления социальной работы с женщинами 38 KB
  Женщины социальнодемографическая группа населения которая в силу своих особенностей является категорией особенно нуждающейся в социальной помощи.Основной признак выделения женщин в качестве особой социальнодемографической группы и специфической категории клиентов социальной работы заключается в их генеративной функции то есть способности к деторождению. Споры о роли женщины в обществе о ее социальном положении существовал всегда но на каждом историческом этапе вставал с особой характерной для того времени остротой.
25431. Место и роль пожилых и старых людей в современном обществе 54.5 KB
  Структура ответа: Вступление Понятие пожилого и старого человека Исторический аспект положения пожилых и старых людей в обществе Современная ситуация. За последние 60 лет доля в населении детей уменьшилась почти вдвое а доля пожилых и старых людей в возрасте после 60 лет напротив возросла почти втрое. Согласно международным критериям например ООН население страны считается старым если доля людей в возрасте 65 лет и старше превышает 7.
25432. Регион как объект хозяйствования и управления 51.34 KB
  Реализя крупн региональн программ программ развития сырьевых экологичх освоения террии Одна из задач районирования обеспечить управляемость развитием государства. Региональные структуры характерные для РФ: 1. Суть воспроизводственного подхода Требует обеспечить преимущ региона и использовать возможности при комплексн развитии хозяйства региона.Воспроизводственный процесс единство внутренних и межрегиональных связей обеспечив последовательный процесс прва распределения обмена потребления.
25433. Отличительные особенности регионального воспроизводственного процесса 11.9 KB
  Через четыре месяца вышел первый номер Бюллетеня оппозиции . До 7080 материалов Бюллетеня принадлежали его перу. Всего вышло 87 книжек Бюллетеня .
25434. Социальный работник – клиент - особенности взаимодействия. Клиент в системе социальной работы. Структура социальной помощи клиенту в системе соц.обслуживания 21.46 KB
  работе помощь клиента соц.работника и клиента является восприятия последнего как неповторимой личности. Основными принципами работы с пожилыми людьми являются уважение и интерес к личности клиента акцент на нужности и полезности его опыта и знаний окружающим людям. Определение типа клиента первый шаг в установлении контакта так как отношение и взаимодействие соц.
25435. Клиент в системе социальной работы 13.52 KB
  одним из важнейших условий взаимодействия ср и клиента является восприятие последнего как неповторимой личности. полного знания о клиенте не может быть никогда но ср надо стремиться к тому чтобы получить те знания от клиента которые нужны ему для оказания помощи.Джонсон типы клиента: ищут помощи для себя просят помощи для другогодругих не ищут помощино тем или иными причинами угрожают жизнедеятельности другого чела ищут или используют помощь как средство для собственных целей ищут помощи но не для достойных целей Определение типа...