19190

Упругое рассеяние в системе центра масс. Связь между сечением рассеяния и прицельным параметром

Лекция

Производство и промышленные технологии

Лекция 2 Упругое рассеяние в системе центра масс. Связь между сечением рассеяния и прицельным параметром. Вычисление сечения рассеяния в лабораторной системе координат по известному сечению рассеяния в системе центра масс. Рассмотрим процесс упругого рассеяния в сис

Русский

2013-07-11

171 KB

5 чел.

Лекция 2

Упругое рассеяние в системе центра масс. Связь между сечением рассеяния и прицельным параметром. Вычисление сечения рассеяния в лабораторной системе координат по известному сечению рассеяния в системе центра масс.

Рассмотрим процесс упругого рассеяния в системе центра масс.

Напомним, что система центра масс с.ц.м. (иначе система центра инерции) – система, в которой как до, так и после столкновения покоится центр масс (центр инерции) сталкивающихся частиц.

Скорость центра масс в л.с.к. по правилам аналитической механики равна

,

где суммирование ведется по частицам, vi – их скорости в л.с.к.

В нашем случае (частица m2 до рассеяния покоилась)

.

Из этого соотношения следует, что скорость центра масс в л.с.к. совпадает по направлению со скоростью частицы m1 до процесса упругого рассеяния.

Импульсы обеих частиц в с.ц.м. остаются после упругого рассеяния равными по величине и противоположными по направлению в силу закона сохранения импульса. С учетом же закона сохранения энергии в с.ц.м. абсолютная величина скорости каждой частицы до и после рассеяния v и v, соответственно, не изменяется. Следовательно, результатом упругого рассеяния в с.ц.м. будет просто поворот скоростей обеих частиц на один и тот же угол. В дальнейшем будем обозначать угол рассеяния в с.ц.м. как . Траектории частиц в с.ц.м. показаны на рис. 2.1. Буквой О обозначено положение начала координат, расположенного в центре масс. Необходимо иметь в виду, что траектория каждой частицы не испытывает мгновенного излома в процессе рассеяния (кроме случая соударения абсолютно упругих шаров), поэтому угол рассеяния есть угол между асимптотами к траектории частицы до и после рассеяния.

Так как до процесса рассеяния для частицы m1 имеем v0 = vц + v, а для частицы m2 0 = vц + v, то скорости частиц в с.ц.м. могут быть выражены через начальную скорость v0 частицы m1 в л.с.к. следующим образом:

(2.1)

причем, |v| = |vц|.

Используя полученные соотношения, построим кинематические диаграммы процесса рассеяния в с.ц.м. для 3 разных случаев.

m1  m2 (  1)

В этом случае, в соответствие с (1.4) v < v. Построим две концентрических окружности радиусами R = v = vц (большая окружность) и r = v (меньшая окружность) – рис. 2.2. Из (2.1) следует, что R/r = . Для дальнейшего построения воспользуемся следующими соотношениями:

  •  вектор v направлен противоположно вектору v,
  •  угол между векторами vц и v равен углу рассеяния в л.с.к.,
  •  вектора скорости частиц m1 и m2 после рассеяния равны v1 = vц + v и v2 = vц + v соответственно,
  •  т.к. вектор v0 параллелен вектору vц, то угол между векторами vц и v1 равен углу рассеяния в л.с.к., а угол между векторами vц и v2 равен углу отдачи Ф в л.с.к.

Из приведенной диаграммы следует, что одному углу рассеяния в л.с.к. отвечают два угла рассеяния в с.ц.м. 1 и 2, два коллинеарных вектора v1, имеющих разные модули, причем большему значению соответствует меньшее значение v1 (соответственно Е1); два угла отдачи в л.с.к. Ф1 и Ф2, два разнонаправленных вектора v2, причем большему значению Ф соответствует большее значение v2 (соответственно Е2). Также из диаграммы следует, что угол рассеяния в с.ц.м. может принимать любые значения от 0 до (конец вектора v может находиться в любой точке окружности r и, соответственно, конец вектора v может находиться в любой точке окружности R). Для угла рассеяния существует предельное значение max, когда вектор v1 направлен по касательной к окружности r, причем sinmax = v/vц = m2/m1 = 1/, что совпадает с требованием вещественности k в (1.2).

m1  m2 (  1)

В этом случае, в соответствие с (2.1) v > v. Для построения кинематической диаграммы построим две концентрических окружности радиусами R = v = vц (большая окружность) и r = v = vц (меньшая окружность) – рис. 2.3.

Из приведенной диаграммы следует, что одному углу рассеяния в л.с.к. отвечает один угол рассеяния в с.ц.м. и одно значение v1 (соответственно Е1); один угол отдачи в л.с.к. Ф и одно значение v2 (соответственно Е2). Также из диаграммы следует, что углы рассеяния в с.ц.м. и л.с.к. могут принимать любые значения от 0 до . Так как

то при вычислении кинематического множителя k по формуле (1.2) необходимо брать знак + перед корнем.

Из приведенной диаграммы также легко получается следующая связь между углом рассеяния в л.с.к. и углом рассеяния в с.ц.м.

(2.2)

Аналогичное соотношение получается и из кинематической диаграммы для случая   1.

Из (2.2) можно определить как функцию . Для этого возведем обе части равенства в квадрат, заменим sin2 на 1 – cos2 и после алгебраических преобразований получим квадратное уравнение

,

решение которого

(2.3)

При   1 получаем, как и должно быть, два значения угла . При   1 в соответствие с кинематической диаграммой на рис. 2.3 необходимо оставить знак + перед корнем.

m1 = m2 ( = 1)

В этом случае v = v = vц = v0/2, поэтому для построения кинематической диаграммы достаточно построить одну окружность диаметром v0, как показано на рис. 2.4.

Из приведенной кинематической диаграммы следует, что = /2 и + = /2, т.е. частицы после соударения разлетаются под прямым углом.

Только в этом случае кинематические факторы могут принимать значения k = 0 и = 1 (когда = ), что соответствует остановке частицы m1 и движению частицы m2 со скоростью v0 после процесса упругого соударения.

Определить конкретную величину угла из кинематических диаграмм нельзя. Для этого необходимо решить уравнение движения частиц с учетом конкретного потенциала взаимодействия между частицами.

Как известно из аналитической механики, процесс рассеяния двух частиц в системе центра масс сводится к рассеянию частицы приведенной массы  = m1m2/(m1+m2) в поле неподвижного силового центра, расположенного в центре масс. В дальнейшем будут рассматриваться только сферически симметричные потенциалы взаимодействия, в которых потенциальная энергия взаимодействия зависит только от расстояния между частицами, т.е. U(r).

Частица начинает своё движение на бесконечности со скоростью , соответственно, с энергией E = /2 и прицельным параметром относительно силового центра, расположенного в точке О – рис.2.5 (случай а соответствует отталкивающему потенциалу, случай б – потенциалу притяжения). Положение частицы на траектории относительно силового центра определяется вектором r. В ближайшей к силовому центру точке А на траектории модуль вектора r принимает минимальное значение rmin. Асимптоты к траектории пересекают отрезок ОА под одинаковыми углами 0, которые определяются следующим интегралом:

(2.4)

причем величина rmin определяется из решения уравнения

.    (2.5)

Таким образом, если заданы m1, m2, , v U(r), то либо аналитически, либо численно можно получить значения rmin и 0 и, следовательно, угла рассеяния в с.ц.м. = – 20. Затем, по выражению (2.2) вычисляется значение угла рассеяния в л.с.к.

Как было отмечено в лекции 1, в методах элементного и структурного анализа используются не отдельные частицы, а пучки частиц. Если пучок моноэнергетический, то различные частицы в пучке имеют одинаковую энергию и, соответственно, v. При этом, прицельный параметр у каждой частицы, вообще говоря, разный, поэтому рассеяние будет происходить на разные углы . Для описания рассеяния пучка используется понятие дифференциального сечения рассеяния d, определяемого следующим образом. Пусть dN – число частиц, рассеиваемых в с.ц.м. в единицу времени на углы, лежащие в диапазоне    + d. Дифференциальное сечение рассеяния для однородного по сечению потока частиц

d = dN/j,

где j – плотность потока частиц. Из данного определения следует, что d имеет размерность площади (в дальнейшем будем использовать см2).

Если связь между и взаимно однозначная (как будет показано ниже, это так для интересующих нас потенциалов взаимодействия), то в диапазон углов    + d будут рассеяны только те частицы, у которых прицельные параметры находятся в диапазоне ()  () + d().

В случае однородного пучка и сферически симметричного потенциала взаимодействия число таких частиц равно числу частиц, прошедших через кольцо площадью 2d – заштрихованное кольцо на рис. 2.6. Поэтому dN = j2d и

.    (2.6)

Модуль используется потому, что величина d()/d может быть отрицательной, а d всегда величина положительная. Полученное выражение определяет дифференциальное сечение рассеяния, проинтегрированное по азимутальному углу (именно в силу сферической симметричности потенциала в результате интегрирования появился множитель 2). В дальнейшем нам будет необходимо дифференциальное сечение рассеяния в единицу телесного угла d = sindd, которое имеет вид

(2.7)

Для того чтобы перейти от дифференциального сечение рассеяния в единицу телесного угла d в с.ц.м. к дифференциальному сечению рассеяния в единицу телесного угла d в л.с.к. воспользуемся следующим равенством

,

которое следует из равенства потоков рассеянных частиц в с.ц.м. и л.с.к. Представив d = sindd и d = sindd, получим следующее соотношение

Чтобы получить отношение sind/sind возьмем дифференциал от cos – выражение (2.3)

.

Поэтому

.

И окончательно связь между дифференциальными сечениями рассеяния в л.с.к. и с.ц.м. имеет вид

(2.8)

где при   1 имеем два угла рассеяния в с.ц.м., соответственно, два значения d()/d, которым соответствуют знаки + и – в квадратной скобке; необходимо иметь ввиду, что при использовании знака – квадратная скобка может оказаться отрицательной, в этом случае необходимо взять от нее модуль. При   1 имеем один угол рассеяния в с.ц.м., соответственно, одно значение d()/d, которому соответствует знак + в квадратной скобке.

d

,

Рис. 2.4

v2ц

О

б

Рис. 2.5

а

r

О

v1ц

vц

v1

v2

0

0

А

.

.

Рис. 2.3

v2ц

Рис. 2.6

d

v1ц

vц

v2ц

2

v1ц

v1ц

O

v1

v2

v2ц

Рис. 2.2

vц

2

1

v1

v1

v2

v2

1

max


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

74010. Европейский тоталитаризм и авторитаризм 20 – 30-х гг.: общая характеристика и региональная специфика 34.61 KB
  Появление в межвоенный период группы фашистских госв где была чрезвычайно высока роль госва и насилия не было случайным стечем обстоятельств. Для фашистских государств характерно усиление регулирующей роли государства как в экономике так и в идеологии: корпоративизация государства посредством создания системы массовых организаций и социальных объединений насильственные методы подавления инакомыслия неприятие принципов экономического и политического либерализма. Авторитарная модель характерна для тех западноевропейских госв которым...
74011. Левые силы Европы между двумя мировыми войнами. Народные фронты и Гражданская война в Испании 32.25 KB
  Для политической жизни Великобритании ХХ в. харак-но усил-е влияния лев.идей. Их представитель лейборист.партия(1900г). Особ.яркие успехи лейбористов в 20-х,когда стремит.увеличился их электорат возросло их представит-во в Парламенте.
74012. Международные отношения в Европе в предвоенные годы. Политика «умиротворения агрессора» и ее итоги 21.5 KB
  ВОСТОЧНЫЙ ПАКТ проект договора о взаимопомощи между СССР Чехословакией Польшей Финляндией Латвией Эстонией и Литвой против агрессии фашистской Германии. Из крупных держав только СССР не имевший дипломатических отношений с Абиссинией решительно выступил в ее защиту. международные позиции СССР значительно окрепли. явное нежелание Англии и Франции договориться с СССР о коллективной безопасности ставили его в условия полной изоляции перед агрессором.
74013. Комплексная характеристика Второй Мировой войны и ее итогов 27.83 KB
  Ослабла роль Западной Европы в общемировой политике. Главными державами в мире стали СССР и США. Gb и Фр были значительно ослаблены. Война показала неспособность их и других западноевропейских стран содержать огромные колониальные империи. В странах Африки и Азии усилилось антиколониальное движение. В результате войны часть стран смогла добиться независимости: Эфиопия, Исландия, Сирия, Ливан, Вьетнам, Индонезия.
74014. Международные отношения в период «холодной войны» (1946 -1991 гг.) 32.76 KB
  Проблема репараций: Формы репараций с Германии и её союзников были определены на Ялтинской конференции 1945 г На Потсдамской конф-ии 1945г: репарац. претензии СССР будут удовлетворены путём изъятия из вост.зоны Германии и за счёт германских активов, находящихся в Болгарии
74016. Становление, развитие и крах социалистической системы в странах Восточной Европы. Государства региона на современном этапе исторического развития 48.84 KB
  В известной мере этому способствовала внутренняя и внешняя политика правящих кругов СССР. Руководство КПСС оставило в неприкосновенности режим безраздельной власти партийно-государственного аппарата,продолжало сохранять стиль авторитаризма в отношениях
74017. Страны Запада на рубеже XX – XXI вв.: становление и эволюция постиндустриального общества 39.5 KB
  США отменили золотое содержание доллара. А поскольку именно арабские страны являлись основным поставщиком нефти то вскоре они заявили что не будут поставлять нефть странам поддержавшим Израиль это касалось прежде всего США и их союзников в Западной Европе.