19190

Упругое рассеяние в системе центра масс. Связь между сечением рассеяния и прицельным параметром

Лекция

Производство и промышленные технологии

Лекция 2 Упругое рассеяние в системе центра масс. Связь между сечением рассеяния и прицельным параметром. Вычисление сечения рассеяния в лабораторной системе координат по известному сечению рассеяния в системе центра масс. Рассмотрим процесс упругого рассеяния в сис

Русский

2013-07-11

171 KB

6 чел.

Лекция 2

Упругое рассеяние в системе центра масс. Связь между сечением рассеяния и прицельным параметром. Вычисление сечения рассеяния в лабораторной системе координат по известному сечению рассеяния в системе центра масс.

Рассмотрим процесс упругого рассеяния в системе центра масс.

Напомним, что система центра масс с.ц.м. (иначе система центра инерции) – система, в которой как до, так и после столкновения покоится центр масс (центр инерции) сталкивающихся частиц.

Скорость центра масс в л.с.к. по правилам аналитической механики равна

,

где суммирование ведется по частицам, vi – их скорости в л.с.к.

В нашем случае (частица m2 до рассеяния покоилась)

.

Из этого соотношения следует, что скорость центра масс в л.с.к. совпадает по направлению со скоростью частицы m1 до процесса упругого рассеяния.

Импульсы обеих частиц в с.ц.м. остаются после упругого рассеяния равными по величине и противоположными по направлению в силу закона сохранения импульса. С учетом же закона сохранения энергии в с.ц.м. абсолютная величина скорости каждой частицы до и после рассеяния v и v, соответственно, не изменяется. Следовательно, результатом упругого рассеяния в с.ц.м. будет просто поворот скоростей обеих частиц на один и тот же угол. В дальнейшем будем обозначать угол рассеяния в с.ц.м. как . Траектории частиц в с.ц.м. показаны на рис. 2.1. Буквой О обозначено положение начала координат, расположенного в центре масс. Необходимо иметь в виду, что траектория каждой частицы не испытывает мгновенного излома в процессе рассеяния (кроме случая соударения абсолютно упругих шаров), поэтому угол рассеяния есть угол между асимптотами к траектории частицы до и после рассеяния.

Так как до процесса рассеяния для частицы m1 имеем v0 = vц + v, а для частицы m2 0 = vц + v, то скорости частиц в с.ц.м. могут быть выражены через начальную скорость v0 частицы m1 в л.с.к. следующим образом:

(2.1)

причем, |v| = |vц|.

Используя полученные соотношения, построим кинематические диаграммы процесса рассеяния в с.ц.м. для 3 разных случаев.

m1  m2 (  1)

В этом случае, в соответствие с (1.4) v < v. Построим две концентрических окружности радиусами R = v = vц (большая окружность) и r = v (меньшая окружность) – рис. 2.2. Из (2.1) следует, что R/r = . Для дальнейшего построения воспользуемся следующими соотношениями:

  •  вектор v направлен противоположно вектору v,
  •  угол между векторами vц и v равен углу рассеяния в л.с.к.,
  •  вектора скорости частиц m1 и m2 после рассеяния равны v1 = vц + v и v2 = vц + v соответственно,
  •  т.к. вектор v0 параллелен вектору vц, то угол между векторами vц и v1 равен углу рассеяния в л.с.к., а угол между векторами vц и v2 равен углу отдачи Ф в л.с.к.

Из приведенной диаграммы следует, что одному углу рассеяния в л.с.к. отвечают два угла рассеяния в с.ц.м. 1 и 2, два коллинеарных вектора v1, имеющих разные модули, причем большему значению соответствует меньшее значение v1 (соответственно Е1); два угла отдачи в л.с.к. Ф1 и Ф2, два разнонаправленных вектора v2, причем большему значению Ф соответствует большее значение v2 (соответственно Е2). Также из диаграммы следует, что угол рассеяния в с.ц.м. может принимать любые значения от 0 до (конец вектора v может находиться в любой точке окружности r и, соответственно, конец вектора v может находиться в любой точке окружности R). Для угла рассеяния существует предельное значение max, когда вектор v1 направлен по касательной к окружности r, причем sinmax = v/vц = m2/m1 = 1/, что совпадает с требованием вещественности k в (1.2).

m1  m2 (  1)

В этом случае, в соответствие с (2.1) v > v. Для построения кинематической диаграммы построим две концентрических окружности радиусами R = v = vц (большая окружность) и r = v = vц (меньшая окружность) – рис. 2.3.

Из приведенной диаграммы следует, что одному углу рассеяния в л.с.к. отвечает один угол рассеяния в с.ц.м. и одно значение v1 (соответственно Е1); один угол отдачи в л.с.к. Ф и одно значение v2 (соответственно Е2). Также из диаграммы следует, что углы рассеяния в с.ц.м. и л.с.к. могут принимать любые значения от 0 до . Так как

то при вычислении кинематического множителя k по формуле (1.2) необходимо брать знак + перед корнем.

Из приведенной диаграммы также легко получается следующая связь между углом рассеяния в л.с.к. и углом рассеяния в с.ц.м.

(2.2)

Аналогичное соотношение получается и из кинематической диаграммы для случая   1.

Из (2.2) можно определить как функцию . Для этого возведем обе части равенства в квадрат, заменим sin2 на 1 – cos2 и после алгебраических преобразований получим квадратное уравнение

,

решение которого

(2.3)

При   1 получаем, как и должно быть, два значения угла . При   1 в соответствие с кинематической диаграммой на рис. 2.3 необходимо оставить знак + перед корнем.

m1 = m2 ( = 1)

В этом случае v = v = vц = v0/2, поэтому для построения кинематической диаграммы достаточно построить одну окружность диаметром v0, как показано на рис. 2.4.

Из приведенной кинематической диаграммы следует, что = /2 и + = /2, т.е. частицы после соударения разлетаются под прямым углом.

Только в этом случае кинематические факторы могут принимать значения k = 0 и = 1 (когда = ), что соответствует остановке частицы m1 и движению частицы m2 со скоростью v0 после процесса упругого соударения.

Определить конкретную величину угла из кинематических диаграмм нельзя. Для этого необходимо решить уравнение движения частиц с учетом конкретного потенциала взаимодействия между частицами.

Как известно из аналитической механики, процесс рассеяния двух частиц в системе центра масс сводится к рассеянию частицы приведенной массы  = m1m2/(m1+m2) в поле неподвижного силового центра, расположенного в центре масс. В дальнейшем будут рассматриваться только сферически симметричные потенциалы взаимодействия, в которых потенциальная энергия взаимодействия зависит только от расстояния между частицами, т.е. U(r).

Частица начинает своё движение на бесконечности со скоростью , соответственно, с энергией E = /2 и прицельным параметром относительно силового центра, расположенного в точке О – рис.2.5 (случай а соответствует отталкивающему потенциалу, случай б – потенциалу притяжения). Положение частицы на траектории относительно силового центра определяется вектором r. В ближайшей к силовому центру точке А на траектории модуль вектора r принимает минимальное значение rmin. Асимптоты к траектории пересекают отрезок ОА под одинаковыми углами 0, которые определяются следующим интегралом:

(2.4)

причем величина rmin определяется из решения уравнения

.    (2.5)

Таким образом, если заданы m1, m2, , v U(r), то либо аналитически, либо численно можно получить значения rmin и 0 и, следовательно, угла рассеяния в с.ц.м. = – 20. Затем, по выражению (2.2) вычисляется значение угла рассеяния в л.с.к.

Как было отмечено в лекции 1, в методах элементного и структурного анализа используются не отдельные частицы, а пучки частиц. Если пучок моноэнергетический, то различные частицы в пучке имеют одинаковую энергию и, соответственно, v. При этом, прицельный параметр у каждой частицы, вообще говоря, разный, поэтому рассеяние будет происходить на разные углы . Для описания рассеяния пучка используется понятие дифференциального сечения рассеяния d, определяемого следующим образом. Пусть dN – число частиц, рассеиваемых в с.ц.м. в единицу времени на углы, лежащие в диапазоне    + d. Дифференциальное сечение рассеяния для однородного по сечению потока частиц

d = dN/j,

где j – плотность потока частиц. Из данного определения следует, что d имеет размерность площади (в дальнейшем будем использовать см2).

Если связь между и взаимно однозначная (как будет показано ниже, это так для интересующих нас потенциалов взаимодействия), то в диапазон углов    + d будут рассеяны только те частицы, у которых прицельные параметры находятся в диапазоне ()  () + d().

В случае однородного пучка и сферически симметричного потенциала взаимодействия число таких частиц равно числу частиц, прошедших через кольцо площадью 2d – заштрихованное кольцо на рис. 2.6. Поэтому dN = j2d и

.    (2.6)

Модуль используется потому, что величина d()/d может быть отрицательной, а d всегда величина положительная. Полученное выражение определяет дифференциальное сечение рассеяния, проинтегрированное по азимутальному углу (именно в силу сферической симметричности потенциала в результате интегрирования появился множитель 2). В дальнейшем нам будет необходимо дифференциальное сечение рассеяния в единицу телесного угла d = sindd, которое имеет вид

(2.7)

Для того чтобы перейти от дифференциального сечение рассеяния в единицу телесного угла d в с.ц.м. к дифференциальному сечению рассеяния в единицу телесного угла d в л.с.к. воспользуемся следующим равенством

,

которое следует из равенства потоков рассеянных частиц в с.ц.м. и л.с.к. Представив d = sindd и d = sindd, получим следующее соотношение

Чтобы получить отношение sind/sind возьмем дифференциал от cos – выражение (2.3)

.

Поэтому

.

И окончательно связь между дифференциальными сечениями рассеяния в л.с.к. и с.ц.м. имеет вид

(2.8)

где при   1 имеем два угла рассеяния в с.ц.м., соответственно, два значения d()/d, которым соответствуют знаки + и – в квадратной скобке; необходимо иметь ввиду, что при использовании знака – квадратная скобка может оказаться отрицательной, в этом случае необходимо взять от нее модуль. При   1 имеем один угол рассеяния в с.ц.м., соответственно, одно значение d()/d, которому соответствует знак + в квадратной скобке.

d

,

Рис. 2.4

v2ц

О

б

Рис. 2.5

а

r

О

v1ц

vц

v1

v2

0

0

А

.

.

Рис. 2.3

v2ц

Рис. 2.6

d

v1ц

vц

v2ц

2

v1ц

v1ц

O

v1

v2

v2ц

Рис. 2.2

vц

2

1

v1

v1

v2

v2

1

max


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

57911. Розв’язування задач на обчислення площ многокутників 328 KB
  Проведення аукціону На дошці записаний список лотів. Вчитель зачитує питання лотів пропонуючи його купити тобто відповісти на питання чи розвязати задачу. За кожен лот учні отримують різні бали.
57912. Квадратные неравенства 195 KB
  Урок изучения и первичное закрепление нового материала с элементами повторения и закрепления ранее изученного. Возможные варианты: Через проектор на экране появляется тема Слайд 1;3 Квадратные неравенства Один из учащихся вслух читает текст на экране Учащиеся записывают определение в тетрадь.
57913. Розв’язування вправ на тему «Додавання та віднімання звичайних дробів» 503 KB
  Обладнання: сигнальні картки роздруковані усні вправи екологічне пано з відповідями до вправ картки так ні картки з індивідуальними завданнями для учнів картки з додатковими вправами.
57914. Функція. Область визначення і область значень функції. Способи задання функції 52.5 KB
  Мета: освітня: формувати поняття функціональної залежності аргументу області визначення та області значення функції; розглянути способи задання функцій; формувати уміння знаходити звязок з раніше вивченим переносити набуті знання в нові ситуації...
57915. Розкладання многочленів на множники 119 KB
  Обладнання: Картки з індивідуальним завданням; картки для усних і письмових робіт; таблиці: Формули скороченого множення Квадрати одноцифрових чисел Куби одноцифрових чисел Відшукай висловлення про математику.
57916. США у 1877 – 1900 роки 40 KB
  Мета: Ознайомити учнів з особливостями соціально-економічного розвитку США та основними напрямками зовнішньої політики; Розвивати навички роботи в парах уміння логічно мислити та робити висновки встановлювати причиннонаслідкові звязки; Формувати уміння роботи з картою...
57917. Великі вчені та їх внесок в розвиток світової науки 113 KB
  Перевіримо назви секторів показує на сектори учні називають їх англійською мовою Слайди: Трикутники М: Вирішіть тестові завдання оберіть правильну відповідь та дізнайтесь прізвище великого англійського вченого.
57918. Розв’язування задач на відсотки 126 KB
  Мета: актуалізувати знання учнів щодо визначення відсотка від числа і числа за відсотком; удосконалити уміння учнів розв’язувати текстові задачі на відсотки різними методами. Економічна соціалізація учнів.
57919. Використання формул скороченого множення для розкладання многочленів на множники 47.5 KB
  Мета: домогтися усвідомлення учнями того факту що вивчені формули скороченого множення застосовуються для розкладання на множники многочленів певного виду...