19191

Сечение рассеяния в кулоновском и обратноквадратичном потенциале

Лекция

Производство и промышленные технологии

Лекция 3 Сечение рассеяния в кулоновском и обратноквадратичном потенциале. Кулоновский потенциал взаимодействия имеющий вид Ur = /r где  = q1q2 один из немногих потенциалов для которого можно вычислить аналитически дифференциальное сечение рассеяния. На его приме

Русский

2013-07-11

136.5 KB

1 чел.

Лекция 3

Сечение рассеяния в кулоновском и обратноквадратичном потенциале.

Кулоновский потенциал взаимодействия, имеющий вид U(r) = /r (где = q1q2) – один из немногих потенциалов, для которого можно вычислить аналитически дифференциальное сечение рассеяния. На его примере подробно распишем последовательность вычислений.

Подставив конкретный вид U(r) = /r в (2.5) получим квадратное уравнение

Решение этого уравнения запишем в виде:

.

Обратим внимание, что одному значению прицельного параметра в общем случае соответствуют два значения rmin.

Выражение для 0 представим в виде

и, сделав замену переменной , получим табличный интеграл

,

где

Поэтому

.

Представив , получим . Так как 0 = ()/2, то, окончательно, связь между прицельным параметром и углом рассеяния

В соответствии с общим определением дифференциального сечения

.

Так как 2v2 = 4(m1v2/2)m2/(m1+m2) = 4E0 /(1+), а элемент телесного угла d = sindd, то

(3.1)

Это т.н. Резерфордовское дифференциальное сечение рассеяния в кулоновском потенциале. Заметим, что оно не зависит от знаков зарядов взаимодействующих частиц. Переход в л.с.к. осуществляется в соответствии с общим правилом (2.8). Для того чтобы выразить sin4() через угол воспользуемся тригонометрическим равенством

,

где оба знака перед корнем соответствуют случаю > 1, при < 1 остается только верхний знак.

Следовательно, Резерфордовское дифференциальное сечение рассеяния в лабораторной системе координат имеет вид при > 1

и при < 1

(3.2)

Для   1 данное выражение существенно упрощается

(3.3)

Интересно сравнить точное (3.2) и приближенное (3.3) выражение при разных значениях , что сделано на рис. 3.1, на котором приведена зависимость их отношения от для угла рассеяния в л.с.к. = 135о. Как видно из рисунка, даже при  = 0,1 использование приближенного выражения приводит к ошибке 15%.

Из выражения (3.2) следует, что при упругом рассеянии в кулоновском потенциале наиболее вероятны малые углы рассеяния.

В дальнейшем нам понадобится выражение дифференциального сечения рассеяния как функция переданной энергии E2 частице m2 , т.е. d(E2)/dE2. Воспользуемся полученными ранее соотношениями:

из которых получаем

Отсюда

.

Подставим полученные выражения в Резерфордовское дифференциальное сечение рассеяния

.

И, окончательно, имеем

(3.4)

Из данного выражения следует, что при упругом рассеянии в кулоновском потенциале наиболее вероятны столкновения с малой передачей энергии.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

23117. Принцип найменшої дії. Функція Лагранжа 43.5 KB
  Функція Лагранжа Найбільш загальне формулювання закону руху механічних систем дає так званий принцип найменшої дії або принцип Гамільтона. Функція L називається функцією Лагранжа даної системи а інтеграл дією. Функція Лагранжа залежить лише від q и а не від більш високих похідних що пояснюється тим що механічний стан повністю визначається завданням координат та швидкостей. Для спрощення запису формул припустимо спочатку що система має лише одну степінь вільності так що буде визначена лише одна функція qt.
23118. Гамільтонова форма рівнянь 90.5 KB
  Гамільтонова форма рівнянь. Підставляючи отримане в початкове рня маємо: Для переходу до змінних і додаємо і віднімаємо: Звідси Оскільки права частина виражена через диференціали то її можна розглядати як повний диференціал певної функції що залежить від яку позначимо і назвемо функцією Гамільтона: де Залишилося довести що Маємо Враховуючи це запишемо: звідки Ця система рівнянь називається канонічними рівняннями Гамільтона. рівн. рівн.
23119. Закони руху системи матеріальних точок та твердого тіла. Тензор інерції 77 KB
  Закони руху системи матеріальних точок та твердого тіла. Запишемо другий закон Ньютона для матеріальної точки з даної системи: 1 де сумарна зовнішня сила що діє на іту м. Записавши 1 для кожної точки системи та просумувавши всі отриманні рівняння маємо: 2. З урахуванням третього закону Ньютона тобто співвідношення перепишемо 2 як: 3 Нехай Rрадіус вектор даної системи: задає точкуцентр мас системи.
23120. Закони збереження та фундаментальні властивості простору-часу 263 KB
  Рух механічної системи описується 2S величинами де Sкількість ступенів вільності. системи вибір початку відліку часу одна з сталих в диф. рівняннях що описують динаміку може бути обрана сталою 1 При розвязанні системи 1 2S1 сталих де Отримані величини інтеграли руху визнач. системи явно не залеж.
23121. Рух тіл в інерціальній та неінерціальній системах відліку. Сили інерції. Коріолісівське прискорення 202 KB
  Коріолісівське прискорення. інваріантне 0 де прискорення в ІСВ швидкість в ІСВ маса тіла рівнодійна сил взаємодії які діють на тіло. Характеризуватимемо рух початку координат НеІСВ відносно ІСВ радіусвектором а обертання НеІСВ відносно ІСВ кутовою частотою х В НеІСВ вимагають аналогічного до 0 запису закону руху тіла відносно радіусвектора : Оскільки прискорення в НеІСВ внаслідок х нерівне та величина не змінюється при переході до НеІСВ необхідно щоб сумарна сила складалась не тільки з теж...
23122. Закони руху системи матеріальних точок та твердого тіла. Тензор інерції 159.5 KB
  Закони руху системи матеріальних точок та твердого тіла.Введемо вектор повної кількості руху систем частинок: Знайдемо його зміну з часом: Для першої суми: ТобтоТаким чином якщо сума всіх зовнішніх сил рівна нулю то має місце закон збереження імпульсу. Ведемо повний момент кількості руху:Знайдемо швидкість його зміни в часі: Другий доданок повний момент зовнішніх сил .Розглянемо перший доданок врахувавши : За умов виконання має місце закон збереження моменту кількості руху.
23123. Хвилі у пружньому середовищі. Хвильове рівняння. Звукові хвилі 59.5 KB
  Хвилі у пружньому середовищі. Звукові хвилі. Розрізняють хвилі повздовжні і поперечні в залежності від того чи рухаються частинки біля своїх положень рівноваги вздовж чи поперек напрямку розповсюдження хвилі. Розглянемо хвилі типу Позн.
23124. Рух ідеальної рідини. Рівняння Бернуллі 55.5 KB
  Нагадаємо що поле швидкостей характеризує не швидкiсть окремих частинок середовища а швидкiсть у данiй точцi в даний момент часу будьякої частинки рiдини або газу що знаходиться в цiй точцi в цей момент часу. Надалi будемо розглядати такi рiдини або гази для яких тензор пружних напругє iзотропним: pij = −pδij 14.10 для вязкої рiдини газу набуде вигляду: Це є рiвняння НавєСтокса де η коефiцiєнт зсувної вязкостi коефiцiєнт обємної вязкостi. Для повного опису руху рiдини необхiдно додати ще рiвняння неперервностi та...
23125. Число Рейнольдса. Рух в’язкої рідини 44 KB
  В’язкою рідиною називають середовище в якому нарівні з нормальними напругами відмінні від нуля і дотичні напруги, що виникають внаслідок сил тертя. Коли швидкості не дуже великі, в’язка частина тензора напруг матиме такий вигляд...