19192

Упругое рассеяние иона на атоме при экранированном кулоновском потенциале взаимодействия

Лекция

Производство и промышленные технологии

Лекция 4 Упругое рассеяние иона на атоме при экранированном кулоновском потенциале взаимодействия. Функция экранирования. Линдхардовское сечение рассеяния для экранированного кулоновского потенциала. Аппроксимация аналитическими выражениями. Рассмотрим процессы

Русский

2013-07-11

206 KB

14 чел.

Лекция 4

Упругое рассеяние иона на атоме при экранированном кулоновском потенциале взаимодействия. Функция экранирования. Линдхардовское сечение рассеяния для экранированного кулоновского потенциала. Аппроксимация аналитическими выражениями.

Рассмотрим процессы рассеяния атома или иона на атоме. Если частицы в процессе рассеяния сблизятся на расстояние меньше радиуса К-оболочек, то процесс рассеяния будет определяться кулоновским взаимодействием ядер с зарядами Z1 и Z2. Для кулоновского потенциала расстояние наибольшего сближения d можно определить из условия Екин  U(d), т.е. E0 = Z1Z2e2/d и, следовательно, d = Z1Z2e2/E0. Радиус К-оболочки атома с атомным номером Z2 примерно равен а0 /Z2 , где а0 = ħ2/mee2 = 0,529 Å – Боровский радиус.

Если d << а0 / Z2, то экранирование ядер электронами будет вносить малую поправку. Таким образом, для того чтобы потенциал взаимодействия был кулоновский (считаем, Z2 >Z1) необходимо выполнение условия Z1Z2e2/E0 << а0 /Z2. Отсюда получается нижняя граница по энергии иона для применимости кулоновского потенциала:

Например, для гелия Z1 = 2 и Z2 = 50 (середина таблицы Менделеева) получаем Е0 >> 150 кэВ, т.е. порядка МэВ. Для более тяжелых ионов (большие Z2) эта граница смещается в область больших энергий (десятки МэВ).

Другой подход в определении границы применимости кулоновского потенциала заключается в следующем. Скорость иона m1 должна быть много больше скоростей атомных электронов в атоме m2. Так как скорость электрона на первой боровской орбите vB = e2/ħ = с/137 = 2,2108 см/с, то для нижней границы применимости кулоновского потенциала получаем (2Е0/m1)1/2 >> vB и, соответственно, E0 >> m1 vB2/2 ~ 100 кэВ для ионов гелия, т.е. тот же порядок величины.

Учет ядерных сил необходим если d < Rядра  R0(M2)1/3 = 1,410-13 cм (M2)1/3, отсюда верхняя граница применимости кулоновского потенциала – E0 << Z1Z2e2/RядраM21/3 ~ десятки МэВ для ионов гелия; для более тяжелых ионов сотни МэВ.

Подводя итог, можно сказать, что рассеяние на большие углы ионов, движущихся в твердом теле, описывается резерфордовским сечением рассеяния при малых значениях прицельного параметра, причем ядра сталкивающихся частиц должны сблизиться на расстояние меньшее радиуса К-оболочки. Для легких ионов (Н+, Не+) это имеет место при энергиях ~ МэВ, в случае тяжелых ионов их энергия должна быть десятки МэВ.

Если эти условия не выполняются – меньшие энергии ионов, большие прицельные параметры, то должно быть учтено экранирующее действие электронных оболочек сталкивающихся частиц. Обычно это делают, вводя функцию экранирования (r/a), где а – параметр (радиус) экранирования. В результате получается экранированный кулоновский потенциал

.

Основные особенности Ф(r/a):

  •  при r 0 (малые расстояния сближения) Ф(r) 1, т.к. V(r) должен переходить в кулоновский потенциал;
  •  при увеличении r, значения U(r) меньше, чем у кулоновского потенциала, т.е. Ф(r) 1.

Функция экранирования определяют либо:

  •  на основании теоретических расчетов;
  •  эмпирически (аппроксимируя экспериментальные данные алгебраической функцией, не имеющей физического обоснования);
  •  подгоняя параметры теоретического описания под экспериментальные данные.

Основополагающие работы по установления вида экранированного кулоновского потенциала для двух сталкивающихся атомных частиц были выполнены в конце 50-х начале 60-х годов Олегом Борисовичем Фирсовым (ИАЭ) и группой под руководством Йенса Линдхарда (J.Lindhard, M.Scharff, H.Schiøtt - Дания), поэтому модель часто называют модель LSS (ЛШШ).

В основе обоих подходов – взаимодействие двух атомов, у которых распределение электронов по расстоянию от ядра (радиусу) описывается статистической моделью атома Томаса-Ферми. Как показано в курсе квантовой механики, в модели атома Томаса-Ферми, функция Томаса-Ферми, описывающая экранирующее действие электронов, есть решение дифференциального уравнения

,

где x = r/аТ-Ф и

.

Функция ФТ-Ф(x) не имеет аналитического представления и может быть найдена только численно (значения ФТ-Ф(x) см., например, в Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц "Квантовая механика"). Одна из общепринятых эмпирических аппроксимаций для ФТ-Ф(x) – аппроксимация Мольер

М(x) = 0,35е-0,3х + 0,55е-1,2х + 0,1е-6х.

На рис. 4.1 показан вид функции экранирования – сплошная красная линия аппроксимация Мольер, кружки – результат численного решения уравнения Томаса-Ферми. Видно, что расхождения начинаются при x > 10.

Ясно, что т.к. ФТ-Ф не имеет аналитического представления, то вычислить интеграл (2.4) для 0 , в котором в знаменателе под корнем стоит U(r), аналитически нельзя.

При взаимодействии атомов/ионов принимается

ЛШШ: ,

Фирсов: ,

аL и аФ отличаются не более чем на 12%. В дальнейшем под радиусом экранирования будет пониматься аL.

Из курса "Аналитическая механика" известно, что в случае малых углов рассеяния угол рассеяния в системе центра инерции можно представить в виде

.     (4.1)

Используем в качестве U(r) экранированный кулоновский потенциал, тогда

.

Сделаем замену переменной r = /cos, тогда dr = (tg/cos)d, , соответственно нижний предел интегрирования при r = переходит в = 0, а верхний при r = в = /2 (см. рис. 4.2). Подставив эти выражения в (4.1), получим

 (4.2)

Так как v2/2 = m1v2/2(m2/(m1 + m2) = E0M2/(M1 + M2), то выражение в круглых скобках перед интегралом (4.2) является безразмерным и его обратную величину принято называть приведенной (безразмерной) энергией Линдхарда

(4.3)

Подставив значения а0 и е2, получим удобное для вычисления выражение

(4.4)

Введя = /а, перепишем интеграл для следующим образом

,

откуда  = g()/, это выражение получено из (4.1), которое справедливо для малых углов рассеяния , при которых /2  sin(/2), поэтому

 = 2/2 2sin(/2) = 2t1/2 = g()/,

где в параметре t1/2 = sin(/2) учитывается не только массы и атомные номера взаимодействующих частиц, начальная энергия частицы m1, но и угол рассеяния, и, соответственно, прицельный параметр.

Функцию

можно вычислить численно и, соответственно, для каждого из равенства t1/2 = g()/2 определить t1/2, т.е. каждому значению t1/2 можно поставить в соответствие значение и, таким образом найти функцию G, определяющую зависимость = G1/2(t1/2). Степень ½ у G выбрана для удобства дальнейших преобразований.

Так как = /а, то можно представить  = аG1/2(t1/2) и, использовать общее выражение для дифференциального сечения упругого рассеяния в системе центра масс

.

С учетом того, что d/dt1/2 = aG'(t1/2)/2G(t1/2), где G'(t1/2) = dG(t1/2)/dt1/2 и dt1/2/d = cos(/2)/2, а d = dt/2sin(/2)cos(/2), получим т.н. Линдхардовское сечение рассеяния

(4.5)

где fL(t1/2) = tG'(t1/2) – функция Линдхарда.

Численные расчеты, выполненные Линдхардом, Шарфом и Шиоттом, можно представить в виде следующей последовательности действий:

{} численное интегрирование {g()} {t1/2}

{} {G(t1/2)} численное дифференцирование {G'(t1/2)}

{t1/2} и {G'(t1/2)}  fL (t1/2).

Исходное положение этих расчетов – малость угла рассеяния в Ц-системе. В модели ЛШШ было предложено распространить полученные результаты в область больших углов (экстраполяция на большие углы). Оказалось, что подобный подход приводит к хорошему соответствию расчетных и экспериментальных данных, т.е. является непротиворечивым.

Существует довольно много аппроксимирующих выражений функции Линдхарда, позволяющих представить fL(t1/2) в аналитическом виде. Одна из наиболее распространенных – аппроксимация Винтербона

(4.6)

Вид функции Линдхарда, полученный с помощью аппроксимации Винтербона, представлен на рис. 4.3 (красная кривая). Видно, что fL имеет максимум ~ 0,4 при t1/2 ~ 0,15.

Удобство изложенного метода (иногда его называют метод ЭНБУЛ – экстраполяция на большие углы Линдхарда) заключается в том, что, имея таблицы функции Линдхарда, можно легко посчитать Линдхардовское сечение рассеяния для любых пар взаимодействующих атомов/ионов. Переход к дифференциальному сечению рассеяния в с.ц.м. осуществляется следующим образом.

Так как t = 2sin2(/2), то dt = 2sin(/2)cos(/2)d. С учетом этого запишем Линдхардовское сечение рассеяния (4.5) в виде

Так как экранированный кулоновский потенциал сферически симметричен, то можно перейти к элементу телесного угла d в с.ц.м. и получить Линдхардовское дифференциальное сечение рассеяния на угол в виде

(4.7)

Далее, в соответствие с выражениями (2.3) и (2.8) можно совершить переход к углу рассеяния в лабораторной системе координат и определить сечение рассеяния в л.с.к.

В настоящее время, особенно при моделировании движения ионов в твердом теле, используется несколько видоизмененный подход, который дает лучшее согласие с экспериментом. В нем радиус и функция экранирования выбираются в виде

aZBL =0,8853a0/(Z10,23 + Z20,23).

ФZBL(r/a) = 0,1818e–3,2r/a + 0,5099e–0,9423r/a + 0,2802e–0,4029r/a +0,02817e–0,2016r/a.

Это – т.н. потенциал взаимодействия Циглера-Бирзака-Литтмарка (ZBL).

Рассмотрим на конкретном примере, как вычисляется сечение упругого рассеяния в случае экранированного кулоновского потенциала. Ион аргона (Z1 = 18, M1 = 39,95) с энергией Е0 =10 кэВ рассеивается на атоме кремния (Z2 = 14, M2 = 28,09) на угол = 30о. Найти дифференциальное сечение рассеяния для данного процесса.

  1.  Находим = 1,42. Так как   1, то существует предельный угол рассеяния мак = 44о42, который больше угла рассеяния данного в условии.
  2.  В соответствие с приведенными выше соотношениями для границы применимости кулоновского потенциала, из условия задачи следует, что потенциал взаимодействия – экранированный кулоновский потенциал.
  3.  В соответствие с (4.4) имеем = 1,035. Радиус экранирования берем по Линдхарду, а = 0,128 Å.
  4.  Так как   1, то при вычислении угла рассеяния в с.ц.м. по выражению (2.3) используем оба знака перед корнем, соответственно 1 = 75о20' и 2 = 164о40'.
  5.  Каждому значению соответствует свое значение t11/2 = sin(1/2) = 0,09 и t21/2 = sin(2/2) = 0,15.
  6.  С помощью аппроксимации Винтербона (4.6) находим fL(t11/2) = 0,38 и fL(t21/2) = 0,39.
  7.  В соответствие с (4.7) вычисляем d(1)/d = 2,010-2 Å2 = 2,010-18 см2 и d(2)/d = 5,7310-3 Å2 = 5,7310-19 см2.
  8.  Каждому значению соответствует свой кинематический множитель – выражение (1.2), k1 = 0,64 (знак + перед корнем) и k2 = 0,05 (знак – перед корнем), соответственно энергия иона аргона после рассеяния имеет два значения Е11 = 6,4 кэв и Е12 = 0,5 кэв.
  9.  Дифференциальное сечение рассеяния в л.с.к. вычисляем по общим правилам (2.8). Сечение, соответствующее энергии рассеяния 6,4 кэВ, d1()/d = 1,110-1 Å2 = 1,110-17 см2, сечение, соответствующее энергии рассеяния 0,5 кэВ, d2()/d = 6,4610-3 Å2 = 1,110-19 см2. Суммарное сечение d()/d = 1,210-1 Å2 = 1,210-17 см2.

Вернемся к рис. 4.1, на котором приведена функция экранирования. Из рисунка видно, что в диапазоне значений r/a 0,55 функция экранирования (r/a) с большой точностью может быть аппроксимирована прямой линией. Так как график построен в дважды логарифмическом масштабе, то уравнение прямой в этом случае имеет вид

lg(r/a) = a +blg(r/a) = A + lg(r/a)b = lgA(r/a)b,

т.е. (r/a) = A(r/a)b.

В указанном диапазоне А = 0,416; b = -1, следовательно, функция экранирования (часто называемая функция Нильсен) имеет вид

Н = 0,416а/r.      (4.8)

Поэтому при 0,5а  r  5а можно считать, что потенциал взаимодействия U(r) = (Z1Z2e2/r)(0,416а/r) = 2/r2 (где 2 = 0,416аZ1Z2e2), т.е. является обратноквадратичным потенциалом. Для потенциала такого вида, также как и для кулоновского, можно получить аналитическое выражение для дифференциального сечения рассеяния в с.ц.м. в следующем виде

(4.9)

Переход к л.с.к. совершается аналогично разобранному выше примеру.

В случае обратноквадратичного потенциала можно формально найти функцию Линдхарда. В силу сферической симметричности потенциала выражение (4.9) можно записать в виде

Первая дробь этого выражения – обратная величина приведенной энергии Линдхарда. Заменив, как это делалось ранее, d = dt/2sin(/2)cos(/2) и учитывая, что в случае малоуглового рассеяния cos(/2) 1,   , 2  , /2  sin(/2) и, следовательно,   2sin(/2), данное выражение можно представить в виде

Сравнив это выражение с видом Линдхардовского сечения рассеяния (4.5), можно сделать вывод, что для обратноквадратичного потенциала функция Линдхарда fL = 0,416/4 = 0,327, т.е. является константой для любых пар взаимодействующих ионов/атомов. Данная функция также показана на рис. 4.3 синей линией.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34588. БОРЬБА РУССКОГО НАРОДА ПРОТИВ ИНОЗЕМНЫХ ЗАХВАТЧИКОВ (XIII – XV вв.) 21.16 KB
  Кочевые племена монголов были очень многочисленными но родовые порядки обеспечивали участие в войне всех мужчин поголовно. Во время похода монголов в Индию полководцы Джебе и Субэдэй отделились от главной армии и через Закавказье вторглись в Европу где на их пути оказались половцы. Половцы столкнувшись с монголотатарскими войсками обратились к русскому князю Мстиславу Удалому за помощью. После таких широких завоеваний монголотатарскую знать привлекли торговые пути обладание которыми могло приносить большие доходы.
34589. ОСНОВНЫЕ ФАКТОРЫ РОССИЙСКОГО ИСТОРИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА 19.56 KB
  Самобытность России во многом определяется ее географическим положением между Европой и Азией миром модернизации и миром традиционности. Этот фактор накладывает отпечаток на историческое развитие России. В самой России начиная с XVIII в. Главным среди природных факторов был континентальный характер расположения территории России.
34590. МЕСТО РОССИИ СРЕДИ МИРОВЫХ ЦИВИЛИЗАЦИЙ 24 KB
  МЕСТО РОССИИ СРЕДИ МИРОВЫХ ЦИВИЛИЗАЦИЙ Составитель: С. Соответственно и место России во всемирной истории определялось с точки зрения принадлежности ее к одной из общественноэкономических формаций.К какому же типу отнести Россию В какой мере самобытна цивилизация России Ответы на эти вопросы давались историками публицистами общественными деятелями с высоты своего времени с учетом всего предшествующего развития России а также в соответствии со своими идейнополитическими установками. Абсолютное большинство населения России исповедует...
34591. ВОСТОЧНЫЕ СЛАВЯНЕ В ДОФЕОДАЛЬНЫЙ ПЕРИОД 22.91 KB
  ВОСТОЧНЫЕ СЛАВЯНЕ В ДОФЕОДАЛЬНЫЙ ПЕРИОД Составитель: Л. Степанова Появление славян как самостоятельного этноса согласно археологическим материалам произошло еще в первое тысячелетие до н. славяне известны под именем антов и венедов. в источниках появляется имя славяне.
34592. ДРЕВНЕРУССКОЕ ГОСУДАРСТВО: ЗАКОНОМЕРНОСТИ И ОСОБЕННОСТИ ОБРАЗОВАНИЯ, СОЦИАЛЬНЫЙ И ПОЛИТИЧЕСКИЙ СТРОЙ (IX – начало XII вв.) 21.55 KB
  Но произошло это объединение в результате похода князя Олега датируемого летописью 882 годом при активном участии его Руси варяжской дружины вместе с другими племенами Поильменья. Рассматривая особенности политического устройства Киевской Руси следует выделить такой родоплеменной пережиток как наследование великого княжения по старшинству. Это заставляло всю многочисленную родню Рюриковичей время от времени менять свое пребывание в одном из княжеств и перебираться в другое что не способствовало ни укреплению центральной власти в Киеве...
34593. США во Второй мировой войне 14.25 KB
  Когда УВП не удалось взять под свой контроль добычу и поставки сырья Рузвельт создал сначала управление экономической стабилизации а затем управление военной мобилизации наделенное чуть ли не диктаторскими полномочиями. Комиссия по справедливому найму которую Рузвельт был вынужден создать под угрозой негритянского марша на Вашингтон во главе с Филипом Рэндолфом председателем профсоюза железнодорожных проводников помогла афроамериканцам бороться с дискриминацией в военной промышленности особенно после того как в 1943 Рузвельт наделил...
34594. США в конце XX – начале XXI вв 15.84 KB
  Укрепление политического экономического военного лидерства в мире стало ведущей идеей политики США во второй половине XX начале XXI в. Этому способствовало с одной стороны ключевое положение США в ООН в составе 5 государств членов Совета Безопасности а с другой активное участие в создании НАТО сети других военнополитических блоков. Была развернута сеть военных баз и объектов США в Европе в государствах участниках НАТО на Дальнем Востоке и в бассейне Тихого океана в Латинской Америке и зоне Карибского бассейна на Ближнем...
34595. Соединенное Королевство: географическое положение, рельеф, природные условия, флора и фауна. Символы 40.5 KB
  Официально же она именуется Соединенное Королевство Великобритании и Северной Ирландии. В целом на их долю приходится приблизительно 1 3 площади Великобритании и бoльшая часть Северной Ирландии. В Северной Ирландии змей нет. Символы: Флаг Соединенного Королевства Великобритании и Северной Ирландии или как его принято называть Юнион Джек Union Jck является сочетанием трех крестов святых покровителей Англии прямой красный крест на белом поле крест Св.
34596. Столетняя война 17.15 KB
  Столетняя война наименование длительного военного конфликта между Англией и Францией 13371453 вызванного стремлением Англии вернуть принадлежавшие ей на континенте Нормандию Мен Анжу и др. а также династическими притязаниями английских королей на французский престол. война между Англией и Францией. причины войны: стремление Франции вытеснить Англию с югозапада страны провинция Гиень и ликвидировать этот последний оплот английской власти на франц.