19193

Ядерная и электронная тормозная способность и их связь с удельными потерями энергии при движении ионов в твердом теле

Лекция

Производство и промышленные технологии

Лекция 5 Ядерная и электронная тормозная способность и их связь с удельными потерями энергии при движении ионов в твердом теле. Расчет тормозных способностей ионов для кулоновского и экранированного кулоновского потенциалов взаимодействия. Расчет тормозных способнос

Русский

2013-07-11

250 KB

34 чел.

Лекция 5

Ядерная и электронная тормозная способность и их связь с удельными потерями энергии при движении ионов в твердом теле. Расчет тормозных способностей ионов для кулоновского и экранированного кулоновского потенциалов взаимодействия. Расчет тормозных способностей для соединений.

Рассмотрим ион M1, Z1, движущейся в твердом теле, состоящем из атомов M2, Z2. При взаимодействии иона с атомами происходит передача части его энергии атомам, т.е. ион тормозится в твердом теле. В каждый рассматриваемый момент энергия иона равна Е, причем по мере его движения Е уменьшается.

Пусть * – полное (проинтегрированное по всем возможным переданным энергиям) сечение процесса, сопровождающегося передачей энергии от движущегося иона атомам твердого тела. Если d*(E2) – дифференциальное сечение передачи энергии в диапазоне E2  dE2, то

,

где E2min – минимально возможная переданная энергия ионом в процессе взаимодействия, E2max – соответственно, максимально возможная переданная энергия.

Выделим в твердом теле объем с площадью основания * и высотой dl, направленной вдоль траектории движения иона, – рис. 5.1. Внутри выделенного объема находятся объекты, с которыми взаимодействует ион. Концентрация этих объектов (количество объектов в единице объема) – n*. Тогда в выделенном объеме находится n** dl объектов (рассеивающих центров). Если  – средняя энергия, передаваемая рассеивающему центру в однократном процессе взаимодействия при движении иона в выделенном объеме, то на участке траектории dl ионом будет передана энергия (ион потеряет энергию) dE2 = – n**dl (знак минус, так как потеря энергии). Следовательно, удельные потери энергии ионом вдоль траектории

.

По теореме о среднем

.

Поэтому, удельные потери энергии ионом вдоль траектории

(5.1)

Размерность удельных потерь энергии эВ/Å или эВ/нм.

Для интеграла в выражении (5.1) используется специальное название – тормозная способность вещества, соответствующая потерям энергии на единицу пути в веществе с единичной концентрацией рассеивающих центров.

(5.2)

Используется термин "траектория", так как за счет рассеяния направление движения ионов меняется, и выделить какое-то направление нельзя.

Для того чтобы воспользоваться полученными выражениями, необходимо определить, что понимается под рассеивающими центрами, получить конкретный вид d*(E2) и уточнить, что представляют собой конкретно E2min и E2max. Для этого введем следующие упрощающие рассмотрение предположения:

  1.  Твердое тело представляет собой набор атомов с атомной концентрацией n0, не образующих кристаллическую решетку (т.е. отсутствуют выделенные направления).
  2.  Следуя Нильсу Бору, будем рассматривать потери энергии ионом как сумму двух независимых процессов, идущих одновременно:
  •  взаимодействие с ядрами атомов, которое называется "ядерным" или "упругим" взаимодействием (в дальнейшем будем обозначать его подстрочным индексом "n"), в ходе этого процесса происходит также изменение направления движения иона;
  •  взаимодействие с электронами атомов твердого тела, сопровождающееся ионизацией атомов и возбуждением их электронной подсистемы, которое называется "электронным" или "неупругим" взаимодействием (в дальнейшем будем обозначать его подстрочным индексом "е"), в ходе этого процесса направления движения иона не меняется, так как me << m1.

В этих предположениях связь между удельными потерями энергии вдоль траектории и тормозной способностью выглядит следующим образом:

.

Для того чтобы получить конкретный вид d*(E2) необходимо знать потенциал взаимодействия. Определим, что получается при использовании кулоновского потенциала и экранированного кулоновского потенциала, которые были подробно рассмотрены ранее.

Кулоновский потенциал.

Напомним, что данный потенциал, в частности, применим для быстрых легких ионов (водород, гелий с энергией ~ МэВ).

В соответствие с выражением (3.4) дифференциальное сечение по переданной энергии в случае кулоновского потенциала имеет вид:

.

Подставив это выражение в (5.2), получим ядерную тормозную способность при энергии иона равной Е

.

Для вычисления E2max используем выражение (1.2), справедливое при любом потенциале взаимодействия, в соответствие с которым E2max = 4Е/(1 + )2. Точное значение E2min не очень существенно, единственное требование E2min  0. Для дальнейших расчетов примем E2min = Ed = 10 эВ – средняя энергия смещения атома из положения равновесия. Таким образом, ядерная тормозная способность в случае кулоновского потенциала взаимодействия

(5.3)

Так как рассеивающими центрами являются ядра, то их концентрация n* = n0, поэтому ядерные удельные потери энергии в случае кулоновского потенциала взаимодействия

(5.4)

Торможение на электронах в 1-ом приближении можно рассматривать как рассеяние иона на электронах. При таком рассмотрении потенциал взаимодействия U(r) = Z1e2/r. Кроме того, = m1/me >> 1. Максимально возможная переданная энергия E2max = 4Е/(1 + )2  4Е/ = 4Еme/m1. Для вычисления E2min примем, что в результате взаимодействия иона с электроном переданная ему энергия больше энергии связи, т.е. рассеяние иона на атомном электроне сопровождается ионизацией атома. Так как энергия связи разных оболочек разная, то введем в рассмотрение среднюю энергию ионизации атома (усредненную по всем оболочкам) 11,6 Z2 эВ (для вычисления применяются и более сложные выражения). При таком подходе E2min = и

.

В нашем рассмотрении не учитывалась возможность возбуждения электронной подсистемы атома. Если учесть эту возможность (для этого необходимы существенно более сложные рассмотрения), то появляется множитель 2 и электронная тормозная способность в случае кулоновского потенциала взаимодействия

(5.5)

В данном случае рассеивающими центрами являются электроны, их концентрация n* = n0Z2, поэтому электронные удельные потери энергии в случае кулоновского потенциала взаимодействия

(5.6)

Так как E = m1v2/2, где v – скорость иона, то выражения для электронной тормозной способности и удельных потерь энергии также записывают в виде

.

Электронная тормозная способность должна быть положительной величиной, поэтому под знаком логарифма должна стоять величина больше 1. Оценим, при каких энергиях иона выполняется это требования. Для ионов гелия (Z1 = 2, М1 = 4), движущихся в олове (Z2 = 50 – середина таблицы Менделеева) получаем условие E > /4(me/m1) 1 МэВ, т.е. условие применимости кулоновского потенциала. Если энергия иона меньше, то выражения (5.5) и (5.6) просто неприменимы, так как в этой области энергий нельзя считать потенциал взаимодействия кулоновским.

Оценим, вклад каких потерь является преобладающим. Для этого вычислим отношение (dE/dl)n/(dE/dl)e при одной и той же энергии Е. В соответствие с выражениями (5.4) и (5.6) получим

.

Предварительно заметим, что для всех элементов кроме водорода отношение Z2/М2  ½. Кроме того, m1 = М1mа.е.м., где mа.е.м. = 1,6610-24 – атомная единица массы и отношение mе/mа.е.м.  510-4. Для оценки возьмем М1 = 4, Е = 2 МэВ, Еd = 10 эВ. Тогда оцениваемое отношение можно представить в виде функции от Z2

.

График этой функции приведен на рис. 5.2. Из данного графика видно, что практически для всех элементов таблицы Менделеева, за исключением трансурановых элементов, отношение (dE/dl)n/(dE/dl)e  10-2. Поэтому можно сделать вывод, что в области применимости кулоновского потенциала преобладающий вклад вносят электронные потери энергии и с большой точностью ядерными потерями можно пренебречь.

Экранированный кулоновский потенциал.

Если энергия иона ниже границы применимости кулоновского потенциала необходимо использовать экранированный кулоновский потенциал, подробно рассмотренный в предыдущей лекции. Используя выражение (4.5) для Линдхардовского сечения рассеяния можно получить ядерную тормозную способность следующим образом. В соответствие с общим выражением (5.2) для вычисления тормозной способности необходимо иметь дифференциальное сечение по переданной энергии. Так как E2 = 4M1M2Ecos2/(M1 + M2)2, где Е – энергия иона перед рассеянием. Угол отдачи = ()/2, энергия Е в соответствие с (4.4) может быть записана через приведенную энергию Линдхарда Е = Z1Z2e2(M1 + M2)/aM2. Так как Линдхарадовская переменная t = 2sin2(/2), то

(5.7)

т.е. прямо пропорциональна t, остальные члены являются параметрами, определяемыми конкретной парой ион-атом и энергией иона. Поэтому Линдхардовское сечение рассеяния является также сечением по переданной энергии. Из (5.7) получаем dE2 = 4M1Z1Z2e2/(M1 + M2)dt и, учитывая, что при t = 2 переданная энергия E2 = 4M1M2E/(M1 + M2)2 = E2max, а при t1/2 = 0 E2 = 0 = E2min (для экранированного кулоновского потенциала формального ограничения для E2min нет), получаем следующее выражение для ядерной тормозной способности в экранированном кулоновском потенциале

(5.8)

Интеграл в последнем выражении является функцией от приведенной энергии Линдхарда и называется приведенной ядерной тормозной способностью

(5.9)

Используя приведенную ядерную тормозную способность и перемножив входящие в него мировые константы, выражение (5.8) можно записать в виде

(5.10)

Зависимость от Е входит в зависимость от Е.

Соответственно, ядерные удельные потери энергии в экранированном кулоновском потенциале

(5.10)

Так как функция Линдхарда получена численно, то и sn() может быть получена тоже только численно, что было сделано в работах Линдхарда в 60-е годы ХХ века. Существует ряд аппроксимационных выражений для sn(), из которых приведем наиболее простую – аппроксимацию Юдина:

(5.11)

Удобство использования приведенной тормозной способности заключается в том, что, имея зависимость sn() либо в виде таблиц, либо аппроксимационных выражений, можно легко найти Sn и (dE/dl)n для любых пар ион-атом и любых энергий иона, попадающих в диапазон экранированного кулоновского потенциала.

С вычислением электронной тормозной способностью дело обстоит намного сложнее. Не вдаваясь в подробное обсуждение (тем более что точность существующих моделей невысока) запишем основные результаты.

Фирсов для Z1  Z2 > 10

(5.12)

ЛШШ

(5.13)

Отметим, что в обоих случаях электронная тормозная способность ~ скорости иона (). Выражение, полученное Фирсовым, применимо для тяжелых ионов.

Если в (5.13) перейти к приведенной энергии, то по аналогии с (5.10) электронную тормозную способность можно записать в виде

(5.14)

где se = keприведенная (безразмерная) электронная тормозная способность,

.

Также как и для Sn зависимость от энергии входит в зависимость от Е.

Переход к электронным удельным потерям энергии совершается по стандартному выражению (dE/dl)e = –n0Se.

В отличие от sn, которая является функцией только приведенной энергии (в этом смысле ее называют универсальной функцией), se определяется не только величиной , но и атомными номерами и массами взаимодействующих иона и атома (ke), поэтому при одинаковых приведенных энергиях для разных пар ион-атом будут получаться различные значения se.

На рис. 5.3 приведена зависимость sn() – красная линия, аппроксимация Юдина – синяя линия и зависимость se() для Z1 = 18, M1 = 39,95 (Ar) и Z2 = 14, M2 = 28,09 (Si) – черная линия. Видно, что приведенная ядерная тормозная способность имеет ярко выраженный максимум при   0,25, это означает, что для любой пары ион-атом существует энергия Е*, при которой ядерная тормозная способность и, соответственно, ядерные удельные потери энергии максимальны. Величина Е* зависит от значений Z1, M1, Z2, и M2. Также из рисунка следует, что аппроксимация Юдина работает в диапазоне 0,01    1,5.

Для обратноквадратичного потенциала U(r) = (Z1Z2e2/r)(0,416а/r) (экранированный кулоновский потенциал с функцией экранирования Нильсен) sn = 0,327 (красная штриховая линия на рис. 5.3), поэтому для этого потенциала ядерная тормозная способность

,

также как и ядерные удельные потери энергии не зависит от энергии иона.

Как было отмечено выше, точность расчетов электронной тормозной способности невысока, в особенности это относится к легким ионам (водород, гелий). Поэтому для точных расчетов используют различные эмпирические зависимости, полученные аппроксимацией экспериментальных данных. Кроме того, из вида зависимостей Se в разных диапазонах энергии (~  при низких энергиях, отвечающих экранированному кулоновскому потенциалу и ~ 1/Е с точностью до логарифмического множителя для диапазона энергий, отвечающих кулоновскому потенциалу) следует, что для любой пары ион-атом существует промежуточный диапазон энергий, в котором ни одна из рассмотренных моделей не работает. Для этого диапазона энергий в настоящее время не существует моделей, позволяющих получить не только совпадающие с экспериментом значения, но даже получить форму зависимости Se(Е), согласующуюся с экспериментом.

Рассмотренные выше соотношения позволяют рассчитать тормозные способности в моноэлементных образцах. Если же образец – сплав или соединение, состоящий из N элементов, равномерно распределенных по его объему (однородный образец) и относительная концентрация каждого элемента Ci = ni /n0 (ni – атомная концентрация i-го элемента, n0 – атомная концентрация всех элементов в образце, причем всегда ni = n0), то в этом случае используются два альтернативных подхода для вычисления S и dE/dl.

Средний атомный номер.

Формально принимается, что образец моноэлементный, а атомы образца имеют атомный номер и атомную массу

(5.15)

Далее по общим формулам считается тормозная способность (ядерная или электронная) и удельные потери энергии.

Полученные значения ,  могут как совпадать со значениями реально существующего элемента, так и не совпадать. Например, в полупроводниковой электронике широко используется соединение CdTe (теллурид кадмия), для которого  = 50, = 120, поэтому движение ионного пучка в теллуриде кадмия имеет те же закономерности, что и в олове.

Если известна химическая формула соединения, например, AaBb, то СА = а/(а + b), СВ = b/(а + b).

Правило Брэгга.

Если Si – тормозная способность i-го элемента, вычисленная по общим правилам, то для многоэлементного образца тормозная способность

(5.16)

Оба подхода дают примерно одинаковые результаты.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

62639. Урок физической культуры – урок здоровья 23.68 KB
  По данным социологических исследований отмечается что у активно занимающихся физической культурой и спортом в значительно меньшей степени более чем на 20 проявляется психологическое и особенно общее утомление...
62640. Совершенствование техники передачи, ловли и ведения баскетбольного мяча 83 KB
  Ходьба: обычная по залу; на носках руки вверх; на пятках руки за голову в сторону; ходьба на внешней стороне стопы; ходьба на внутренней стороне стопы. Передвижения приставными шагами правым левым боком с имитацией передач бросков от груди...
62641. Прохождение полосы препятствий. Совершенствование баскетбольной техники 55.13 KB
  Цель: обучить навыкам игры в баскетбол Задачи: Образовательные: совершенствовать технику ведения мяча правой и левой рукой в движении. Оздоровительные: развивать быстроту реакции Воспитательные: содействовать развитию внимания и воспитанию чувства коллективизма...
62642. Совершенствование навыка ходьбе на лыжах. Продвижение скользящим шагом до 1000 метров 16.61 KB
  Продвижение скользящим шагом до 1000 метров Задачи урока: образовательные: Совершенствование умения передвижения скользящим шагом до 1000 метров воспитательные: воспитывать трудолюбие настойчивость в достижении цели.
62643. Техника передачи мяча двумя руками от груди после ведения на месте, в шаге 110.84 KB
  Стоя ноги вместе руки на поясе стоя ноги на ширине плеч руки согнуты в локтях перед грудью стоя ноги на ширине плеч руки в стороны кисти сжаты в кулак стоя ноги на ширине плеч руки на поясе.