19208

Аналогия световой и электронной оптики. Электронная оптика параксиальных пучков

Лекция

Физика

Лекция № 4. Аналогия световой и электронной оптики. Электронная оптика параксиальных пучков. Движение заряженных частиц в аксиальносимметричном электрическом поле. Основные типы электростатических линз. IV. Электронная оптика. 4.1. Аналогия световой и электрон

Русский

2013-07-11

735 KB

17 чел.

Лекция № 4.

Аналогия световой и электронной оптики. Электронная оптика параксиальных пучков. Движение заряженных частиц в аксиально-симметричном электрическом поле. Основные типы электростатических линз.

IV. Электронная оптика.

§ 4.1. Аналогия световой и электронной оптики.

До сих пор мы изучали движение отдельных частиц в электронном и магнитном полях. Электронная оптика изучает законы распространения пучков заряженных частиц – электронов и ионов – в электрическом и магнитном полях. Пучки в электронной оптике, как правило, считаются достаточно редкими, так что электрические и магнитные микрополя от собственного объемного заряда пучка пренебрежимо малы по сравнению с макрополями отклоняющей системы (линейная оптика). Уже первые эксперименты в конце 19 века с катодными лучами показали, что законы распространения электронных лучей подобны законам распространения световых лучей в геометрической оптике. И дело вовсе не в том, что электроны можно считать электронной волной. Комптоновские длины волн электрона  много меньше характерных размеров оптических систем, т.е. электроны можно считать частицей. Аналогия между движением заряженной частицы и распространением света более фундаментальна, и лежит она в существовании вариационного принципа.  В геометрической световой оптике этот принцип имеет название принципа Ферма: , т.е.  где - оптическая длина пути света,  - показатель преломления. Оптическая длина реального пути света должна быть минимальна (свет распространяется по такому пути, на котором он тратит наименьшее время). Свет распространяется прямолинейно. В механике вариационный принцип имеет вид: , где , - векторный потенциал (), L- функция Лагранжа. Вариация интеграла равна изменению этого интеграла при изменении обобщенный координат: .

То, что вариация равна 0, говорит о том, что этот интеграл на действительной траектории имеет экстремум (рис.4.1). Если , то функция Лагранжа , где T- кинетическая энергия, а - потенциальная энергия. Величина  называется действием, а вариационный принцип называется принципом наименьшего действия: .

Принцип наименьшего действия можно записать через обобщенный импульс, который

равен (где): , при  . Покажем, что принцип Ферма эквивалентен закону преломления геометрической оптики (рис.4.2). Оптическая длина,  ее вариация:

, откуда следует закон преломления геометрической оптики:
.

Получим аналогичный закон для электронной оптики.

Так как параллельная границе раздела компонента скорости не меняется (рис.4.3), то . Следовательно,  или (где - ускоряющее напряжение) – закон преломления электронной оптики. Таким образом, - аналог показателя преломления.

Но у электронной оптики есть и существенные отличия от световой, они в основном состоят в следующем:

  1.  Отдельные лучи в световой оптике независимы – электронные лучи взаимодействуют друг с другом.
  2.  Показатель преломления для электронов всегда непрерывен, для света он, как правило, меняется скачком.
  3.  Диапазон изменения показателя преломления для электронов не ограничен, в оптике n  2.5.
  4.  Скорость электронов тем больше, чем больше показатель преломления, а скорость света наоборот.
  5.  Преломляющие поверхности для электронов, в отличие от световых лучей, не могут быть произвольными – распределение потенциалов всегда удовлетворяет уравнению Лапласа (линейная электронная оптика) или Пуассона (нелинейная электронная оптика).

§ 4.2. Потенциал аксиально-симметричного электростатического поля.

Задание преломляющих поверхностей в виде сеток затруднительно, поэтому часто используют диафрагмы с аксиально-симметричным распределением потенциала  (рис.4.4).

Так как =, то в результате разложения  по  будут только четные степени:

.

Потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа:

С учетом

;      ; ;                   уравнение Лапласа перепишется в виде:

Приравнивая к нулю коэффициенты при различных степенях r, получим систему:

.

С учетом (потенциал на оси), получим распределение потенциала в пространстве в виде:

.

Таким образом, распределение потенциала аксиально-симметричного поля определяется значением потенциала на оси .

§ 4.3. Движение параксиальных пучков электронов в аксиально-симметричном электростатическом поле.

Для приосевых электронов (r2/L2хар<< r/Lхар, где Lхар – характерная длина системы), которые еще называют параксиальными, можно получить уравнение траектории. Так как , то электроны не вращаются вокруг оси z. Другие компоненты электрического поля определяются из соотношений:

;

.

Уравнение движения для электрона:

                                                                                (4.1)

Первое уравнение системы замечательно тем, что в полях с аксиальной симметрией радиальная фокусирующая или расфокусирующая сила пропорциональна удалению частицы от оси. Возьмем второе уравнение системы (4.1). Учитывая, что левые части уравнения содержат производные по времени, а правые производные по z, можно использовать переход к производной по переменной z: .

Интегрируя последнее уравнение с учетом граничного условия при z = 0 U(z) = 0 и dz/dt0 = 0 (пренебрегаем начальной скоростью частиц), получим dz/dt = .

Возьмем первое уравнение системы (4.1) и перейдем к производной по переменной z: . Последнее уравнение перепишем в виде: , получим уравнение траектории r(z) параксиального пучка:          

                                                     (4.2),

которое называется основным уравнением электронной оптики.

Анализ уравнения (4.2):

  1.  В уравнение входит только , траектория зависит только значением потенциала на оси.
  2.  В уравнение не входит , поэтому траектории электронов и ионов не отличаются.
  3.  Уравнение линейно и однородно относительно можно заменить на ;
  4.  Уравнение линейно и однородно относительно  можно заменить на ;

Таким образом, полученное линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка относительно U(z) и r(z) показывает, что  возможно масштабное моделирование, т. е. если потенциал во всех точках пространства увеличить в k раз (увеличить потенциал на всех электродах системы в одинаковое число раз), то уравнение, а следовательно и траектория электрона не изменится. Кроме того, можно сделать вывод, что любое аксиально-симметричное поле есть линза, т.к. в любой плоскости сохраняется подобие траекторий относительно расстояния от оси (рис.4.5): .

Фокусная сила линзы: возрастает с удалением от оси.

Линза будет фокусирующей (собирающей), если .  Линза будет расфокусирующей (рассеивающей), если .

§ 4.4. Параметры увеличения в электронной линзе.

Основное уравнение электронной оптики (4.2) является однородным дифференциальным уравнением относительно r второго порядка. Решение, как известно, можно представить

в виде суммы двух частных решений:

, где  и - произвольные константы. Пусть ,  частные решения при  и . Тогда  - это совокупность траекторий, которые пересекают ось  в точках А и В, т.е. в точке В соберутся все электроны, вышедшие из точки А (рис.4.6). При и  для всех электронов, т.е. если источник поместить в точку А, то в точке В будет его изображение (рис.4.7). Тогда линейное увеличение линзы: . Рассмотрим снова траекторию с источником на оси, т.е.  (рис.4.8). Угловое увеличение линзы определяется как отношение тангенсов углов наклона траектории к оси: . Возьмем основное уравнение электронной оптики в виде: . Для частного решения :.

Для частного решения :. Первое умножим на r2, второе на r1 и вычтем их: . Следовательно,
, то есть,. Для  и , т.е.

или . Получаем соотношение , которое является аналогом теоремы Лагранжа-Гельмгольца: .

Найдем фокусные расстояния электронной линзы. Возьмем частные решения и ,

проходящие через фокусы. Так же, как это было сделано выше, напишем для них основные уравнения электронной оптики, до множим на  и и вычтем, получим:

. Для предметного пространства: .

Для пространства изображения:

. Тогда фокусные

расстояния слева  f1 и справа f2 от главных плоскостей h1 и h2 электронной линзы можно определить через траектории, проходящие через фокус линзы r1 и параллельно оси r2 системы; . Отношение фокусных расстояний .

§ 4.5. Тонкие электростатические линзы.

Рассмотрим тонкие линзы, главные плоскости которых находятся при z = a и при z = b. Для тонких линз расстояние между главными плоскостями много меньше фокусных расстояний (b - a) << f1, f2 , т. е. главные плоскости сливаются. Линейное увеличение линзы (рис.4.10) , следовательно . Записав систему:

, получим: , т.е., следовательно . Получим:  - основное соотношение тонкой линзы.

Возьмем основное уравнение электронной оптики в виде:,

Которое можно привести к виду: ;

Проинтегрируем:

. Если линза слабая, то .

Тогда заменяя  и , и вынося  из под знака интеграла как множитель , получим:  (сократили на ). С учетом основного соотношения тонкой линзы , получим фокусные расстояния слева и справа: и .

Отношение фокусных расстояний:. Возьмем выражение для :

. Проинтегрируем по частям (), получим:

   - оптическая сила.

Если  (т.е. на границе нет электрического поля), то линза всегда собирающая ().

§ 4.6. Основные типы электростатических линз.

  

Для одиночной диафрагмы с круглым отверстием: . где Ez1 и Ez2 – напряженности электрических полей слева и справа от диафрагмы, Ud – потенциал диафрагмы. Для системы из двух линз – диафрагм с фокусами  f1 и  f2 и расстоянием между линзами l оптическая сила задается соотношением:   . В общем случае аксиально-симметричного поля траектория электрона описывается уравнениями:

, т.е. фокусирующая сила определяется знаком второй производной от потенциала на оси системы. Если U(z) > 0, то система фокусирующая, если U(z) < 0, то расфокусирующая. На рис. 4.12- 4.15 показаны примеры возможныех типов электростатических линз.


Виртуальная траектория

Реальная траектория

+

+

+

+

-

-

-

-

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

Предметная плоскость

Плоскость изображения

Рис. 4.9. Геометрические параметры линзы.

Рис. 4.8. Угловое увеличение  в линзе.

Рис. 4.7. Траектории не осевых электронов  в линзе.

Рис. 4.6. Траектории осевых электронов  в линзе.

a

b

A

B

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

z

A

B

a

b

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

z

r

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

z

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

b

a

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

a

b

A

B

z

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

0

0

0

z

z

z

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

a

b

+

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

0

0

0

z

z

z

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

a

b

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

0

0

0

z

z

z

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

a

b

-

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

0

0

0

z

z

z

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

a

b

-

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

0

0

0

z

z

z

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

a

b

+

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

Рис. 4.1. Виртуальная и реальная траектории частиц.

Рис. 4.3. Преломление пучка заряженных частиц на границе потенциалов

Рис. 4.2. Преломление света на границе двух сред

Рис. 4.4. Аксиально-симметричное поле диафрагм

Рис. 4.5. Изображение в линзе.

Рис. 4.10. Геометрические параметры тонкой оптической линзы.

Рис. 4.11. Геометрические параметры тонкой электростатической  линзы.

Рис. 4.12. Фокусирующая  электростатическая  линза с тормозящим электрическим полем.

Рис. 4.13. Фокусирующая  электростатическая  линза с тормозящим и ускоряющем электрическим полем.

Рис. 4.14. Расфокусирующая  электростатическая  линза с тормозящим электрическим полем.

Рис. 4.15. Расфокусирующая    электростатическая  линза с ускоряющем электрическим полем.

Рис. 4.16. Фокусирующая  электростатическая  линза с ускоряющем электрическим полем.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

12751. Криптоанализ потокового шифра на основе корреляционного метода 171 KB
  Лабораторная работа 3 Криптоанализ потокового шифра на основе корреляционного метода Цель работы Изучить возможность криптоанализа потокового шифратора при помощи вычисления корреляции между шифрующей гаммой и выходами линейных рекуррентных регистро...
12752. Получение знаний о высоковольтных выключателях 496.9 KB
  ЦЕЛЬ РАБОТЫ: Целью работы является получение знаний о высоковольтных выключателях. ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ: Ознакомиться с назначением и типами высоковольтных выключателей характеризующими их параметрами и условиями выбора. Условия выбора выключателей: В о...
12753. Масляные выключатели. Маломасляные выключатели 122.38 KB
  ЦЕЛЬ РАБОТЫ: Целью работы является получение знаний о высоковольтных выключателях. ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ: Ознакомиться с назначением и типами высоковольтных выключателей характеризующими их параметрами и условиями выбора. Масляные выключатели Различаю
12754. Получение знаний об измерительных трансформаторах тока 407.96 KB
  ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Целью работы является получение знаний об измерительных трансформаторах тока. ОДНОВИТКОВЫЕ: ТПОЛ: Стержневые трансформаторы тока с литой изоляцией типа ТПОЛ Т трансформатор тока П проходной О одновитковый Л с литой изоляцией. Предназначе...
12755. Получение знаний об измерительных трансформаторах напряжения 91.42 KB
  Целью работы является получение знаний об измерительных трансформаторах напряжения. НОМ – трансформатор напряжения однофазный масляный; НТМИ – трансформатор напряжения трехфазный масляный с дополнительной вторичной обмоткой для контроля изоляции сети; НТМК – тр
12756. Приводы высоковольтных выключателей Управление масляным выключателем ВМПЭ-10 369.83 KB
  ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 Приводы высоковольтных выключателей Управление масляным выключателем ВМПЭ10 ЦЕЛЬ РАБОТЫ: Целью работы является получение знаний о приводах высоковольтных выключателей а так же ознакомление со схемой управления масляными выключателями....
12757. Комплектные распределительные устройства 6-10 кВ 236.59 KB
  ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5 Комплектные распределительные устройства 610 кВ ЦЕЛЬ РАБОТЫ Целью работы является получение знаний о конструкциях ячеек комплектных распределительных устройств 610 кВ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ Ознакомиться с информацией...
12758. Разъединители, отделители короткозамыкатели 267.85 KB
  ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6 Разъединители отделители короткозамыкатели. Целью лабораторной работы является получение знаний о разъединителях отделителях и короткозамыкателях используемых в установках выше 1000 В. Разъединитель. Разъединитель предст
12759. Метод наименьших квадратов 1.88 MB
  Метод наименьших квадратов В данной работе содержатся краткие теоретические положения образцы выполнения заданий необходимые для выполнения лабораторной работы индивидуальные задания. Работа предназначена для студентов всех специальностей. Содержание 1. Те...