19208

Аналогия световой и электронной оптики. Электронная оптика параксиальных пучков

Лекция

Физика

Лекция № 4. Аналогия световой и электронной оптики. Электронная оптика параксиальных пучков. Движение заряженных частиц в аксиальносимметричном электрическом поле. Основные типы электростатических линз. IV. Электронная оптика. 4.1. Аналогия световой и электрон

Русский

2013-07-11

735 KB

18 чел.

Лекция № 4.

Аналогия световой и электронной оптики. Электронная оптика параксиальных пучков. Движение заряженных частиц в аксиально-симметричном электрическом поле. Основные типы электростатических линз.

IV. Электронная оптика.

§ 4.1. Аналогия световой и электронной оптики.

До сих пор мы изучали движение отдельных частиц в электронном и магнитном полях. Электронная оптика изучает законы распространения пучков заряженных частиц – электронов и ионов – в электрическом и магнитном полях. Пучки в электронной оптике, как правило, считаются достаточно редкими, так что электрические и магнитные микрополя от собственного объемного заряда пучка пренебрежимо малы по сравнению с макрополями отклоняющей системы (линейная оптика). Уже первые эксперименты в конце 19 века с катодными лучами показали, что законы распространения электронных лучей подобны законам распространения световых лучей в геометрической оптике. И дело вовсе не в том, что электроны можно считать электронной волной. Комптоновские длины волн электрона  много меньше характерных размеров оптических систем, т.е. электроны можно считать частицей. Аналогия между движением заряженной частицы и распространением света более фундаментальна, и лежит она в существовании вариационного принципа.  В геометрической световой оптике этот принцип имеет название принципа Ферма: , т.е.  где - оптическая длина пути света,  - показатель преломления. Оптическая длина реального пути света должна быть минимальна (свет распространяется по такому пути, на котором он тратит наименьшее время). Свет распространяется прямолинейно. В механике вариационный принцип имеет вид: , где , - векторный потенциал (), L- функция Лагранжа. Вариация интеграла равна изменению этого интеграла при изменении обобщенный координат: .

То, что вариация равна 0, говорит о том, что этот интеграл на действительной траектории имеет экстремум (рис.4.1). Если , то функция Лагранжа , где T- кинетическая энергия, а - потенциальная энергия. Величина  называется действием, а вариационный принцип называется принципом наименьшего действия: .

Принцип наименьшего действия можно записать через обобщенный импульс, который

равен (где): , при  . Покажем, что принцип Ферма эквивалентен закону преломления геометрической оптики (рис.4.2). Оптическая длина,  ее вариация:

, откуда следует закон преломления геометрической оптики:
.

Получим аналогичный закон для электронной оптики.

Так как параллельная границе раздела компонента скорости не меняется (рис.4.3), то . Следовательно,  или (где - ускоряющее напряжение) – закон преломления электронной оптики. Таким образом, - аналог показателя преломления.

Но у электронной оптики есть и существенные отличия от световой, они в основном состоят в следующем:

  1.  Отдельные лучи в световой оптике независимы – электронные лучи взаимодействуют друг с другом.
  2.  Показатель преломления для электронов всегда непрерывен, для света он, как правило, меняется скачком.
  3.  Диапазон изменения показателя преломления для электронов не ограничен, в оптике n  2.5.
  4.  Скорость электронов тем больше, чем больше показатель преломления, а скорость света наоборот.
  5.  Преломляющие поверхности для электронов, в отличие от световых лучей, не могут быть произвольными – распределение потенциалов всегда удовлетворяет уравнению Лапласа (линейная электронная оптика) или Пуассона (нелинейная электронная оптика).

§ 4.2. Потенциал аксиально-симметричного электростатического поля.

Задание преломляющих поверхностей в виде сеток затруднительно, поэтому часто используют диафрагмы с аксиально-симметричным распределением потенциала  (рис.4.4).

Так как =, то в результате разложения  по  будут только четные степени:

.

Потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа:

С учетом

;      ; ;                   уравнение Лапласа перепишется в виде:

Приравнивая к нулю коэффициенты при различных степенях r, получим систему:

.

С учетом (потенциал на оси), получим распределение потенциала в пространстве в виде:

.

Таким образом, распределение потенциала аксиально-симметричного поля определяется значением потенциала на оси .

§ 4.3. Движение параксиальных пучков электронов в аксиально-симметричном электростатическом поле.

Для приосевых электронов (r2/L2хар<< r/Lхар, где Lхар – характерная длина системы), которые еще называют параксиальными, можно получить уравнение траектории. Так как , то электроны не вращаются вокруг оси z. Другие компоненты электрического поля определяются из соотношений:

;

.

Уравнение движения для электрона:

                                                                                (4.1)

Первое уравнение системы замечательно тем, что в полях с аксиальной симметрией радиальная фокусирующая или расфокусирующая сила пропорциональна удалению частицы от оси. Возьмем второе уравнение системы (4.1). Учитывая, что левые части уравнения содержат производные по времени, а правые производные по z, можно использовать переход к производной по переменной z: .

Интегрируя последнее уравнение с учетом граничного условия при z = 0 U(z) = 0 и dz/dt0 = 0 (пренебрегаем начальной скоростью частиц), получим dz/dt = .

Возьмем первое уравнение системы (4.1) и перейдем к производной по переменной z: . Последнее уравнение перепишем в виде: , получим уравнение траектории r(z) параксиального пучка:          

                                                     (4.2),

которое называется основным уравнением электронной оптики.

Анализ уравнения (4.2):

  1.  В уравнение входит только , траектория зависит только значением потенциала на оси.
  2.  В уравнение не входит , поэтому траектории электронов и ионов не отличаются.
  3.  Уравнение линейно и однородно относительно можно заменить на ;
  4.  Уравнение линейно и однородно относительно  можно заменить на ;

Таким образом, полученное линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка относительно U(z) и r(z) показывает, что  возможно масштабное моделирование, т. е. если потенциал во всех точках пространства увеличить в k раз (увеличить потенциал на всех электродах системы в одинаковое число раз), то уравнение, а следовательно и траектория электрона не изменится. Кроме того, можно сделать вывод, что любое аксиально-симметричное поле есть линза, т.к. в любой плоскости сохраняется подобие траекторий относительно расстояния от оси (рис.4.5): .

Фокусная сила линзы: возрастает с удалением от оси.

Линза будет фокусирующей (собирающей), если .  Линза будет расфокусирующей (рассеивающей), если .

§ 4.4. Параметры увеличения в электронной линзе.

Основное уравнение электронной оптики (4.2) является однородным дифференциальным уравнением относительно r второго порядка. Решение, как известно, можно представить

в виде суммы двух частных решений:

, где  и - произвольные константы. Пусть ,  частные решения при  и . Тогда  - это совокупность траекторий, которые пересекают ось  в точках А и В, т.е. в точке В соберутся все электроны, вышедшие из точки А (рис.4.6). При и  для всех электронов, т.е. если источник поместить в точку А, то в точке В будет его изображение (рис.4.7). Тогда линейное увеличение линзы: . Рассмотрим снова траекторию с источником на оси, т.е.  (рис.4.8). Угловое увеличение линзы определяется как отношение тангенсов углов наклона траектории к оси: . Возьмем основное уравнение электронной оптики в виде: . Для частного решения :.

Для частного решения :. Первое умножим на r2, второе на r1 и вычтем их: . Следовательно,
, то есть,. Для  и , т.е.

или . Получаем соотношение , которое является аналогом теоремы Лагранжа-Гельмгольца: .

Найдем фокусные расстояния электронной линзы. Возьмем частные решения и ,

проходящие через фокусы. Так же, как это было сделано выше, напишем для них основные уравнения электронной оптики, до множим на  и и вычтем, получим:

. Для предметного пространства: .

Для пространства изображения:

. Тогда фокусные

расстояния слева  f1 и справа f2 от главных плоскостей h1 и h2 электронной линзы можно определить через траектории, проходящие через фокус линзы r1 и параллельно оси r2 системы; . Отношение фокусных расстояний .

§ 4.5. Тонкие электростатические линзы.

Рассмотрим тонкие линзы, главные плоскости которых находятся при z = a и при z = b. Для тонких линз расстояние между главными плоскостями много меньше фокусных расстояний (b - a) << f1, f2 , т. е. главные плоскости сливаются. Линейное увеличение линзы (рис.4.10) , следовательно . Записав систему:

, получим: , т.е., следовательно . Получим:  - основное соотношение тонкой линзы.

Возьмем основное уравнение электронной оптики в виде:,

Которое можно привести к виду: ;

Проинтегрируем:

. Если линза слабая, то .

Тогда заменяя  и , и вынося  из под знака интеграла как множитель , получим:  (сократили на ). С учетом основного соотношения тонкой линзы , получим фокусные расстояния слева и справа: и .

Отношение фокусных расстояний:. Возьмем выражение для :

. Проинтегрируем по частям (), получим:

   - оптическая сила.

Если  (т.е. на границе нет электрического поля), то линза всегда собирающая ().

§ 4.6. Основные типы электростатических линз.

  

Для одиночной диафрагмы с круглым отверстием: . где Ez1 и Ez2 – напряженности электрических полей слева и справа от диафрагмы, Ud – потенциал диафрагмы. Для системы из двух линз – диафрагм с фокусами  f1 и  f2 и расстоянием между линзами l оптическая сила задается соотношением:   . В общем случае аксиально-симметричного поля траектория электрона описывается уравнениями:

, т.е. фокусирующая сила определяется знаком второй производной от потенциала на оси системы. Если U(z) > 0, то система фокусирующая, если U(z) < 0, то расфокусирующая. На рис. 4.12- 4.15 показаны примеры возможныех типов электростатических линз.


Виртуальная траектория

Реальная траектория

+

+

+

+

-

-

-

-

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

Предметная плоскость

Плоскость изображения

Рис. 4.9. Геометрические параметры линзы.

Рис. 4.8. Угловое увеличение  в линзе.

Рис. 4.7. Траектории не осевых электронов  в линзе.

Рис. 4.6. Траектории осевых электронов  в линзе.

a

b

A

B

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

z

A

B

a

b

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

z

r

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

z

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

b

a

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

a

b

A

B

z

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

0

0

0

z

z

z

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

a

b

+

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

0

0

0

z

z

z

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

a

b

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

0

0

0

z

z

z

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

a

b

-

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

0

0

0

z

z

z

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

a

b

-

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

0

0

0

z

z

z

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

a

b

+

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

Рис. 4.1. Виртуальная и реальная траектории частиц.

Рис. 4.3. Преломление пучка заряженных частиц на границе потенциалов

Рис. 4.2. Преломление света на границе двух сред

Рис. 4.4. Аксиально-симметричное поле диафрагм

Рис. 4.5. Изображение в линзе.

Рис. 4.10. Геометрические параметры тонкой оптической линзы.

Рис. 4.11. Геометрические параметры тонкой электростатической  линзы.

Рис. 4.12. Фокусирующая  электростатическая  линза с тормозящим электрическим полем.

Рис. 4.13. Фокусирующая  электростатическая  линза с тормозящим и ускоряющем электрическим полем.

Рис. 4.14. Расфокусирующая  электростатическая  линза с тормозящим электрическим полем.

Рис. 4.15. Расфокусирующая    электростатическая  линза с ускоряющем электрическим полем.

Рис. 4.16. Фокусирующая  электростатическая  линза с ускоряющем электрическим полем.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

52761. Розвиток толерантності 48.5 KB
  Робота в групах зашифроване слово Жидрути Васпра Легнека Тижидру Батре Тивмі З`являється напис Дружити справа нелегка але дружити треба вміти. Разом ми клас Тож будемо вчитися дружити щоб не було як у байці Л. Бесіда: Що ж там лад Як досягти ладу в колективі Що ж означає: дружити Як ви розумієте це поняття А зараз послухайте вірш Оксани Сенатович. Що це значить не дружити Що це значить не дружити Жити так одинаком Не дружити це ходити Не дверима а вікном.
52762. Сложение и вычитание обыкновенных дробей 316 KB
  Цель: - актуализировать знания учащихся по теме «Сложение и вычитание дробей с равными знаменателями»; - развивать навыки применения теоретических знаний при решении различных видов практических упражнений; - формирование положительной мотивации к предмету через нестандартную форму реализации урока, развитие познавательного интереса учащихся; - воспитание культуры работы в группе; - поддержать акцию «Сохраним первоцветы».
52763. Дії над звичайними дробами. Розв’язування вправ 154.5 KB
  Мета: повторити і систематизувати знання з теми; продовжити розвивати вміння працювати самостійно в групах; виховувати в учнів творчі здібності; прищеплювати любов до математики; вчити їх об'єктивній самооцінці та вмінню коригувати свою навчальну діяльність; виховувати впевненість у своїх силах та самостійність.
52764. Уявлення про звичайні дроби. Правильні та неправильні дроби. Порівняння дробів 94 KB
  Правильні та неправильні дроби. МЕТА: вивчити означення дробового числазвичайного дробу ознайомити з поняттям правильний і неправильний дріб навчити розпізнавати звичайні дроби читати записувати їх; розвинути уяву увагу культуру математичного запису та мови; виховати самостійність допитливість та прагнення успіху. Приклад 2 правильні дроби.
52766. Доли и дроби 39.5 KB
  Норма хлеба была низкой и ничтожно малой: рабочие получали по 250 гр а служащие иждивенцы и дети по 125гр.30 лет хранился кусок блокадного хлеба в семье Карпушиных. Надкусив свою последнюю норму хлеба на руках матери умирает младшая дочь. Это норма хлеба ленинградского ребёнка.
52767. Розв’язування вправ на всі дії зі звичайними дробами з використанням міжпредметних зв’язків 52 KB
  Наполеон Математика королева і слуга наук Е. Белл Не знаючи математики не можна пізнати ні інших наук ні мирських прав Математика брама і ключ науки Р. Бекон Математика – та одна наука без якої неможлива ніяка інша. Соболєв Вся математика – це власне одне велике рівняння для інших наук.
52768. Действия с обыкновенными дробями 75.5 KB
  Человек подобен дроби: В знаменателе то что он думает о себе В числителе то что он есть на самом деле. станция Вопрос ответ Как называется деление числителя и знаменателя дроби на одно и тоже число Как называется элемент дроби стоящий под чертой дроби над чертой Каким действием можно заменить черту дроби Для того чтобы найти общий знаменатель дробей нужно найти НОК или НОД Как сложить дроби с разными знаменателями Какие числа называются взаимно обратными Как найти дробь от числа Как называется...