19213

Термоэлектронная эмиссия. Статистический и термодинамические вывод формулы плотности тока термоэлектронной эмиссии

Лекция

Физика

Лекция № 9. Термоэлектронная эмиссия. Статистический и термодинамические вывод формулы плотности тока термоэлектронной эмиссии. Влияние внешнего электрического поля Эффект Шоттки. Распределение термоэлектронов по энергиям. Средняя энергия термоэлектронов. Эксп

Русский

2013-07-11

557.5 KB

43 чел.

Лекция № 9.

Термоэлектронная эмиссия. Статистический и термодинамические вывод формулы плотности тока термоэлектронной эмиссии. Влияние внешнего электрического поля (Эффект Шоттки). Распределение термоэлектронов по энергиям.  Средняя энергия термоэлектронов. Экспериментальное измерение распределения термоэлектронов по энергиям. Экспериментальное определение констант термоэмиссии.

IX. Термоэлектронная эмиссия.

§ 9.1. Электроны в металлах.

«Электронный газ» в металлах представляет собой электроны зоны проводимости, возникшие как обобщенные валентные электроны атомов при сближении атомов на расстояния, когда перекрываются электронные облака отдельных атомов. Сплошная зона проводимости возникает из-за расщепления энергетических уровней электронов отдельных атомов в силу запрета нахождения электронов в одинаковом квантовом состоянии. Так как число атомов велико, то расщепленные уровни электронов образуют непрерывную энергетическую полосу, называемую зоной проводимости, в которой электроны можно считать свободными, т.е. не привязанными к какому-либо атому. С другой стороны, оставшиеся без электрона атомы, т.е ионы играют роль нейтрализующего электроны фона, так что электронный газ и ионы кристаллической решетки можно считать плазмой. Однако расстояние между ионами:становится меньше длины волны де Бройля электрона:

.

Следовательно, электрон нельзя считать частицей, т.е. плазма становится квантово вырожденной, подчиняющейся уже не классической статистике Максвелла-Больцмана, а статистике Ферми-Дирака. При этом электрон необходимо описывать волновой функцией, имеющей смысл плотности вероятности нахождения электрона в данной точке в данный момент времени: ,   где   - волновой вектор,  – объем металла, ω – частота волны. Энергия электрона в состоянии :

. Функция распределения Ферми-Дирака, т.е. число частиц в одном состоянии:   (рис. 9.1).   Импульс электрона можно выразить через квантовое число : , так что компоненты импульса , где  целые положительные и отрицательные числа. Элементарный кубик в импульсном пространстве имеет объем , поэтому число возможных квантовых состояний в интервале  равно . При T = 0 все электроны находятся внутри так называемой сферы Ферми (см. рис. 9.2). Если учесть  принцип Паули и две возможные ориентации спина, то число состояний в сфере Ферми: , следовательно, , где ,  . Тогда энергия Ферми равна:  .

Энергия Ферми не зависит от объема металла, а зависит от концентрации свободных электронов. На первый взгляд странный вывод. При росте V число N растет, казалось бы, должно расти число уровней и верхний уровень, но  не зависит от общего числа уровней. Это связано с тем, что уменьшается расстояние между уровнями  (с учетом спина) и зона проводимости при  становится сплошной. Число частиц с энергией не больше  определим из соотношения: , следовательно, .                                                                                              

Тогда плотность электронов в импульсном пространстве, т.е. распределение по энергии .

С учетом распределения Ферми-Дирака распределение электронов по энергии имеет вид:  (рис.9.3).

Рис. 9.3. Функция распределение  электронов по энергии.

§ 9.1. Плотность термоэмиссионного тока.

Статистический вывод по модели Зоммерфельда.

Испускание электронов нагретыми проводящими материалами называется термоэлектронной эмиссией. Это явление было обнаружено в 1883 г. Эдисоном. Аналитический расчет плотности термоэмиссионного тока можно получить исходя из модели Зоммерфельда о нахождении электронов в металле как в потенциальной яме. При абсолютном нуле температуры энергия электронов металла  не может быть больше энергии Ферми, поэтому ни один электрон не может выйти из металла, а функция распределения обрывается при EF (рис. 9.3). При Т > 0 обрыв сглаживается, появляется «хвост» функции распределения электронов с энергиями больше EF, именно у этих электронов, количество которых экспоненциально растет с ростом температуры поверхности, появляется ненулевая вероятность преодоления потенциального барьера на границе металла. Поэтому термоэмиссионный ток заметен только для нагретых тел. Как известно из электростатики, на электрон вне металла около его поверхности действует сила со стороны наведенного симметрично заряда:  .  Тогда зависимость потенциальной энергии можно выразить соотношением: . Те электроны, которые имеют перпендикулярную к поверхности составляющую энергии больше высоты потенциального барьера, будут уходит на бесконечность, то есть эмитироваться с поверхности (рис.9.4).

Рис. 9.4. Энергетическая диаграмма, поясняющая механизм термоэмиссии.

Таким образом, термоэмиссионный ток обусловлен  «хвостом» функции распределения. При низких температурах таких электронов пренебрежимо мало. С ростом температуры «хвост» удлиняется, термоэмиссия растет.

Подсчитаем количество электронов с импульсами от до  в единице объема:

. Для вычисления этого интеграла перейдем к полярной системе координат:, , тогда:

. Обозначим , , тогда . Умножим числитель и знаменатель дроби под интегралом на : . Введем переменную , тогда:

Плотность термоэмиссионного тока, находим как количество всех электронов, имеющих энергию , где:

При , используем приближение :

     (9.1)

- это формула Ричардсона-Дэшмана, где  - универсальная постоянная Ричардсона.

Термодинамический вывод плотности термоэмиссионного тока.

Зависимость  (9.1) для плотности термоэмиссионного тока можно получить, если рассматривать термоэмиссионный ток как поток электронов в вакуум, преодолевающих потенциальный барьер (рис.9.5): jТ = enevср/4. С учетом распределения Больцмана для электронов  в потенциальном поле:, где -

среднеквадратичная скорость.  С учетом полученной ранее зависимости плотности электронов  от энергии  получим аналогичное выражение: .

§ 9.2. Учет прозрачности барьера и температурной зависимости работы выхода.

Необходимо учесть прозрачность барьера  и температурную зависимость работы выхода. При изменении температуры, вследствие изменения концентрации электронов  меняется . Это можно учесть, введя температурный коэффициент работы выхода , тогда .  Как известно, работа выхода может увеличиваться или уменьшаться с ростом температуры в зависимости от металла. При расширении металла уменьшается плотность зарядов, обуславливающих скачок потенциала на границе, поэтому с ростом температуры уменьшается глубина потенциальной ямы и понижается уровень Ферми в металле. Если с ростом температуры уровень Ферми падает быстрее, чем глубина потенциальной ямы, то работа выхода будет увеличиваться. Если уровень Ферми понижается медленнее, то работы выхода уменьшается. Поэтому коэффициент  для различных материалов может быть как больше, так и меньше нуля и имеет значения . С учетом этого формула для плотности термоэмиссионного тока примет вид:

,       (9.2)

где  - постоянная Ричардсона, которая, так же как работа выхода, определяется для каждого материала экспериментально и приводится в таблицах специализированной литературы по эмиссионной электронике.

§ 9.3. Зависимость работы выхода от внешнего электрического поля (эффект Шоттки).

 В присутствии внешнего электрического поля меняется форма потенциального барьера (рис.9.6), который теперь описывается в виде: .

Найдем положение максимума: ,    ;

Значение потенциала в максимуме:

,

Следовательно, изменение работы выхода:  ,

. С учетом этого плотность термоэмиссионного тока  при наличии электрического поля:

    .         (9.3)

Этот ток в присутствии внешнего сильного ускоряющего электрического поля целиком будет приходить на анод . Прологарифмируем это соотношение: . Таким образом , где  - ускоряющее напряжение на аноде. При слабом внешнем ускоряющем электрическом поле в режиме ограничения тока объемным зарядом плотность тока на анод определяется законом «3/2»: . При наличии сильного электрического поля объемный заряд ликвидируется и , где (рис. 9.7).

Нелинейность и периодичность экспериментальной зависимости  при больших напряжениях, т.е. больших , связана с тем, что ширина потенциального барьера уменьшается с увеличением , отражение электронных волн за счет интерференции отражающихся от двух плоскостей волн имеет периодическую

зависимость от толщины барьера.

§ 9.4. Распределение термоэлектронов по энергиям.  Средняя энергия термоэлектронов.

Число электронов в шаровом слое импульсного пространства от до :

, так как

термоэлектроны – это электроны, которые имеют импульсы, удовлетворяющие условию:

, следовательно: , поэтому второе слагаемое в знаменателе много больше единицы. Термоэлектроны (быстрые электроны) и в металле имеют максвелловское распределение. Изменится ли оно после прохождения барьера ? Проверить это нужно только для составляющей энергии вдоль оси , в направлении которой происходит преодоление  потенциального барьера. Пусть  - скорость термоэлектрона в вакууме. Тогда:

  ,т.е. , где . Число электронов, имеющих энергию от  до  (импульс от до ):

.

Учтем, что , тогда ,    где . Следовательно, функция распределения электронов в вакууме по составляющей кинетической энергии, обусловленной движением перпендикулярно плоскости катода:

. Средняя энергия движения электронов в перпендикулярном направлении к плоскости катода:

- это модифицированное распределение Максвелла (рис.9.8). Для компонент энергии  и  распределение Масквелла:

Тогда полная средняя энергия термоэлектронов, с учетом , будет равна: .

§ 9.5. Экспериментальное измерение распределения термоэлектронов по энергиям.

Метод задерживающего поля.

Возможна достаточно простая экспериментальная проверка распределение электронов по энергиям методом задерживающего поля. Для этого нужно приложить не ускоряющее электроны электрическое поле, а тормозящее (рис.9.9). В этом случае

до анода дойдут только те электроны, скорость  которых удовлетворяет условию:.

Тогда полный ток на анод площади  

.

.

Линейная зависимость  служит экспериментальным доказательством максвелловского распределения термоэлектронов.

§ 9.6. Экспериментальные методы определения термоэлектронных характеристик.

Метод прямой Ричардсона.

Если  для некоторого материала катода измерить для различных температур величины плотностей тока, то можно построить график зависимости  как функцию

от  (рис.9.10). Графиком этой зависимости, согласно (9.2), будет являться прямая, так как , тангенс угла наклона прямой равен . Прямая отсекает на оси абсцисс значение .

Калориметрический метод.

При уходе с поверхности один электрон уносит из металла энергию .

Полная энергия, уносимая электронами: . Если на анод подано запирающее напряжение, то электроны ничего не уносят и потери мощности на омический нагрев идут на излучение. При : , где - сопротивление катода, - площадь катода, - коэффициент серости, - константа Стефана-Больцмана. При 0 энергия, выделяющаяся в катоде, расходуется не только на тепловое излучение, но и на термоэмиссию. Чтобы сохранить температуру  катода потребуется увеличить ток: . Т.е. при 0 тепловой баланс имеет вид , или     .

 Считая, что , получаем:

, т.е. . Таким образом, по изменению тока для сохранения заданной температуры определяем работу выхода. В отличие от метода прямых Ричардсона, в котором предполагается линейная зависимость работы выхода от температуры, определяемая калориметрическим методом работа выхода не зависит от  характера ее температурной зависимости .

Метод контактной разности потенциалов.

Для определения работы выхода некоторого металла измеряется контактная разность потенциалов между данным металлом и металлом, работа выхода которого известна. На границе контакта двух различным материалов (граница А на рис.9.11), возникает внутренняя  контактная разность потенциалов, равная разности уровней Ферми, препятствующая потоку электронов из металла с их большей концентрацией (в котором выше уровень Ферми) в металл с их меньшей концентрацией. Между границами соприкосновения металла с вакуумом (границы В и С на рис.9.11) устанавливается внешняя контактная разность потенциалов Таким образом, без учета прозрачности барьера и того, что работа выхода зависит от температуры, контактная разность потенциалов равна разности работ выхода разных металлов, деленная на заряд электрона. С учетом прозрачности барьера и температурной зависимости работы выхода  контактная

разность потенциалов равна , где  – постоянные Ричардсона. Таким образом, если известна работы выхода одного материала, и постоянные Ричардсона для обоих материалов, можно найти работу выхода другого металла, если измерить их контактную разность потенциалов. Для измерения контактной разности потенциалов можно использовать метод смещения вольтамперных характеристик (ВАХ). В случае, если катод и анод изготовлена из одного материала  (сплошная линия  ВАХ на рис.9.12.). В случае разных материалов

к внешней разности потенциалов  добавляется () или вычитается () контактная разность потенциалов . В результате по смещению ВАХ определяется .

Рис.9.2. Сфера Ферми в импульсном пространстве.

Рис.9.1. Функция распределения Ферми-Дирака

0

Зона проводимости

- высота барьера

Термоэлектроны

Рис.9.5. Потенциальный барьер для термоэлектронов.

Рис. 9.6. Форма потенциального барьера во внешнем поле.

Рис.9.8. «Модифицированное» распределение Масквелла.

Рис.8 7. Зависимость плотности тока на анод от ускоряющего напряжения.

0

K

А

-

Зона

вместимости

0

А

К

R

А

В

С

1

2

Рис.9.12. Определение контактной разности потенциалов методом смещения вольтамперных характеристик.

А

Рис.9.11. Определение работы выхода по контактной разности потенциалов.

Рис.9.10. Определение работы выхода калориметрическим методом.

Рис.9.10. Определение термоэлектронных характеристик методом прямой Ричардсона.

Рис.9.9. Определение энергетического распределения термоэлектронов методом задерживающего поля.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

40712. Финансовый рынок: структура и механизм функционирования 28.5 KB
  Финансовый рынок – это сфера проявления экономических отношений между продавцами и покупателями финансовых денежных ресурсов и инвестиционных ценностей то есть инструментов образования финансовых ресурсов между их стоимостью и потребительной стоимости. Как и любой рынок финансовый рынок предназначен для установления непосредственных контактов между покупателями и продавцами финансовых ресурсов. Финансовая система Российской Федерации включает следующие звенья финансовых отношений: государственную бюджетную систему; внебюджетные...
40713. Рентабельность. Виды и методика расчета ее уровня 31.5 KB
  Рентабельность. РЕНТАБЕЛЬНОСТЬ от нем. Количественно рентабельность исчисляется как частное от деления прибыли на затраты расход ресурсов обеспечивающих получение прибыли. Рентабельность продукции определяется как отношение прибыли от ее реализации к себестоимости.
40714. Бизнес-планирование 37 KB
  Бизнеспланирование. В рыночной экономике бизнесплан является рабочим инструментом используемым во всех сферах предпринимательства. Основной целью разработки бизнесплана является планирование хозяйственной деятельности фирмы на ближайший и отдаленные периоды в соответствии с потребностями рынка и возможностями получения необходимых ресурсов. Другие цели разработки плана бизнеса могут быть различными например: уяснить степень реальности достижения намеченных результатов; доказать определенному кругу лиц целесообразность...
40715. Корпоративное управление как важнейший фактор экономического роста 39 KB
  Надлежащий режим корпоративного управления способствует эффективному использованию корпорацией своего капитала подотчетности органов ее управления как самой компании так и ее акционерам. В результате формирования такой структуры акционерного капитала утвердилась ориентация крупных акционеров не на повышение доходов по акциям компании не на рост ее капитализации а на сохранение существующих взаимоотношений с предприятием. В самом общем виде общепризнанные международные принципы корпоративного управления сводятся к следующему: ...
40716. Анализ кадрового потенциала организации 29 KB
  Анализ кадрового потенциала организации. Для комплексной оценки кадрового потенциала используются три группы взаимодополняющих оценок: стоимостные; количественные; качественные. Стоимостные оценки базируются на возникшей в 60е годы нашего столетия теории кадрового капитала одним из ярких представителей которой является американский ученый Р. Для всесторонней оценки кадрового потенциала на кризисном предприятии проводится так называемый кадровый аудит.
40717. Тенденции и перспективы развития венчурного бизнеса в России и за рубежом 62.5 KB
  Тенденции и перспективы развития венчурного бизнеса в России и за рубежом. Сущность венчурного финансирования заключается в финансировании предложений по развитию производственной коммерческой или иной деятельности необходимой региону и ориентированной на получение прибыли на основе существующих или вновь для этого создаваемых малых предприятий путем вложения определенной части финансовых или иных ресурсов их деятельности без гарантии возвратности с учетом возможности потери вложенных средств если финансируемый проект не принесет после...
40718. Научно-технический и инновационный потенциал организации :сущность, структура и основные показатели оценки 41.5 KB
  Научнотехнический потенциалстрана регион организация – общественная форма совокупности живого и общественного труда обеспечивающая производство новых знаний создание освоение нововведений в т. Межотраслевые технологические прогнозы кривые появления и развития новых технологий формирование компетенций поддерживающих прогрессивные технологии на уровне фирмы. Принципы финансирования незапланированных инициатив выявление новых идей сотрудников поощрение их нововведенческого поведения. Оценивать важность новых инициатив и их...
40719. Основные направления инновационной политики государства 53.5 KB
  Одним из важнейших показателей состояния и развития научной деятельности является численность исследователей техников и вспомогательного персонала занятых в инновационной сфере. Россия направляющая в научнотехническую сферу менее 1 ВВП все больше отстает от группы промышленно развитых и некоторых развивающихся стран. Недостаток капитала выступает сегодня в России в качестве одного из основных ограничителей научнотехнического развития. Устойчивой гарантией динамичного развития научнотехнической сферы в условиях рынка является только...
40720. Инновация: сущность, источники, жизненный цикл 31.5 KB
  Эти различия затрагивают прежде всего общую продолжительность цикла продолжительность каждой стадии внутри цикла особенности развития самого цикла разное количество стадий. Виды и количество стадий жизненного цикла определяются особенностями той или иной инновации. Однако у каждой инновации можно определить стержневую то есть базовую основу жизненного цикла с четко выделенными стадиями. Схемы жизненного цикла различны у инновационного продукта и у инновационной операции процедуры.