19213

Термоэлектронная эмиссия. Статистический и термодинамические вывод формулы плотности тока термоэлектронной эмиссии

Лекция

Физика

Лекция № 9. Термоэлектронная эмиссия. Статистический и термодинамические вывод формулы плотности тока термоэлектронной эмиссии. Влияние внешнего электрического поля Эффект Шоттки. Распределение термоэлектронов по энергиям. Средняя энергия термоэлектронов. Эксп

Русский

2013-07-11

557.5 KB

41 чел.

Лекция № 9.

Термоэлектронная эмиссия. Статистический и термодинамические вывод формулы плотности тока термоэлектронной эмиссии. Влияние внешнего электрического поля (Эффект Шоттки). Распределение термоэлектронов по энергиям.  Средняя энергия термоэлектронов. Экспериментальное измерение распределения термоэлектронов по энергиям. Экспериментальное определение констант термоэмиссии.

IX. Термоэлектронная эмиссия.

§ 9.1. Электроны в металлах.

«Электронный газ» в металлах представляет собой электроны зоны проводимости, возникшие как обобщенные валентные электроны атомов при сближении атомов на расстояния, когда перекрываются электронные облака отдельных атомов. Сплошная зона проводимости возникает из-за расщепления энергетических уровней электронов отдельных атомов в силу запрета нахождения электронов в одинаковом квантовом состоянии. Так как число атомов велико, то расщепленные уровни электронов образуют непрерывную энергетическую полосу, называемую зоной проводимости, в которой электроны можно считать свободными, т.е. не привязанными к какому-либо атому. С другой стороны, оставшиеся без электрона атомы, т.е ионы играют роль нейтрализующего электроны фона, так что электронный газ и ионы кристаллической решетки можно считать плазмой. Однако расстояние между ионами:становится меньше длины волны де Бройля электрона:

.

Следовательно, электрон нельзя считать частицей, т.е. плазма становится квантово вырожденной, подчиняющейся уже не классической статистике Максвелла-Больцмана, а статистике Ферми-Дирака. При этом электрон необходимо описывать волновой функцией, имеющей смысл плотности вероятности нахождения электрона в данной точке в данный момент времени: ,   где   - волновой вектор,  – объем металла, ω – частота волны. Энергия электрона в состоянии :

. Функция распределения Ферми-Дирака, т.е. число частиц в одном состоянии:   (рис. 9.1).   Импульс электрона можно выразить через квантовое число : , так что компоненты импульса , где  целые положительные и отрицательные числа. Элементарный кубик в импульсном пространстве имеет объем , поэтому число возможных квантовых состояний в интервале  равно . При T = 0 все электроны находятся внутри так называемой сферы Ферми (см. рис. 9.2). Если учесть  принцип Паули и две возможные ориентации спина, то число состояний в сфере Ферми: , следовательно, , где ,  . Тогда энергия Ферми равна:  .

Энергия Ферми не зависит от объема металла, а зависит от концентрации свободных электронов. На первый взгляд странный вывод. При росте V число N растет, казалось бы, должно расти число уровней и верхний уровень, но  не зависит от общего числа уровней. Это связано с тем, что уменьшается расстояние между уровнями  (с учетом спина) и зона проводимости при  становится сплошной. Число частиц с энергией не больше  определим из соотношения: , следовательно, .                                                                                              

Тогда плотность электронов в импульсном пространстве, т.е. распределение по энергии .

С учетом распределения Ферми-Дирака распределение электронов по энергии имеет вид:  (рис.9.3).

Рис. 9.3. Функция распределение  электронов по энергии.

§ 9.1. Плотность термоэмиссионного тока.

Статистический вывод по модели Зоммерфельда.

Испускание электронов нагретыми проводящими материалами называется термоэлектронной эмиссией. Это явление было обнаружено в 1883 г. Эдисоном. Аналитический расчет плотности термоэмиссионного тока можно получить исходя из модели Зоммерфельда о нахождении электронов в металле как в потенциальной яме. При абсолютном нуле температуры энергия электронов металла  не может быть больше энергии Ферми, поэтому ни один электрон не может выйти из металла, а функция распределения обрывается при EF (рис. 9.3). При Т > 0 обрыв сглаживается, появляется «хвост» функции распределения электронов с энергиями больше EF, именно у этих электронов, количество которых экспоненциально растет с ростом температуры поверхности, появляется ненулевая вероятность преодоления потенциального барьера на границе металла. Поэтому термоэмиссионный ток заметен только для нагретых тел. Как известно из электростатики, на электрон вне металла около его поверхности действует сила со стороны наведенного симметрично заряда:  .  Тогда зависимость потенциальной энергии можно выразить соотношением: . Те электроны, которые имеют перпендикулярную к поверхности составляющую энергии больше высоты потенциального барьера, будут уходит на бесконечность, то есть эмитироваться с поверхности (рис.9.4).

Рис. 9.4. Энергетическая диаграмма, поясняющая механизм термоэмиссии.

Таким образом, термоэмиссионный ток обусловлен  «хвостом» функции распределения. При низких температурах таких электронов пренебрежимо мало. С ростом температуры «хвост» удлиняется, термоэмиссия растет.

Подсчитаем количество электронов с импульсами от до  в единице объема:

. Для вычисления этого интеграла перейдем к полярной системе координат:, , тогда:

. Обозначим , , тогда . Умножим числитель и знаменатель дроби под интегралом на : . Введем переменную , тогда:

Плотность термоэмиссионного тока, находим как количество всех электронов, имеющих энергию , где:

При , используем приближение :

     (9.1)

- это формула Ричардсона-Дэшмана, где  - универсальная постоянная Ричардсона.

Термодинамический вывод плотности термоэмиссионного тока.

Зависимость  (9.1) для плотности термоэмиссионного тока можно получить, если рассматривать термоэмиссионный ток как поток электронов в вакуум, преодолевающих потенциальный барьер (рис.9.5): jТ = enevср/4. С учетом распределения Больцмана для электронов  в потенциальном поле:, где -

среднеквадратичная скорость.  С учетом полученной ранее зависимости плотности электронов  от энергии  получим аналогичное выражение: .

§ 9.2. Учет прозрачности барьера и температурной зависимости работы выхода.

Необходимо учесть прозрачность барьера  и температурную зависимость работы выхода. При изменении температуры, вследствие изменения концентрации электронов  меняется . Это можно учесть, введя температурный коэффициент работы выхода , тогда .  Как известно, работа выхода может увеличиваться или уменьшаться с ростом температуры в зависимости от металла. При расширении металла уменьшается плотность зарядов, обуславливающих скачок потенциала на границе, поэтому с ростом температуры уменьшается глубина потенциальной ямы и понижается уровень Ферми в металле. Если с ростом температуры уровень Ферми падает быстрее, чем глубина потенциальной ямы, то работа выхода будет увеличиваться. Если уровень Ферми понижается медленнее, то работы выхода уменьшается. Поэтому коэффициент  для различных материалов может быть как больше, так и меньше нуля и имеет значения . С учетом этого формула для плотности термоэмиссионного тока примет вид:

,       (9.2)

где  - постоянная Ричардсона, которая, так же как работа выхода, определяется для каждого материала экспериментально и приводится в таблицах специализированной литературы по эмиссионной электронике.

§ 9.3. Зависимость работы выхода от внешнего электрического поля (эффект Шоттки).

 В присутствии внешнего электрического поля меняется форма потенциального барьера (рис.9.6), который теперь описывается в виде: .

Найдем положение максимума: ,    ;

Значение потенциала в максимуме:

,

Следовательно, изменение работы выхода:  ,

. С учетом этого плотность термоэмиссионного тока  при наличии электрического поля:

    .         (9.3)

Этот ток в присутствии внешнего сильного ускоряющего электрического поля целиком будет приходить на анод . Прологарифмируем это соотношение: . Таким образом , где  - ускоряющее напряжение на аноде. При слабом внешнем ускоряющем электрическом поле в режиме ограничения тока объемным зарядом плотность тока на анод определяется законом «3/2»: . При наличии сильного электрического поля объемный заряд ликвидируется и , где (рис. 9.7).

Нелинейность и периодичность экспериментальной зависимости  при больших напряжениях, т.е. больших , связана с тем, что ширина потенциального барьера уменьшается с увеличением , отражение электронных волн за счет интерференции отражающихся от двух плоскостей волн имеет периодическую

зависимость от толщины барьера.

§ 9.4. Распределение термоэлектронов по энергиям.  Средняя энергия термоэлектронов.

Число электронов в шаровом слое импульсного пространства от до :

, так как

термоэлектроны – это электроны, которые имеют импульсы, удовлетворяющие условию:

, следовательно: , поэтому второе слагаемое в знаменателе много больше единицы. Термоэлектроны (быстрые электроны) и в металле имеют максвелловское распределение. Изменится ли оно после прохождения барьера ? Проверить это нужно только для составляющей энергии вдоль оси , в направлении которой происходит преодоление  потенциального барьера. Пусть  - скорость термоэлектрона в вакууме. Тогда:

  ,т.е. , где . Число электронов, имеющих энергию от  до  (импульс от до ):

.

Учтем, что , тогда ,    где . Следовательно, функция распределения электронов в вакууме по составляющей кинетической энергии, обусловленной движением перпендикулярно плоскости катода:

. Средняя энергия движения электронов в перпендикулярном направлении к плоскости катода:

- это модифицированное распределение Максвелла (рис.9.8). Для компонент энергии  и  распределение Масквелла:

Тогда полная средняя энергия термоэлектронов, с учетом , будет равна: .

§ 9.5. Экспериментальное измерение распределения термоэлектронов по энергиям.

Метод задерживающего поля.

Возможна достаточно простая экспериментальная проверка распределение электронов по энергиям методом задерживающего поля. Для этого нужно приложить не ускоряющее электроны электрическое поле, а тормозящее (рис.9.9). В этом случае

до анода дойдут только те электроны, скорость  которых удовлетворяет условию:.

Тогда полный ток на анод площади  

.

.

Линейная зависимость  служит экспериментальным доказательством максвелловского распределения термоэлектронов.

§ 9.6. Экспериментальные методы определения термоэлектронных характеристик.

Метод прямой Ричардсона.

Если  для некоторого материала катода измерить для различных температур величины плотностей тока, то можно построить график зависимости  как функцию

от  (рис.9.10). Графиком этой зависимости, согласно (9.2), будет являться прямая, так как , тангенс угла наклона прямой равен . Прямая отсекает на оси абсцисс значение .

Калориметрический метод.

При уходе с поверхности один электрон уносит из металла энергию .

Полная энергия, уносимая электронами: . Если на анод подано запирающее напряжение, то электроны ничего не уносят и потери мощности на омический нагрев идут на излучение. При : , где - сопротивление катода, - площадь катода, - коэффициент серости, - константа Стефана-Больцмана. При 0 энергия, выделяющаяся в катоде, расходуется не только на тепловое излучение, но и на термоэмиссию. Чтобы сохранить температуру  катода потребуется увеличить ток: . Т.е. при 0 тепловой баланс имеет вид , или     .

 Считая, что , получаем:

, т.е. . Таким образом, по изменению тока для сохранения заданной температуры определяем работу выхода. В отличие от метода прямых Ричардсона, в котором предполагается линейная зависимость работы выхода от температуры, определяемая калориметрическим методом работа выхода не зависит от  характера ее температурной зависимости .

Метод контактной разности потенциалов.

Для определения работы выхода некоторого металла измеряется контактная разность потенциалов между данным металлом и металлом, работа выхода которого известна. На границе контакта двух различным материалов (граница А на рис.9.11), возникает внутренняя  контактная разность потенциалов, равная разности уровней Ферми, препятствующая потоку электронов из металла с их большей концентрацией (в котором выше уровень Ферми) в металл с их меньшей концентрацией. Между границами соприкосновения металла с вакуумом (границы В и С на рис.9.11) устанавливается внешняя контактная разность потенциалов Таким образом, без учета прозрачности барьера и того, что работа выхода зависит от температуры, контактная разность потенциалов равна разности работ выхода разных металлов, деленная на заряд электрона. С учетом прозрачности барьера и температурной зависимости работы выхода  контактная

разность потенциалов равна , где  – постоянные Ричардсона. Таким образом, если известна работы выхода одного материала, и постоянные Ричардсона для обоих материалов, можно найти работу выхода другого металла, если измерить их контактную разность потенциалов. Для измерения контактной разности потенциалов можно использовать метод смещения вольтамперных характеристик (ВАХ). В случае, если катод и анод изготовлена из одного материала  (сплошная линия  ВАХ на рис.9.12.). В случае разных материалов

к внешней разности потенциалов  добавляется () или вычитается () контактная разность потенциалов . В результате по смещению ВАХ определяется .

Рис.9.2. Сфера Ферми в импульсном пространстве.

Рис.9.1. Функция распределения Ферми-Дирака

0

Зона проводимости

- высота барьера

Термоэлектроны

Рис.9.5. Потенциальный барьер для термоэлектронов.

Рис. 9.6. Форма потенциального барьера во внешнем поле.

Рис.9.8. «Модифицированное» распределение Масквелла.

Рис.8 7. Зависимость плотности тока на анод от ускоряющего напряжения.

0

K

А

-

Зона

вместимости

0

А

К

R

А

В

С

1

2

Рис.9.12. Определение контактной разности потенциалов методом смещения вольтамперных характеристик.

А

Рис.9.11. Определение работы выхода по контактной разности потенциалов.

Рис.9.10. Определение работы выхода калориметрическим методом.

Рис.9.10. Определение термоэлектронных характеристик методом прямой Ричардсона.

Рис.9.9. Определение энергетического распределения термоэлектронов методом задерживающего поля.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

82300. Противоречивость хода перестройки в Казахстане 30.94 KB
  Черненко Генеральным секретарем КПСС становится М. В преддверии поворотного ХХVII съезда КПСС в период его практической подготовки 15 января 1986 г. было опубликовано Заявление Генерального секретаря ЦК КПСС в котором была выдвинута конкретная рассчитанная на точно определенный срок до конца нынешнего столетия программа мероприятий направленных на полную и повсеместную ликвидацию ядерного и других видов оружия массового поражения. ХХVII съезде КПСС была принята новая философия внешней политики Советского Союза.
82301. Причины гололда 1931-1932 годов и его последствия. Письмо «пятерых» 30.48 KB
  В ходе проведения политики раскулачивания более 60 тысяч хозяйств были объявлены байскими и их имущество подлежало конфискации; более 40 тысяч было раскулачено а остальные скрылись бросив свое имущество. В 1929 году привлечено к ответственности 56 498 крестьян из них более 34 тысячи были осуждены. Тургайские перегибщики объявили лозунг Перегибов не допускать – парнокопытных не оставлять здесь из миллионного поголовья...
82302. Декабрьские события 1986 г. причины и следствия 28.12 KB
  Однако в дальнейшем оказалось, что руководство республики не способно реагировать даже на поверхностные изменения в политике, и поэтому ЦК КПСС принял решение сменить Д.А. Кунаева на кадровика новой волны Г.В. Колбина. Результатом этого стали декабрьские 1986 года события в Алма-Ате.
82303. Курс на индустриализацию и ее особенности в Казахстане 33.01 KB
  В экономике Казахстана преобладало сельское хозяйство на которое приходилось 844 всей валовой продукции 90 населения проживало в сельской местности. В начале индустриализации Казахстана основное внимание было сосредоточено на комплексном восстановлении наиболее крупных и важных для того времени объектов тяжелой промышленности. В 19261939 годах население Казахстана увеличилось на 1 1335 тысяч человек появились новые города возросла численность городского населения в 24 раза. В годы индустриализации практиковалось шефство над...
82304. Процесс демократизации в Казахстане. Образование партий и движений в 80-е-90-е годы 31.19 KB
  Существовавшая ранее советская система государственного управления была полностью демонтирована коммунистическая партия перестала быть монополистом на политическом поле страны. Именно в это время начала оформляться Социальнодемократическая партия и Гражданское демократическое движение Азат. Сама Компартия к этому времени перестала быть единой. Это были партии Народный Конгресс Казахстана и Социалистическая партия Казахстана.
82305. Насильственная коллективизация сельского хозяйства и ее последствия в Казахстане 29.74 KB
  Советское правительство решило изыскать средства для индустриализации путем перекачки их из сельского хозяйства в промышленность. Советское правительство решило изыскать средства для индустриализации путем перекачки их из сельского хозяйства в промышленность. С позиции Голощекина Казахстан являлся в первую очередь аграрным регионом поэтому первоочередная задача состояла в развитии сельского хозяйства и мелкой обрабатывающей промышленности но никак не крупной.
82306. Провозглашение Независимости Республики Казахстан. Государственные символы РК 29.88 KB
  Принятие 16 декабря 1991 года Конституционного Закона РК стало Днем независимости Казахстана и обретение республикой самостоятельности. Большинство жителей Казахстана поддержало кандидатуру Н. определил Казахстан как независимое правовое демократическое государство.
82307. Политические процессы в Казахстане в 30-е годы ХХ века 29.98 KB
  Были репрессированы и физически уничтожены основатели казахской литературы – С. Подверглись репрессиям основатель казахской лингвистики А. Жубанов основатель казахской исторической школы С. представителей казахской национальной интеллигенции.
82308. Культурное строительство Казахстана в конце 80-х – нач. 90-х годов 31.27 KB
  Образование в Казахстане в 80-90-е гг. ХХ века формировалось в основном на принципах, заложенных в 30-е годы: общественный характер, бесплатность, плановость. Достижениями являлись: высокий уровень грамотности: по итогам переписи...