19242

АДИАБАТИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ ДЛЯ ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

Лекция

Физика

Лекция 5 Адиабатические инварианты для движения частиц в магнитном поле Инвариантность магнитного момента частицы во времени инвариантность частицы в постоянном во времени и неоднородном в пространстве магнитном пол инвариантность величины vl ...

Русский

2013-07-11

967.5 KB

24 чел.

Лекция 5

Адиабатические инварианты для движения частиц в магнитном поле

Инвариантность магнитного момента частицы во времени, инвариантность частицы в постоянном во времени и неоднородном в пространстве магнитном пол, инвариантность величины vl

Как известно из механики, любая механическая система, совершающая финитное движение, например, математический маятник или груз, подвешенный на пружинке, имеет траекторию, занимающую в фазовом пространстве ограниченную область (в простейшем случае одномерного движения это плоскость обобщенного импульса и обобщенной координаты, рис.5.1). Если энергия этой системы сохраняется, то траектория, отвечающая заданной энергии W, является замкнутой. Охватываемая этой траекторией площадь, очевидно, является точным интегралом движения. Существенно, что приближенное сохранение этой площади имеет место и том случае, когда энергия системы меняется со временем под действием какого-либо возмущения (например, слабого трения, или изменения длины маятника и тому подобное), но это изменение медленное по сравнению с периодом невозмущенного движения. Теперь эта площадь уже не является точным интегралом движения, и сохранение имеет место лишь в среднем по периоду невозмущенного движения. В этом случае говорят о сохранении адиабатического инварианта. По размерности эта площадь пропорциональна произведению средней за период энергии частицы на величину этого периода:

.    

Поэтому, если при изменении какого-либо параметра системы период движения уменьшается (например, для математического маятника период, как известно, определяется соотношением , и период уменьшается с уменьшением длины маятника), то её энергия в среднем возрастает.

Принцип адиабатической инвариантности находит важные приложения к проблеме удержания плазмы по необходимости траектории частиц должны быть финитными. Рассмотрим кратко некоторые приложения этого принципа для случая движения частиц в магнитном поле.

Инвариантность магнитного момента частицы во времени

Если заряженная частица движется в однородном, но меняющемся во времени магнитном поле, то ее ларморовский радиус и перпендикулярная скорость будут меняться. Это происходит потому, что индуцированное меняющимся магнитным полем электрическое будет ускорять (или замедлять) частицу.

Выберем цилиндрическую систему координат так, чтобы вектор напряженности магнитного поля был параллелен оси z этой системы (см. рис.5.2), тогда , где  - соответствующий единичный вектор.

Из закона индукции

,   

находим

.         

Подставляя теперь эти поля в оставшиеся уравнения Максвелла, обнаруживаем, что

        

Поэтому уравнения Максвелла удовлетворяются тождественно при выборе линейной зависимости напряженности магнитного поля от времени, так что:

,       

где  - постоянная величина (скорость изменения поля), которая может быть как положительной (поле растет), так и отрицательной (поле убывает);  - начальное значение поля.

Полученное решение уравнений Максвелла точное, но несколько искусственное: трудно представить себе ситуацию, когда магнитное поле нарастает сразу во всем пространстве. На практике часто используют приближенное решение, считая, что порождающие магнитное поле токи меняются настолько медленно, что токами смещения (и, тем самым, волновым процессом установления поля) можно пренебречь. Тогда

формулы

,       

приближенно описывают распределение полей при произвольной зависимости В(t), медленной на масштабах времени t~L/c, где L - размер области, занимаемой полем.

Для иллюстрации сохранения   магнитного момента или поперечного адиабатического инварианта при движении частицы в переменном магнитном поле ограничимся грубым приближением, считая, что радиальная скорость тождественно равна нулю и радиус орбиты постоянный. В этом приближении уравнения движения сводятся к виду

,         

и, как не трудно проверить, дают соотношение

.         

Это означает, что отношение

         

сохраняется. Переобозначив v v, получим окончательно

.         

Грубое приближение, использованное выше, вовсе не обязательно. Детальные расчеты показывают сохранение в общем случае в условиях применимости адиабатического приближения. Для иллюстрации «качества» сохранения  на рис.5.3 приведены результаты точных численных расчетов этого параметра для частного вида осциллирующего поля.

Инвариантность частицы в постоянном во времени и неоднородном в пространстве магнитном поле

Когда поле В постоянное во времени, но медленно меняется в пространстве, то при переходе частицы из слабого поля в более сильное на нее действует сила (рис.5.4.):

;   (5.1)

Здесь

.    (5.2)

После преобразования вдоль траектории получим

.   (5.3)

Так как полная энергия при движении в магнитном поле сохраняется

,

то получаем

;       (5.4)

что возможно, только если

 =const.          (5.5)

Неточность, допущенная при выводе, в данном случае связана с тем, что изменения В в перпендикулярном направлении не учтены. Это допустимо лишь при медленном изменении. Обобщая уравнения (5.1) и (5.5), можно сказать, что магнитный момент представляет собой адиабатический инвариант движения заряженной частицы в медленно изменяющемся магнитном поле.

Отсюда можно сделать несколько интересных выводов. Из вполне очевидных алгебраических выкладок

    

следует, что магнитный поток, пронизывающий ларморовский кружок, адиабатически постоянен. Это обстоятельство приводит к выводу, что при изменении магнитного поля ларморовский радиус изменяется по закону:

,         

то есть значительно медленнее, чем в случае постоянной поперечной скорости.

Аналогично получим:

,        

то есть момент количества движения частицы также остается адиабатически постоянным.

Инвариантность величины vl

Рассмотрим движение частицы в ящике с упругими стенками (рис.5.5). Пусть скорость частицы, направленная вдоль дна ящика, равна v, а одна из стенок ящика движется со скоростью U<<v. Для заряженной частицы «стенкой ящика» может быть область усиленного магнитного поля, от которой частица отражается.

При упругом отражении от движущейся стенки частица изменит скорость на величину v = 2U (считаем массу стенки бесконечной). Тогда изменение скорости частицы за одно полное колебание

,   

будет равно

.    

Так как , то получаем

    

или

.          (5.6)

Сближающиеся стенки увеличивают скорость частицы.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

74132. Внутренняя архитектура операционных систем реального времени 47.63 KB
  Определяется как набор модулей взаимодействующих между собой внутри ядра системы и предоставляющих прикладному программному обеспечению входные интерфейсы для обращений к аппаратуре. Переход из пользовательского режима в режим ядра осуществляется через системные вызовы интерфейс ядра операционной системы. Альтернативой является построение операционной системы на основе микроядра рис. Тогда как функции операционной системы более высокого уровня выполняют специализированные компоненты серверы работающие в пользовательском режиме.
74133. АСКУЭ Энергия+ 17.54 KB
  Комплекс с целью привязки всех данных к точному астрономическому времени оснащён системой обеспечения единого времени. Программируемое управление АСКУЭ Энергия обеспечивается центром сбора и обработки данных ЦСОД в составе: специализированного вычислительного комплекса СВК системы обеспечения единого времени СЕВ; технических средств организации каналов связи выделенных и или коммутируемых. Основные характеристики Основные характеристики определяющие предельные возможности базового программного обеспечения БПО: Характеристика...
74134. Формы осуществления исполнительной власти 15.84 KB
  Различают следующие формы исполнительной власти: правовые связаны с изданием правовых актов которые влекут изменения или превращения административных правоотношений. Правовые формы осуществления исполнительной власти: правотворческая и правоприменительная деятельность. Правоприменительная деятельность органов и должностных лиц исполнительной власти разрешение вопросов управления на основе собственных правовых норм т.
74136. Административно-правовые нормы: понятие, виды, особенности 17.11 KB
  Структура административно-правовой нормы: гипотеза указывает на условия применения того или иного правила поведения конкретные фактические условия применения нормы права; диспозиция основная часть нормы в которой определяется само правило поведения предписывающего запрещающего или дозволяющего характера; санкция всегда закрепляется в нормах предусматривающих конкретные составы административных правонарушений.
74137. Понятие механизма административно-правового регулирования и его элементов 27.72 KB
  Факты применения норм административного прав издаваемые должностными лицами органов исполнительной власти при реализации властных полномочий в том числе и индивидуальные акты; административно-правовые отношения. Каждый элемент механизма административно-правового регулирования выполняет специфическую роль в регулировании поведения людей и возникающих на его основе...
74138. Структура административно-правовой нормы 23.28 KB
  Гипотеза содержит указание на фактические условия реализации нормы т. Гипотеза либо выражается в форме гипотетического суждения либо не формулируется вообще но может быть выведена из содержания нормы путем логического анализа последней. Санкция как элемент административноправовой нормы содержит указание на меры административного воздействия применяемые к правонарушителю.
74139. Административно-правовая норма 22.87 KB
  Помимо общественных отношений в сфере исполнительной деятельности государства нормы административного права регулируют отношения возникающие в связи с разрешением органами представительной власти суда прокуратуры и самоуправления муниципальными вопросов государственной и муниципальной службы а также внутриорганизационных вопросов управленческого характера. Административноправовые нормы регулируют также общественные отношения возникающие в связи с осуществлением общественными и иными негосударственными объединениями переданных в их...
74140. Источники (формы) административного права 16.24 KB
  Виды юридических источников административного права: нормативный правовой акт вид юридического акта принятый компетентными субъектами правотворчества и содержащий нормы административного права; административно-правовой договор нормативного содержания двустороннее или многостороннее соглашение между субъектами правотворчества содержащее нормы административного права; административный прецедент решение по конкретному управленческому делу которое становится обязательным для всех аналогичных дел возникающих в будущем; правовой обычай...