19264

Метод дискретных ординат, SN-метод. Понятие квадратуры. Квадратуры Гаусса

Лекция

Энергетика

Лекция 12. Метод дискретных ординат SNметод. Понятие квадратуры. Квадратуры Гаусса. 12.1. Особенности методов дискретных ординат. Методы дискретных ординат и связанные с ними методы получения численных решений уравнения переноса широко используются в реакторных р...

Русский

2013-07-11

48.5 KB

35 чел.

Лекция 12.

«Метод дискретных ординат, SN-метод. Понятие квадратуры. Квадратуры Гаусса.»

12.1. Особенности методов дискретных ординат.

Методы дискретных ординат и связанные с ними методы получения численных решений уравнения переноса широко используются в реакторных расчетах и расчетах радиационных защит. В основе этих методов лежит то, что в отличие от разложения по сферическим гармоникам угловое распределение потока нейтронов оценивается в различных дискретных направлениях. Рассматривая достаточное количество направлений, можно, в принципе, получить решение уравнения переноса с любой желаемой степенью точности.

При развитии метода дискретных ординат возникают следующие задачи:

1) выбор конкретных дискретных направлений;

2) аппроксимация интегралов по угловой переменной;

3) аппроксимация производных от потока нейтронов по компонентам угла и, появляющихся в уравнении переноса в криволинейных геометриях.

Можно констатировать, что не существует их единственных решений. В методе дискретных ординат выбор направлений и других параметров, как и выбор энергетических групп и пространственной сетки, неоднозначен и должен основываться на физическом понимании задачи и опыте решения задач такого типа.

12.2. SN-метод. Понятие квадратуры.

Рассмотрим в плоской геометрии групповое уравнение переноса, опустив индекс группы, для набора дискретных направлений {j}. Если интеграл потока в уравнении оценивать численно с помощью квадратурной формулы, то можно получить систему связанных дифференциальных уравнений первого порядка относительно Ф(х, j).

Интеграл потока:    Ф(х, ) =  j Ф(х, j),                                      (1)

где {j}  набор дискретных направлений, {j}  набор соответствующих им квадратурных весов (или весовых множителей),

Уравнение переноса в методе дискретных ординат имеет вид:

+ (х, E) =  ( х, j j) j Ф(х, j) + Q(х, j)

12.3. Граничные условия в SN-методе.

Эту систему связанных дифференциальных уравнений можно решить конечно-разностным методом, после того как определены граничные условия и характер задачи:

условие облучения на границе 0 с заданным источником нейтронов:

Ф(0, j) = Ф0(j);    если j = 1,2,…, J/2

нулевое условие на границе d с вакуумом:

Ф(d, j) = 0;    если j = J/2+1,…, J.

12.4. Вычисление квадратур.

Точность, которая достигается при решении уравнений в методе дискретных ординат для данного J – числа дискретных направлений в большой степени зависит от того, насколько хорошо сделан выбор квадратур. Обычно считается, что квадратуры должны удовлетворять следующим разумным требованиям:  

1) так как интеграл (1) всегда положителен, то требуется, чтобы j > 0 для всех j;

2) формулировка задачи должна быть симметричной относительно зеркального отражения. Т.е. решение не должно зависеть от того, какая сторона плоскости рассматривается как правая, а какая как левая. Поэтому предполагается симметричный выбор направлений и весовых множителей относительно  = 0:

j = J+1-j ,  j = J+1-j   для всех j;

3) если Ф(х, ) представляет собой полином низкого порядка по , то квадратурная формула (1) должна давать точное значение интеграла. Это означает:

j nj = .

Для нечетных n 3) с учетом 1) и 2) выполняется всегда. Записывая 3) для четных n с учетом 1) и 2) получаем значения квадратур.

12.5. Квадратуры Гаусса.

Система гауссовых квадратур широко используются в методах численного интегрирования. Такая система J-ro порядка, т. е. имеющая J значений {j} и J значений {j}, является единственной системой, обладающей тем свойством, что формула (1) точна при интегрировании полинома порядка 2 J –1.

Константы для формулы гауссовых квадратур:

J = 2

1 = 2 = 1,000

1 = – 2 = 0,57735

J = 4

1 = 4 = 0,65215

2 = 3 = 0,34785

1 = – 4 = 0,33998

2 = – 3 = 0,86114

J = 6

1 = 6 = 0,46791

2 = 5 = 0,36076

3 = 4 = 0,17132

1 = – 6 = 0,23862

2 = – 5 = 0,66121

3 = – 4 = 0,93247

PAGE  2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

65152. Великий западный поход чингизидов на Булгар, Русь и Центральную Европу 294 KB
  Этот поход начался с разгрома Булгара и владений приволжско-уральских народов: саксинов, мордвы, суваров, вотяков и других. Принятие решения о нем известно в передаче нескольких источников, приведем текст Джувейни...
65153. К ВОПРОСУ О ПЕРВОНАЧАЛЬНОЙ ЧИСЛЕННОСТИ МОНГОЛОВ В УЛУСЕ ДЖУЧИ 78.5 KB
  Обычно ссылаются на 4 тысячи монголов о которых сообщает Рашид ад Дин как о выделенных Чингисханом войсках для улуса Джучи. Действительно у Рашид ад Дина есть раскладка монгольских тысяч которые Чингисхан согласно трактовке...
65154. Материалы источников по битве при Калке 106 KB
  Татары же повернули назад и пошли в свои вежи. Дошли вести в стан что пришли татары посмотреть русские ладьи; услышав же об этом Даниил Романович и сев на коня погнался посмотреть на невиданную рать; и бывшие с ним конники и многие другие князья вместе с ним помчались смотреть невиданное войско.
65155. ОБЫЧАЙ И ЗАКОН В ПРАВЕ НАРОДОВ ЦЕНТРАЛЬНОЙ АЗИИ ПОСЛЕ ИМПЕРИИ ЧИНГИСХАНА 23 KB
  Исследователи права центрально-азиатских кочевников активно ведут дискуссии являлось ли это право обычным или позитивным. Право изучалось в следующих направлениях: практическое для последующей интеграции в иную правовую систему сбор сведений о казахском праве русскими чиновниками...
65156. Ордынские корни российских органов исполнительной власти 43 KB
  Ордынские корни российских органов исполнительной власти Проблемы истории государственного управления : государственный аппарат и реформы в России к 200 летию министерской системы управления в России...
65157. Основные этапы эволюции казахского суда биев (XV – начало ХХ вв.) 133 KB
  Казахский суд биев несомненно являет собой яркий пример института осуществляющего правосудие в системе традиционного права. При этом весьма интересно отметить что в большинстве случаев каждый новый этап развития суда биев как правового и процессуального института...
65158. Особенности формирования и эволюции правовой системы Улуса Джучи 146 KB
  Большинство историков использовали источники по истории права Улуса Джучи при изучении его политической экономической и социальной истории поэтому чаще всего ограничивались просто упоминанием факта их существования или цитатами из них...
65159. ПРАВОВОЕ НАСЛЕДИЕ МОНГОЛЬСКОЙ ИМПЕРИИ В ГОСУДАРСТВЕ ТИМУРИДОВ (ПО ДАННЫМ ЛЕТОПИСЕЙ, НУМИЗМАТИЧЕСКОГО И АКТОВОГО МАТЕРИАЛА) 64.5 KB
  Принято считать что с именем Тимура и его потомков связано обращение в ислам Чагатаева улуса. Подобные вывод напрашивается сам собой на основании летописных источников авторы которых являлись придворными летописцами самих Тимуридов и всячески старались представить их ревнителями веры прославить их благочестие.
65160. Правовое положение Улуса Джучи в Монгольской империи 1224-1269 годов 99.5 KB
  Улус Джучи по русским летописям более известный под названием Золотая Орда изначально был создан как составная часть Великой Монгольской империи. Но не прошло и полувека как Улус Джучи стал полностью независимым государством.