19266

Организация итерационного процесса. Проблемы сходимости численных схем. Улучшенные итерационные методы. Внутренние и внешние итерации

Лекция

Энергетика

Лекция 14. Организация итерационного процесса. Проблемы сходимости численных схем. Улучшенные итерационные методы. Внутренние и внешние итерации. 14.1. Прямой метод решения уравнений в матричной форме. Систему конечноразностных уравнений записанную в матричной

Русский

2013-07-11

89.5 KB

12 чел.

Лекция 14.

«Организация итерационного процесса. Проблемы сходимости численных схем. Улучшенные итерационные методы. Внутренние и внешние итерации.»

14.1. Прямой метод решения уравнений в матричной форме.

Систему конечно-разностных уравнений, записанную в матричной форме, можно решить. Для этого необходимо ввести удобный порядок членов , так чтобы прямоугольную систему {k, т, g} можно было представить вектором . Очевидный выбор порядка членов состоит в том, что нумерация начинается с нижнего левого угла и производится по рядам. Все граничные точки исключаются с помощью граничных условий, например: (k, т, g) = 0, если k=0 или К. Для описания компонент вектора  используется единственный индекс:  j = 1,2, … , - l) М G.

Определив порядок компонент вектора , обозначив  =  +  –  – , рассмотрим уравнение в матричной форме в виде:

= .

Диагональные компоненты матрицы  положительны, в то время как недиагональные члены - отрицательны или равны нулю. Сумма недиагональных элементов в любом данном ряду меньше, чем диагональный элемент. Таким образом, матрица  является неприводимой диагонально преобладающей. Следовательно, для  существует обратная матрица , и решение уравнения можно записать в виде:

=

14.2. Организация итерационного процесса.

Прямые методы обращения матрицы  весьма громоздки, поэтому используют итерационные методы решения уравнения. Чтобы понять основные принципы, запишем матрицу  в виде суммы трех матриц:

=

где  – диагональная .матрица (отличные от нуля элементы находятся только на основной диагонали),  – верхняя треугольная матрица (отличные от нуля элементы находятся только выше основной диагонали) и  – нижняя треугольная матрица (отличные от нуля элементы находятся ниже основной диагонали).

Поскольку матрица  является диагонально преобладающей, то элементы матрицы , вообще говоря, имеют большую величину, чем элементы матриц  и . Это дает возможность перенести меньшие по величине недиагональные члены в правую часть уравнения. Тогда получаем:

= ( + ) + .

умножить обе части уравнения на  – матрицу, обратную , такую, что произведение этих матриц равно единичной матрице 1. Так как  представляет собой диагональную матрицу, то каждый элемент матрицы  равен обратной величине соответствующего элемента матрицы . Итерационный процесс можно определить следующим образом:

=  ( + ) + .

14.3. Проблемы сходимости численных схем.

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока разность между потоками  и  на двух последующих итерациях не будет меньше заданного критерия. В зависимости от физических особенностей решаемой задачи и организованной итерационной схемы может возникнуть проблема сходимости или скорости сходимости итерационного процесса.

14.4. Улучшенные итерационные методы.

Можно сделать основные замечания о некоторых направлениях совершенствования итерационных методов. Предположим, что итерационная схема используется для получения вектора потока . При расчете любой компоненты  в правой части уравнения будут использоваться только значения потока из последней итерации, т. е. . Может оказаться, что после того, как рассчитана новая компонента , более предпочтительно использовать именно ее, а не  для определения последующих компонент :

( – ) =  + .

Так как матрица ( – ) треугольная, включая основную диагональ, то можно легко найти обратную ей или решить уравнение относительно .

14.5. Внутренние и внешние итерации.

Организация итерационного процесса, включающая внутренние и внешние итерации, основана на идее вычисления компонент  на базе только вычисленных компонент  и  на внутренних итерациях. На внешних итерациях производится пересчет источника с учетом всех вычисленных . Часто на внутренних итерациях решается уравнение с фиксированным источником деления, а полученное решение в итерациях по рассеянию используется для пересчета источника деления.

PAGE  2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

70545. Этапы развития технических средств и информационных ресурсов 17.31 KB
  Критерии информационной культуры человека: 1 умение адекватно формулировать потребность в информации; 2 эффективно осуществлять поиск нужной информации; 3 перерабатывать информацию и создавать качественно новую; 4 наличие коммуникативных навыков Развитие мировых информационных...
70546. ИЗМЕРЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ 19.22 KB
  В содержательном подходе возможна качественная оценка информации: новая, срочная, важная и т.д. информативность сообщения характеризуется содержащейся в нем полезной информацией - той частью сообщения, которая снимает полностью или уменьшает неопределенность какой-либо ситуации.
70547. ПРЕДМЕТ І МЕТОД ІСТОРІЇ ЕКОНОМІКИ ТА ЕКОНОМІЧНОЇ ДУМКИ. ОСОБЛИВОСТІ ГОСПОДАРСЬКОГО РОЗВИТКУ ТА ЕКОНОМІЧНОЇ ДУМКИ СТАРОДАВНІХ ЦИВІЛІЗАЦІЙ 1.22 MB
  На відміну від східного рабська праця стала основною продуктивною силою суспільного виробництва. Досягнення промислового виробництва практично не були успадковані варварськими народами. в Європі виникла нова вища форма виробництва мануфактура велика робітнича майстерня заснована на ручній...
70548. Політологія: Конспект лекцій 309.19 KB
  Термін «політика» - неоднозначний, його трактували по-різному: як певний вид соціального управління, розподілу благ, спосіб завоювання та реалізації влади, форму організації суспільства і державних інститутів, особливий вид відносин індивідів і соціальних груп та ін.
70549. КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ЭКОНОМИКЕ 1.33 MB
  Предметом экономической теории является экономическое поведение людей в процессе производства, распределения, обмена и потребления материальных благ с целью получения максимального дохода в условиях ограниченных ресурсов и безграничного потребления.
70550. КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ: БУХГАЛТЕРСЬКИЙ ОБЛІК 207.64 KB
  Оперативно-технічний облік являє собою збір поточної інформації про хід господарської діяльності підприємства, а також контроль за здійсненням окремих операцій безпосередньо в період їх виконання. Дані про хід виконання тих чи інших робіт в оперативно-технічному обліку...
70551. Педагогика и психология: Лекции 746.5 KB
  Еще древний мудрец сказал что нет для человека интереснее объекта чем другой человек. Материалистический подход к пониманию психики был оттеснен идеалистической философией которая рассматривала психику человека как проявление его духовной жизни считая что она не подчиняется...
70552. Программирование: Конспект лекций 7.46 MB
  Обычно BASIC ассоциируется с простым в освоении и использовании средством программирования. Действительно, этот язык долго использовался в качестве учебного языка при изучении основ программирования.
70553. ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 1.46 MB
  Физика твердого тела сводится, в сущности, к установлению связи между свойствами индивидуальных атомов и молекул и свойствами, обнаруживаемыми при объединении атомов или молекул в гигантские ассоциации в виде регулярно упорядоченных систем - кристаллов.