19266

Организация итерационного процесса. Проблемы сходимости численных схем. Улучшенные итерационные методы. Внутренние и внешние итерации

Лекция

Энергетика

Лекция 14. Организация итерационного процесса. Проблемы сходимости численных схем. Улучшенные итерационные методы. Внутренние и внешние итерации. 14.1. Прямой метод решения уравнений в матричной форме. Систему конечноразностных уравнений записанную в матричной

Русский

2013-07-11

89.5 KB

11 чел.

Лекция 14.

«Организация итерационного процесса. Проблемы сходимости численных схем. Улучшенные итерационные методы. Внутренние и внешние итерации.»

14.1. Прямой метод решения уравнений в матричной форме.

Систему конечно-разностных уравнений, записанную в матричной форме, можно решить. Для этого необходимо ввести удобный порядок членов , так чтобы прямоугольную систему {k, т, g} можно было представить вектором . Очевидный выбор порядка членов состоит в том, что нумерация начинается с нижнего левого угла и производится по рядам. Все граничные точки исключаются с помощью граничных условий, например: (k, т, g) = 0, если k=0 или К. Для описания компонент вектора  используется единственный индекс:  j = 1,2, … , - l) М G.

Определив порядок компонент вектора , обозначив  =  +  –  – , рассмотрим уравнение в матричной форме в виде:

= .

Диагональные компоненты матрицы  положительны, в то время как недиагональные члены - отрицательны или равны нулю. Сумма недиагональных элементов в любом данном ряду меньше, чем диагональный элемент. Таким образом, матрица  является неприводимой диагонально преобладающей. Следовательно, для  существует обратная матрица , и решение уравнения можно записать в виде:

=

14.2. Организация итерационного процесса.

Прямые методы обращения матрицы  весьма громоздки, поэтому используют итерационные методы решения уравнения. Чтобы понять основные принципы, запишем матрицу  в виде суммы трех матриц:

=

где  – диагональная .матрица (отличные от нуля элементы находятся только на основной диагонали),  – верхняя треугольная матрица (отличные от нуля элементы находятся только выше основной диагонали) и  – нижняя треугольная матрица (отличные от нуля элементы находятся ниже основной диагонали).

Поскольку матрица  является диагонально преобладающей, то элементы матрицы , вообще говоря, имеют большую величину, чем элементы матриц  и . Это дает возможность перенести меньшие по величине недиагональные члены в правую часть уравнения. Тогда получаем:

= ( + ) + .

умножить обе части уравнения на  – матрицу, обратную , такую, что произведение этих матриц равно единичной матрице 1. Так как  представляет собой диагональную матрицу, то каждый элемент матрицы  равен обратной величине соответствующего элемента матрицы . Итерационный процесс можно определить следующим образом:

=  ( + ) + .

14.3. Проблемы сходимости численных схем.

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока разность между потоками  и  на двух последующих итерациях не будет меньше заданного критерия. В зависимости от физических особенностей решаемой задачи и организованной итерационной схемы может возникнуть проблема сходимости или скорости сходимости итерационного процесса.

14.4. Улучшенные итерационные методы.

Можно сделать основные замечания о некоторых направлениях совершенствования итерационных методов. Предположим, что итерационная схема используется для получения вектора потока . При расчете любой компоненты  в правой части уравнения будут использоваться только значения потока из последней итерации, т. е. . Может оказаться, что после того, как рассчитана новая компонента , более предпочтительно использовать именно ее, а не  для определения последующих компонент :

( – ) =  + .

Так как матрица ( – ) треугольная, включая основную диагональ, то можно легко найти обратную ей или решить уравнение относительно .

14.5. Внутренние и внешние итерации.

Организация итерационного процесса, включающая внутренние и внешние итерации, основана на идее вычисления компонент  на базе только вычисленных компонент  и  на внутренних итерациях. На внешних итерациях производится пересчет источника с учетом всех вычисленных . Часто на внутренних итерациях решается уравнение с фиксированным источником деления, а полученное решение в итерациях по рассеянию используется для пересчета источника деления.

PAGE  2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34505. Искусство этрусков. Архитектура. Отличие этрусского храма от греческого. Скульптура. Роспись гробниц 15.34 KB
  Искусство этрусков. и в которой наиболее интересным и развитым было искусство этрусков. Происхождение и язык этрусков до сих пор полностью не выяснены. Города этрусков были прекрасно укреплены соединялись благоустроенными дорогами и мостами.
34506. Искусство Древнего Рима. Значение, особенности художественной культуры Древнего Рима. Хронология. Отличия римского искусства от греческого. Основные типы римской архитектуры. Римский скульптурный портрет 17.81 KB
  Росписи дома Ливии на Палатине дома на Эсквилине IIго стиля. IIIго стиля в Помпеях. Вместо перспективных архитектурных построений IIго стиля фантастические трельяжи и “канделябры†IIIго стиля. Характерные особенности декоративного стиля I в.
34507. Искусство Византии. Раннехристианское искусство. Античные образы, христианское содержание. Символика. Орнаментика. Период иконоборчества. Связь византийского искусства с религией. Символизм. Трансцендентность. Расцвет византийского искусства в эпоху Маке 19.47 KB
  Мозаики св. Софии мозаики монастыря Дафнии. Немногие дошедшие до нас иконы VI века написанные восковыми красками некоторые из них происходят из Синайского монастыря как например Христос Пантократор хранящийся на Синае Богоматерь с младенцем Мозаики церкви Успения в Никее. Эти утраченные теперь мозаики принадлежали к числу самых замечательных произведений византийской монументальной живописи.
34508. Романское искусство. Искусство эпохи развитого феодализма. Термин «романский». Романская архитектура: ведущая роль, строительные принципы, стилистические черты. Типы церквей 22.24 KB
  С развитием торговли и ремесла в XI XII вв. С XII в. XI XIII века время расцвета монументального искусства как живописи так и скульптуры. В XI XII вв.
34509. Готическое искусство Франции. Термин «готика». Ведущая роль архитектуры. Принципы готической каркасной конструкции, ее элементы. Роль скульптуры. Причины появления витражной живописи 18.95 KB
  Особое внимание уделялось сторожевой башне ратуши беффруа которая была символом независимости республики как городской собор был символом благосостояния граждан коммуны. На площади перед собором происходили диспуты лекции разыгрывались мистерии. Самым большим храмом периода ранней готики был Собор Парижской Богоматери пятинефный храм вмещал до 9000 человек. Раннеготический собор в Лане 1174 1226.
34510. Искусство Проторенессанса. Скульптура. Н. Пизано. Живопись П. Каваллини. Джотто – реформатор итальянской живописи. Принципы творчества Фрески Капеллы дель Арена в Падуе 20.03 KB
  Мозаичный цикл в церкви Санта Мариа ин Трастевере 1291. Фрагмент фрески “Страшный суд†в церкви Санта Чечилиа ин Трастевере 1293. Ассизи Житийный цикл фресок в верхней церкви Сан Франческо посвященных св. Фрески в трансепте верхней церкви св.
34511. Искусство Раннего Возрождения. Формирование новых принципов изобразительного языка. Переплетение ренессансных принципов и средневековых традиций в искусстве ХV в. Мазаччо – основоположник живописи Кватроченто. А. дель Кастаньо. П. дела Франческо. Проблема 21.58 KB
  Стефана 1425 1426 ниш церкви Ор Сан Микеле. Георгий†1415 1417 для ниш церкви Ор Сан Микеле. “Благовещение†алтаря Кавальканти в церкви Санта Кроче 1я пол. Полиптих для церкви кармелиток в Пизе 1426 ныне в различных музеях: готическая экспрессия и ее преодоление.
34512. Высокое Возрождение в Италии. Общая характеристика искусства Высокого Возрождения. Творчество Леонардо да Винчи, Рафаэля Санти, Микельанджело Буанаротти 17.58 KB
  Творчество Леонардо да Винчи Рафаэля Санти Микельанджело Буанаротти. Флорентийскоримские мастера Леонардо да Винчи 1452 1519 ученик Верроккьо универсальный гений. Непродуктивность Леонардоживописца неспособность довести вещь до конца следствия опережающей работы интеллекта. Леонардо в Милане 1482 1499.
34513. Позднее Возрождение в Венеции. Творчество Тициана, Тинторетто, Веронезе 16.52 KB
  1509 Дрезден Картинная галерея “Три философа†ок. “Любовь небесная и земная†1514 Рим галерея Боргезе. Импозантность и демонстрация жизненного амплуа модели в портретах Федериго II Гонзага 1529 Мадрид Прадо и Ипполито Медичи 1533 Флоренция галерея Питти. Работы среднего периода: “Введение во храм†1534 1538 Венеция Академия “Венера Урбинская†1538 Флоренция Уффици “Даная†1544 1546 Неаполь галерея Каподимонте.