19266

Организация итерационного процесса. Проблемы сходимости численных схем. Улучшенные итерационные методы. Внутренние и внешние итерации

Лекция

Энергетика

Лекция 14. Организация итерационного процесса. Проблемы сходимости численных схем. Улучшенные итерационные методы. Внутренние и внешние итерации. 14.1. Прямой метод решения уравнений в матричной форме. Систему конечноразностных уравнений записанную в матричной

Русский

2013-07-11

89.5 KB

11 чел.

Лекция 14.

«Организация итерационного процесса. Проблемы сходимости численных схем. Улучшенные итерационные методы. Внутренние и внешние итерации.»

14.1. Прямой метод решения уравнений в матричной форме.

Систему конечно-разностных уравнений, записанную в матричной форме, можно решить. Для этого необходимо ввести удобный порядок членов , так чтобы прямоугольную систему {k, т, g} можно было представить вектором . Очевидный выбор порядка членов состоит в том, что нумерация начинается с нижнего левого угла и производится по рядам. Все граничные точки исключаются с помощью граничных условий, например: (k, т, g) = 0, если k=0 или К. Для описания компонент вектора  используется единственный индекс:  j = 1,2, … , - l) М G.

Определив порядок компонент вектора , обозначив  =  +  –  – , рассмотрим уравнение в матричной форме в виде:

= .

Диагональные компоненты матрицы  положительны, в то время как недиагональные члены - отрицательны или равны нулю. Сумма недиагональных элементов в любом данном ряду меньше, чем диагональный элемент. Таким образом, матрица  является неприводимой диагонально преобладающей. Следовательно, для  существует обратная матрица , и решение уравнения можно записать в виде:

=

14.2. Организация итерационного процесса.

Прямые методы обращения матрицы  весьма громоздки, поэтому используют итерационные методы решения уравнения. Чтобы понять основные принципы, запишем матрицу  в виде суммы трех матриц:

=

где  – диагональная .матрица (отличные от нуля элементы находятся только на основной диагонали),  – верхняя треугольная матрица (отличные от нуля элементы находятся только выше основной диагонали) и  – нижняя треугольная матрица (отличные от нуля элементы находятся ниже основной диагонали).

Поскольку матрица  является диагонально преобладающей, то элементы матрицы , вообще говоря, имеют большую величину, чем элементы матриц  и . Это дает возможность перенести меньшие по величине недиагональные члены в правую часть уравнения. Тогда получаем:

= ( + ) + .

умножить обе части уравнения на  – матрицу, обратную , такую, что произведение этих матриц равно единичной матрице 1. Так как  представляет собой диагональную матрицу, то каждый элемент матрицы  равен обратной величине соответствующего элемента матрицы . Итерационный процесс можно определить следующим образом:

=  ( + ) + .

14.3. Проблемы сходимости численных схем.

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока разность между потоками  и  на двух последующих итерациях не будет меньше заданного критерия. В зависимости от физических особенностей решаемой задачи и организованной итерационной схемы может возникнуть проблема сходимости или скорости сходимости итерационного процесса.

14.4. Улучшенные итерационные методы.

Можно сделать основные замечания о некоторых направлениях совершенствования итерационных методов. Предположим, что итерационная схема используется для получения вектора потока . При расчете любой компоненты  в правой части уравнения будут использоваться только значения потока из последней итерации, т. е. . Может оказаться, что после того, как рассчитана новая компонента , более предпочтительно использовать именно ее, а не  для определения последующих компонент :

( – ) =  + .

Так как матрица ( – ) треугольная, включая основную диагональ, то можно легко найти обратную ей или решить уравнение относительно .

14.5. Внутренние и внешние итерации.

Организация итерационного процесса, включающая внутренние и внешние итерации, основана на идее вычисления компонент  на базе только вычисленных компонент  и  на внутренних итерациях. На внешних итерациях производится пересчет источника с учетом всех вычисленных . Часто на внутренних итерациях решается уравнение с фиксированным источником деления, а полученное решение в итерациях по рассеянию используется для пересчета источника деления.

PAGE  2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

67715. Разработка лабораторного регламента производства раствора эфедрина гидрохлорида 5 % для иньекций 272.5 KB
  Описание: белые игольчатые кристаллы или белый кристаллический порошок горького вкуса Растворимость: легко растворим в воде, растворим спирте, Хранение: в хорошо укупоренной таре, в защищенном от света месте Стерилизация: раствор эфедрина гидрохлорида стерилизуют текучим паром при 100 С в течение 30 минут.
67716. Влияние целенаправленных изменений в корпоративной культуре коммерческого банка Bankhaus Erbe на effectiveness and productivity его персонала на примере частного случая банка Bankhaus Erbe 1010 KB
  Данная диссертация является исследованием частного случая, в рамках которого ищется ответ на вопрос «позволят ли целенаправленные изменения в системе ценностей корпоративной культуры коммерческого банка “Bankhaus Erbe” повысить эффективность (effectiveness) и производительность (productivity) его персонала (и организации в целом) и добиться поставленных перед банком стратегических целей роста объемов его продаж»...
67717. Метод Эйлера первого порядка точности и Рунге – Кутта четвёртого порядка точности. Визуализация численных методов 222 KB
  Цель и задача данной курсовой работы заключается в том чтобы рассчитать и научиться пользоваться несколькими способами решение дифференциального уравнения, добиться вывода графических изображений в программах используемых для этой работы.
67718. Электростатика проводников 485.5 KB
  Задача электростатики проводников сводится к определению электрического поля в пустоте вне проводников и к определению распределения зарядов по поверхности проводников. В точках не слишком близких к поверхности тела среднее поле E в пустоте фактически совпадает...
67719. Расчет передающего устройства магистральной радиосвязи для передачи большого количества информации 433.58 KB
  Магистральные коротковолновые линии радиосвязи широко используются для передачи телеграфных сообщений и реже - телефонных разговоров и данных. Пропускная способность действующих линий, как правило, заметно ниже, чем в стандартном телефонном канале.
67720. Управление технологическим процессом в производстве 196.5 KB
  Таким образом динамика и разнообразие этих факторов требований к деятельности предприятий на каждом этапе развития экономики проявляются интегрально и требуют построения системы управления адекватной их действию.
67721. Разрабка агрегатного отделения на 200 автомобилей МАЗ-64226 416 KB
  Курсовое проектирование является важным этапом предмета Техническая эксплуатация автомобилей и имеет следующие цели и задачи: закрепление совершенствование и пополнение знаний и навыков полученных в процессе обучения по организации производства технологии технического обслуживания и ремонта автомобилей...
67723. Решение дифференциального уравнения двумя численными методами: методом Эйлера и методом Рунге-Кутта 4 порядка точности 257.5 KB
  Целью данной курсовой работы является решение дифференциального уравнения двумя численными методами: методом Эйлера и методом Рунге-Кутта 4 порядка точности. Для достижения цели я поставил перед собой следующие задачи: Написать программу для решения данного дифференциального уравнения двумя численными...