19304

Основы техники измерений параметров технических систем

Лекция

Производство и промышленные технологии

Модели измерения и основные постулаты метрологии. Виды и методы измерений. Погрешности измерений. Нормирование погрешностей и формы представления результатов измерений. Внесение поправок в результаты измерений. Оценка не исключенной составляющей систематической погрешности измерений. Выявление и исключение грубых погрешностей (промахов). Качество измерений.

Русский

2014-09-21

455.75 KB

62 чел.

Тема 2. Основы техники измерений параметров технических систем

Модели измерения и основные постулаты метрологии. Виды и методы измерений. Погрешности измерений. Нормирование погрешностей и формы представления результатов измерений. Внесение поправок в результаты измерений. Оценка не исключенной составляющей систематической погрешности измерений. Выявление и исключение грубых погрешностей (промахов). Качество измерений.

Методы обработки результатов измерений. Многократные прямые равноточные измерения. Неравноточные измерения. Однократные измерения. Косвенные измерения. Совместные и совокупные измерения.

Динамические измерения и динамические погрешности. Характеристики динамических измерений. Динамические измерения и погрешности детерминированных линейных измерительных цепей. Динамические погрешности случайных процессов.

Суммирование погрешностей.

Для самостоятельного изучения.

1. Внесение поправок в результаты измерений.

2. Оценка не исключенной составляющей систематической погрешности измерений.

3. Выявление и исключение грубых погрешностей (промахов). 4. Качество измерений.

4. Динамические измерения и динамические погрешности. 5. Характеристики динамических измерений.

5. Динамические измерения и погрешности детерминированных линейных измерительных цепей.

6. Динамические погрешности случайных процессов.

7. Суммирование погрешностей.

Задание на ВСР.

Изучение основных положений закона «Об обеспечении единства измерений».

Тема 2. Основы техники измерений параметров технических систем

2.1. Модели измерения

Слайд

2.2. Виды и методы измерений

В научной литературе среди прямых методов измерений выделяют, как правило, следующие:

1) метод непосредственной оценки, представляющий собой такой метод, при котором значение величины определяют по отсчетному устройству измерительного прибора;

2) метод сравнения с мерой, под которым понимается метод, при котором данную величину возможно сравнить с величиной, воспроизводимой мерой;

3) метод дополнения, под которым обычно подразумевается метод, когда значение полученной величины дополняется мерой этой же величины с тем, чтобы на используемый прибор для сравнения действовала их сумма, равная заранее заданному значению;

4) дифференциальный метод, который характеризуется измерением разности между данной величиной и известной величиной, воспроизводимой мерой. Метод дает результат с достаточно высоким показателем точности при применении грубых средств измерения;

5) нулевой метод, который, по сути, аналогичен дифференциальному, но разность между данной величиной и мерой сводится к нулю. Причем нулевой метод обладает определенным преимуществом, поскольку мера может быть во много раз меньше измеряемой величины;

6) метод замещения, представляющий собой сравнительный метод с мерой, в которой измеряемую величину заменяют известной величиной, которая воспроизводится мерой.

В практике измерений применяются и нестандартизованные методы. В эту группу, как правило, включают следующие:

1) метод противопоставления, подразумевающий под собой такой метод, при котором данная величина, а также величина, воспроизводимая мерой, в одно и то же время действуют на прибор сравнения;

2) метод совпадений, характеризующийся как метод, при котором разность между сравниваемыми величинами измеряют, используя совпадение меток на шкалах или периодических сигналов.

2.3. Погрешности измерений

В практике выполнения измерений очень важным показателем становится их точность, которая представляет собой ту степень близости итогов измерения к некоторому действительному значению, которая используется для качественного сравнения измерительных операций. А в качестве количественной оценки, как правило, используется погрешность измерений. Причем чем погрешность меньше, тем считается выше точность.

Согласно закону теории погрешностей, если необходимо повысить точность результата (при исключенной систематической погрешности) в 2 раза, то число измерений необходимо увеличить в 4 раза; если требуется увеличить точность в 3 раза, то число измерений увеличивают в 9 раз и т. д.

Процесс оценки погрешности измерений считается одним из важнейших мероприятий в вопросе обеспечения единства измерений. Естественно, что факторов, оказывающих влияние на точность измерения, существует огромное множество. Следовательно, любая классификация погрешностей измерения достаточно условна, поскольку нередко в зависимости от условий измерительного процесса погрешности могут проявляться в различных группах. При этом согласно принципу зависимости от формы данные выражения погрешности измерения могут быть: абсолютными, относительными и приведенными.

Кроме того, по признаку зависимости от характера проявления, причин возникновения и возможностей устранения погрешности измерений могут быть составляющими. При этом, различают следующие составляющие погрешности: систематические и случайные.

Систематическая составляющая остается постоянной или меняется при следующих измерениях того же самого параметра.

Случайная составляющая изменяется при повторных изменениях того же самого параметра случайным образом. Обе составляющие погрешности измерения (и случайная, и систематическая) проявляются одновременно. Причем значение случайной погрешности не известно заранее, поскольку оно может возникать из-за целого ряда не уточненных факторов Данный вид погрешности нельзя исключить полностью, однако их влияние можно несколько уменьшить, обрабатывая результаты измерений.

Систематическая погрешность, и в этом ее особенность, если сравнивать ее со случайной погрешностью, которая выявляется вне зависимости от своих источников, рассматривается по составляющим в связи с источниками возникновения.

Составляющие погрешности могут также делиться на: методическую, инструментальную и субъективную.

Субъективные систематические погрешности связаны с индивидуальными особенностями оператора. Такая погрешность может возникать из-за ошибок в отсчете показаний или неопытности оператора. В основном же систематические погрешности возникают из-за методической и инструментальной составляющих. Методическая составляющая погрешности определяется несовершенством метода измерения, приемами использования СИ, некорректностью расчетных формул и округления результатов.

Инструментальная составляющая погрешности появляется из-за собственной погрешности СИ, определяемой классом точности, влиянием СИ на итог и разрешающей способности СИ. Есть также такое понятие, как «грубые погрешности или промахи», которые могут появляться из-за ошибочных действий оператора, неисправности СИ или непредвиденных изменений ситуации измерений. Такие погрешности, как правило, обнаруживаются в процессе рассмотрения результатов измерений с помощью специальных критериев. Важным элементом данной классификации является профилактика погрешности, понимаемая как наиболее рациональный способ снижения погрешности, заключается в устранении влияния какого-либо фактора.

2.3.1.. Виды погрешностей

Выделяют следующие виды погрешностей:

1) абсолютная погрешность;

2) относительна погрешность;

3) приведенная погрешность;

4) основная погрешность;

5) дополнительная погрешность;

6) систематическая погрешность;

7) случайная погрешность;

8) инструментальная погрешность;

9) методическая погрешность;

10) личная погрешность;

11) статическая погрешность;

12) динамическая погрешность.

Погрешности измерений классифицируются по следующим признакам:

1. По способу математического выражения погрешности делятся на абсолютные погрешности и относительные погрешности.

2. По взаимодействию изменений во времени и входной величины погрешности делятся на статические погрешности и динамические погрешности.

3. По характеру появления погрешности делятся на систематические погрешности и случайные погрешности.

4. По характеру зависимости погрешности от влияющих величин погрешности делятся на основные и дополнительные.

5. По характеру зависимости погрешности от входной величины погрешности делятся на аддитивные и мультипликативные.

Абсолютная погрешность – это значение, вычисляемое как разность между значением величины, полученным в процессе измерений, и настоящим (действительным) значением данной величины.

Абсолютная погрешность вычисляется по следующей формуле:

ΔQn =Qn −Q0,

где AQn – абсолютная погрешность;

Qn – значение некой величины, полученное в процессе измерения;

Q0 – значение той же самой величины, принятое за базу сравнения (настоящее значение).

Абсолютная погрешность меры – это значение, вычисляемое как разность между числом, являющимся номинальным значением меры, и настоящим (действительным) значением воспроизводимой мерой величины.

Относительная погрешность – это число, отражающее степень точности измерения.

Относительная погрешность вычисляется по следующей формуле:

где ΔQ – абсолютная погрешность;

Q0 – настоящее (действительное) значение измеряемой величины.

Относительная погрешность выражается в процентах.

Приведенная погрешность – это значение, вычисляемое как отношение значения абсолютной погрешности к нормирующему значению.

Погрешность измерения включает в себя инструментальную погрешность, методическую погрешность и погрешность отсчитывания. Причем погрешность отсчитывания возникает по причине неточности определения долей деления шкалы измерения.

Инструментальная погрешность – это погрешность, возникающая из-за допущенных в процессе изготовления функциональных частей средств измерения ошибок.

Методическая погрешность – это погрешность, возникающая по следующим причинам:

1) неточность построения модели физического процесса, на котором базируется средство измерения;

2) неверное применение средств измерений.

Субъективная погрешность – это погрешность возникающая из-за низкой степени квалификации оператора средства измерений, а также из-за погрешности зрительных органов человека, т. е. причиной возникновения субъективной погрешности является человеческий фактор.

Погрешности по взаимодействию изменений во времени и входной величины делятся на статические и динамические погрешности.

Статическая погрешность – это погрешность, которая возникает в процессе измерения постоянной (не изменяющейся во времени) величины.

Динамическая погрешность – это погрешность, численное значение которой вычисляется как разность между погрешностью, возникающей при измерении непостоянной (переменной во времени) величины, и статической погрешностью (погрешностью значения измеряемой величины в определенный момент времени).

По характеру зависимости погрешности от влияющих величин погрешности делятся на основные и дополнительные.

Основная погрешность – это погрешность, полученная в нормальных условиях эксплуатации средства измерений (при нормальных значениях влияющих величин).

Дополнительная погрешность – это погрешность, которая возникает в условиях несоответствия значений влияющих величин их нормальным значениям, или если влияющая величина переходит границы области нормальных значений.

По характеру зависимости погрешности от входной величины погрешности делятся на аддитивные и мультипликативные.

Аддитивная погрешность – это погрешность, возникающая по причине суммирования численных значений и не зависящая от значения измеряемой величины, взятого по модулю (абсолютного).

Мультипликативная погрешность – это погрешность, изменяющаяся вместе с изменением значений величины, подвергающейся измерениям.

Целесообразно отметить, что значение абсолютной аддитивной погрешности не связано со значением измеряемой величины и чувствительностью средства измерений. Абсолютные аддитивные погрешности неизменны на всем диапазоне измерений.

Значение абсолютной аддитивной погрешности определяет минимальное значение величины, которое может быть измерено средством измерений.

Значения мультипликативных погрешностей изменяются пропорционально изменениям значений измеряемой величины. Значения мультипликативных погрешностей также пропорциональны чувствительности средства измерений Мультипликативная погрешность возникает из—за воздействия влияющих величин на параметрические характеристики элементов прибора.

Погрешности, которые могут возникнуть в процессе измерений, классифицируют по характеру появления. В практике измерений выделяют:

1) систематические погрешности;

2) случайные погрешности.

В процессе измерения могут также появиться грубые погрешности и промахи.

Систематическая погрешность – это составная часть всей погрешности результата измерения, не изменяющаяся или изменяющаяся закономерно при многократных измерениях одной и той же величины.

Промахи и грубые погрешности – это погрешности, намного превышающие предполагаемые в данных условиях проведения измерений систематические и случайные погрешности. Промахи и грубые погрешности могут появляться из-за грубых ошибок в процессе проведения измерения, технической неисправности средства измерения, неожиданного изменения внешних условий.

2.3.2. Справочно. Демонстрация определения погрешности результатов измерения

В настоящее время измерение является неотъемлемой частью практически любой деятельности человека. Фактически измерения — это процесс, завершающим этапом которого является «результат измерения». Любой результат измерения содержит погрешность, которая складывается из ряда факторов. Это может быть несовершенство средств измерений, выбранного метода измерений, методики измерений, недостаточная тщательность выполнения измерений или обработки результатов, влияние внешних условий (температура, давление, влажность и др.) и др.

Погрешность результатов измерения является важной характеристикой измерения, она вычисляется или оценивается и приписывается полученному результату.

Погрешность результата измерения — это отклонение результата измерений () от истинного (действительного) значения () измеряемой величины. Чаще всего она указывает границы неопределенности значения измеряемой величины. Погрешность средства измерении я— это разность между показанием средства измерения и истинным (действительным) значением измеряемой физической величины. Она характеризует точность результатов измерений, проводимых данным средством. Эти два понятия во многом близки друг другу и классифицируются по одинаковым признакам. По форме представления погрешности разделяются на абсолютные, относительные и приведенные.

Погрешность измерений, как правило, представляют в виде абсолютной погрешности, выраженной в единицах измеряемой величины

или в виде относительной погрешности— отношения абсолютной погрешности к истинному (действительному) значению измеряемой величины или принятому опорному значению (ГОСТ Р ИСО 5725-2002)

(2.3.2.1.)

или в процентах

. (2.3.2.2. )

Необходимо отметить, что истинное значение физической величины неизвестно и применяется в теоретических исследованиях, а действительное значение величины определяется экспериментально из предположения, что результат эксперимента (измерения) наиболее близок к истинному значению величины.

Погрешность средств измерений вычисляется по формуле:

,  (2.3.2.3. )

где — показания прибора; — истинное (действительное) значение измеряемой величины.

Для указания и нормирования погрешности средств измерений используется еще одна разновидность погрешности — приведенная. Приведенная погрешность средства измерений — это относительная погрешность, выраженная отношением абсолютной погрешности средства измерений к условно принятому значению величины, постоянному во всем диапазоне измерений или в части диапазона

 (2.3.2.4)

Условно принятое значение величины называют нормирующим значением. Нормирующее значение прибора чаще всего принимается равным верхнему пределу

Рис. 2.3.2.1. Двузначноеотчетноеустройство

измерений для данного средства измерений (в случае, если нижний предел — нулевое значение односторонней шкалы прибора). В случае двузначного отсчетного устройства (шкалы) прибора нормирующее значение отнесено к диапазону измерений (рис. 2.3.2.1).

В качестве истинного значения при многократных измерениях одного и того же параметра используют среднее арифметическое значение :

 (2.3.2.5)

где — результат i-гоединичного определения; п — число единичных измерений в ряду.

Величина X, полученная в одной серии измерений, является случайным приближением к . Для оценки ее возможных отклонений от (случайной погрешности среднего арифметического значения результата измерений одной и той же величины в одном ряду измерений) определяют среднюю квадратичную погрешность (СКП). которая получена из ряда равноточных измерений.

 (2.3.2.6)

Для оценки рассеяния единичных результатов измерений в ряду равноточных измерений одной и той же физической величины около среднего их значения используют среднюю квадратичную погрешность измерений (СКП):

при  (2.3.2.7)

или

при ,  (2.3.2.8)

отсюда , т.е. СКП из серии измерений всегда меньше, чем в каждом отдельном измерении, отсюда следует, что для повышения точности измерений необходимо увеличивать число измерений.

Для обеспечения единства измерений, независимо от того, кем, где, когда, в каких условиях они проведены, знание погрешностей измерения является необходимым, но недостаточным условием. Необходимо также иметь уверенность в том, что погрешность измерений не превысила границ, установленных в соответствии с поставленной измерительной задачей. Иногда говорят не о погрешности измерений, а о точности измерений. Качественно точность измерений характеризуется близостью к нулю погрешности результата или средства измерений.

По характеру проявления погрешности делятся на систематические и случайные.

Систематическая погрешность— одна из составляющих погрешности результата измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющейся при повторных измерениях одной и той же физической величины.

Эти погрешности могут быть выявлены, изучены, и результат измерения может быть уточнен путем введения поправок, если числовые значения этих погрешностей определены, или путем исключения влияния этой систематической погрешности без ее определения. Чем меньше систематическая погрешность, тем ближе результат измерения к истинному значению измеряемой величины, тем выше качество и правильность измерений.

Систематическая погрешность данного средства измерений, как правило, отличается от систематической погрешности другого экземпляра средства измерений этого же типа.

В зависимости от характера измерения систематические погрешности подразделяют на постоянные, прогрессивные, периодические и погрешности, изменяющиеся по сложному закону.

Наиболее часто встречаются постоянные погрешности, которые сохраняют свое значение в течение всего периода выполнения измерений. Эти погрешности, как правило, легко могут быть выявлены и учтены путем введения соответствующих поправок в результат измерения.

Прогрессивные погрешности — это непрерывно возрастающие или убывающие погрешности. Они вызываются процессами износа или старения узлов и деталей средств измерения. К ним могут относиться погрешности от износа контактирующих деталей средств измерения, старение отдельных элементов (конденсаторов, резисторов и т.д.) средств измерения. Вследствие этого, определенные характеристики измерительных приборов изменяются, приводя, как правило, к возрастанию погрешности средств измерений. Старению подвержены и меры, например, концевые меры длины, гири.

В ряде случаев погрешности могут меняться периодически во времени или при перемещении указателя измерительного прибора. Такие погрешности называются периодическими. Обычно такие погрешности встречаются в угломерных приборах с круговой шкалой.

В настоящее время существует много способов определения систематической погрешности средств измерений. Один из них — это сравнение результатов измерения физической величины, полученных с помощью изучаемого и эталонного средства измерения.

По результатам измерений, проведенных по схеме (рис. 2.3.2) систематическая погрешность определяется как

 (2.3.2.9)

где — результат измерения изучаемого прибора;

— результат измерения эталонного прибора.

Случайными называются погрешности, изменяющиеся случайным образом (по знаку и значению) при одинаковых повторных измерениях одной и той же величины. Эти погрешности возникают в результате влияния на процесс измерения многочисленных случайных факторов, учесть которые практически невозможно.

Случайные погрешности, поэтому не могут быть исключены из результата измерения в отличие от систематических. Однако проведение ряда повторных измерений дает возможность, используя методы математической статистики, оценить величину случайной погрешности и тем самым уменьшить ее влияние на результат измерения.

К случайной погрешности, как правило, относится и промах (грубая погрешность измерений), характеризующийся тем, что погрешность результата отдельного измерения, входящего в ряд измерений, для данных условий резко отличается от остальных результатов этого ряда. Причинами этого вида погрешностей являются ошибки оператора, неисправность измерительных приборов, резкое изменение условий наблюдения, ошибки в записях и вычислениях и др. Результаты измерений, содержащие промахи, не принимают во внимание (отбрасывают). Обнаружить промах бывает не всегда легко, особенно при единичном измерении.

Рис. 2.3.2. Способ определения систематической погрешности

По условиям проведения измерений погрешности средств измерений делятся на основныеи дополнительные.

Основной называется погрешность средства измерений, применяемого в нормальных условиях. Эти условия устанавливаются в нормативно-технических документах на данный вид или тип средств измерений (температура окружающей среды, влажность, давление, напряжение питающей электрической сети и др.) и при них нормируется его погрешность. Значения погрешностей средств измерений, эксплуатируемых в условиях, отличающихся от нормальных условий эксплуатации, будут различными и плохо контролируемыми. Составляющая погрешности средства измерений, возникающая дополнительно к основной погрешности, вследствие отклонения какой-либо из влияющих величин от нормального его значения или вследствие ее выхода за пределы нормальной области значений, называется дополнительной погрешностью.

В большинстве нормативно-технических документов на средства измерений за нормальные значения принимаются следующие:

температура окружающей среды (293±5) К;

относительная влажность (65±15) %;

атмосферное давление (100±4) кПа (750±30 мм рт. ст.);

напряжение питающей электрической сети (220±4,4) В с частотой (50±0,5)Гц.

По причине возникновения погрешности разделяются на инструментальные, методические и субъективные.

Инструментальная погрешность обусловлена несовершенством средств измерений и их конструктивными особенностями. Иногда эту погрешность называют приборной или аппаратурной.

Методическая погрешность обусловлена несовершенством и недостатками применяемого в средстве измерений метода измерений и упрощений при разработке конструкции средства измерений, а также возможными недостатками методик измерений.

Субъективная (личная) погрешностьизмерения обусловлена погрешностью отсчета оператором показаний по шкале средства измерений вследствие индивидуальных особенностей оператора (внимание, зрение, подготовка и др.). Эти погрешности практически отсутствуют при использовании автоматических или автоматизированных средств измерений.

По характеру измерения физической величины погрешности средства измерений разделяются на статические и динамические.

Погрешность средства измерений, применяемого при измерении физической величины, которая за время измерений не изменяется, носит название статической погрешности, а погрешность, возникающая при измерении изменяющейся в процессе измерений физической величины, — динамической погрешности.

Классификация погрешностей по различным признакам позволяет оценивать и учитывать вклад каждой из них в общую погрешность измерения и таким образом получать объективные данные о точности результатов измерения.

2.4. Нормирование погрешностей и способы их исключения

Нормирующее значение погрешности определяется следующим образом:

1) для средств измерений, для которых утверждено номинальное значение, это номинальное значение принимается за нормирующее значение;

2) для средств измерений, у которых нулевое значение располагается на краю шкалы измерения или вне шкалы, нормирующее значение принимается равным конечному значению из диапазона измерений. Исключением являются средства измерений с существенно неравномерной шкалой измерения;

3) для средств измерений, у которых нулевая отметка располагается внутри диапазона измерений, нормирующее значение принимается равным сумме конечных численных значений диапазона измерений;

4) для средств измерения (измерительных приборов), у которых шкала неравномерна, нормирующее значение принимается равным целой длине шкалы измерения или длине той ее части, которая соответствует диапазону измерения. Абсолютная погрешность тогда выражается в единицах длины.

Наибольшее отклонение от истинного значения измеряемой величины, как правило, связывают с появлением систематических погрешностей.

Обычно систематическую погрешность пытаются исключить возможными способами (например, применением методов измерения, снижающих вероятность ее возникновения), если же систематическую погрешность невозможно исключить, то ее просчитывают до начала измерений и в результат измерения вносятся соответствующие поправки. В процессе нормирования систематической погрешности определяются границы ее допустимых значений. Систематическая погрешность определяет правильность измерений средств измерения (метрологическое свойство).

Систематические погрешности в ряде случаев можно определить экспериментальным путем. Результат измерений тогда можно уточнить посредством введения поправки.

Способы исключения систематических погрешностей делятся на четыре вида:

1) ликвидация причин и источников погрешностей до начала проведения измерений;

2) устранение погрешностей в процессе уже начатого измерения способами замещения, компенсации погрешностей по знаку, противопоставлениям, симметричных наблюдений;

3) корректировка результатов измерения посредством внесения поправки (устранение погрешности путем вычислений);

4) определение пределов систематической погрешности в случае, если ее нельзя устранить.

Ликвидация причин и источников погрешностей до начала проведения измерений. Данный способ является самым оптимальным вариантом, так как его использование упрощает дальнейший ход измерений (нет необходимости исключать погрешности в процессе уже начатого измерения или вносить поправки в полученный результат).

Для устранения систематических погрешностей в процессе уже начатого измерения применяются различные способы

Способ введения поправок базируется на знании систематической погрешности и действующих закономерностей ее изменения. При использовании данного способа в результат измерения, полученный с систематическими погрешностями, вносят поправки, по величине равные этим погрешностям, но обратные по знаку.

Способ замещения состоит в том, что измеряемая величина заменяется мерой, помещенной в те же самые условия, в которых находился объект измерения. Способ замещения применяется при измерении следующих электрических параметров: сопротивления, емкости и индуктивности.

Способ компенсации погрешности по знаку состоит в том, что измерения выполняются два раза таким образом, чтобы погрешность, неизвестная по величине, включалась в результаты измерений с противоположным знаком.

Способ противопоставления похож на способ компенсации по знаку. Данный способ состоит в том, что измерения выполняют два раза таким образом, чтобы источник погрешности при первом измерении противоположным образом действовал на результат второго измерения.

Случайная погрешность – это составная часть погрешности результата измерения, изменяющаяся случайно, незакономерно при проведении повторных измерений одной и той же величины. Появление случайной погрешности нельзя предвидеть и предугадать.

Случайную погрешность невозможно полностью устранить, она всегда в некоторой степени искажает конечные результаты измерений. Но можно сделать результат измерения более точным за счет проведения повторных измерений. Причиной случайной погрешности может стать, например, случайное изменение внешних факторов, воздействующих на процесс измерения. Случайная погрешность при проведении многократных измерений с достаточно большой степенью точности приводит к рассеянию результатов.

Оптимальных результатов в обеспечении качества измерений можно достичь посредством создания оптимальных условий для реализации процессов измерения.

Нормальные условия – это условия, в которых все значения влияющих величин являются нормальными либо не выходят за границы области нормальных значений.

Рабочие условия – это условия, в которых изменение влияющих величин имеет более широкий диапазон (значения влияющих не выходят за границы рабочей области значений).

Рабочая область значений влияющей величины – это область значений, в которой проводится нормирование значений дополнительной погрешности.

2.5. Методы обработки результатов измерений

Последовательность обработки результатов измерений включает следующие этапы:

- исправляют результаты наблюдений исключением (если это возможно) систематической погрешности;

- вычисляют среднее арифметическое значение ;

- вычисляют выборочное СКО от значения погрешности измерений;

- исключают промахи;

- определяют закон распределения случайной составляющей;

- при заданном значении доверительной вероятности Р и числе измерений nпо таблицам определяют коэффициент Стьюдента ;

- находят границы доверительного интервала для случайной погрешности ;

- если величина сравнима с абсолютным значением погрешности СИ, то величину считают не исключенной систематической составляющей и в качестве доверительного интервала вычисляют величину

.

Если в результате измерительного эксперимента можно четко выделить составляющие НСП, то определяется по ГОСТ 8.207

или, по упрощенной формуле: (по данным, погрешность такой замены не превышает 5,...,10%);

-окончательный результат записывают в виде при вероятности Р.

2.6. Неравноточные измерения

При планировании измерительных операций и обработке их результатов зачастую приходится пользоваться неравноточными измерениями (т. е. измерениями одной и той же физической величины, выполненными с различной точностью, разными приборами, различных условиях, различными исследователями и т. д.).

Для оценки наиболее вероятного значения величины по данным неравноточных измерений вводят понятие "веса" измерения:

,

где и — объем и дисперсия i-й серии равноточных измерений.

Тогда, если неравноточные измерения привели к результатам (среднеарифметическое ряда равноточных измерений; ),то наиболее вероятным значением величины будет ее средневзвешенное значение:

Вероятность α того, что лежит в пределах равноточных измерений , определяется вышеприведенным методом для равноточных измерений.

2.7. Однократные измерения

Прямые статистические измерения в большей мере относятся к лабораторным (исследовательским), например, при разработке и аттестации методики, когда погрешность измерений выявляется в процессе проведения и обработки экспериментальных данных.

Для производственных процессов более характерны однократные технические прямые или косвенные измерения. Здесь процедура измерений регламентируется заранее, с тем чтобы при известной точности СИ и условиях измерения погрешность не превзошла определенное значение, т. е. значения Δ и Р заданы априори. Поскольку измерения выполняются без повторных наблюдений, то нельзя отделить случайную погрешность от систематической составляющей. Поэтому для оценки погрешности дают лишь ее границы с учетом возможных влияющих величин. Последние величины лишь оценивают своими границами, но не измеряют. На практике дополнительные погрешности, как правило, не учитываются, так как измерения осуществляют в основном в нормальных условиях, а субъективные погрешности также весьма малы.

В принципе, однократные измерения достаточны, если не исключенная систематическая погрешность (например, класс точности СИ) заведомо больше случайной. Практически это достигается при . Тогда результат измерения записывают в виде

при вероятности Р=0,95,

где — результат, зафиксированный СИ;

— суммарная погрешность измерения, определяемая классом точности СИ () и методической погрешностью

().

Для уточненной оценки возможности применения однократных измерений следует сопоставить суммарные погрешности, получаемые при этом, с суммарными погрешностями многократных измерений при наличии случайной и не исключенной систематической составляющих.

Учитывая, что и

при многократных измерениях суммарное СКО результата

,

а при однократных

.

Рис. 2.1. Взаимосвязь с и n

Изменение отношения в зависимости от и числа измерений приведено на рис. 2, из графиков которого следует:

- при отношение и практически не зависит от n, т. е. в этих условиях нет смысла в многократных измерениях, случайная составляющая пренебрежительно мала и определяющей является неисключенная систематическая составляющая;

- при функция явно зависит от n,т. е. здесь существенную роль играет случайная составляющая, не исключенная систематическая составляющая пренебрежительно мала и однократные измерения недопустимы;

- при должны учитываться и случайная, и не исключенная систематическая составляющие.

В последнем случае композицию этих составляющих и погрешность результатов измерения находят по эмпирической формуле

,

Где: — коэффициент, соответствующий q-му уровню значимости данной композиции;

— СКО композиции;

и — соответственно не исключенная систематическая составляющая и доверительная граница случайной погрешности при заданной доверительной вероятности Р.

Вычисление погрешности дает погрешность не более 12%, но достаточно сложным способом. По этому, можно пользоваться упрощенной формулой

Коэффициент находят в зависимости от доверительной вероятности Р, принимаемой на уровне 0,95 или 0,99, следующим образом:

0,8

1

2

3

4

5

6

7

8

0,76

0,74

0,71

0,73

0,76

0,78

0,79

0,80

0,81

0,84

0,82

0,80

0,81

0,82

0,83

0,83

0,94

0,85

Практически, если одна из составляющих или менее 5% общей погрешности, то этой составляющей можно пренебречь.

Алгоритм действий, например, при разработке и аттестации методик выполнения измерений с однократными измерениями заключается в следующем:

1. Предварительно устанавливают необходимую допускаемую погрешность измерения.

2. Для самой неблагоприятной функции распределения — нормальной в соответствии с ГОСТ 8.207 находят , и принимают Р= 0,95.

3. Находят значение погрешности и сравнивают его с . Если

,  (2.16)

однократные наблюдения возможны с погрешностью до 20%. Если , то полученное значение следует уточнить с учетом и . При или значение погрешности определяют по формуле . Если

,

то однократные измерения возможны с погрешностью не более 11%.

В случае вычисляют , и если

,

то однократные измерения возможны с погрешностью не более 7%.

Если соотношения не соблюдаются, то определяют "весомость" составляющих погрешности. При превалирующей случайной составляющей необходимо перейти к многократным измерениям. При нужно уменьшить методическую или инструментальную составляющие (например, выбором более точного СИ).

Практически при однократных измерениях, чтобы избежать промахов, делают 2—3 измерения и за результат принимают среде значение. Предельная погрешность однократных измерений в основном определяется классом точности СИ. При этом,как правило, систематическая составляющая не превосходит, а случайная , поэтому, учитывая, что , погрешность результата однократного измерения можно принять равной .

Поскольку ( - СКО параметра), то реально погрешность однократного измерения с вероятностью 0,90—0,95 не превзойдет (2-2,5)

Пример 2.7. Оценить погрешность результата однократного измерения напряжения U= 0,9 В на входном сопротивлении R = 4 Ом, выполненного вольтметром класса точности 0,5 с верхним пределом диапазона измерений U=1,5 В и имеющим сопротивление Ом. Известно, что дополнительные погрешности показаний СИ из-за влияния магнитного поля и температуры не превышают соответственно и допускаемой предельной погрешности.

Решение. 1. Предел допускаемой относительной погрешности вольтметра на отметке 0,9 В составляет

.

2. При подсоединении вольтметра исходное напряжение (рис. 2.2) изменится из-за наличия и составит

.

Тогда методическая погрешность, обусловленная конечным значением , в относительной форме составит

.

Рис. 2.2. Схема измерения напряжения

3.Данная методическая погрешность является систематической составляющей погрешностью измерения и должна быть внесена в результат в виде поправки или в абсолютной форме на отметке 0,9 В

.

Тогда результат измерения с учетом поправки будет равен

.

4. Поскольку основная и дополнительные погрешности заданы своими граничными значениями, то они могут рассматриваться как не исключенные систематические. По формуле (2.10) при доверительной вероятности Р = 0,95 доверительная граница не исключенной систематической составляющей будет

,

а в абсолютной форме

.

5. Ввиду того что ,окончательный результат измерения записывается в виде

; P=0,95.

2.8. Косвенные измерения

Косвенные измерения предполагают наличие функциональной связи

,

где подлежащие прямым измерениям аргументы функции Y.

Очевидно, погрешность в оценке Y зависит от погрешностей при измерениях аргументов. При этом могут иметь место два случая: аргументы взаимонезависимы и взаимозависимы.

Для независимых аргументов абсолютная погрешность

,

относительная

,

и СКО функции

,

где частные производные вычисляются при , , а величины определяют, например, с помощью коэффициентов Стьюдента для одного и того же значения доверительной вероятности.

При вводе — абсолютного коэффициента влияния аргумента х в функцию Y ее абсолютная погрешность составит

.

Тогда относительная погрешность определяется как

,

где относительный коэффициент влияния.

Если в качестве меры точности измерений выступает СКО, то

.

Если аналитические функциональные связи вида (2.19) не установлены, то при разработке методики выполнения измерения можно использовать опытные значения и .

или ,

где — изменение функции, вызванное изменением i-го аргумента; и — средние (расчетные или номинальные) значения функции и аргумента. Окончательный результат записывают в виде при вероятности Р.

В качестве практических рекомендаций можно использовать следующие положения;

- если коэффициенты влияния менее 0,001 (0,1%), то эти параметры можно не учитывать;

- для коэффициентов влияния в пределах 0,001...0,050 (0,1...5%) требования к точности их измерения невелики (2...5%);

- если коэффициенты влияния больше 0,05 (5%), то требования точности информации повышаются до 1% и выше.

В случае взаимной зависимости аргументов находят парные коэффициенты корреляции

.

Значения ρ лежат в пределах -1 < ρ < +1. При ρ = 0 — величины взаимонезависимы. Однако если ρ = 0, следует проверить значимость этой величины. Для этого используют t— критерий

.

Если расчетное по формуле (2.25) значение , то взаимосвязь между параметрами необходимо учитывать. Практически, если ρ < 0,20,...,0,25, то корреляционную связь считают несущественной.

При наличии взаимосвязей между и с учетом перечисленных уравнений

,

где i=1, 2, …, i, …, k, …, n.

При числе взаимозависимых аргументов больше двух тесноту связи оценивают частным или множественным коэффициентом корреляции, в основе вычисления которого лежат значения парных коэффициентов корреляции. Например, для трех аргументов x, y и z

.

Коэффициент Rвсегда положителен и заключен между 0 и 1. Если, например, величина zнаходится в зависимости от х и у как z= ах + bу + с, то влияние величины х на изменение z оценивают частным коэффициентом корреляции

.

Аналогично определяется . Частные коэффициенты корреляции обладают теми же свойствами, что и коэффициенты линейной корреляции.

2.8.1. Алгоритм обработки результатов косвенных измерений включает следующие этапы:

1. Для результатов прямых измерений аргументов х вычисляют выборочные средние и выборочные стандартные отклонения

.

2.Для каждого аргумента вычисляют суммарные систематические погрешности в виде СКО:

где , характеризуют разброс результатов из-за субъективных причин, округления и т.п.

3. Находят выборочное среднее функции по т аргументам с учетом коэффициентов влияния

.

4. Вычисляют стандартные отклонения случайных и систематических составляющих функции

; .

5. Сравнивают и :

а) если , то результат записывают в виде при вероятности Р. Здесь, задавшись вероятностью Р, полуинтервалнаходят с помощью коэффициентов Чебышева по формуле ;

б) если , то результат записывают как ,

при и ;

в) если и сравнимы, то результат представляют в виде ; ; .

Доверительные границы результатов косвенных измерений можно оценить и по формулам, аналогичным (2.14) и (2.15), предварительно оценив не исключенную составляющую систематической погрешности косвенного измерения, как по каждому аргументу, так и в целом функции.

Представление относительной погрешности сложной функции в виде

дает возможность вычислить погрешность функции по известным погрешностям аргументов (прямая задача); оценить допустимые погрешности аргументов, при которых общая погрешность не превысит заданной величины (обратная задача); оптимизировать условия измерений, обоснованно минимизируя суммарную погрешность,заранее установив требования к точности измерения, подобрать соответствующую аппаратуру.

Пример 2.8. Рассмотрим факторы, влияющие на погрешность определения удельного эффективного расхода топлива , который может быть представлен в виде функции величин, измеряемых прямым методом

,

где Gи τ — доза топлива и время ее расхода; — постоянная частота вращения двигателя за время ее измерения; — крутящий момент на валу двигателя.

Решение. Погрешность определяется по формуле:

.

В соответствии с нормативами величина должна быть измерена с точностью до 1 %. Если принять, что каждый из аргументов одинаково влияет на общую погрешность, то

.

Однако известные методы не позволяют измерить , с точностью выше ±0,5%, G— ±0,2%. В то же время частоту вращения я временные интервалы имеется возможность измерять более точна — с относительной погрешностью не хуже ±0,1%. Таким образом, суммарная погрешность при использовании существующих средств измерения составит ± (0,5+0,2+0,1+0,1+0,1) =± 1%, что удовлетворяет требованиям ГОСТа.

Приведенный пример показывает, что для повышения точности косвенных измерений, прежде всего, нужно стремиться снизить наибольшие погрешности отдельных аргументов.

Традиционный подход к решению основной задачи косвенных измерений (нахождению оценки результатов косвенного измерения и его погрешности) состоит в следующем:

  1.  предполагают достаточную гладкость функции (2.19);
  2.  разлагают эту функцию в ряд Тейлора в окрестности аргумента ;
  3.  исследуют значимость отбрасываемого остаточного члена ряда Тейлора, предполагая незначительность погрешностей оценок аргумента.

При этом необходимы сведения (реальные или принимаемые за реальные) о законе распределения погрешностей аргумента.

Для технических измерений предложен более простой и не менее точный подход, основанный на методе математического программирования, сводящий аналитическую задачу к вычислительной [13]. При этом в информации о законе распределения аргумента нет необходимости. В качестве оценки принимается полусумма максимального и минимального значений функции Y, а оценки абсолютной погрешности — полуразность этих значений:

; (2.27)

Тогда относительная погрешность

.  (2.28)

Пример 2.9. Измерение мощности Р в активной нагрузке сопротивлением R = 100 Ом ±5 Ом определяется с помощью вольтметра класса точности γ= 1,5 с пределом измерения = 300 В. Оценить измеренную мощность и погрешность, если прибор показал =240 В.

Решение 1. Предел абсолютной погрешности вольтметра составляет

.

2. Относительная погрешностьU и R составит

3. Из уравнения косвенного измерения Р= U2/R находим

= 629 Вт;

= 528 Вт.

4. По формулам (2.27), (2.28) находим оценки

=(629+528)/2=579 Вт;

=(624-528)/2=51 Вт;

.

Надо отметить, что определение коэффициентов влияния при косвенных измерениях — задача весьма ответственная и трудоемкая. Необходимость оценки этих коэффициентов пока не нашла должного понимания, хотя знание их не только позволяет целенаправленно нести работу при оптимизации производственных процессов, но и при техническом обслуживании и ремонте, выборе соответствующих средств и методов измерения. Зачастую это формирует итребования к режимам эксплуатации ТС.

2.9. Совместные и совокупные измерения

Одновременные измерения двух или нескольких величин называются совместными,если уравнения измерения для этих величин образуют систему линейных независимых уравнений. Например, для измеряемых величин х и у:

;

,

где — результаты прямых или косвенных измерений; — физические константы или постоянные СИ.

Если число уравнений превышает число неизвестных, то полученную систему решают методом наименьших квадратов (МНК) находят оценки х и у и их СКО. Доверительные интервалы истинных значений х и у строят на основе распределения Стьюдента. При нормальном распределении погрешностей МНК приводит наиболее вероятным оценкам, удовлетворяющим принципу максимума правдоподобия.

Совокупные измерения отличаются от совместных только тем, что при совокупных измерениях одновременно измеряют несколько одноименных величин, а при совместных — разноименных. Математический аппарат у этих видов измерений один. Учитывая характер измеряемых величин, совместные измерения можно рассматривать как обобщение косвенных, а совокупные — как обобщение прямых измерений.

2.10. Динамические измерения и динамические погрешности

2.10.1. Характеристики динамических измерений

Измерение называют динамическим (в динамическом режиме), если нельзя пренебречь изменением величины во времени. Например, измерение мгновенного значения переменного тока или напряжения. С другой стороны, СИ, как правило, обладают инерционностью и не могут мгновенно реагировать на изменение входного сигнала. Поэтому при измерении изменяющегося во времени сигнала x(t) всегда возникает составляющая погрешности, обусловленная инерционными (динамическими) свойствами СИ.

Эти свойства выражают с помощью динамических характеристик, однозначно устанавливающих отклик СИ на изменение входного воздействия. В качестве таких характеристик используют передаточную функцию; комплексный коэффициент передачи — амплитудно-частотную характеристику (АЧХ); комплексную чувствительность — фазочастотную характеристику (ФЧХ); переходную функцию — реакцию на единичный скачок; импульсную (весовую) функцию — реакцию на единичный импульс [10; 30; 55].

Указанные характеристики взаимосвязаны, и по одной из них можно найти все остальные. Методы их экспериментального определения также широко освещены в литературе по автоматическому регулированию.

При решении задач динамических измерений необходимо:

- подобрать аналитические выражения для аппроксимации найденных или заданных динамических характеристик;

- найти аналитические выражения (с помощью специальных функций. полигонов, рядов др.) для входных и выходных сигналов;

- определить собственно динамические погрешности; найти входной сигнал (например, состояния ТС) по зафиксированному выходному — восстановление сигнала.

В общем случае динамическая погрешность в передаче сигнала x(t), являющегося функцией времени, определяется разностью между действительным выходным сигналом y(t) в динамическом режиме и выходным сигналом в статическом режиме при отсутствии инерционных свойств СИ, т. е.

(2.29)

где S — чувствительность СИ.

Динамической погрешностью является не только погрешность, оцениваемая по формуле (2.29), но, например, и погрешность при идеальной передаче формы сигнала, сдвинутого во времени по фазе на τ-фазовую динамическую погрешность:

.

Динамические погрешности могут быть определены только расчетно-экспериментальным путем. Эталонов и образцовых СИ в области динамических измерений нет.

Учитывая, что СИ входит в измерительную цепь наряду с другими звеньями (датчиками, усилителями, преобразователями, трансформаторами и т. д.), каждый из которых тоже обладает своими динамическими свойствами, в целом следует говорить о некотором аналоге измерительной цепи — измерительном преобразователе(ИП) с известными (заданными) динамическими характеристиками.

Для описания динамических свойств ИП необходимо задать такие параметры, которые позволили бы для любого входного сигнала x(t) определить выходной y(t) сигнал, а также решить обратную задачу (восстановление входного сигнала, т. е. оценки технического состояния ТС) с учетом дестабилизирующих факторов (помехи, внешние влияния, неинформативные параметры и т. п.). Связь между входным и выходным сигналами осуществляется через оператор В данного ИП:

y(t) = Bx(t).

Оператор В отражает характер отклика ИП на входной сигнал. Математически оператор В может быть линейным и нелинейным, дифференцируемым в обыкновенных и частных производных, описан дифференциальными и интегральными уравнениями, рядами и функциями.

Для определения оператора во временной области используют переходную или импульсную функции, а в частотной — передаточную.

Прежде всего, рассмотрим, какие сигналы подлежат анализу при динамических измерениях. В общем случае здесь используются детерминированные и случайные (стохастические) модели сигналов, хотя реально они смешанные.

Детерминированные модели бывают периодическими и непериодическими. И те и другие могут быть непрерывными во времени или представлены в виде последовательности дискретных импульсов. Из всех возможных видов непрерывных непериодических сигналов наибольшее распространение для описания динамических свойств получили финитные, т. е. отличные от нуля лишь на конечном интервале времени, и модели с ненулевым установившимся значением. Эти сигналы описываются либо с помощью интеграла Фурье, либо изображением по Лапласу.

Непрерывные периодические сигналы могут быть выражены рядом Фурье, изображениями по Лапласу, полиномами Чебышева, Лежандра и Лагерра.

Случайные сигналы можно представить в виде некоторой случайной функции времени (случайный процесс) либо дискретной функцией времени (случайными последовательностями). Известно, что случайные процессы могут быть нестационарными и стационарными, а последние — эргодическими и неэргодическими. В зависимости от вида случайного сигнала подбирается и соответствующий математический аппарат. При этом случайный процесс может быть описан: совокупностью ограниченных во времени реализаций; совокупностью функций распределения; автокорреляционной функцией; разложением по системе ортонормированных функций.

Для линейных моделей оператора В используются интегральные уравнения Фредгольма, Вольтерра, дифференциальные уравнения, разложения в ряды, а для нелинейных — операторы Урысона, Хаммерштейна, Лихтенштейна — Ляпунова.

Пример 2.11. На вход СИ с передаточной функциейпоступает помеха со спектральной плотностью . Найти динамическую погрешность в виде СКО.

Решение.Спектральная плотность на входе СИ составит

.

Тогда

или

.

2.11. Справочно. Суммирование погрешностей

Определение расчетным путем оценки результирующей погрешности по известным оценкам ее составляющих называется суммированием погрешностей.

Главной проблемой, возникающей при суммировании, является то, что все составляющие погрешности должны рассматриваться как случайные величины. С точки зрения теории вероятностей они наиболее полно могут быть описаны своими законами распределения, а их совместное действие — соответствующим многомерным распределением. Однако в такой постановке задача суммирования погрешностей практически не разрешима уже для нескольких составляющих, не говоря о нескольких десятках.

Практически приемлемый путь решения данной задачи суммирования погрешностей состоит в отказе от определения и использования многомерных функций распределения составляющих погрешности. Необходимо подобрать для характеристик составляющих такие числовые оценки (СКО, эксцесс и др.), оперируя с которыми можно было бы получить соответствующие числовые оценки результирующей погрешности. При этом следует учитывать, что:

  1.  отдельные составляющие погрешности могут быть коррелированны между собой;
  2.  при суммировании случайных величин их законы распределения существенно деформируются, т. е. форма закона суммы может резко отличаться от формы закона распределения составляющих. Наиболее просто задача суммирования решается, если удается организовать измерения так, чтобы погрешность результата полностью определялась систематической погрешностью в виде предельной погрешности СИ.

Рис 2.3.1. Суммирование составляющих погрешностей

Этого можно достичь, например, минимизируя случайную погрешность большим числом измерений, однако это не всегда можно реализовать практически из-за производственного характера измерений, большой их продолжительности или стоимости. Поэтому в общем случае следует предполагать наличие как систематической, так и случайной составляющих, и результирующая абсолютная погрешность будет равна сумме

,

где и — сгруппированные суммы соответственно систематических и случайных составляющих.

Механизм такого суммирования приведен на рис.2.3.1., из которого следует, что систематическая погрешность может суммироваться только с доверительным интервальным значением случайной погрешности , где и — соответственно коэффициент Стьюдента и СКО суммарной случайной погрешности.

Исходя из положений теории вероятностей, суммирование случайных погрешностей, как случайных величин, производится по-разному в зависимости от степени взаимосвязи составляющих случайной суммарной погрешности. Если взаимосвязь между i-ми составляющими отсутствует, т. е. коэффициент корреляции ρ=0, то используется геометрическое суммирование

Если эта связь имеется, то считают, что коэффициент корреляции ρ= ±1, и используется арифметическое суммирование

Коррелированными являются такие погрешности, которые вызваны одной общей причиной (изменением температуры, напряжения в сети, вибрациями, магнитными полями и т. д.).

Коэффициент Стьюдента на уровне доверительной вероятности Р=0,9 принимают равным .

Если известны доверительные интервалы по каждой составляющей суммарной случайной погрешности , то

.

При оценке результирующей систематических погрешностей арифметическое их суммирование приводит к существенно завышенным результатам, поскольку предполагает проявление этих погрешностей их максимальными значениями и с одним знаком, что маловероятно. Этот способ оправдан в одном случае — когда важна гарантированная оценка "сверху". Поэтому, считая составляющие систематической погрешности взаимонезависимыми, можно пользоваться формулой геометрического суммирования, аналогичной (2.49). Учитывая, что систематические погрешности в известной мере определяются случайными причинами, в формулу (2.49) вводится поправочный коэффициент , зависимый от доверительной вероятности Р:

или

где выбирается из ряда значений, приведенного в формуле ранее.

Формула систематическую погрешность переводит в разряд случайных, осуществляя рандомизацию систематической составляющей. Сущность рандомизации состоит в следующем. Например, систематическая погрешность СИ изменяется от экземпляра к экземпляру. Вся совокупность (партия) СИ данного вида и класса характеризуется функцией плотности, СКО или интервалом, в котором с установленной вероятностью находится систематическая погрешность СИ. Поэтому при работе с данным СИ в силу отсутствия информации о погрешностях конкретного экземпляра используют распределения погрешностей для всей совокупности, т. е. фактически учитывают систематическую погрешность как случайную.

Это же относится к округлению результата при считывании его, когда информация о величине и знаке погрешности округления тоже неизвестна.

Тогда если, например, систематическая погрешность измерения определяется тремя составляющими: погрешностями СИ, погрешностями метода и погрешностями округления результата, то

,

где СКО погрешности СИ (при известной предельной погрешности СИ определяется как ); — СКО погрешности округления результата (при известной цене деления С шкалы СИ определяется как ); — СКО погрешности метода измерения.

Практически все (где — максимальная величина из всех влияющих) отбрасываются. Это объясняется тем, что исходя из геометрического сложения погрешности (2.49), "вклад" погрешности в общий результат быстро падает по мере уменьшения .

Если выделены основная и дополнительная погрешности, то результирующая погрешность рассчитывается отдельно.

Пример 2.12 При измерении электрических параметров устройства установлено, что общая погрешность результата определяется четырьмя составляющими: основной погрешностью СИ и дополнительными (от изменения напряжения питания сети , от изменения температурного режима (и от влияния (наводок) электрического поля ().

Оценить общую погрешность измерения.

Решение.Принимаем Р = 0,9, получим

.

В пределах некоторого диапазона изменения, как правило десятикратного, измеряемой величины изменение результирующей погрешности может быть с достаточной степенью точности представлено прямой линией или простейшей кривой (парабола, гипербола). Это дает возможность описать результирующую погрешность линейной или нелинейной двухзвенной формулой.

Пример 2.13. Основная допускаемая погрешность измерения сопротивления цифрового микропроцессорного измерителя иммитанса марки Е7-14 при различных диапазонах измерения и добротностях приведена в таблице.

Диапазон измерения

Конечное значение диапазона , Ом

Предел допустимого значения основной погрешности, Ом

0,1...1000 мОм

1

0,001...10 Ом

10

0,01...100 Ом

100

100...1000 Ом

1000

1...10 кОм

10000

При большем изменении измеряемой величины весь диапазон разбивается на участки, для которых и определяются крайние погрешности.

Для устранения влияния деформации формы законов распределения все суммируемые составляющие исходно представляются своими СКО и все операции расчетного суммирования проводятся только надними. Учет взаимных корреляционных связей между суммируемыми составляющими производится путем использования различных правил суммирования для жестко и слабо коррелированныx составляющих. Эти правила будут рассмотрены далее.

В результате суммирования СКО составляющих получаются средние квадратические отклонения соответственно аддитивной, мультипликативной или нелинейной составляющих результирующей погрешности. СКО аддитивной составляющей результирующей погрешности будет характеризовать результирующую погрешность в начале диапазона. Сумма СКО аддитивной и мультипликативной составляющих в конце диапазона описывает результирующую погрешность в конце диапазона. Если участков несколько, то суммирование проводится на всех участках, а затем принимается решение о методе описания результирующей погрешности.

Результирующую погрешность необходимо выразить в виде доверительного интервала. Его расчет по полученному СКО является с точки зрения теории самой трудной операцией при суммировании погрешностей. Это связано с тем, что доверительный интервал равен произведению рассчитанного СКО и множителя, зависящего от закона распределения результирующей погрешности. В то же время вся излагаемая методика с самого начала была нацелена на то, чтобы обойтись без точного определения результирующего закона распределения суммы всех составляющих.

Практические правила расчетного суммирования результирующей погрешности состоят в следующем:

1. Для определения суммарного значения СКО должны учитываться корреляционные связи различных составляющих погрешности. В связи с этим исходными данными для более точного расчета должны служить оценки именно всех отдельных составляющих погрешности, а не оценки некоторых суммарных погрешностей.

2. Для каждой составляющей должно быть найдено СКО. В большинстве случаев для этого необходимо знание или предположение о виде закона ее распределения.

  1.   Все суммируемые погрешности разделяются на аддитивные и мультипликативные составляющие, которые суммируются отдельно.
  2.   Так как в большинстве случаев точное значение коэффициентов корреляции ρ найти невозможно, то все погрешности должны быть условно разделены на:
  3.   сильно коррелированные при , для которых считают ρ = ±1 в зависимости от знака коэффициента корреляции;
  4.   слабо коррелированные при , для которых ρ = 0.

5. Из суммируемых составляющих выделяются группы сильно коррелированных между собой погрешностей, и внутри этих групп производится алгебраическое суммирование их оценок.

6. После алгебраического суммирования групп сильно коррелированных погрешностей суммарные по группам и оставшиеся вне групп погрешности можно считать некоррелированными и складывать по правилу геометрического суммирования.

Для определения СКО суммарной погрешности при начальном значении измеряемой величины складывают лишь аддитивные составляющие, а для определения СКО погрешности в конце диапазона изменения измеряемой величины — все просуммированные выше составляющие.

7. Для перехода от СКО погрешности к доверительному значению должно быть вынесено суждение о форме закона распределения результирующей погрешности и тем самым выбрано значение квантильного множителя.

Изложенная методика может быть несколько упрощена. Самым сложным в ней являются нахождение СКО всех составляющих по известным их интервальным оценкам и определение интервальной оценки результирующей погрешности по полученному СКО.

В обоих случаях необходимо знание закона распределения погрешностей. Упрощение методики суммирования состоит в том, чтобы сделать эти переходы по возможности более простыми. Один из вариантов состоит в следующем. Согласно центральной предельной теореме, если число суммируемых независимых составляющих достаточно велико (практически при ) и если среди этих составляющих нет существенно преобладающих над остальными, то результирующий закон распределения близок к нормальному. Однако предположение о близости закона распределения к нормальному без соответствующего анализа достаточно рискованно даже и при большом числе суммируемых составляющих. Тем не менее, при недостатке времени и невысоких требованиях к точности получаемого результата предположение о нормальности закона распределения результирующей погрешности вполне возможно. В этом случае доверительный интервал , где квантильный множитель, определяемый через функцию Лапласа; — суммарное СКО или его оценка.

Такой прием существенно снижает трудоемкость расчетов, но может вносить весьма значительные ошибки, если реальное распределение сильно отличается от нормального закона. Например, при фактическом арксинусоидальном распределении ошибка может достигать 180% [12]. Поэтому использовать его надо весьма осторожно.

В качестве другого пути упрощения перехода от СКО результирующей погрешности к ее интервальной оценке следует указать возможность использования доверительной вероятности , при которой для большой группы различных распределений имеет место соотношение

 (2.53)

Действительно, для широкого класса симметричных, высокоэнтропийных (k>1,7) распределений, а именно для равномерного, треугольного, трапецеидального, нормального, экспоненциального с показателем степени , двухмодальных с глубиной антимодальности менее 1,5, интегральные кривые F(x) в области 0,05 и 0,95 квантилей пересекаются между собой в очень узком интервале значений X/S=1,6±0,05. Поэтому с погрешностью 0,05S можно считать, что квантили 0,05 и 0,95 для любых из этих распределений могут быть найдены как и , где координата центра распределения; S – его СКО. Отсюда следует, что значение доверительного интервала, найденное для любого из названных распределений является интервалом с 90%-ной доверительной вероятностью.

При интегральные кривые для разных законов распределения резко расходятся между собой. В этом случае для нахождения доверительного интервала в предложено вместо большого числа таблиц квантилей разнообразных распределений найти для близких классов распределений аппроксимирующие выражения , где ε — эксцесс распределения.

Динамические погрешности являются дополнительными и обычно не суммируются с остальными, а просто ограничивают частотный диапазон предельной величины указанием соответствующего рабочего диапазона частот.

Материалы приведенные выше, позволяют дать некоторые практические рекомендации, которые можно использовать при проведении измерений.

  1.   Во всех случаях расчетов считается, что погрешности измерения по абсолютной величине существенно меньше измеряемой величины.
  2.   При суммировании случайных погрешностей промежуточные значения коэффициента корреляции от 0 до 1 практически не учитываются, принимая либо наличие жесткой связи при , либо ее полное отсутствие при ρ<0,7.
  3.   Случайные погрешности характеризуются следующими аксиомами:

а) малые по величине случайные погрешности встречаются чаще, чем большие;

б) отрицательные и положительные погрешности, равные по величине, встречаются одинаково часто;

в) для каждого метода изготовления изделия есть свой предел, за которым погрешности практически не встречаются.

Оценить случайные погрешности средним арифметическим, вследствие аксиомы "б", не представляется возможным, так как она стремится к нулю при увеличении числа погрешностей. Поэтому случайные погрешности оценивают через СКО ,или предельной погрешностью ().

4. Погрешность несоответствия математической модели реальному объекту измерения не должна превышать 10% заданной погрешности измерения. Поскольку погрешность результата определяется составляющей, имеющей наибольшую погрешность , стремление уменьшить другие составляющие практически не имеет смысла. Следует, прежде всего, стремиться уменьшить . Например, погрешность косвенного измерения, как правило, в 3—4 раза выше погрешности СИ.В этих условиях улучшение метрологических характеристик СИ не дает заметного снижения результирующей погрешности измерения — нужно изменить, например, методику измерений. Это обстоятельство частично объясняет наличие большого количества нестандартизованных СИ, когда при их применении стараются от косвенных методов измерения перейти к прямым.

5. Нестабильность измеряемого параметра в течение времени измерения не должна превышать 10% заданной погрешности измерений. Строго говоря, измерять можно только постоянные величины. Если говорят об измерении переменных величин, то под этим понимают либо измерение постоянных параметров этих величин, либо их измерения в фиксированные моменты времени.

6. Для устранения влияния деформации законов распределения предпочтительным является суммирование составляющих через СКО.

7. Точность обработки числового материала должна быть согласована с точностью измерений. Вычисления с большим количеством десятичных знаков дают лишь ложное представление о повышении точности, требуя больших затрат времени. При округлении результата используют правила математики.

Следует пользоваться основным правилом: погрешность, получающаяся в результате вычислений, должна быть на порядок (в 10 раз) меньше суммарной погрешности измерений.

8. В зависимости от условий измерения, свойств объекта, оснастки, алгоритмов обработки информации погрешности измерения одного и того же параметра с помощью одних и тех же СИ могут отличаться в несколько раз. В целом погрешности технических измерений определяются инструментальными и методическими составляющими. Доля методической составляющей для различных видов измерений колеблется от 5 до 80%. При динамических измерениях этот разброс еще выше.

9. Все виды погрешностей измерений целесообразно свести в две группы:

I. Методические, независящие от СИ, а именно:

- погрешности косвенного измерения;

- погрешности передачи размера из-за неправильного подключения (установки) СИ к объекту;

- погрешности из-за ограниченного числа точек измерений, например, при измерении полей;

- погрешности вычислительных операций).

II. Инструментальные, связанные с работой СИ, а именно:

- погрешности самих СИ;

- погрешности из-за взаимодействия СИ с объектом;

- погрешности из-за ограниченной разрешающей способности СИ).

При проведении измерений, как правило, известна лишь погрешность СИ. Поэтому выделение указанных двух групп позволяет:

оценить потенциальные возможности выбранного метода, выделяя основные методические составляющие из I группы;

определить ограничивающие факторы по I и II группам и при необходимости повысить точность измерений, принять решение об усовершенствовании методики или выборе более точного СИ;

оценить, какая часть погрешностей может увеличиваться со временем и при изменении внешних факторов, т. е. какая часть погрешностей и когда требует периодической аттестации;

рассчитать инструментальную составляющую до полной разработки методик выполнения измерений;

оценить все погрешности по группам I и II, а затем суммировать их по выше приведенным правилам.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36205. Естественные и искусственные основания зданий (классификация грунтов) 32.5 KB
  Классификация грунтов: Скальные грунты залегают в виде сплошного массива. Эти грунты несжимаемы водоустойчивы и при отсутствии трещин и пустот являются наиболее прочными и надежными основаниями. Менее прочны скальные грунты залегающие в виде трещиноватых слоев образующих подобие сухой кладки. Крупнообломочные грунты это несвязные обломки скальных пород с преобладанием по массе свыше 50 частиц размером более 2мм.
36206. Фундаменты малоэтажных зданий (конструкции, материалы) 188.22 KB
  Фундаменты малоэтажных зданий конструкции материалы Фундамент конструктивный элемент здания воспринимающий нагрузку от наземной части здания и передающий ее на основание. с подушкой3трапецеидальной формы4ступенчатый высота ступени больше или равно 30 см Фундаменты малоэтажных жилых зданий...
36207. Деревянные конструкции. Принцип фахверковой стены. Вопросы ее утепления и облицовки 51 KB
  Фахверковые дома имеют жёсткий несущий каркас из : стоек вертикальных элементов балок горизонтальных элементов раскосов диагональных элементов которые и являются основной отличительной особенностью конструкции фахверка. В основном применяются конструкции позволяющие создать большую площадь остекления что зрительно создает эффект растворения границы интерьера сближая человека с природой. В основном несущие элементы конструкции фахверка покрывают защитным составом позволяющим сохранять древесину сухой трудновоспламеняемой и...
36208. КАМЕННЫЕ КОНСТРУКЦИИ ОДНОСЛОЙНЫЕ И МНОГОСЛОЙНЫЕ КОНСТРУКЦИИ НЕСУЩИХ СТЕН 159 KB
  Стены основные элементы конструкции здания. Несущая стена является естественным продолжением и неотъемлемым элементом конструкции здания служит опорой для балок или бетонных плит потолочного перекрытия. Наружные стены могут быть однослойной или слоистой конструкции.
36209. Задачи дискретной оптимизации. Основные точные методы дискретной оптимизации: поиск с возвратом, динамическое программирование, метод ветвей и границ. Приближённые методы дискретной оптимизации: жадный алгоритм, метод локальных вариаций 126.5 KB
  Тогда в терминах ЦЧЛП задача о рюкзаке может быть сформулирована так: найти максимум линейной функции при ограничениях хj  0 . Найти кратчайший маршрут коммивояжера бродячего торговца начинающийся и заканчивающийся в заданном городе и проходящий через все города. Воспользовавшись им при k = n – 1 1 можно найти Q х0 – оптимальное значение критерия эффективности. Зная х1 можно найти – оптимальное управление на 2й стадии и т.
36210. Языки описания выбора. Процедуры выбора при критериальном описании: скалярно-оптимизационный механизм выбора, человеко-машинные процедуры, мажоритарные схемы 73.5 KB
  Процедуры выбора при критериальном описании: скалярнооптимизационный механизм выбора человекомашинные процедуры мажоритарные схемы. Как любая теория теория выбора начинается с языка описания. К настоящему времени сложилось три основных языка описания выбора: критериальный язык; язык бинарных отношений; язык функций выбора.
36211. Классы численных методов построения множеств неулучшаемых решений. Основные теоремы для поточечных методов и алгоритма последовательного выбора 31.5 KB
  Процедуры первой группы осуществляют поочередный поиск отдельных неулучшаемых точек как решений вспомогательных скалярных задач. В них на каждой итерации получается целое множество “неплохих†точек которое на последующих шагах постепенно улучшается. Генератор на каждой итерации порождает набор точек zk а ФВ осуществляет отбор в некотором смысле лучших из них: Генератор множеств точек zk Функция выбора С Для организации выбора необходимо произвести парные сравнения исходных вариантов и отбросить те из...
36212. Эффективные и слабо-эффективные решения. Поточечные методы поиска слабо-эффективных решений и оценок. Линейная свёртка, теорема Карлина. Логическая свёртка, теорема Гермейера. Геометрический смысл теорем Карлина и Гермейера 79.5 KB
  Поточечные методы поиска слабоэффективных решений и оценок. Решения или оценки называются эффективными слабоэффективными если они неулучшаемы по отношению Парето Слейтера. Поиск слабоэффективных решений или оценок поточечными методами базируется на основной теореме 2.
36213. Метод наименьших квадратов (МНК). Теорема Гаусса-Маркова. Анализ уравнения регрессии посредством коэффициента детерминации и остаточной дисперсии. МНК-прогноз 112.5 KB
  МНКпрогноз. Согласно методу наименьших квадратов МНК эти оценки находят из условия минимума функции Qb = где уi – наблюдаемое значение выходного параметра в iм эксперименте.1 МНКоценок и представляет прежде всего теоретический интерес.