19334

УСКОРЕНИЕ ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО УМНОЖЕНИЯ

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

АК ЛЕКЦИЯ № 11 УСКОРЕНИЕ ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО УМНОЖЕНИЯ Методы ускорения умножения можно условно разделить на аппаратные и логические. Те и другие требуют дополнительных затрат оборудования которые при использовании аппаратных методов возрастают с увеличением разряднос...

Русский

2013-07-11

195 KB

201 чел.

АК ЛЕКЦИЯ № 11 УСКОРЕНИЕ ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО УМНОЖЕНИЯ

Методы ускорения умножения можно условно разделить на аппаратные и логические. Те и другие требуют дополнительных затрат оборудования, которые при использовании аппаратных методов возрастают с увеличением разрядности сомножителей. Аппаратные способы приводят к усложнению схемы умножителя, но не затрагивают схемы управления. Дополнительные затраты оборудования при реализации логических методов не зависят от разрядности операндов, но схема управления умножителя при этом утяжеляется. На практике ускорение умножения часто достигается комбинацией аппаратных и логических методов.

Логические методы ускорения умножения

Логические подходы к убыстрению умножения можно подразделить на две группы:

- методы, позволяющие уменьшить количество сложений в ходе умножения;

- методы, обеспечивающие обработку нескольких разрядов множителя за шаг.

Реализация и тех и других требует введения дополнительных цепей сдвига в регистры.

Рассмотрим первую группу логических методов.

Алгоритм Бута

В основе алгоритма Бута лежит следующее соотношение, характерное для последовательностей двоичных цифр;

где т и k — номера крайних разрядов в группе из последовательных единиц. Например, 011110=25 – 21. Это означает, что при наличии в множителе групп из нескольких единиц (комбинаций вида 011,110), последовательное добавление к СЧП множимого с нарастающим весом (от 2k до 2m) можно заменить вычитанием из СЧП множимого с весом 2k и прибавлением к СЧП множимого с весом 2m+1.

Как видно, алгоритм предполагает три операции: сдвиг, сложение и вычитание. Помимо сокращения числа сложений (вычитаний) у него есть еще одно достоинство — он в равной степени применим к числам без знака и со знаком.

Алгоритм Бута сводится к перекодированию множителя из системы (0, 1) в избыточную систему (-1,0,1), из-за чего его часто называют перекодированием Бута (Booth recoding). В записи множителя в новой системе 1 означает добавление множимого к сумме частичных произведений, -1 — вычитание множимого и О не предполагает никаких действий. Во всех случаях после очередной итерации производится сдвиг множимого влево или суммы частичных произведений вправо. Реализация алгоритма предполагает последовательный в направлении справа налево анализ пар разрядов множителя — текущего bi, и предшествующего bi(bibi-1). Для младшего разряда множителя (i - 0) считается, что предшествующий разряд равен 0, то есть имеет место пара b00. На каждом шаге i(i = 0,1,.„, п - 1) анализируется текущая комбинация bi(bibi-1).

Комбинация 10 означает начало цепочки последовательных единиц, и в этом случае производится вычитание множимого из СЧП.

Комбинация 01 соответствует завершению цепочки единиц, и здесь множимое прибавляется к СЧП.

Комбинация 00 свидетельствует об отсутствии цепочки единиц, а 11 — о нахождении внутри такой цепочки. В обоих случаях никакие арифметические операции не производятся.

По завершении описанных действий осуществляется сдвиг множимого влево либо суммы частичных произведений вправо, и цикл повторяется для следующей пары разрядов множителя.

Описанную процедуру рассмотрим на примерах (используется вариант со сдвигом множимого влево). В приведенных примерах операция вычитания, как это принято в реальных умножителях, выполняется путем сложения со множителем, взятым с противоположным знаком и представленным в дополнительном коде. Напомним, что для удлинения кода до нужного числа разрядов в дополнительные позиции слева заносится значение знакового разряда.

Пример 1. 0110x0011-00010010 (в десятичном виде 6хЗ-18), После перекодирования Бута множитель (0,0,1,1) приобретает вид (0,1,0,-1).

В начале сумма частичных произведений принимается равной нулю — 00000000. Полагается, что младшему разряду множителя предшествовал 0. Дальнейший процесс поясняет рис. 7.24.

Рис. 7.24. Пример 1 умножения (6 х 3) в соответствии с алгоритмом Бута

При наиболее благоприятном сочетании цифр множителя количество суммирований равно n/2, где п — число разрядов множителя.

Модифицированный алгоритм Бута

На практике большее распространение получила модификация алгоритма Бута, где количество операций сложения при любом сочетании единиц и нулей в множителе всегда равно п/2. В модифицированном алгоритме производится перекодировка цифр множителя из стандартной двоичной системы (0,1) в избыточную систему (-2, -1, 0, 1, 2), где каждое число представляет собой коэффициент, на который умножается множимое перед добавлением к СЧП. Одновременно анализируются три разряда множителя bi(bibi-1)(два текущих и старший разряд из предыдущей тройки) и, в зависимости от комбинации 0 и 1 в этих разрядах, выполняется прибавление или вычитание множимого, прибавление или вычитание удвоенного множимого, либо никакие действия не производятся (табл. 7.1).

Таблица 7.1. Логика модифицированного алгоритма Бута

Алгоритм Лемана

Еще большее сокращение количества сложений может дать модификация, предложенная Леманом. Здесь, даже при наименее благоприятном сочетании цифр множителя, количество операции сложения не превышает величины n/2, а в среднем же оно составляет n/3. Суть модификации заключается в следующем:

- если две группы нулей разделены единицей, стоящей в k-й позиции, то вместо вычитания в k-й позиции и сложения в (k +1 )-й позиции достаточно выполнить только сложение в k-й позиции;

- если две группы единиц разделены нулем, стоящим в k-й позиции, то вместо сложения в k-й позиции и вычитания в (k + 1)-й позиции достаточно выполнить только вычитание в k-й позиции.

Обработка двух разрядов множителя за шаг

Из второй группы логических методов остановимся на умножении с обработкой за шаг двух разрядов множителя (IBM 360/370). В принципе это более эффективная версия алгоритма Бута. Анализ множителя начинается с младших разрядов. В зависимости от входящей двухразрядной комбинации предусматриваются следующие действия:

- 00 — простой сдвиг на два разряда вправо суммы частичных произведений (СЧП);

- 01 — к СЧП прибавляется одинарное множимое, после чего СЧП сдвигается на 2 разряда вправо;

- 10 — к СЧП прибавляется удвоенное множимое, и СЧП сдвигается на 2 разряда вправо;

- 11 — из СЧП вычитается одинарное множимое, и СЧП сдвигается на 2 разряда вправо. Полученный результат должен быть скорректирован на следующем шаге, что фиксируется в специальном триггере признака коррекции.

Так как в случае пары 11 из СЧП вычитается одинарное множимое вместо прибавления утроенного, для корректировки результата к СЧП перёд выполнением сдвига надо было бы прибавить учетверенное множимое. Но после сдвига на два разряда вправо СЧП уменьшается в четыре раза, так что на следующем шаге достаточно добавить одинарное множимое. Это учитывается при обработке следующей пары разрядов множителя, путем обработки пары 00 как 01, пары 01 как 10, 10 —как 11, а 11 —как 00. В последних двух случаях фиксируется признак коррекции.

Правила обработки пар разрядов множителя с учетом признака коррекции приведены в табл. 7.2. После обработки каждой комбинации содержимое регистра множителя и сумматора частичных произведений сдвигается на 2 разряда вправо. Данный метод умножения требует корректировки результата, если старшая пара разрядов множителя равна 11 или 10 и состояние признака коррекции единичное. В этом случае к полученному произведению должно быть добавлено множимое.

Аппаратные методы ускорения умножения

Традиционный метод умножения за счет сдвигов и сложений, даже при его аппаратной реализации, не позволяет достичь высокой скорости выполнения операции умножения. Связано это, главным образом, с тем, что при добавлении к СЧП очередного частичного произведения перенос должен распространиться от младшего разряда СЧП к старшему. Задержка из-за распространения переноса относительно велика, причем она повторяется при добавлении каждого ЧП.

Один из способов ускорения умножения состоит в изменении системы кодирования сомножителей, за счет чего можно сократить количество суммируемых частичных произведений. Примером такого подхода может служить алгоритм Бута.

Еще один ресурс повышения производительности умножителя — использование более эффективных способов суммирования ЧП, исключающих затраты времени на распространение переносов. Достигается это за счет представления ЧП в избыточной форме, благодаря чему суммирование двух чисел не связано с распространением переноса вдоль всех разрядов числа. Наиболее употребительной формой такого избыточного кодирования является так называемая форма с сохранением переноса. В ней каждый разряд числа представляется двумя битами cs, известными как перенос (с) и сумма (s). При суммировании двух чисел в форме с сохранением переноса перенос распространяется не далее, чем на один разряд. Это делает процесс суммирования значительно более быстрым, чем в случае сложения с распространением переноса вдоль всех разрядов числа.

Наконец, третья возможность ускорения операции умножения заключается в параллельном вычислении всех частичных произведений. Если рассмотреть общую схему умножения (рис. 7.27), то нетрудно заметить, что отдельные разряды ЧП представляют собой произведения вида aibj, то есть произведение определенного бита множимого на определенный бит множителя. Это позволяет вычислить все биты частичных произведений одновременно, с помощью п2 схем «И». При перемножении чисел в дополнительном коде отдельные разряды ЧП могут иметь вид aibj , aibj или aibj . Тогда элементы "И"заменяются элементами, реализующими соответствующую логическую функцию.

Рис. 7.27. Схема перемножения п-разрядных чисел без знака

Таким образом, аппаратные методы ускорения умножения сводятся:

- к параллельному вычислению частичных произведений;

- к сокращению количества операций сложения;

- к уменьшению времени распространения переносов при суммировании частичных произведений.

Все три подхода в любом их сочетании обычно реализуются с помощью комбинационных устройств.

Параллельное вычисление ЧП имеет место практически во всех рассматриваемых ниже схемах умножения. Различия проявляются в основном в способе суммирования полученных частичных произведений, и с этих позиций используемые схемы умножения можно подразделить на матричные и с древовидной структурой. В обоих вариантах суммирование осуществляется с помощью массива взаимосвязанных одноразрядных сумматоров. В матричных умножителях сумматоры организованы в виде матрицы, а в древовидных они реализуются в виде дерева того или иного типа.

Различия в рамках каждой из этих групп выражаются в количестве используемых сумматоров, их виде и способе распространения переносов, возникающих в процессе суммирования.

В матричных умножителях суммирование осуществляется матрицей сумматоров, состоящей из последовательных линеек (строк) одноразрядных сумматоров с сохранением переноса (ССП). По мере движения данных вниз по массиву сумматоров каждая строка ССП добавляет к СЧП очередное частичное произведение. Поскольку промежуточные СЧП представлены в избыточной форме с сохранением переноса, во всех схемах, вплоть до последней строки, где формируется окончательный результат, распространения переноса не происходит. Это означает, что задержка в умножителях отталкивается только от ォглубиныサ массива (числа строк сумматоров) и не зависит от разрядности операндов, если только в последней строке матрицы, где формируется окончательная СЧП, не используется схема с последовательным переносом.

Наряду с высоким быстродействием важным достоинством матричных умножителей является их регулярность, что особенно существенно при реализации таких умножителей в виде интегральной микросхемы. С другой стороны, подобные схемы занимают большую площадь на кристалле микросхемы, причем с увеличением разрядности сомножителей эта площадь увеличивается пропорционально квадрату числа разрядов. Вторая проблема с матричными умножителями — низкий уровень утилизации аппаратуры. По мере движения СЧП вниз каждая строка задействуется лишь однократно, когда ее пересекает активный фронт вычислений. Это обстоятельство, однако, может быть затребовано для повышения эффективности вычислений путем конвейеризации процесса умножения, при которой по мере освобождения строки сумматоров последняя может быть использована для умножения очередной пары чисел:

Ниже рассматриваются различные алгоритмы умножения и соответствующие им схемы матричных умножителей. Каждый из алгоритмов имеет свои плюсы и минусы, важность которых для пользователя определяет выбор той или иной схемы.

Матричное умножение чисел без знака

Результат Р перемножения двух ォ-разрядных двоичных целых чисел А и В без знака можно описать выражением

Умножение сводится к параллельному формированию битов из п n-разрядных частичных произведений с последующим их суммированием с помощью матрицы сумматоров, структура которой соответствует приведенной матрице умножения. Схема известна как умножитель Брауна. На рис. 7.28 показан такой умножитель для четырехразрядных двоичных чисел в котором каждому столбцу в матрице умножения соответствует диагональ умножителя. Биты частичных произведений (ЧП) вида aibj формируются с помощью элементов «И». Для суммирования ЧП применяются два вида одноразрядных сумматоров с сохранением переноса: полусумматоры (ПС) и полные сумматоры (СМ). Полусумматором называется одноразрядное суммирующее устройство, имеющее два входа для слагаемых и два выхода — выход бита суммы к выход бита переноса. В отличие от полусумматора складывает три числа, то есть имеет три входа для слагаемых и два выхода — выход бита суммы и выход бита переноса.

Матричное умножение чисел в дополнительном коде

К сожалению, умножитель Брауна годится только для перемножения чисел без знака. При обработке знаковых чисел отрицательные представляются дополнительным кодом, а матричные умножителя строятся по схемам, отличным от схемы Брауна. Прежде всего, напомним, что запись двоичного числа в дополнительном коде (с дополнением до 2) имеет вид

где первый член правого выражения представляет знак числа, а сумма — его модуль.

Исходя из приведенной записи, произведение Р двух n-разрядных двоичных целых чисел А и В дополнительном коде (значение произведения и сомножителей в дополнительном коде обозначим соответственно V(P), V(A) и V(B)) можно описать выражением

Матрица умножения чисел со знаком, представленных в дополнительном коде, похожа на матрицу перемножения чисел без знаков (рис. 7.29). Отличие состоит в том, что (2n - 2) частичных произведений инвертированы, а в столбцы п и (2n - 1) добавлены единицы.

Рис. 7.29. Матрица перемножения п-разрядных чисел в дополнительном коде

Соответствующая схема матричного умножителя для четырехразрядных чисел показана на рис. 7.30.

Здесь (2n - 2) частичных произведений инвертированы за счет замены элементов «И» на элементы «И-НЕ». Сумматор в младшем разряде нижнего ряда складывает 1 в столбце п с вектором сумм и переносов из предшествующей строки, реализуя при этом следующие выражения:

Инвертор в нижней строке слева обеспечивает добавление единицы в столбец (2n-1).

Рис. 7.30. Матричный умножитель для четырехразрядных чисел в дополнительном коде

Алгоритм Бо-Вули

Несколько иная схема матричного умножителя, также обеспечивающего умножение чисел в дополнительном коде, была предложена Бо и Bули [61]. В алгормитме Бо-Вули произведение чисел в дополнительном коде представляется следующим соотношением.

Алгоритм Пезариса

Еще один алгоритм для вычислений произведения чисел в дополнительном коде был предложен Пезарисом [181].

При представлении числа в дополнительном коде старший разряд числа имеет отрицательный вес. Для учета этого обстоятельства Пезарис выдвигает идею использовать в умножителе четыре вида полных сумматоров (рис, 7.33).

Рис. 7.33. Виды сумматоров, применяемых в матричном умножителе Пезариса

По сравнению с умножителем Бо-Вули, схема Пезариса имеет более регулярный вид, но, с другой стороны, она предполагает присутствие нескольких типов сумматоров.

Древовидные умножители

Сократить задержку, свойственную матричным умножителям, удается в схемах, построенных по древовидной структуре. Если в матричных умножителях для суммирования п частичных произведений требуется n строк сумматоров, то в древовидных схемах количество ступеней сумматоров пропорционально log2 n (рис. 7.36).

Рис. 7.36. Суммирование частичных произведений в умножителях: а — с матричной структурой; б — со структурой двоичного дерева

Соответственно числу ступеней суммирования сокращается и время вычисления СЧП. Хотя древовидные схемы быстрее матричных, однако при их реализации требуются дополнительные связи для объединения разрядов, имеющих одинаковый вес, из-за чего площадь, занимаемая схемой на кристалле микросхемы, может оказаться даже больше, чем в случае матричной организации сумматоров. Еще одна проблема связана с тем, что стандартное двоичное дерево не является самой эффективной древовидной иерархией, поскольку не позволяет в полной мере воспользоваться возможностями полного сумматора (имеющего не два, а три входа), благодаря чему можно одновременно суммировать сразу три входных бита. По этой причине на практике в умножителях с древовидной структурой применяют иные древовидные схемы. С другой стороны, такие схемы не столь регулярны, как двоичное дерево, а регулярность структуры — одно из основных требований при создании интегральных микросхем.

Древовидные умножители включают в себя три ступени:

- ступень формирования битов частичных произведений, состоящую из n2 элементов «И»;

- ступень сжатия частичных произведений — реализуется в виде дерева параллельных сумматоров (накопителей), служащего для сведения частичных произведений к вектору сумм и вектору переносов. Сжатие реализуется несколькими рядами сумматоров, причем каждый ряд вносит задержку, свойственную одному полному сумматору;

- ступень заключительного суммирования, где осуществляется сложение вектора сумм и вектора переносов с целью получения конечного результата. Обычно здесь применяется быстрый сумматор с временем задержки, пропорциональ-ным O(log2(n)).

Известные древовидные умножители различаются по способу сокращения числа ЧП. При использовании в умножителе СМ и ПС их обычно называют счетчиками (3,2) и (2,2) соответственно. Связано это с тем, что код на выходах cs, как и в двоичном счетчике, равен количеству единиц, поданных на входы.

Процесс «компрессии» СЧП завершается формированием двух векторов — вектора сумм и вектора переносов, которые для получения окончательного результата обрабатываются многоразрядными сумматорами, то есть различие между древовидными схемами сжатия касается, главным образом, способа формирования упомянутых векторов.

В известных на сегодня умножителях наибольшее распространение получили  три древовидных схемы суммирования ЧП: дерево Уоллеса, дерево Дадда и перевернутое ступенчатое дерево.

В наиболее общей формулировке дерево Уоллеса — это оператор с п входами и log2n выходами, в котором код на выходе равен числу единиц во входном коде. Вес битов на входе совпадает с весом младшего разряда выходного кода. Простейшим деревом Уоллеса является СМ. Используя такие сумматоры, а также полусумматоры, можно построить дерево Уоллеса для перемножения чисел любой разрядности, при этом количество сумматоров возрастает пропорционально величине log2n. В такой же пропорции растет время выполнения операции умножения.

Согласно алгоритму Уоллеса, строки матрицы частичных произведений группируются по три. Полные сумматоры используются для сжатия столбцов с тремя битами, а полусумматоры — столбцов с двумя битами. Строки, не попавшие в набор из трех строк, учитываются в следующем каскаде редукции. Количество строк в матрице (ее высота) на j-й ступени определяется выражениями wо = n и wj + l =2[wj3] + (wj mod 3),пока wj >=2.

В 32-разрядном умножителе на базе дерева Уоллеса высоты матриц ЧП последовательно уменьшаются в последовательности: 22,15, 10, 7, 5, 4, 3 и 2. Логика построения дерева Уоллеса для суммирования частичных произведений в умножителе 4 x4 показана на рис, 7.37, а. Для пояснения структуры дерева сумматоров часто применяют так называемую точечную диаграмму (рис. 7.37,6). В ней точки обозначают биты частичных произведений, прямые диагональные линии представляют выходы полных сумматоров, а перечеркнутые диагонали — выходы полусумматоров. Хотя на рис. 7.37, а в третьем каскаде показаны три строки, фактически после редукции остаются лишь две первых, а третья лишь отражает переносы, которые учитываются при окончательном суммировании. Этим объясняется кажущееся отличие от точечной диаграммы.

Схема Уоллеса считается наиболее быстрой, но в то же время ее структура наименее регулярна, из-за чего предпочтение отдается иным древовидным структурам. Основная сфера использования умножителей со схемой Уоллеса — перемножение чисел большой разрядности. В этом случае быстродействие имеет превалирующее значение.

При умножении чисел небольшой разрядности более распространена другая схема сжатия суммирования ЧП — схема дерева Л. Дадда. В ее основе также лежит дерево Уоллеса, но реализуемое минимальным числом сумматоров.

Различия методов Уоллеса и Дадда являются следствием разных подходов к решению задачи "компрессии" суммирования. Алгоритм Уоллеса ориентирован на сжатие кодов как можно раньше, на самых ранних этапах, а алгоритм Дадда стремится это сделать по возможности позже, то есть наибольший уровень сжатия относит к завершающим стадиям.

Сравнивая схемы Уоллеса и Дадда, можно отметить, что число каскадов сжатия в них одинаково, однако количество используемых полусумматоров и полных сумматоров в схеме Дадда меньше (при подсчете числа элементов обычно не учитывают многоразрядные сумматоры, предназначенные для окончательного сложения векторов сумм и переносов). С другой стороны, на этапе сложения векторов сумм и переносов в варианте Уоллеса требуется сумматор с меньшим числом разрядов (в нашем примере — 4 против 6).

У обеих схем имеется общий недостаток — нерегулярность структуры, особенно у дерева Уоллеса.

Сравнительная оценка схем умножения с матричной и древообразной структурой

В табл. 7.4 приведены данные по производительности различных видов умножителей, выполненных средствами интегральной схемотехники. Быстродействие умножителей характеризуется коэффициентом при величине задержки TL В ОДНОМ логическом элементе.

Табл. 7.4

Содержимое таблицы плюс некоторые не включенные в нее данные позволяют сделать следующие выводы. Наиболее быстро работают умножители, построенные по схеме Бута, а также имеющие древовидную структуру, в частности дерево Дадда. Для операндов длиной в 16 разрядов и более наиболее привлекательной представляется модифицированная схема Бута, как по скорости, так и по затратам оборудования. Максимально быстрое выполнение операции умножения обеспечивает сочетание алгоритма Бута и дерева Уоллеса. С другой стороны, достаточно хорошие показатели скорости при умножении чисел небольшой разрядности выдает схема Бо-Вули. В плане потребляемой мощности наиболее экономичными являются умножители, построенные по схемам Брауна и Пезариса. Несмотря на сравнительно небольшое число используемых транзисторов, схемы на базе алгоритма Бута, а также древовидные реализации, потребляют больше из-за избыточных внутренних связей, связанных с нерегулярной структурой этих схем.

Конвейеризация параллельных умножителей

В матричной и древовидной структурах параллельных умножителей заложен еще один потенциал повышения производительности — возможность конвейеризации.

При конвейеризации весь процесс вычислений разбивается на последовательность законченных шагов. Каждый из этапов процедуры умножения выполняется на своей ступени конвейера, причем все ступени работают параллельно. Результаты, полученные на i-й ступени, передаются на дальнейшую обработку в (i + 1)-ю ступень конвейера. Перенос информации со ступени на ступень происходит через буферную память, размещаемую между ними (рис. 7.43).

Рис. 7.43. Структура конвейерного умножителя

Схема конвейера легко может быть применена к матричным и древовидным умножителям. В матричных умножителях в качестве ступени конвейера выступает каждая строка матрицы сумматоров. В качестве примера конвейеризированного матричного умножителя на рис. 7,44 приведена схема 4x4. Черными прямоугольниками обозначены триггеры-защелки, образующие буферную память.

Рис. 7.44. Конвейеризированный матричный умножитель

Конвейеризация матричных умножителей на уровне строк сумматоров может быть затруднительной из-за большого числа ступеней и необходимости введения в состав умножителя значительного количества триггеров-защелок. Сокращение числа триггеров достигается за счет следующих приемов:

- отказа от использования идеи конвейеризации между входными схемами "И" и первой строкой полных сумматоров;

- увеличением времени обработки на каждой ступени, например можно принять его равным удвоенному времени срабатывания полного сумматора;

- отказом от формирования всех пг битов частичных произведений в самом начале, перед первой ступенью конвейера, и вычислением их по мере необходимости на разных ступенях конвейера.

Рекурсивная декомпозиция операции умножения

Как правило, аппаратные умножители, построенные на рассмотренных принципах, имеют ограничение на число разрядов вводимых чисел. Умножитель повышенной разрядности можно получить из модулей меньшей разрядности, выстраивая так называемую рекурсивную декомпозицию операции умножения. Так, для построения умножителя 8x8 можно использовать четыре модуля типа 4x4. Множимое А разбивается на четыре старших (Ah) и четыре младших (А1) разряда. Множитель В таким же образом разбивается на части Вh и В1 Четыре модуля типа 4 x4 вычисляют соответственно произведения AhxBh , AhxBh A1xBh , A1xВ1,. На выходах модулей получаются восьмиразрядные результаты, которые соответствуют частичным произведениям в разрядах: 15—8,11-4, снова 11-4 и 7-0. Окончательный результат формируется путем суммирования этих четырех частичных произведений с учетом их положения в разрядной сетке (рис. 7.46).

Рис. 7.49. Декомпозиция операции умножения


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

40538. Аффиксация как грамматический способ, типы аффиксов 27.5 KB
  Бопп склеивание 1 Индоевропейская семья 1 Тюркская финноугорская семья кавказские языки 2 Аффиксы многозначны 2 Аффиксы однозначны. 3 Аффиксы нестандартны 3 Аффиксы стандартны 4 Без аффиксов слово не является оформленным 4 Без аффиксов слово может функционировать 5 Аффиксы сливаются с корнем хорошо видно на фонетическом уровне 5 Морфемный шов четко виден В русском языке агглютинирующий аффикс – постфикс ся Классификация аффиксов: по положению относительно корня: префиксы постфиксы по значению обычно постфиксы: ...
40539. Баски 33.5 KB
  Vscones о чем свидетельствует обилие имен собственных баскского происхождения в этом районе. Праязыком баскского является аквитанский в котором было насчитано 400 имён собственных и 70 богословных названий. Не увенчались успехом попытки установления родства баскского языка с кавказскими хамитскими и дравидийскими языками с лигурским и тем более японским. Французский филолог принц ЛуиЛюсьен Бонапарт 1813–1891 выделил следующие диалекты баскского языка: бискайский гипускоанский южный и северный варианты верхненаваррского...
40540. Генеалогическая классификация языков. Структура индоевропейской языковой семьи. Важнейшие языковые семьи 22 KB
  Генеалогическая классификация языков. Генеалогическая классификация – изучение и группировка языков мира на основании определения родственных связей между ними отнесения их к одной семье группе т.
40541. Грамматические способы в языках мира (кроме аффиксации) 29.5 KB
  Полное или частичное повторение корня основы или целого слова возможно изменение звукового состава. Супплетивизм – использование разнокоренных слов разноосновных для образования нового слова лексическое значение не меняется. формы степени сравнения: хороший лучше виды глагола: брать взять временные формы: быть буду был формы местоимений: я меня мною формы числа: человек люди Способ ударения – образует формы слова передвижением ударения. Служебные слова: предлоги союзы частицы артикли: признак имени...
40542. Предмет фонетики. Три аспекта изучения звуков речи. Акустические свойства звуков речи 11.08 KB
  Свойства звуковой волны: высота звука – частота колебаний в единицу времени Гц. сила – амплитуда колебаний. тон – результат периодических ритмических колебаний. шум – результат непериодических ритмических колебаний.
40544. Лексико-семантическая система языка, ее организация и особенность изменения. Фразеологизмы 12.09 KB
  Слова любого языка – упорядоченное явление. Система основана на разных типах отношений между словами: экстралингвистические факторы машина велосипед – агрегаты для перемещения внутрилингистическое единство. Важные лексические группировки слов: тематические группы слов семантические поля – на основе экстралингвистических связей. Гипоним – слово обозначающее подчиненное понятие Гипероним – слово обозначающее более общее понятие.
40545. Словосочетание как единица синтаксиса. Классификация словосочетаний по разным признакам 13.29 KB
  Словосочетание – типовое соединение словоформ синтаксическая конструкция которая образуется соединением двух или более знаменательных слов на основе подчинительной связи. По виду связи: согласование – вид подчинительной связи при котором форма зависимого слова повторяет форму стержневого проявляет те же грамматические категории. управление – вид подчинительной связи при котором форма зависимого компонента определяется свойствами главного слова. примыкание – вид подчинительной связи при котором не используются специальные средства...
40546. Грамматическая форма, грамматическое значение и грамматическая категория как основные понятия морфологии 11.58 KB
  Грамматическая форма грамматическое значение и грамматическая категория как основные понятия морфологии. Грамматическое значение – общее отвлеченное свойственное многим словам значение в отличие от лексического относит данную словоформу к определенному грамматическому классу. Каждая морфема несет какоелибо грамматическое значение. Стол’икам Стол’ – корень передает вещественное значение.