19532

Цифровая обработка сигналов. Основные понятия

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Лекция 1.Цифровая обработка сигналов. Основные понятия Введение В настоящее время методы цифровой обработки сигналов digital signal processing DSP находят все более широкое применение вытесняя постепенно методы основанные на аналоговой обработке. В данном курсе рассматрива...

Русский

2013-07-12

608.07 KB

8 чел.

Лекция 1.Цифровая обработка сигналов. Основные понятия

Введение

В настоящее время методы цифровой обработки сигналов, digital signal processing (DSP) находят все более широкое применение, вытесняя постепенно методы, основанные на аналоговой обработке. В данном курсе рассматриваются основы теории, и наиболее употребляемые алгоритмы обработки. 

При работе над данным конспектом автор пользовался следующими источниками

  1.  Р.Отнес, Л.Энокон. Прикладной анализ временных рядов. М.:Мир, 1982.
  2.  A.Oppenheim, R.Schafer. Discrete-time signal processing. Prentice-Hall, 1989.

Кроме того, при изложении вопросов, связанных с Wavelet теорией использованы статьи, о которых будет сказано в соответствующем месте.

Постановка задачи.

Пусть имеется непрерывный сигнал x(t), заданный на интервале . При переходе к оцифровке происходит следующая операция. Выбирается шаг дискретизации , и вместо исходного сигнала получается последовательность . Далее, выбирается формат оцифровки r. Обычно он бывает кратным 8, хотя это не обязательно. Предположим, что существует такое число М, что выполнены неравенства:  для всех n. Интервал [-M,M] разбивается на частей. После этого каждое значение  заменяется номером интервала, в который попало соответствующее значение. В результате последовательность  заменяется новой последовательностью , но теперь каждый член новой последовательности принимает значения из интервала . При желании вместо указанного представления можно перейти к представлению сигнала целыми числами со знаком.

На каждом из упомянутых шагов происходит огрубление сигнала. Первая задача цифровой обработки заключается в оценке искажения исходного сигнала. Дальнейшая обработка состоит в извлечении из полученного сигнала нужной информации и подавлении шумов. Это осуществляется с помощью цифровой фильтрации. Даже оцифрованный сигнал занимает много места, и следующий шаг обработки заключается в сжатии сигнала. Обычно имеется в виду сжатие с потерей информации. Здесь важно установить критерии допустимой потери информации. В зависимости от выбранного критерия выбирается способ сжатия. Хотя последовательность бесконечна, в реальных условиях мы имеем дело лишь с конечными последовательностями. В этой связи нужна оценка потерь, связанных с усечением последовательностей.

Преобразование Фурье

Важнейшей характеристикой исходного сигнала является его преобразование Фурье. Если исходный сигнал задан функцией , заданной на всей вещественной оси, то его преобразование Фурье задается формулой

  (1)

Функция  или ее модуль трактуется как интенсивность исходного сигнала на частоте . Обратное преобразование задается аналогичной формулой:

  (2)

Справедливость указанных формул возможна лишь при  определенных ограничениях на исходные функции. В зависимости от наложенных ограничений данным формулам придают различный смысл. Мы не будем уточнять данное обстоятельство, предполагая, что все выполняемые операции типа изменения порядка интегрирования законны. Однако в любом случае при обычном понимании интегрирования необходимым условием является убывание функций на бесконечности. В реальных условиях это ограничение не имеет места, поэтому предварительно нужно ознакомиться со специальным математическим аппаратом, позволяющим в некоторых случаях обойти данное ограничение.

Прежде, чем переходить к изложению этого аппарата, напомним основные свойства преобразования Фурье. Для краткости связь между функцией и ее преобразованием Фурье будем обозначать так: .

Если  то 

Сверткой двух функций называется функция , заданная формулой: . Имеет место соотношение 

Двойственное соотношение имеет вид .

Вообще говоря, не предполагается, что функция  - вещественная. Если же это так, то  

. Эта формула получается формальным дифференцированием под знаком интеграла в (2).

Обобщенные функции

Как уже отмечалось, для  того, чтобы в обычном смысле существовало преобразование Фурье от функции, необходимо ее убывание на бесконечности. Очевидно, что это не выполнено для стационарного сигнала. Для того, чтобы иметь возможность работать с преобразованием Фурье и от таких функций нужен вспомогательный аппарат.

Обозначим через  множество бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем. По определению, последовательность , если все эти функции имеют общий компактный носитель, принадлежат  и в каждой точке имеет место обычная сходимость. Функционал это отображение , причем . Если  - интегрируемая функция, то ей соответствует функционал . Однако существуют функционалы, не представимые в указанной форме. Например, . Этот функционал записывают в форме . Наряду с указанным функционалом определяют функционалы , исходя из формального правила замены переменных в интеграле. Хотя этот функционал нельзя представить с помощью обычной функции, можно ввести -образную последовательность. Положим  при  и 0 в остальных точках. Интеграл от нее равен 1. При больших  функция  представима в виде  при , поэтому  (второе слагаемое исчезает в силу симметричности). 

Лемма. Пусть  имеет интегрируемую производную. Тогда 

Доказательство проводится интегрированием по частям. Аналогичное утверждение справедливо и для .

Задача 1. Доказать, что 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

76986. Общие правила наложения административных наказаний, учет смягчающих и отягчающих наказание обстоятельств 27.21 KB
  Общие правила наложения административного наказания. Административное наказание за совершение административного правонарушения назначается в пределах установленных законом предусматривающим ответственность за данное административное правонарушение в соответствии с КоАП. При назначении административного наказания физическому лицу учитываются характер совершенного им административного правонарушения личность виновного его имущественное положение обстоятельства смягчающие административную ответственность и обстоятельства отягчающие...
76987. Назначение административных наказаний. Сроки давности привлечения к административной ответственности. Сроки действия административных наказаний 27.49 KB
  Сроки давности привлечения к административной ответственности. Если срок давности привлечения к административной ответственности истек то дело об АПН не м. После вынесения постановления сроком давности мы не связаны т. обжаловать можно без привязки к сроку давности.
76988. Административный процесс: понятие, сущность, признаки в широком и узком понятии. Структура административного процесса 28.72 KB
  Структура административного процесса. Административный процесс урегулированный нормами административного права порядок правоприменительной деятельности органов государственной власти органов местного самоуправления и их должностных лиц по реализации полномочии соответствующих органов. административную юрисдикцию в сфере административной ответственности; в порядок осуществления правосудия по публичноправовым административным спорам между органами публичной власти с одной стороны и гражданами и организациями юридическими лицами с...
76989. Понятие административно-процессуального права. Административно-процессуальные нормы и административно-процессуальные отношения 27.7 KB
  Административное процессуальное право представляет собой систему административно-процессуальных норм, регулирующих порядок (процедуры) осуществления управленческих отношений, возникающих в процессе: -построения и функционирования исполнительных органов государственной власти
76990. Административные производства и административные процедуры как составные части административного процесса 28.63 KB
  Об административных процедурах говорится как о системе административнопроцедурных правоотношений складывающихся в различных административноправовых институтах. Основная цель формирования административных процедурных правоотношений установление административного правового порядка осуществления управленческих действий; реализация прав и исполнение обязанностей граждан и организаций; обеспечение законности публичного управления; установление гарантий справедливости и обоснованности принятия административных актов или совершения...
76991. Производство по обращениям граждан: правовые основы, виды обращений, процессуальные права, обязанности, гарантии, ответственность участников производства 28.35 KB
  В известном смысле данный вид производства связан также с реализацией конституционного права граждан свободно искать получать передавать производить и распространять информацию любым законным способом за исключением сведений составляющий государственную тайну Обеспечение реализации этого конституционного права российских граждан составляет важную обязанность органов государственной власти Российской Федерации их специальных подразделений аппарата и должностных лиц. Так в аппарате Администрации Президента Российской Федерации существует...
76992. Общая характеристика производства по делам об административных правонарушениях. Задачи и принципы данного производства, обстоятельства, исключающие производство по делу 27.25 KB
  Общая характеристика производства по делам об административных правонарушениях. Задачами производства по делам об административных правонарушениях являются всестороннее полное объективное и своевременное выяснение обстоятельств каждого дела разрешение его в соответствии с законом обеспечение исполнения вынесенного постановления а также выявление причин и условий способствовавших совершению административных правонарушений. Принцип объективности выражается в обязанности государственных органов и должностных лиц уполномоченных осуществлять...
76993. Стадии производства по делам об административных правонарушениях, их правовая характеристика 29.2 KB
  Так при взыскании штрафа на месте соединяется расследование рассмотрение дела и исполнение постановления. Рассмотрение дела: подготовка дела к рассмотрению анализ и оценка обстоятельств дела принятие постановления объявление постановления. Пересмотр постановления: подача жалобы или опротестование постановления; рассмотрение жалобы или пересмотр постановления; вынесение решения; оглашение решения. Исполнение постановления: обращение постановления к исполнению; приведение постановления в исполнение; разрешение вопросов связанных с...
76994. Участники производства по делам об административных правонарушениях: понятие, классификация 27.05 KB
  Участники производства по делам об административных правонарушениях: понятие классификация. Это те уполномоченные лица которые наделены правом принятия решений в производстве по делу решений о возбуждении дела или отказе в возбуждении дела о назначении наказания или прекращения производства и т. Эти лица не имеют своего интереса в исходе производства они содействуют его осуществлению в силу своих профессиональных обязанностей или в процессе выполнения гражданского долга. Всех субъектов производства можно разделить на несколько групп.