19532

Цифровая обработка сигналов. Основные понятия

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Лекция 1.Цифровая обработка сигналов. Основные понятия Введение В настоящее время методы цифровой обработки сигналов digital signal processing DSP находят все более широкое применение вытесняя постепенно методы основанные на аналоговой обработке. В данном курсе рассматрива...

Русский

2013-07-12

608.07 KB

8 чел.

Лекция 1.Цифровая обработка сигналов. Основные понятия

Введение

В настоящее время методы цифровой обработки сигналов, digital signal processing (DSP) находят все более широкое применение, вытесняя постепенно методы, основанные на аналоговой обработке. В данном курсе рассматриваются основы теории, и наиболее употребляемые алгоритмы обработки. 

При работе над данным конспектом автор пользовался следующими источниками

  1.  Р.Отнес, Л.Энокон. Прикладной анализ временных рядов. М.:Мир, 1982.
  2.  A.Oppenheim, R.Schafer. Discrete-time signal processing. Prentice-Hall, 1989.

Кроме того, при изложении вопросов, связанных с Wavelet теорией использованы статьи, о которых будет сказано в соответствующем месте.

Постановка задачи.

Пусть имеется непрерывный сигнал x(t), заданный на интервале . При переходе к оцифровке происходит следующая операция. Выбирается шаг дискретизации , и вместо исходного сигнала получается последовательность . Далее, выбирается формат оцифровки r. Обычно он бывает кратным 8, хотя это не обязательно. Предположим, что существует такое число М, что выполнены неравенства:  для всех n. Интервал [-M,M] разбивается на частей. После этого каждое значение  заменяется номером интервала, в который попало соответствующее значение. В результате последовательность  заменяется новой последовательностью , но теперь каждый член новой последовательности принимает значения из интервала . При желании вместо указанного представления можно перейти к представлению сигнала целыми числами со знаком.

На каждом из упомянутых шагов происходит огрубление сигнала. Первая задача цифровой обработки заключается в оценке искажения исходного сигнала. Дальнейшая обработка состоит в извлечении из полученного сигнала нужной информации и подавлении шумов. Это осуществляется с помощью цифровой фильтрации. Даже оцифрованный сигнал занимает много места, и следующий шаг обработки заключается в сжатии сигнала. Обычно имеется в виду сжатие с потерей информации. Здесь важно установить критерии допустимой потери информации. В зависимости от выбранного критерия выбирается способ сжатия. Хотя последовательность бесконечна, в реальных условиях мы имеем дело лишь с конечными последовательностями. В этой связи нужна оценка потерь, связанных с усечением последовательностей.

Преобразование Фурье

Важнейшей характеристикой исходного сигнала является его преобразование Фурье. Если исходный сигнал задан функцией , заданной на всей вещественной оси, то его преобразование Фурье задается формулой

  (1)

Функция  или ее модуль трактуется как интенсивность исходного сигнала на частоте . Обратное преобразование задается аналогичной формулой:

  (2)

Справедливость указанных формул возможна лишь при  определенных ограничениях на исходные функции. В зависимости от наложенных ограничений данным формулам придают различный смысл. Мы не будем уточнять данное обстоятельство, предполагая, что все выполняемые операции типа изменения порядка интегрирования законны. Однако в любом случае при обычном понимании интегрирования необходимым условием является убывание функций на бесконечности. В реальных условиях это ограничение не имеет места, поэтому предварительно нужно ознакомиться со специальным математическим аппаратом, позволяющим в некоторых случаях обойти данное ограничение.

Прежде, чем переходить к изложению этого аппарата, напомним основные свойства преобразования Фурье. Для краткости связь между функцией и ее преобразованием Фурье будем обозначать так: .

Если  то 

Сверткой двух функций называется функция , заданная формулой: . Имеет место соотношение 

Двойственное соотношение имеет вид .

Вообще говоря, не предполагается, что функция  - вещественная. Если же это так, то  

. Эта формула получается формальным дифференцированием под знаком интеграла в (2).

Обобщенные функции

Как уже отмечалось, для  того, чтобы в обычном смысле существовало преобразование Фурье от функции, необходимо ее убывание на бесконечности. Очевидно, что это не выполнено для стационарного сигнала. Для того, чтобы иметь возможность работать с преобразованием Фурье и от таких функций нужен вспомогательный аппарат.

Обозначим через  множество бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем. По определению, последовательность , если все эти функции имеют общий компактный носитель, принадлежат  и в каждой точке имеет место обычная сходимость. Функционал это отображение , причем . Если  - интегрируемая функция, то ей соответствует функционал . Однако существуют функционалы, не представимые в указанной форме. Например, . Этот функционал записывают в форме . Наряду с указанным функционалом определяют функционалы , исходя из формального правила замены переменных в интеграле. Хотя этот функционал нельзя представить с помощью обычной функции, можно ввести -образную последовательность. Положим  при  и 0 в остальных точках. Интеграл от нее равен 1. При больших  функция  представима в виде  при , поэтому  (второе слагаемое исчезает в силу симметричности). 

Лемма. Пусть  имеет интегрируемую производную. Тогда 

Доказательство проводится интегрированием по частям. Аналогичное утверждение справедливо и для .

Задача 1. Доказать, что 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

14469. РЕФОРМИРОВАНИЕ ВНЕШНЕПОЛИТИЧЕСКОГО КУРСА США В ПЕРИОД ПЕРВОГО ПРЕЗИДЕНСТВА Б.ОБАМЫ. СРАТЕГИЯ НАЦИОНАЛЬНОЙ БЕЗОПАСНОСТИ – 2010 18.5 KB
  РЕФОРМИРОВАНИЕ ВНЕШНЕПОЛИТИЧЕСКОГО КУРСА США В ПЕРИОД ПЕРВОГО ПРЕЗИДЕНСТВА Б.ОБАМЫ. СРАТЕГИЯ НАЦИОНАЛЬНОЙ БЕЗОПАСНОСТИ 2010. С приходом к власти Барак Обама определил задачи во внешней политике в качестве основных для своей администрации. Большинство американски
14470. Исторические этапы формирования основных принципов внешней политики США 17.92 KB
  Исторические этапы формирования основных принципов внешней политики США. Внешняя политика США стала оформляться лишь в 20е годы 19 века. Знаковым явлением в данном процессе стала известная €œдоктрина Монро€. 2 декабря 1823 г. американский президент Джеймс Монро изложил в
14471. Государственный департамент США. «Четырехлетний обзор дипломатии и развития международных отношений.2010» 18.57 KB
  Государственный департамент США. Четырехлетний обзор дипломатии и развития международных отношений.2010. Государственный департамент образован в 1789 году вместе с ним в этом же году появляется пост государственного секретаря. ГосДеп Государственный департамент явл...
14472. Становление ОВПБ 21.06 KB
  Становление ОВПБ Первая попытка интеграции была предпринята в начале 1952 года Франция ФРГ Италия и Бельгия Нидерланды Люксембург подписали договор об учреждении Европейского Оборонительного сообщества ЕОС. Однако парламент Франции заблокировал создание ЕОС. Интег...
14473. Реформа внешнеполитической деятельности ЕС по Лиссабонскому договору 17.07 KB
  Реформа внешнеполитической деятельности ЕС по Лиссабонскому договору Лиссабонский договор был подписан в декабре 2007 г. и вступил в силу в декабре 2009 г. В соответствии с этим договором проводится модернизация внешней политики Европейского Союза. Договор вводит должн
14474. Структура и деятельность Европейского внешнеполитического ведомства. Основные проблемы внешнеполитической деятельности ЕС на современном этапе 17.67 KB
  Структура и деятельность Европейского внешнеполитического ведомства. Основные проблемы внешнеполитической деятельности ЕС на современном этапе. Европейское внешнеполитическое ведомство EEAS: European External Action Service отдел ЕС который был создан после вступления в силу Лис...
14475. Основные финансовые инструменты внешней политики ЕС 17.89 KB
  Основные финансовые инструменты внешней политики ЕС Внешняя политика ЕС развивается в рамках чётко определённых региональных и тематических инструментов. Финансирование внешней политики имеет как бюджетную так и внебюджетную природу. Инструменты внешней политики ...
14476. Международные санкции как инструмент внешней политики ЕС и США 23.56 KB
  Международные санкции как инструмент внешней политики ЕС и США. Впервые санкции были использованы в Версальском мирном договоре. Санкции как политический инструмент использовались еще с 19 века. Как инструмент были оформлены в уставе Лиги Наций 1920г ст 16 Устав предо
14477. Миротворчество во внешней политике США и ЕС 20.67 KB
  Миротворчество во внешней политике США и ЕС Военнополитическое руководство Соединенных Штатов учитывая возрастание значения миротворческих операций для продвижения американских интересов в быстро меняющейся международной обстановке стремится принимать в них акт