19532

Цифровая обработка сигналов. Основные понятия

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Лекция 1.Цифровая обработка сигналов. Основные понятия Введение В настоящее время методы цифровой обработки сигналов digital signal processing DSP находят все более широкое применение вытесняя постепенно методы основанные на аналоговой обработке. В данном курсе рассматрива...

Русский

2013-07-12

608.07 KB

7 чел.

Лекция 1.Цифровая обработка сигналов. Основные понятия

Введение

В настоящее время методы цифровой обработки сигналов, digital signal processing (DSP) находят все более широкое применение, вытесняя постепенно методы, основанные на аналоговой обработке. В данном курсе рассматриваются основы теории, и наиболее употребляемые алгоритмы обработки. 

При работе над данным конспектом автор пользовался следующими источниками

  1.  Р.Отнес, Л.Энокон. Прикладной анализ временных рядов. М.:Мир, 1982.
  2.  A.Oppenheim, R.Schafer. Discrete-time signal processing. Prentice-Hall, 1989.

Кроме того, при изложении вопросов, связанных с Wavelet теорией использованы статьи, о которых будет сказано в соответствующем месте.

Постановка задачи.

Пусть имеется непрерывный сигнал x(t), заданный на интервале . При переходе к оцифровке происходит следующая операция. Выбирается шаг дискретизации , и вместо исходного сигнала получается последовательность . Далее, выбирается формат оцифровки r. Обычно он бывает кратным 8, хотя это не обязательно. Предположим, что существует такое число М, что выполнены неравенства:  для всех n. Интервал [-M,M] разбивается на частей. После этого каждое значение  заменяется номером интервала, в который попало соответствующее значение. В результате последовательность  заменяется новой последовательностью , но теперь каждый член новой последовательности принимает значения из интервала . При желании вместо указанного представления можно перейти к представлению сигнала целыми числами со знаком.

На каждом из упомянутых шагов происходит огрубление сигнала. Первая задача цифровой обработки заключается в оценке искажения исходного сигнала. Дальнейшая обработка состоит в извлечении из полученного сигнала нужной информации и подавлении шумов. Это осуществляется с помощью цифровой фильтрации. Даже оцифрованный сигнал занимает много места, и следующий шаг обработки заключается в сжатии сигнала. Обычно имеется в виду сжатие с потерей информации. Здесь важно установить критерии допустимой потери информации. В зависимости от выбранного критерия выбирается способ сжатия. Хотя последовательность бесконечна, в реальных условиях мы имеем дело лишь с конечными последовательностями. В этой связи нужна оценка потерь, связанных с усечением последовательностей.

Преобразование Фурье

Важнейшей характеристикой исходного сигнала является его преобразование Фурье. Если исходный сигнал задан функцией , заданной на всей вещественной оси, то его преобразование Фурье задается формулой

  (1)

Функция  или ее модуль трактуется как интенсивность исходного сигнала на частоте . Обратное преобразование задается аналогичной формулой:

  (2)

Справедливость указанных формул возможна лишь при  определенных ограничениях на исходные функции. В зависимости от наложенных ограничений данным формулам придают различный смысл. Мы не будем уточнять данное обстоятельство, предполагая, что все выполняемые операции типа изменения порядка интегрирования законны. Однако в любом случае при обычном понимании интегрирования необходимым условием является убывание функций на бесконечности. В реальных условиях это ограничение не имеет места, поэтому предварительно нужно ознакомиться со специальным математическим аппаратом, позволяющим в некоторых случаях обойти данное ограничение.

Прежде, чем переходить к изложению этого аппарата, напомним основные свойства преобразования Фурье. Для краткости связь между функцией и ее преобразованием Фурье будем обозначать так: .

Если  то 

Сверткой двух функций называется функция , заданная формулой: . Имеет место соотношение 

Двойственное соотношение имеет вид .

Вообще говоря, не предполагается, что функция  - вещественная. Если же это так, то  

. Эта формула получается формальным дифференцированием под знаком интеграла в (2).

Обобщенные функции

Как уже отмечалось, для  того, чтобы в обычном смысле существовало преобразование Фурье от функции, необходимо ее убывание на бесконечности. Очевидно, что это не выполнено для стационарного сигнала. Для того, чтобы иметь возможность работать с преобразованием Фурье и от таких функций нужен вспомогательный аппарат.

Обозначим через  множество бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем. По определению, последовательность , если все эти функции имеют общий компактный носитель, принадлежат  и в каждой точке имеет место обычная сходимость. Функционал это отображение , причем . Если  - интегрируемая функция, то ей соответствует функционал . Однако существуют функционалы, не представимые в указанной форме. Например, . Этот функционал записывают в форме . Наряду с указанным функционалом определяют функционалы , исходя из формального правила замены переменных в интеграле. Хотя этот функционал нельзя представить с помощью обычной функции, можно ввести -образную последовательность. Положим  при  и 0 в остальных точках. Интеграл от нее равен 1. При больших  функция  представима в виде  при , поэтому  (второе слагаемое исчезает в силу симметричности). 

Лемма. Пусть  имеет интегрируемую производную. Тогда 

Доказательство проводится интегрированием по частям. Аналогичное утверждение справедливо и для .

Задача 1. Доказать, что 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

21455. Системы линейных дифференциальных уравнений 293 KB
  Системы линейных дифференциальных уравнений. Напомним что достаточными условиями существования и единственности решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1 удовлетворяющего начальным условиям 2 являются: непрерывность всех функций в окрестности начальных значений; выполнение условия Липшица для всех...
21456. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 282 KB
  Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Итак общее решение однородной системы 1 имеет вид 6 причем векторы 7 частные решения системы 1 которые могут быть получены следующим образом. Итак решения линейно...
21457. Матричная экспонента 394 KB
  а – матрица j – й столбец которой есть решение системы 1а с начальными условиями т. матрица имеет вид и удовлетворяет уравнению Тогда вектор t – решение системы 1а с начальным условием может быть записан в виде т. Запишем теперь jе решение уравнения 1а удовлетворяющее начальному условию где – диагональная матрица вектор столбец коэффициентов и положим где – матрица коэффициентов . Теперь окончательно имеем...
21458. Спектральные приборы 519 KB
  различаются методами спектрометрии приёмниками излучения исследуемым рабочим диапазоном длин волн и др. Форма отверстия в равномерно освещенном экране 1 соответствует функции f описывающей исследуемый спектр распределение энергии излучения по длинам волн . группа 2 информация об исследуемом спектре получается путём одновременной регистрации без сканирования по  несколлькими приёмниками потоков излучения разных длин волн ’ ’’ ’’’ .
21459. Управление света светом 870.5 KB
  ставит очень амбициозную задачу создание устройств выполняющих функции управления характеристиками оптического излучения с помощью другого оптического излучения. Предлагается воспользоваться свойствами поляризованного электромагнитного оптического излучения а именно использовать эффект оптического гашения который описан например в [3]. 1 Если четвертьволновую пластинку P1 установить так чтобы её быстрая ось была ориентирована под углом к оси OX то для излучения прошедшего через пластинку P1 получим = 1 = . 2 Согласно [4]...
21460. Применение лазерного излучения для управления движением атомами и ионами 789.5 KB
  Этот эффект называется охлаждением атомов давлением лазерного излучения. Методы позволяющие с помощью лазерного излучения охлаждать атомы основаны на эффекте вязкой жидкости оптическая патока в которой атомы медленно перемещаются. При охлаждении вещества его энергия и энтропия понижаются поэтому процесс охлаждения возможен если энергия и энтропия излучения после взаимодействия с веществом повышаются.
21461. Лазерный пинцет 957 KB
  Сила с которой свет действует на окружающие объекты невелика но ее оказывается достаточно чтобы ловить и контролируемо перемещать частицы размером от 10 нм до 10 мкм. В дальнейшем Эшкин и его коллеги продемонстрировали возможности оптической ловушки на основе инфракрасного лазера захватывать удерживать и перемещать в пространстве различные биологические объекты такие как вирусные частицы одиночные бактериальные и дрожжевые клетки и органеллы в живых клетках водорослей. Как будет вести себя частица в поле после Пишейпера В случаях...
21462. Прецизионные волоконно-оптические датчики 333 KB
  100 Мрад Последовательного и параллельного типа Распределение температуры и деформации Обратное рассеяние Релея Интенсивность обратного рассеяния Релея Многомодовое Разрешающая способность 1 м Условия реализации волоконных датчиков связаны с наличием оптической комплектации: оптическое волокно в различных спектральных диапазонах. Соединительные и разделительные фильтры Многослойники дифракционные решетки; модуляторы интенсивности на основе электрооптического эффекта ниобат лития обладающий электрооптическими свойствами которые...
21463. Импульсный оптический рефлектометр 479 KB
  Введение Импульсные оптические рефлектометры OTDR Opticl Time Domin Reflectometer различных типов широко используются практически на всех этапах создания волоконнооптических систем связи: от производства волокна и оптического кабеля до строительства волоконнооптических линий связи ВОЛС и их эксплуатации. Измерять средние потери оптического волокна на катушках равномерность распределения потерь в волокне и выявлять наличие локальных дефектов при производстве волокна. Обнаруживать постепенное или внезапное ухудшение качества волокна...