19532

Цифровая обработка сигналов. Основные понятия

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Лекция 1.Цифровая обработка сигналов. Основные понятия Введение В настоящее время методы цифровой обработки сигналов digital signal processing DSP находят все более широкое применение вытесняя постепенно методы основанные на аналоговой обработке. В данном курсе рассматрива...

Русский

2013-07-12

608.07 KB

10 чел.

Лекция 1.Цифровая обработка сигналов. Основные понятия

Введение

В настоящее время методы цифровой обработки сигналов, digital signal processing (DSP) находят все более широкое применение, вытесняя постепенно методы, основанные на аналоговой обработке. В данном курсе рассматриваются основы теории, и наиболее употребляемые алгоритмы обработки. 

При работе над данным конспектом автор пользовался следующими источниками

  1.  Р.Отнес, Л.Энокон. Прикладной анализ временных рядов. М.:Мир, 1982.
  2.  A.Oppenheim, R.Schafer. Discrete-time signal processing. Prentice-Hall, 1989.

Кроме того, при изложении вопросов, связанных с Wavelet теорией использованы статьи, о которых будет сказано в соответствующем месте.

Постановка задачи.

Пусть имеется непрерывный сигнал x(t), заданный на интервале . При переходе к оцифровке происходит следующая операция. Выбирается шаг дискретизации , и вместо исходного сигнала получается последовательность . Далее, выбирается формат оцифровки r. Обычно он бывает кратным 8, хотя это не обязательно. Предположим, что существует такое число М, что выполнены неравенства:  для всех n. Интервал [-M,M] разбивается на частей. После этого каждое значение  заменяется номером интервала, в который попало соответствующее значение. В результате последовательность  заменяется новой последовательностью , но теперь каждый член новой последовательности принимает значения из интервала . При желании вместо указанного представления можно перейти к представлению сигнала целыми числами со знаком.

На каждом из упомянутых шагов происходит огрубление сигнала. Первая задача цифровой обработки заключается в оценке искажения исходного сигнала. Дальнейшая обработка состоит в извлечении из полученного сигнала нужной информации и подавлении шумов. Это осуществляется с помощью цифровой фильтрации. Даже оцифрованный сигнал занимает много места, и следующий шаг обработки заключается в сжатии сигнала. Обычно имеется в виду сжатие с потерей информации. Здесь важно установить критерии допустимой потери информации. В зависимости от выбранного критерия выбирается способ сжатия. Хотя последовательность бесконечна, в реальных условиях мы имеем дело лишь с конечными последовательностями. В этой связи нужна оценка потерь, связанных с усечением последовательностей.

Преобразование Фурье

Важнейшей характеристикой исходного сигнала является его преобразование Фурье. Если исходный сигнал задан функцией , заданной на всей вещественной оси, то его преобразование Фурье задается формулой

  (1)

Функция  или ее модуль трактуется как интенсивность исходного сигнала на частоте . Обратное преобразование задается аналогичной формулой:

  (2)

Справедливость указанных формул возможна лишь при  определенных ограничениях на исходные функции. В зависимости от наложенных ограничений данным формулам придают различный смысл. Мы не будем уточнять данное обстоятельство, предполагая, что все выполняемые операции типа изменения порядка интегрирования законны. Однако в любом случае при обычном понимании интегрирования необходимым условием является убывание функций на бесконечности. В реальных условиях это ограничение не имеет места, поэтому предварительно нужно ознакомиться со специальным математическим аппаратом, позволяющим в некоторых случаях обойти данное ограничение.

Прежде, чем переходить к изложению этого аппарата, напомним основные свойства преобразования Фурье. Для краткости связь между функцией и ее преобразованием Фурье будем обозначать так: .

Если  то 

Сверткой двух функций называется функция , заданная формулой: . Имеет место соотношение 

Двойственное соотношение имеет вид .

Вообще говоря, не предполагается, что функция  - вещественная. Если же это так, то  

. Эта формула получается формальным дифференцированием под знаком интеграла в (2).

Обобщенные функции

Как уже отмечалось, для  того, чтобы в обычном смысле существовало преобразование Фурье от функции, необходимо ее убывание на бесконечности. Очевидно, что это не выполнено для стационарного сигнала. Для того, чтобы иметь возможность работать с преобразованием Фурье и от таких функций нужен вспомогательный аппарат.

Обозначим через  множество бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем. По определению, последовательность , если все эти функции имеют общий компактный носитель, принадлежат  и в каждой точке имеет место обычная сходимость. Функционал это отображение , причем . Если  - интегрируемая функция, то ей соответствует функционал . Однако существуют функционалы, не представимые в указанной форме. Например, . Этот функционал записывают в форме . Наряду с указанным функционалом определяют функционалы , исходя из формального правила замены переменных в интеграле. Хотя этот функционал нельзя представить с помощью обычной функции, можно ввести -образную последовательность. Положим  при  и 0 в остальных точках. Интеграл от нее равен 1. При больших  функция  представима в виде  при , поэтому  (второе слагаемое исчезает в силу симметричности). 

Лемма. Пусть  имеет интегрируемую производную. Тогда 

Доказательство проводится интегрированием по частям. Аналогичное утверждение справедливо и для .

Задача 1. Доказать, что 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

82117. Поведінка учня. Вплив поведінки на здоров’я 110 KB
  Мета: Формувати уявлення про ввічливого учня, про вплив поведінки на власне здоров’я та здоров’я оточуючих людей. Формувати вміння встановлювати причинно-наслідкові зв’язки (між настроєм і суперечкою; добрим вчинком і доброзичливим ставленням); узагальнювати сприйняття, використовувати знання...
82118. Эмоции. Умение контролировать эмоции. Положительные и отрицательные эмоции. Практическая работа: моделирование ситуации преодоления отрицательных эмоций 1.41 MB
  Цель: сформировать представление о положительных и отрицательных эмоциях, развивать умения находить связь между характером человека и его здоровьем, воспитывать желание изменять свой характер в лучшую сторону.
82119. Цінуй життя і здоров’я 48.5 KB
  Мета уроку: учити дітей свідомо ставитися до свого здоровя; вчити дотримуватися здорового способу життя: режиму дня раціонального правильного харчування правил гігієни; розвивати зацікавленість дітей до проведення фізичних вправ і загартовувальних процедур; розвивати мовлення вміння висловлювати свою думку...
82120. Ми – за здоровий спосіб життя 44 KB
  Мета: формувати відповідальну внутрішню позицію щодо свого здоров’я на основі позитивних перспективних мотивів; поглиблювати усвідомлення поняття «здоров’я», його багатогранності, необхідності турботи про нього; розширювати знання про негативний вплив шкідливих звичок...
82121. О здоровом образе жизни 75.5 KB
  Баба готовит колобок имитируя движениями рук процесс замешивания теста. Ведущий: По сусекам помела Горсти две муки нашла Соль добавила песок Славный вышел колобок Пышный да румяный Баба: Погоди ка дед чуток Пусть остынет колобок Ведущий: Непоседе Колобку Стыть бы на окошке Но решил он: Убегу Разомнусь немножко.
82122. Здоровий спосіб життя – це модно 70.5 KB
  Мета: Здійснювати пропаганду здорового способу життя; розширити та закріпити знання про пагубний вплив наркотиків тютюнопаління алкоголю на організм людини. Виховувати у учнів негативне відношення до застосування алкогольних напоїв наркотиків та та тютюнопаління, бажання і вміння вести здоровий спосіб життя...
82123. Зелені друзі 528 KB
  А зараз ми з вами спробуємо порівняти дерево і людину. Для цього ми розділимось на чотири групи кожна отримає запитання на яке дасть повну відповідь: Що спільного між людиною і деревом Чим відрізняються дерево і людина Яке значення дерева в житті людини Яке значення людини в житті дерев...
82124. Земля – наш космічний дім 63.5 KB
  Закріпити і перевірити знання учнів по темі; підвести підсумок пошуковій роботі; висвітлити значення океанів та використання їх багатств людиною; сприяти розвитку пам’яті, спостережливості; виховувати бережливе ставлення до природних багатств.
82125. Презентація проекту «Земля – наш дім» 41 KB
  Усі ми живі творіння природи на планеті Земля її біологічні мешканці і нам необхідно берегти свою Землю бо у космосі така одна. Світ-загадка лежить під ногами у нас: Форму кулі Земля наша має. Ось вирішили зробити колективну роботу Земля наш спільний дім а також композицію Рідна Земля намалювавши улюблені...