19532

Цифровая обработка сигналов. Основные понятия

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Лекция 1.Цифровая обработка сигналов. Основные понятия Введение В настоящее время методы цифровой обработки сигналов digital signal processing DSP находят все более широкое применение вытесняя постепенно методы основанные на аналоговой обработке. В данном курсе рассматрива...

Русский

2013-07-12

608.07 KB

9 чел.

Лекция 1.Цифровая обработка сигналов. Основные понятия

Введение

В настоящее время методы цифровой обработки сигналов, digital signal processing (DSP) находят все более широкое применение, вытесняя постепенно методы, основанные на аналоговой обработке. В данном курсе рассматриваются основы теории, и наиболее употребляемые алгоритмы обработки. 

При работе над данным конспектом автор пользовался следующими источниками

  1.  Р.Отнес, Л.Энокон. Прикладной анализ временных рядов. М.:Мир, 1982.
  2.  A.Oppenheim, R.Schafer. Discrete-time signal processing. Prentice-Hall, 1989.

Кроме того, при изложении вопросов, связанных с Wavelet теорией использованы статьи, о которых будет сказано в соответствующем месте.

Постановка задачи.

Пусть имеется непрерывный сигнал x(t), заданный на интервале . При переходе к оцифровке происходит следующая операция. Выбирается шаг дискретизации , и вместо исходного сигнала получается последовательность . Далее, выбирается формат оцифровки r. Обычно он бывает кратным 8, хотя это не обязательно. Предположим, что существует такое число М, что выполнены неравенства:  для всех n. Интервал [-M,M] разбивается на частей. После этого каждое значение  заменяется номером интервала, в который попало соответствующее значение. В результате последовательность  заменяется новой последовательностью , но теперь каждый член новой последовательности принимает значения из интервала . При желании вместо указанного представления можно перейти к представлению сигнала целыми числами со знаком.

На каждом из упомянутых шагов происходит огрубление сигнала. Первая задача цифровой обработки заключается в оценке искажения исходного сигнала. Дальнейшая обработка состоит в извлечении из полученного сигнала нужной информации и подавлении шумов. Это осуществляется с помощью цифровой фильтрации. Даже оцифрованный сигнал занимает много места, и следующий шаг обработки заключается в сжатии сигнала. Обычно имеется в виду сжатие с потерей информации. Здесь важно установить критерии допустимой потери информации. В зависимости от выбранного критерия выбирается способ сжатия. Хотя последовательность бесконечна, в реальных условиях мы имеем дело лишь с конечными последовательностями. В этой связи нужна оценка потерь, связанных с усечением последовательностей.

Преобразование Фурье

Важнейшей характеристикой исходного сигнала является его преобразование Фурье. Если исходный сигнал задан функцией , заданной на всей вещественной оси, то его преобразование Фурье задается формулой

  (1)

Функция  или ее модуль трактуется как интенсивность исходного сигнала на частоте . Обратное преобразование задается аналогичной формулой:

  (2)

Справедливость указанных формул возможна лишь при  определенных ограничениях на исходные функции. В зависимости от наложенных ограничений данным формулам придают различный смысл. Мы не будем уточнять данное обстоятельство, предполагая, что все выполняемые операции типа изменения порядка интегрирования законны. Однако в любом случае при обычном понимании интегрирования необходимым условием является убывание функций на бесконечности. В реальных условиях это ограничение не имеет места, поэтому предварительно нужно ознакомиться со специальным математическим аппаратом, позволяющим в некоторых случаях обойти данное ограничение.

Прежде, чем переходить к изложению этого аппарата, напомним основные свойства преобразования Фурье. Для краткости связь между функцией и ее преобразованием Фурье будем обозначать так: .

Если  то 

Сверткой двух функций называется функция , заданная формулой: . Имеет место соотношение 

Двойственное соотношение имеет вид .

Вообще говоря, не предполагается, что функция  - вещественная. Если же это так, то  

. Эта формула получается формальным дифференцированием под знаком интеграла в (2).

Обобщенные функции

Как уже отмечалось, для  того, чтобы в обычном смысле существовало преобразование Фурье от функции, необходимо ее убывание на бесконечности. Очевидно, что это не выполнено для стационарного сигнала. Для того, чтобы иметь возможность работать с преобразованием Фурье и от таких функций нужен вспомогательный аппарат.

Обозначим через  множество бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем. По определению, последовательность , если все эти функции имеют общий компактный носитель, принадлежат  и в каждой точке имеет место обычная сходимость. Функционал это отображение , причем . Если  - интегрируемая функция, то ей соответствует функционал . Однако существуют функционалы, не представимые в указанной форме. Например, . Этот функционал записывают в форме . Наряду с указанным функционалом определяют функционалы , исходя из формального правила замены переменных в интеграле. Хотя этот функционал нельзя представить с помощью обычной функции, можно ввести -образную последовательность. Положим  при  и 0 в остальных точках. Интеграл от нее равен 1. При больших  функция  представима в виде  при , поэтому  (второе слагаемое исчезает в силу симметричности). 

Лемма. Пусть  имеет интегрируемую производную. Тогда 

Доказательство проводится интегрированием по частям. Аналогичное утверждение справедливо и для .

Задача 1. Доказать, что 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

76727. Процесс развития личности и факторы, влияющие на него. Взаимовлияние внутренних и внешних, стихийных и управляемых факторов 103 KB
  Каждый человек проходит младенческую стадию развития, когда он учиться двигаться, говорить, мыслить. Точно так же каждый индивид развивается, как личность Формируется его мировоззрение и понимание мира. От этого будет зависеть его последующая роль в жизни общества.
76728. Трудовые ресурсы, персонал и трудовой потенциал организации 95 KB
  Современный трудовой коллектив представляет собой сложную социальную систему, где отдельные личности и группы людей взаимодействуют на принципах, весьма далеких от формально предписанных.
76729. Техника плавания способом кроль на спине 59.64 KB
  Славяне со свойственной им смекалкой с целью обмануть противника ложатся на дно реки навзничь и дышат держа во рту длинные нарочно для этого просверленные внутри камыши концы которых выходят на поверхность воды. Плечевой пояс расположен немного выше таза таз и бедра у поверхности воды.
76730. Брачно-семейные отношения 74.5 KB
  Личные и имущественные отношения супругов. Свойство отношения между людьми возникающие вследствие брачного союза: отношения между супругом и родственниками другого супруга а также между родственниками супругов. Семейного Кодекса РФ: государственная защита семьи материнства отцовства; недопустимость произвольного вмешательства в дела семьи; беспрепятственное осуществление членами семьи своих прав; возможность судебной защиты этих прав; признание брака заключенного только в органах записи актов гражданского состояния; ...
76731. Прикладное программирование 27.68 KB
  Представление информатики как научной дисциплины связано с рассмотрением проблем организации вычислений и обработки информации с помощью ЭВМ и внутри ЭВМ а также принципов организации и работы машинных интеллектуальных систем систем искусственного интеллекта на ЭВМ.
76733. Проведение занятий физкультуры для детей с нарушениями опорно-двигательного аппарата 106.21 KB
  Заболевания опорно-двигательного аппарата у детей могут носить врожденный или приобретенный характер. Улучшить состояние организма можно за счет назначения определенного курса лечения, дополнительного эффекта достигает проведение занятий лечебной физкультуры.
76734. Определение износных характеристик при тепловых режимах трения 842.95 KB
  Триботехника - наука о контактном взаимодействии твердых тел при их относительном движении охватывающая весь комплекс вопросов трения изнашивания и смазки машин. Смазка - действие смазочного материала в результате которого между двумя...